Chapitre : Les Puissances

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Chapitre : Les Puissances

Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Pré requis

ce que vous devez savoir avant de commencer

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Pré requis : (C’est ce que l’on doit savoir avant de commencer)

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Leçon : Puissance d’entier


Puissances entières d’un nombre relatif :

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Définitions et vocabulaire : a : est un nombre relatif non nul et n : un nombre entier positif.

■ Si n ≥ 2 alors : an =

(produit de n facteurs égaux à a)

■ Si n ≥ 0 alors : (ainsi a-n est l’inverse de an )

45 se lit :

Exemple :

11 12 2

=

1 ex : 12008 = 1 ex : 0n = 1 (si n≥1) ex : 01 000 000 = ex : 2-1 = ex : 1n = 1

ex : (-3)5= (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = ex : 1270 = 1

a x a x ... x a et a1 = a et a0 = 1 (si a≠0)

« 4 puissance 5 » ou « 4 exposant 5 » .

- 243

On dit : que ce sont des puissances de 4 et qu’il y en a 5.

ex : (-3)-4= 1(-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 1

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Avec la calculatrice : Elever un nombre au carré : 62

Elever un nombre au cube : 63

6 exposant 5 : 65

x2

x3

x■


Priorités opératoires :

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Dans une expression sans parenthèse,

Exemples : A = 7 – 5 x 42 = 7 – 5x16 = 7 – 80 = - 73

B = 5 x 23 = C = (3 x 2 )2 = 5 x 8 = 40 62 = 36

En présence de parenthèses,

on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions.

on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.


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Produit et quotient de puissances identiques :

a2 x a3 =

2 facteurs

a2+3 = a5 On observe que : a2 x a3 = a x a a 5

exemple : 52 x 53 =

(ab)2 = ab x ab = a x a x b x b = a2 x b2 ou (3 x a)2 =32 x a2 = 9a2

5 facteurs

a x a = a5-3= a² On observe que : avec a ≠ 0

= 37-3 = 34 7

4

33

x a x a x a =

3 facteurs

5x5 x 5x5x5 = 52+3 = 55

exemple :

(a2)3 = a2 x a2 x a2 = axa x axa x axa = a6 On observe que : (a2)3 = a2x3 = a6

3 6 x 5 = 3 30 exemple : (36)5 =


à recopier sur le cahier de leçon


Leçon : Puissance de 10

Cas particuliers


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II. Cas particulier des puissances de dix :

Puissance de dix :

Quelque soit le nombre entier positif n :

10n = 10 x … x 10 = 10000......0 avec n zéros Ex: 103 = 10x10x10 = 1000

10-n = 110n =

110000.........0

=

1

110− =

0,0.......01 avec n chiffres après la virgule.

Ex : 10-1 = 2

110− =0,1 10-2 =

2 zéros avant le 1.

0,01

106 = 1000000 6 zéros après le 1.


Si on multiplie un nombre entier par 10, on lui rajoute simplement un zéro à la fin.

Exemple : 7 × 10 =

Si on multiplie un nombre décimal ( à virgule) par 10, il ne faut pas rajouter un zéro à la fin mais décaler la virgule d’un rang vers la droite.

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Remarques :

Pour éviter d’avoir plusieurs méthodes … on décalera la virgule au lieur de rajouter des zéros !


Produit par une puissance de dix :

Pour multiplier un nombre en écriture décimale

par 10n, on décale,

par 10-n, on décale, en complétant éventuellement par des zéros.

exemple n°1 : 3,5 x 104 = 35 000 exemple n°2 : 3,5 x 10-4 = 0,00035

Règle de calcul : Quels que soient les nombres entiers relatifs m et n

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la virgule de n rangs vers la droite.

la virgule de n rangs vers la gauche.

On décale la virgule de 4 rangs vers la droite.

On décale la virgule de 4 rangs vers la gauche.



Une nouvelle notation : Changement d’écriture :

Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a x 10n

dans laquelle « a » désigne un nombre décimal et « n » un entier relatif.

Exemples : 2 540 000 = 254 x 104 = 25,4 x 103 = 2,54 x 106 = 0,254 x 107

0,00138 =

La notation scientifique ou écriture scientifique :

Définition :

138 x 10-5 = 13,8 x 10-4 = 1,38 x 10-3 = 0,138 x 10-2

…/…

La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique forme a x 10n dans laquelle « a » possède un seul chiffre non nul avant la virgule.


Exemple : La notation scientifique

Remarque : B = 0, 000 000 456 =

24,45 x 10-5

7,328 x 105 12,2 x 104 0,2 x 10-1 1 x 1014

2,1 x 1047 9,99 x 10-7

4,56 x 10-7

Compter le nombre de déplacements de la virgule

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Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme : a×10poù a est un nombre décimal tel que 1⩽a<10 et p est un nombre entier relatif.

La notation scientifique



Carte Mentale

Retenir sa leçon

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Fiche exercice n°1


Exercice n°1 :

10 000 000 100

dix millions cent un un cent millième

10-7 un dix millionième un millième

1 0,000 01 0,000 000 1 0,001


Exercice n°1 :

1 suivi de 4 zéros : 10 4

1 précédé de 6 zéros : 10 6

1 suivi de 0 zéros : 10 0

Attention : addition et soustraction doivent se faire sous forme décimale:

100 + 100 000 =

0,1 + 10 = 10,1

100 100


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Exercice n°2

Attention : division avec des puissances : On soustrait les exposants !

10 7 – 2 = 10 5

Attention : multiplication avec des puissances : On additionne les exposants !

10 3 – (-5) = 10 3 + 5 = 10 8

10 5 + 3 = 10 8 10 7 + 8 = 10 15 10 3 + (-9) = 10 - 6


…/…

𝑨𝑨 = 𝟓𝟓 × 𝟗𝟗 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟓𝟓+𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝑩𝑩 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔 × 𝟏𝟏,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏+(−𝟖𝟖)+𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔


En route vers le brevet

Donner la notation scientifique des nombres suivants :


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Fiche exercice n°2


Activités : Puissance de 10

…/…

102 = 10 x 10 = 100

On constate que le nombre de zéros correspond au nombre inscrit en dessus du 10. L’exposant correspond au nombre de zéros : ■ exposant positif : le nombre est plus grand que 1. ■ exposant négatif : le nombre est plus petit que 1. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Multiplier par une puissance de 10.

…/…

a. 785000 1240 0,5621 124 0,008915 12000000 b. 63 x 10- 2 6,3 x 10- 1 0,63 x 10 0


…/…

0,001 5 - 3 - 2 8 - 6

0,01 100 000 000 0,000001

m + n m - n m x n


Activité : Notation scientifique

…/…

1. avec la calculatrice on a : 5,3 25 = 1,279077148 x 10 18 avec la calculatrice on a : 5,3 -12 = 2,035586513 x 10 -9

2. Écriture scientifique : a. 7850 = 7,85 x 103 b. 0,063 = 6,3 x 10 -2 c. 135 000 = 1,35 x 10 5 d. 0,07 = 7 x 10 -2


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exercice supplémentaire




Fin


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