Upload
marcellette-pichon
View
117
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
1. Principe
Restaurer une image consiste à essayer de
compenser les dégradations subies par cette
image.
Les dégradations les plus courantes :
Flou de défocalisation bougé
Objectif de la restauration :
Calculer à partir de F une image aussi proche que
possible de l’image originale I.
On a besoin donc de connaître :
Le filtre h.
La variance du bruit.
I
dégradation Restauration
Estimation des paramètres de la dégradation
I F
Principe général de la restauration d’images
I
Le filtre de dégradation est symétrique par rapport à
l’origine :
En prenant la transformée de Fourier, et en supposant
que les images I et F sont périodiques :
ba
yxBbyaxIbahyxF,
),(),(),(),(
),(),)(*( yxByxIh
),(),(),(),( vuvuvuHvu
2. Détermination des paramètres de la
dégradation
a. Modèle du filtre de dégradation
Défocalisation
Chaque point de la scène donne alors sur l’image une tache en
forme de disque, cette tache étant d’autant plus grande que la
défocalisation est importante.
On a alors :
sinon 0),(
you x si ),(
)12(
12
yxh
TTyxh
T
Le paramètre à déterminer est donc T.
Bougé
Elle se modélise par un filtre linéaire dont la réponse
impulsionnelle a la forme d’un segment. Ainsi la
dégradation se modélise par un filtre horizontal :
à 2T+1 coefficients.
La valeur du coefficient est alors :
] ... [ h
)12/(1 T
b. Etude en dimension 1Pour la clarté de l’explication, nous allons tout d’abord
nous placer en dimension 1 (bougé) :
L’indice x correspondra à la direction du bougé.
La réponse fréquentielle h(x) du filtre est alors :
La transformée de Fourier discrète, sur N points, de ce
filtre est :
21)(2T
1 avecsinon 0)(
x si )(
xh
Txh
Nu
j2-
2
eposant wen 1)(2T
1
)()(
T
Tx
x
TX
Tx
Nux
j
w
exhuH
Après démonstration, on pourra déduire que :
T = (1/2)*(kN/uk-1)
• Généralisation au cas à deux dimensions
Si on néglige le bruit, l’équation
montre que le spectre de l’image dégradée est le produit du
spectre de l’image idéale par la transformée de Fourier du filtre de
dégradation.
Il s’ensuit que les passages par zéro du filtre se retrouvent sur le
spectre de l’image dégradée. En visualisant le spectre, on peut
donc localiser approximativement ces bandes sombres et en
déduire la valeur de T.
),(),(),(),( vuvuvuHvu
Exemple : Estimation des paramètres de la
dégradation
Calculer le spectre de l’image flou1 (et flou4) et le
visualiser ( on utilisera de préférence, une échelle
logarithmique ).
On remarquera des bandes sombres sur le spectre. Ces
bondes sombres correspondent aux passages par zéro
du filtre qui a dégradé l’image.
On peut localiser approximativement ces bandes
sombres et en déduire la valeur de T. Pour une
estimation plus précise, on utilisera une sommation.
3. Restauration par filtrage inverse
On filtre l’image dégradée par un filtre g(x,y) qui est l’inverse de h(x,y).
On passe dans le domaine des fréquences, en utilisant la transformée de
Fourier.
En fréquentiel on aura donc :
Pour restaurer l’image, on calcule le spectre de l’image restaurée :
Ce qui consiste à appliquer le filtre inverse dans la domaine des
fréquences. Enfin, une transformée de Fourier inverse nous donne l’image
restaurée .
),(1
),(vuH
vuG
),(),(),(ˆ vuvuGvu
),(ˆ yxI
Afin de mieux comprendre le principe et les limites
de cette méthode, nous allons à présent exprimer :
Soit puisque G(u,v)H(u,v)=1 :
Si le bruit était nul, on retrouverait exactement l’image
originale.
),(),(),(),(),(),(ˆ vuBvuGvuIvuHvuGvuI
),(),(),(),(ˆ vuBvuGvuIvuI
),(),(),(),( vuvuvuHvu
),(),(),(ˆ vuvuGvu
Pour un bruit non nul, ce qui sera toujours le cas enpratique, un problème se pose lorsque H(u,v) devienttrès faible, car on a alors une forte valeur de G(u,v), cequi entraîne une forte amplification du bruit.
Solution : borner les valeurs que peut prendre G(u,v) :
Si G(u,v)>S alors G(u,v)=S Si G(u,v)<-S alors G(u,v)=-S
ou S est un seuil positif.
Résultat.
4. Restauration par filtrage de Wiener
Le raisonnement qui vient d’être mené peut être rendu
plus rigoureux : on aboutit à la notion de filtre de
Wiener.
On va déterminer le filtre G(u,v) qui minimise l’erreur
quadratique moyenne entre l’image idéale et l’image
restaurée :
Le G est :
2),(),(ˆ vuIvuIEeQM
2
*
),(
),(),(
vuH
vuHvuG
5. Le problème des effets de bord
Nous allons voir successivement deux méthodespour améliorer les résultats :
Estimer les effets de bord pour ensuite lescorriger.
Faire l’hypothèse qu’au niveau des bords, despoints qui se trouvent à l’extérieur de l’imageont des intensités voisines des points qui setrouvent à l’intérieur.
6. Restauration par estimation et correction des effets de bord
On se limitera au cas ou le filtre de dégradation
est un filtre horizontal. Cela permet de traiter les
lignes de l’image indépendamment les unes des
autres.
L’indice x correspond à la direction du bougé.
Notons I(x) une ligne de l’image idéale et F(x) la
même ligne dans l’image dégradée.
Les indices x = 0, 1, .., N-1 correspondent à la
zone effectivement visible dans l’image, alors que
les indices x négatifs ou supérieurs à N-1
correspondent aux bords extérieurs à l’image.
Le filtre de dégradation h(x) vaut 1/(2T+1) pour
-T <= x <= +T et 0 ailleurs.
On notera H(u) sa transformée de Fourier sur N Points.
On posera :
pour x = -T,…., T-1.
Au niveau de la transformée de Fourier, on peu écrire :
N)I(x - )()( xIx
)()()()( uBuIuHu
Si on place les N composantes de bruit B(u) dans un vecteur et les 2T
composantes de dans un vecteur , on peut démontrer qu’il existe une
matrice W précalculable à N lignes et 2T colonnes telle que :
H(u) comporte 2T passages par 0. Lorsque u correspond à un passage par
zéro, on a :
B(uk)=F(uk)
Notons le vecteur de dimension 2T contenant ces valeurs, et W0 la matrice
de dimension 2T par 2T, formée à partir des 2T lignes de W correspondantes.
On a alors : , d’où :
B
)(x
W B
0B
00 WB
01
0 BW
Cette équation permet d’estimer . Ensuite, on calcule
le vecteur de bruit grâce à l’équation . On obtient alors
La valeur corrigée de F par :
On applique ensuite une méthode de restauration
classique, mais en remplaçant F(u) par Fcor(u).
Résultat
)()()( uBuFuFcor
7. Restauration par symétrie miroir
L’erreur est d’autant plus grande que les niveaux
d’intensités sur les bords opposés de l’image
sont différents.
On peut réduire cette différence en travaillant su
une image plus grande, construite à partir de
l’image initiale par symétrie miroir.
En effet, les bords opposés d’une telle image ont
des niveaux d’intensité proches.