Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chap 9aAplikasi Distribusi
Fermi Dirac
(part-1)
Teori Bintang Katai Putih
• Apakah bintang Katai Putih
– Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkansedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikitberubah menjadi helium.
• Tipikal data bintang katai putih
– Isi : sebagian besar helium
– Kerapatan massa 107 gr/cm3 (107 0)
– Massa : 1033 gr ( 1 MO)
– Suhu pusat : 107 K (=T0 )
Teori Bintang Katai Putih
• Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisadianggap terdiri dari inti helium dan elektron.
• Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar 1030 elektron/cm3 yang setara dengan energi Fermi :
• 𝜖𝐹 =ℏ2
2𝑚
1
𝑣23
= 20 𝑀𝑒𝑉 𝐻𝑢𝑎𝑛𝑔 → 0.4 𝑀𝑒𝑉 (𝑐𝑒𝑘!)
• Dengan temperature Fermi setara TF = 1011K. (cek 4 x109K)
• Karena ternyata TF >>> T bintang, maka praktis bintang kataiputih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekatground state.
Model
• Model Bintang Katai Putih:
– Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengankerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik.
– Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/2 yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi.
– Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukumgravitasi.
Energi Elektron
• Elektron dengan spin = ½ dengan momentum p. Elektronmemiliki energi :
𝜖𝒑,𝑠 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2
Dengan me : massa elektron.
• Energi ground state dari gas Fermi:
𝐸0 = 2
𝒑 <𝑝𝐹
𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2
=2𝑉
ℎ3න
0
𝑝𝐹
𝑑𝑝 4𝜋𝑝2 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2
Energi Elektron
Dengan momentum Fermi pF didefinisikan sbg (untuk elektron ):
2 ∗𝑉
ℎ34
3𝜋𝑝𝐹
3 = 𝑁 → 𝑝𝐹 = ℏ3𝜋2
𝑣
1/3
Dengan substitusi 𝑥 =𝑝
𝑚𝑒𝑐, maka integral dalam E0 dapat
dituliskan sbg:𝐸0𝑁=𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ2𝑣𝑓 𝑥𝐹
Dengan
𝑓 𝑥𝐹 = න
0
𝑥𝐹
𝑑𝑥 𝑥2 1 + 𝑥2
Energi Elektron
Untuk x<<1 maka : 𝑥2 1 + 𝑥2 = 𝑥2 ൬
൰
1 +1
2𝑥2 +
1
2
1
2−1
2𝑥4 +
⋯ . = 𝑥2 +1
2𝑥4 +⋯ .
Untuk x>>1 maka :
𝑥2 1 + 𝑥2 = 𝑥4 1 +1
𝑥2
1/2
= 𝑥4 1 +1
2
1
𝑥2+
12
12− 1
2
1
𝑥4+⋯ . =
= 𝑥4 +1
2𝑥2 +⋯ . .
Zero Point Pressure
Dengan aproksimasi tsb maka:
𝑓 𝑥𝐹 =
1
3𝑥𝐹3(1 +
3
10𝑥𝐹2 +⋯ . ) 𝑥𝐹 ≪ 1
1
4𝑥𝐹4(1 +
1
𝑥𝐹2 +⋯ . ) 𝑥𝐹 ≫ 1
Dengan 𝑥𝐹 =𝑝𝐹
𝑚𝑒𝑐=
ℏ
𝑚𝑒𝑐
3𝜋2
𝑣
1/3
Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh:
𝑃0 = −𝜕𝐸0
𝜕𝑉=
𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ3−𝑓 𝑥𝐹 − 𝑉
𝜕𝑓 𝑥𝐹
𝜕x𝐹
𝜕𝑥𝐹
𝜕𝑉
𝑃0 =𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ31
3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹
2 − 𝑓 𝑥𝐹
Zero Point Pressure
Untuk kasus non relativistik (xF<<1)
𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ31
3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹
2 −1
3𝑥𝐹3(1 +
3
10𝑥𝐹2
𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ31
3𝑥𝐹3(1 +
1
2𝑥𝐹2) −
1
3𝑥𝐹3(1 +
3
10𝑥𝐹2
𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5
15𝜋2ℏ3𝑥𝐹5
Untuk kasus relativistik ekstreem (xF>>1):
𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ31
3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹
2 −1
4𝑥𝐹4(1 +
1
𝑥𝐹2)
Zero Point Pressure
𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5
𝜋2ℏ31
3𝑥𝐹4 +
1
6𝑥𝐹2 −
1
4𝑥𝐹4 −
1
4𝑥𝐹2 =
𝑚𝑒4𝑐5
12𝜋2ℏ3𝑥𝐹4 − 𝑥𝐹
2
• Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka:
• 𝑀 = 𝑚𝑒 + 2𝑚𝑝 𝑁 ≈ 2𝑚𝑝𝑁
• 𝑅 =3𝑉
4𝜋
1/3
• Dengan mp:massa proton. Memakai besaran ini maka :
𝑣 =𝑉
𝑁=
4
3𝜋𝑅3
𝑁=
8𝜋𝑚𝑝𝑅3
3𝑀
Zero Point Pressure
Dan :
𝑥𝐹 =ℏ
𝑚𝑒𝑐
1
𝑅
9𝜋
8
𝑀
𝑚𝑝
1/3
≡𝑀1/3
𝑅
Dengan definisi
𝑀 =9𝜋
8
𝑀
𝑚𝑝dan 𝑅 =
𝑚𝑒𝑐𝑅
ℏ=
𝑅ℏ
𝑚𝑒𝑐
Zero Point Pressure
• Memakai definisi 𝑀 dan 𝑅 tsb, dan
• 𝐾 =𝑚𝑒𝑐
2
12𝜋2𝑚𝑒𝑐
ℏ
3, maka:
𝑃0 ≈4
5𝐾
𝑀5/3
𝑅5 (kasus non relativistik)
𝑃0 ≈ 𝐾(𝑀4/3
𝑅4 −
𝑀2/3
𝑅2 ) (kasus extrem
relativistik)
Kesetimbangan Bintang Katai Putih
• Kesetimbangan bisa dihitung sbb:
– Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untukmelawan tekanan gas fermi. Besar usaha untukmemampatkan gas tsb dari R= hingga jari-jari tertentu R:
𝑊 = − න
∞
𝑅
𝑃04𝜋𝑟2𝑑𝑟
– Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antarmassa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untukmembentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitasbentuknya :
Kesetimbangan Bintang Katai Putih
𝑊𝑔 = −𝛼𝛾𝑀2
𝑅Dengan konstanta pembanding (sekitar 1) dan tetapangravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untukmenghitung .
• Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb= - usaha oleh gaya gravitasi
න∞
𝑅
𝑃04𝜋𝑟2𝑑𝑟 = −
𝛼𝛾𝑀2
𝑅
Syarat Kesetimbangan
Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan:
P0 =𝛼𝛾𝑀2
4𝜋𝑅4=
𝛼𝛾
4𝜋
8𝑚𝑝
9𝜋
2 𝑚𝑒𝑐
ℏ
4 𝑀2
𝑅4 (*)
Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta !
Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus :
a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac → gas Boltzmann , sehingga:
𝑃0 =𝑘𝑇
𝑣=
3𝑘𝑇
8𝜋𝑚𝑝
𝑀
𝑅3
Hubungan M-R
• Substitusi ke (*) diperoleh:
𝑅 =2
3𝛼𝑀
𝑚𝑝𝛾
𝑘𝑇Jadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpaiuntuk bintang katai putih.
b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendahdan bersifat non relativistik (xF<<1), menggunakan P0 untukkasus ini diperoleh:
4
5𝐾𝑀5/3
𝑅5 = 𝐾′
𝑀2
𝑅4
Hubungan M-R
Dengan
𝐾′ =𝛼𝛾
4𝜋
8𝑚𝑝
9𝜋
2𝑚𝑒𝑐
ℏ
4
Sehingga diperoleh persamaan:
𝑀5/3
𝑅 =4
5
𝐾
𝐾′Artinya :
jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil.
Hubungan M-R
• C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efekrelativistik penting (xF>>1), maka dengan P0 yg sesuaididapatkan:
• 𝐾𝑀43
𝑅4 −
𝑀23
𝑅2 = 𝐾′
𝑀2
𝑅4 atau 𝑅 = 𝑀
2/31 − 𝑀/𝑀0
2/3
• Dengan
• 𝑀0 =𝐾
𝐾′
3/2=
27𝜋
64𝛼
3/2 ℏ𝑐
𝛾𝑚𝑝2
3/2
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀0 ≈
1033𝑔𝑟 =massa matahari
• Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau R→0. Jadiketika massa mendekati massa matahari.
Limit Chandrasekhar
• Berarti : tidak ada bintang katai putihyg massanya lebih besar dari matahari(kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karenakalau massa terlalu besar makatekanan (tolak-menolak) karenaprinsip Pauli tidak akan cukupmelawan oleh keruntuhan bintangkarena gaya gravitasinya.
Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd M’0 = 1,4 M0 ygdikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang ygbisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massaChandrasekhar.
Diamagnetism Landau• Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan
magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.
• Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet
• Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡𝜕𝑀/𝜕𝐻
• Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan
medan magnet H: 𝑀 ≡1
𝑉< −𝜕𝐻0/𝜕𝐻 >
Diamagnetism Landau• Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan
magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.
• Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet
• Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡𝜕𝑀/𝜕𝐻
• Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan
medan magnet H: 𝑀 ≡1
𝑉< −𝜕𝐻0/𝜕𝐻 >
Diamagnetism Landau• Dengan H0: hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet
luar H.
• Untuk Ensembel Kanonik: 𝑀 = 𝑘𝑇𝜕 ln 𝑄𝑁/𝑉
𝜕𝐻dan
• Ensembel Grand Kanonik 𝑀 = 𝑘𝑇𝜕
𝜕𝐻
ln 𝜁
𝑉 𝑇,𝑉,𝑧
• Jika 𝜒 < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika 𝜒 > 0bersifat paramagnetik
Model Diamagnetism
• Sumber sifat magnetik bahan :
• (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit ygterkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkaitdengan diagmagnetism
• (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism.
• Model diagmagnetism :
gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medanmagnet luar. Elektron non relativistik.
Model Diamagnetism
Hamiltonian diberikan oleh:
• 𝐻0 =1
2𝑚𝒑𝟐 +
𝑒
𝑐𝑨
𝟐
• Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik . Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan 𝑯 = 𝛻 ×𝑨
• Pers. Schrodinger sistem ini : 𝐻0𝜓 = 𝐸𝜓
• Asumsi : medan magnet luar : 𝑯 = ො𝒛𝐻, dengan H: konstan(uniform external field), dengan ini maka : 𝑨 = −𝐻𝑦 ෝ𝒙 kitapilih Ay=Az=0.
Hamiltonian Sistem
• Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan:
1
2𝑚ℏ2𝑘𝑥
2 + ℏ2𝑘𝑧2 + 𝑝𝑦
2 +𝑒𝐻
𝑐𝑦
2
−2𝑒𝐻
𝑐ℏ𝑘𝑥𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓
ℏ2
2𝑚𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧
2 +1
2𝑚𝑝𝑦2 +
1
2𝑚
𝑒𝐻
𝑐𝑦
2
− ℏ𝑘𝑥𝑒𝐻
𝑚𝑐𝑦 𝜓
= 𝐸𝜓
Pers. Schrodinger System
Pakai definisi frekuensi cyclotron :𝜔0 ≡𝑒𝐻
𝑚𝑐, maka:
ℏ2
2𝑚𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧
2 +1
2𝑚𝑝𝑦2 +
1
2𝑚𝜔0
2𝑦2 −𝜔0ℏ𝑘𝑥𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓
Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg:
[..] =1
2mpy2 +
1
2𝑚𝜔0
2 𝑦 − 𝑦02 −
ℏ2 𝑘𝑥2
2𝑚dengan 𝑦0 ≡
ℏ𝑐
𝑒𝐻𝑘𝑥
Sehingga persamaan Schrodinger menjadi:1
2𝑚𝑝𝑦2 +
1
2𝑚𝜔0
2 𝑦 − 𝑦02 𝑓 𝑦 = 𝐸′𝑓(𝑦)
Dengan E′ = E −ℏ2 𝑘𝑧
2
2𝑚
Energi eigen sistem
Arti:1
2𝑚𝑝𝑦2 +
1
2𝑚𝜔0
2 𝑦 − 𝑦02
Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusatosilasi di y0 dengan frekuensi ω0. Oleh karena itu energi eigen sistemosilator ini adalah:
ℏ𝜔0 𝑛 +1
2, 𝑛 = 0,1,2,…
Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah:
𝐸′ = 𝐸 −ℏ2𝑘𝑧
2
2𝑚= ℏ𝜔0 𝑛 +
1
2𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐸(𝑝𝑧, 𝑛) =
𝑝𝑧2
2𝑚+ ℏ𝜔0 𝑛 +
1
2
E’ : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = ℏ𝜔0(n+1/2 ).
Ingat 𝜔0 ≡𝑒𝐻
𝑚𝑐
Energi kinetik darigerak sejajar medan
luar (z)
Energi krn gerak di bidang tegak lurus
medan luar (XY)
Analisa Energi & Level Landau
• Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh :
• 𝐸′ =ℏ2𝑘𝑥
2
2𝑚+
ℏ2𝑘𝑦2
2𝑚
• Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem) →, maka praktisspektrum energi ini kontinu.
• Jika H0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecahmenjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg
dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi E’ = ℏ𝜔0 𝑛 +1
2
Analisa Energi & Level Landau
• Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate ygdilabeli kx. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau.
• Jarak antara 2 Level Landau adalah ℏ𝜔0 =𝑒ℏ
𝑚𝑐𝐻. Jelas
semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini.
• Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syaratbatas periodik, maka nilai-nilai kx yg diijinkan adalah
• 𝑘𝑥 =2𝜋𝑛𝑥
𝐿, dengan nx=0, 1, 2,…
Degenerasi Level Landau
• Tetapi ada batasan nx sebab y0
mestilah: 0y0 L, sehingga nx
mestilah positif.
• 𝑦0 =ℏ𝑐
𝑒𝐻𝑘𝑥 =
ℎ𝑐
𝑒𝐻
𝑛𝑥
𝐿
• Berarti nx max :
𝑛𝑥,𝑚𝑎𝑥 =𝑒𝐻
ℎ𝑐𝐿2 ≡ 𝑔
g: degenerasi tiap level Landau!
n=0
Susceptibility Magnetik
• Fungsi partisi Grand Kanonik:
𝜁 =ෑ
𝑚
(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑚)
• Dengan m =(pz,n,) dengan =1,2,..,g.
ln 𝜁 =
𝛼=1
𝑔
𝑛=0
∞
𝑝𝑧
ln(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑝𝑧,𝑛,𝛼 )
mengingat 𝑝𝑧 = ℏ𝑘𝑧 =ℎ
2𝜋
2𝜋
𝐿𝑛𝑧 =
ℎ
𝐿𝑛𝑧, sehingga Σ𝑝𝑧 →
2𝐿
ℎ∫ 𝑑𝑝: banyak momentum pz :−∞,… ,∞
Susceptibility Magnetik
Sehingga:
ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿
ℎ
𝑛=0
න0
∞
𝑑𝑝 ln(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖 𝑝,𝑛 )
Jumlah rata-rata elektron:
N ≈2𝑔𝐿
ℎ
𝑛=0
න0
∞
𝑑𝑝1
𝑧−1𝑒𝛽𝜖 + 1
Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini z→ 0 agar N tetapberhingga. Sehingga persamaan di ln di ekspansi dan diambilorder-1:
ln 1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖 ≈𝑧𝑒−𝛽𝜖
Susceptibility Magnetik
Sehingga:
ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿𝑧
ℎ
𝑛=0
න0
∞
𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽𝜖 =2𝑔𝐿𝑧
ℎ
𝑛=0
න0
∞
𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽(
𝑝2
2𝑚+ℏ𝜔0 𝑛+12 )
ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿𝑧
ℎ
𝑛=0
𝑒−𝛽ℏ𝜔0 𝑛+
12 න
0
∞
𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽(𝑝2
2𝑚)
≈2𝑔𝐿𝑧
ℎ
2𝜋mkT
2
𝑛=0
∞
𝑒−𝛽ℏ𝜔0 𝑛+
12
ln 𝜁 ≈𝑔𝐿𝑧
𝜆
𝑒−𝛽ℏ𝜔02
1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔0=𝑔𝐿𝑧
𝜆
𝑒−𝑥
1 − 𝑒−2𝑥
Aproksimasi suhu Tinggi
Dengan 𝜆 =ℎ
2𝜋mkt𝑑𝑎𝑛 𝑥 =
𝛽ℏ𝜔0
2, aproksimasi untuk x kecil:
𝑒−𝑥
1 − 𝑒−2𝑥=
1
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
≈1
1 + 𝑥 +𝑥2
2+𝑥3
6+⋯− (1 − 𝑥 +
𝑥2
2−𝑥3
6+⋯)
≈1
2𝑥 +13𝑥3 +⋯ .
≈1
2𝑥1 +
1
6𝑥2+. .
−1
≈1
2𝑥(1 −
1
6𝑥2 +⋯)
Sehingga
ln 𝜁 ≈𝑔𝐿𝑧
𝜆
1
2𝑥1 −
1
6𝑥2 =
𝑔𝐿𝑧
𝜆
𝑘𝑇
ℏ𝜔01 −
1
24
ℏ𝜔0
𝑘𝑇
2
Susceptibilitas Magnetik
Dengan mengingat definisi 𝑔 =𝑒𝐻
ℎ𝑐𝐿2 dan 𝜔0 =
𝑒𝐻
𝑚𝑐, maka faktor
𝑔𝐿ℎ
𝑚𝜔0= 𝑉 dengan V=L3. Sehingga :
ln 𝜁 ≈𝑧𝑉
𝜆31 −
1
24
ℏ𝜔0
𝑘𝑇
2
Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik :
𝜒 =𝜕
𝜕𝐻𝑀 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝑘𝑇
𝜕
𝜕𝐻
ln 𝜁
𝑉
Maka akan diperoleh :
𝜒 = −𝑧
3𝑘𝑇𝜆3eℏ
2𝑚𝑐
2
Susceptibilitas Magnetik
• Jelas 𝜒 <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N denganmempertahankan hingga order satu dalam z.
• Hasil akhirnya dapat diperoleh:
𝜒 = −1
3𝑘𝑇𝑣
𝑒ℏ
2𝑚𝑐
2
Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa 𝜒 ~1
𝑇