Chap 6b: Perumusan Ensembel Mekanika Statistik 2020-01-14¢  Gas Ideal di Ensembel Mikrokanonik Mekanika

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Chap 6b: Perumusan Ensembel Mekanika Statistik 2020-01-14¢  Gas Ideal di Ensembel...

  • Chap 6b: Perumusan Ensembel

    Mekanika Statistik Kuantum

    Part-2

  • Menghitung Banyak Status Keadaan • Asumsi : partikel tak punya spin (spinless!)-> apa

    konsekuensinya?

    • Karena TAK ADA INTERAKSI maka tingkat-tingkat energy yg bisa dimiliki system adalah tingkat energy PARTIKEL TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partikel bisa menempati suatu tingkat energy tsb.

    • Energi level system = Energy level dari 1 partikel! (non interacting!)

    • Energi system = total energy berdasarkan okupansi partikel pada level energy partikel tunggal:

    𝜖𝒑 = 𝑝2

    2𝑚 dengan 𝒑 =

    2𝜋ℏ

    𝐿 𝒏

    Dimana n = (nx, ny, nz) dengan nj =0,1, 2,… dan L 3=V.

  • Menghitung Banyak Status Keadaan • Spesifikasi keadaan system ideal diberikan oleh set jumlah

    okupansi { np} dengan np: jumlah partikel dengan momentum p.

    • Kendala system:

    𝐸 =෍

    𝒑

    𝑛𝒑𝜖𝒑 𝑁 =෍

    𝒑

    𝑛𝒑

    • Untuk kasus spinless boson dan fermion set {np} sudah secara unik menspesifikasi keadaan system.

    • Nilai yang diijinkan untuk masing-masing adalah:

    𝑛𝒑 = ቊ 0,1,2,3,… 𝑏𝑜𝑠𝑜𝑛

    0,1 𝑓𝑒𝑟𝑚𝑖𝑜𝑛

  • Gas Ideal di Ensembel Mikrokanonik Mekanika Kuantum

    • Untuk Boltzmann :

    𝑛𝒑 = 0,1,2,3,… tetapi {np} menyatakan 𝑁!

    𝑛1!𝑛2!…. keadaan

    system! Permutasi partikel dengan momentum yg berbeda (p) berbeda tak menghasilkan distribusi baru.

    • Tingkat energy system N partikel adalah tingkat energy partikel tunggal.

    • Pendekatan : spektrum energi tsb akan dibagi dalam sel-sel, tiap sel mengandung sejumlah level (tingkat) energi yg berdekatan.

  • Teknik Menghitung Banyak Keadaan Sistem

    • Konstrain:

    σ𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan σ𝑖 𝑛𝑖𝜖𝑖 = 𝐸

    • Banyak cara mendistribusi N partikel ke sel-sel tsb, tiap kali menghasilkan satu macam distribusi n : W {ni}

    • Maka banyak keadaan status microstate terkait:

    Γ 𝑁, 𝑉, 𝐸 =෍

    {𝑛𝑖}

    𝑊{𝑛𝑖}

    • Penjumlahan dilakukan terhadap berbagai cara mendistribusikan {ni} yg berbeda yg memenuhi konstrain di atas.

    Sel-3 3

    Sel-2 2

    Sel-1 1

    g3 ; n3

    g2 ; n2

    g1 ; n1

    Jumlah level

    Okupan si

    Misal untuk sel ke-i : Rata-rata level energi bernilai i Banyak level di sel tsb: gi >>1 Jumlah partikel di sel tsb: ni : jumlah np untuk seluruh level di sel tsb.

  • Boson

    • Sedangkan W{ni}:

    𝑊 𝑛𝑖 =ෑ

    𝑖

    𝑤𝑖

    • Dengan wi : banyak cara mendistribusikan partikel identik indistinguishable sejumlah ni di dalam sel ke-i yang memiliki jumlah level gi.

    • Nilai wi bergantung pada jenis partikel : Fermion atau Boson.

    • Kasus Boson:

    – Tiap level boleh berisi partikel : 0,1,2,dst

    – Persoalan : diberikan ni boson untuk menempati level energi yg berbeda sebanyak gi dalam sel-i.

  • Boson

    – Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk mendistribusikan boson tsb di sel-i tsb yg punya gi subsel?

    – Persoalan tsb bisa dipandang sbg:

    Diberikan ni partikel dan (gi-1) partisi. Carilah banyaknya cara berbeda untuk mendistribusikan ni partikel dan (gi-1) partisi tsb.

    • Jumlah partisi gi-1, sebab jumlah level (“ruang”) : gi

    Partikel ke: 1 2 3 4 ….. n

    Partisi ke: 1 2 gi-1

  • Boson

    • Banyak cara mendistribusikan ni partikel + (gi-1) partisi : (ni+gi-1)!

    • Akan tetapi : partikel identik (undistinguishable) demikian juga partisi!, maka permutasi ni diantara partikel dalam satu sel dan permutasi diantara (gi-1) partisi tidak menghasilkan konfigurasi distinc yg baru, jadi:

    𝑤𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

    𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

  • Fermion

    Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi {ni} tertentu dari bosons adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

    𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖 𝐵𝐸 =ෑ

    𝑖

    𝑤𝑖 =ෑ

    𝑖

    𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

    𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

    • Kasus Fermion:

    – Tiap level hanya boleh diisi maksimum 1 partikel, jadi okupansi tiap level:0 atau 1.

    – Karena sel ke-i memiliki gi level yang akan ditempati ni partikel (tentu ni tidak bisa > gi), berarti akan ada ni level yg berisi 1 partikel dan sisanya (gi-ni) kosong.

  • Fermion

    • Kita bisa memandang ini spt di Boson, akan tetapi:

    Jumlah obyek yg akan didistribusikan, justru total jumlah levelnya : gi “Obyek” tsb akan dipartisi jadi 2 kelompok saja: kelompok satu masing-masing berisi 1 partikel (ni), sisanya (gi-ni) tidak ada partikel.

    • Jadi ada g! cara berbeda mendistribusi obyek tsb. Tetapi permutasi dalam tiap kelompok : isi (ni) dan kosong (gi-ni) tidak menghasilkan keadaan baru. Sehingga banyaknya cara yang berbeda diberikan oleh:

  • Fermion

    𝑤𝑖 =ෑ

    𝑖

    𝑔𝑖!

    𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 !

    Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi {ni} tertentu dari Fermion adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

    𝑊𝐹𝐷 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖 𝐹𝐷 =ෑ

    𝑖

    𝑤𝑖 =ෑ

    𝑖

    𝑔𝑖!

    𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 !

    Level: 1 2 3 4 ….. gi

    kosong (gi-ni) berisi (ni buah) Partisi hanya 1, bisa berpindah-pindah tempat

  • Boltzon

    • Kasus : Boltzon (Partikel maxwell boltzmann: hipotetik)

    • Untuk partikel Boltzmann mula-mula anggap mereka terbedakan (distinguishable) dan mereka bisa menempati status keadaan yang sama seperti boson.

    • Untuk sel ke-i, ada gi level (subsel) dan terdapat ni partikel terbedakan yg harus didistribusikan ke gi tsb, jelas banyaknya cara berbeda untuk mendistibusikannya adalah:

    – Partikel ke-1, bisa menempati salah satu dari gi level,

    – Partikel ke-2, juga bisa menempati salah satu dari gi level

    – Partikel ke-n, juga bisa menempati salah satu dari gi level

  • Boltzon

    • Total cara berbeda mendistribusikan ni partikel dalam gi level adalah :

    𝑔𝑖 𝑛𝑖

    • Banyak cara membagikan N total partikel ke dalam berbagai sel yang masing-masing berisi n1, n2 dst dan permutasi dalam tiap sel tidak menghasilkan keadaan baru adalah (kombinasi):

    𝑁!

    𝑛1! 𝑛2! …

    • Faktor koreksi berikutnya (Gibbs) : 1/N!, karena permutasi diantara partikel tsb sendiri (N buah) tidak akan menghasilkan status keadaan baru.

  • Boltzon

    • Sehingga total banyak konfigurasi {ni} yang berbeda bagi

    Boltzon ini adalah:

    𝑊𝑀𝐵 𝑛𝑖 = 1

    𝑁!

    𝑁!

    𝑛1! 𝑛2! … 𝑔1

    𝑛1𝑔2 𝑛2 … =ෑ

    𝑖

    𝑔𝑖 𝑛𝑖

    𝑛𝑖!

  • Problem of The most Probable Distribution

    • Setelah mengetahui banyaknya cara berbeda mendistribusikan partikel identic N buah, maka selanjutnya mesti dicari distribusi {ni

    *} seperti apa yang akan menghasilkan W yg terbesar.

    • Dengan kata lain berapa nilai masing-masing ni di tiap sel agar W paling besar!

    • Entropi S diberikan oleh :

    𝑆 = 𝑘 ln (෍

    {𝑛𝑖}

    𝑊 𝑛𝑖 )

  • Problem of The most Probable Distribution

    • Nilai log ruas kanan, untuk N besar sekali bisa didekati dengan 1 suku saja yaitu : the largest W{ni}=W{n*i}, dengan {n*i} adalah distribusi {ni} yang akan menghasilkan the largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetapi dengan tetap memenuhi dua kendala : total partikel dan energy

    • Jadi : 𝑆 ≈ 𝑘 ln𝑊{𝑛𝑖

    ∗}

    • Konstrain:

    σ𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan σ𝑖 𝑛𝑖𝜖𝑖 = 𝐸

  • Metoda Lagrange Multiplier

    • Memakai metoda Lagrange multiplier, maka kondisi untuk mendapatkan Wmax tsb diungkapkan oleh:

    𝛿 ln𝑊{𝑛𝑖} − 𝛼Σ𝑖𝛿𝑛𝑖 + 𝛽Σ𝑖𝜖𝑖𝛿𝑛𝑖 = 0

    • Dengan 𝛼 , 𝛽 adalah parameter.

    – Asumsi: ni dan gi >>1 sehingga Aproksimasi Stirling boleh dipakai. Maka:

    Kasus : Distribusi Bose Einstein:

    𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 =ෑ

    𝑖

    𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

    𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

  • Distribusi Bose-Einstein

    Maka:

    ln𝑊𝐵𝐸 =෍

    𝑖

    ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! − ln 𝑛𝑖! − ln 𝑔𝑖 − 1 !

    ln𝑊𝐵𝐸 ≈෍

    𝑖

    𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 − (

    )

    𝑛𝑖 + 𝑔𝑖

    − 1 − 𝑛𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 − 𝑔𝑖 − 1 ln 𝑔𝑖 − 1 + (𝑔𝑖 − 1)

    Dengan ni, gi>>>1, maka:

    ln𝑊𝐵𝐸 ≈෍

    𝑖

    𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − (

    )