Chapter 7Determination of NaturalDetermination of Natural 

Frequencies and Mode Shape

Natural Frequency and mode Shapes h dApproximate methods

• Dunkerleys Formula– Derivation of Dunkerley’s formula is based on the fact that 

higher natural frequencies of most systems are large compared to their fundamental frequenciesA i t l ll th th t l– Approximate values – smaller than the exact values…

• Rayleigh Formula– Rayleigh – Approximate – Larger than exact values… Based upon 

St ti d fl tiStatic deflection curve.– Rayleigh quotient is lower than first eigenvalue and never higher 

than highest eigenvalue.H l ’• Holzer’s– based on a trial‐and‐error scheme, is presented to find the 

natural frequencies of undamped, damped, semidefinite, or branched translational and torsional systemsbranched translational and torsional systems.

Dunkerley’s FormulaDunkerley s Formula

• Consider a general n‐degree‐of‐freedom system whose eigenvalues can be determined by solving the frequency equation,

• Free vibration – no damping

• If given small energy in the form of displacement it vibrates indefinitely.  Xi is constant.

• Configuration of System – Mode Shape

Dunkerley FormulationDunkerley Formulation

• Since the left side of Eq. (6.59) is independent of the index i, and the right side is independent of t, both sides must be equal to a constant. By assuming this constant as we 

it E (6 59)can write Eq. (6.59) as

Dunkerley FormulationDunkerley Formulation

Dunkerley FormulationDunkerley Formulation

hi i i k k l• This equation is known as Dunkerley s formula. The fundamental frequency given by E (7 6) ill l b ll h hEq. (7.6) will always be smaller than the exact value.

ExampleExample

Rayleigh’s MethodRayleigh s Method• The frequency of vibration of a conservative system vibrating about an equilibrium position has a 

stationary value in the neighborhood of a natural mode This stationary value in fact is a minimum valuestationary value in the neighborhood of a natural mode. This stationary value, in fact, is a minimum value in the neighborhood of the fundamental natural mode.

• Kinetic and Potential energy

• where denotes the vector of amplitudes (mode shape) and represents the natural frequency of vibration

• If the system is conservative, the maximum kinetic energy is equal to the maximum potential energy

[ ] [ ]XXXkX TTrrrr

2[ ] [ ]XmXXkX TT 2ω=

Beams and ShaftsBeams and Shafts

Holzer’s MethodHolzer s Method

• Trial and ErrorTrial and Error• Natural Frequencies of Undamped, damped, Semi definite, Fixed or Branched VibratingSemi definite, Fixed or Branched Vibrating Systems involving linear and angular displacements.

• Programmed for computer applications• Fundamental as well as higher frequencies canFundamental as well as higher frequencies can be determined

• Mode shapes can also be determinedMode shapes can also be determined

Torsional Systems (Undamped)Torsional Systems (Undamped)

states that the sum of the inertia torques of the semi definite system must be zero. This equation can be treated as another form of the q f ffrequency equation, and the trial frequency must satisfy this requirement.

Holzer’s MethodHolzer s Method

Computed from previous (Arrowed 2 eqs)

Holzer’s MethodHolzer s Method

Holzer’s MethodHolzer s Method

Dunkerley’s FormulationsDunkerley s Formulations