CFD2 SPH 20170406 · Tóth Balázs -BME-ÉMK, Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Részecskealapú módszerek-3-2017.04. 19. A numerikus modellezést több mint 50 évig

SimítottrészecskedinamikaSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

ÁramlásoknumerikusmodellezéseII.

TóthBalázsBME-ÉMK

VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék2017.04.19.

TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék

Numerikusmódszerek

- 2 - 2017.04.19.

Anumerikussémákkétcsoportosításiszempontja

Euleri Lagrange-i

Hálóalapú Részecskealapú

Osztályozás


Részecskealapúmódszerek

2017.04.19.- 3 -

Anumerikusmodellezésttöbbmint50évigahálóalapúmódszerekjelentették.Bárarészecskealapúsémák ötletenemúj,amódszereklényegifeljődéseazelmúlt20-25évretehető.

Motiváció:• topológiaváltozássaljárójelenségek(pl.törések,szabadfelszínűáramlások)• peremfeltételnélküliproblémák(pl.csillagközigázok,galaxisok)• diszperzközegek,molekuladinamika• kapcsoltszámítások• anyagipályákkövetéseáramlásokban• hálógenerálás(ésújragenerálás)nehézségei

Áttekintés



2017.04.19.- 4 -

Csoportosítás

Diszkrétközeg Kontinuumközegegyrészecske =egyatom,molekula,szemcse

egyrészecske=aközegegyelemirésze

azelemekközöttiinterakcióközvetlenmodellezése

a részecskékközöttiinterakciókataközegetleíró,lokálisanértelmezettPDE-ekmegoldásavezérli

DEM,MD, ... SPH, EFG,RKPM,...


Definíciók

2017.04.19.- 5 -

Definíció:egységfelosztása(Partition ofunity)

A𝑑𝑜𝑡𝑡𝛺 ⊂ ℝ((𝑑 = 1,2,3) egy nyílt tartomány. Legyenek 𝛺0, 𝛺1, …𝛺3 ⊂ ℝ( nyílt résztartományok úgy, hogy

1. 𝛺 ⊂5𝛺6

3

670

,

2. Léteznek 𝜙6 ∈ 𝐶; ℝ( , (𝑘 > 0) függvények, melyekre igaz, hogy 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜙6 ⊂ 𝛺6,3. 0 ≤ 𝜙6 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ 𝛺6,

4.F𝜙6 𝑥3

670

= 1, ∀𝑥 ∈ 𝛺

Ekkor a {𝜙0, 𝜙1, …𝜙3} függvények reprezentálják az egység felosztását az 𝛺tartományon.


Definíciók

2017.04.19.- 6 -

Egységfelosztása(partition ofunity)

∑ 𝜙6 𝑥 = 1�6

𝜙0 𝑥 𝜙1 𝑥 𝜙K 𝑥 𝜙L 𝑥 𝜙M 𝑥 𝜙N 𝑥

Ω

𝜙6 𝑥 :simítófüggvények



2017.04.19.- 7 -

Simítófüggvényektulajdonságai

• 𝜙 ∈ 𝐶; ℝ( ,

• 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜙(𝑥 − 𝑥Q) ⊂ 𝐵S,

• 𝐵S = 𝑥 𝑥 − 𝑥Q < 𝜎, 𝑥 ∈ ℝ( , 𝑣𝑎𝑔𝑦𝑖𝑠 egy 𝜎 sugarú 𝑥Q középpontú gömb,

• 𝜙 𝑥 > 0, ha 𝑥 < 𝜎

• ∫ 𝜙 𝑥 𝑑Ω = 1�\]

• Analitikus függvények, pl: polinomok, spline-görbék, exponenciális függvények


Simítottrészecskedinamika

2017.04.19.- 8 -

Konvolúció (azinterpolációáltalánosítása)

𝐴 𝑟 = `𝐴 𝑟′ 𝛿(𝑟 − 𝑟′)

c

𝑑𝑟′

Kétprobléma:1. 𝛿 x − xe numerikusannemkezelhető,2. azintegráláscsakanalitikusfüggvényekesetébenvégezhetőel.

𝐴:tetszőleges függvény𝛿:Dirac-delta



2017.04.19.- 9 -

1.Probléma

Anumerikusannemkezelhető𝛿 𝑥 − 𝑥e függvénytlecseréljükamárismertsimítófüggvényre:

𝐴 𝑟 ≈ `𝐴 𝑟′ 𝜙(𝑟 − 𝑟′)

c

𝑑𝑟′ Ez már csak közelítés!

2.ProblémaKépezzükakontinuumkonvolúció egydiszkrétreprezentációját:

𝐴 𝑟6 =F𝐴 𝑟g 𝜙 𝑟6 − 𝑟g𝑚g𝜌g

�

g

𝑚g:j.anyagi ponthoz rendelt tömeg𝜌g:j.anyagi ponthoz rendelt sűrűség

Diszkrét konvolúció



2017.04.19.- 10 -

Deriváltakközelítése

𝛻𝐴 𝑟 = ` 𝛻𝐴 𝑟e 𝜙 𝑟 − 𝑟e

k

𝑑𝑟e =

= `𝛻 𝐴 𝑟e 𝜙 𝑟 − 𝑟e

k

𝑑𝑟e − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e

k

𝑑𝑟e =

= `𝜙 𝑟 − 𝑟e 𝐴 𝑟e

l

𝑑𝑆 − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e

k

𝑑𝑟e = − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e

k

𝑑𝑟e

= 0,mert 𝜙 𝜎 = 0

Tehátbármelyfüggvényderiváltjavisszavezethetőasimítófüggvényderiváltjávalvettkonvolúcióra.

𝛻𝐴 𝑟6 =F𝐴 𝑟g 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g𝑚g𝜌g

�

gDiszkrétalakban:



2017.04.19.- 11 -

Konzisztencia

Adott egy 𝑃𝑢 = 𝑓 alakú PDE, és egy 𝑃pq𝑣 = 𝑓 numerikus séma. A sémát 𝑛-ed rendig konzisztensnek nevezzük, ha tetszőleges, sima 𝐴 függvény esetén:

limpq→Q

𝑃𝐴 − 𝑃pq𝐴 = 0.



2017.04.19.- 12 -

Konzisztencia

VizsgáljukmegakapottelsőrendűSPHdifferenciál-operátornulladrendűkonzisztenciájátegy𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. függvénysegítségével!

𝜕y𝐴 z6− 𝜕y𝐴6 = 0 −F𝐴g𝜕y𝜙 𝑟6 − 𝑟g

𝑚g𝜌g

�

g

≠ 0

Csakakkorteljesülanulladrendű konzisztencia,haamintavételipontokeloszlásaegyenletes.EzazSPHesetébennemelvárható!Akonzisztenciarendjénekjavításáraszámosmódszerlétezik.Alkalmazzukazadiszkrétkonvolúciót azalábbiazonosságra:

𝛻𝐴 =1𝜌; 𝛻𝜌

;𝐴 −𝐴𝜌; 𝛻𝜌

;.



2017.04.19.- 13 -

Elsőrendűdifferenciáloperátor

Akapottoperátor:

𝛻𝐴6 =1𝜌6F 𝐴g − 𝐴6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g ,�

g

Melyet magasabbrendűkonzisztenciájamiatthasználnak.Ezenkívülsokegyéboperátorislétezik,melyekkülönbözőtulajdonságokkalrendelkeznek.Amegfelelőoperátorkiválasztásátamegoldandódifferenciálegyenletalakjahatározzameg.Ezanalógavégeselemmódszeresetébenmegszokott„elemtípussal”.



2017.04.19.- 14 -

Másodrendűdifferenciáloperátor

Hasonlómegfontolásokkalamásodikderivált:

Δ𝐴6 =F2 𝐴g − 𝐴6𝑟6g𝑟6g

1𝑚g𝜌g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g ,

�

g

Fontos:itt asimítófüggvénynek csak az elsőrendű deriváltja szerepel!



2017.04.19.- 15 -

Folyadékokmodellezése

Kontinuitásiegyenletlagrange-ivonatkoztatásirendszerben:𝜕𝜌𝜕𝑡 + 𝛻𝜌𝑣 =

𝜕𝜌𝜕𝑡 + 𝑣𝛻𝜌 + 𝜌𝛻𝑣,

𝑑𝜌𝑑𝑡 = −𝜌𝛻𝑣

MelynekSPH-diszkretizált alakja:

𝑑𝜌𝑑𝑡 z6

=F 𝑣g − 𝑣6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g .�

g



2017.04.19.- 16 -


Euler-egyenletlagrange-ivonatkoztatásirendszerben:𝜕𝑣𝜕𝑡 + 𝑣𝛻𝑣 =

𝑑𝑣𝑑𝑡 = −

1𝜌𝛻𝑝 + 𝑔

MelynekSPH-diszkretizált alakja:

𝑑𝑣𝑑𝑡 z6

=F𝑝6𝜌61+𝑝g𝜌g1

𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 𝑔,�

g



2017.04.19.- 17 -


Mivelanyomás- éssebességmező közöttkinematikaikényszertmostnemírunkfel,anyomásszámításáraállapotegyenletetalkalmazunk:

𝑝6 = 𝑐1 𝜌6 − 𝜌Q ,

Ahol𝑐 aközeghangsebessége,𝜌Q pedigareferenciasűrűség. Azállapotegyenletsegítségévelaközegkompresszibilitásakontrollálható,vízesetébenaz1%-ossűrűségingadozásadműszakiszempontbólelfogadhatóeredményt.



2017.04.19.- 18 -


Peremfeltételek:



2017.04.19.- 19 -


Peremfeltételek:- Térbenrögzítettfolyadékrészecskék,𝑢 ≔ 0

- Sokfalirészecske- Egyszerűimplementáció- Nemtriviálisno-slip- Matematikailagkorrekt

- Falipotenciál(Kelvin-Voigt model)- Egyszerűimplementáció- Kisszámításiigény- Matematikailaginkorrekt- Tetszőlegesgeometria 𝐭𝑅1(𝐮, 𝑦)

𝐧𝑅0(𝐮, 𝑦)

𝐮



2017.04.19.- 20 -


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y[m

]

u[m/s]

Sebességeloszlás

Analitikussebességeloszlás:

𝑢 𝑦 =12𝜇𝜕𝑝𝜕𝑥 𝑦(ℎ − 𝑦)

𝜕𝑝𝜕𝑥 = 0.1𝜌𝑔

Laminárisáramlássíklapokközött

𝑢1𝑚

𝑦

𝑥



2017.04.19.- 21 -


Egyikoldaláltalgerjesztettáramlásnégyzetkeresztmetszetűüregben

𝑢 = 1𝑚𝑠

1𝑚

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-0,4 0,1 0,6

y[m

]

u[m/s]

Vízszintessebesség

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5

v[m

/s]

x[m]

Függőlegessebesség

𝑅𝑒 = 500



2017.04.19.- 22 -


Azegyenletekmegoldásanumerikusintegrálással,egyarraalkalmassémával,példáulmásodrendűRunge-Kutta (RK2)módszerrelkaphatómeg:

𝐴±²01 = 𝐴± +

Δ𝑡2𝑑𝐴𝑑𝑡 z

±

𝐴±²0 = 𝐴± + Δ𝑡𝑑𝐴𝑑𝑡 z

±²01



2017.04.19.- 23 -

Numerikusstabilitás

Amegoldásnumerikusstabilitásához:- Adaptív időlépés(CFL)

Δ𝑡 = 0.2min𝜎

max6𝑎6

� ,𝜎𝑐

- Fizikaidisszipációhiányábanmesterségesdiffúzió(pl.akontinuitási ésmozgásegyenletben):𝑑𝜌𝑑𝑡 z6

=F 𝑣g − 𝑣6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 0.2𝑐𝜎F 𝜌g − 𝜌6

�

g

𝑟6g𝑟6g

1 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟6𝑚g𝜌g

�

g𝑑𝑣𝑑𝑡 z6

=F𝑝6𝜌61+𝑝g𝜌g1

𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 0.01𝑐𝜎F 𝑣g − 𝑣6

�

g

𝑟6g𝑟6g

1 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟6𝑚g𝜌g,

�

g



2017.04.19.- 24 -

Összefoglalás

Alkalmazásiterületek:- Asztrofizika- Törések,szabadfelszínűáralmások,robbanásokmodellezése- Többfázisúáramlásokmonolitikusmodellezése- Kapcsolt feladatok- Nyomkövetés áramlásokban

Tulajdonságok:- Teljesen hálómentes- Lagrange-i- Explicit ésimplicitmodellek(implict:pressure-velocity coupling)- Átfedő diszkretizáció,változókonfiguráció- A végesdifferenciamódszerénekegyfajtaáltalánosítása

TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék - 25 -

Köszönömafigyelmet!

2017.04.19.

Documents

CFD2 SPH 20170406 · Tóth Balázs -BME-ÉMK, Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Részecskealapú módszerek-3-2017.04. 19. A numerikus modellezést több mint 50 évig