C’est quoi ? Des exemples Des difficultés nouvelles Caractérisation

Systèmes linéaires positifs 1

Une introduction aux systèmes linéaires positifs

C.Commault

Laboratoire d’Automatique de GrenobleFRANCE


• C’est quoi ?

• Des exemples

• Des difficultés nouvelles

• Caractérisation

• Les points de vue état et entrée-sortie

• L’atteignabilité


• Un système qui à une entrée positive associe une sortie positive

• Une représentation d’état avec les mêmes conditions + état positif si état initial positif


• Des systèmes à variables physiques positives par nature (niveaux, débits, concentrations, …). Exemple : problèmes de bacs.

• Modèles à compartiments : applications en médecine, cinétique chimique, …

• Modèles économiques (Leontieff, …)

• Modèles de dynamiques de population.

• …..


y2

u2

u2

x3x2

x1

Variables naturellement positives

y1


x1 x2

x3x4

0)()(

avec

)()()()(

1

1

n

ijj

iijiii

i

n

ijj

jjiiiii

xfxf

tuxfxftx

xi = quantité de produitdans le compartiment i


i

ij

ttt

ii

ji

n

ijj

jjiiiii

état l' entre sortie de taux :

état l'et état l' entren transitiode taux :

avec

)()()(1

i = probabilité que le système soit dans l’état i

12

4 5

6

3


)()(

))()(()( devoisin

tLxtx

txtxtx iij

ji

xi = valeur de la variable au noeud i12

4 5

6

3


)()()1(

dynamique systèmedu stableet 0 équilibred'position marchédu Equilibre

1

kbukAxkx

bAxx

bxax ij

n

jiji

xi = quantité fabriquée d’un produit i

bi = consommation du produit i

aij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i

A et b positives


• Commandabilité = rang [B, AB, …, An-1B] = n• Commandable → stabilisable• Fonction de transfert avec dénominateur de degré n → réalisation d’ordre n• En multivariable idem avec degré de McMillan• Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, …• Résultats très similaires en continu et en discret• Vérification de propriétés par des méthodes d’algèbre linéaire (Matlab)

Plus rien ne marche avec les systèmes positifs !


0)0(

)(1

1)(

00

10)1(

x

kukxkx

01

11RSystème à comportement positif, atteignable car

Etats atteignables au pas 2

)0(

)1(

u

uRx

1

1x1

x2

A partir du pas 3 : 0


0)0(

)(1

1)(

10

11)1(

x

kukxkx

11

21R

)0(

:

)1(

1...1

....1)(

u

kuk

kx

Système à comportement positif, atteignable car

Etats atteignables au pas k

1

1x1

x2

2

1

0

Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1


Stabilisation par retour d’état

f

kxfkx

fkfxku

kukxkx

instable

)()2()1(

0 avec ,)()(

)()(2)1(

Pour la stabilisation et la rapidité,

Le mieux est de ne rien faire !


Cas discret

0)0(

)()(

)()()1(

xx

kCxky

kBukAxkx

0(i)et 0(i) i 0(i) ,0 0 yxux

Condition nécessaire et suffisante

,0 ,0 ,0 CBA


Cas continu

0)0(

)()(

)()()(

xx

tCxty

tButAxtx

0(t)et 0(t) 0(t) ,0 0 yxtux

Condition nécessaire et suffisante

jia

CB

ij

0

0 ,0


0pour invariant êtredoit uR n

frontière étatsaux

de intérieur"l' rspointer ve"doit nRx

x3

x2

x1

En fait condition équivalente à :

0Ate

x


Définition :

Pour toute entrée ≥ 0, sortie ≥ 0

Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret)

Réponse impulsionnelle ≥ 0


Positif état Positif entrée-sortie

Pas gagné

Il existe une réalisation positive Positif entrée-sortie

Par définition

Condition nécessaire et suffisante (en continu) [O’Cinneide, Farina]

• La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0• Le pôle dominant est unique et réel


Problème encore très largement ouvert

Avis aux amateurs !

Référence avec des tas d’exemples :

A tutorial on the positive realization problemL. Benvenutti, L. Farina

IEEE TAC, 04


1) Les valeurs propres d’une matrice « positive » d’ordre n ne peuvent pas être n’importe où

2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant

Exemple : ordre 3Re

Im

Constat affligeant :

On ne sait même pas résoudre complètement à l’ordre 3 !

Valeur propre dominante


0 entrée une avec esatteignabl états des ensemble : R

Propriétés :

convexeest 10 )1(, )4

côneun est 0 )3

)Im(,...,,Im )2

)1

2121

1

RRxxRxx

RRxRx

RBAABBR

RRn

n

De plus :Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n.


• Egal à R+n : système positivement atteignable

• Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs• A fermeture polyédrale : voir exemple• En « cornet de glace »

x3

x2

x1


Propriété (Fanti et al, 90) :Si le système est positivement atteignable alors il est positivement atteignable en n pas.

)0(

:

)2(

)1(

],...,,[

direàestc'

que telles0)1(),...,0 ,

1

u

nu

nu

BAABBx

x x(n)nuu(Rx

n

n


Définitions :• vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles.• matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales et indépendantes

Propriétés :• une matrice monomiale M s’écrit M = D.P, où P est une matrice de permutation et D une matrice diagonale strictement positive.• les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse positive.


Observation :Il faut et il suffit qu’on trouve une solution pour les vecteurs de base.

)0(

:

)2(

)1(

],...,,[ 1

u

nu

nu

BAABBx n

On peut extraire de R une sous-matrice monomiale.


R est une matrice monomiale.

0

0

0

0

jbb

monomiale de colonne avec

0

0

0

0

monomial

:

: ème

2

1

Ajji

ba

Ab

a

a

a

bAbjij

nj

j

j

j


Après mise en ordre des états

positifs.t strictemen nombres dessont lesoù ,

0

:

0 ,

...0

:...0

...0

...00

x

x

B

xx

x

xx

x

A

ux1

x2xnxn-1

Observation 1:Il y peu de chances que ça arrive !

Observation 2:Propriété structurelle !


u

x

Buisson mort Tiges simples

Tiges avec bouton


klxuk

xukibA

lj

ijjk

pour à de 1longueur dechemin de pas

et à de 1longueur dechemin un monomial-est

La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état.


• Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, 2000.• Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J.A. Jacquez, Univ. Mich., 1985.• Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome), 2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer.

• Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems,Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont., 1984.• Characterization of phase-type distributions C.A. O’Cinneide, Stochastic Models, 1990.

• On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems, C. Commault, M. Alamir, SCL 2007.• Phase-type distributions and representations: some open problems for system theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003.


Un domaine de recherche avec de nombreux domaines d’application,parfois exotiques. Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …)

Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt !

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