Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica

Certamen 3 Mate 4 Pautajulio 23, 2012

1. Encuentre la coordenada z del centro de masa de la porcin del cono z =x2 + y2 entre

z = 1 y z = 2 , si la densidad de masa es constante .

Ayuda: z =

S

z(x, y, z)dSS

(x, y, z)dS

Solucin:

Observar que se trata de una superficie del tipo z = f(x, y) con dominio en el anillo1 x2 + y2 4 . Luego se tiene

m =

S

dS

=

1x2+y24

z2x + z

2y + 1 dxdy

=

1x2+y24

x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2+ 1 dxdy

=

2

1x2+y24

dxdy = 3

2

1

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Por otra parte

mz =

S

z dS

=

1x2+y24

x2 + y2

x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2+ 1 dxdy

=

2

1x2+y24

x2 + y2 dxdy

= 4

2

/20

21

r2 d dr

= 4

2

( /20

d

)( 21

r2 dr

)=

14

2

3

Luego

z =14

9

2. SeaF (x, y, z) = ( y z , yz , xz ) . Considerar S la superficie que consta de 4 caras del

cubo determinado por las ecuaciones: 0 x 2 , 0 y < 2 , 0 z < 2 . Calcularusando el Teorema de la divergencia:

S

F n dS

donde la superficie esta orientada por la normal exterior.

Solucin:

Observar que las caras que faltan corresponden a las caras y = 2 y z = 2 . Usando el teoremade la divergencia se tiene

2

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S

(y z , yz , xz) n dS =R

(z x) dV S1

(y z , yz , xz) n dS

S2

(y z , yz , xz) n dS

donde R es el cubo slido [0, 2] [0, 2] [0, 2] y las superficies S1 , S2 corresponden a lastapas y = 2 y z = 2 respectivamente. Calculando cada una de estas integrales se tiene:

Para la regin slida R :

R

(z x) dV = 20

20

20

(z x) dy dz dx = 2 20

(z2

2 xz

z=2z=0

)dx

= 2

20

(2 2x) dx = 0

Para S1 . Usar la parametrizacin : x = x , y = 2 , z = z .

S1

(y z , yz , xz) n dS = 20

20

(2 z , 2z , xz) (0, 1, 0) dz dx = 20

20

2z dz dx = 8

Para S2 . Usar la parametrizacin: x = x , y = y , z = 2 :

S2

(yz , yz , xz)n dS = 20

20

(y2 , 2y , 2x)(0, 0, 1) dy dx = 20

20

2x dy dx = 8

Por lo tanto:

S

F n dS =

R

(z x) dV S1

(y z , yz , xz) n dS S2

(y z , yz , xz) n dS

= 0 8 + 8 = 0

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3. Sea S el hemisferio superior de la esfera x2 +y2 + z2 = 2z y sea el campo vectorial definidoporF (x, y, z) = (z sen(x) y3 , z cos(y) + x3 , cos(xy)) . Calcule:

S

F n dS

n tiene 3ra coordenada positiva.

Solucin:

Sea la curva x2 +y2 = 1 en el plano z = 1 , la cual corresponde al borde de la superficieS . Usando Stokes se tiene:

S

F n dS =

[(z sen(x) y3)dx+ (z cos(y) + x3)dy + cos(xy)dz

La cual debe recorrerse en sentido positivo.

Parametrizacin de .

:x = cos(t)y = sen(t)z = 1

Luegodx = sen(t)dy = cos(t)dz = 0

t . Calculando se tiene:

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S

F n dS =

(z sen(x) y3)dx+ (z cos(y) + x3)dy + cos(xy)dz

=

[ sen(cos(t)) sen(t) + sen4(t) + cos(sen(t)) cos(t) + cos4(t)] dt

=

[sen4(t) + cos4(t)] dt

=

[(1

2(1 cos(2t))

)2+

(1

2(1 + cos(2t))

)2]dt

=1

2

[1 + 1 cos2(2t)]dt

=1

2

[t+

1

2

(t+

sen(4t)

4

)

]=

3

2

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4. Sea : R3 R un campo escalar de clase C2 que satisface

2 = 4

y div ( ()) = 10 Calcular

S

ndS donde S es la esfera unitaria y

nes la derivada

direccional de en la direccin del vector normal unitario exterior a S.

Solucin:

Previo.

div() = ( x , y , z)

= xx + xx + y y + yy + z z + zz

= (x)2 + (y)

2 + (z)2 + (xx + yy + zz)

= 2 + 2 = 10

Pero 2 = 4 . Despejando

2 = 10 2 = 10 4 = 6

Si 6= 0 se tiene:

2 = 6

ahora calculando la integral se tiene:S

ndS =

S

n dS =

x2+y2+z21

div() dV

=

x2+y2+z21

2 dV = 6

x2+y2+z21

dV = 8

6