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Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica
Certamen 3 Mate 4 Pautajulio 23, 2012
1. Encuentre la coordenada z del centro de masa de la porcin del cono z =x2 + y2 entre
z = 1 y z = 2 , si la densidad de masa es constante .
Ayuda: z =
S
z(x, y, z)dSS
(x, y, z)dS
Solucin:
Observar que se trata de una superficie del tipo z = f(x, y) con dominio en el anillo1 x2 + y2 4 . Luego se tiene
m =
S
dS
=
1x2+y24
z2x + z
2y + 1 dxdy
=
1x2+y24
x2
x2 + y2+
y2
x2 + y2+ 1 dxdy
=
2
1x2+y24
dxdy = 3
2
1
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Por otra parte
mz =
S
z dS
=
1x2+y24
x2 + y2
x2
x2 + y2+
y2
x2 + y2+ 1 dxdy
=
2
1x2+y24
x2 + y2 dxdy
= 4
2
/20
21
r2 d dr
= 4
2
( /20
d
)( 21
r2 dr
)=
14
2
3
Luego
z =14
9
2. SeaF (x, y, z) = ( y z , yz , xz ) . Considerar S la superficie que consta de 4 caras del
cubo determinado por las ecuaciones: 0 x 2 , 0 y < 2 , 0 z < 2 . Calcularusando el Teorema de la divergencia:
S
F n dS
donde la superficie esta orientada por la normal exterior.
Solucin:
Observar que las caras que faltan corresponden a las caras y = 2 y z = 2 . Usando el teoremade la divergencia se tiene
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S
(y z , yz , xz) n dS =R
(z x) dV S1
(y z , yz , xz) n dS
S2
(y z , yz , xz) n dS
donde R es el cubo slido [0, 2] [0, 2] [0, 2] y las superficies S1 , S2 corresponden a lastapas y = 2 y z = 2 respectivamente. Calculando cada una de estas integrales se tiene:
Para la regin slida R :
R
(z x) dV = 20
20
20
(z x) dy dz dx = 2 20
(z2
2 xz
z=2z=0
)dx
= 2
20
(2 2x) dx = 0
Para S1 . Usar la parametrizacin : x = x , y = 2 , z = z .
S1
(y z , yz , xz) n dS = 20
20
(2 z , 2z , xz) (0, 1, 0) dz dx = 20
20
2z dz dx = 8
Para S2 . Usar la parametrizacin: x = x , y = y , z = 2 :
S2
(yz , yz , xz)n dS = 20
20
(y2 , 2y , 2x)(0, 0, 1) dy dx = 20
20
2x dy dx = 8
Por lo tanto:
S
F n dS =
R
(z x) dV S1
(y z , yz , xz) n dS S2
(y z , yz , xz) n dS
= 0 8 + 8 = 0
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3. Sea S el hemisferio superior de la esfera x2 +y2 + z2 = 2z y sea el campo vectorial definidoporF (x, y, z) = (z sen(x) y3 , z cos(y) + x3 , cos(xy)) . Calcule:
S
F n dS
n tiene 3ra coordenada positiva.
Solucin:
Sea la curva x2 +y2 = 1 en el plano z = 1 , la cual corresponde al borde de la superficieS . Usando Stokes se tiene:
S
F n dS =
[(z sen(x) y3)dx+ (z cos(y) + x3)dy + cos(xy)dz
La cual debe recorrerse en sentido positivo.
Parametrizacin de .
:x = cos(t)y = sen(t)z = 1
Luegodx = sen(t)dy = cos(t)dz = 0
t . Calculando se tiene:
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S
F n dS =
(z sen(x) y3)dx+ (z cos(y) + x3)dy + cos(xy)dz
=
[ sen(cos(t)) sen(t) + sen4(t) + cos(sen(t)) cos(t) + cos4(t)] dt
=
[sen4(t) + cos4(t)] dt
=
[(1
2(1 cos(2t))
)2+
(1
2(1 + cos(2t))
)2]dt
=1
2
[1 + 1 cos2(2t)]dt
=1
2
[t+
1
2
(t+
sen(4t)
4
)
]=
3
2
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4. Sea : R3 R un campo escalar de clase C2 que satisface
2 = 4
y div ( ()) = 10 Calcular
S
ndS donde S es la esfera unitaria y
nes la derivada
direccional de en la direccin del vector normal unitario exterior a S.
Solucin:
Previo.
div() = ( x , y , z)
= xx + xx + y y + yy + z z + zz
= (x)2 + (y)
2 + (z)2 + (xx + yy + zz)
= 2 + 2 = 10
Pero 2 = 4 . Despejando
2 = 10 2 = 10 4 = 6
Si 6= 0 se tiene:
2 = 6
ahora calculando la integral se tiene:S
ndS =
S
n dS =
x2+y2+z21
div() dV
=
x2+y2+z21
2 dV = 6
x2+y2+z21
dV = 8
6