Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaso

Pauta Certamen #2 Mat-0241er Semestre 2014 - Lunes 16 de Junio

1. Considere la curva C descrita por x = 6 sin 4t, y = 4 cos 2t, z = 4t,pi

2 t pi y el campo vectorial ~F definido

como

~F (x, y, z) =

(x

(x2 + y2 + z2)4,

y

(x2 + y2 + z2)4,

z

(x2 + y2 + z2)4

).

(i) Es el campo vectorial ~F irrotacional?.

(ii) Calcule el trabajo efectuado del campo ~F sobre la curva C.

Solucion:

(i) Para el campo vectorial ~F el rotacional del campo ~F es

F = (yP zN,xP + zM,xN yM)

donde M(x, y, z) =x

(x2 + y2 + z2)4, N(x, y, z) =

y

(x2 + y2 + z2)4y P (x, y, z) =

z

(x2 + y2 + z2)4. Luego los

valores de cada componente son

yP zN = 8zy(x2 + y2 + z2)5

8zy(x2 + y2 + z2)5

= 0 2 PUNTOS

xP + zM = 8zx(x2 + y2 + z2)5

+8zx

(x2 + y2 + z2)5= 0 2 PUNTOS

xN yM = 8yx(x2 + y2 + z2)5

8yx(x2 + y2 + z2)5

= 0 2 PUNTOS

con lo cual se obtiene que F = ~0, as el campo vectorial es irrotacional. 5 PUNTOS(ii) Como el campo es irrotacional una solucion al problema es construir el potencial del campo, el cual es un

campo escalar f tal quef = ~F ,

luego es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales.

f

x=

x

(x2 + y2 + z2)4= f(x, y, z) = 1

6(x2 + y2 + z2)3+ (y, z)

derivando respecto a y e integrando se tiene

f

y=

y

(x2 + y2 + z2)4+ y =

y

(x2 + y2 + z2)4= (y, z) = (z),

es decir

f(x, y, z) = 16(x2 + y2 + z2)3

+ (z),

derivando respecto a z e integrando

f

z=

z

(x2 + y2 + z2)4+ (z) =

z

(x2 + y2 + z2)4= (z) = k, k R

luego para cada k R tenemos una funcion potencial, la cual es

f(x, y, z) = 16(x2 + y2 + z2)3

+ k, 8 PUNTOS

de esta formaC

~F d~r =C

f d~r = f(0, 4, 4pi) f(0,4, 2pi) = 16

(1

(16 + 4pi2)3 1

(16 + 16pi2)3

)6 PUNTOS

1

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2. Un alambre C se enrolla sobre el manto del cilindro x2 + y2 = 1 de forma tal que la altura z = z() satisfacela ecuacion diferencial z = z con condiciones iniciales z(0) = 1 y z(0) = 0, donde (r, , z) son las respectivascoordenadas cilndricas del punto.

(i) Calcule la longitud del alambre C si [0, 2pi].(ii) Obtenga la masa del alambre C si la densidad en cada punto es (x, y, z) = x2 + y2 + z2

Solucion:

(i) Primero es necesario obtener la parametrizacion de la curva C, para esto se resuelve la ecuacion diferencialz = z la cual tiene como solucion

z() = C1e + C2e

,

al imponer la condicion z(0) = 1 se obtiene que C1+C2 = 1. Y al imponer z(0) = 0 se obtiene que C1C2 = 0,

lo cual se traduce en que C1 = C2 =12 , as

z() = cosh , 5 PUNTOS

lo cual permite concluir que la parametrizacion de la curva C que describe al alambre es

x() = cos ,

y() = sin , [0, 2pi]z() = cosh , 8 PUNTOS

Con lo anterior la longitud del alambre es

longC =

C

ds 4 PUNTOS

=

2pi0

(x())2 + (y())2 + (z())2d

=

2pi0

sin2 + cos2 + sinh2 d

=

2pi0

1 + sinh2 d

=

2pi0

cosh d = sinh 2pi 2 PUNTOS

(ii) La masa del alambre viene determinada por

longC =

C

fds 4 PUNTOS

=

2pi0

f(cos , sin , cosh )

(x())2 + (y())2 + (z())2d

=

2pi0

(1 + cosh2 ) cosh d = sinh 2pi +

2pi0

(1 + sinh2 ) cosh d

= 2 sinh 2pi +sinh3 2pi

32 PUNTOS

2

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3. Hallar el trabajo del campo vectorial ~F (x, y, z) =

(y

(x 1)2 + y2 ,1 x

(x 1)2 + y2 , z x+ y)

sobre la curva C

interseccion de las superficies S1 y S2, definidas como

S1 : |x|+ |y| = a, S2 : z + x = 4a, si a > 1

Solucion: Aplicamos el Teorema de Stokes, luego obtenemos el rotacional del campo ~F , el cual es ~F = (1, 1, 0)3 PUNTOS , de esta forma

C

~F d~r C

~F d~r =

S

~F nd, 4 PUNTOS

donde C es la curva que encierra a la singularidad x = 1, y = 0 ubicada en el plano z + x = 4a, tal curva esta

descrita como (x 1)2 + y2 = 2 y z = 4a x 3 PUNTOS . Ademas S es la superficie parametrizada mediante(x, y) = (x, y, 4ax) con (x, y) D = {(x, y) R2/ |x|+ |y| 4a, (x 1)2 + y2 2}, la cual tiene como vectorunitario n =

(12, 0, 1

2

)3 PUNTOS .

C

~F d~r = 2pi

0

~F (1 + cos t, sin t, 4a 1 cos t) ( sin t, cos t, sin t)dt 5 PUNTOS

=

2pi0

(1

sin t,1

cos t, 4a 1 cos t 1 cos t+ sin t

) ( sin t, cos t, sin t)dt

=

2pi0

(1 + 2 sin2 t) dt = 2pi + pi2mientras que

S

~F nd =

S

(12, 0,

12

) (1, 1, 0)d 5 PUNTOS

=

D

dA = 2a2 pi2

de esta forma C

~F d~r = 2a2 2pi 2 PUNTOS

3

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4. Considere el solido definido como

={

(x, y, z) R3 / |y| 1 + z2, 0 7z y + 9, 1 x 1} ,donde el borde de es denotado por y corresponde a una superficie cerrada orientada respecto a la normalexterior, ademas se puede considerar compuesta por una superficie superior S1, una superficie inferior S2 y unasuperficie lateral S3.

(i) Para el campo vectorial ~F definido como

~F (x, y, z) = (2x y, x+ 4z 6, 1 + 2z).Determinar el flujo a traves de la superficie S3 orientada respecto a la normal exterior.

(ii) Sean C1 y C2 las correspondientes fronteras de las superficies S1 y S2 recorridas en sentido anti horario respectoa la normal exterior a . Encuentre R tal que

S3

( ( ~G)

) n d =

C1

~G d~r,

donde n es la normal unitaria exterior a sobre S3, ~G un campo vectorial de clase C2 sobre un abierto quecontiene a y si ademas se sabe que ~G es ortogonal a todo punto del vector tangente de la curva C2.

Solucion:

(i) Como es una superficie cerrada se puede aplicar el Teorema de Gauss al campo ~F , asiS

~F nd =

S1

~F n1d +

S2

~F n2d +

S3

~F n3d =

~FdV,

la divergencia de este campo es ~F = 4, asi

4dV =

11

10

1+z21z2

4dydzdx+

11

21

1+z27z9

4dydzdx = 36,

de esta forma solo resta calcular calcular los flujos respecto a las normal exterior en las superficies S1 y

S2. 4 PUNTOS

Flujo sobre la superficie superior S1: Esta superficie esta parametrizada mediante 1(x, y) =(x, y, 9+y7

)con

(x, y) D1 = {(x, y) R2/ 1 x 1, 2 y 5} y el vector normal exterior viene dado defido porn1 =

(0, 17 , 1

)con n1 = n1/||n1|| 4 PUNTOS

S1

~F n1d =

D1

(2x y, x 6 + 4(9 + y)

7, 1 +

2(9 + y)

7

)(

0,17, 1

)dA

=

11

52

(181 7x+ 10y

49

)dA = 56.

Flujo sobre la superficie inferior S2: Esta superficie esta parametrizada mediante 1(x, y) = (x, y, 0) con(x, y) D2 = {(x, y) R2/ 1 x 1, 1 y 1} y el vector normal exterior viene dado defido porn2 = (0, 0,1) con n2 = n2/||n2|| 4 PUNTOS

S2

~F n2d =

D2

(2x y, x 6, 1) (0, 0,1)dA = 4.

Luego el flujo sobre la superficie S3 esS3

~F n3d = 16 3 PUNTOS

(ii) Aplicaremos el Teorema de Gauss al campo ~F = ~G, asiS1

~F n1d +

S2

~F n2d +

S3

~F n3d =

( ~F )dV,

4

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se sabe que la divergencia del rotacional es cero si el campo es de clase C2, luegoS1

~F n1d +

S2

~F n2d +

S3

~F n3d = 0, 3 PUNTOS

aplicando el Teorema de Stokes se tiene queC1

~F d~r +C2

~F d~r +

S3

~F n3d = 0, 3 PUNTOS

como ~F = ~G es ortogonal a todo punto del vector tangente de la curva C2 se tiene queC2

~F d~r = 0,luego

C1

~F d~r +

S3

~F n3d = 0,

asi reemplazando ~F se tiene que = 1, luegoS3

( ~G

) n3d =

C1

( ~G

) d~r 4 PUNTOS

5