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appunti del corso diIstituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

Anno accademico 2001-2002

January 3, 2003

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Dipartimento di Fisica "Edoardo Amaldi"

via della Vasca Navale 84, I - 00146 Roma

Corso di Laurea in Fisica

Cari studenti,

questi sono gli appunti delle lezioni del corso di Istituzioni di Fisica Nucleare eSubnucleare tenute fino allanno accademico 2001-02, lultimo anno del vecchio or-dinamento del corso di Laurea in Fisica allUniversita Roma Tre.

A partire dal 2003 questo corso e stato sostituito da due corsi, uno nel terzo annodella Laurea Triennale: Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare, e laltro nel primoanno della Laurea Specialistica: Complementi di Fisica Nucleare e Subnucleare.Comunque gli argomenti trattati nei due corsi non sono sostanzialmente diversida quelli del corso precedente, e cambiato un po lordine di presentazione degliargomenti, e alcuni ora vengono trattati in altri corsi a scelta.

Gli appunti sono divisi in 1-Metodologie, 2-Fisica Nucleare, 3-Fisica Subnucle-are, e sono corredati da appendici, alcune sono richiami di argomenti gia trattati neicorsi della Laurea Triennale, altre sono approfondimenti di argomenti trattati neicorsi dellindirizzo di Fisica Subnucleare della Laurea Specialistica. Lintendimentoe quello di uniformare definizioni, simboli e formule a quelli usati in queste lezioni.

Questi appunti non possono sostituire un buon libro di testo perche gli argomentisono trattati in modo piuttosto schematico senza curare le connessioni logiche, lefigure non sono di buona qualita, mancano i riferimenti bibliografici, etc. . . , e so-prattutto perche non vogliono sostituire i libri di testo, ma unificare piu argomentiche sono trattati in testi diversi. Siete quindi caldamente invitati a studiare sui libri,e ce ne sono di ottimi. Buono studio.

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Alcuni testi consigliati

B.Povh, K.Rith, C.Scholtz, F.Zetsche: Particelle e Nuclei, Bollati-Boringhieri,1998, ISBM 88-339-5559-8, buon libro introduttivo, tradotto in italiano.

W.S.C.Williams, Nuclear and Particle Physics, Oxford Science Publications,1997, ISBN 0-19-852046-8, buon libro introduttivo, corredato da un testo consoluzioni di esercizi W.S.C.Williams, Solution Manual for Nuclear and Par-ticle Physics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-851763-7.

H.Fraunfelder and E.M.Henley: Subatomic Physics, 2nd edition, Prentice Hall,1991, ISBN 0-13-859430-9, buon libro introduttivo.

W.E.Burcham and M.Jobes: Nuclear and Particle Physics, Longam Scientificand Technical, 1995, ISBMN 0-582-45088-8, molto esauriente per la fisica delleparticelle, meno per la fisica nucleare.

K.S.Crane: Introductory Nuclear Physics, John Wiley & Sons, 1988, ISBN0-471-80553-X, ottimo testo di fisica nucleare, poco aggiornato per la fisicadelle particelle.

D.H.Perkins: Introduction to High Energy Physics, 4th edition, Addison-Wesley Publishing Company, ????, ISBN ????, ottimo e ben aggiornato per lafisica delle particelle.

R.N.Cahn and G.Goldhaber: The experimental Foundations of Particle Physics,Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-21-42425-9, ottimo testo di consul-tazione per la fisica delle particelle, riproduce alcune pubblicazioni originali

dalla scoperta del neutrone a quella dei bosoni vettori W e Z0.

E.Segre: Nuclei e Particelle, 2nd edition, Zanichelli, 1982, ISBN 88-08-05628-7,ottimo testo per la fisica nucleare, poco aggiornato per la fisica delle particelle,e un po vecchio ma e scritto da un premio Nobel.

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Contents

1 Metodologie della fisica nucleare e subnucleare 101.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Il protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Lelettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 La carica dellelettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4 Il fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5 Il modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.6 Lo spin dellelettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Sezione durto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1 La sezione durto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2 Sezione durto differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Sezione durto di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.4 Sezione durto di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3 Acceleratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1 Acceleratori a caduta di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2 Acceleratori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.3 Acceleratori circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.4 Oscillazioni di betatrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.5 Cavita a radiofrequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.6 Accelerazione in cavita risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.3.7 Trasporto dei fasci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.3.8 Emittanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.3.9 Oscillazioni di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.3.10 Anelli di collisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.3.11 Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.12 Sorgenti di radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . 61

1.4 Interazioni tra particelle e materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.4.1 Perdita di energia per ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 651.4.2 Fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione . . . . . 691.4.3 Percorso residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.4 Radiazione Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.5 Radiazione di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.4.6 Diffusione coulombiana multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.7 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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1.4.8 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.4.9 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.4.10 Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.4.11 Sciami elettrofotonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.5 Metodi di rivelazione delle particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.5.1 Rivelatori di tracce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.2 Scintillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.5.3 Rivelatori Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.5.4 Camere a ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche . . . . . . . . . . 92

1.6 Leggi di conservazione e simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.6.1 Statistica di un sistema di particelle . . . . . . . . . . . . . . . 971.6.2 Grandezze fisiche conservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.6.3 Trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.6.4 Leggi di conservazione additive . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.6.5 Leggi di conservazione moltiplicative . . . . . . . . . . . . . . 1031.6.6 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.6.7 Coniugazione di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.6.8 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.6.9 Momento di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.6.10 Il positronio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.6.11 Il teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.7 Processi elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.7.1 Emissione e assorbimento di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . 1111.7.2 Transizione di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.7.3 Transizione al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.7.4 Diffusione di fotoni da una carica elettrica . . . . . . . . . . . 1151.7.5 Diffusione di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.7.6 Fattore di forma elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.7.7 Diffusione di una carica da un dipolo magnetico . . . . . . . . 1201.7.8 Fattore di forma magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.7.9 Forma relativistica della sezione durto di Rutherford . . . . . 1221.7.10 Sezione durto di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231.7.11 Sezione durto di Rosenbluth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.8 Diffusione da potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.8.1 Diffusione da potenziale radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.8.2 Approssimazione di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.8.3 Sviluppo in onde parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301.8.4 Sezione durto elastica e di reazione . . . . . . . . . . . . . . . 1311.8.5 Diffusione da un disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.8.6 Sezione durto protone-protone . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.8.7 Diffusione elastica risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

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2 Fisica nucleare 1402.1 Proprieta de i nuc l e i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.1.1 Carica elettrica dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.1.2 Massa dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.1.3 Energia di legame dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.1.4 Raggio dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.1.5 Statistica e spin dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.1.6 Parita dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.1.7 La scoperta del neutrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.1.8 Proprieta elettromagnetiche dei nuclei . . . . . . . . . . . . . 1512.1.9 Interazione di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.1.10 Interazione di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 1572.1.11 Momento magnetico del nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.2 Modelli del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.2.1 Modello a gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2.2.2 Modello a goccia di liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.2.3 I nuclei speculari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.2.4 Il modello a strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672.2.5 Momenti magnetici dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.3 Proprieta delle forze nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.3.1 Lisospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.3.2 Il deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.3.3 Diffusione neutrone-protone a bassa energia . . . . . . . . . . 1792.3.4 Proprieta dellinterazione nucleone-nucleone . . . . . . . . . . 1812.3.5 Il modello di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2.4 Decadimenti dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.4.1 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.4.2 Larghezza di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.4.3 Decadimenti in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872.4.4 Produzione di nuclei radioattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.5 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.5.1 Radiazione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.5.2 Conversione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922.5.3 Spettroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

2.6 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.6.1 Soglia di instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.6.2 Teoria elementare del decadimento . . . . . . . . . . . . . . 1972.6.3 Dipendenza dal momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.7 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022.7.1 Lipotesi del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022.7.2 Teoria elementare del decadimento . . . . . . . . . . . . . . 2032.7.3 La vita media del decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.7.4 Lelemento di matrice del decadimento . . . . . . . . . . . . 2082.7.5 Decadimenti proibiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

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2.7.6 Non conservazione della parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.7.7 Linterazione V A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132.7.8 Lelicita dellelettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152.7.9 Lelicita del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

2.7.10 La scoperta del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172.8 Reazioni nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182.8.1 Sezione durto di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2192.8.2 Fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202.8.3 Fissione indotta da neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222.8.4 Fissione delluranio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2232.8.5 Reattore nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242.8.6 Fusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.8.7 Fusione nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.8.8 Nucleosintesi nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.8.9 Fusione in laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3 Fisica subnucleare 2333.1 Particelle e interazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3.1.1 Raggi cosmici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343.1.2 Raggi cosmici primari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353.1.3 Raggi cosmici secondari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363.1.4 I mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2383.1.5 Le particelle strane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.1.6 I mesoni K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443.1.7 Il mesone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2473.1.8 Simmetria dellisospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3.1.9 Gli antibarioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493.1.10 Risonanze adroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.1.11 Risonanze barioniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533.1.12 Risonanze mesoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.2 Modello statico a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573.2.1 Modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573.2.2 Mesoni e barioni nel modello a quark . . . . . . . . . . . . . . 2593.2.3 Momenti magnetici dei barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623.2.4 Colore dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

3.3 Interazioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

3.3.1 Decadimento del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2653.3.2 Il propagatore dellinterazione debole . . . . . . . . . . . . . . 2673.3.3 Decadimenti leptonici dei mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . 2673.3.4 La Parita non si conserva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.3.5 Decadimenti semileptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733.3.6 Langolo di Cabibbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2753.3.7 Decadimenti non leptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2763.3.8 Decadimenti dei mesoni K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . 277

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3.3.9 Il quarto quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813.3.10 Violazione della simmetria CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2843.3.11 Altri quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

3.4 Modello dinamico a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

3.4.1 Diffusione inelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903.4.2 Diffusione fortemente inelastica elettrone-nucleone . . . . . . . 2913.4.3 Modello a partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2933.4.4 Carica elettrica dei partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2973.4.5 Diffusione fortemente inelastica neutrino-nucleone . . . . . . . 2993.4.6 Densita di quark e antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

3.5 Interazioni fermione-antifermione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3043.5.1 Annichilazione e+e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3043.5.2 Annichilazione e+e adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3063.5.3 Annichilazione quark-antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

3.6 Interazione elettrodebole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

3.6.1 Isospin e ipercarica debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3103.6.2 Angolo di Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3123.6.3 Interazioni dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143.6.4 Scoperta dei bosoni W e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3163.6.5 Proprieta dei bosoni W e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

4 Appendici 3204.1 Radiazione del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3204.2 Richiami di relativita r i st r e t t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.2.1 Il principio di relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.2.2 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

4.2.3 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3254.2.4 Trasformazione della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3274.2.5 Il quadrivettore velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3274.2.6 Il quadrivettore quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . 3274.2.7 Il quadrivettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3284.2.8 Il quadrivettore forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.2.9 Il tensore elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4.3 Lesperimento di Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3324.4 Cinematica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

4.4.1 Trasformazioni delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

4.4.2 Energia di soglia di una reazione . . . . . . . . . . . . . . . . 3354.4.3 Urto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3364.4.4 Energia trasferita in una collisione . . . . . . . . . . . . . . . . 3374.4.5 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

4.5 Richiami di elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.5.1 Energia irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.5.2 Il potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

4.6 Sviluppo in multipoli del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . 344

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4.6.1 Potenziale di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3444.6.2 Potenziale di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3454.6.3 Potenziale di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 3464.6.4 Sviluppo in autofunzioni del momento angolare . . . . . . . . 347

4.6.5 Momenti di multipolo del campo . . . . . . . . . . . . . . . . 3484.7 Equazione di Schrodinger in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . 3494.7.1 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3494.7.2 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504.7.3 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.7.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.7.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534.7.6 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

4.8 Il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564.8.1 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564.8.2 Autovalori del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . 358

4.8.3 Rappresentazione dei generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 3604.8.4 Somma dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.8.5 I coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 3624.8.6 Matrici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3644.8.7 Le armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

4.9 Equazione di Schrodinger in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . 3684.9.1 Potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3684.9.2 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3704.9.3 Sviluppo di unonda piana in autofunzioni sferiche . . . . . . . 3714.9.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3724.9.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3734.9.6 Potenziale armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3744.9.7 Potenziale coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

4.10 Simmetrie unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3794.10.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.10.2 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824.10.3 Stati coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

4.11 Linterazione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3844.11.1 Hamiltoniana di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3844.11.2 Quantizzazione del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

4.12 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

4.13 Probabilita di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3884.14 Densita dello spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3904.15 Il modello atomico di Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3934.16 Equazioni quantistiche relativistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

4.16.1 Equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3964.16.2 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3974.16.3 Soluzioni di particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3994.16.4 Limite non relativistico dellequazione di Dirac . . . . . . . . . 402

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4.16.5 Matrici gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034.16.6 Trasformazioni degli autostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4054.16.7 Autostati di elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.16.8 Soluzioni per massa nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

4.17 Teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4104.17.1 Il propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4104.17.2 I grafici di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.18 Calcolo di alcuni processi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4154.18.1 Spazio delle fasi invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4154.18.2 Processi a b c d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.19 Premi Nobel citati nel testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4284.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.21 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

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Chapter 1

Metodologie della fisica nucleare esubnucleare

1.1 IntroduzioneLa fisica e lo studio dei fenomeni della natura e della loro interpretazione in basea leggi il piu semplici e generali possibile. Per questo si cerca di interpretare ifenomeni macroscopici come una composizione e successione di interazioni a livellomicroscopico tra costituenti elementari.

Ad esempio, la legge delle proporzioni chimichedi Dalton stabil, allinizio dell800,che le reazioni chimiche avvengono rispettando semplici leggi di combinazione: dueproporzioni di idrogeno combinate con una di ossigeno ne formano due di acqua,2 H2 + O2 2 H2O, che interpretato come fenomeno microscopico implica che

le quantita in gioco dei singoli elementi sono proporzionali ad alcune quantita ele-mentari, cioe che la massa di una mole e proporzionale alla masse di una molecola,ovvero

M(grammo molecola) = N M(molecola)Un esempio tratto da fenomeni di conduzione elettrica e la legge di Faraday,

della meta dell800, per cui in elettrolisi la formazione su un elettrodo di una moledi un elemento monovalente corrisponde ad una quantita fissa, F = 96500 C, dicarica elettrica. Combinando questa osservazione con la precedente abbiamo per lacostante di Faraday

F = 96500 C/mole = N e

dove e e la carica elettrica elementare.Un altro esempio e la legge di Boyle. Per una mole di un gas ideale pV = RT.

Sulla base degli studi di termodinamica statistica di Maxwell, Boltzmann e Planckdella seconda meta dell800, sappiamo che la costante dei gas ideali R e

R = N k

dove k e la costante di Boltzmann.

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La costante N che interviene in questi tre esempi di leggi della chimica, elettricitae meccanica statitistica e il Numero di Avogadro il cui valore venne determinatosperimentalmente con precisione solo nel 900 studiando molti diversi fenomeni

N

= 6.02 1023 mole1

e possiamo definire la carica elettrica elementare

e = F/N = 1.60 1019 C

1.1.1 Il protone

Per il sistema atomico piu semplice, lidrogeno, una mole ha la massa di 1 grammo.La massa dellatomo di idrogeno e quindi mH = 1 grammo/N

mH = 1.66 1027 kg

In queste lezioni useremo come unita di misura il sistema MKSA che e quello ufficialedellUnione Europea. Per i sistemi microscopici e pero piu conveniente usare comeunita di misura di energia lelettronVolt, eV = 1.60 1019 J. Sfruttando lequivalenzatra energia e massa espressa dalla relazione di Einstein, E = mc2, useremo comeunita di massa eV/c2 (o i suoi multipli), dove c e la velocita della luce del vuoto

c = 3.00 108 m s1

In queste unita la massa dellatomo di idrogeno e

mHc2 = 1.66 1027 kg 9 1016 m2s2 = 1.5 1010 J = 1.5 1010

J1.6 1019

= 0.94 109 eV

Poiche, come vedremo, latomo di idrogeno e uno stato legato protone-elettrone ela massa dellelettrone e molto minore di quella del protone e lenergia di legame etrascurabile, questa e con buona approssimazione la massa del protone

mp = 938 MeV/c2

Il protone e il primo (dal greco o) costituente elementare. E caratterizzato dacarica elettrica +e e massa mp.

1.1.2 Lelettrone

Alla fine dell800 lo studio di molti fenomeni ha indicato che le sostanze contengonoparticelle con carica elettrica negativa e che queste possono essere emesse come con-seguenza di diverse sollecitazioni elettriche o termiche o per esposizione a radiazioneelettromagnetica. Le osservazioni erano fatte con gas molto rarefatti ed erano resepossibili dal perfezionamento delle tecniche di vuoto.

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Nei suoi studi sulla formazione e propagazione di onde elettromagnetiche, Hertzosservo che le scariche elettriche inducevano il passaggio di corrente in un circuitoaperto. Crookes osservo che in un tubo contente un gas molto rarefatto dove sistabilisce una differenza di potenziale tra due elettrodi, si forma nei pressi del catodo

una scarica a bagliore che si propaga verso lanodo e che ha intensit a che dipendedalla differenza di potenziale e dalla pressione del gas.In entrambe i casi si osservo che il fenomeno non dipendeva ne dal tipo di gas

ne dal materiale degli elettrodi. Inoltre il passaggio di corrente veniva fortementeinfluenzato dalla presenza di diaframmi nel tubo a vuoto o da campi magnetici. Benpresto si chiar che questo fenomeno, chiamato emissione di raggi catodici, era dovutoallemissione di cariche negative dal catodo e che queste non erano ioni negativi delcatodo.

Nel 1897 Thomson chiar la natura di queste particelle e ne misuro il rapportotra carica elettrica e massa. Il metodo sperimentale di Thomson e illustrato nellaFig.1.1. In un tubo a raggi catodici, per effetto di un forte campo elettrico, le

particelle negative vengono emesse dal catodo C e accelerate verso lanodo A in cuivi e un foro. Le particelle che attraversano il foro si muovono di moto rettilineouniforme e il loro passaggio viene segnalato dalla fluorescenza prodotta sulla parteterminale del tubo. Questo permette di conoscere la traiettoria tra il foro e loschermo. Lungo il percorso le particelle attraversano una regione in cui si puostabilire un campo elettrico uniforme normale alla direzione di propagazione e uncampo magnetico normale sia a questa che al campo elettrico. Chiamiamo x ladirezione di propagazione, y la direzione del campo elettrico, z quella del campomagnetico e la lunghezza della zona in cui e presente il campo elettrico.

C

A E

S

T

x

y

z

l

Figure 1.1: Esperimento di Thomson

In assenza di campo elettrico e magnetico le particelle vanno di moto rettilineocon velocita vx costante ma non nota perche vengono emessi dal catodo convelocita variabile

vx =

t

Le particelle cariche arrivano nel punto S dello schermo.

In presenza di campo elettrico, Ey, le particelle di carica e acquistano unacomponente della velocita vy = (eEy/m)t, e quindi lo spostamento dalla

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traiettoria lineare e

y =eEy2m

(t)2 =eEy2m

2

v2x

Le particelle cariche arrivano nel punto T dello schermo.

Per valutare la velocita vx Thomson applico un campo magnetico Bz in modoche la forza risultante, F = e( E + v B), fosse nulla e le particelle carichearrivassero nel punto S dello schermo

Fy = e(Ey vx Bz) = 0 vx = EyBz

Il valore del rapporto tra la carica e la massa dellelettrone si ottiene quindidalla misura dello spostamento y relativo ai due punti S e T sullo schermo

y =1

2

e

m

2 B2z

Ey

Thomson verifico che il valore e/m non dipende dal gas nel tubo a raggi catodici,ne dal materiale del catodo. Quindi stabil che questa e una particella elementaredi carica negativa contenuta nelle varie sostanze che venne chiamata elettrone (dalnome greco dellambra, o) come quantita elementare di carica negativa.

Il valore di e/m misurato da Thomson

e

m= 1.76 1011 C kg1

era straordinariamente simile ad unaltra quantita misurata pochi mesi prima da Zee-

man studiando gli spettri di emissione degli atomi in presenza di campo magnetico.Zeeman aveva ossevato che, quando si acccendeva un intenso campo magnetico, lerighe di emissione venivano suddivise in piu righe e che la separazione in frequenzaera proporzionale allintensita del campo.

Facciamo lipotesi che le sostanze contengano elettroni. Quando queste sonosottoposte ad una sollecitazione termica, o a una scarica elettrica, gli elettroni sonosollecitati ad oscillare attorno alla posizione di equilibrio. Al primo ordine dellosviluppo del potenziale che lega gli elettroni, questa sara unoscillazione armonicacon frequenza propria . Il sistema si comporta come un dipolo oscillante ed emetteradiazione con la stessa frequenza. Possiamo rappresentare il moto oscillatorio comela sovrapposizione di due moti circolari con frequenza angolare +

e

. In

presenza di campo magnetico, alla forza di richiamo kr si sovrappone la forza diLorentz ev B. Lequazione del moto nel piano x y normale alla direzione di B e

m x = kx + eB y m y = ky eB xche, per un moto oscillatorio, ha soluzione

2 + 2 2 = 0 2 =k

m =

eB

2m

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e, per , =

Quindi loscillatore emette su due frequenze + e e la differenza =eB/m e proporzionale al rapporto e/m.

Poiche il rapporto e/m misurato nellesperimento di Thomson e nelleffetto Zee-man e molto maggiore del rapporto tra carica elettrica e massa depositata suglielettrodi nel caso di elettrolisi di sostanze elettricamente neutre, si conclude che lamassa dellelettrone e molto minore di quella degli atomi

e

me e

ma me ma

1.1.3 La carica dellelettrone

La prima misura sufficientemente precisa della carica elementare fu fatta nel 1909 daMillikan raffinando un metodo utilizzato da Thomson per studiare il comportamento

di gocce elettricamente cariche formate nel vapore di acqua. Millikan osservava colmicroscopio il moto di gocce di olio che si caricavano elettricamente per attrito conlaria (Fig.1.2).

g

E

q

Figure 1.2: Esperimento di Millikan

In assenza di campo elettrico le gocce si muovono di moto uniforme per effettodella gravita. Assumendo che siano sferette di raggio r e densita e che siail coefficiente di viscosita, il moto avviene con velocita costante v0

F =4r3

3 g 6 r v0 = 0

Misurando la velocita di caduta si ottiene il raggio r

r = 3 1/2

v02g

1/2

Se durante la caduta si accende un campo elettrico diretto lungo la verticale,la velocita di caduta di una goccia con carica elettrica q cambia

F =4r3

3 g 6 r v1 qE = 0

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Da queste relazioni si ottiene

qE = 6 r (v1 v0) = 18 3/2

v02g

1/2(v1 v0)

Millikan osservo che tutte le cariche misurate erano multipli interi di una caricaelementare e e ottenne per e un valore entro l1% uguale a quello noto oggi.

Dalle misure di Thomson e di Millikan conosciamo quindi la massa dellelettrone

me = 0.511 MeV/c2 me

mp=

1

1836

1.1.4 Il fotone

Alla fine dell800 linterpretazione di due fenomeni, lemissione di radiazione delcorpo nero e leffetto fotoelettrico, richiesero una profonda revisione delle leggidellelettromagnetismo e della meccanica.

Spettro del corpo nero

Lo spettro di emissione del corpo nero e trattato nellappendice ???. Consideriamouna cavita mantenuta a temperatura T in cui e praticato un piccolo foro, per questosistema si ha:

lenergia irraggiata per unita di superficie e per unita di frequenza, il potereemissivo specifico, e proporzionale alla densita di energia per unita di frequenzanella cavita

e(, T) = c4

u(, T)

la radiazione allinterno e in equilibrio con le pareti della cavita; la densita di energia per unita di frequenza e espressa dalla legge di Wien

u(, T) = 3 F(/T)

dove F(/T) e una funzione universale che dipende solo dal rapporto tra fre-quenza e temperatura.

La forma della funzione u(, T) e stata derivata sulla base della meccanica statisticaclassica con le ipotesi seguenti

nella cavita, allequilibrio termico, le onde elettromagnetiche stazionarie hannovettore donda kii = 2n con n intero (i = 1, 2, 3; i sono le dimensioni della

cavita; |k| = 2/c); per ciascuna proiezione il numero di modi di vibrazione per unita di frequenza

e dni = (i/c) d

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tenendo conto che ci sono due stati di polarizzazione della radiazione, il numerodi modi di vibrazione per unita di volume e

dn = 242

c3d

per il principio di equipartizione dellenergia ciascun modo di vibrazione con-tribuisce con due gradi di liberta e quindi con un valore medio di energiaE = kT

Ne deriva che la densita di energia specifica e

u(, T) =82

c3kT

Questa forma della densita di energia specifica del corpo nero, nota come formula

di Rayleigh-Jeans, non rappresenta i risultati sperimentali a frequenze elevate ediverge ad alta frequenza: la densita di energia, U(T) =

u(, T)d, e infinita.Questo effetto e stato chiamato catastrofe ultravioletta.

Nel tentativo di impostare una forma della densita di energia specifica del corponero che riproducesse i risultati sperimentali e seguisse le leggi della termodinam-ica, Planck fu guidato dalle osservazioni di Hertz sulla emissione e assorbimento diradiazione elettromagnetica da parte di dipoli oscillanti. Le ipotesi di Planck sono

le pareti della cavita in equilibrio termico con la radiazione sono rappresentatecome un insieme di oscillatori armonici lineari con frequenze pari a quelle dellaradiazione elettromagnetica;

in funzione delle variabili coniugate p e x lenergia meccanica di ciascun ocil-latore di massa m e

E =p2

2m+

m2x2

2

secondo le leggi della meccanica statistica il numero di oscillatori nellintervallodpdx in equilibrio a temperatura T e

d2n = C eE/kT dp dx C = costante

se gli oscillatori sono indipendenti, di modo che si conserva lenergia di cias-

cuno, la relazione E = costante definisce un ellisse nel piano p x di area

A =

dp dx = pmax xmax = (2mE)1/2 (2E/m2)1/2 =

E

se si suddivide il piano p x in anelli concentrici della stessa area h (Fig.1.3),il jesimo anello contiene Nj = D ejh /kT oscillatori di energia Ej = jh,(j = 0, 1, 2, . . ., D = costante);

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x

p

h

Figure 1.3: Quantizzazione delloscillatore armonico

lenergia media per oscillatore, E = j Ej Nj/j Nj, e uguale allenergiamedia per modo di vibrazione della radiazione in equilibrio termico nellacavita.

Ponendo z = h/kT si ha

0

jh ejz = h ez (1 + 2z+ 3z2 + . . .) = h ez (1 ez)2

0

ejz = (1 + ez + e2z + . . .) = (1 ez)1

E = h eh/kT

1 eh/kT =h

eh/kT 1La formula di Planck per la densita di energia specifica e

u(, T) =8

c3h3

eh/kT

1

La forma della funzione soddisfa la legge di Wien. Inoltre la formula ottenuta daPlanck riproduceva bene i dati sperimentali: dal confronto con questi ottenne ilvalore della costante di Planck, h = 6.55 1034 J s, che e in buon accordo con ilvalore noto oggi

h = 6.626076 0.000004 1034 J sNel limite in cui la costante di Planck e piccola, h 0, si ottiene la formula classicadi Rayleigh-Jeans

limh0

h

eh/kT 1 =h

1 + h/kT + . . . 1 = kT

Il risultato presentato da Planck nel 1900 era assolutamente sorprendente: glioscillatori armonici in equilibrio termico con la radiazione elettromagnetica scam-biano energia solo sotto forma di multipli interi di un quanto di energia pari a h.Ne risulta che lenergia di un oscillatore armonico lineare non puo variare in modocontinuo, ma puo solo avere valori quantizzati multipli della frequenza propria moltiplicata per la costante di Planck. Le variazioni discrete di energia tra due staticorrispondono allemissione o allassorbimento di quanti di radiazione elettromag-netica di energia h che sono chiamati fotoni.

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Effetto fotoelettrico

Lemissione di cariche elettriche negative da materiali esposti a radiazione ultravio-letta fu osservata da Hertz nel 1887. Ulteriori misure chiarirono che in un sistemacostituito da due elettrodi con differenza di potenziale V

lesposizione alla luce di un elettrodo induce il passaggio di corrente; questo avviene solo per una polarita, quando lelettrodo esposto ha carica

negativa;

le cariche raccolte allanodo non sono ioni negativi del catodo.A seguito della scoperta dellelettrone ci si convinse che il passaggio di corrente eradovuto allestrazione di elettroni provocata dallinterazione della luce sul catodo.

Una serie di misure piu raffinate fu eseguita da Lenard nel 1900 utilizzandoun tubo a raggi catodici. Lelettrodo C e esposto a radiazione elettromagnetica

e le cariche emesse possono essere accelerate dal potenziale variabile V tra C elelettrodo A. Nella zona a valle di A sono opportunamente posizionati alcuni elet-trodi raccoglitori di carica, R, e in questa zona si puo produrre un campo magneticoB normale alla linea di volo e quindi si puo misurare limpulso delle particelle. Conquesto strumento (Fig.1.4) Lenard misuro il rapporto tra carica elettrica e massa deiportatori di carica negativa e lo trovo in accordo con il valore misurato da Thomson:sono elettroni. Inoltre osservo che

C

A

R

R

h

magnet -2-4-6-8 +20 +4

i

V

Figure 1.4: Esperimento di Lenard sulleffetto fotoelettrico

si ha passaggio di corrente solo per tensioni V minori di 1 2 V;

per intensita di luce costante, la corrente aumenta da questo valore fino a

V 0 V e si mantiene costante per valori negativi; lintensita di corrente dipende dallintensita della luce, ma non dipende dalla

frequenza;

lenergia cinetica degli elettroni emessi dal catodo non dipende dalla intensitadella luce, ma solo dalla frequenza;

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la relazione tra energia cinetica e frequenza e

Ec = h( o)

Questi risultati vennero raffinati da misure piu precise effettuate alcuni anni dopoda Richardson e Compton, e da Millikan. Ma gia nel 1905 Einstein diede una spie-gazione semplice delleffetto fotoelettrico basata sui quanti di radiazione di Planckconsiderando il fotone non come un modo di vibrazione del campo elettromagnetico,ma come una particella

la radiazione elettromagnetica di frequenza e formata da fotoni di energiaE = h;

nellinterazione i fotoni cedono tutta lenergia agli elettroni legati nei materiali;

parte dellenergia, eVo, e spesa per il lavoro di estrazione degli elettroni dal

materiale;

il resto e ceduta come energia cinetica agli elettroni liberi; la conservazione dellenergia e h = eVo + Ec.

Pochi anni dopo Millikan misuro il coefficiente h della legge delleffetto fotoelettrico,h = 6.56 1034 J s, in ottimo accordo con la determinazione fatta da Planck.

1.1.5 Il modello atomico di Bohr

I materiali a temperatura T irraggiano energia termica con uno spettro continuo.Invece si e osservato che la maggior parte degli elementi sotto forma di gas una voltaeccitati emettono radiazione sotto forma di righe discrete. Inoltre, a partire dallascoperta di Balmer del 1885 sulla regolarita delle righe di emissione dellidrogeno, sie accumulata una enorme quantita di informazioni che dimostrano che le frequenzedelle righe spettrali degli elementi implicano lesistenza di una struttura semplice.

Queste evidenze intrigarono a lungo i fisici e un passo importante fu fatto nel 1911da Rutherford che dimostro sperimentalmente che un sistema atomico e costituitoda uno stato legato di un nucleo di carica positiva circondato da una distribuzionedi carica negativa, gli elettroni, e che inoltre le dimensioni spaziali del nucleo sonomolto piu piccole dellestensione della distribuzione di carica negativa, cioe che il

campo elettrico del nucleo si puo trattare con buona approssimazione come il campocoulombiano generato da una carica puntiforme.

Sulla base di questa evidenza e nellintento di spiegare le regolarita degli spettridegli elementi, Bohr nel 1913 propose un modello atomico che introdusse profondeinnovazioni nel modo di interpretare la struttura atomica. Trattiamo in modo sem-plificato il modello dellatomo di idrogeno per introdurre alcune quantita e grandezzefisiche importanti per il seguito. Le ipotesi di base sono

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latomo di idrogeno e costituito da un protone e un elettrone puntiformi legatidal potenziale coulombiano;

la massa del protone e molto maggiore di quella dellelettrone per cui il bari-centro del sistema e essenzialmente il protone;

latomo e in uno stato stazionario, cioe, contrariamente a quanto avverrebbeper un sistema planetario in meccanica classica, le cariche in moto acceleratonon irraggiano energia;

quindi lenergia meccanica e conservata.Consideriamo la massa ridotta del sistema m = (me mp)/(me + mp) me. Latraiettoria dellelettrone (la particella leggera) e un ellisse. Semplifichiamo il prob-lema considerando una circonferenza di raggio r percorsa con velocita angolare costante. La forza coulombiana e il prodotto massa accelerazione centripeta

e2

4o r2= m 2 r

La conservazione di energia e momento angolare ammette un continuo di soluzioni

E =1

2m 2 r2 e

2

4o r= 1

2

e2

4o r= costante

L = m r2 = costante

Per ottenere soluzioni discrete, seguendo la via di Planck di quantizzazione del mo-mento lineare delloscillatore armonico, Bohr introdusse la quantizzazione del mo-mento angolare

L d = n h L = n h/2 = n h

(n = 1, 2, . . .) da cui si ottengono i valori dellenergia e del raggio degli stati stazionari

En = m (e2/4o)

2

2 n2 h2rn =

n2 h2

m e2/4o

Gli spettri di righe osservati corrispondono alle transizioni tra stati stazionari conemissione (o assorbimento) di radiazione di frequenza hmn = Em

En. Introdu-

ciamo due quantita costanti che ci saranno utili nel seguito (o = 8.85 1012 F/m,hc = 1.97 107 eV m)

costante di struttura fine =e2

4o hc=

1

137

raggio classico dellelettrone re =e2

4o mec2= 2.82 1015 m

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La costante di struttura fine e il parametro adimensionale che compare nellosviluppo in serie quando si risolvono i problemi di elettromagnetismo con ilmetodo delle perturbazioni. Quindi 1 garantisce che i calcoli approssimatisono di solito piuttosto precisi.

Il raggio classico dellelettrone e quello di una sfera carica che ha energiaelettrostatica pari alla massa dellelettrone, mec

2. In effetti sappiamo chequesto non e il raggio dellelettrone perche nessun esperimento ha rivelato chelelettrone abbia dimensioni finite ad un livello di sensibilita molto piu piccolodi re.

Usando queste grandezze

En = 12n2

2 mc2 rn = n2 re

2

Dalla prima relazione si osserva che la velocita dellelettrone e v = c/n c: questogiustifica luso della meccanica non relativistica.Per latomo di idrogeno nello stato fondamentale, quello col minimo valore del

momento angolare (n = 1 nel modello di Bohr), si ha

raggio atomico di Bohr a = 0.53 1010 m

energia di Rydberg R = 13.6 eV

in ottimo accordo con il valore sperimentale dellenergia di ionizzazione.Latomo di idrogeno ha un momento magnetico prodotto dal moto dellelettrone

attorno al baricentro. Consideriamo lorbita come una spira di raggio r percorsa

dalla corrente i = e/T = e/2. Il momento magnetico e pari al prodotto dellacorrente per la superficie della spira (legge di Ampere) e ha direzione opposta (e < 0)

al momento angolare L

= r2e

2=

eL

2m

Nello stato fondamentale in cui L = h il momento magnetico e pari ad un

magnetone di Bohr B =eh

2m= 5.8 105 eV/T

1.1.6 Lo spin dellelettroneGli stati stazionari dellatomo di idrogeno si ottengono risolvendo lequazione diSchrodinger del moto dellelettrone nel campo coulombiano del protone. Le soluzionisono ricavate nellappendice ???. Le autofunzioni sono fattorizzate in una funzioneradiale Rnl(r) e una angolare Ylm(, ). Gli autostati dipendono da tre numeri quan-tici interi, |n,l,m: n e il numero quantico principale (n = 1, 2, . . .); l e lautovaloredel momento angolare orbitale L in unita h (l = 0, . . . , n 1); m e lautovalore dellasua proiezione lungo un asse. Questa puo avere 2l +1 valori, m = l, l + 1, . . . , +l.

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Le regole di quantizzazione del momento angolare sono trattate nellappendice???. In generale loperatore momento angolare J e caratterizzato dallavere auto-valori hj con 2j + 1 = intero positivo, quindi j puo essere un numero intero osemi-intero. Nel caso del momento angolare orbitale L gli autovalori sono interi.

Gli atomi emettono (o assorbono) radiazione elettromagnetica di frequenza ijpassando da uno stato |ni, li, mi ad un altro |nj , lj, mjhij = |Ei Ej|

Poiche gli autostati di energia sono discreti, gli spettri atomici sono costituiti darighe. Lintensita delle righe dipende dalla probabilita di transizione tra i due stati.Nel caso di sistemi atomici in generale sono piu probabili le transizioni di dipoloelettrico in cui lintensita e approssimativamente proporzionale alla quarta potenzadella frequenza (appendice ???). In queste transizioni cambia la parita dello statoche e caratterizzata dallautovalore, pari o dispari, del momento angolare orbitale equindi l cambia di una unita, l =

1.

Lintensita diminuisce passando dallultravioletto al visibile allinfrarosso. Leserie di righe osservate nellemissione degli elementi alcalini sono state chiamateSharp, Principal, Diffuse, Fundamental, caratterizzate da frequenze (e intensita) viavia piu piccole. In spettroscopia si usa una notazione di origine storica che associalo stato di momento angolare alle iniziali delle serie di righe

l = 0 1 2 3 4 5 . . .S P D F G H . . .

Ad esempio la serie Principal e costituita da transizioni P S e la serie Diffuseda D

P. Studiando le righe di emissione si e pero osservato che queste non sono

righe singole ma hanno una struttura fine, nel primo caso sono righe doppie e nelsecondo caso sono righe triple. Questo fenomeno si spiega assumendo che gli staticon l = 0 siano sdoppiati.

La chiave per interpretare questo fenomeno e stata fornita da Goudsmit e Uh-lenbeck nel 1925 con una proposta bizzarra:

se lelettrone non fosse puntiforme si comporterebbe come una trottola (spin)con un momento angolare intrinseco S;

questo avrebbe autovalore sh e 2s + 1 possibili proiezioni;

per s = 1/2 lelettrone potrebbe stare in due stati con proiezioni s = 1/2.Nonostante partissero dal presupposto errato che lelettrone non sia puntiforme,queste ipotesi si rivelarono corrette e in grado di spiegare la struttura fine e unaserie di altri fenomeni osservati.

Assumiamo quindi che lelettrone abbia un momento angolare di spin S = h/2 eun momento magnetico associato

= ge

2mS

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dove g e chiamato fattore giromagnetico. Lo stato del sistema e ora caratterizzatodal momento angolare totale J = L + S che ha autovalori j = l 1/2 e molteplicita2j + 1. Nella notazione spettroscopica questi stati sono rappresentati dal simboloXj dove X = S ,P,D,F,. . . indica il momento angolare orbitale. Ad esempio, uno

stato con l = 0 ha solo j = 1/2 (S1/2), uno stato con l = 1 si divide in due staticon j = 1/2 (P1/2) e j = 3/2 (P3/2), uno stato con l = 2 si divide in due stati conj = 3/2 (D3/2) e j = 5/2 (D5/2).

Gli stati con valori di j diversi hanno energie diverse. Questo e dovuto allenergiadi interazione, E = B, tra il momento magnetico di spin dellelettrone e ilcampo magnetico prodotto dal moto orbitale. Il moto relativo tra elettrone e nucleoe rappresentato dal momento angolare L cui e associata una corrente i = e/2 =eL/2mr2

B =oi

2rn =

o4

eL

mr3=

e

4o

L

mc2r3

Lenergia di interazione e

Els = B = g2

e2

4o

L Sm2c2r3

=g

2

(hc)3

(mc2)2

l sr3

In questa formula compare un fattore 12

dovuto al moto di precessione dello spinlungo lorbita (precessione di Thomas).

linterazione responsabile della struttura fine dipende dal prodotto scalare l sed e chiamata interazione spin-orbita;

dipende da = e2/4ohc, chiamata per questo costante di struttura fine.

Le transizioni P S sono divise in due righe P3/2 S1/2, P1/2 S1/2, e letransizioni D P sono divise in tre righe D5/2 P3/2, D3/2 P3/2, D3/2 P1/2(D5/2 P1/2 non avviene perche nelle transizioni di dipolo non puo essere j 2).Dal confronto tra i valori calcolati per Els e i valori sperimentali si ottiene il fattoregiromagnetico dellelettrone: g = 2. Quindi lelettrone ha un momento magneticopari a un magnetone di Bohr.

Lo spin dellelettrone ha un ruolo fondamentale nella struttura degli atomi ede necessario per spiegare la tavola periodica degli elementi. E stato introdotto conunipotesi ad hoc per spiegare i fenomeni osservati, ma la sua origine non trova sp-iegazione nellambito della meccanica quantistica non relativistica. Inoltre il valore

g = 2 per il fattore giromagnetico dellelettrone viene dedotto a posteriori per ripro-durre i dati sperimentali. Pochi anni dopo lintroduzione dello spin dellelettrone, nel1928 Dirac sviluppo una teoria quantistica relativistica (appendice ???) che prevedelesistenza dello spin dellelettrone e il valore corretto per il suo momento magnetico.

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1.2 Sezione durto

1.2.1 La sezione durto

Consideriamo un esperimento in cui un fascio di Ni particelle incide su un bersaglio

costituito da Nb particelle e sia v la velocita relativa tra le particelle del fascio e delbersaglio. Il flusso di particelle incidenti, il numero di particelle che attraversanolunita di superficie nellunita di tempo, e

=Ni

S t=

Ni x

S x t=

Ni v

V= ni v

Il numero di particelle bersaglio per unita di superficie investite dal fascio e

NbS

=Nb x

V= nb x

ni e nb sono il numero di particelle del fascio e del bersaglio per unita di volume.Il flusso incidente viene attenuato dallinterazione col bersaglio e lattenuazione eproporzionale alla densita di particelle, nb, e allo spessore del bersaglio, x,

= nb x

di modo che la frazione di flusso rimosso dal fascio per linterazione con il bersaglioe pari al numero di particelle bersaglio contenute in un volume x (Fig.1.5)

= nb x

e la sezione durto del processo di diffusione che si sta analizzando e ha le di-

xN i N b

v

d

x

x

Figure 1.5: Sezione durto

mensioni di una superficie [cm2]. Nellattraversare il bersaglio il flusso incidente eattenuato secondo la legge

(x) = oenbx

Per un processo di sezione durto e un bersaglio di densita nb, si definiscono

coefficiente di assorbimento = nb [cm1]

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lunghezza di attenuazione =1

=

1

nb[cm]

Il numero di atomi (o nuclei) per unita di volume in un materiale di peso atomicoA e densita e

atomivolume

= atomigrammo atomo

grammi atomogrammo

grammivolume

= No

A[cm3]

1.2.2 Sezione durto differenziale

Parte del flusso delle particelle incidenti viene diffuso dalle particelle bersaglio. Sup-poniamo che vengano rivelate le particelle diffuse in un andolo solido d definitodagli angoli polare e azimutale , d = d cos d. Il numero di particelle che sonodiffuse nellunita di tempo nellangolo solido d e proporzionale al flusso, al numerodi particelle bersaglio e allelemento di superficie efficace d

dNf = Nf d = Nb d

La sezione durto differenziale

d

d=

NfNb

[cm2 sterad1]

e misurata dal rapporto tra il numero di particelle diffuse nellunita di tempo nellostato finale f e la luminosita

L = Nb [cm2 s1]

La sezione durto del processo che fa passare dallo stato iniziale i allo stato finalef si puo calcolare dalla probabilita di transizione nellunita di tempo Pif per ogniparticella bersaglio (Nb = 1)

d

d=

NfNi

V

v= Pif

V

v

Lo stato finale f puo essere in generale caratterizzato da diverse variabili dellaparticella diffusa. Se, ad esempio, p e limpulso della particella nello stato finale,la sezione durto si ottiene integrando la

sezione durto differenzialed

dp[cm2 (eV/c)3]

nellintervallo delle variabili nello sato finale

=

f

d

dpdp

esplicitando dp in opportune coordinate

dp dpx dpy dpz p2 dp d cos d pT dpT dpL d

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Sezione durto invariante

Il sistema di riferimento naturale e il sistema del centro di massa delle particelleche interagiscono che, di solito, non coincide con il sistema di riferimento in cui sieffettua la misura. Poiche le caratteristiche di un processo non devono dipendere

dal particolare sistema di riferimento in cui si effettua la misura (la sezione durto e definita come una superficie normale alla direzione del moto e quindi invariante),e opportuno conoscere le leggi di trasformazione delle variabili dal sistema del lab-oratorio al sistema del centro di massa e esprimere la sezione durto differenziale infunzione di variabili invarianti.

Le componenti dellimpulso si trasformano (c = 1)

pL = pL E pT = pT E = pL + E

quindi dp non e invariante (d, dpT, d sono invarianti, mentre dpL non e invariante).

Daltra parte il rapporto dpL/E e invariante E = [p2T + p2L + m2]1/2dpL = dpL dE= dpL

pLE

dpL =E pL

EdpL =

E

EdpL

e quindi la

sezione durto invariante Ed

dp[cm2 eV (eV/c)3]

non dipende dal riferimento in cui si effettua la misura.

1.2.3 Sezione durto di RutherfordCome primo esempio di sezione durto consideriamo la diffusione di una parti-cella carica nel campo coulombiano di unaltra carica (diffusione di Rutherford).Lesperimento di Rutherford sulla diffusione di particelle da nuclei di oro ha avutogrande importanza nello sviluppo della conoscenza in fisica per una serie di motivi:

ha introdotto il concetto di scattering nello studio della struttura della materiae delle proprieta dei suoi costituenti fondamentali;

ha fornito risultati di importanza fondamentale per impostare il modello atom-ico;

ha dimostrato la validita di tecniche strumentali innovative per la rivelazionedelle particelle ionizzanti.

Lesperimento, ideato da E.Rutherford e condotto nel 1911 da due giovani ricer-catori, H.Geiger e E.Marsden, e basato su semplici considerazioni sulla diffusionedi una particella dotata di carica elettrica nel campo coulombiano prodotto dallacarica di unaltra particella.

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Consideriamo linterazione tra una particella puntiforme di massa m e caricaelettrica ze e unaltra particella puntiforme di massa M e carica elettrica Ze. Siav la velocita relativa tra le due particelle. Facciamo lipotesi che v c, in mododa poter utilizzare le leggi della meccanica classica, e che sia m M, in modo dapoter trascurare leffetto del rinculo della particella M (nessuna di queste ipotesi erestrittiva e sono approssimativamente valide nel caso specifico dellesperimento diRutherford). Trattiamo il problema in un sistema di riferimento che ha origine nellaposizione della particella M, e definiamo il parametro durto, b, come la distanza trala linea di volo della particella m e la posizione della particella M (Fig. 1.6). La

b r p

p'p

Figure 1.6: Diffusione di Rutherford

forza che agisce tra le due particelle e

F =zZ e2

4o

r

r2

Il campo elettrico e conservativo e la diffusione della particella m nel campo dellaparticella M e elastica. Se p e p sono gli impulsi iniziale e finale, si ha

|p| = |p| p = |p p| = 2p sin /2

dove e langolo di diffusione della particella m. Poiche lenergia totale e positiva,la traiettoria e aperta: la particella m descrive uniperbole con asintoti definiti dalledirezioni p e p. Limpulso trasferito, p, e per simmetria dovuto alla componentetrasversa della forza coulombiana lungo la traiettoria della particella m

p =

FT dt =+

zZ e2

4o

cos

r2dt

dove e langolo tra lasse di simmetria del moto e il raggio vettore r, (t =) = (/2 /2), (t = +) = +(/2 /2). La velocita della particella me v = (dr/dt) = (dr/dt) r + r (d/dt) n e il momento angolare e

L = r p = m drdt

r r + mr ddt

r n = mr2 ddt

r n

L = mr2d

dt= costante = pb

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e, cambiano variabile di integrazione, dt/r2 = (m/pb) d

p =

zZ e2

4om

cos

pbd =

zZ e2

4o

m

pb2cos /2 = 2p sin /2

Da cui si deriva la relazione tra langolo di diffusione e il parametro durto

tan /2 =zZ e2

4ob

m

p2=

energia potenziale a distanza 2b

energia cinetica iniziale

Per calcolare la sezione durto differenziale osserviamo (Fig.1.7) che lelemento di

db

d

Figure 1.7: Relazione tra angolo e parametro durto

superficie bersaglio che corrisponde ad una angolo di diffusione e definito dallacorona circolare compresa tra parametri durto b e b + db

d = 2bdb = 2

zZ e2

4o

2m2

p41

tan /2

d/2

sin2 /2=

zZ e2

4o

2m2

p42 sin /2cos /2 d/2

sin4 /2

Per cui concludiamo che la sezione durto differenziale per diffusione coulombiana e

sezione durto di Rutherfordd

d=

zZ e2

4o

2m2

4p4 sin4 /2

cioe inversamente proporzionale alla quarta potenza dellimpulso trasferito, p,nellinterazione. Introducendo il raggio classico dellelettrone, ro = e

2/4omec2,

si riconosce facilmente che la sezione durto ha le dimensioni di una superficie

d

d= r2o (zZ)

2 (mec2)2

4p2v2 sin4 /2

La seziond durto differenziale diverge per 0, quindi non e definita su tuttolangolo solido. Questo e dovuto al fatto che lazione del potenziale coulombiano nonsi annulla per qualunque valore grande della distanza r. Nella realta non esistonocariche elettriche isolate: qualunque carica e in qualche modo schermata da carichedi segno opposto. Se consideriamo, ad esempio, un sistema atomico in cui il raggiomedio degli orbitali elettronici e r, il valore minimo dellangolo di diffusione di unaparticella di energia cinetica K e

tan /2 =zZ

2

ror

mec2

K

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Esempio: distanza minima di avvicinamento

Esperimenti di diffusione Rutherford vengono effettuati per studiare la strutturaelettromagnetiuca del bersaglio. Il potere risolutivo e legato alla distanza minimadi avvicinamento del proiettile al bersaglio. La minima distanza, rmin = , si ha

quando r e normale a p. Per la conservazione del momento angolare e dellenergiasi ha

L = |r p| = p = b po E = p2

2m+

zZ e2

4o=

p2o2m

dove po e la quantita di moto iniziale, b e il parametro durto e langolo di diffusionee tan /2 = (zZ e2/4ob)(m/p

2o). Dalle relazioni precedenti si ha

2 2b tan /2 b2 = 0

= b tan /2 + b (1 + tan2 /2)1/2 = b1 + sin /2

cos /2

Nellurto con b = 0 si ha diffusione allindietro, = , e la distanza e minima quandosi annulla lenergia cinetica: o = 2mzZe

2/4op2o = 2b tan /2. Quindi la distanza

minima di avvicinamento in funzione dellangolo di diffusione e dellenergia cineticainiziale, Ko, e

= o1 + sin /2

2sin /2= zZ ro

mec2

Ko

1 + sin /2

2sin /2

1.2.4 Sezione durto di Thomson

Come secondo esempio di calcolo della sezione durto di un processo elementare

trattiamo la diffusione della radiazione elettromagnetica da una carica elettrica,diffusione di Thomson. Consideriamo unonda elettromagnetica che si propaga nelladirezione z con il campo elettrico parallelo allasse x e il campo magnetico paralleloallasse y. Nel vuoto il flusso di energia incidente e

i = coE2x

Per azione della radiazione incidente, una particella di massa m e carica elettrica q esottoposta ad una accelerazione ax = qEx/m ed emette radiazione elettromagneticadella stessa frequenza dellonda incidente. Il flusso di energia emessa dalla caricaaccelerata (appendice ???) e

=1

4

q2

4o

a2xc3r2

sin2 x [eV cm2 s1]

e sono gli angoli polare e azimutale, r e la distanza dalla carica e x e langolotra la direzione di diffusione r e la direzione dellaccelerazione (Fig.1.8)

x = r sin cos sin2 x = 1 cos2 x = 1 sin2 cos2

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q

a

x

z

y

x

E

B

Figure 1.8: Diffusione di Thomson

Se la radiazione incidente non e polarizzata, cioe il campo elettrico puo averequalunque orientazione nel piano x y, occorre mediare sullangolo azimutale e si ottiene

sin2 x = 1 sin2 cos2 = 1 12

sin2

Quindi il flusso di energia della radiazione diffusa e

=1

4

q2

4o

a2xc3r2

1 1

2sin2

=

q2

4o

21

(mc2)2ir2

1 1

2sin2

Il caso di interesse e quello di un elettrone debolmente legato, quando cioe lenergiadi legame non e grande rispetto allenergia della radiazione incidente h. Per unelettrone (q = e, m = me, e

2/4o = romec2) si ha

= i

ror

2 1 1

2sin2

La sezione durto, cioe larea efficace del bersaglio che sottrae parte del flusso inci-dente e lo diffonde nellangolo solido d, e

i d = r2 d

da cui si deriva la

sezione durto di Thomsond

d= r2o

1 1

2sin2

la sezione durto totale e

T = r2o

2o

+11

1 1

2sin2

d cos d =

8

3r2o

Lunita di misura della sezione durto e il barn, (1 b 1024 cm2). Poiche r2o =(2.82 1013 cm)2 0.08 b, il valore della sezione durto di Thomson e T = 0.67 b.

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1.3 Acceleratori

Gran parte della fenomenologia dei nuclei e delle particelle e basata su risultatiottenuti in esperimenti con acceleratori. In questo capitolo trattiamo brevemente imetodi di accelerazione di elettroni, protoni e nuclei, con qualche accenno ai metodiper produrre fasci secondari di altre particelle sia cariche che neutre. I metodi peraccelerare particelle cariche sono basati sullazione di campi elettrici e magnetici.Lequazione del moto e

dp

dt= q ( E+ v B)

Il campo magnetico non compie lavoro e lenergia acquistata per unita di tempo,W = qv E, e fornita dal campo elettrico. Gli acceleratori lineari utilizzano es-clusivamente campi elettrici. Campi magnetici vengono utilizzati negli acceleratoricircolari e, in generale, per deflettere e per focalizzare i fasci di particelle.

Sorgenti di ioni

Una sorgente di elettroni e essenzialmente un filamento caldo, che emette elettroniper effetto termoionico, immerso in un campo elettrico che estrae gli elettroni e

dalla sorgente (Fig.1.9) . Allo stesso modo si realizza una sorgente di ioni positivi.

- +

e

-+

+

e

Figure 1.9: Sorgenti di ioni

Gli atomi sono immersi in una regione in cui vi e un campo elettrico alternatoper accelerare gli elettroni prodotti dal filamento e un campo magnetico per farlispiralizzare. Gli elettroni cedono energia agli atomi ionizzandoli. Un campo elettricoestrae gli ioni i+ dalla sorgente.

Il progresso degli acceleratori e fortemente legato al progresso delle tecniche divuoto. Nelle regioni dellacceleratore in cui viene trasportato il fascio di particelleoccorre mantenere pressioni molto basse in modo da limitare lassorbimento e ladispersione sia angolare che in energia del fascio. I fenomeni di interazione delle

particelle cariche sono descritti nel capitolo ???.

1.3.1 Acceleratori a caduta di potenziale

I primi acceleratori sono stati realizzati con campi elettrici statici: una particella dicarica q viene accelerata con una differenza di potenziale V. Lenergia massimaraggiungibile con questa tecnica e limitata dalla differenza di potenziale che si puostabilire in laboratorio tra due elettrodi.

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Acceleratore Van de Graaff

Il primo esempio di acceleratore elettrostatico e stato realizzato da Van de Graaffnel 1929 (Fig.1.10). La differenza di potenziale si ottiene caricando un elettrodo

+

-

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

++

+ + +

++

+

+

+

+

+

++

+++

source

beam

V1

V3

V5

V6

V4

V2

Figure 1.10: Principio di funzionamento degli acceleratori elettrostatici

di capacita C per induzione elettrostatica. Una cinghia di materiale isolante passavicino ad una punta dove vi e un intenso campo elettrico e si carica. La cinghiatrasporta le cariche verso un elettrodo cavo che ha una forma il piu regolare pos-sibile per limitare le scariche. Poiche il campo elettrico allinterno dellelettrodoconduttore e nullo, la carica trasportata si distribuisce sulla superficie. Il lavoro percaricare lelettrodo e fornito dal moto della cinghia. Se i(t) e la corrente trasportatadalla cinghia, la differenza di potenziale e V =

i(t) dt/C ed e limitata dalle

perdite del dielettrico che avvolge lelettrodo. Gli acceleratori elettrostatici sono disolito immersi in gas inerte ad alta pressione per evitare scariche. La sorgente diioni e posta allinterno dellelettrodo cavo e la differenza di potenziale viene ripar-tita, con una serie di capacita o resistenze, lungo il tubo a vuoto in cui e acceleratoil fascio. Acceleratori di Van de Graaff possono produrre differenze di potenzialeV 10 MV e produrre fasci di ioni con correnti di fascio 100 A e sonocomunemente utilizzati in ricerche di fisica nucleare.

Acceleratore Cockroft-Walton

Il secondo esempio di acceleratore elettrostatico e quello realizzato da Cockroft eWalton nel 1930 per studiare le prime reazioni nucleari in laboratorio. Lenergia efornita da un generatore alternato, V = Vo cos t e la differenza di potenziale egenerata da una cascata di rettificatori. Questi sono alternativamente in conduzioneo in interdizione e caricano una serie di condensatori a tensioni via via crescenti.Con riferimento alla Fig.1.10, le tensioni sono V2k1 = Vo(2k cos t), V2k = 2kVo.Lultimo stadio e connesso a un elettrodo cavo sferico che contiene la sorgente di

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ioni. Le tensioni V2k vengono distribuite lungo il tubo a vuoto in cui e acceleratoil fascio. Acceleratori Cockroft-Walton possono produrre differenze di potenzialeV 5 MV con correnti 20 A. Gli acceleratori a caduta di potenziale sonocomunemente usati come stadi iniziali di accelerazione e come iniettori di particelle

in acceleratori piu potenti.

Acceleratore Tandem

Lenergia massima di uno ione puo essere raddoppiata con acceleratori elettrostatiticia due stadi: acceleratori Tandem. Il primo stadio e, ad esempio, realizzatono con unacceleratore Van de Graaff con tensione +V e le tensioni Vk = V/k sono distribuitein modo crescente dalla sorgente di ioni a tensione V = 0 allelettrodo carico atensione +V e in modo decrescente da questo al punto di estrazione del fascio, dinuovo a tensione V = 0. Consideriamo una sorgente di ioni i (ad esempio uno ioneidrogeno H): gli ioni vengono accelerati allenergia eV nel primo stadio e vengono

fatti passare attraverso una sottile lamina che cambia lo stato di carica dello ionesottraendo i due elettroni. Gli ioni i+ (i protoni) hanno ora una energia potenzialeeV e nel secondo stadio vengono accelerati allenergia cinetica 2eV. AcceleratoriTandem possono accelerare protoni fino ad energia cinetica 20 MeV.

1.3.2 Acceleratori lineari

Gli acceleratori a caduta di potenziale sono limitati dalla necessita di produre ten-sioni costanti molto elevate. Negli acceleratori lineari le particelle guadagnano ener-gia con accelerazioni multiple prodotte da campi elettrici alternati. Il primo esempiodi acceleratore lineare, LINAC, e stato sviluppato da Wideroe nel 1928. Il princi-

pio di funzionamento dellacceleratore a tubi a deriva di Lawrence e Sloan (1930) eillustrato nella Fig.1.11.

S

L

RF

V

Figure 1.11: Principio di funzionamento del LINAC

Consideriamo una serie di tubi di materiale conduttore coassiali di lunghezza Lnconnessi alternativamente ai capi di un generatore di tensione alternata. Allinternodei tubi il campo elettrico e nullo mentre tra un tubo e il successivo vi e una differenzadi potenziale V(t) = Vo cos t. Una particella di carica q e massa m che procedelungo lasse dei tubi viene accelerata nellinterspazio tra tubi consecutivi se giungein fase con la differenza di potenziale. Laumento di energia cinetica e qV. Permantenere la relazione di fase occorre scegliere opportunamente la lunghezza deitubi Ln = vnT /2, dove T e il periodo e vn e la velocita della particella nel tubo n.

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Linac per ioni

Per velocita vn c lenergia cinetica dopo il tubo n e Kn = mv2n/2 = nqV e siottiene

vn =

2nqVm

1/2= cn1/2

2qV

mc21/2

Ln = cT2

n1/2

2qVmc2

1/2

Poiche vengono accelerati solo gli ioni che sono in fase con V, il fascio non econtinuo ma si divide in pacchetti. LINAC di questo tipo vengono utilizzati peraccelerare protoni e ioni con carica elevata fino a qualche decina di MeV per nucleone.

Linac per elettroni

Per elettroni si arriva rapidamente alla condizione in cui lapprossimazione non rel-ativistica non e valida e la relazione di sopra va sostituita con

vn = c (2nx)1/2 (1 + nx/2)1/2

1 + nxx =

qV

mc2

Per n , vn c, Ln cT /2. Per accelerare elettroni allenergia E occorre unacceleratore di lunghezza L = (2qV/cT)E, quindi e necessario avere un elevatogradiente di energia, E/ = 2qV/cT, aumentando la differenza di potenziale ela frequenza.

Linac RF

Nei moderni LINACper elettroni la camera a vuoto e costituita da una guida donda

(Fig.1.17). La cavita e realizzata in modo che risuoni alla frequenza RF e che il

e

Figure 1.12: Guida donda del LINAC a radiofrequenza

campo elettrico sullasse sia longitudinale. Il campo elettrico si puo scomporre in dueonde progressive che si propagano nelle due direzioni lungo lasse della cavita. Poichegli elettroni si muovono a velocita costante, ve c, ricevono continuamente energiadal campo elettrico se la velocita di fase dellonda progressiva, vf, e pari alla velocitave. Unaltra condizione necessaria e che i pacchetti di elettroni si mantengano infase con londa progressiva; su questo torneremo piu avanti.

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1.3.3 Acceleratori circolari

Il moto di una particella di massa m e carica elettrica q in un campo di induzionemagnetica B e descritto dalla legge

dpdt

= ddt

mv = q v B

Poiche la forza di Lorentz non compie lavoro, si ha = costante, |p| = costante.La componente della quantita di moto parallela alla direzione di B e invariata e lavariazione della componente normale si esprime in funzione della velocita angolare

dp

dt= p = mv = q

B

m

La particella descrive unelica. Nel piano normale a B descrive una traiettoria

circolare con raggio di curvatura R con frequenza di rivoluzione

p = mR = qR B R = pqB

Per una carica unitaria, q = e, la relazione tra quantita di moto, raggio di curvaturae campo magnetico e

p c [Joule] = e c B R = 1.6 1019 [Coulomb] 3 108 [ms1] B [Tesla] R [metro]

ovvero, in unita piu pratiche

pc [GeV] = 0.3 B [Tesla] R [metro]

Il fatto che una particella carica in un campo magnetico uniforme percorre unacirconferenza viene sfruttato negli acceleratori circolari per far passare ripetutamentela particella in una zona in cui e presente un campo elettrico accelerante. In questomodo la particella guadagna progressivamente energia con accelerazioni multiple confrequenza legata alla frequenza di rivoluzione.

Il ciclotrone

Il primo acceleratore circolare, il ciclotrone, e stato realizzato da Lawrence nel 1930.Lo schema di funzionamento e illustrato nella Fig.1.13. Un dipolo produce un campo

magnetico uniforme e costante in un cerchio di raggio R. Allinterno del dipolo lacamera a vuoto e compresa tra due elettrodi cavi a forma di D e agli elettrodie applicata una differenza di potenziale alternata V(t) = Vo cos RFt a frequenzacostante. La distanza tra gli elettrodi e molto minore del raggio R del magnete. Ilcampo elettrico e nel piano normale al campo magnetico. La sorgente di ioni e postaal centro della camera a vuoto.

Gli ioni emessi dalla sorgente vengono accelerati dal campo elettrico ed entranonel cavo di uno degli elettrodi dove il campo elettrico e nullo. Per effetto del campo

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ciclotrone betatrone

Figure 1.13: Schema del ciclotrone e del betatrone

magnetico, gli ioni percorrono una semicirconferenza di raggio = p/qB e frequenzadi rivoluzione = qB/m. Se e soddisfatta la condizione di risonanza, RF = ,gli ioni attraversano di nuovo la zona tra i due elettrodi in fase con la differenza dipotenziale e vengono di nuovo accelerati. Quindi gli ioni percorrono una traiettoriaa spirale con raggio via via crescente e laumento di energia per giro e E = 2qV.Quando il raggio di curvatura e R gli ioni non sono piu soggetti allazione delcampo magnetico ed escono tangenti alla traiettoria.

La massima energia raggiungibile e limitata dal valore del campo, B, e dal rag-gio del magnete, R: pmax = 0.3BR. Per B = 1 T, R = 1 m, q = e, si ha

pmax = 300 MeV che corrisponde per un protone ad una velocita = 0.3 per cuilapprossimazione non relativistica e sufficientemente accurata.

Per velocita v c, la frequenza di ciclotrone e costante e la condizione di riso-nanza e rispettata se RF = costante. Per raggiungere energie piu elevate occorre

variare (diminuire) la frequenza RF durante il ciclo di accelerazione. Questo equello che avviene nel sincro-ciclotrone.

Ciclotroni e sincrociclotroni accelerano protoni e ioni fino ad energie di circa500 MeV e vengono usati per studiare reazioni nucleari nella regione delle energieintermedie.

Il betatrone

Il betatrone e stato realizzato da Kerr nel 1940 per accelerare elettroni ad energie,a quei tempi, elevate. Il nome betatrone ha origine dai raggi beta che sono elettroniemessi nei decadimenti dei nuclei. Nel betatrone gli elettroni percorrono una trai-

ettoria circolare di raggio R e la camera a vuoto e a forma di ciambella racchiusatra i poli di un magnete (Fig.1.13). Il campo magnetico e normale al piano dellatraiettoria.

Il betatrone funzione per induzione elettromagnetica. Non intervengono campielettrici: si fa variare il campo magnetico e la forza elettromotrice e fornita dallavariazione del flusso del campo magnetico concatenato con la ciambella. Con riferi-mento alla Fig.1.14, chiamiamo B il valore del campo magnetico mediato su tuttala superficie delimitata dalla ciambella e Bo il valore del campo magnetico lungo

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ddt

Er

dpdt

Bo

Figure 1.14: Principio di funzionamento del betatrone

lorbita. Se si fa variare il campo magnetico, il campo elettrico generato lungo lacirconferenza di raggio R e

Ed = 2RE =

dB

dt

=

R2

dBdt

Una particella di carica q e soggetta alla forza tangenziale

dp

dt= qE =

q

2R d

Bdt

Perche la particella percorra la circonferenza di raggio R costante, deve risultare

dp

dt= qR d

Bodt

Quindi e possibile accelerare un elettrone lungo una traiettoria di raggio costante see soddisfatta la

condizione di betatroned B

dt= 2

d Bodt

B = 2 Bo + costante

che si puo ottenere sagomando opportunamente i poli del magnete.

Il sincrotrone

In acceleratori circolari costruiti con un magnete singolo la massima energia raggiun-gibile e limitata dal campo magnetico e dal raggio del magnete. Poiche il valore di

B che si puo raggiungere, anche utilizzando bobine superconduttrici, e limitato adalcuni Telsa, per aumentare lenergia occorre aumentare il raggio dellacceleratore.Questo non si puo fare con un singolo dipolo, che sarebbe enorme, ma si costruisconoacceleratori con piu magneti curvanti distribuiti lungo la traiettoria delle particelle.Quindi il raggio di curvatura della traiettoria e fissato, R = costante, e la camera avuoto e una ciambella contenuta tra i poli dei magneti curvanti. Lungo la traiettoriacircolare, in uno o piu punti, vi sono cavita RF dove un campo elettrico alternatoa frequenza RF cede energia alle particelle. La frequenza RF deve essere uguale

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alla frequenza di ciclotrone o pari a un multiplo intero h (numero di armonica) e leparticelle devono attraversare la cavita in fase con RF.

Il sincrotrone e un acceleratore che opera in cicli: iniezione, accelerazione, es-trazione del fascio e ritorno alla fase iniziale e utilizza un primo stadio di acceler-

azione, usualmente un acceleratore lineare, che inietta le particelle con impulso pi(Fig.1.15). Nella fase di iniezione si ha

t

B(t)

t

(t)

iniez. accel. estraz.

iniez.

estraz.

Figure 1.15: Schema del sincrotrone

Bi = pi/qR i = qBi/mi = ic/R

Nella fase di accelerazione si aumenta gradualmente il campo magnetico e si varia diconseguenza la frequenza RF = h qB/m. Quando e raggiunto il valore massimo delcampo magnetico, il fascio viene estratto impulsando dei magneti e dopo lestrazioneil valore del campo magnetico e della frequenza vengono riportati ai valori iniziali.

In un proto-sincrotrone occorre variare la frequenza RF durante la fase di ac-celerazione

RF = h = h c/R

Se liniezione dei protoni avviene con quantita di moto pi non piccola rispetto a mc,la banda di frequenza in cui operano le cavita e limitata e questo comporta notevolivantaggi. In un elettro-sincrotrone invece e sufficiente iniettare elettroni con energiadi pochi MeV, 1, per operare le cavita a RF c/R = costante.

1.3.4 Oscillazioni di betatrone

In un acceleratore circolare occorre limitare la dispersione delle particelle durante i

tanti giri che queste percorrono nellanello ed e quindi opportuno studiare la con-figurazione del campo magnetico che minimizzi la dispersione. Consideriamo unaparticella di carica q e massa m che percorre una circonferenza di raggio Ro dettaorbita di riferimento. Lungo lorbita di riferimento il campo magnetico ha compo-nenti Bx = By = 0, Bz = Bo. Consideriamo un sistema di riferimento solidale conla particella, cioe rotante alla frequenza di ciclotrone = qB/m, con lasse x par-allelo alla direzione del moto, v (v, 0, 0), lasse y parallelo a r e lasse z paralleloa B (Fig.1.16).

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x || v y

Bo

z ||

R

v = (R+y)

B

o

Figure 1.16: Traiettoria e forza di richiamo

Le equazione del moto in questo riferimento sono

dpydt

=d

dtmy = m (y 2R) = q (vzBx vxBz) = qvBz

dpzdt

=d

dtmz = mz = q (vxBy vyBx) = +qvBy

y +qvBzm

2R = y + q(R + y)Bzm

2R = 0

z qvBym

= z q(R + y)Bym

= 0

Per piccoli spostamenti dallorbita di riferimento (y R, z R) le componenti delcampo magnetico sono

Bz = (Bz)o +

Bzy

o

y + . . . By = (By)o +

Byz

o

z+ . . .

Consideriamo il caso in cui i poli del magnete siano sagomati in modo che la com-ponente principale Bz sia

Bz = Bo

r

R

n= Bo

R + y

R

n Bzy

= nBoR

R + y

R

n1

dove n e chiamato indice di campo. Poiche lungo lorbita risulta

B = 0,

Bz/y = By/y, si ha

By = n Bo z/R Bz = B