CENTROIDES (1)

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

CENTROIDESINTEGRANTES :

GUEVARA NUÑEZ, Joselito 115132H

LOZANO ALARCÓN, Roberto 115133D

PÉREZ ACUÑA GONZALEZ, Roy 090424K

LLATAS BAUTISTA JUNIOR DECIDERIO 110411F

BOBADILLA GUADALUPE PEDRO 110400D

ZEÑA VIDAURRE MANUEL ELIAS 090440F

CURSO : RESISTENCIA DE MATERIALES I

DOCENTE : Ing. BERNILLA GONZALES, YANNYNA

Lambayeque 09 de setiembre de 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CENTROIDES

INTRODUCCIÓN

En el campo de la ingeniería cuando se diseña un tanque elevado de agua u

otra construcción civil, es importante tener la capacidad de determinar su

centro de gravedad, centro de masa y su centroides ya que su diseño

estructural del mismo, consiste en tener necesaria y eficaz la ubicación de sus

ejes centroidales, ya que estos tienen que ver para poder diseñar su

estabilidad de la estructura.

Por ello conocer estos temas es de mucha utilidad para nuestra formación

como ingenieros civiles. Los centroides se utilizan cuando el cálculo es de una

figura geométrica sin tener en cuenta el material que está compuesta ya que la

que toma en cuenta el material que está compuesta es el centro de masa. Por

ello encontrar los ejes centroidales de cada estructura seria de mucha

importancia porque si se trata de una compuerta de alguna represa esta

representaría el lugar donde actuaria el centro de presiones.

A continuación vamos a detallar todo lo que concierne a centroides de áreas

planas simples y compuestas.

Ingeniería civil 2013-I 2

CENTROIDES

OBJETIVOS

Mostrar para que sería necesario encontrar los ejes centroidales de las figuras evaluadas.

Mostrar cómo se encuentra el centroide de las superficies planas y compuestas.

Utilizar los teoremas de PAPPUS GULDINUS para encontrar el área axial y el volumen de un cuerpo de simetría axial.

Analizar los conceptos de centroides.

Hacer un breve repaso con ejercicios tipos de centroides con resoluciones incluidas.


CENTROIDES

1. CONCEPTOS GENERALES

1.1 CENTRO DE GRAVEDAD:

Un cuerpo está compuesto de un número infinito de partículas de tamaño

diferencial, y por tal razón si el cuerpo se ubica dentro de un campo

gravitatorio, entonces cada una de estas partículas tendrá un peso dW . Estos

pesos formarán un sistema de fuerzas aproximadamente paralelas, y la fuerza

resultante de este sistema es el peso total del cuerpo, la cual pasa a través de

un solo punto llamado el CENTRO DE GRAVEDAD, (G).

El peso de un cuerpo es la suma de los pesos de todas sus partículas, es decir:

+↓FR=∑ FZ ; W=∫ dW

Por lo tanto, la ubicación del centro de gravedad G con respecto a los ejes x, y y z se convierten en:

x=∫ xdW

∫dWy=∫ y dW

∫ dWz=∫ z dW

∫ dW

Aquí:

x , y , zSon las coordenadas del centro de gravedad G.

x , y , z Son las coordenadas de cada partícula del cuerpo.


CENTROIDES

1.2 CENTROIDE:

El centroide es una propiedad del área y

es la ubicación del centro geométrico del

cuerpo. Se determina de una manera

parecida al centro de gravedad, por un

balance de momentos estáticos en la que

existen elementos geométricos como

segmentos de líneas, áreas o volúmenes.

Para cuerpos que tiene una forma continua

los momentos se suman (integran)

mediante elementos diferenciales. Esta

llega a coincidir con el centro de masa y el

centro de gravedad si solo lo compone el cuerpo homogéneo y uniforme.

Existen diferentes métodos para el cálculo de centroides, entre ellos tenemos:

El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas

definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina

evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones:

x A=∫ x dA y A=∫ y dA

Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la

evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración

doble con respecto a x y y.

Es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares

para las cuales dA es un elemento de lados dr y rdL.


CENTROIDES

Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las

coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se

logra seleccionando un dA como un rectángulo o tira delgada, cuyo

centroide está localizado en su centro.

También se puede seleccionar el dA como un sector circular delgado

cuyo centroide está localizado a una distancia de 23r a partir de su

vértice (como en el caso de un triángulo).

Entonces, las coordenadas del centroide del área en consideración se

obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto

a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral) de

los momentos correspondientes de los elementos del área.

Representando con xel y yel las coordenadas del centroide del elemento

dA, se escribe

Q y=x A=∫ xeldA Q x= y A=∫ yeldA

Si el área A no se conoce aún, ésta también puede calcularse a partir de estos

elementos.

Las coordenadas xel y yeldel centroide del elemento del área dA deben

expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la

curva que limita al área en consideración. Además, el área del elemento dA

debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los

diferenciales apropiados.


CENTROIDES

La porción de círculo de la parte c debe utilizarse cuando la ecuación de la

curva que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse

las expresiones apropiadas en las fórmulas y debe utilizarse la ecuación de la

curva que limita al área para expresar a una de las coordenadas en términos

de la otra. De esta forma, se reduce a una sola integración. Una vez que se ha

determinado el área y han sido evaluadas las integrales en las ecuaciones,

estas ecuaciones pueden resolverse para las coordenadas x y ydel centroide

del área.

a) CENTROIDE DE UNA LÍNEA:

Si un segmento de línea (o barra) pertenece al plano x-y y puede describirse

mediante una curva delgada y = f(x), entonces su centroide está determinado

por la longitud del elemento diferencial está dada por el teorema de Pitágoras,

d L=√ (dx )2+(dy )2 que también se escribe en forma:

dL=√( dxdx )2

dx2+( dydx )2

dx2

dL=√1+( dydx )2

dx

O bien


CENTROIDES

dL=√( dxdy )2

dy2+( dydy )2

dy2

dL=√1+( dxdy )2

dy

Cualquiera de estas expresiones se puede usarse sin embargo, para su aplicación

debe seleccionarse aquella que implique una integración más sencilla.

b) CENTROIDES PARA UN ÁREA

Si una área se encuentra en el plano x-y y está

delimitada por la curva y=f (x ), como se

muestra en la figura entonces su centroides

pertenecerá a este plano y podrá destormarse

a partir de integrales similares

X=∫A

XcdA

∫A

dA

Y=∫A

Y c dA

∫A

dA

Si ahora un área plana con un eje de simetría, en la que este pase por su centroide entonces los momentos estáticos es cero

c) CENTROIDES DE UN VOLUMEN

Si el cuerpo mostrado en la figura hecho de un

material homogéneo, entonces su densidad ρ

será constante. Por lo tanto, un elemento

diferencial de volumen dv tiene una masa

dm=ρdv. Al sustituir esto en las ecuaciones y

al cancelar el ρ, obtenemos fórmulas que

localizan el centroides C o centro geométrico

del cuerpo; a saber


X

Y

(x,y)y= f(x)

Yc = y/2

dx

Xc = x

CENTROIDES

Estas ecuaciones representan un equilibrio de los momentos del volumen del

cuerpo. Por lo tanto, el volumen que posee los planos de simetría, entonces su

centroides debe descansar a lo largo de la línea de intersección de estos

planos.

Si tenemos un cono que se muestra, tiene un centroide que se encuentra

sobre el eje y de modo que z=x=0. La ubicación y puede encontrarse con

una integración simple sin elegir un elemento diferencial representado por un

disco delgado de grosor dy y un radio r=z. Su volumen es

dV =π r 2dy=π z2dy y su centroide se encuentra en x=0 ; y= y ; z=0

d) CENTROIDE ÁREAS COMPUESTAS.

En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en

una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc...). Esta

forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier

superficie.

Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma sencilla y que

están conectados. Estos cuerpos sencillos pueden ser rectangulares,

triangulares, semicirculares, etc. Los cuerpos compuestos pueden

descomponerse en sus partes y analizar cada parte por separado.

Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto

1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes

que tengan formas más sencillas. Si una parte componente tiene un

agujero, o una región geométrica donde no exista material, ésta se toma

como una componente adicional pero con signo negativo.


X=∫v

X dV

∫v

dV Y=

∫v

Y dV

∫v

dV Z=

∫v

Z dV

∫v

dV

CENTROIDES

2. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte, con el

método ya estudiado en la parte superior.

3. Se calcula las coordenadas x y z; del centroide del objeto o cuerpo,

utilizando las siguientes ecuaciones:

EN LÍNEAS:

x=∑ xL

∑ L; y=∑ yL

∑ L; z=∑ zL

∑ L

EN ÁREAS:

x=∑ xA

∑ A; y=∑ yA

∑ A; z=∑ zA

∑ A

EN VOLÚMENES:

x=∑ xV

∑V; y=

∑ yV

∑V; z=∑ zV

∑V

e) TEOREMA DE PAPPUS Y GULDINUS

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus

durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por

el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y

cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la

rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo:


CENTROIDES

Puede obtener la superficie de

una esfera rotando un arco

semicircular ABC con respecto al

diámetro AC; se puede producir

la superficie de un cono rotando

una línea recta AB con respecto

a un eje AC y se puede generar

la superficie de un toroide o

anillo rotando la circunferencia

de un círculo con respecto a un

eje que no interseca a dicha

circunferencia. Un cuerpo de

revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje

fıjo. Como se muestra en la fıgura, se puede generar una esfera, un cono y un

toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.


CENTROIDES

TEOREMA I.

El área de una superficie de revolución es

igual a la longitud de la curva generatriz

multiplicada por la distancia recorrida por

el centroide de dicha curva al momento

de generar la superficie.

Demostración. Considérese un elemento

dL de la línea L que rota alrededor del eje

x. El área dA generada por el elementodL

es igual a 2πy dL Por tanto, el área total

generada por L es A=∫ 2πy dL En la se

encontró que la integral ∫❑ y dL es igual a y L, por tanto, se tiene

A=2π y L

Donde 2π y es la distancia recorrida por el centroide de L. Se debe señalar que

la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota; si lo hiciera, las dos

secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que tendrían signos

opuestos y el teorema no podría aplicarse.

TEOREMA II.


CENTROIDES

El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada

por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el

cuerpo.

El elemento dA es igual a 2πydA. Por tanto, el volumen total generado por A es

V=∫2 πydA, puesto que la integral ∫❑ y dA es igual y A , se tiene

V=2π y A

Donde 2π y es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante

señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al

área generatriz. Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma

sencilla de calcular las áreas de superficies de revolución y los volúmenes de

cuerpos de revolución. En forma inversa, estos teoremas se emplean para

determinar el centroide de una curva plana cuando el área de la superfıcie

generada por la curva es conocida o para determinar el centroide de un área

plana cuando el volumen del cuerpo generado por el área es conocido

2. APLICACIONES


CENTROIDES

3. Determine la localización del centroide de una enjuta parábola.

SOLUCIÓN:

Hallamos k remplazando valores para a y b.

k= ba2

y= ba2 x

2

A=∫ dA

A=∫0

a

y dx=∫0

a ba2 x

2dx=ab3

El primer momento del elemento diferencial con respecto de eje y es X ´=X dA, por lo tanto el primer momento de toda el área es.

X A=∫ xydx=∫

0

a

x∗b

a2 x2dx= a2b4

X=3 a4

De la misma forma, el primer momento del elemento diferencial con respecto al eje x es y dA

y A=∫ y dA=∫0

a y2∗y dx=∫

0

a 12 ( b

a2 x2)

2

dx

y=3b10


a

.

dx

.

.

.

CENTROIDES

4. Determinar el área de la superficie de revolución mostrada en la figura, la cual se obtiene rotando un cuarto de arco circular alrededor de un eje vertical.

SOLUCION

De acuerdo al teorema I de Papús Guldinus, el área generada es igual al producto de la longitud del arco por la distancia recorrida por su centroide. Entonces tenemos.

X=2 r−2rπ

=2r (1− 1π )

A=2π X L=2π [2r (1− 1π )]( πr2 )

5. Determinar la ubicación del centro de gravedad respecto a los ejes centrales principales de la sección transversal mostrada en la figura 3.14, cuyas dimensiones están dadas en centímetros.

SOLUCIÓN:

Encontrando su centroide por separado. El área del cuadrado lo consideramos como negativa, ya que esta representa un vacío.

componente X i Y i Ai X iAi Y iAirectángulo 12 9 432 5184 3888cuadrado 12 6 144 1728 864

X=∑ XiAiA

=5184−1728432−144

=12

Y=∑Y iAiA

=3888−864432−144

=10.5

X=3 a4


2r

..

2r

CENTROIDES

6. Determine las coordenadas del centroide del área compuesta que se muestra en la figura.

SOLUCIÓN:

Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6 cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculo de 6 cm de radio

X=∑ XiAiA

= 684133.7

=5.11

Y=∑Y iAiA

= 859133.7

=6.42

7. Se desea calcular el volumen de concreto que se necesita para la construcción de la cortina de la presa cuyas planta y sección transversal se muestran en las figuras. ¿Cuál es ese volumen?


CENTROIDES

SOLUCIÓN: Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la

abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C. Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al ce

Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C.

X=∑ X iAiA

=1416672552

=55.52

El radio de la trayectoria del centroide es

r=200−80+55.52=175.52

y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia

l=16

(2 лr )=175.52 л3

=183.81

V=l∗A=183.81 (2552 )

V=469083.12m3


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3. CONCLUSIONES:

El centroide es un punto que define el centro geométrico, su localización

pude determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para

determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo.

El centroide es utilizado ampliamente en los cálculos de ingeniería, sobre

todo en la determinación de las propiedades de los cuerpos, por ejemplo

los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son,

por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta

relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta

velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos

al suelo. Además en lo que respecta a ingeniería civil, permite determinar la

estabilidad de cuerpos rígidos, en análisis de choques, construcciones de

compuertas, de presas, etc. pues si sabemos la localización del centroide

sabremos como es afectada nuestra estructura por ciertas fuerzas

aplicadas sobre ella.

Un cuerpo simétrico nos permite determinar la ubicación del centroide

mucho más rápido que cuerpos que no lo son, ya que una de las

coordenadas del centroide pasará por el eje de simetría de dicho cuerpo.


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