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Disciplina: Sistemas Estruturais
Assunto: Estruturas Isostáticas – Momento Fletor e
Cortante
Prof. Ederaldo Azevedo
Aula 6
e-mail: [email protected]
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.1 Generalidades
As forças são classificadas em: externas e internas.
Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças
externas: ativas (cargas) e reativas (reações de apoio),
apresentam mudança da forma geométrica
(deformações). No momento em que um corpo deforma,
entra em estado de tensão.
Tensão é o estado que a matéria assume decorrente de
uma deformação.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.1 Generalidades
As forças se transmitem internamente de um ponto a
outro em um determinado elemento estrutural, por meio
das tensões.
A capacidade de transmissão de cargas está associada
às tensões admissíveis dos materiais de que são
compostos os elementos estruturais. Isso significa que,
dependendo do material de que é constituído determinado
elemento estrutural, maior ou menor será a sua
capacidade de transmissão de cargas.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2 Esforços Internos
As Forças internas são os esforços originados das
tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os
corpos rígidos.
As Forças internas são responsáveis por manterem
unidos os vários pontos materiais que constituem um
corpo rígido.
Determinar os esforços internos implica, determinar o
estado de tensão a que o elemento está submetido.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2 Esforços Internos
Para evidenciar as forças internas é necessário separar o
elemento estrutural em análise em duas partes, através
de um plano de corte imaginário. Este procedimento é
conhecido como método dos cortes ou método das
seções.
Neste estudo, serão abordados os esforços internos
associados ao estado simples e duplo de tensão.
Esforço cortante Q, Esforços normais N e Momento
Fletor M
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
A Determinação dos esforços internos independe das
características dos materiais.
Os Esforços Internos depende somente da forma
geométrica e dos esforços externos ativos e reativos e
portanto é um problema que pode ser resolvido pela
mecânica estática.
A determinação dos esforços internos é de fundamental
importância para o dimensionamento correto dos
elementos estruturais.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
Por exemplo: de posse do valor do Momento fletor
máximo de uma viga, o profissional calculista terá
condições de estimar as dimensões desta.
De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que uma
estrutura esteja estável, ou seja, em equilíbrio é
necessário que o somatório de todas as forças externas e
o somatório de todos os momentos de força que atuam no
sistema sejam iguais a zero.
∑(Fx=0) ∑(Fy=0) ∑(M=0)
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
Sendo o sistema carregado por uma carga vertical
uniformemente distribuída, cada apoio é responsável pela
absorção de 50% da carga vertical aplicada, ou seja, cada
apoio tem que resistir a 50% do peso da trave(vão).
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
Já a carga horizontal deverá ser absorvida em uma das
vinculações(apoio) do sistema.
Assim, podemos afirmar que o sistema apresenta um
equilíbrio global.
Agora separando parte do sistema(fig. a seguir), é
possível observar que o somatório das forças atuantes é
diferente de zero, o que indica que a parte do sistema
em análise não está em equilíbrio.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
Se o sistema (como um todo) está estável, como pode parte dele não
estar em equilíbrio? È que na realidade o sistema não pode ser
analisado em partes separadas, pois o elemento estrutural é um
conjunto monolítico, em que cada parte tem responsabilidade com
outra parte. A parcela de carga ativa que falta para estabelecer o
equilíbrio é fornecida pela parte suprimida da parte em análise em
razão dos esforços internos.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
Analisando a figura acima, concluimos que os equilibrios
vertical e horizontal estão garantidos.
E, Q é o esforço interno que garante o equilibrio vertical
do elemento em análise;
Q é o esforço cortante. O esforço cortante é
responsável pela transmissão de cargas oriundas das
tensões de corte.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
N é o esforço normal(perpendicular) horizontal,
responsável pela transmissão de cargas oriundas das
tensões de tração ou compressão.
Uma viga ao ser submetido a deformações curvas(fig.
abaixo), o elemento entra em estado de tensão de flexão,
em que existe uma variação de um:
Estado máximo de tensão de flexão, em que existe
uma variação de um:
Estado máximo de tensão de compressão até um:
Estado máximo de tensão de tração, passando por
uma linha neutra.
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6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
Conceito de viga: é um elemento estrutural, cuja forma
geométrica é a de uma barra prismática(prisma) longa, em
que dimensão e comprimento são bem maiores que as
dimensões da seção.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
Estruturalmente, a principal função das vigas é absorver
as cargas verticais e transmiti-las horizontalmente até os
pontos de apoio, geralmente pilares.
Geralmente, as vigas por estarem submetidas a esforços
verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e
tensões de corte, que dão origem aos esforços cortante
e aos momentos fletores.
Para dimensionar a seção de uma viga, é necessário,
portanto determinar os esforços cortantes e os momentos
fletores decorrentes das tensões a que a viga está
submetida.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
Como já vimos as forças internas aparecem aos pares
com sentidos opostos. Deste modo a parte esquerda da
seção age sobre a parte direita, da mesma forma que a
direita age sobre a esquerda.
Assim, o sentido das forças será definido quando o
elemento estrutural fica a esquerda da seção ou quando
fica a direita da seção.
Por convenção, os sentidos arbitrados das reações e
momentos nos diagramas abaixo serão utilizados para
cálculo dos esforços internos em todos os problemas
apresentados daqui em diante.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
Se analisarmos direito os diagramas de corpo livre dos
dois segmentos, verifica-se que os esforços internos que
surgem no ponto seccionado têm o mesmo módulo,
mesma direção e sentidos contrários, condição
necessária para satisfazer a Terceira lei de Newton e
manter o equilíbrio interno.
Segundo a terceira lei de newton, para cada força
aplicada a um corpo esse tende a devolver uma outra
força de mesmo módulo, mesma direção e sentido
contrário/ toda ação provém uma reação.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
Para determinação dos esforços cortante e momento
fletores adotaremos(esforços internos) o mesmo sistema
de referencia que adotamos para calculo de reação de
apoio, ou seja:
Sentido horário = (+)
Força para cima = (+) ; força para baixo =( -)
Força seta para direita =( +); força seta para esquerda = (-)
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
A partir do modelo estrutural, verificam-se as cargas ativas
atuantes, traça-se o diagrama de corpo livre e calculam-se
as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio
já estudadas no capítulo anterior.
Assim considerando o até agora estudado segue exercício
resolvido.
Exercício clássico:
1) Determinar os esforços internos(momento fletor e
Cortante) da viga isostática abaixo:
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução: as reações de apoio já foram determinadas em
exercício anterior e é o seguinte: RH=0; RV1=qL/2 ;
RV2=qL/2
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Determinado o equilíbrio externo do elemento, o próximo
passo é verificar os trechos de continuidade de carga.
Onde houver descontinuidade no carregamento ativo
significa que existem trechos que se comportam de
forma diferente. Sendo assim é necessário que cada
trecho seja analisado individualmente.
Para proceder à analise dos esforços internos, é
necessário dividir a viga em trechos de continuidade e
verificar as forças atuantes em cada trecho.
No modelo deste exercício existe apenas um trecho.
Portanto ele será seccionado apenas uma vez.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Escolhido o ponto do trecho a ser seccionado, traça-se o
diagrama de corpo livre de um dos segmentos A-S1 ou B-
S1, com todas as forças externas envolvidas e com os
respectivos esforços internos que surgem no ponto
seccionado.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Analise dos esforços internos a partir do segmento
esquerdo A-S1.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N + 0 =0 N=0 (esforço normal)
𝐅𝐲 = 𝟎 qL/2 – qx - Q = 0 Q= qL/2-qx(esforço cortante)
𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M + (N x 0) + (Qx 0) - (q.x.x/2) + (qL/2.x) = 0
- M - qx²/2 + qxL/2=0 - M= +qx²/2-qxL/2
- M= +qx²/2-qxL/2 (x -1)
M= -qx²/2+qxL/2 (momento fletor)
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Análise dos resultados:
O esforço normal é nulo, e isso é porque não existem
forças externas horizontais ou diagonais atuando na viga;
O resultado obtido para o esforço cortante é uma
equação de 1º grau do tipo: Y= ax + b, equação geral da
reta, donde: y= Q; a= q; b= qL/2;
O resultado obtido para o momento fletor é uma equação
de 2º grau do tipo: Y= ax² + bx + c, equação da curva,
donde: Y= M; a= q; b= qL; c= constante;
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Análise dos resultados:
Como os valores de Q e M são obtidos em forma de
equação, é possível determinar o valor dos esforços
internos em qualquer ponto da viga, transformando as
equações em funções de x, onde x é uma variável
contida no intervalo fechado ( 0 a L) que representa o
tamanho da viga.
Assim, para a equação do cortante, Q(x) = -qx + qL/2
(0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:)
x=0 Q= qL/2
x=L/2 Q=zero(na metade da viga esforço cortante é zero);
x=L Q= -qL/2
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Análise dos resultados:
Para a equação do momento fletor, M(x)= -qx²/2 + qxL/2
(0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:)
x=0 M=zero
x=L/2 M=qL²/8
x=L M=zero.
Para facilitar a visualização das deformações provocadas
pelos esforços internos atuantes nos elementos
estruturais, é possível traçar gráficos a partir dos valores
obtidos por meio das funções;
Esses gráficos são chamados de diagrama dos esforços
internos.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Diagrama dos esforços internos:
O diagrama dos esforços internos é representado no
plano cartesiano.
Para cada tipo de esforço é traçado um diagrama.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Nota:
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1. O eixo das abscissas(x) representa o eixo geométrico da viga;
2. O eixo das ordenadas(y) representa os esforços internos;
3. Observe que o valor do momento é máximo, no ponto em que o esforço
cortante é nulo. Essa é uma características das vigas simplesmente
apoiada;
4. Em muitos países, incluindo o Brasil, o gráfico usado para traçar o
diagrama do momento fletor é traçado com eixo das ordenadas apontado
para baixo, porque, dessa forma, a representação gráfica apresenta uma
grande semelhança com as deformações causadas pelos momentos
fletores.
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Nota:
1. O gráfico do diagrama do momento fletor já está
representado com o eixo das ordenadas apontando para
baixo;
2. Os resultados obtidos nessa análise são exatamente os
mesmos da análise anterior.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Exercício Resolvido 01:
Considerando o modelo estrutural com suas cargas ativas e
reativas, determinar:
a)Os esforços internos(cortante e momento fletor);
b)Traçar os diagramas dos esforços internos.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 1 ( 0;5)
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Q1 N1M1
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
x
S1
zero
q= 1,8 KN/m
3.375 kn
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
+
-
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N1 + 0 =0 N1=0 (ESFORÇO NORMAL)
𝐅𝐲 = 𝟎 3,375 – 1,800.X – Q1 = 0 Q1= -1,800.X + 3,375(esforço
cortante)
𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M1 - (1,8.x.x/2) + (3,375.X) = 0
M1= -0,9 X² + 3,375.X M1= -0,9 X² + 3,375.X (momento
fletor)
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas. ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 2 ( 5;7,5), em função da
descontinuidade da viga a partir do ponto 5m as equações são diferentes.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N2 + 0 =0 N2=0 (ESFORÇO NORMAL)
𝐅𝐲 = 𝟎 - 1,800.x + Q2 = 0 Q2= -1,800.X (esforço cortante)
𝐌𝐒𝟐 = 𝟎 +(1,800.x.x/2) + M2 = 0
M2= -900 X² M2= -0,9 X² (momento fletor)
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Traçar o diagrama de esforços internos.
Obs.: é possível observar que os valores, em determinado momento,
passam de positivos a negativos. Isso indica que existe um ponto da
viga em que o esforço cortante é nulo e que o momento fletor é
máximo. Para saber qual é esse ponto, é necessário igualar a equação
que determina o esforço cortante a zero.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
P/ Trecho 1 que possuem equações definidas para intervalo: (0;5) Δx – 0 a 5
X=0 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q=3,375 e na
equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=0
X=5 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q= -5,625 e
na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=-5,625.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Logo: igualando Q1= -1800.X + 3,375 a zero temos:
-1,800.X + 3,375=0
-1,800.X= - 3,375
X=3,375/1,800
X= 1,875m Logo na posição X=1,875m o esforço cortante é zero e o momento fletor é
máximo.
E o valor do Mf em 1,875 m é:
M1= -0,9 X² + 3,375.X
M= -0,9.1,875² + 3,375.1,875
= - 3,164+ 6.328
Mf = 3,164 KNm
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
E o valor do Mf no ponto 5,00 é:
M1= -0,9 X² + 3,375.X
M = -0,9.5² + 3,375.5
Mf= - 22,5 + 16,87
Mf=-5,63 KNm é momento fletor máximo da viga.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
E Para saber em que ponto o momento fletor é zero para o trecho 1, é
necessário igualar a equação que determina o momento fletor a zero.
Logo: igualando M1= -0,9 X² + 3,375.X a zero temos:
-0,9 X² + 3,375.X =0
-0,9 X² + 3,375X=0
X(-0,9X + 3,375)=0
X= 0
- 0,9X=-3,375
X= 3,75 m
Logo na posição X=3,75m o momento fletor é zero.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
P/ Trecho 2 que possuem equações definidas para intervalo: (5;7,5) Δx – 0
a 2,5
X=0 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=0 e na equação M2=
-0,9 X² e M1=0
X=2,5 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=4,5 e na equação
M2= -0,9 X² e M1=- 5,625
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas. Assim fazendo o diagrama temos:
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas. Assim fazendo o diagrama temos:
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Exercício resolvido:
Considerando o modelo estrutural, determinar:
a) Os esforços internos(cortante, normal e momento fletor) para as
seções transversais S1, S2 e S3.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
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Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Resolução:
Escolhemos a parte esquerda da viga, devido ao menor número de forças
externas aplicadas.
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Seção S1
Q1
N1M1
12,5 kN
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
1,0 m
A
S1
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0
𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN
𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 (N1 x 0) + (12,5x 0) - M1 + Q1.x1= 0
- M1 + Q1=0
M1=Q1
M1=12,5 kN.m
Os sinais positivos de N1 e M1 indicam que os esforços solicitantes
são positivos, como supostos inicialmente.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Seção S2
Escolheremos, de novo, a parte esquerda devido ao menor número de forças
externas aplicadas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0
𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN
𝐌𝐚 = 𝟎 (N2 x 0) + (12,5x 0) - M2 + Q2 x 3 + 1,5x5= 0
0 + 0 - M2 + 3Q2 + 7,5=0
- M2 + 3x7,5 + 7,5=0
M2=30 kN.m
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Seção S3
Neste caso será mais cômodo trabalhar com a parte direita da viga:
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0
𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN
𝐌𝐛 = 𝟎 (N3 x 0) + (17,5x 0) + M3 - Q3x2,5 +15x2= 0
0 + 0 - M3 -(-2,5.Q3) + 30=0
- M3 + 2,5.Q3 + 30=0
- M3 + 2,5x2,5+ 30=0 - M3 + 6,25+30=0
- M3= - 36,25 kN.m M3= 36,25 kN.m
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Exercício:
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Determinar as expressões de força cortante(Q) e momento fletor(M), e
construir os respectivos diagramas na viga com cargas concentradas abaixo.
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Exercício:
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0
𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN
𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 - M1 + Q1.x= 0
- M1 + Q1X=0
M1=Q1X M1=12,5X
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Exercício:
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0
𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN
𝐌𝐚 = 𝟎 - M2 + Q2 X + 1,5x5= 0
- M2 + Q2X + 7,5=0
- M2 + 7,5X + 7,5=0
M2= 7,5X + 7,5
6. Momento Fletor e Esforço Cortante Exercício:
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0
𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN
𝐌𝐛 = 𝟎 + M3 - Q3X +15x2= 0
- M3 -(-X.Q3) + 30=0
- M3 + Q3X + 30=0
- M3 + 2,5X+ 30=0 - M3 + 2,5X+30=0
M3= 2,5X + 30