1

CENNI SULLE VARIABILI ALEATORIE ............................................................................................................................. 2

1 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLE PROBABILITÀ................................................................................................................... 22 APPROFONDIMENTO SULLA TEORIA DELLE PROBABILITÀ ......................................................................................................... 3

2.1 Teorema della probabilità dell’evento complementare ................................................................................................... 32.2 Teorema della probabilità totale ..................................................................................................................................... 32.3 Fenomeno aleatorio condizionato ................................................................................................................................... 32.4 Indipendenza Statistica.................................................................................................................................................... 42.5 Teorema di Bayes ............................................................................................................................................................ 4

3 DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA.................................................................................................................................... 53.1 Funzione distribuzione..................................................................................................................................................... 53.2 Funzione densità di probabilità....................................................................................................................................... 6

4 APPROFONDIMENTI CON ESEMPI SULLE VARIABILI ALEATORIE ................................................................................................. 74.1 Variabili aleatorie discrete.............................................................................................................................................. 74.2 Variabili aleatorie continue.......................................................................................................................................... 10

2

Cenni sulle variabili aleatorie

1 Introduzione alla teoria delle probabilità

la teoria della probabilità si occupa dei valori medi di fenomeni di massa che avvengono simultaneamenteo successivamente nel tempo: emissioni di elettroni, chiamate telefoniche, rilevamenti radar, controllodella qualità di un prodotto, guasti in un impianto, meccanica statistica, indici di natalità e di mortalità,ereditarietà.

Alcuni esempi di fenomeni aleatori di interesse specifico nelle telecomunicazioni sono:• Errori introdotti dal canale di comunicazione sul messaggio trasmesso,• Numero e tipo di chiamate simultaneamente attive alla centrale di commutazione,• Errori di misura negli strumenti di acquisizione.

E’ stato osservato che in questi e altri campi certi valori medi si approssimano a un valore costante,allorché il numero delle osservazioni aumenta. Per di più, questo valore limite si mantiene invariato,anche se le medie vengono valutate su una qualunque successione parziale, definita prima chel’esperimento venga compiuto. Così, se ripetendo più volte il lancio di una moneta, la percentuale degliesiti “testa” si avvicina al 50% (valore medio), questo stesso valore si otterrebbe se si considerasse, adesempio, un lancio ogni quattro.

Un fenomeno aleatorio può essere caratterizzato secondo gli elementi descritti in tabella

Esperimento Descrizione delle modalità di attuazione di un fenomenoaleatorio

Prova Esecuzione di un esperimentoDeterminazione Valore che può essere assunto da una grandezza fisica a

seguito di una provaEvento L’evento si verifica se il risultato soddisfa certi requisiti.

La teoria si propone di descrivere e di predire tali valori medi e a questo proposito si associa a un certoevento la sua probabilità.

Nell’osservazione dei fenomeni aleatori, all’aumentare del numero delle osservazioni alcune grandezzetendono a valori costanti. Questo consente di definire la probabilità di un evento A tramite il rapporto frail numero nA di occorrenze dell’evento e il numero totale n degli esperimenti effettuati:

( )n

nAPr A

n ∞→= lim

Pr(A) è un numero reale positivo sempre compreso tra 0 e 1.

Gli eventi aleatori si definiscono in termini di insiemi e sono caratterizzati delle probabilità ad essiassociati. Ad ognuno dei risultati si associa con una corrispondenza biunivoca un punto nell’insieme(spazio) dei risultati Ω. Dato un evento E ad esso corrisponde l’insieme E dei punti di Ω corrispondenti airisultati favorevoli all’evento E. All’evento certo, cui sono favorevoli tutti i risultati possibili, corrispondel’intero insieme Ω e quindi la probabilità 1. Agli eventi si applicano le classiche operazioni tra insiemi, dicui alcuni esempi sono in tabella.

3

Operazione d’insieme Operazione sugli eventiComplementazione

AA ∉Ω∈= ωωω ,Evento “non-A”, che si verifica quandonon si verifica A

Unione

""

,

BoA

BA

∈∈

Ω∈=∪

ωω

ωωEvento “A o B”, che si verifica quando siverifica almeno uno dei due eventi A o B.

Intersezione

""

,

BeA

BA

∈∈

Ω∈=∩

ωω

ωωEvento “A e B”, che si verifica quando siverificano ambedue gli eventi A e B.

La probabilità Pr può essere definita come una funzione che fa corrispondere ad un dato insieme in Ω unvalore reale compreso tra 0 e 1:

Pr : F→ [0 , 1]

La probabilità gode delle seguenti proprietà (assiomi):

1) Pr(E) ≥ 0, ∀ E ⊂ Ω2) Pr(∪n En) = ΣnPr(En) ∀ E1 , …, En ⊂ Ω, Ei ∩ Ej = ∅3) Pr(Ω) = 1

2 Approfondimento sulla teoria delle probabilità

Questa sezione contiene una rassegna dei principali risultati sulla teoria della probabilità che possonoessere utili per uno studio approfondito sui fenomeni aleatori e sulle loro applicazioni nel campo delletelecomunicazioni.

2.1 Teorema della probabilità dell’evento complementare

Dato un evento ammissibile E con Probabilità Pr(E), la probabilità dell’evento complementare Pr(non-E)è pari a

Pr(non-E) = 1 – Pr(E)

2.2 Teorema della probabilità totale

Dati due eventi ammissibili A e B, non necessariamente mutuamente escludentisi (⇒ A∪B ≠∅), conprobabilità Pr(A), Pr(B), l’evento (A o B) è ammissibile, e la sua probabilità vale:

Pr(A ∪ B) = Pr(A)+ Pr(B) – Pr(A ∩ B)

2.3 Fenomeno aleatorio condizionato

Dato un fenomeno aleatorio descritto dallo spazio Ω ed un evento ammissibile Γ (cioè Pr(Γ)>0), si dicefenomeno aleatorio condizionato all’evento Γ il fenomeno aleatorio ottenuto da quello di partenzascartando i casi in cui l’evento Γ non si verifica. Rispetto al fenomeno aleatorio condizionato, il genericoevento E è rappresentato dall’insieme E ∩ Γ. Pertanto si definisce la probabilità condizionata di un eventoE rispetto a Γ il rapporto seguente:

4

( ) ( )( )Γ

Γ∩=Γ

PrEPr

EPr |

2.4 Indipendenza Statistica

In generale, sapere che si è verificato l’evento Γ modifica la conoscenza circa il contemporaneo verificarsidell’evento E. Infatti:

)()( EPrEPr ≠Γ

Se la conoscenza che si sia verificato Γ non porta alcuna conoscenza riguardo ad E, i due eventi si diconostatisticamente indipendenti. In particolare un evento E si dice statisticamente indipendente dall’evento Γse e solo se

)()( EPrEPr =Γ

Se l’evento E è statisticamente indipendente dall’evento Γ risulta:

)()()( EPrPrEPr Γ=Γ∩

2.5 Teorema di Bayes

Si consideri un fenomeno aleatorio complesso, cui siano associati due fenomeni aleatori sempliciinterconnessi fra loro, di cui solo uno direttamente osservabile. Si consideri ad esempio un sistema ditrasmissione in cui il canale introduce un errore di trasmissione. Un primo fenomeno aleatorio è costituitodall’emissione da parte della sorgente S di una sequenza di bit ak = 0 o 1. Il secondo fenomeno aleatorio(interconnesso al primo) è costituito dalla ricezione da parte del destinatario D di una sequenza di simbolibk = 0 o 1 che, a causa degli errori introdotti dal canale, non coincide necessariamente con ak. Le conoscenze a priori sulla sorgente si traducono sulla conoscenza delle probabilità con cui la sorgenteemette i simboli ak:

p0 = Pr(ak = 0) p1 = Pr(ak = 1) = 1 - p0

Le conoscenze a priori sui meccanismi fisici di trasmissione nel canale si traducono sulla conoscenzadelle probabilità dei simboli ricevuti bk condizionate ai simboli emessi ak:

Pr(bk = 0 | ak = 0) Pr(bk = 0 | ak = 1) Pr(bk = 1 | ak = 0) Pr(bk = 1 | ak = 1)

Il teorema di Bayes risponde alla domanda: se il simbolo ricevuto è bk = 1, qual è la probabilità che ilsimbolo emesso sia stato ak = 1 ? ovvero, come si calcolano le seguenti probabilità a partire dalle Pr(ak) edalle Pr(bk | ak)

Pr(ak = 0 | bk = 0) Pr(ak = 0 | bk = 1) Pr(ak = 1 | bk = 0)

5

Pr(ak = 1 | bk = 1)

Enunciato del teorema di Bayes: Sia dato un processo aleatorio con spazio Ω, si consideri una partizionecompleta Γ1,...Γm di Ω, (ovvero ∪j Γj = Ω con Γi ∩ Γj = ∅, i ≠ j), che corrisponde ad una serie completadi eventi mutuamente escludentisi Γi ed un evento ammissibile E. Note le probabilità Pr(Γi), i = 1,…m, ele probabilità condizionate Pr(E | Γi), i = 1,…m, la probabilità condizionata dell’evento Γh h = 1,…mrispetto all’evento E, è data da:

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

ΓΓ

ΓΓ=Γ m

jjj

hhh

PrEPr

PrEPrEPr

1

|

||

3 Definizione di variabile aleatoria

Dato un esperimento aleatorio che è caratterizzato dallo spazio dei risultati Ω, abbiamo definito laprobabilità associata ad eventi e cioè sottoinsiemi di risultati che appartengono a Ω. La variabile aleatoriamappa i singoli esiti del processo in valori reali. In particolare, vale la seguente definizione di variabilealeatoria: dato uno spazio di probabilità caratterizzato dallo spazio dei risultati Ω e dalla probabilità Passociata ai suoi sottoinsiemi, si definisce variabile aleatoria X(ω) una qualsiasi funzione X : Ω→ R taleche per ogni punto ξ di R l’insieme A corrispondente, ( ) ξωωω ≤<∞−Ω∈= XA |, , rappresenti unevento ammissibile.

Una variabile aleatoria X(ω) si dice discreta se esiste un insieme S = xi finito o infinito numerabile taleche ( )( ) 1| ==∑

∈Sxi

i

xXP ωω (condizione di normalizzazione). Una variabile aleatoria si dice continua

quando i valori che può assumere sono continui; in questo caso la precedente condizione dinormalizzazione vale in forma integrale.

3.1 Funzione distribuzione

La funzione distribuzione associata alla variabile aleatoria X, FX(x), è definita come la probabilità che lavariabile aleatoria X sia minore o uguale a x:

( ) xXxFX ≤=∆ Pr

Nella precedente notazione il simbolo maiuscolo (cioè X) indica la variabile aleatoria, mentre ilcorrispondente simbolo minuscolo (cioè x) indica una “manifestazione” (e cioè un possibile valore) dellavariabile aleatoria.

La funzione distribuzione FX(x) gode delle seguenti proprietà:

Non-negativa( ) 0≥xFX

Non-decrescente( ) ( ) 0, >∆∀≥∆+ xxFxxF XX

Continua da destra

6

( ) ( ) 0,lim0

>∆=∆+→∆

xxFxxF XXx

Tende a 0 al tendere a -∞ dell’argomento( ) 0lim =∆+

−∞→∆xxFXx

Tende a 1 al tendere a +∞ dell’argomento( ) 1lim =∆+

+∞→∆xxFXx

La probabilità di un evento ammissibile A, cui tramite la X corrisponde un insieme A(X) di R, può esserecalcolata tramite l’integrale:

( ) ( )( )∫=XA

X xdFAPr

3.2 Funzione densità di probabilità

La funzione densità di probabilità della variabile aleatoria X, fX(x), è definita come la derivata dellafunzione distribuzione rispetto a x:

( ) ( )dx

xdFxf X

X =

Due variabili aleatorie X1, X2 sono statisticamente indipendenti se e solo se è verificata la condizioneseguente per le funzioni densità:

( ) ( ) ( )2121 2121, xfxfxxf XXXX ⋅=

o (equivalentemente) per le funzioni distribuzione:

( ) ( ) ( )22121 121, xFxFxxF XXXX ⋅=

Il valore medio di una variabile aleatoria X è definito dal seguente operatore:

[ ] ( )∫=X

X dxxxfxE , dove l’integrale viene fatto su tutto lo spazio di variabilità di X

Il valore quadratico medio è ottenuto applicando l’operatore E[.] alla variabile X2:

[ ] ( )∫=X

X dxxfxxE 22 , dove l’integrale viene fatto su tutto lo spazio di variabilità di X

La varianza della variabile aleatoria X, σ2, si ottiene come segue:

( ) ( )[ ] 222 xExE −=σ

7

4 Approfondimenti con esempi sulle variabili aleatorie

Questa sezione ha lo scopo di fornire una rassegna molto dettagliata delle caratteristiche delle variabilialeatorie più comunemente usate nel campo delle comunicazioni.

Le variabili aleatorie possono essere di tipo continuo e discreto. La distinzione si fa in base all’insieme divalori che la variabile può assumere. Se la variabile aleatoria può assumere solo un insieme finito divalori si dice variabile aleatoria discreta. Pertanto mentre le variabili aleatorie sono contraddistinte dallerelative funzioni densità (o le funzioni distribuzione di probabilità), le variabili aleatorie discrete sonocontraddistinte dai valori puntuali delle probabilità.

Di seguito sono dettagliate le caratteristiche dei tipi più comuni di variabili aleatorie. Alcune di questevariabili possono essere particolarmente utili per caratterizzare, ad esempio, il canale di comunicazione ele caratteristiche del traffico.

4.1 Variabili aleatorie discrete

La distribuzione binomiale

Riferendoci ad un esperimento aleatorio, si ha dato evento A che ad ogni prova dell’esperimento siverifica con probabilità p. Supponendo che l’esito dell’esperimento sia indipendente da prova a prova,allora la probabilità che su N prove ripetute dell’esperimento, l’evento A sia stato soddisfatto X = k volte èdata dalla formula seguente (distribuzione di probabilità binomiale):

( ) [ ]NkppkN

kXrobP kNk ...,,1,0,1 ∈−

== −

dove ( )!!!

kNkN

kN

−=

è il coefficiente binomiale.

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = np; la varianza vale Var[X] = np(1 - p).

Un esempio di distribuzione di probabilità binomiale è mostrato in Fig. 1.

8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x

Prob

abili

tà

Fig. 1: Distribuzione di probabilità binomiale per N = 20 e p = 0.2.

La distribuzione geometrica

Sia dato un esperimento aleatorio, in base al quale si definisce l’evento A che ad ogni prova si verifica conprobabilità p. Supponendo che l’esito dell’esperimento sia indipendente da prova a prova, il numero diprove che occorre eseguire per aver verificato l’evento A è X = k secondo la seguente distribuzione diprobabilità geometrica:

( ) [ ]...,2,1,1 1 ∈−== − kppkXrobP k

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = 1/p; la varianza vale Var[X] = (1 - p)/p2.

Un esempio di andamento della distribuzione geometrica è indicato nella Fig. 2.

9

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

x

Prob

abili

tà

Fig. 2: Distribuzione di probabilità geometrica per p = 0.2.

La distribuzione di Poisson

Una variabile aleatoria discreta X ha distribuzione di Poisson quando la probabilità che si verifichil’evento X = k per k = 0, 1, 2, … soddisfa la seguente formula:

[ ]...,1,0,!

∈ρ

== ρ− kek

kXrobPk

dove ρ è un parametro (adimensionale) reale positivo; la distribuzione ha andamento decrescente con k,ma al crescere di ρ divengono maggiormente significativi i valori con k più elevato.

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = ρ; la varianza vale Var[X] = ρ.

Un esempio che illustra l’andamento della distribuzione di Poisson è indicato in Fig. 3.

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

Prob

abili

tà

Fig. 3: Distribuzione di probabilità di Poisson per ρ = 2.

4.2 Variabili aleatorie continue

Distribuzione esponenziale

Una variabile aleatoria con distribuzione di esponenziale ha la seguente funzione densità:

( ) [ )∞+∈λ

= λ− ,0,1

xexf xX

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = 1/λ (λ prende il nome di tasso e ha le dimensioni delreciproco di x); la varianza vale Var[X] = 1/λ2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

Funz

ione

den

sità

Fig. 4: Funzione densità di probabilità per un tasso λ = 0.2.

11

La distribuzione gaussiana

Una variabile aleatoria con distribuzione gaussiana con valore medio µ e varianza σ2 è caratterizzata dallaseguente funzione densità:

( )( )

( )∞+∞−∈πσ

= σ

µ−−

,,2

1 2

2

22

xexfx

X

σ è la deviazione standard.

La funzione densità di una variabile aleatoria x gaussiana con valore medio µ = 0 e varianza σ2 = 1 èrappresentata in Fig. 1.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

x

Funz

ione

den

sità

Fig. 5: Funzione densità di probabilità per una variabile aleatoria gaussiana con valore medio nullo evarianza unitaria.

La funzione distribuzione FX(x) associata alla densità gaussiana è ovviamente data dalla seguente

formula: ( ) ( )∫∞−

=x

XX dxxfxF . Tale integrale non può essere espresso in forma chiusa. Si introduce allora la

funzione ( )

=

−=

π= ∫

+∞−

221

21

21

21 2

2

xerfc

xerfdyexQ

x

y

. Riferendoci ad una variabile aleatoria

gaussiana con valore medio nullo e varianza unitaria, allora la sua distribuzione FX(x) può essere ottenutacome 1 – Q(x).

La distribuzione gaussiana ha un’interessante proprietà che va sotto il nome di teorema del limitecentrale: la somma di n variabili aleatorie continue identicamente distribuite e statisticamente

12

indipendenti tende ad una variabile aleatoria gaussiana se n (questo vale qualsiasi sia la funzione densitàdelle variabili aleatorie che si sommano).

La distribuzione lognormale

Una variabile aleatoria X è detta avere una distribuzione lognormale con parametri µ e σ, se ln(X) hadistribuzione normale con valore medio µ e deviazione standard σ. Equivalentemente X = exp(Y), dove Yha distribuzione gaussiana con valore medio µ e deviazione standard σ.

E’ possibile dimostrare che questa variabile aleatoria ha la seguente funzione densità:

( )( )

( )∞+∈πσ

= σ

µ−−

,0,2

1 2

2

2

)ln(

2xe

xxf

x

X

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = exp(µ + σ2/2); la varianza vale Var[X] = exp(2µ + 2σ2)-exp(2µ + σ2). Un esempio di distribuzione lognormale è dato in Fig. 6 per µ = 0 e σ = 0.2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-250

10-200

10-150

10-100

10-50

100

1050

Funz

ione

den

sità

x

Fig. 6: Funzione densità di probabilità per una variabile aleatoria lognormale con per µ = 0 e σ = 0.2.

La distribuzione lognormale serve per modellare la statistica del prodotto di un numero elevato divariabili indipendenti ed indipendentemente distribuite (teorema del limite centrale per il prodotto).

Distribuzione di Rayleigh

Una variabile aleatoria X con distribuzione di Rayleigh ha la seguente funzione densità:

( ) [ )∞+∈σ

= σ−

,0,2

1 222 xexf

x

X

13

Il valore medio di questa distribuzione è E[X] = ( )2/32 Γσ , dove Γ(x) indica la funzione Gamma di x;la varianza vale Var[X] = (2 – π/2)σ2.

Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione gaussiana, valore medio nullo evarianza σ2, allora la variabile Z = X2 + Y2 è distribuita secondo Rayleigh come indicato in precedenza.Invece Z2 ha distribuzione chi-quadro centrale con due gradi di libertà.

Distribuzione di Rice

Una variabile aleatoria X con distribuzione di Rice ha la seguente funzione densità:

( ) [ )∞+∈

σσ= σ

+−

,0,202

2

22

xxs

Iex

xfsx

X

dove I0(x) rappresenta la funzione di Bessel modificata del primo tipo di ordine 0 e s è il parametro dinon-centralità.

Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione gaussiana, valori medi µ1 e µ2

(rispettivamente) e stessa varianza σ2, allora la variabile Z = X2 + Y2 è distribuita secondo Rice comeindicato in precedenza, dove s2 = µ1

2 + µ22. Invece Z2 ha distribuzione chi-quadro non-centrale centrale

con parametro di non-centralità s.