708
The Finite Element Method Fifth edition Volume 1: The Basis

ceb.ac.inceb.ac.in/knowledge-center/E-BOOKS/The Finite Element Method Vol1 - The... · ceb.ac.in ... ˛E

  • Upload
    others

  • View
    12

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • ��� ������ ����� �����

    ����� ������

    ���� �� ��� �����

  • ��������� ��� ���������� ��� ���� ����� �� ��������� ������ �� ��������� �� ����� ��� �������� ������ � �������� � �� �������� �� ������������� ��� � ����� �� ����!" !���� �� �������� ������ � ��������� �� #������� �������� �� !������� $�������� �%��� � ��� �� ���� �� ��!���� �������� ��%��� � �� �������� �� ����� ������ &���� '()'�� '(*(� � ���&������ �� ��%��� �� �� �� �� %����� ����� �� +������ ��������� � '()* �� &���� �� ,����� ����� �� �� ������������ �������� ������� ������� �� ����������� ����� ���� ����� ���� �� �-�� -������ ��� +���� #�� ����%�� �� ./ ������� ������� �� �� ������ ���������0��1�����2 �� ���� � �&�� �� +�� �������� 3 � ����� �� ��� �������� ��� ����� ����&���� � �� ������� ������%�� �� �� +�� ���� ������ '(4*� �� &���� � ,����� �� �� 5���� ������ �� �� 5���� 6����� ����������� #��� ��� �������� &� ��� ������ �� � ������ �&�� � �� ����6����� �� �������� 7'(*'8� �� ������ 6����� �� ������ 7'(*98� �� !�����6����� �� ������� 7'((*8� �� �� ������ 6����� �� ������� ���� 76��������� :����8 7'(((8� � %�&������ �� +�� ����� �� ��� &��1 � '()4 �� � ������

    �� ��� &��1 � �� ��&-�� ��� '(4'�

    ��������� ���� ������ ��� ��� �� ;9 �����< �=%������ � �� ������� �� ���>���� �� �������� �� ����� ����� ������� �� ����� � ������� � '((' �� ��������� � �&�����% � �� ���� ������ 6����� �� �������� � �������� ����� ��������� �� �������� ����&���� � �� +��� �� ��%������ �������� � ��� �%%���� �� �� #�?� �� ������� :� ��������� �� �������� � '((.��� � '((/� �������� �� $��1���� !����� �� ������ ����� ������� &� ���������� �� !��������� $��1����� � '((4� ��������� #����� ��� ��� � ,����� �

    �� ���� 6�������� ��� !�%������ �������� �� ������ �� ��� ������,����� � �� �������� 6�������� �� !�%������ ��������� �� ���������� �� ��6!� @�� �� ����

    ������ ��������� #����� ��� ���

    � ���>���� ��%��� %������ ��� +�� ���� ������� �� �������� �� �>�������������� �� �� ������ ,�6�� �� ���� �����>���� � ������� �� �������� �����>��� ,�6� �� �� ����%����� ��� ����� �� �� &��1 � ������� �>����� ��+�� �������� %��&����

    ,�� ����� ����A 6 ,��� ���� ����� �� �� ����� ��� �%��� ������ 74)9�B;9%�8 ��� # 5��#��!� #�� ������� ��� ��� ���� �� +�� ���� ���� &� �� ������ "� ���� �� ���� ���������� �� ����� ��� �������� ������ � ��������� �������� �� ����� ������� ��� 7��� �� ������"� ���� �� ���� ���������� C��� ���< �� ��%������ ��� D�E

  • ��� ������ ����������

    ����� ������

    ���� �� ��� �����

    ���� ������������ ���� �� � ����!"#� �� $%������% �� #��%��� ������ �� ��!����%��!

    &���%������� ����%� ��% #��%��� ������ �� ��!����%��!� ��%�������%���� $%������% �� ��'� ��!����%��! �� (�%����% �� ��� &�������� ��%

    #��%��� ������ �� ��!����%��!� "��'�%���) �� *���� ������

    ��+� ��)�%$%������% �� ��� ,%����� ����

    (�-�%���� �� ��'� �� ��'�%������ ��!����%��!"��'�%���) �� �����%��� �� ��%���)

    ��%���)� �����%���

    "G,"5� 6�!�:6�� $"�#"� @" 6����$�5H ��:$"�5�� ��� ��: �

  • $�

    ������> ����

    :����� ����� @���� ���� "=���� "G. *��..9 �������� 6����� ��&��� �6 B'*B'>.B/'

    6 ������� �� 5��� ��������� �� ����������� ��&������ :�

    ,��� %�&������ � '()4 &� ��H���> ���,��� ����� %�&������ &� $�

    ������> ����

    .BBB

    � "�!� 0��1�����2 �� 5�:� #����� .BBB

    6�� ����� ��������� �� %�� �� ��� %�&������

    �� &� ��%������� � �� ������ ��� 7�������

    %�����%��� �� ����� � �� ���� &� ��������

    ��� �� ������ �� � ������� �� ���������

    � ��� ���� ��� �� ��� %�&������8 ����� ��

    ���

    � %������� �� �� ��%����� ������ �=��%

    � ��������� ��� �� %�������� �� �� !�%������

    ������ �� ���� 6� '(** �� ���� �� ��� �� �

    ������ ������ &� �� !�%����� :������ 6���� :��

    (B #�

    ��� !��� 5���� :���� ����� �'� ( ��

    6%%������� ��� �� ��%����� ������

  • (��������

    #��� &��1 �� �������� � ��� ����� ��� �� ����:�� �� ��� ������� ��� ���� ��%%�� �� %���������� �� %��%����� �� ��� &��1� �� ���� � ��� ����� ����� �� ���������� ��� ���� �� ����� ��������&��� � ��� 1������� �� �� +�� ����

    ����� � %�������� �� ����� ��1� � ���

    ��������� ������ "J �� �� ��� ����% � !���� ���

    ���� ���%� ��������� �� ��%%�� ����� ��

    %��%����� %�������

  • ��������

    ������� =�

    '� ��� %����������A �� ������ ������� ���� ''�' �������� ''�. #�� �������� ���� �� �� �������� ���� /'�; 6���&�� �� ������� �� � ������� *'�/ #�� &������ ������� ('�9 ��������� �� D��� ����1� 'B'�) #�� ������ %�

    �� '.'�4 #�� ������ ������� ���� '/'�* #��������� �� ��������� '9

    5�������� ')

    .� 6 ����� �%%����� � %��&��� � �������� '*.�' �������� '*.�. ����� �������� �� +�� ���� ������������� '(.�; H������2��� � �� ����� ����� .).�/ ���%����� �%%����� �� � ���2��� �� ��� %����� ����� .(.�9 !�������� ������� ;'.�) �������2��� ����� �� ��������� ��� ;..�4 ���%����� ������ ��� ��������� &���� ����� ;;.�* $��� � ���� ����� � � ���%����� �������� ;/.�( ����� ���2��� ;9.�'B 6 �=�%�� ;9.�'' !������� ����1� ;4

    5�������� ;4

    ;� H������2��� �� �� +�� ���� ����%�� H����1�>������� ���������� ��������� �%%������� ;(;�' �������� ;(;�. ������ �� C���1< ����� �K������ � �� ��L������ �K����� /.;�; 6%%��=���� � ������ ��������� /);�/ F����� ���1 �� �� C���1 ���< �� �K����&��� �K����� ���

    ������� �� ������ �� D���� 9;

  • ;�9 ������ �������2��� 99;�) !�������� 9*;�4 ��� ��� C��������� %����%�����-�� ��L������ �K����� ));�'B ��=��� ���� �� � ������ %��E )(;�'' !������� ��������� %����%���� :������ ���%����� ��

    ��-�� ������ 4B;�'. !������� ��������� %����%���� ����� ������ �� �� ����

    �K���� ���� 4);�'; !������� ����1� *.

    5�������� */

    /� ���� ����� �� %��� ���� *4/�' �������� *4/�. ���� ������������� *4/�; �=�%��� 3 � ������� �� %�������� (4/�/ ��� %������� �%%������� 'BB/�9 �%����� ���� �� %��� ���� ��� � ���%�����&�� ������ ''B/�) !������� ����1 '''

    5�������� '''

    9� 6=������� ����� ������� ''.9�' �������� ''.9�. ���� ������������� ''.9�; ��� ���������� �=�%��� '.'9�/ ����� %������� �%%������� '.;9�9 ��>�������� ������ './9�) 6=������ 3 %��� ���� �� %��� ����� './

    5�������� '.)

    )� #����>�������� ����� ������� '.4)�' �������� '.4)�. #��������� ���� ������������� '.*)�; !�%���� ����� ��� ���� ���� ';/)�/ �=�%��� �� �������� ����1� ';9

    5�������� ';(

    4� �����>��� +��� %��&��� 3 ��� �������� ������� �� �����%������ D��� D��� ��� '/B4�' �������� '/B4�. #�� ������ K����>������ �K���� '/'4�; ,��� ���� �������2��� '/;4�/ ��� ������ �%������2���� '//4�9 �=�%��� 3 � ������� �� �������� '/)4�) ��� %������� �%%������� '/(

    ���� ��������

  • 4�4 !������� ����1� ')'5�������� ')'

    *� C������< �� C������������< ���� ���%� ������A ��� ������������� �� !B ������ ')/*�' �������� ')/*�. ������ �� ������������ ����%� ')9*�; 5�������� ����� 3 ��� %�������� ����������� ')**�/ !�%������ �� %�������� '4'*�9 5�������� ����� 3 :������ ����� '4.*�) 5�������� ����� 3 C������%��< ����� '4/*�4 ������� �� ����� �����&��� &����� ����&�� 3 ��&�������� '44*�* #�������� ���� ����� '4(*�( :�� ����� '*;*�'B 5�������� %���� 3 :������ ����� '*/*�'' 5�������� %���� 3 C������%��< ����� '*9*�'. #��������� ����� '*)*�'; "��� ��%�� ����>�������� ����� '(B*�'/ ��������� %�������� � �� ������ '(B*�'9 #��> �� ����>��������� ����������� ����� �� �� C�������<

    �� C&���1< �%� '(;*�') #������ �� �������� ����� '(;*�'4 H��&�� �� ����� +�� ���� �%%��=���� '()*�'* �%����� �� �������� ��� ���������� ���� '(4*�'( !������� ����1� '(*

    5�������� '(*

    (� ��%%�� ����� �� ������� ������� 3 C�+��< �� C���������<����� .BB(�' �������� .BB(�. ��� �� C���%� ������< � �� ���&����� �� ��������

    ���������� .B;(�; H�������� ������&���� �� ����� .B)(�/ F������ �� �� �1�� ����� ���� �������� ����������

    ������ !����� ��K������ .B)(�9 �������� �� ���� ������ 7��������� � �� �� �

    ���������8 .B*(�) ���� ������� 6��� �� ����� ��������� .''(�4 !�������� �� ����� � ���������� ��������� .';(�* �������� ������� 3 ��>�������� .'4(�( �������� ������� 3 ��������� 7.�8 �� ���� %��� 7;�8

    ������ .'((�'B �������� ������� 3 �������� �� ��������� ������ ..'(�'' 5�K����� ����� �� ������� ������� ..;(�'. H������ �� +�� ���� ����� &� �%%��� $����� ������ ..)(�'; �+�� ����� �� �+�� ����� ..((�'/ ������� ����� &� �%%�� ��� ������� �������� ��� .;/

    �������� ��

  • (�'9 6 ��%������ ������� �� ��������� ������� +������� .;)

    (�') ��� %������� �=�%��� �� ��>�������� ����� ������� .;4(�'4 #����>�������� ����� ������� .;*(�'* ����� �� ��%���&���� .//

    5�������� ./)

    'B� #�� %��� ��� ������� �������� �� �>������� ����� .9B'B�' �������� .9B'B�. !�������� ��K������ .9''B�; #�� ��%�� %��� �� 7��� 6 �� $8 3 � �������� ������ ���

    ��������� .9;'B�/ H������2�� %��� �� 7�� !8 �� �� �����>���� �� .99'B�9 #�� �������� �� � ������� %��� �� .94'B�) ����� ����� %��� ��� .94'B�4 6%%������ �� �� %��� �� � %��� �������� ����� ���

    C������< �� C�������< K�������� .9*'B�* 6%%������ �� �� %��� �� � � ���%��&�� ���� .)/'B�( H������ �� ���%��&�� ���%� ������ ����� ������ ��

    %��� �� .)*'B�'B #�� ���1 %��� �� 3 �=�%�� .4B'B�'' ����� ����� %��� �� 3 ������� �� ��&��

    ��� .4''B�'. !������� .4;

    5�������� .4/

    ''� ��=�� �������� �� �������3 ��%��� +��� ����� .4)''�' �������� .4)''�. �������2��� �� �=�� ���� 3 ��� ������ ����1� .4*''�; ��&���� �� �=�� �%%��=����� #�� %��� �� .*B''�/ #��>+��� �=�� �������� � �������� .*/''�9 #����>+��� �=�� ��������� � �������� .('''�) 6 ������� ���� ������ �� �=�� �%%��=����� .(*''�4 !�%������ ���� ��� ����� ������ ;B'''�* !������� ����1� 3 �=�� �������� �� � �� �� ����

    C��&��

    ���< ;B/5�������� ;B/

    '.� ���%�����&�� �������� �=�� ����� �� ���� %��������� �������� ;B4'.�' �������� ;B4'.�. ��������� ����� �� ����� %������� �� ����� ����� ;B4'.�; #��>+��� ���%�����&�� �������� 7�3� ���8 ;B*'.�/ #����>+��� ����� ���%�����&�� �������� 7�3�3�� ���8 ;'/'.�9 5������ �� �������� ������� �� �� �K�������� � %����2��

    �=�� %��&��� ;'*'.�) 6 ��%�� ������� ������ %������ ��� �=�� %��&���A �2���

    ���� ;.;

    � ��������

  • '.�4 ��&���2�� ����� ��� ��� �=�� ����� ������ �����%�����&���� %��� �� ;.)

    '.�* !������� ����1� ;/.5�������� ;/;

    ';� ��=�� �������� �� ������� 3 ���%��� 7��&���8 +��� ������&������M#��L2 ����� ;/)';�' H����� ;/)';�. ������� ����� ��1 �� �� 7�� ���8 ��������&�� ���

    ��&����� ;/)';�; ������� ����� ��1 �� �� �� ��� �=�� ��� ��&����� ;/(';�/ ������� ���%����� C����< ;9B';�9 :�1�� �� &������ 7�� #��L28>�%� ������ &� �� C����< ��

    �%���+�� ���%������ ;99';�) ��&����� ��� C������< ����� �� ���&�� ������ ;)B';�4 :������ �����&��� �� ���������� H����1� �����E ;)'';�* !������� ����1� ;)'

    5�������� ;).

    '/� ������� �������� %�������� �� ����� ������ ;)9'/�' ��+��� �� ������ ;)9'/�. ��%����������� �� �%��� ��%��� %��� ;4B'/�; 5������� �� ������� �� ������� ;49'/�/ ��%��������� %��� �������� 3 ��5 ;44'/�9 5������� &� �K����&���� �� %����� 3 5�� ;*;'/�) ����� ������ &� �������� ;*9'/�4 "��� ����� ������� 3 �������� &���� ����� ;*4'/�* 6��%��� &�������� �� ��&��

    ��� �� ����� ������� 3 ��

    $�&��N 1� %��� �� ;(.'/�( ����� ������ ������ ����� ��E ;(*

    5�������� ;(*

    '9� 6��%��� +�� ���� ��+�� /B''9�' �������� /B''9�. ��� �=�%��� �� ���%��� �>��+�� /B/'9�; �>��+�� �� ��>��+�� /'9'9�/ !������� ����1� /.)

    5�������� /.)

    ')� ���>&���� �%%��=�����O ����>���� H����1� 3 �� ����������� ����� /.(')�' �������� /.(')�. ,���� �%%��=���� /;'')�; ����� ���� �K���� �%%��=����� 3 �������� �� ������

    �� �%%��=���� /;*')�/ ����������� ������ �� ���� ���� �K���� �=%����� //;')�9 ��� ��������� 3 +�� %�� ����� //)

    �������� ��

  • ')�) H����1� ������� �� +�� ����� ����� /9'')�4 ��� �� ���������� �� �%����� ������ &���� � ������ +��

    ����� �������� �� %����� �� ��� ��K����� /94')�* !������ /)/

    5�������� /)/

    '4� #�� �� ������ 3 ���>�������2��� �� +��� �� ����� %��&����� �������� ������ %��������� /)*'4�' �������� /)*'4�. ����� �������� �� ��>��%��� %��&��� ��� �%���� +��

    ���� ��&������� /)*'4�; H����� ������+���� /4)'4�/ ,��� ���%��� 3 ���������� ��� �����>����� %��&��� ��

    ����� ��&���� /44'4�9 ,��� ���%��� 3 ���������� ��� +��>����� %��&��� �� ���

    �������� ��� /*/'4�) ,��� ���%��� 3 ��%�� ����� ���������� /*/'4�4 ,����� %������� ���%��� /*9'4�* #����� ���%��� &� �������� %��������� /*)'4�( ����� �� ��%���&���� /(B

    5�������� /('

    '*� #�� �� ������ 3 ������� �%%��=���� � �� /(;'*�' �������� /(;'*�. ��%�� ��>��% �������� ��� �� +��>����� �K���� /(9'*�; H����� �����>��% �������� ��� +��> �� �����>����� �K����� 9B*'*�/ ������% ��������� �������� 9..'*�9 ��� ����1� � ������ %�������� �� ������� �������� 9;B'*�) #�� ���������� H����1� �%%��=���� 9;)'*�4 !������� ����1� 9;*

    5�������� 9;*

    '(� !��%��� ����� 9/.'(�' !��%��� %��&��� 3 ��+��� �� ������+���� 9/.'(�. ,����3������� ������� 7!���� � %��&��8 9/9'(�; ����3%��� D��� ������� 7!���� �� %��&���8 99*'(�/ �������� �����>%���� ����� 3 �%����3�=%���� %������

    7!���� � %��&���8 9)9'(�9 �������� ������ %�������� 9)4

    5�������� 94.

    .B� !�%��� %��������� ��� +�� ���� ������� 94).B�' �������� 94).B�. ��� �%� ����� 94*.B�; ����� ����� ��� ����� ������ 9**.B�/ ������ ����� 3 �� ���� %������� ������� 9(B.B�9 !�%���� �� +�� ���� ������ ������ 9(4

    ��� ��������

  • .B�) ������ �� ��������� ����� ����&���� �K����� )B(

    .B�4 �=���� �� ���+���� �� ��%��� %����� ������ )'*5�������� )'*

    6%%���= 6A ����= ����&�� ).B

    6%%���= $A #����>������� ���� � �� �%%��=���� �� ��������%��&��� ).)

    6%%���= !A $���� �K����� �� ���%����� ������� );9

    6%%���= �A ��� ������� ������� ��� � ������ );)

    6%%���= �A ��� ������� ������� ��� � �������� );4

    6%%���= ,A ��� ����� ����&�� );*

    6%%���= HA ������� &� %��� � �� �� ���� �������7H���

  • ���� .� �� �� ��%����%� ��������

    '� H����� %��&��� � ����� ������� �� �>�������.� ������ �� �>����� ����&���� �K�����;� ������� �������/� ���� &���� �%%��=����A �� 7�������L8 %���� �� !' ������ ��K����>��

    9� C#���1< 5������3����� %���� 3 ��������&�� �� �=�� ���������)� ������ �� � ����&�� �� D� �����4� 6=������� ������*� ������ �� � �%����� ���� �� ����>�������� ������� 3 5������3���������%���

    (� ���>�������� +�� ���� %�������� 3 ��� �� �������� ������ �� C+�����%< �����

    'B� H���������� �>����� %��&��� 3 +�� ��������''� ��>����� �������� %��&��� 3 ����� ���%����� �� ���&����'.� ������>����� �� �����3D�=�&�� &�����';� !�%��� %��������� ��� +�� ���� �������

    6%%���= 6A ������� �� �����>����� �����

    ���� /� ��� )�����

    '� �������� �� �� �K����� �� D��� ������.� !������ ������ %��&��� 3 +�� ���� �%%��=�����;� 6 ������ ������� ��� ��%�����&�� �� ���%�����&�� D��� 3 �� ������������&���� �%�� 7!$�8 �������

    /� ���%�����&�� ����� D�� 3 ����� �� �>����� D����9� ,��� ��������� &������ �� ��&��� ���%�����&�� D���)� !�%�����&�� ���� �%��� ��� D��4� �������>���� %��&���*� �����(� !�%��� �%������ �� �� !$� �������6%%���= 6� ��>���������� ��� �� ������3��1�� �K�����6%%���= $� ���������� H����1� ����� � �� ������ �� �� �������3

    ��L���� �K����6%%���= !� ����>&���� +�� ���� ��������6%%���= �� ���� ���� �����6%%���= �� $������ ����� 3 ������� D�� ���%���

  • $%�����

    � �� -�� ���� ���� ����� ���� ��� ������ ������ ������ �� ��������� ��� �������� ��������� ��� +�� %�&������� #��� &��1� ����� ��� �� +�� ��������� �� +�� ���� ����� %������� �� &��� ��� ����� �� ������ ������%>�� ��������� #�� �=%���� �������� �� +��� �� �%%������ �� +�� ����� ���

    � �� ����� ����� � '(4'� �� ���� � '(44 �� �� ����� � '(*( �� '(('� #����2� �� ���� �� ���� ������ �=%���� ����������� 7��� .4. %���� � '()4 � ������� ����� �� '/99 %���� � �� ������8� #��� ��� �������� � �� -����� � ���%���� �=%���� +��� �� %���������� �%%������ �� ��������� ��� ��� ��� +���>�� �� �� ���� ��� �������� � 1��% ���� ������ ���� ������&�� &������ ���� �� � �� ����� �� �������� ����� ������ �� �� ��&-�� �� �=%���� ��

    �� �%��� ������%�� ��� ��������� ��������� #�� %���� +�� ����� ������� ������ &� ������� �%��� ������%�� ����� ���� �������� � �� (B��#���� ������ ���� ��&-��� �� ���%��� ����� ������ ������� �� %�� &���������� �� �%%������� � D��� ������� ��� ������� �� ���� � �� �%���

    � � ������� ������ �� ������� ��2� �� �� &��1 �� �� �������� ���� ���������� ������ �������,������ �� ������ ���� ���� �� %���� ��&������� �� ���� ������� � ����� ��

    +�� ����� %������� �� ������ &���� �%%����&�� � ����� %��&��� ��� +���� �����

    �� ����� �� ���� ������ ��� ������ � ��� ������� �%��� � ����� �� D����������� ���%�������� #��� ������� ���� ����� � ������ ���� � ����F���� ' ����� � �%������� �� �%%����� ���� �%��� ��� �� ���% �� F����� . ��;� F����� . �� ; ��� ��� ������ � ��2� �� ��������� � ��� �%������2�� ��������� �� ��%�� �� F���� ' ���� ���% � ������� %��������� ������ �����������

    �� %��������� � �� ���� ����%� �� +�� ���� ������ � F���� ' ������� �� ���������% &���� �� +�� ���� ���� �� �� ��� ������� +����L����� �� &������ ������ ������ �� ���� �� ��� ����� �� ��������%%��=���� �� &� ��� � �� ��� ���� �� �� ���� ��������� ���������� ��� &� �������6������ F���� ' �� � ���

    � �� � ������ �= &��1� � �� ���������� ������� �

    ����� �� %��������� ����� �� �� ��%� ���� ���� +� � � &� �� ���� ���� ���>������ ����%� ��� ������� �������� �� %������� �� ������� ������� ��

    ����� �� ��� �� ���� �������� ��&��� � ����� ����� ��������� ����

    ������� �� %������� ��������

  • � F����� '� . �� ; �� ���%��� � ��%������ ����� ��� ��� ������� &�

    ��������� �� ��%��� ������ %������ � � ��& ����' #��� ��� �� ���� ��&��>

    ��� ������� �� � ��� ������� ������ � ��%��� �� %������ &� ���� ������� �� �� ������ ��� �� &��+ �� �� �� ���� �� �� %������ ������&��

    � �� �� ��� � ��� ��� �� � �� ��� ���� ��� �� � �� � �%��� �� �=%��

    �� ������&�� %�������#�� ������ ��� %���������� ���&�� � �� �������� !��� �� ��������

    ������ � �������� 7!����8 � $������� ��� ���� ������� ���� %��> ��%��>%�������� ���� 7H��8 � &� �������� ��� �� %�&������

  • ���� ������������ �� ����������� �����

    ��� ��������

    ��� ��������� � ��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ��

    � ����� ��� ������� � ��������� ������� �� ������� � � ������� ��� ��� ������ � ���������� ��� ������� �� ����� �������� ������ � ���������� ���� ��������� ������� ������� �� ��� �������� ��� ������ ������ ��� ��� ������� ���� ��� ������� �� � ����� ��� � ����� ��� ������� ��� ��������� � ��� ��������� ��������� ��� ������� � ������� ���� �� ������ ��� � ����

    ���� � �����

    ����� ������� � ����� ���� ��� ������� ��������� � ����� ��� ��������

    �� ���

    �� ��������� �� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��� ���������������� � � ����������� ���� ����� � ��!������� ������ � �������� �������������� ����� � �����

    ���� � �������� � ����� ���� ��� ������� ������� ��� ��� ����� � ������� �������� �������� ������� �� �������� �� �����

    ������� ��� �� ���

    ���� � ������� �� ���� ������ "� ��� �������� � ��� ��������� ����� ������ ������� �� �� �� ����� ������� �� ������������ ���������� #���� ��� ��������� ������������ �������� ����� ����� ��� ������������ ������������� ��������� ������ ��� ������������� � ��������� ����� � ���

    � �������� �����

    ������ � ������������� ���� ��� ���� � ���� ��� ������ ��� �� ��������� �������������� "�� ����� � �

    ��������� ������ �������� ���������� ��� ����� ��� ��� ���

    � ���� �� ���

    ���� � �������� ��������������������� ��������$��� � ���

    � ������� ��� ��� ��������� ��!������ ��

    ������������� �� �������� %������������ ���� �������� ������ ������������������ �������� � ��!������� ������ ������ ��� ������� ��� �� ���� ���������� ������������&�' ����� �������� ������� ���������(�) � ������������������ �� ��������� ��� ���������� � ������� ����� ���������� ���������� ��� ���� ���� ��� ��������� ��� ������ ��� ��������� �� �������� � ����� ������ ���� �������� ������� �� ���� ����� � � ���

    ������ *� ������� � ��� ���� � ���� �������� %�#����+ #���,!�-

    .�����,/� �� ����� 0������1 � ��� &1)2�� ����� ���� �������� �� ������ � � ������� ���

    � ������ �� �� ������ �� �������� ����� �����

  • � ��� ���

    � �� � ��������� � ������ ������� ����� 3����� � ��� ���� ������"������4 �� ���� �� ���1 ����� ���� � ��� ������� �� ���� �������� ��������� � ��������� �� �� ���� ��� ��� �!�������� �� �������� ���� ���������� � ��������� � � ���

    � ������ � � ��������� ��

    ����� �� ��� ��� �������� ������� ������ ���� ���� ��� ���� ����� ������� ���

    ��� 5���&2 ������� � �� ��� ���� � �� ���� ����� ����� ������� � �� � ������

    �� � � ������� ����������� �

    ������� �� �������� �������� 6�� ��������� ����� ��� ��������� �������� ���� �� � ��� ���� ��������� ��� ��������� � ������� ��������� � �� ������7 ��� ���� !��� � ����������� � ��� ������� � ������� �� ��� ��������� � ������� ������������������0��� ��� ����� &1-2� ��� ������� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����� ������

    ������� �� ������� ��������� ��� ���� ��������� �� �� ��� �8��� � ���� ���� ������� � ���� � ��� ���� ������ ����� �� � ������ ������������� ������� �� �����

    � ������� ���� �� �������������� ����� ����������� ��� ������� � ������� � � �������� ����� � ������� �������� ��� ���

    �������� ��� ��� ������ ��� ����� ������� ������ ���� ��������� ���� �������������9����������� ����������� �� ���� ������ � ��� ������� �� ��� �������� �������� ��� ���� �� ������ � ���������� ������� � ����������� ������������� �� ���� ���� � �

    ����� ��� � ��� �������� ��� ������� ������� �� �� ����� �� ��� ,� ������������� 0��������� ��� ���������� ��������� ������� ������ ���� � ����, � ���������� ������ :��������� ������������� ����; � �������� ������ ���� ����������� � ���������� ������ ������:<��; �� �������� �� �������� ������� �� ��� ������� � �������� ��������� �� ����� ���

    ��� � <���"�� ��� ������� ���� � ������� ������ ����� �� ��������� ��������� � ����

    ����� �������� �� �� ��� ������� � ���� � ������� �������� ������� �� ���� ����������� �� ��������� ������ ���� ����������� ��� �������� ���������� � ��� ��������%�� � ���� �� �������� ���� ���� �� ,� � �������� �� ��� ��������� ������ ����� �� ���������� "� ��� �������� � ������� ���� �������� ��� ��� ������ �������� ���� � �������� ���� ���� �� ������� ����� ������ �� ����������� ���� ������ ����� ��������� � ������� �������$������� �������� � � ���� �������� � �������� �������� �������� ����� � � ���

    ���� ������ � ��� ���� ������ ������ �� � ����� � ���������� � ����

    � ������� ��� ����

    :�; ��� ���

    � �� ������� �� � ����

    ���� � ����� :�������;� ��� ������� ������ �� �������� �� � ����

    ���� � ����������� ��

    :�; ��� ���� � ��� ������� ������ �� � �������� � ��� ������� ����� ���������� ��� ���� ���� �� ���� ���������� � ������� �������� ��������

    �� ���� �� �� ���� ��� ��������� ������������ ���������� �������� �� ������ ��� ����� ������ ����������� ��� � �������� ���� �� ���� �������� �� ����� ��=��� � �������� ��� ����� � ��� ���� ������ ����� �� ��� ����������� � ��� ����������� &�& ���� ��� ������ � ����� ����� ��� � ��� ���������� ������ �

    ���� ������ �������� 5������ ( ���� ����� � ��� ������� ��� ������������ ���������� ������� ��� ����� ��������� ������&&�'2

    � ���� ������������ �� ���� ������� �����

  • ����� ���

    >.?�.>>@�.? %"�#>%"��50

    �����������

    ���������������

    �����������������

    @������� &4/2&&

    @��$ &121&' ���

    ����������������

    ?��� &/1+&4

    ?����,� &1&+&1

    6��$�9A�� &1'('2���

    @������� &1&2&+

    3����� &1&4&-

    0������ &1)-&

    �����������

    ���������������

    #���,! &1)&-

    %�#��� &1)(+

    .�����, &1)1/���

    �������������������� ������

    5��� &1)(&(

    B�����90��� &1)/&)

    C��,�����$ &1-)'&

    ����������

    ��������

    "������ &1++4

    ���� �� ��� &1+-1

    �����

    � ���

    ���������������

    ����������

    D���� &1-'&/

    B@>0>.��E"F*�.��> >3>%>.� %>�#GE

  • ��� ��� ������� ����� � �� ������� �����

    � ������ ��� ������ � ��� ������ ����� � �������� ������� �� ����� ���������� � �������� �������� ������� � ����� �����������*���� &�& ��������� � ����������� ������� ��������� ��� ��������

    ������ �� �����

    ����� �� ��� ���

    ������ & � -� ��� 8��� �� ���

    ���� � ���� ����� ��� ��

    �� � ���� ����� ��

    � �� �����������"� � ������� ��� �� ���� �� ������ ���� �� �������� ��������� � �� ���� ������

    ��� ��� ������ � � ���������� ��� ��������������� � ���� ������ ��� ���������,�� ���� �� � ������� ������ �������� :&; �� ��������� ���� ��� &� '� ( ���������� ��� ����� ����� �� ��� ��� ��� ����� ����� �� ��� ������������� ����� ���� ��� ���������� ����� ����� ��� ������ :;� �� ��� ������������ ��� ���� ��� �� �� � ����������� ����,���� � ������ � ������ ����, ����� ��� ����� �� ��� ��������� ������������ ��� ����� �� ���������� ������� : � � �� � �; � � ��� ������� �������3����� ��� ����� ����� ��� ��� ��� :����� � ��� ���� ����������; � ��� ������

    :&; �� � ������� �� ����

    �& ��&&

    �&'

    �&(

    �����

    ����� �

    && �

    �&

    �&

    � � ���� �&�&�

    y

    y

    x

    x

    p

    p

    Y4

    X4

    V3

    U3

    1 2

    3 4

    5 6

    3

    1

    2Nodes(1)

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    A typical element (1)

    ���� ��� � ������� ������ ���� �� ��� ������������� ��������

    �" ������� ,������ � ������ ������� ���� �� ������ ������ ���� �,� ���� �� �������� ���������� �������� �� ���� � ������ �,�,����� ���� *� ������� � �������� ���� ��� ��8���

    � ����� ������� :"������ "; �� ������ � ����� �=���� ��������� � ������ ������� ��� ���� � ����

    ��� ��������� ������������ %������� :�� ������; ���� �� ����������� �� ��� ���� �������

    � ���� ������������ �� ���� ������� �����

  • �� �� ��� ��������� ��� ������������

    �& ��&

    �'

    �(

    �����

    ����� �& �

    �&

    �&

    � � ���� �&�'�

    "����� ����� ������� ������� � ��� ������� ��� �������������� ���������� ���������� �� � ��� ���

    �& � &�& � &� � &�2 �&�(�� ����� &� ��������� ��� ��� ����� ������� � ������ �� ���������� ���� ����� ��� ������ �� &�2 ��� ��� ����� ������� � ������ �� ������ ������ ��� ����� �� ����� �� ���������� ����� �� ��� ��� ��� � ��8��� � �� ��������������� ���� � ��� ����� ��������� ��� ����� ����� �� ����������� � ��� ����0��������� � ���������� ������� � ��������� ���� ������ � ��� ������ �

    �������� � ������ ������� �� �� �������� ��� � ���� � ��� ������ �

    ����� � ��� ��� ������������� E���� ��� �������� �� � ������ �& � ����������� ��� ���

    �& � �&�& � �&�2 �&�)��� ������ � ����� ��� �� ���� ����� ��� �������� �� � ��� ������ ������ ���

    ��� ����������� �������� ������ � �� ,� �� ��� ������ ���!��� ������ �� ��� ������ �� �� ���

    ������ ������ ������ �� � ������ :�;�@���������� � >�� :&�(; �� :&�); ���� ��� ���������� �� � ������� � � ����

    ��� ���� ����� ��� �� ���� ��� �����

    ���� ���� ������� � ������������ �� ������ � ����� 5������� ��� ���� ������� �� ������� ��������� ��������� " ������ :'; � ��� ����������� ������� ���� ������ �� ������ � �����

    ����7 ����� ��� ���� ���� � �����

    ���� � ��� ����� 0���������� �� ��� 8��� ���� �������� �� ������ ����� ������ � �������$�� ���� ��� �������$�� ����������� ��� ���� � �� ��������� ��� ���� � ����� ���������� � � ���� �� � ����� ������������� *� � ������� 8����� ��������������������� ���

    ���� � �������� ��� ������ ��� �� ���� H��� ������������������

    �� �

    ��&

    ��'���

    ���

    ���������

    ���������

    �� �� �

    �&

    �'���

    ��

    ���������

    ���������

    �&�+�

    ���� ���� ��� �� �� �������� ��� ����

    ���� � ������ � ������� �� ������������� �������� ��� �8���� � ���� �������� ���!��� �������� � ��� ������ ���� ������� ������ �� ����� �� � ��� ���

    � ����

    �� � � � ���

    ��� ��

    � ���

    ��� � � � � � � ���

    �&�-�

    ��� ������� ����� � �� ������� ����� �

  • � ����� ���� ����� ��� ���������� ����� ��� ���� ����� �� � ��� ��$� � � ����� ��� ���

    ���� � ���� ������ � �� �������� �� ���� ���"� � �������� ��� ������ �� ������ � ������� ��� � ���� ����� ! ��

    ���� " � � ����������� ������ ��� � *��� &�'� ��� ��� �� ��8��� � �

    ���� ������� ��� �� � ���� ������� ������ �����

    �2 � ������� � �� ��� ��=���� � ����� ������ �� � �� ��� ���������� �������� ��� ��� � ��� ��� ��� ����� �� ��� �������� ��� � �� ��� � ��� ����� �� ��

    ��������� ��

    � ���������������������������������������������������� � ���' � �� � ��'

    �� ��� ������� ��� ��� ���$��� ��

    � � ���& � � ��� � ��

    G�� �� ������ � ���� �� ����������� ���� � �� �������� �� ���

    ������� ��� ����� �� � ��� ������� ��� ��� �������

    �� �

    ��

    ��

    ��

    ��

    ���������

    ���������

    � �

    ��� ����

    ��� ����

    ���������

    ���������

    ��

    '

    �� �������� ��� ���������� ������ � ������ �������� ���'� 0��������� �������� ��� ������� ������ �2 � ����� ���� ������ �� ������ ����� ����� ���

    L

    n

    i

    y

    x

    C

    pVi (vi)

    Ui (ui)

    xi

    yi

    β

    E1 A1

    ���� ��� � ��������� ��

    � ���� ������������ �� ���� ������� �����

  • ������

    ��2 �

    ��

    ��

    ��

    ��

    ���������

    ����������2

    � �

    ������� ����

    �� �

    ���������

    ���������������

    *������ ��� ������ ������������

    �� �

    ��

    ��

    ��

    ��

    ���������

    ���������

    ���� ���� � ������ ��� � ��� ��� � ��� � ��� �� �� ����� ��� ��������� ������� ����� ��� ����� ���� ���� ������ �� ���� �� ��� @������������� � ��� ������� ��� �����

    ��� �

    ��

    ��

    ��

    ��

    �������������

    ��������������

    ��� ������ � ��� ������ ����� :&�(; ���� ��� ��� ����������� �� ������������ ���� ��������� �� �� ���� ���� ������ � �� ��� �������� �� �� �����

    � ��� ������ � ��� ��� � ������ :&�);� *� ������� �� ������ �� �����

    ��� ��������� # � ��� ��� ��� ������� ������ ��������� ��� ��� ����� ����

    � ��� ������ �� �� ��� � ��

    �� � � � ���������� �� ���� �� � �� � ���

    ����� ��� ��� ����� �!���� � ��� ������� ��� ���� ��� ������*� ��� ������ ������� ��� ������������ �������� � ������� ��� �������

    �� ��� ������ ��� � ��� ���� ���� ��� ������ ���� ������� �����$� ���� ��� �������� �����9��

  • ��� ������ ��������� ���� ������ � ���� � ������ ����� ����������� �

    ��������� ������� ����������� ��� �� ����������� �� ������ ���������� ��������� � ��� ������� ���� �� ���� ��� �� ���� ��������� �������� � ��� ���!��� ��=����� � ��� ��� ����� �� ���� ���� ���� ����

    �� �� � ��� �����,�� B������ �� �� ��������� ������ ���� ���� ��� ����

    �� � ��� ���������� �� ����� �������� ��� ���� �� ����� �� &1(+ ��� 0������������ ��� ��������� �������� ������''

    ��� �������� � ����� �� �������

    5����� ���� ��� ����������� ������� � *��� &�&� � ���� � ������� ����

    ��� �� ������ �

    :�; ����������� ������������ ��:�; ���������

    ���� � �� �������� �������"� ������ � ��� ������������ �I

    � ��&���

    ��

    �����

    ����� �&�/�

    ������ � �� ��� ���� ������� � ����� ��� ��� ������� ������������ ������������������� ��� ���� ������"� ��� ������ � ������ ��������� ���� ������� ��� �������� ����� � ����

    ���� ��� ���� �� �������� �� � ��������� ��������� ������ �� ��� ��� � ����������� ��� ������� ������ ���� ���� ��� ������������ �� ,��� ���� ����� ���� ��� ����� ��� �������� ������ �� ���������� ��� ����������� � �������� � ��� ��������� �� ������ �� �� �� ��� ��� �������������������������� � ����� �� ���� ������ �� >�� :&�);�5����� ��� ������� � �� ����� �� ������� ����� �I

    � ��&���

    ��

    �����

    ����� �&�4�

    ������� �� ��� ��� � ������ � ��� ���������� ���� ������� � ��� ���������������� "���� �� � � ��� ����� �� ��� ���� ��� ����

    ���� � �������� ���� � ��� ������ ������� ��������� � ��� ������� � �����

    �� ������

    �&�1�

    �� ��� 8��� ���� ������ ��

    ��� �� �� ���� ����� ��� ������ ���� � � ���������

    ���� � ������ ���� �� ��������� � ��� ��������� ������ � � ������� ��� �� ��� � �� ������������ ����

    ����� � �� ���� � ��� � �� ������ � ��� �� � ��� ����� ������������� �� ��� ������� ������ �� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ����

    � ���� ������������ �� ���� ������� �����

  • ������ �� ����

    �� �����&

    ��� � �&� � �'� � � � � �&�&2�

    � ����� �&� �� ��� ���� �������� � �� � �� ������ &� �'� �� ������ '� ����

    5������� �� ��� ������� ����� ����� ��� � ���� ������� �$�� �������� �� ������� ��� ��� ������� ��� ������ � ��� �������0�������� ��� ����� �������� � �� � ��� ��� ������ :&�(; �� ���

    ���� ��� ��������� �� ��� ��� :��� ������ ��� ���������� �;� �� ����

    �� ����

    ��&�� &

    ��& �

    �����&

    �� '

    ��' � � � � �

    ����&

    �� �&�&&�

    �����

    � � �� � ��2��� ������ ���� �� ����� ��� ������� ����� ������� � �� �� �� ���

    ��� ������ ��� ��������� �� ���� ������

    � � �� �&�&'�� ����� ��� ���������� ���

    � �����&

    ��

    � �����&

    ��

    �&�&(�

    ���� ������� ������ ��� �������� ���� ������ ��� �� �������� �� ���������� ������ �� � �� � ��=���� �� � ��������� ������ �� �� �� ��

    �� �� ����������� �� ��� ���������� ������� �������� � ��� ������� ���������� �������� ������ �� �� ��� �� �� ��� ����� �� �������� ������ ����� ���� ������ ���������� �� ����� �� ���� �������� �� ��� ��������� ��!���� ����� � �������� ������� ��� ��� �� ��� � �� ����� �� ��� ��

    ���������� ���� ��� ���� � ������ ������ ������ ���� � �� �� �� ������� ��� � �������� ��$�� ��� �������� ���������� � �� ����� ���� �������� ��� ���� � � ��� ����

    ���� � �������� ������ � ���� � ���������������� �� �������� �� � ������ ������� � ���������� ����� � � �� �� � ������� �� ���� �� � � ����� � ���� �� ������ �� �� �������� � ������� ������!��� ������ � ��� ������ �� ������ � ���������� :$��; ��=����� � �������� � ���� �������

    ��� ��� ������ �������

    ��� ������ � ������ ������� ��� >�� :&�&'; �� �� ����� �� ������������� ����� ������������ ���� ��� ���������� � ��� ������� � *��� &�&������ ��� ������ � ����������� � ��� & �� - ��� $��� ���� ���� ���

    ��� ������ ������� �

  • ��� �������� �

    �& � �- ��2

    2

    ����� �� �������� � ������ ���

    ���� � ��������� ������ :� ���� ������&'; �� ������� ��� ���� �� ���� ����� �� ��� ������ ��� ����

    ���� � ,�

    ����������� ������ � ������ �� ��� ������������ ������ ������ � ����������� ����� ������� � ������ :&�&'; � �� � ����� ��� ��� ����5������� ����� �������� � � �����

    ���� � ���������� ������������ �

    ������ ����� ��� ������� � ��� �������� �� �� ��������� � ���� ���� ������������� ��� ������������ ��

    � �� ����� ��������� �� ��� ����� � ��� �������� ���� ���������� ���� ���� ���� �� ���������� �������������� �� ��������� ���� ������� ����� � �������� � ������� ��� ���������� � ����������� ������������ ����� ��� �������� ����� ���� ������ � ��� ���� � �������� �� ������� ���������� ��� �� ���� � ��� ����� ����������� ��� ��� ������ � � ������ ��� ���������� ����� ��� ��

    &&�& � &'�' � � � � � �& � &'&�& � ''�' � � � � � �' � '����

    �&�&)�

    �� �� ���� �� ��� ���� �� �� ������������ ��� �� �& � ��&� �� ���������� ��� ���������� ������ �& ��

    � �� ���������� �������� �� ������ ,�� ������� ����� ��� ��� �� ������� �� �������� � ,� ����� � �& ���� �

    ��� ������� ������� ���� ������ �� ����������� �������� �� ������� �8������ �� ������ �� ����� � �����

    ����� �� � ��� ��=���� && ���������� ��� ��������� ����� �& � &� �� ��&�� �� � �� ���� ��� ������ ��� �������!��� ��=����� ���� �������� �!�������� �������� ��� ���� ����� �� ��� ������

    ��& � ���& �&�&+����� ��� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ���� ������ ������ ����������� ������ ������ ��� �������� � ��� ������� ������� " ������� ����������� ����� � �� ���� ���������� ������������ ��� ���� ������� ��� ������� ��B��� �� ����'( " ���������� ������� ������ ��� �������� � ��������������� � ��� ���� ���������� ����� ����� ���� �� �������� �

    5������ '2� �� ��� ��� ����� ������ ��� ������� ��� ������ � ��� ������ �� ��

    ����� �� ��� ,� ������������ �� ��������� �� ��� ������ ����� � ���� ������� �������

    ��� ������� � !��� �"��#�

    �������� ��������� � ������� ������ ��������������� �� � �������� ���� �� ��� ��� ��������� ������ 5������ �� ������� ��� �������� � �������������������� ��� � *��� &�(�

    � ���� ������������ �� ���� ������� �����

  • �� � ������� ��������� ������� �$� �� ������� ������ ���������������� ��G���� ������� ������ ������ ��� ������ ������ ��� ������ �� ��� ��� �� ��� �� ������� ��

    � �� �&

    ����� � ��

    � � �&

    ���� � ���

    � � ������ ��� �� ��

    � �

    � &

    ��

    �& �&

    �& &��

    ��

    ����� � � ������� ��� �� ������

    �� � ��� �&�&-����� ��� ������� �������� � ��� ���!��� ���������� :&�(;7 ����� �� � ������