CD5. TIch phan va ung dun.pdf

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 1 -

1/ Khái niệm nguyên hàm

� Hàm số ( )f x xác định trên K. Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của ( )f x trên K nếu:

( ) ( )F' x f x x K,= ∀ ∈ .

� Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K thì họ nguyên hàm của ( )f x trên K là

( ) ( )f x dx F x C const C. ,= + = ∈∫ � .

� Nếu mọi hàm số ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2/ Tính chất nguyên hàm

� Tính chất 1: ( ) ( ) ( )f x .dx f x dx f x C'

' . = = + ∫ ∫ .

� Tính chất 2: ( ) ( ) ( )k f x dx k f x dx k const. . . . : 0= ≠∫ ∫ .

� Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x .dx f x dx g x dx. . ± = ± ∫ ∫ ∫ .

3/ Bảng nguyên hàm cơ bản

� dx C0. =∫ . �

xx a

a dx Clna

. = +∫ .

� dx x C= +∫ . � cosx.dx sinx C= +∫ .

� α

α xx .dx C

α

1

1

+

= ++∫ .

5

� sinx.dx cosx C=− +∫ .

� 1

dx x Cx. ln= +∫ . ( )2

2

1.dx tan x .dx tanx C

cos x1= + = +∫ ∫ .

x xe dx e C. = +∫ . � ( )2

2

1.dx cot x .dx cotx C

sin x1= − + = − +∫ ∫ .

Mở rộng: 2

1 1dx C

xx=− +∫ .

2 2

x adx 1C

2ax a x aln − = + − +

∫ .

Chuyên đề

��

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG 5555 A – NGUYÊN HÀM

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

Lưu ý rằng:

Khi thay x bằng (ax + b) trong bảng nguyên hàm, thì khi lấy nguyên hàm, ta phải nhân

kết quả thêm a

1. Chẳng hạn như:

dx 1ax b C

ax b aln= + +

+∫ ,...

Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng

Page - 2 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Nếu: Bậc tử ≥ Bậc mẫu PP→ Chia đa thức.

Nếu: Bậc tử < Bậc mẫu PP→ Đồng nhất thức.

4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp

� Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP→ Khai triễn.

� Tích các hàm mũ PP→ Khai triễn theo công thức mũ.

� Chứa căn PP→ Chuyển về lũy thừa.

� Tích lượng giác bậc một PP→ Biến đổi tổng thành tích.

� Bậc chẳn của sinx và cosx PP→ Dùng công thức hạ bậc.

� Hàm hữu tỉ (không chứa căn)

� Phương pháp đổi biến số.

Nếu ( ) ( )f u .du F u C C,= + ∈∫ � và ( )u u x= có đạo hàm liên tục thì:

( ) ( ) ( )f x .u' x .dx F u x C = + ∫ .

� Nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u.dv u.v v.du= −∫ ∫ .

Chọn

u du dx

dv dx v

............... ...........

........ ................

= → = = → =

Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).

Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.

Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx, còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv

là phần còn lại,….

Lưu ý rằng:

Tách từ hàm Nhân thêm Có sẵn

Trong nguyên hàm từng phần: Bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số lần lấy nguyên hàm từng phần. Cách chọn u và dv cũng tuân theo qui luật trên. Chẳng hạn như khi đặt u = ln2x hoặc u = x2 + 1 thì ta phải lấy nguyên hàm từng phần hai lần trong cách giải mới đi đến kết quả sau cùng.

Khi tính nguyên hàm cần phải nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và phép tính vi phân.

Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. Điều đó cũng đồng nghĩa với khẳng định: “Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)”.

Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.

Khi tính nguyên hàm của hàm lượng giác, cần nắm vững công thức biến đổi lượng giác.

Vi phân

Nguyên hàm



��

Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

a/ ( ) 3 34f x x x

x= − + ĐS: ( ) C

422 3.ln

4

xF x x x= + + + .

b/ ( ) 3 4f x x x x= + + ĐS: ( ) C3 43 4 52 3 4

3 4 5F x x x x= + + + .

c/ ( )42 2x

f xx 2+

= ĐS: ( ) C32 2

3F x x

x= − + .

d/ ( )3 5

1 3 5

2f x

x x x= + + ĐS: ( ) C3 52 49 25

2 4F x x x x= + + + .

e/ ( ) 2

1xf x

x

−= ĐS: ( ) C

1lnF x x

x= + + .

f/ ( ) 22 sin2

xf x = ĐS: ( ) CsinF x x x= + + .

g/ ( ) 2tanf x x= ĐS: ( ) CtanF x x x= − + .

h/ ( ) 2cosf x x= ĐS: ( ) C1 1

sin22 4

F x x x= + + .

II – Dạng toán 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản

Phương pháp: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

Lưu ý :

� Để sử dụng được phương pháp này cần phải :

� Nắm vững bảng nguyên hàm.

� Nắm vững phép tính vi phân.

� Để chứng minh ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x . Ta chứng minh: ( ) ( )F' x f x= .

� Để tìm điều kiện của tham số sao cho ( )F x là 1 nguyên hàm của hàm số ( )f x , ta thực hiện:

� Cho ( ) ( )F' x f x= .

� Sử dụng đồng nhất thức để suy ra tham số.

� Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước, nghĩa là :

� Tìm ( ) ( )F' x f x C= + .

� Kết hợp điều kiện để tìm hằng số C.



i/ ( ) 2 2

1

sin cosf x

x x= ĐS: ( ) C2 cot2F x x=− + .

j/ ( ) 4 3sin cosf x x x= ĐS: ( ) C5 6sin sin

5 7

x xF x = − + .

k/ ( ) 2 sin 3 cos2f x x x= ĐS: ( ) C1cos 5 cos5

F x x x=− − + .

l/ ( ) ( )1x xf x e e= − ĐS: ( ) C21

2x xF x e e= − + .

m/ ( ) 22cos

xx e

f x ex

− = + ĐS: ( ) C2 tanxF x e x= + + .

n/ ( ) 3 1xf x e += ĐS: ( ) C3 11

3xF x e += + .

Bài 2. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )f x thỏa mãn điều kiện cho trước.

a/ ( ) ( ) 3 4 5 , 1 3f x x x F= − + = ĐS: ( )4

2 55

4 4

xF x x x= − + − .

b/ ( ) ( ) 3 5 cos , 2f x x F π= − = ĐS: ( ) 3 5 sin 2 3F x x x π= − + − .

c/ ( ) ( ) 23 5, 1

xf x F e

x

−= = ĐS: ( )

2 25 53 ln 2

2 2

x eF x x= − + − .

d/ ( ) ( ) 2 1 3

, 12

xf x F

x

+= = ĐS: ( )

2

ln 12

xF x x= + + .

e/ ( ) ( ) 1, 1 2f x x x F

x= + =− ĐS: ( ) 52 22

25 5

F x x x= + − .

f/ ( ) sin2 .cos , ' 03

f x x x Fπ = =

ĐS: ( ) 1 1 7cos cos6 2 12

F x x x=− − + .

g/ ( ) ( ) 4 3

2

3 2 5, 1 2

x xf x F

x

− += = ĐS: ( ) 3 2 5

7F x x xx

= − − + .

h/ ( )( )

( ) 3 2

2

3 3 7, 0 8

1

x x xf x F

x

+ + −= =

+ ĐS: ( )

2 8

2 1

xF x x

x= + +

+.

i/ ( ) 2sin ,2 2 4

xf x F

π π = =

ĐS: ( ) sin 1

2 2 2

x xF x = + − .



Bài 3. Chứng minh ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x .

a/ ( )( )

3 2

2

5 4 7 120

15 8 7

F x x x x

f x x x

= + − + = + − b/

( ) ( )( )

2

2

ln 3

1

3

F x x x

f xx

= + + = +

c/ ( ) ( )( ) ( )

4 5

4 1

x

x

F x x e

f x x e

= − = − d/

( )( )

4

5 3

tan 3 5

4 tan 4 tan 3

F x x x

f x x x

= + − = + +

e/

( )

( )( )( )

2

2

2 2

4ln

3

2

4 3

xF x

x

xf x

x x

+ = + − = + +

f/

( )

( )( )

2

2

2

4

2 1ln

2 1

2 2 1

1

x xF x

x x

xf x

x

− + = + + − = +

Bài 4. Tìm điều kiện tham số m, a, b, c để ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x .

a/ ( ) ( )( )

3 2

2

3 2 4 3

3 10 4

F x mx m x x

f x x x

= + + − + = + − ĐS: 1m = .

b/ ( )( )

2

2

ln 5

2 3

3 5

F x x mx

xf x

x x

= − + + = + +

ĐS: 3m = − .

c/ ( ) ( )( ) ( )

2

3

x

x

F x ax bx c e

f x x e

= + + = − ĐS: 0, 1, 4a b c= = =− .

d/ ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22 8 7

x

x

F x ax bx c e

f x x x e

−

−

= + + = − − + ĐS: 1, 3, 2a b c= =− = .

e/ ( ) ( )( ) ( )

2

2 3 2

x

x

F x ax bx c e

f x x x e

−

−

= + + = − + ĐS: 1, 1, 1a b c=− = =− .

f/ ( ) ( )( )

1 sin sin2 sin 32 3

cos

b cF x a x x x

f x x

= + + + =

ĐS: 0a b c= = = .

g/ ( ) ( )( )

2

2

2 3

20 30 7

2 3

F x ax bx c x

x xf x

x

= + + − − + = −

ĐS: 4, 2, 1a b c= =− = .



��

III – Dạng toán 2. Tính nguyên hàm ( )f x .dx∫ bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Nếu ( )f x có dạng ( ) ( ) ( )f x g u x .u' x = thì ra đặt ( ) ( )t u x dt u' x .dx= ⇒ = .

Khi đó: ( )f x .dx g(t).dt=∫ ∫ . Trong đó g(t).dt∫ dễ tìm được.

Lưu ý rằng: Sau khi tính g(t).dt∫ ta phải trả lại ( )t u x= .

Lưu ý. Thường gặp các trường hợp sau:

Dạng nguyên hàm

Cách đổi biến

� ( ) ( )nf f x f x dx. ' . ∫

( ) ( ) ( )n nnt f x t f x n.t .dt f x .dx1 '−= ⇒ = ⇒ =

� ( )nf x dx.... . . ∫

( )t dt dx.... ......= ⇒ =

� ( ) 1f lnx dx

x. .∫

1t x dt dx

xln= ⇒ =

� ( )f a x x .dx2 2 . .−∫

x a.sint dx a.cost.dt

x a.cost dx a.cost.dt

= = ⇒ = = −

( )f a x x .dx2 2 .+∫

( )

( )

2

2

2

2

adx .dt a tan t dtx a.tant cos t

x a.cott adx .dt a cot t .dt

sin t

1 .

1

= = + = ⇒ = = − =− +

� ( )2 2f x a .x .dx−∫

( )

( )

2 2

2

2 2

2

aax a. cot xx

t sin ta a

x x a. tan xt cos t

1sin

1cos

= = += ⇒ = = = +

� x

adx

e b.f

+ ∫

t 1x e t lnx dt .dx

x= ⇒ = ⇒ =

chẳn

chẳn

chẳn

Trong dạng � ta thường hay sử dụng công thức: sin2x + cos2x = 1.

Trong dạng , � ta thường sử dụng công thức: 2

2

1tan x

cos x1+ = ; 2

2

1cot x

sin x1+ = .

Trong dạng � ta thường sử dụng công thức: xa

a b x log b= ⇔ = .




Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.

a/ ( )115 1x xdx−∫ b/ ( )53 2

dx

x−∫ c/ 5 2xdx−∫

d/ ( )722 1x xdx+∫ e/ ( )43 25x x dx+∫ f/ 2 5

xdx

x +∫

g/ 2 1.x xdx+∫ h/ 2

3

3

5 2

xdx

x+∫ i/

( )2

1

dx

x x+∫

j/ 4sin cosx xdx∫ k/ 5

sin

cos

xdxx

∫ l/ 2

tan

cos

xdx

x∫

m/ 3

x

x

e dx

e −∫ n/

2 1. xx e dx+∫ o/ xedxx

∫

p/ 3ln xdx

x∫ q/ 1x

dx

e +∫ r/ tan

2cos

xedxx

∫


a/

( )321

dx

x−∫ b/

( )321

dx

x+∫ c/ 21 .x dx−∫

d/ 24

dx

x−∫ e/ 2 21 .x x dx−∫ f/

21

dx

x+∫

g/ 2

21

x dx

x−∫ h/

2 1

dx

x x+ +∫ i/ 3 2 1.x x dx+∫

j/ 2 2 1.x x dx−∫ k/ 2

2.4

xdx

x −∫ l/

2

1.3dx

x −∫



��



a/ ( )ln 1x x+∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) C2 21 11 ln 1

2 4 2

xF x x x x= − + − + + .

b/ ( )2 2 1 xx x e dx+ −∫ ĐS: ( ) ( ) C2 1xF x e x= − + .

c/ ( )sin 2 1x x dx+∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) C1

cos 2 1 sin 2 12 4

xF x x x=− + + + + .

d/ ( )1 cosx xdx−∫ ĐS: ( ) ( ) C1 sin cosF x x x x= − − + .

e/ .sin2 .xe x dx∫ ĐS: ( ) Csin2 2 cos2

5

x xe x e xF x

−= + .

f/ 2.cos .x x dx∫ ĐS: ( ) ( ) C2 sin 2 sin cosF x x x x x x= − + + .


a/ 2cosxe xdx∫ ĐS: ( ) ( ) C15 cos2 2 sin2

10xF x x x e= + + + .

b/ ( ) 2. sin 1999x xdx ÐHL −∫ ĐS: ( ) C21 1sin 2 cos2

4 4 8

xF x x x x= + + + .

c/ ( )cos lnx dx∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) Ccos ln sin ln2

xF x x x = + + .

d/ ( )2

ln cos

cos

xdx

x∫ ĐS: ( ) ( ) Cln cos . tan tanF x x x x x= + − + .

e/ ( )2

2

lnx x x k

dxx k

+ +

+∫ ĐS: ( ) 2 2ln( )F x x k x x k x C= + + + − + .

IV – Dạng toán 3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Vi phân

Nguyên hàm

Phương pháp

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u.dv u.v v.du= −∫ ∫ .

Chọn

u du dx

dv dx v

............... ...........

........ ................

= → = = → =

Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).

Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.

Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx,còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv là phần còn lại,….



f/ 2( 1)

xxedx

x +∫ ĐS: ( )1

xeF x C

x= ++

.

g/ 1 sin

1 cosxx e dx

x

++∫ ĐS: ( ) tan

2

x xF x e C

= + .

h/ sin ln(tan )x x dx∫ ĐS: ( ) ( )cos ln tan ln tan2

xF x x x C

= − + + .

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

a/ . .xx e dx∫ b/ .cos .x x dx∫ c/ ln .x dx∫

d/ ( )ln 1 .x x dx+ +∫ e/ ( )2 3 1 . .xx x e dx− + +∫ f/ . sin .x x dx∫

g/ sin(2 1).x x dx+∫ h/ ( )1 cos .x x dx−∫ i/ ( )1 2 .xx e dx−∫

j/ . .xx e dx−∫ k/ 2. ln .x x dx∫ l/ 2

. .xx e dx−∫

m/ ( )2. 1 .xe x dx+∫ n/ ( )1 .cos .x x dx+∫ o/ .cos .xe x dx∫

p/ .sin .xe x dx∫ q/ 2.cos .x x dx∫ r/ 2.cos .x x dx∫

s/ sin .x dx∫ t/ cos .x dx∫ u/ sin .x x dx∫

Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.

a/ xe dx∫ b/ ln .x dx

x∫ c/

ln .x dx

x∫

d/ 3sin .x dx∫ e/ .2 .xx dx∫ f/ 2. ln .x x dx∫

g/ 5

ln.xdx

x∫ h/ ( )

2

ln .x dx∫ i/ ..1

xx edx

x +∫

j/ 2. sin .x x dx∫ k/ ( ). sin 2 1 .xe x dx+∫ l/ cos .ln(sin ).x x dx∫

m/ 1

. ln .1

xx dx

x

+−∫ n/

( )2.cos

.1 sin

x xdx

x+∫ o/

2

sin.

cos

x xdx

x

+∫

p/ 2.

sin

xdxx

∫ q/ sin .cos .xe x dx∫ r/ 2

2( 2)

xx e dx

x +∫

s/ ( )21 tan tan xx x e dx+ +∫ t/

2

lnxdx

x

∫ u/ 3

21

xdx

x+∫



��


Tính nguyên hàm của các hàm số sau.

1/ sin

sin cos

xdx

x x−∫ 2/ cos

sin cos

xdx

x x−∫

3/ sin

sin cos

xdx

x x+∫ 4/ cos

sin cos

xdx

x x+∫

5/ 4

4 4

sin

sin cos

xdx

x x+∫ 6/ 4

4 4

cos

sin cos

xdx

x x+∫

7/ 22 sin .sin 2x xdx∫ 8/ 22 cos .sin2x xdx∫

9/ x

x x

edx

e e−−∫ 10/ x

x x

edx

e e

−

−−∫

11/x

x x

edx

e e−+∫ 12/ x

x x

edx

e e

−

−+∫

13/sin .

2013 sin cos

x dx

x x+∫ 14/6 cos .

5 sin cos

x dx

x x+∫

V – Dạng toán 4. Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng hàm phụ

Đặt vấn đề: Xác định nguyên hàm của hàm số ( )f x , ta cần tìm một hàm ( )g x sao cho nguyên

hàm của hàm số ( ) ( )f x g x± dễ xác định hơn so với ( )f x . Từ đó suy ra nguyên

hàm của ( )f x .

Mặt thực hành:

� Bước 1. Tìm hàm ( )g x .

� Bước 2. Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) ( )f x g x± . Nghĩa là:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

2

F x G x A x C

F x G x B x C

1

2

+ = + − = +

� Bước 3. Cộng ( )1 với ( )2 , ta được: ( ) ( ) ( )F x A x B x C

1

2 = + + là nguyên hàm của

hàm số ( )f x cần tìm.



��

VI – Dạng toán 5. Tính nguyên hàm lớp hàm hữu tỉ (phân số)

Bài toán : Tính ( )( )

P x.dx

Q x∫ với ( )P x và ( )Q x là các đa thức không chứa căn.

Phương pháp :

� Nếu bậc của tử ( )P x ≥ bậc của mẫu ( )Q x . Chẳng hạn như 3 2

2

x x x.dx

x

3 2− − +∫ . Ta sẽ

tiến hành chia đa thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính.

� Nếu bậc của tử ( )P x < bậc của mẫu ( )Q x và ( )Q x có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân

tích ( )( )

P x

Q x thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Ví dụ như :

( )( ) ( )( )A B a b

x a x b an bm ax m bx nx a x b ax m bx n

1 1 1 = + ⇒ = − − − − + +− − + + .

( )( ) ( )mx n A B

x bx a x b x a

+= +

−− − −.

( )( ) ( )2 2

A Bx C

x mx m ax bx c ax bx c

1 += +−− + + + +

với 2b ac4 0∆= − < .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

A B C D

x a x bx a x b x a x b

1= + + +− −− − − −

.

Một số loại khác

Loại :

( )( )1 n

2 2

PPdxI n N* x a.tant

x a,= ∈ → =

+∫ .

Loại : 2 2

PP1 1 1I f x dx t x

x xx. 1 .

= + − → = + ∫ .

Loại : ( )3 2

PPdxI a 0

ax bx c,= ≠ →

+ +∫ Ta tiến hành xét 2b ac4∆= − .

+ Nếu 0∆ = thì ( ) 2

3 2

dxI ax b dx

ax bx c

12 . ......

2a

−⇒ = = + =

+ +∫ ∫

+ Nếu 0∆> thì ( )( )3

1 2

I dxa x x x x

1.=

− −∫ ⇒ đồng nhất thức ⇒ kết quả.

với 1 2

x x, là hai nghiệm phân biệt của phương trình 2ax bx c 0+ + = .





1/ ( )4 2

1 2

3 2 1x x x dxI

x

− + −= ∫

ĐS:

3

1

13 2 ln

3

xI x x C

x= − + + + .

2/ ( )2

2

1

2

x x dxI

x

+ +=

+∫ ĐS: 2

2

1

2 ln 2

xI x C

x= + − +

+.

3/ ( )2

3

3 3

2 1

x x dxI

x

− +=

+∫ ĐS: 2

3

5 8 17 85ln

4 4 17 8 16

xI x x C= − + − + .

4/ 4

1.

2 3

xI dx

x

+=

+∫ ĐS: 4

1ln 2 3

2 4

xI x C= − + + .

5/ 5

3 1.2

xI dx

x

+=

−∫ ĐS: 53 7 ln 2I x x C= + − + .

6/ 3

6 2 1

xI dx

x=

+∫ ĐS: 2 2

6ln 1 1I x x C= − + + + .

7/ ( )7

1

dxI

x x=

+∫ ĐS: 7ln

1

xI C

x= +

+.

8/ ( )( )8

1 2 3

dxI

x x=

+ −∫ ĐS: 8

1 2 3ln5 1

xI C

x

−= +

+.

9/ 9 22 7 5

dxI

x x=

− +∫ ĐS: ( )9

2 2 5ln3 2 1

xI C

x

−= +

−.

10/ 10 2 7 10

dxI

x x=

− +∫ ĐS: 10

1 5ln3 2

xI C

x

−= +

−.

+ Nếu 0∆< ta biến đổi mẫu số:

2

2 b ∆ax bx c a x

2a 4a.

+ + = + + −

, rồi đổi biến

số bằng cách đặt: b ∆

x tant2a 4a

.+ = − , đưa bài toán về loại I1 mà đã biết cách giải.

Loại: 4 2

px qI dx

ax bx c.

+=

+ +∫ .

+ Nếu 0∆≥ ta tiến hành đồng nhất thức bình thường⇒Kết quả.

+ Nếu 0∆< ta biến đổi ( )

4 2 2

3A I khi ∆ 0

ax b dxp b.p dxI q

2a 2aax bx c ax bx c

2.

<

+ = + − + + + + ∫ ∫��

.

Tìm A : Đổi biến bằng cách đặt 2t ax bx c= + + .



11/ 2

11 2

1.1

xI dx

x

+=

−∫ ĐS: 11

1ln

1

xI x C

x

−= + +

+.

12/ 12 2 6 9

dxI

x x=

− +∫ ĐS: 12

1

3I C

x= +−

.

13/ 13 2 4

dxI

x=

−∫ ĐS: 13

1 2ln4 2

xI C

x

−= +

+.

14/ ( )( )14

.1 2 1

xI dx

x x=

+ +∫ ĐS: 14

1ln 1 ln 2 1

2I x x C= + − + + .

15/ ( )( )15

1

2 3

xI dx

x x

+=

− +∫ ĐS: ( )3 2

15

1ln 2 25

I x x C

= − + + .

16/ ( )

16 2

4 3

4 3

x dxI

x x

+=

− +∫ ĐS: 16

13 ln 3 7 ln 1

2

x xI C

− − −= + .

17/ ( )

17 2

2 7

5 6

x dxI

x x

+=

+ +∫ ĐS: ( )3

17

2ln

3

xI C

x

+= +

+.

18/ 18 4 25 4

dxI

x x=

− +∫ ĐS: 18

1 1 2 1 1ln ln

3 4 2 2 1

x xI C

x x

− − = − + + + .

19/ 19 24 8 3

dxI

x x=

+ +∫ ĐS: 19

1 2 1ln4 2 3

xI C

x

+= +

+.

20/ 20 23 2 1

dxI

x x=

− −∫ ĐS: 20

1 3 3ln4 3 1

xI C

x

+= +

+.

21/ 21 2

5 7

3 2

xI dx

x x

−=

− +∫ ĐS: 21

9 15 ln 1 ln

2 1

xI x C

x

−= + − +

+.

22/ 22 2

2 5

9 6 1

xI dx

x x

+=

− +∫ ĐS: 22

2 17 1ln 3 19 9 3 1

I x Cx

= − − + − .

23/ ( )23 2 2

dxI

x x=

+∫ ĐS: 2

23 2

1ln4 2

xI C

x= +

+.

24/ ( ) ( )

24 2 2

3 1

dxI

x x

=+ +

∫ ĐS: ( )( )24

1 3 2 4ln4 1 1 3

x xI C

x x x

+ + = − + + + + .

25/ 25 3

7 4

3 2

xI dx

x x

−=

− +∫ ĐS: 25

1 12 ln

1 2

xI C

x x

−=− + +

− +.

26/ 3 2

26 4 3

4 1x x xI dx

x x

− − −=

+∫ ĐS: 26 2

1 32 ln ln 1

2I x x C

xx= + + − + + .

27/ 27 3 26 7 3

dxI

x x x=

− −∫ ĐS: 27

1 2 3 3 1ln ln ln3 33 2 11 3

I x x x=− + − + + .

28/ 3

28 3

1

4

xI dx

x x

−=

−∫ ĐS: 28

1 7 1 9 1ln ln ln

4 16 2 16 2I x x x x C= + − − − + + .



29/ ( )3

29 2

3 2

2 1

x xI dx

x x x

− +=

+ +∫ ĐS:

29

42 ln 4 ln 1

1I x x x C

x= + + + − +

+.

30/ ( )( )

2

30 2

2

2 1

x dxI

x x x

+=

− +∫ ĐS: 30

94 ln 2 ln 1

1I x x C

x= − − − +

−.

Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số.

1/ 1 2 9

dxJ

x=

+∫ 2/

( )2 2

2 2

dxJ

x

=+

∫ 3/

( )3 3

2 4

dxJ

x

=+

∫

4/ 4 2 2 6

dxJ

x x=

− +∫ 5/ ( )

5 2

6 2

1

x dxJ

x x

+=

− +∫ 6/ ( )

6 2

2 1 .

3 4

x dxJ

x x

+=

+ +∫

7/ 7 2 2

dxJ

x x=

− +∫ 8/ ( )( )8 2 24 9

dxJ

x x=

+ +∫ 9/ ( )

10 2

1

4 8 5

x dxJ

x x

−=

− +∫

10/( ) ( )

2

10 22

4 3 1

1 1

x xJ dx

x x

+ −=

− −∫ 11/

( )( )( )

2

11 2

2 41 91

12 1

x x dxJ

x x x

+ −=

− − −∫


Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

1/ 2 2 1

dx

x x+ +∫ 2/ 24 4 1

dx

x x+ +∫ 3/ 2 5 6

dx

x x− +∫

4/ 3

1.

x xdx

x

+ +∫ 5/

5 4

3

8

4

x xdx

x x

+ −

−∫ 6/ 4 23 2

xdx

x x− +∫

7/ ( )( )1 1 2

dx

x x+ −∫ 8/ ( )( )2 3

dx

x x− +∫ 9/ 24 4 1

dx

x x− +∫

10/ 23 2 1

dx

x x− −∫ 11/ 4 22 1

dx

x x− −∫ 12/ ( )( )

2

2

2

2 1

x dx

x x x

+

− +∫

13/ ( )2

2

1

dx

x x +∫ 14/ 34

dx

x x+∫ 15/ ( )( )

2

2 21 4

x dx

x x− +∫

16/ 3

41

x dx

x−∫ 17/2

41

x dx

x−∫ 18/ 2

2

2 3 2

xdx

x x− −∫

19/ 3 26 7 3

dx

x x x− −∫ 20/ 3

3

1

4 1

xdx

x

−

−∫ 21/ 3 8

dx

x +∫




1/ 2 3

dx

x x− +∫ 2/ 2

2

1

xdx

x x

+

+ +∫

3/ 3

4 2 2

x dx

x x− +∫ 4/ 5

6 3 2

x dx

x x− −∫

5/ ( )3

2

3 2

2 1

x xdx

x x x

− +

+ +∫ 6/

( )3

2

3 2

2 1

x xdx

x x x

− +

+ +∫

7/

( )210 1

dx

x x +∫ 8/

2

4

1

1

xdx

x

+

+∫

9/ 3

2 21

x dx

x +∫ 10/

( )22 1

dx

x +∫

11/

( )

3

28 1

x dx

x +∫ 12/

( )32 1

dx

x +∫

13/ ( )

2

10

1

x dx

x−∫ 14/

( )

7

28 1

x dx

x +∫

15/ 3

6 37 8

x dx

x x− −∫ 16/ 41

dx

x+∫

17/ 41

dx

x−∫ 18/ ( )

2

5

1

x dx

x −∫

19/ 2 2 cos 1

xdx

x x α− +∫ 20/ 1 1

2 1 2 3dx

x x

− + +∫

21/ 2

4

1

1

xdx

x

−

+∫ 22/

( )210 1

dx

x x +∫

23/ 4

6

1

1

xdx

x

+

+∫ 24/ ( )3

6 4 24 4 1

x x dx

x x x

−

+ + +∫

25/ ( )

( )( )

2

2 2

1

5 1 3 1

x dx

x x x x

−

+ + − +∫ 26/ 9 53

dx

x x+∫

27/

( )

2001

100221

x dx

x+∫ 28/

3 1

dx

x −∫

29/ 3 1

dx

x +∫ 30/

( )

7

24 1

x dx

x +∫

31/ 4 23 2

xdx

x x− +∫ 32/ 4 2 1

xdx

x x− −∫



��

VII – Dạng toán 6. Tính nguyên hàm lớp hàm vô tỉ (chứa căn thức)

Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng ( ) ( ) PPf u x .v x .dx 90% → ∫ đặt ( )t u x= .

Trừ các trường hợp sau:

� Trường hợp 1: ( )2 2 PP x a.f x a x .dx

x a.

tan.

cot

t

t

=+ → =∫

� Trường hợp 2: ( )2 2 PP x a.sinf a x .x .dx

x a.cos

t

t

=− → =∫

� Trường hợp 3: ( )2 2 PP

ax

f x a .x .dxa

x

sin

cos

t

t

=− → =

∫

� Trường hợp 4: ( )n 2

PPdx 1x a

tx a . ax bx c→ − =

− + +∫ .

� Trường hợp 5: 31 2 kss s s nPPR ax b, ax b, ax b,......, ax b ax b t + + + + → + = ∫ .

(n là bội số chung lớn nhất của s1, s2, s3, …, sk)

� Trường hợp 6: ( )( )

( ) ( )PP1R dx

x a x bt x a x b

→ = + + + + + ∫ .

� Trường hợp 7: 2 2 2 2 2 2

x a x a 2x.dx dxdx .dx dx a.

x a x a 2 x a x a.

− −= = −

+ − − −∫ ∫ ∫ ∫ .

� Trường hợp 8: ( )dx 1= ax b ax c .dx

b cax b ax c+ + +

−+ + +∫ ∫ .

� Trường hợp 9:

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

2

2 2 2 2

a u xv x b.u x c

u x u x u x u x

α

α α α α

+ = + ++ + + +

.

Sau đó, dùng hệ số bất định để tìm a, b, c.

� Lưu ý:

Khi đổi biến (đặt ẩn phụ) , kết quả sau cùng phải trả về giá trị biến cũ.

Ngoài ra, ta còn gặp dạng ( )( ) ( )PPa.f x

.dx t f xf x

'→ =∫ .

Có thể dùng phương pháp “nhảy tầng lầu” để giải dạng bậc tử < bậc mẫu.

chẳn

chẳn

chẳn





1/ 1

5 2 .I x dx= −∫ 2/ 2

21.I x x dx= +∫

3/ 3

. 4 .I x x dx= −∫ 4/ 4

2

1.

2 2

xI dx

x x

−=

− +∫

5/ 5 3

1.

3 1

xI dx

x

+=

+∫ 6/

2

6 3

3

5 2

xI dx

x=

+∫

7/ 3

7 2.2

xI dx

x=

+∫ 8/

3

8 3 4.

1 1

xI dx

x=

+ +∫

9/ ( )329. 1 .I x x dx= +∫ 10/

10.

2 1 1

xI dx

x=

+ +∫


1/ 1

2

1.4

I dxx

=+

∫ 2/ 2

25.I x dx= +∫

3/ 3

2

1.

1I dx

x=

+∫ 4/

42

1.

3I dx

x=

+∫

5/ 2

51 .I x dx= −∫ 6/ 2 2

61 .I x x dx= −∫

7/ 7 24

dxI

x=

−∫ 8/

2

821

x dxI

x=

−∫

9/ 2

92

.1

xI dx

x=

−∫ 10/ 2

105.I x dx= −∫

11/ 11

2

1.

3 6I dx

x x x=

+ −∫ 12/

122

1.

. 2 2 1I dx

x x x=

+ +∫

13/ 13 2

1.

. 2I dx

x x x=

−∫ 14/

14 3

1.I dx

x x=

+∫

15/ 4

315

52 1

2 1I x dx

x

= + − +∫ 16/

16

1 1. .1

xI dx

x x

+=

−∫

17/ 317

1 1.

1

xI dx

x x

−=

+∫ 18/ ( )( )18

3 7

dxI

x x=

+ +∫

19/ 19

2 5 6

dxI

x x=

− +∫ 20/

202 6 8

dxI

x x=

+ +∫





1/ cos .x dx∫ 2/ 32 31x x dx+∫

3/ ( )1

dx

x x−∫ 4/ 2. 1.x x dx−∫

5/ .2

xdx

x +∫ 6/

2

1.

. 1dx

x x −∫


1/ 1

.1 1

dxx x+ − −

∫ 2/ 2 1 2 1

dx

x x+ + −∫

3/ 2 2 1.x x dx− +∫ 4/ 2 9.x dx+∫

5/ 2

2.

8

xdx

x+∫ 6/

2

1.

6dx

x−∫

7/ 24 .x dx−∫ 8/ 2 16.x dx−∫

9/ 2

2.

25

xdx

x −∫ 10/

( ) 21 1

dx

x x− −∫

11/ ( ) 2

1

1 1

xdx

x x

−

+ +∫ 12/

( ) 21 . 2 3

dx

x x x− − + +∫

13/ ( ) 21 . 3 2

dx

x x x+ + −∫ 14/

( ) 21 . 2 2 1

dx

x x x+ + +∫

15/ ( ) 22 3 4 12 5

dx

x x x+ + +∫ 16/

1.

1

xdxx

+−∫

17/ 21 4 .x x dx− −∫ 18/ 2

4

1.

xdx

x

+∫

19/ 2 2 3

dx

x x+ +∫ 20/

29 6

xdx

x x−∫

21/ 2 1

dx

x x− −∫ 22/

2

4 5

6 1

xdx

x x

+

+ +∫

23/ 2

2 1

xdx

x x+ +∫ 24/

3 3 1 2 1

dx

x x+ − +∫

25/

( )321

dx

x−∫ 26/

( )32 16

dx

x +∫

27/ 2 1

dx

x x x+ + +∫ 28/

2

2

1

xdx

x x+ −∫

VIII – Dạng toán 7. Tính nguyên hàm lớp hàm lượng giác



��

Phương pháp

� Tích bậc nhất của các hàm lượng giác PP→ dùng công thức biến đổi tích thành tổng :

( ) ( )ax. bx a b x a b x1

sin cos sin sin2 = + + − .

( )ax bx a b x (a b)x1

sin .sin cos cos2 = − − + .

( ) ( )ax bx a b x a b x1

cos .cos cos cos2 = + + − .

� Nếu gặp bậc chẳn của sinx và cosx PP→ dùng công thức hạ bậc :

2

2

x x

x x

1 1cos cos2

2 21 1

sin cos22 2

= + = −

( )

( )

( )

22

4 2

33

6 2

x x x x x

x x x x x

x x x

2

22

4 2 2

1 1 1 1 1sin sin cos2 cos2 cos 2 ...

2 2 4 2 4

1 1 1 1 1cos cos cos2 cos2 cos 2 ...

2 2 4 2 4

1 1cos cos cos2 ...

2 2

= = − = − − = ⇒ = = + = + + = = = + =

Một số phương pháp đổi biến thông thường đối với lớp nguyên hàm lượng giác

� Dạng: ( ) PPI f cosx .sinx.dx t cosx1= → =∫ .

� Dạng: ( ) PPI f sinx .cosx.dx t sinx2= → =∫ .

� Dạng: ( )( ) ( )

2

2

PP1

I f tanx . dxt tanxcos x

I f tanx . 1 tan x dx

3

3

= → = = +

∫∫

.

� Dạng: ( )( ) ( )

2

2

PP1

I f cotx . .dxt xsin x

I f cotx . 1 cot x .dx

4

4

cot

= → = = +

∫∫

� Dạng: ( )2

2 22

PP sin xI f sin x cos x .sin2x.dx t

cos x5;

= → =

∫

� Dạng: ( ) ( )( ) ( )

PPI f sinx cosx . sinx cosx dx t sinx cosx

t sinx cosxI f sinx cosx . sinx cosx dx

6

6

= + − = + → = − = − +

∫∫

2

dtdx

t

2

1

= +







1/ tanxdx∫ 2/ cotxdx∫

3/ 2cos xdx∫ 4/ 2sin xdx∫

5/ 2tan xdx∫ 6/ 2cot xdx∫

7/ 3sin xdx∫ 8/ 3cos xdx∫

9/ 3tan xdx∫ 10/ 3cot xdx∫


13/ 4cot xdx∫ 14/ 4tan xdx∫


18/ sin .sin 3x xdx∫ 19/ cos 7 .cos 3 .x x dx∫

21/ sin 5 .cos .x x dx∫ 22/ sin sin2 cos 5x x xdx∫

23/ cos cos2 cos 3 .x x x dx∫ 24/ cos 5 cos 4 sin 3 .x x x dx∫

�

( )2 2

dx dx dx

a x b x x xa b x a b2 2sin cos sin 2 sin cos2 2

α αα

= = + + ++ + +

∫ ∫ ∫

dx

x xa b2 22

1

2 tan cos2 2

α α

= + ++

∫ Đôibiê�nđặt� x

t tan2

α + =

� ( )B c. x d. xa. x b. x

Ac. x d. x c. x d. x

cos sinsin cos

sin cos sin cos

−+= +

+ +Đô ��â� ��ứ�� A B, .

� ( )B c. x d. xa. x b. x m C

Ac. x d. x n c. x d. x n c. d. n

cos sinsin cos

sin cos sin cos sin cosx x

−+ += + +

+ + + + + +

Đô ��â� ��ứ�� A B C, ,



Bài 2. Tính các nguyên hàm.

1/ 3sin .cos .x x dx∫ 2/ 3sin .cos .x x dx∫

3/ 3 4sin .cos .x x dx∫ 4/ 4 4sin .cos .x x dx∫

5/ 3

4

sin.

cos

xdxx

∫ 6/ 3

2

sin.

cos

xdxx

∫

7/ 5sin xdx∫ 8/ 5cos xdx∫

9/ ( )2sin cos 1 cosx x x dx+∫ 10/ 3cos

1 sin

xdx

x+∫

11/ 34 sin

1 cos

xdxx+∫ 12/

2

sin2

4 cos

xdxx−∫

13/ sin2 cos

1 cos

x xdx

x+∫ 14/ cos sin2xe xdx∫

15/ ( )sintan cosxx e x dx+∫ 16/ ( )sin cos cosxe x xdx+∫

17/ 21 2 sin

1 sin2

x

x

−+∫ 18/

2

sin2

4 cos

xdx

x−∫

19/ 1

sindxx∫ 20/

1

cosdxx∫

21/ 3

2

sin cos

1 cos

x xdxx+∫ 22/ ( )32sin2 1 sinx x dx+∫

23/ 2

cos

6 5 sin sin

xdx

x x− +∫ 24/ cos 3

sin

xdx

x∫

25/ 1 tan . tan sin2

xx xdx

+ ∫ 26/ 3sin 3 sin 3

1 cos 3

x xdx

x

−+∫

27/ cos2

1 cos

xdxx+∫ 28/

2 2

cos2.

sin .cos

xdx

x x∫

29/ 3

1.

sindxx

∫ 30/ 4

1.

sindxx

∫

31/ 3 3sin cos

dx

x x∫ 32/

4 4sin cos

dx

x x∫

33/ 3cos sin

dx

x x∫ 34/

1 cos

dx

x−∫

35/ 1 sin

dx

x+∫ 36/ 1 cos

1 cos

xdxx

−+∫



37/ 4 4

sin cos

sin cos

x xdx

x x+∫ 38/ 2

sin2

4 cos 2

xdx

x−∫


1/ 2

sin2

1 cos

xdxx+∫ 2/

2

sin 4

1 cos

xdxx+∫

3/ ( )32sin2 1 sinx x dx+∫ 4/ tan

2cos

xedxx

∫

5/ 1 tan

dx

x+∫ 6/ ( )2

2

tan 1

cos

xdx

x

+∫

7/

( )

3

22 5

sin

tan 1 cos

xdx

x x+∫ 8/

2 2

1

sin 9cosdx

x x+∫

9/ 2

1

2 cosdxx−∫ 10/

4tan

cos2

xdxx∫

11/ 3tan

cos2

xdxx∫ 12/ 6tan xdx∫

13/ 4

1

cos 2dxx

∫ 14/ ( )

2

4 2

sin

cos tan 2 tan 5

xdx

x x x− +∫

15/ 2 2sin 2 sin2 cos

dx

x x x+ −∫ 16/ 2 2sin cos

dx

x x∫

17/ ( )2

sin cosx x dx+∫ 18/ 42sin cot

dx

x x∫


1/ sin cos

sin cos

x xdx

x x

−+∫ 2/

cos2

sin cos 2

x

x x+ +∫

3/ 1 sin2 cos2

sin cos

x xdx

x x

+ ++∫ 4/

( )2cos2 .

sin cos 2

x dx

x x+ +∫

5/ ( )

sin4

sin2 2 1 sin cos

x dx

x x x

π −

+ + +∫ 6/ ( )2

cos2

sin cos 3

xdx

x x− +∫

7/ 2

6

sin

cos

xdxx

∫ 8/ 3 11sin cos

dx

x x∫



9/ 3sin cos

dx

x x∫ 10/

4tan

cos2

xdxx∫


1/ cos

2 cos2

xdxx+

∫ 2/ cos

7 cos2

xdxx+

∫

3/ 2

cos

1 cos

xdxx+

∫ 4/ sin2 sin

1 3 cos

x xdx

x

+

+∫

5/ 2

1

sin cotdx

x x∫ 6/

3

sin cos

sin cos

x xdx

x x

+

−∫

7/ 2

3 cot 1

sin

xdx

x

+∫ 8/

2 sin 2 sin

6 cos 2

x xdx

x

+

−∫

9/ cos sin

3 sin2

x xdxx

+

+∫ 10/

sin cos

1 sin2

x x

x

−

+∫

11/ 2

tan

cos 1 cos

xdx

x x+∫ 12/

2 2

sin cos

4 cos 9 sin

x xdx

x x+∫

13/ 2 2

sin2

cos 4 sin

xdx

x x+∫ 14/ 6 3 51 cos .sin cosx x xdx−∫

15/ 3

3

sin sincot .

sin

x xx dx

x

−∫ 16/

3

3

tan . cos cos.

cos

x x xdx

x

−∫


1/ sin .

sin cos

x dx

x x+∫ 2/ cos .

sin cos

x dx

x x−∫

3/ 4

4 4

sin .

sin cos

x dx

x x+∫ 4/ 6

6 6

sin .

sin cos

x dx

x x+∫

5/ 6

6 6

cos .

sin cos

x dx

x x+∫ 6/ 22 sin sin2x xdx∫

7/ 22 cos sin2x xdx∫ 8/ cos sin 1

dx

x x+ +∫

9/ 4 sin 3 cos 5

dx

x x+ +∫ 10/ sin

1 sin

xdx

x+∫

11/ 1 cos sin

dx

x x+ +∫ 12/ sin 7 cos 6

4 sin 3 cos 5

x xdx

x x

+ ++ +∫



13/ sin 3 sin 4

tan cot2

x xdx

x x+∫ 14/ 3sin

3 sin 4 sin 6 3 sin 2

xdx

x x x− −∫

15/ 2cos cos2x xdx∫ 16/ 3sin .sin 3x xdx∫

17/ 3cos cos 5x xdx∫ 18/ cos 3 . tan .x x dx∫

19/ cos 5 . tan .x x dx∫ 20/ ( )( )4 4 6 6sin cos sin cosx x x x dx+ +∫

21/ 1

sin 2 2 sindx

x x−∫ 22/ 4cot

cos2

xdxx∫


1/

sin sin4

dx

x xπ

+

∫ 2/

cos cos4

dx

x xπ

+

∫

3/

sin sin3

dx

x xπ

+

∫ 4/ 2 sin 1

dx

x +∫

5/ 2 cos 1

dx

x +∫ 6/ 2 sin cos

dx

x x+ +∫

7/ tan tan4

x x dxπ

+ ∫ 8/ tan cot3 6

x x dxπ π

+ + ∫

9/ 3 sin cos

dx

x x+∫ 10/

2 sin cos 1

dx

x x− +∫

11/ 8 cos

2 3 sin2 cos2

xdx

x x+ −∫ 12/

sin

1 sin2

xdxx+∫

13/ 2 sin 3 cos

sin 2 cos

x xdx

x x

++∫ 14/

( )2

sin 2 cos

3 sin cos

x xdx

x x

+

+∫

15/

( )3

sin 2 cos

3 sin cos

x xdx

x x

+

+∫ 16/

4 sin 3 cos

sin 2 cos

x xdx

x x

++∫

17/ 2cos

sin 3 cos

xdx

x x+∫ 18/

5 sin

2 sin cos 1

xdx

x x− +∫

19/ sin 7 cos 6

4 sin 3 cos 5

x xdx

x x

+ ++ +∫ 20/

2 23 sin 2 sin cos cos

dx

x x x x− −∫



Bài 8. Tính nguyên hàm các hàm số.

1/ 2tanx xdx∫ 2/ 2cosx xdx∫

3/ sin2xe xdx∫ 4/ 2 cosxe xdx∫

5/ 2 2sinxe xdx∫ 6/ cosaxe nxdx∫

7/ ( )sin ln tanx x dx∫ 8/ ( )ln tan

sin cos

x dx

x x∫

9/ ( )sin lnx dx∫ 10/ cos x

dxx

∫

11/ ( )2cos lnx dx∫ 12/ ( )cos ln 1 cosx x dx+∫

13/ 2sin

xdxx

∫ 14/ 2. tan .x x dx∫

15/ 2

. sin

cos

x xdxx

∫ 16/ 1 cos2

xdxx+∫

17/ 2sin 3.sin .cos .xe x x dx∫ 18/

sin

1 cos

x xdxx

++∫

19/ 2. . sin .xx e x dx∫ 20/ sin . ln(1 cos ).x x dx+∫

21/ 2sin 3.sin .cos ,xe x x dx∫ 22/

2 2sin 2 cos

dx

x x+∫

23/ 4 4

sin cos

sin cos

x xdx

x x+∫ 24/ ( )2 cosx x dxω∫

25/ ( )cot

ln sin

xdx

x∫ 26/

2

ln cos

cos

xdx

x∫

27/ 3 2

4

tan

cos

xdx

x∫ 28/

3 2 33 cos 2 sin cos sin

dx

x x x x− −∫



��

B – TÍCH PHÂN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Khái niệm tích phân

� Cho hàm số ( )f x liên tục trên K và a, b K∈ . Hàm số ( )F x gọi là nguyên hàm của ( )f x

trên K thì ( ) ( )F b F a− được gọi là tích phân của ( )f x từ a đến b và được kí hiệu là

( )b

a

f x dx∫ và ( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x .dx F x F b F a

a= = −∫ .

� Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay chox , nghĩa là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x .dx f t .dt f u .du F b F a......= = = = −∫ ∫ ∫ .

� Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục và không âm trên đoạn a b; thì diện

tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( )y f x= , trục Ox và hai đường thẳng

x a x b,= = là ( )b

a

S f x .dx= ∫ .

2/ Tính chất của tích phân

� ( ) ( )b a

a b

f x .dx f x .dx=−∫ ∫ .

� ( ) ( ) ( )b b

a a

k.f x .dx k. f x .dx k 0,= ≠∫ ∫ .

� ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x .dx f x .dx g x .dx ± = ± ∫ ∫ ∫ .

� ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x .dx f x .dx f x .dx= +∫ ∫ ∫ . (công thức phân đoạn)

Nếu ( )f x x a b0, ; ≥ ∀ ∈ thì ( )b

a

f x .dx 0≥∫ .

� Nếu ( ) ( )f x g x x a b, ; ≥ ∀ ∈ thì ( ) ( )b b

a a

f x .dx g x .dx≥∫ ∫ .

� Nếu ( )m f x M x a b, ; ≤ ≤ ∀ ∈ thì ( ) ( ) ( )b

a

m b a f x .dx M b a− ≤ ≤ −∫



��


Bài 1. Tính các tích phân.

a/ ( )2

3

1

2 1x x dx+ +∫ b/ 2

2 3 1

1

3 xx e dxx

+ + + ∫

c/ 2

2

1

1xdx

x

−∫ d/

2

2

1 2

xdx

x +∫

e/ ( )241

2

2

4xdx

x−

+∫ f/ 2

2

1

1 1e

x x dxx x

+ + + ∫

g/ ( )( )2

1

1 1x x x dx+ − +∫ h/ ( )( )2

1

1 1x x x dx+ − +∫

i/ ( )2

32

1

x x x x dx+ +∫ j/ ( )4

3 4

1

2 4x x x dx+ −∫

k/ 2 2

3

1

2x xdx

x

−∫ l/

2

1

2 7 5e

x xdx

x

− +∫

m/ 8

3 21

14

3x dx

x

− ∫ n/

4

4

0

3x

x e dx − ∫ o/ ( )

12

0

3 2x x dx−∫

II – Dạng toán 1. Tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản

Phương pháp

Biến đổi biểu thức để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản. Sau đó, tìm nguyên hàm ( )F x

của ( )f x , rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: ( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x .dx F x F b F a

a= = −∫ .

Một số phép biến đổi biểu thức cơ bản:

+ Nhân phân phối: ( )( )a b c d ac ad bc bd+ − = − + − ……

+ Khai triễn các hằng đẳng thức ( )2 2 2A B A A.B B2.± = ± + ;

( )3 3 2 2 3A B A A B AB B , 3 2 ......± = ± + ±

+ Thêm bớt hạng tử: ( ) ( ) ( )2 2XbX X B B, X b x x

b, 0 , tan 1 tan 1= + − = ≠ = + − ,

( ) ....2 2cot 1 cot 1,x x= + −

+ Nhân lượng liên hiệp: A B

A B , A B

.......−

± =∓

+ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức lượng giác.




a/ 2

1

1x dx+∫ b/ 5

2 2 2

dx

x x+ + −∫ c/ ( )

2

32

1

x x x x dx+ +∫ d/

2

20 1

xdx

x−∫ e/

2 2

3 30

3

1

xdx

x+∫ f/

4

2

0

9x x dx+∫

g/ 4

3 2 3

dx

x x+ + −∫ h/

2

1

2 1

( 1)

xdx

x x

++∫ i/

2

5 3

1

dx

x x+∫


a/ 0

sin 26

x dx

π

π + ∫ b/ ( )

2

3

2 sin 3 cosx x x dx

π

π

+ +∫ c/ ( )6

0

sin 3 cos2x x dx

π

+∫

d/ 4

2

0

tan

cos

xdxx

π

∫ e/ 3

2

4

3 tan xdx

π

π

∫ f/ ( )4

2

6

2 cot 5x dx

π

π

+∫

g/ 2

0

1

1 sindxx

π

+∫ h/ 2

0

1 cos

1 cos

xdxx

π

−+∫ i/

22 2

0

sin cosx xdx

π

∫

j/ ( )3

2

6

tan cotx x dx

π

π

−

−∫ k/ 2

2

sin4

sin4

x

dx

x

π

π

π

π

−

− +

∫ l/ 4

4

0

cos xdx

π

∫


a/ 1

0

x x

x x

e edx

e e

−

−

−

+∫ b/ ( )2

2

1

1

ln

x dx

x x x

+

+∫ c/ 1 2

0

4

2

x

x

edx

e

−

+∫

d/ ln 2

01

x

x

edx

e +∫ e/ 2

1

1x

x ee dx

x

− − ∫ f/

1

02

x

x

edx∫

g/ 2

cos

0

sinxe xdx

π

∫ h/ 4

1

xedxx

∫ i/ 1

1 lne

xdx

x

+∫

j/ 1

lnexdx

x∫ k/ 2

1

0

. xx e dx∫ l/ 1

0

1

1 xdx

e+∫

m/ 3

11x

dx

e −∫ n/ 4 2

0

1 2 sin

1 sin2

xdxx

π

−+∫ o/ ( )

2sin

0

cos cosxe x xdx

π

+∫

��

III – Dạng toán 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Bài toán: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x .u' x .dx F u x F u b F u a

a = = − ∫ .





� Biến đổi thuận, đặt ( )x φ t= :

14/ Dạng ( )2 2f x a x .dx.+∫ Đặt x a. t

x a. t

tan

cot

= =

15/ Dạng ( )2 2f a x .x .dx−∫ Đặt x a.sin

x a.cos

t

t

= =

16/ Dạng ( )2 2f x a .x .dx−∫ Đặt

ax

ax

sin

cos

t

t

= =

17/ Dạng ( )n 2

dx

x a . ax bx c− + +∫ Đặt

1x a

t− =

chẳn

chẳn

chẳn

18/ Dạng x

adx

e b.f

+ ∫ Đặt tx e t lnx= ⇒ =

Lưu ý

Khi gặp dạng � �f�x�� . g�x�. dx

đ�"ô� � t = �f�x�� trừ các trường hợp trên.

Đổi biến thì phải đổi cận : $ % &

' = (�$� (�%� (�&�


Bài 1. Tính các tích phân sau.

a/ ( )1

19

0

1x x dx−∫ b/

( )

3

32

1

0 1

xdx

x+∫ c/

5

2

1

01

xdx

x +∫

d/ 1

0 2 1

xdx

x +∫ e/

1

2

0

1x x dx−∫ f/ 31

2

0

1x x dx−∫

g/ 2 3

52 4

dx

x x +∫ h/

3 5 3

20

2

1

x xdx

x

+

+∫ i/

ln 2

01

x

x

edx

e+∫

j/

( )

3ln

30 1

x

x

e dx

e +∫ k/

1

2 ln

2

exdx

x

+∫ l/

1

1 3 ln . lne

x xdx

x

+∫

m/ 2

2 20

sin2

cos 4 sin

xdx

x x

π

+∫ n/

2 3

2

0

cos .sin

1 sin

x xdx

x

π

+∫ o/ 6

2 2

0

sin2

2 sin cos

xdx

x x

π

+∫



p/ 3

2

4

0

sin

cos

xdxx

π

∫ q/ 2

0

cos sin cos

2 sin

x x xdx

x

π

++∫ r/

2

2

0

sin2

1 cos

xdxx

π

+∫

s/ ( )

π

42

2

0

tan 1

cos

xdx

x

+∫ t/

π

2

π

4

2

3 cot 1

sin

xdx

x

+∫ u/

π

4

0

cos2

sin cos 2

xdx

x x+ +∫


a/

1

2

20 1

dx

x−∫ b/

1 2

20 4

xdx

x−∫ c/

2

2 2

1

4x x dx−∫

d/ 3

2

03

dx

x +∫ e/ 1

2

09

dx

x +∫ f/ ( )( )

1

2 20 1 2

dx

x x+ +∫

g/ 1

4 2

01

xdx

x x+ +∫ h/

( )

1

22

0 2

dx

x+∫ i/

( )

1

32

0 1

dx

x+∫

j/ 0

21 2 2

dx

x x− + +∫ k/

2 2

3

1

1xdx

x

−∫ l/

( )

1

520 1

dx

x+∫

m/

2

3

22 1

dx

x x −∫ n/

2

2 2

20 1

xdx

x−∫ o/

2

2

0

2x x x dx−∫

p/

2

2

0

1

1

xdxx

+−∫ q/

1

0

1.

3 1dx

x x+ + −∫ r/

( )

1

20 1 1

dx

x x− −∫

s/ 4

30 2 1 2 1

dx

x x+ + +∫ t/

1

0 1

dx

x x+ +∫ u/

2 3

52 4

dx

x x +∫



��

IV – Dạng toán 3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp

� Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên ( )a b, thì: b b

a a

bu.dv u.v v.du

a= −∫ ∫ .

� Chọn

u du dx

dv dx v

............... ...........

........ ................

= → = = → =

� Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).

� Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.

� Cần lưu ý :

Bậc của đa thức, của ln ứng với số lần lấy tích phân. Cách chọn u và dv lần sau cũng theo cách chọn trên.

Đôi khi tính tích phân từng phần mà chưa có dạng cụ thể, ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp phương pháp đổi biến số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể.

Một số trường hợp, khi tính ta bắt gặp sự lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân, chẳng hạn như:

2e 2

1

TPTPdxu ln x

ln x du lnxI dx xdxx dv v lnxx

2 = = = → ⇒ = =

∫

e 2

2

1

e ln xI ln x.lnx dx 1 2I

1 x2⇒ = − = −∫ .

Đến đây, ta xem như 1 phương trình bậc nhất theo I, ta được: I I I1

1 23

= − ⇔ = .

Ta có thể áp dụng tích phân từng phần cho hai dạng đặc biệt sau:

β 2 22 2 2 2

1

α

xdu .dxu x a

I x a .dx x adv dx v x

== + = + → ⇒ + = =

∫

n 2β

2 n n 2αβ

22 nα

2

TPTP

1

sin x udx 1Isin x cos x

dxdxI

sin xcos x dvdx

cos x

'

−

−

= = → = =

∫

∫

Vi phân

Nguyên hàm





1/ 2

1

ln xdx∫ 2/ ( )1

0

ln 1 .x dx+∫ 3/ ( )1

0

ln 2 1x dx+∫

4/ 3

2

1ln .

1

xdx

x

−+∫ 5/ ( )

3

2

2ln x x dx−∫ 6/ ( ) ( )2

0

2 7 ln 1x x+ +∫

7/ ( )2

1

2 lnx xdx−∫ 8/ ( )2

1

2 1 lnx xdx−∫ 9/ ( )1

2

0

ln 1x x dx+∫

10/ ( )1

2

0

ln 1x x x dx+ +∫ 11/ e 2

1

ln xdx

x∫ 12/ 2

2

1

ln xdx

x∫

13/ ( )3

2

0

ln 5x x dx+∫ 14/ ( )2

2

1

ln 1 xdx

x

+∫ 15/

2

31

ln xdx

x∫

16/ e

2

1

. ln .x x dx∫ 17/ ( )1

2

0

ln 1 x dx+∫ 18/ ( )

3

2

1

3 ln

1

xdx

x

+

+∫

19/ e

1

32 lnx xdx

x

− ∫ 20/ ( )e

2

1

lnx x dx∫ 21/ ( )e

2

1

1 lnx dx+∫

22/ ( )( )

1

2

0

ln 1

2

xdx

x

+

+∫ 23/

e3 2

1

ln .x x dx∫ 24/ e 2

1

ln xdx

x∫

25/ ( )

e

1

e

2

ln

1

xdx

x +∫ 26/

π

2 2

2

0

1ln1

xx dx

x

+

−∫ 27/ 1

2

0

1ln 1x dx

x

+ ∫

28/ ( )1

2

0

ln 1

1

xdx

x

+

+∫ 29/ ( )e 2

1

1 ln.

x xdx

x

+∫ 30/ ( )

2

2

1

ln 1x x dx+ +∫

31/ 2

2

1

. log .x x dx∫ 32/ 10

2

1

lgx xdx∫ 33/ 10

2

1

log .x x dx∫

34/ 5

2

1

ln.xdx

x∫ 35/

e 3

1

1. ln .

xx dx

x

+∫ 36/

1

0

1. ln .1

xx dx

x

+ − ∫

37/ ( )2

1

20

ln 1

1

x x x

dxx

+ +

+∫ 38/

2

1

ln1

xx dx

x+∫ 39/ ( )π

4

0

cos2 . ln cosx x dx∫



40/ ( )π

2

π

6

cos ln sinx x dx∫ 41/ ( )e

1

sin ln .x dx∫ 42/ ( )π

2

0

cos . ln 1 cos .x x dx+∫

43/ ( )π

2e2

1

cos ln .x dx∫ 44/ ( )π

e

1

cos ln .x dx∫ 45/

π

2

π

2

sin . ln(1 cos ).x x dx

−

+∫

47/ ( )π

4

0

ln 1 tan .x dx+∫ 48/ ( )π

4

π

6

cos . ln tan .x x dx∫ 49/ ( )

π

3

2

0

ln cos

cos

xdx

x∫

50/ ( )

π

4

π

6

2

ln cos.

sin

xdx

x∫ 51/

( )π

2

π

6

2

cos . ln sin.

sin

x xdx

x∫ 52/

( )π

3

π

4

2

ln tan.

cos

xdx

x∫


1/ ln 2

0

xxe dx∫ 2/ ( )1

0

1xx e dx+∫ 3/ ln 2

2

0

. .xx e dx−∫

4/ ( )1

2

0

2 . .xx e dx−∫ 5/ 1

2

0

xx e dx∫ 6/ ( )1

2

0

2 . .xx x e dx+∫

7/ ( )1

2

0

2 1 . .xx x e dx−− −∫ 8/ 2

1

3

0

. .xx e dx∫ 9/ ( )1

22

0

1 xx e dx+∫

10/ 1

0

. .xx e dx∫ 11/ 3

1

5

0

xx e dx∫ 12/ 2

2

0

x

xe dx−

∫

13/ 2

23

0

. .xx e dx

π

−∫ 14/ 2 1

1

2

11

xxx e dx

x

+ + − ∫ 15/ 1

0

.2 .xx dx∫

16/

23 3 1

20 1

xx edx

x

+

+∫ 17/ ( )

0

2 3

1

1xx e x dx

−

+ +∫ 18/ ( )

1

2

0

..

1

xx edx

x +∫

19/ ( )1

2

0

3 xx e dx+∫ 20/ 2 2

3

0

1x

xdx

e

+∫ 21/

1 2

0

2x

xdx

e−+

∫


1/ ( )2

2

0

1 sinx xdx

π

+∫ 2/ ( )2

2

0

2 1 cosx xdx

π

−∫ 3/ 2

1

14

cos 1 xdx

π

−

−∫



4/

3

3

3

0

sin xdx

π

∫ 5/

2

4

0

cos xdx

π

∫ 6/ 4

0

sin2x xdx

π

∫

7/ 2

2

0

cosx xdx

π

∫ 8/ 2 2

0

sinx xdx

π

∫ 9/ ( )2

0

1 sin2x xdx

π

+∫

10/ ( )2

0

1 sinx xdx

π

+∫ 11/ ( )2

0

2 1 .cos .x x dx

π

−∫ 12/

2

0

. sin .x x dx

π

∫

13/ ( )2

2

0

sin cosx x xdx

π

+∫ 14/ 2

0

. cos2 .x x dx

π

∫ 15/ 2

2

0

cosx xdx

π

∫

16/

2

4

0

cosx xdx

π

∫ 17/ 3

2

4

tanx xdx

π

π

∫ 18/ 2

2

0

cosx xdx

π

∫

19/ 3

2

0 cos

xdxx

π

∫ 20/ 3

2

4

sin

xdx

x

π

π

∫ 21/ 1

2

0

sin

cos

x xdx

x

+∫

22/ ( )4

2

0

2 cos 1x x dx

π

−∫ 23/ 4

01 cos2

xdxx

π

+∫ 24/ 1

2 2

0

sinx xdxπ∫

25/ 3

2

3

. sin.

cos

x xdxx

π

π

−

∫ 26/ 2

3

sin.

1 cos

x xdxx

π

π

++∫ 27/

2

2 2

0

sinx xdx

π

∫


1/ 0

sinxe xdx

π

∫ 2/ 2

0

. cos .xe x dx

π

∫ 3/ 2

0

sin 3xe xdx

π

−∫

4/ 2

2

0

sin 3xe xdx

π

∫ 5/ 2

2

0

cosxe xdx

π

∫ 6/ 2

3

0

sin 5xe xdx

π

∫

7/ 4

3

0

sin 4xe xdx

π

∫ 8/ 2

sin

0

sin 2xe xdx

π

∫ 9/ 2

cos

0

sin2xe x

π

∫

10/ 2

2sin

0

. sin cosxe x xdx

π

∫ 11/ ( )

4

2

0

sin

1 cos

xe xdx

x

π

+∫ 12/

( )( )

π

4

20

sin cos 1

1 cos

xe x x dx

x

+ +

+∫



13/ 1

2

0

sinxe xdxπ∫ 14/ 1

2 2

0

sinxe xdxπ−∫ 15/

( )1

1 ln xe x x edx

x

+∫


1/ 1

2

0

1x dx+∫ 2/ 1

2

0

3x dx+∫ 3/ 1

2

0

4x +∫

4/ 4

4

0

1

cosdxx

π

∫ 5/ 2

4

4

1

sindxx

π

π

∫ 6/ 4

6

0

1

cosdxx

π

∫

��



1/ 2

0

1x dx−∫ 2/ 2

0

2 1.x dx−∫ 3/ 3

2

3

1x dx

−

−∫

4/ 3

2

2

3 .x x dx

−

+∫ 5/ 2

2

0

x xdx−∫ 6/ 2

2

0

2 3x x dx+ −∫

7/ 2

2

0

4 3 .x x dx− +∫ 8/ ( )6

4

3 4x x dx

−

+ − −∫ 9/ ( )5

2

2 2x x dx

−

+ − −∫

10/ 3

0

2 4x dx−∫ 11/ 1

1

2 2 .x x dx−

−

−∫ 12/ 4

2

1

6 9x x dx− +∫

V – Dạng toán 4. Tính tích phân hàm trị tuyệt đối

Phương pháp

Bài toán: Tính tích phân của hàm số ( )b

a

f x .dx∫ .

Bước 1. Xét dấu ( )f x trên đoạn a b, . Giả sử trên đoạn a b, , phương trình ( )f x 0= có

nghiệm c a b, ∈ và có bảng xét dấu như sau:

x −−−−∞∞∞∞ a c b +∞∞∞∞

( )f x

+ 0 −−−−

Bước 2. Dựa vào công thức phân đoạn, và dấu của ( )f x trên a c, và c c b, ∈ , ta được:

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x .dx f x .dx f x .dx = + − ∫ ∫ ∫ .



13/ 4

3

0

2 .x x x dx− +∫ 14/ 3

3 2

0

4 4x x xdx− +∫ 15/ 1

1

4 x dx

−

−∫


1/ 2

2

sin x dx

π

π

−

∫ 2/

3

4

4

cos2 .x dx

π

π

∫ 3/ 0

cos . sin .x x dx

π

∫

4/ 0

1 cos2 .x dxπ

+∫ 5/ 2

0

1 cos2xdxπ

−∫ 6/ 1 sin2xdxπ

π−

−∫

7/ 2

0

1 sin .x dxπ

+∫ 8/ 1 sinxdxπ

π−

−∫ 9/ 2

0

1 cosxdxπ

+∫

10/ 3

2 2

6

tan cot 2.x x dx

π

π

+ −∫ 11/ 2

3

2

cos cos cosx x xdx

π

π

−

−∫ 12/ 3

2

6 2

1cot 1

cos

dx

xx

π

π + +∫


1/ ( )

2

1

2

1.

. 1dx

x x +∫ 2/ 3

3

1

dx

x x+∫ 3/ 1

2

05 6

dx

x x− +∫

4/ 3 3

2

02 1

x dx

x x+ +∫ 5/ ( )

1

3

0 1 2

xdx

x+∫ 6/

( )

3 2

9

2 1

x dx

x−∫

7/ ( )

4

2

1 1

dx

x x+∫ 8/

1

2 3

2

0

.3 2

xdx

x x− +∫ 9/ ( )

4

2 1

dx

x x −∫

10/ 1

2

0

4 11

5 6

xdx

x x

+

+ +∫ 11/ 1 3

0

1

1

x xdx

x

+ ++∫

12/ 0 3 2

2

1

2 6 9 9

3 2

x x xdx

x x−

− + +

− +∫

13/ 3 2

3

2

3 3 3

3 2

x xdx

x x

+ +

− +∫ 14/ 1

2

0

2 7

7 14

xdx

x x

+

+ +∫ 15/ 1

2

0

4 8

4 2012

xdx

x x

+

+ +∫

Bài 2. Tính các tích phân

VI. Dạng toán 5. Tích phân của một số hàm thường gặp

HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Xem lại phương pháp tính nguyên hàm của hàm hữu tỉ



1/ 2

2

02 2

dx

x x− +∫ 2/ 3 2

2

0

3 2

1

xdx

x

+

+∫ 3/ 2 3 2

2

0

2 4 9

4

x x xdx

x

+ + +

+∫

4/ ( ) ( )

1

2 2

0 2 3

dx

x x+ +∫ 5/

1 3

2

0

1

1

x xdx

x

+ +

+∫ 6/ 1

4

01

xdx

x+∫

7/ ( )

2

41 1

dx

x x+∫ 8/ ( )

2 2012

20121

1

1

xdx

x x

−

+∫ 9/

( )

3 4

22

2 1

x dx

x −∫

10/ 2

2

04

dx

x+∫ 11/ 2 2

4

1

1

1

xdx

x

−

+∫ 12/ 1 4

2

0

2

1

xdx

x

−

+∫


1/ 2 4

2

0

1.

4

x xdx

x

− +

+∫ 2/ 2

2

0

1.

2 3dx

x x− −∫ 3/ 2 9

10 5

1

.4 4

xdx

x x+ +∫

4/ ( )( )( )2

2

1

1 2 3.

x x xdx

x

+ + +∫ 5/

1

2

1

.1

xdx

x x− + +∫ 6/

( )

1 3

32

0

.1

xdx

x +∫

7/ 2 3

2

1

.2 1

xdx

x x+ +∫ 8/ 2 2

2

1

.7 12

xdx

x x− +∫ 9/ 2

2

0

6 2.1

xdx

x x

+

− +∫

10/ 2 2

4

1

1.

1

xdx

x

−

+∫ 11/ 1

4 2

0

1.

4 3dx

x x+ +∫ 12/ 2

5

1

1.dx

x x+∫

13/

( )

1

22

0

1.

3 2dx

x x+ +∫ 14/

1

2

0

1.4dx

x −∫ 15/ 3 2

2

0

.1

xdx

x +∫

16/

( )

6 2 9

35

0

.1

xdx

x +∫ 17/

1

2 3

2

0

.3 2

xdx

x x− +∫ 18/ 1 3

8

0

.1

xdx

x +∫




1/ 1

0

1 .x dx+∫ 2/ 2

1

1.

2 3dx

x +∫ 3/

2

3

1.

7 3dx

x− + +∫

4/ 3

0

1 2.

1 3

xdx

x

+ +

+ +∫ 5/

1

0

.1

xdx

x +∫ 6/

0

4

1.1

xdx

x

−

+∫

7/ 3

0

.1

xdx

x +∫ 8/

5

2

4.xdx

x

+∫ 9/

9

3

1

. 1 .x x dx−∫

10/ 1

. ln .e

x x dx∫ 11/ 2

2

0

. 1 2 .x x dx+∫ 12/ 2

32 3

1

. 3 4.x x dx+∫

13/ 1

0

1.

3 1dx

x x+ + −∫ 14/

1

20

1.

1dx

x x+ −∫ 15/

2

30

1.

3 2

xdx

x

+

+∫

16/ 2 2

2

0

1x x dx+∫ 17/ 3 3

20 1

xdx

x x+ +∫ 20/

1

0 1

dx

x x+ +∫

21/ 2

1 1 1

xdx

x+ −∫ 22/

6

2 2 1 4 1

dx

x x+ + +∫ 23/

( )4

1 1

dx

x x+∫


1/ 1

3 2

0

1x x dx−∫ 2/ 9

3

1

1x xdx−∫ 3/ 3

3 2

1

1x x dx−∫

4/ 7 3

3 20

.1

xdx

x +∫ 5/

3

3 2

0

. 1 .x x dx+∫ 6/ 1

3 2

0

3x x dx+∫

7/ 2

22

3

1

dx

x x −∫ 8/

4

27 9

dx

x x +∫ 9/

3

5 3

0

1x x dx+∫

10/ 1

5 2

0

1x x dx−∫ 11/ 1

5 3

0

1 .x x dx−∫ 12/ 2

31

1.

. 1dx

x x +∫

13/ 2 4

50 1

xdx

x +∫ 14/ ( )

16

5 3

0

1x x dx−∫ 15/ 1 3 3

4

1

3

x xdx

x

−∫

HÀM SỐ VÔ TỈ (chứa căn)

Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số vô tỉ



16/ 2 2

21

1.

. 1

xdx

x x

+

+∫ 17/

2 2

2

2.

xdx

x

−∫ 18/

2

21

1.

. 1dx

x x +∫

19/ 1

5 2

0

. 1.x x dx+∫ 20/

( )

2 2

528

3

1.

. 2

dx

x x −∫ 21/

2

4 21 1

dx

x x+∫

22/ ( )

( )

2329

233

2.

3 2

xdx

x

−

+ −∫ 23/

( )

3

323

21

dx

x+∫ 24/

1

2 20 1

dxdx

x x+∫


1/ 1

2

0

4 .x dx−∫ 2/ 1

2 2

0

. 1 .x x dx−∫ 3/

2

2 2

20

.1

xdx

x−∫

4/ 1 2

2

2

2

1.

xdx

x

−∫ 5/

1 2

2

0

2.

xdx

x

−∫ 6/

3

2

20

1.

9dx

x−∫

7/

( )

2

2

32

0 1

dx

x−∫ 8/

1 2

6

2

2

1.

xdx

x

−∫ 9/

2

2

1

1.x dx−∫

10/ 2

2 2

2

. 2.x x dx−∫ 11/ 1

2

0

1 x dx+∫ 12/ 2

2

1

2012x dx+∫

13/ 1

2

0

5.x dx+∫ 14/ 5

2

3

5

1.

9 25dx

x

3

+∫ 15/ 3 2

2

1

1.

xdx

x

+∫

16/ 2

21 2014

dx

x +∫ 17/

2 2

4

1

1.

xdx

x

+∫ 18/

( )

1

320 1

dx

x+∫

19/

2

2

0

1

1

xdxx

+−∫ 20/

2

1

1 1

1

x

x x

−+∫ 21/

2

3

2

1 2

2

x

x x

−+∫

22/

2

3

22 1

dx

x x −∫ 23/

2

22

3

1.

. 2 4dx

x x x− +∫ 24/

( )

1

20 1 1

dx

x x− −∫



25/ 2

5 22

1.

. 1dx

x x −∫ 26/

2 3

25 4

dx

x x +∫ 27/

( )

1

20 1 . 3 2

dx

x x x+ + −∫

28/ ( )

2

20 1 . 2 2 1

dx

x x x+ + +∫ 29/

( )

1

20 2 3 4 12 5

dx

x x x+ + +∫ 30/

( )

3

22 1 2 3

dx

x x x− − + +∫

31/ 64

31

1dx

x x+∫ 32/

4

30 2 1 2 1

dx

x x+ + +∫ 33/

64

31

1.

xdx

x

+∫

34/

3

2 3

1 4 4

2

.5 5

.8 8

xdx

x x − −

∫ 35/

5

42

1

12 4 8x x dx− −∫ 36/ 3

2

0

10 x dx−∫


1/ 2

0

cos

7 cos2

xdx

x

π

+∫ 2/

22

0

sin cos cosx x xdx

π

−∫ 3/ 2

20

cos

2 cos

xdx

x

π

+∫

4/ 66 3 5

0

1 cos sin cosx x xdx

π

−∫ 5/ 2

0

sin2 sin

1 3 cos

x xdx

x

π

+

+∫ 6/

3

0

cos

2 cos2

xdx

x

π

+∫

7/ 2

20

cos

1 cos

xdx

x

π

+∫ 8/

3

2

4

tan

cos 1 cos

xdx

x x

π

π +∫ 9/

2

0

sin2 sin

1 3 cos

x xdx

x

π

+

+∫


1/ ln 3

0 1x

dx

e +∫ 2/

ln 2 2

0 1

x

x

e dx

e +∫ 3/ ( )

0

2 3

1

1xx e x dx

−

+ +∫

4/ ( )

ln 3

0 1 1

x

x x

e dx

e e+ −∫ 5/

1

0

x

x x

edx

e e−−∫ 6/

ln2

0

1xe dx−∫

7/ ln 5 2

ln 2 1

x

x

edx

e −∫ 8/

1

1 3 ln .lne

x xdx

x

+∫ 9/

3 2

1

ln . 2 lnex x

dxx

+∫

10/ ln 3

30 ( 1)

x

x

e dx

e +∫ 11/

32

1

ln

ln 1

exdx

x x +∫ 12/

( )2ln2

0 1

x

x

edx

e −∫

13/ 1

ln

1 ln

ex

dxx x+∫ 14/

1

3 2 ln

1 2 ln

exdx

x x

−

+∫ 15/

3

2

21

log

1 3 ln

ex

dxx x+∫

16/ ln 8

2

ln 3

1.x xe e dx+∫ 17/ ( )ln 5

ln 2

1

1

x x

x

e edx

e

+

−∫ 18/

23 3 1

20 1

xx edx

x

+

+∫

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Xem lại cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác




1/ 4

0

sin 2 cosx xdx

π

∫ 2/ 2

0

sin sin2x xdx

π

∫ 3/ 2

4

sin 4 .sin 6 .x x dx

π

π

∫

4/ 6

0

cos2 .cos 6 .x x dx

π

∫ 5/ 0

4

sin 8 .cos2 .x x dxπ

−

∫ 6/ 2

0

sin sin2 cos 5x x xdx

π

∫

7/ 4

0

sin sin2 sin 5x x xdx

π

∫ 8/ 4

2

0

cos xdx

π

∫ 9/ 4

2

0

sin xdx

π

∫

10/ 4

2

0

tan xdx

π

∫ 11/ 4

2

6

cot xdx

π

π

∫ 12/ 3

4

4

tan xdx

π

π

∫

13/ 3

4

6

cot 3xdx

π

π

∫ 14/ 3

3

4

cos cos 3x xdx

π

π

∫ 15/ 4

3

0

sin sinx xdx

π

∫

16/ 6

2

6

cos cos2x xdx

π

π

−

∫ 17/ 2 2

0

4sin sin2 2cos

2

x x xdx

π − −∫ 18/

43

0

sin sin 3x xdx

π

∫

29/ 2 3

0

cos

cos 1

xdx

x

π

+∫ 20/ 4

2 4

0

sin .cos .x x dx

π

∫ 21/ 3

3

4

cos cos 5x xdx

π

π

∫


1/ 2

3

0

sin xdx

π

∫ 2/ 3

5

0

sin .x dx

π

∫ 3/ 4 3

0

4 sin.

1 cos

xdxx

π

+∫

4/ 2

2 3

0

cos sinx xdx

π

∫ 5/ 4 3

2

0

sin

cos

xdxx

π

∫ 6/ 2

0

cos2

1 cos

xdxx

π

+∫

7/ 2 3

2

0

sin

1 cos

x

x

π

+∫ 8/ 2

3 3

0

sin cosx xdx

π

∫ 9/ 4

0

tanxdx

π

∫



10/ 2

3

1

sindxx

π

π

∫ 11/ ( )2

2

0

sin cos 1 cosx x x dx

π

+∫ 12/ 2

0

sin2 sin

1 3 cos

x xdx

x

π

+

+∫

13/ 2

0

sin 2 .cos

cos 1

x xdx

x

π

+∫ 14/ 2 3

6

cos.

1 sin

xdxx

π

π

+∫ 15/ 2

0

sin 3

1 cos

xdxx

π

+∫

16/ 2 3

2

0

sin

1 cos

xdxx

π

+∫ 17/ 2

2 20

sin

sin 2 cos .cos2

xdxx

x x

π

+∫ 18/ 3

0

cos .cos 3 .x x dx

π

∫

19/ 6 3

0

sin 3 sin 3

1 cos 3

x xdx

x

π

−+∫ 20/ ( )

4sin

0

tan .cosxx e x dx

π

+∫ 21/ 2

cos

0

. sin2xe xdx

π

∫

22/ ( )2

sin

0

cos cosxe x xdx

π

+∫ 23/ 2

2

0

sin2

4 cos

xdxx

π

−∫ 24/ 3

0

2 sin2 sin

6 cos 2

x xdx

x

π

+

−∫

25/ 4 3

4

0

4 sin

1 cos

xdxx

π

+∫ 26/ 2

20

cos

1 cos

xdxx

π

+∫ 27/

2

2

0

sin 4

1 cos

xdxx

π

+∫


1/ 2

0

cotxdx

π

∫ 2/ 2 3

6

cos.

sin

xdx

x

π

π

∫ 3/ 2

3

0

sin cosx xdx

π

∫

4/ 2

3

6

cos xdx

π

π

∫ 6/ 2 3

2

6

cos

sin

xdxx

π

π

∫ 7/ 2

3 3

0

sin cosx xdx

π

∫

8/ 2

5

0

sin cosx xdx

π

∫ 9/ 2

0

cos sin cos

2 sin

x x xdx

x

π

++∫ 10/

2 3

6

cos

sin

xdxx

π

π

∫

11/ ( )

0

2

2

sin2

2 sin

xdx

xπ

−+

∫ 12/ 3

4

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫ 13/ 4 2

0

1 2 sin

1 sin2

xdxx

π

−+∫

14/ 2

4 5

0

sin cosx xdx

π

∫ 15/

π

23 5

0

1 cos .sin cosx x xdx−∫ 16/ 3

0

cos

2 cos2

xdxx

π

+∫



17/ 3

0

cos 3

sin

xdx

x

π

∫ 18/ 2

2sin

0

sin2 .xe x dx

π

∫ 19/ ( )2

32

0

sin2 1 sinx x dx

π

+∫

20/ 4

0

1 tan .tan sin2

xx xdx

π

+ ∫ 21/ ( )2

4 4

0

cos2 sin cosx x x dx

π

+∫ 22/ 2

20

cos

1 cos

xdxx

π

+∫

23/ 2

2

0

sin2

4 cos

xdxx

π

−∫ 24/ 2 3

2

0

sin cos

1 cos

x xdxx

π

+∫ 25/ 6

2

0

cos

6 5 sin sin

xdx

x x

π

− +∫

26/ 2

0

cos

7 cos2

xdxx

π

+∫ 27/

26 3 5

0

1 cos .sin cosx x xdx

π

−∫ 28/ 2

2

0

cos

11 7 sin cos

xdx

x x

π

− −∫


1/ 2

2

0

sin2

1 cos

xdxx

π

+∫ 2/ 4

2

0

sin 4

1 cos

xdxx

π

+∫ 3/ ( )2

32

0

sin2 1 sinx x dx

π

+∫

4/ 2

2 20

sin2

cos 4 sin

xdx

x x

π

+∫ 5/

2

2 20

sin cos

4 cos 9 sin

x xdx

x x

π

+∫ 6/

4

6 6

0

sin 4

sin cos

xdx

x x

π

+∫

7/ 4 tan

2

0 cos

xedxx

π

∫ 8/

3

8

2 2

8

sin cos

dx

x x

π

π

∫ 9/ 4

2 2

6

sin2.

sin 2 cos

xdx

x x

π

π+∫


1/ ( )2

2

0

tan tan 1

cos

x x dx

x

π + +∫ 2/

( )4 2

4 2

4

sin

cos tan 2tan 5

xdx

x x x

π

π

−− +∫ 3/

4

01 tan

dx

x

π

+∫

4/ 4

4

0

1

cosdxx

π

∫ 5/ 4

6

0

tan xdx

π

∫ 6/ 4

3

0

tan xdx

π

∫

7/ ( )24

2

0

tan 1

cos

xdx

x

π

+∫ 8/

4

2 2

0 sin 2sin cos cos

dx

x x x x

π

+ −∫ 9/

( )

4 3

22 5

0

sin

tan 1 cos

xdx

x x

π

+∫

10/ 4

3

0 sin cos

dx

x x

π

∫ 11/ 4

3 5

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫ 12/ 4

2 4

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫



13/ 4

3 5

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫ 14/ 4

4 3 5

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫ 15/ 4

3 11

6

sin cos

dx

x x

π

π

∫

16/ 6 4

0

tan

cos2

xdxx

π

∫ 17/ 6 3

0

tan

cos2

xdxx

π

∫ 18/ 3

2

4

tan.

cos 1 cos

xdx

x x

π

π +∫

19/ 2

01 sin2

dx

x

π

+∫ 20/ ( )

4

2

0 sin 2 cos

dx

x x

π

+∫ 21/

4

3

sin2

dx

x

π

π

∫

22/ 2

01 cos

dx

x

π

+∫ 23/ 4

0

cos2

sin 2 cos2

xdx

x x

π

+∫ 24/ ( )4

8

0

1 tan x dx

π

−∫

25/ 4 2

6

0

sin

cos

xdxx

π

∫ 26/ 34 2

4

0

tan

cos

xdx

x

π

∫ 27/ 4

2 2

0 sin 2 cos

dx

x x

π

+∫

28/ 2

2 20

sin2 .

cos 4 sin

x dx

x x

π

+∫ 29/

23 5

0

1 cos .sin cosx x xdx

π

−∫ 30/ 4 tan

2

0 cos

xedxx

π

∫


1/ 32 3

3

3

cot . sin sin

sin

x x xdx

x

π

π

−∫ 2/

2

2

0 2 cos

dx

x

π

−∫ 3/ 2

4

4

sin

dx

x

π

π

∫

4/ 2

2

4

3 cot 1

sin

xdx

x

π

π

+∫ 5/

4

2

6

sin cot

dx

x x

π

π

∫ 6/ 3

2 2

3

sin 9 cos

dx

x x

π

π

−+∫

7/ 4

3

0 cos sin

dx

x x

π

∫ 8/ 4 2 2

4

6

cos sin cos 2sin.

sin

x x x xdx

x

π

π

+ +∫ 9/

3

4

cos2

dx

x

π

π

∫


1/ 2

4

sin cos

sin cos

x xdx

x x

π

π

−+∫ 2/

( )

4

3

0

cos2

sin cos 2

xdx

x x

π

+ +∫ 3/

4

0

cos2

sin cos 2

xdx

x x

π

+ +∫

4/ 2

3

3

sin cos

sin cos

x xdx

x x

π

π

+

−∫ 5/

3

4

cos sin

3 sin2

x xdxx

π

π

+

+∫ 6/

2

4

sin cos

1 sin2

x xdxx

π

π

−

+∫



7/ 2

6

1 sin2 cos2

sin cos

x xdx

x x

π

π

+ ++∫ 8/

( )4

0

sin4

sin2 2 1 sin cos

x dx

x x x

ππ

−

+ + +∫ 9/ ( )

2

3

0

cos2

sin cos 3

xdx

x x

π

− +∫

Bài 8. Tích các tích phân.

1/ 1

0

sin xdx∫ 2/

2

0

0

cos xdx

π

∫ 3/ ( )1

sin lne

x dx∫

4/ ( )1

cos lne

x dx

π

∫ 5/ ( )2

0

cos ln 1 cosx x dx

π

+∫ 6/ ( )2

0

1 sin2x xdx

π

+∫

7/ ( )4

0

1 cosx xdx

π

−∫ 8/ 2

2

0

cosx xdx

π

∫ 9/ ( )2

2

0

1 sinx xdx

π

+∫

10/ 2

0

sin cos2x x xdx

π

∫ 11/ ( )

2

42

1

sinx x dx

π

∫ 12/

2

4

0

sinx xdx

π

∫

13/ 4

2

0 cos

xdx

x

π

∫ 14/ 1

2

0

sin

cos

x xdx

x

+∫ 15/

4

01 cos2

xdx

x

π

+∫

16/ 0

sinxe xdx

π

∫ 17/ 4

0

cosxe xdx

π

∫ 18/ 2

2

0

sin 3xe xdx

π

∫

19/ 4

0

5 sin2xe xdx

π

∫ 20/ 2

3

0

. sin 5xe xdx

π

∫ 21/ ( )1

2

0

sinxe x dxπ∫

22/ 2

2sin 3

0

. sin .cosxe x xdx

π

∫ 23/ ( )4

2

0

2 cos 1x x dx

π

−∫ 24/ ( )2

2

0

2 1 cosx xdx

π

−∫

25/ 2

2

0

tanx xdx

π

∫ 26/ 3

2

3

sin

cos

x xdxx

π

π

−

∫ 27/ 3 2

2

0

sin

sin2 cos

x xdx

x x

π

∫

28/ 2

0

1 sin.

1 cosxxe dxx

π

++∫ 29/

( )( )

4

2

0

sin cos 1

1 cos

xe x x dx

x

π

+ +

+∫ 30/ ( )

3 2

4

4

sin. ln tan

cos

xx dx

x

π

π

∫

31/ 4 tan

3

0

sin

cos

xe xdx

x

π

∫ 32/ 4 tan

2

0

. tan

cos

xe xdx

x

π

∫ 33/ 4

2 3

3

0

4sinsin

cos

xx x dx

x

π

− ∫




1/ 2

3

1

sindxx

π

π

∫ 2/ 2

02 cos

dx

x

π

−∫ 3/ 2

0

1

2 sindxx

π

+∫

4/ 2

0cos sin 1

dx

x x

π

+ +∫ 5/ 2

04 sin 3 cos 5

dx

x x

π

+ +∫ 6/ 2

0

sin

1 sin

xdx

x

π

+∫

7/ 2

0

cos

1 cos

xdxx

π

+∫ 8/ 2

0

cos

2 cos

xdxx

π

−∫ 9/ 2

0

sin

2 sin

xdx

x

π

+∫

10/ 2

0

1

1 cos sindx

x x

π

+ +∫ 11/ 2

2

sin cos 1

sin 2 cos 3

x xdx

x x

π

π

−

− ++ +∫ 12/

2

0

sin 7cos 6

4sin 3sin 5

x xdx

x x

π

+ ++ +∫


1/ 4

0 cos cos4

dx

x x

π

π +

∫ 2/ 3

4sin cos

4

dx

x x

π

ππ

+

∫ 3/ 3

6sin sin

6

dx

x x

π

ππ

+

∫


1/ 02 sin 1

dx

x

π

+∫ 2/ 02 cos 1

dx

x

π

+∫ 3/ 2

0 2 sin cos

dx

x x

π

+ +∫


1/ 4

0

tan tan4

x x dx

π

π + ∫ 2/

3

4

tan cot3 6

x x dx

π

π

π π + + ∫

3/ 3

4

cot cot3 6

x x dx

π

π

π π + + ∫




1/ 1

01

x

x

e dx

e+∫ 2/ ln2

05x

dx

e +∫ 3/ 1

0

1

4xdx

e +∫ 4/

ln 8

ln 3 1

x

x

edx

e +∫ 5/

ln 82

ln 31.x xe e dx+∫ 6/

ln 2

0

1

1

x

x

edx

e

−

+∫

7/ 2

1

1

1 xdx

e−−∫ 8/ 2 2

01

x

x

edx

e +∫ 9/ 1

01

x

x

edx

e

−

− +∫

10/ 2

1

ln

(ln 1)

ex

dxx x +∫ 11/

1 2

01

x

x

edx

e

−

− +∫ 12/ ln 3

0

1

1xdx

e +∫


1/ 2

0

sinxe xdx

π

∫ 2/ 2

2

0

xxe dx∫ 3/ 1

0

xxe dx−∫ 4/

( )1

0

ln 1x x dx+∫ 5/ 2

0

( cos )cosxe x xdx

π

+∫ 6/ 2

1

1 lne

xdx

x

+∫

7/ 2

1

lnln

ln 1

ex

x dxx x

+ +∫ 8/

3

2

ln(ln )e

e

xdx

x∫ 9/

2

ln ln(ln )e

e

x xdx

x

+∫

10/ 2

2

1

lnxdx

x∫ 11/

3

2

6

ln(sin )

cos

xdx

x

π

π

∫ 12/ 1

0

ln( 1)

1

xdx

x

+

+∫

HÀM SỐ MŨ – LOGARIT

Sử dụng các công thức về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm



��

VII – Dạng toán 6. Tích phân một số hàm đặc biệt

Dạng 1. Tích phân của hàm số chẳn – hàm số lẻ

� Nếu hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên a a; − thì ( )a

a

I f x .dx 0−

= =∫ .

� Nếu hàm số ( )f x liên tục và chẳn trên a a; − thì ( ) ( )a a

a 0

I f x .dx f x .dx2−

= =∫ ∫ .

Vì các tính chất này không có trong phần lí thuyết trong SGK, nên khi tính các tích phân

các dạng này, ta có thể chứng minh như sau:

Bước 1. Phân tích ( ) ( ) ( )a 0 a

a a 0

I f x .dx f x .dx f x .dx− −

= = +∫ ∫ ∫ và

( )0

a

J f .dxx

−

= ∫ , ( )a

0

K f dx.x= ∫ .

Bước 2. Tính tích phân J bằng phương pháp đổi biến. Đặt t x= − .

+ Nếu ( )f x là hàm số lẻ thì J K I J K 0=− ⇒ = + = .

+ Nếu ( )f x là hàm số chẳn thì J K I J K K2= ⇒ = + = .

Dạng 2. Nếu ( )f x liên tục và là hàm chẳn trên � thì ( ) ( )x

f.dx f x dx

a 0

.1

xα α

α−

=+∫ ∫

Với α +∈ � và a > 0.

Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên:

( ) ( ) ( )x x x

J K

f x f x f xI dx dx dx

a a a

0

0

. . .1 1 1

α α

α α− −

= = ++ + +∫ ∫ ∫

��

Để J bằng phương pháp đổi biến. Đặt t x= − .

Dạng 3. Nếu ( )f x liên tục trên đoạn 0;2

π

thì ( ) ( )π π

2 2

0 0

f sinx .dx f cosx .dx=∫ ∫

Để chứng minh tính chất này, ta đổi biến đặt π

t x2

= − .

Dạng 4. Nếu ( )f x liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ − = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ − =−

Thì ta đổi biến đặt t a b x= + − .

Đặt biệt: Nếu a b π t π x

a b π t π x2 2

+ = = − → + = = −




Bài 1. Tích các tích phân (dạng 1)

1/ 4 7 5 3

4

4

1

cos

x x x xdx

x

π

π

−

− + − +∫ 2/

22

2

cos ln( 1 )x x x dx

π

π

−

+ +∫

3/

1

2

1

2

1cos . ln

1

xx dx

x−

− +∫ 4/ ( )1

2

1

ln 1x x dx

−

+ +∫

5/ 1

4 2

1 1

x dx

x x− − +∫ 6/ 1 4

2

1

sin

1

x xdx

x−

+

+∫

7/ 2 5

2

sin

1 cos

xdxx

π

π

−+

∫ 8/ 2

2

2

4 sin

xdx

x

π

π

−−∫

9/ 2

2

2

cos

4 sin

x xdxx

π

π

−

+

−∫ 10/ 2

2

2

4 cos

xdx

x

π

π

−−∫


1/ 1 4

12 1x

xdx

− +∫ 2/ 1 2

1

1

1 2xxdx

−

−

+∫

Dạng 5. Tích phân bằng cách sử dụng tích phân phụ

Phươn pháp: Xác định tích phân của hàm số ( )f x trên đoạn a b, , ta cần tìm một hàm ( )g x sao

cho tích phân của hàm số ( ) ( )f x g x± dễ xác định hơn so với ( )f x . Từ đó suy ra

tích phân của ( )f x . Ta thực hiện các bước sau:

� Bước 1. Tìm hàm ( )g x .

� Bước 2. Xác định tích phân của các hàm số ( ) ( )f x g x± . Nghĩa là:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b b

a ab b

a a

f x .dx g x .dx A

f x .dx g x .dx B

1

2

+ = − =

∫ ∫

∫ ∫

� Bước 3. Lấy ( ) ( ) ( ) ( )b

a

1f x .dx A B

21 2+ ⇒ = +∫



3/ 1

2

1( 1)( 1)x

dx

e x− + +∫ 4/ 2sin

3 1x

xdx

π

π− +∫

5/ 3 2

3

1

1 2xx

dx

−

+

+∫ 6/ 1

2

1(4 1)( 1)x

dx

x− + +∫

7/ 2

2

sin sin 3 cos 5

1 x

x x xdx

e

π

π

−+∫ 8/

4 6 6

4

sin cos

6 1x

x xdx

π

π

−

+

+∫

9/ 2 2 2

2

sin

1 2xx x

dx

π

π

−+∫ 10/

2 2 2

2

cos

1 4xx x

dx

π

π

−+∫


1/ 2

0

cos

cos sin

n

n n

xdx

x x

π

+∫ 2/ 2 7

7 7

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

+∫

3/ 2

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

+∫ 4/

2 2009

2009 2009

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

+∫

5/ 2 4

4 4

0

cos

cos sin

xdx

x x

π

+∫ 6/ 2 4

4 4

0

sin

cos sin

xdx

x x

π

+∫


1/ 2

0

. sin

4 cos

x xdxx

π

−∫ 2/ 2

0

cos

4 sin

x xdxx

π +

−∫

3/ 2

0

1 sinln1 cos

xdxx

π

+ +∫ 4/ 4

0

ln(1 tan )x dx

π

+∫

5/ 2

3

0

.cosx xdx

π

∫ 6/ 3

0

. sinx xdx

π

∫

7/ 01 sin

xdxx

π

+∫ 8/ 0

sin

2 cos

x xdxx

π

+∫

9/ 2

0

sin

1 cos

x xdxx

π

+∫ 10/ 2

0

.cos

4 sin

x xdxx

π

−∫




1/ 2

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

−∫ 2/ 2

0

cos

sin cos

xdx

x x

π

−∫

3/ 2

0

cos

sin cos

xdx

x x

π

−∫ 4/ 2

0

cos

sin cos

xdx

x x

π

+∫

5/ 2 4

4 4

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

+∫ 6/ 2 4

4 4

0

cos

sin cos

xdx

x x

π

+∫

7/ 2 6

6 6

0

sin

sin cos

xdx

x x

π

+∫ 8/ 2 6

6 6

0

cos

sin cos

xdx

x x

π

+∫

9/ 2

2

0

2 sin .sin 2x xdx

π

∫ 10/ 2

2

0

2 cos .sin2x xdx

π

∫

11/ 1

1

x

x x

edx

e e−− −∫ 12/ 1

1

x

x x

edx

e e

−

−− −∫

13/ 1

1

x

x x

edx

e e−− +∫ 14/ 1

1

x

x x

edx

e e

−

−− +∫

��

VIII – Dạng toán 7. Tích phân truy hồi

Bài toán: Tính tích phân ( ) ( )b

n

a

I f x n .dx , n N,= ∈∫ phụ thuộc vào số nguyên dương n. Khi đó,

ta thường gặp một số yêu cầu sau:

� Thiết lập công thức truy hồi, nghĩa là biểu diễn n

I theo các n k

I − với 1 k n≤ ≤ .

� Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.

� Tính một giá trị on

I cụ thể nào đó.




1/ 2

0

sinnnI xdx

π

= ∫ Đặt 1sin

sin .

nu x

dv x dx

− = =

2/ 2

0

cosnnI xdx

π

= ∫ Đặt 1cos

cos .

nu x

dv x dx

− = =

3/ 4

0

tannnI xdx

π

= ∫ Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x− −= + −

4/ 2

0

cos .n

nI x xdx

π

= ∫ Đặt cos .

nu x

dv x dx

= =

5/ 2

0

sin .n

nJ x xdx

π

= ∫ Đặt sin .

nu x

dv x dx

= =

6/ 1

0

n x

nI x e dx∫ Đặt

.

n

x

u x

dv e dx

= =

7/ 1

ln .e

n

nI xdx= ∫ Đặt

lnnu x

dv dx

= =

8/ ( )1

2

0

1n

nI x dx= −∫ Đặt cosx t= ⇒ đặt

2sin

sin .

nu t

dv t dt

= =

9/

( )

1

20 1

n n

dxI

x

=+

∫ Phân tích

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1n n n

x x

x x x

+= −

+ + +

Tính

( )

1 2

20 1

n n

xJ dx

x

=+

∫ . Đặt

( )21n

u x

xdv dx

x

= = +

10/ 1

0

1 .n

nI x x dx= −∫ Đặt

1 .

nu x

dv x dx

= = −

11/ 4

0 cosn n

dxI dx

x

π

= ∫ Phân tích 1

1 cos

cos cosn n

x

x x+= ⇒

Đặt

1

1

cosnt

x+= .



1/ Diện tích hình phẳng

� Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị ( )C của hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn a b; .

– Trục hoành Ox. – Hai đường thẳng x a x b,= = .

Là: ( ) ( )b

a

S f x dx . 1= ∫

� Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số ( ) ( )y f x y g x,= = liên tục trên đoạn a b; .

– Hai đường thẳng x a x b,= = .

Là: ( ) ( ) ( )b

a

S f x g x .dx 2= −∫

Lưu ý rằng:

• Nếu trên đoạn a b; hàm số ( )f x không đổi dấu thì ( ) ( )b b

a a

f .dx f dx.x x=∫ ∫ .

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:

Bước 1. Giải phương trình ( )f x 0= hoặc ( ) ( )f x g x 0− = trên đoạn a b; . Giả sử tìm được

2 nghiệm ( )c d c d, < .

Bước 2. Sử dụng công thức phân đoạn ( ) ( ) ( ) ( )b c d b

a a c d

f x .dx f x .dx f x .dx f x .dx= + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )c d b

a c d

f dx f x .dx f x .dx.x= + +∫ ∫ ∫ .

(Vì trên các đoạn a c c d d b; , ; , ; thì hàm số ( )f x không đổi dấu)

• Diện tích S giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của ( ) ( )x g y x h y,= = và ( ) ( )g y h y, liên tục trên đoạn c d, .

– Hai đường thẳng x c x d,= =

( ) ( )d

c

S g y h y dy.= −∫

C – ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (diện tích và thể tích hình phẳng)



2/ Tính thể tích vật thể

� Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. ( )S x

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

( )x a x b≤ ≤ . Giả sử ( )S x liên tục trên đoạn a b; . Khi đó, thể tích của vật thể B là:

( )b

B

a

V S x .dx= ∫ .

� Thể tích của khối tròn xoay:

– Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )C y f x: = , trục hoành,

( )x a x b a b,= = < sinh ra khi quay quanh trục Ox : ( )b

2Ox

a

V π f x .dx= ∫ .

– Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )C x g y: = , trục

tung, ( )y c y d c d,= = < sinh ra khi quay quanh trục Oy : ( )d

2Oy

c

V π g y .dy= ∫ .


Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.

1/ 2 4 6, 0, 2, 4y x x y x x= − − = =− = 2/ ln 1, 0, ,x

y y x x ex e

= = = =

3/ 1 ln

, 0, 1,x

y y x x ex

+= = = = 4/

ln, 0, , 1

2

xy y x e x

x= = = =

5/ 1

ln , 0, ,y x y x x ee

= = = = 6/ 3, 0, 2, 1y x y x x= = = − =

7/ 4

1, 0, 0,

21

xy y x x

x= = = =

− 8/

1lg , 0, , 10

10y x y x x= = = =


1/ 3 1

, 0, 01

xy y x

x

− −= = =

− 2/ , 2 , 0y x y x y= = − =

3/ , 2, 1xy e y x= = = 4/ , 2 0, 0y x x y y= + − = =

5/ 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = − − = 6/ 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= − + =− + = −

7/ 2

2 27, ,

27

xy x y y

x= = = 8/ 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = − − =

9/ 2 2 ,2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = 10/ 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x=− + − =− + − = −


1/ 1

, , 0,y x y y x ex

= = = = 2/ sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x π= − = = =

3/ 25 , 0, 3 , 0xy y y x x−= = = − = 4/ 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= − = + − = =

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG



5/ , 0, 4y x y y x= = = − 6/ 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + =

7/ , 2 , 0y x y x y= = − = 8/ 2

1, , 1x

xy y e xe

−−

= = =


1/ 2 24 , 2y x y x x= − = − 2/ 2 4 3 , 3y x x y x= − + = +

3/ 2 21 1, 3

4 2y x y x= =− + 4/

2

2

1,

21

xy y

x= =+

5/ 2, 2y x y x= = − 6/ 2 22 , 4y x x y x x= − =− +

7/ 2

2

1,2 1

xy y

x= =

+ 8/

23 , 0y x yx

= + + =

9/ 2 2 , 2y x x y x= + = + 10/ 2 2, 4y x y x= + = −


1/ 2 2,y x x y= =− 2/ 2 5 0, 3 0y x x y+ − = + − =

3/ 2 2 0, 0y y x x y− + = + = 4/ 2 2 1, 1y x y x= + = −

5/ 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = 6/ 2( 1) , siny x x yπ= + =

7/ 2 2 26 , 16y x x y= + = 8/ 2 3 2(4 ) , 4y x y x= − =

9/ 3 1 0, 1 0x y x y− + = + − = 10/ 2 2 28, 2x y y x+ = =


1/ . ; 0; 1; 2xy x e y x x= = =− = 2/ 2. ln ; 0; 1;y x x y x x e= = = =

3/ ; ; 1x xy e y e x−= = = 4/ 25 ; 0; 0; 3xy y x y x−= = = = −

5/ 5( 1) ; ; 1xy x y e x= + = = 6/ 1

ln , 0, ,y x y x x ee

= = = =

7/ 2sin cos , 0, 0,y x x y x x π= + = = = 8/ sin ; ; 0; 2y x x y x x x π= + = = =

9/ 2sin ; ; 0;y x x y x xπ π= + = = = 10/ 2sin sin 1, 0, 0,2

y x x y x xπ

= + + = = =


1/ ( ) 2

1:

2C y x

x= + , tiệm cận xiên của( )C và hai đường 1, 3x x= = .

2/ ( )2 2 1

: , 02

x xC y y

x

+ += =

+, tiệm cận xiên của( )C và hai đường 1, 2x x= − = .

3/ ( ) 3 2: 2 4 3, 0C y x x x y= − + − = và tiếp tuyến của( )C tại điểm có hoành độ 2x = .

4/ ( ) 3: 3 2, 1C y x x x= − + =− và tiếp tuyến của( )C tại điểm có hoành độ 2x = − .

5/ ( ) 2: 2C y x x= − và các tiếp tuyến với( )C tại các điểm ( )0;0O và ( )3;3A trên ( )C .



TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Bài 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay

quanh trục Ox.

1/ sin , 0, 0,4

y x y x xπ

= = = = 2/ 3 21, 0, 0, 3

3y x x y x x= − = = =

3/ , 4y x x= = 4/ 6 6sin cos , 0, 0,2

y x x y x xπ

= + = = =

5/ 3 1, 0, 1, 1y x y x x= − = = − = 6/ 2,y x y x= =

7/ 2 3

,4 8

x xy y= = 8/ 2 4 , 2y x x y x=− + = +

9/ sin , cos , ,4 2

y x y x x xπ π

= = = = 10/ 2 2( 2) 9, 0x y y− + = =

11/ 2 24 6, 2 6y x x y x x= − + =− − + 12/ ln , 0, 2y x y x= = =

Bài 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay

quanh trục Oy.

1/ 2, 1, 4x y yy

= = = 2/ 2, 4y x y= =

3/ , 0,xy e x y e= = = 4/ 2, 1, 2y x y y= = =

Bài 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay

quanh:

Trục Ox Trục Oy

1/ 2( 2) , 4y x y= − = 2/ 2 2, 4 , 4y x y x y= = =

3/ 2

1, 0, 0, 11

y y x xx

= = = =+

4/ 22 , 0y x x y= − =

5/ . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = 6/ 2( 0), 3 10, 1y x x y x y= > =− + =

7/ 2,y x y x= = 8/ ( ) 2

24 1 x y− + =

9/ 2 2

19 4

x y+ = 10/ 1, 2, 0, 0y x y y x= − = = =

11/ 2 0, 2, 0x y y x− = = = 12/ 2 3, 0, 1y x y x= = = .



��

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI CAO ĐẲNG

1. Cao đẳng khối A, B, D – 2011

( )2

1

2 1

1

xI dx

x x

+=

+∫ ĐS: ln 3 ln 2I = − .


1

0

2 1

1

xI dx

x

−=

+∫ ĐS: 2 3 ln 2I = − .

3. Cao đẳng khối B – 2009

( )1

2

0

x xI e x e dx−= +∫ ĐS: 1

2Ie

= − .

4. Cao đẳng khối D – 2007

( )1

2

0

1

4

x xI dx

x

−=

−∫ ĐS: 3

1 ln2 ln 32

I = + − .


0

2

1 .I x dx

−

= +∫ ĐS: 1I = .

6. Cao đẳng khối A – 2007

20071

2

1

3

1 11I dxxx

= + ∫ ĐS: 2008 20083 2

2008I

−= .

7. Cao đẳng GTVT III khối A – 2007

2 4 3 2

2

2

3 2 2.

x x x xI dx

x x

+ + + −=

+∫ ĐS: 16 3

ln8 8

I = + .

8. Cao đẳng GTVT III khối B – 2007 2π

9

0

sin .I x dx= ∫ ĐS: 33

Iπ

=− + .

9. Cao đẳng xây dựng số 2 – 2007

e

31 1 ln

dxI

x x=

+∫ ĐS:

33 4 3

2I

−= .

D – TRÍCH CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG



10. Cao đẳng GTVT cơ sở II – 2007

2 3

0

4 cos.

1 sin

xI dx

x

π

=+∫ ĐS: 2I = .

11. Cao đẳng kinh tế đối ngoại Tp.HCM – 2007

( )

4

30

ln 2 1

2 1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

1 2ln 33 3

I =− + .

12. Cao đẳng kinh tế Tp.HCM – 2007

π

2

0

sin2 .I x x dx= ∫ ĐS: 4

Iπ

= .

13. Cao đẳng Tài chính hải quan – 2007

π

2

π

3

sin.

cos2 cos

xI dx

x x=

−∫ ĐS: 1ln 43

I = .

14. Cao đẳng DL Công nghiệ thông tin Tp.HCM – 2007

7

30

2.1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

231

10I = .

15. Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2007

( )e

2

1

lnI x x dx= ∫ ĐS: ( )e315 2

27I = − .

16. Cao đẳng SP Vĩnh Phúc – 2007

( )4

2

1

sinI x x dx

π

= ∫ ĐS: 3 2 1

384 32 4I

π π

= − + .

17. Cao đẳng Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007

( )3

2 21 1

dxI

x x=

+∫ ĐS: 3

13 12

Iπ

= − − .

18. Cao đẳng Công nghiệp thực phẩm Tp.HCM – 2007

1

2

0

1

1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS: 1ln22 4

Iπ

= + .

19. Cao đẳng Hàng hải – 2007

33 2

1

. 1 .I x x dx= −∫ ĐS: 14 3

5I = .



20. Cao đẳng Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007

( )0

2

1

1 .xI x e x dx

−

= + +∫ ĐS: 23 31

4 60I e−= − .

21. Cao đẳng Công Nghiệp Phú Yên – 2007

1

0

xI xe dx= ∫ ĐS: 1I = .

22. Cao đẳng KTKT Công nghiệp II – 2006

( )1

2

0

ln 1I x x dx= +∫ ĐS: 1

ln22

I = − .

23. Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2006

( )2

2

1

ln 1 xI dx

x

+= ∫ ĐS:

33 ln2 ln 3

2I = − .

24. Cao đẳng Nông lâm – 2006

1

2

0

1I x x dx= +∫ ĐS: 2 2 1

3I

−= .

25. Cao đẳng Hải Phòng – 2006

1

2

01

xI dx

x=

+∫ ĐS: 1ln22

I = .

26. Cao đẳng Y tế Tp.HCM – 2006

2

4

sin cos

1 sin2

x xI dx

x

π

π

−=

+∫ ĐS: ln 2I = .

27. Cao đẳng tài chính kế toán – 2006

( )3

2

0

ln 5I x x dx= +∫ ĐS: ( )114 ln14 5 ln 5 9

2I = − − .

28. Cao đẳng sư phạm Hải Dương – 2006

( )

2

3

0

cos2

sin cos 3

xI dx

x x

π

=− +

∫ ĐS: 1

32I = .

29. Cao đẳng KTKT Đông Du – 2006

4

0

cos2

1 2 sin 2

xI dx

x

π

=+∫ ĐS:

1ln 34

I = .

30. Hệ Cao đẳng trường ĐH Hùng Vường – 2006



( )4

0

1 cosI x x dx

π

= −∫ ĐS: 21

8Iπ

= − .

31. Cao đẳng sư phạm Quãng Bình – 2006

ln 2 2

0 2

x

x

eI dx

e=

+∫ ĐS:

82 3

3I = − .

32. Cao đẳng sư phạm Quãng Ngãi – 2006

2 3

0

4 sin

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ ĐS: 2I = .

33. Cao đẳng sư phạm Trà Vinh – 2006

4

2

0 cos

xI dx

x

π

= ∫ ĐS: 2

ln4 2

Iπ

= + .

34. Cao đẳng bán công – Công nghệ Tp.HCM – 2006

3

1

3

3 1 3

xI dx

x x−

−=

+ + +∫ ĐS: 6 ln 3 8I = − .

35. Cao đẳng sư phạm Tiền Giang – 2006

9

3

1

. 1I x x dx= −∫ ĐS: 468

7I =− .

36. Cao đẳng sư phạm Bến Tre – 2006

3

1

1ln

ex

I x dxx

+ = ∫ ĐS:

32 11

9 18

eI = + .

37. Cao đẳng lương thực thực phẩm Tp.HCM – 2006

1

2

0

1

2 2I dx

x x=

+ +∫ ĐS: 4

Iπ

= .

38. Cao đẳng Điện lực Tp.HCM – 2006

7

3

30

2

3 1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

46

15I = .

39. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A – 2006

4

2

0 cos

xI dx

x

π

= ∫ ĐS: 2

ln4 2

Iπ

= − .

40. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006



( )2

1

4 1 lnI x x dx= −∫ ĐS: 6 ln 2 2I = − .

41. Cao đẳng SP Hà Nội Khối D1 – 2006

3

6sin .sin

3

dxI

x x

π

ππ

= +

∫ ĐS: 2ln23

I = .

42. Cao đẳng KT-KT Công Nghiệp I – 2006

2

0

sin 3

2 cos 3 1

xI dx

x

π

=+∫ ĐS: Không tồn tại.

43. Cao đẳng KT-KT Công Nghiệp II – 2006

( )1

2

0

ln 1I x x dx= +∫ ĐS: 1

ln22

I = − .

44. Cao đẳng Xây dựng số 2 – 2006

2

1

1

5

x xI dx

x

−=

−∫ ĐS: 32

10 ln 33

I = − .

45. Cao đẳng Xây dựng số 3 – 2006

( )1

3

0

cos sinI x x x dx= +∫ ĐS: 5

4I = .

46. Cao đẳng GTVT III – 2006

2

0

cos

5 2 sin

xI dx

x

π

=−∫ ĐS:

1 5ln2 3

I = .

( ) ( )2

0

2 7 ln 1J x x dx= + +∫ ĐS: 24 ln 3 14I = − .

47. Cao đẳng Kinh tế đối ngoại – 2006

( )4

8

0

1 tanI x dx

π

= −∫ ĐS: 76

105I = .

48. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối A– 2006

4

2

3

4 3

3 2

xI dx

x x

+=

− +∫ ĐS: 18 ln2 7 ln 3I = − .

49. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối B– 2006



6 3

0

sin 3 sin 3

1 cos 3

x xI dx

x

π

−=

+∫ ĐS: 1 1

ln26 3

I =− + .

50. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối D1 , M – 2006

3 2

1

ln 2 lne x xI dx

x

+= ∫ ĐS: ( )3 23

3 3 2 28

I = − .

51. Cao đẳng CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006

( )4

4 4

0

cos sinI x x dx

π

= −∫ ĐS: 1

2I = .

52. Cao đẳng CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006

4

0

cos2

1 2 sin 2

xI dx

x

π

=+∫ ĐS:

1ln 34

I = .

53. Cao đẳng CĐSP Trung Ương – 2006

2

0

sin sin2I x xdx

π

= ∫ ĐS: 2

3I = .

54. Cao đẳng CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006

( )

1

2

0 3

xI dx

x

=+

∫ ĐS: 4 1

ln3 4

I = − .

55. Cao đẳng SP Hà Nam – Khối M – 2006

2

2

1

cosI x xdx

π

= ∫ ĐS: 2

24

Iπ

= − .

56. Cao đẳng SP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006

( )2

1 1 ln

edx

Ix x

=+∫ ĐS:

4Iπ

= .

57. Cao đẳng KT Y Tế I – 2006

2

4

sin cos

1 sin2

x xI dx

x

π

π

−=

+∫ ĐS: ln 2I = .

58. Cao đẳng Tài Chính Hải Quan – 2006

( )3

4

ln tan

sin2

xI dx

x

π

π

= ∫ ĐS: 21ln 3

16I = .



59. Cao đẳng Kĩ thuật Cao Thắng – 2006

( )2

32

0

sin2 1 sinI x x dx

π

= +∫ ĐS: 15

4I = .

60. Cao đẳng KT Tp.HCM Khóa II – 2006

0

lnex

I dxx

= ∫ ĐS: 4 2I e= − .

61. Cao đẳng CN Thực phẩm Tp.HCM – 2006

1

2

0

1

2 2I dx

x x=

+ +∫ ĐS: 4

Iπ

= .

62. Cao đẳng Điện lực Tp.HCM – 2006

7

3

30

2

3 1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

46

15I = .

63. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A – 2006

4

2

0 cos

xI dx

x

π

= ∫ ĐS: 2

ln4 2

Iπ

= − .

64. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006

( )2

1

4 1 lnI x x dx= −∫ ĐS: 6 ln 2 2I = − .

65. Cao đẳng SP Hà Nội Khối D1 – 2006

3

6sin .sin

3

dxI

x x

π

ππ

= +

∫ ĐS: 2ln23

I = .

66. Cao đẳng SP KonTum – 2005

2 3

0

4 sin

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ ĐS: 2I = .

67. Cao đẳng SP Hà Nội – 2005

2 2004

2004 2004

0

sin

sin cos

xI dx

x x

π

=+∫ ĐS:

4Iπ

= .

68. Cao đẳng SP Tp.HCM – 2005

0

2

12 4

dxI

x x−

=+ +∫ ĐS:

3

18I

π

= .



69. Cao đẳng KT-KT Cần Thơ – 2005

2

1

lnex

I dxx

= ∫ ĐS: 2

1Ie

= − .

70. Cao đẳng SP Vĩnh Long – 2005

7

3

30

1

3 1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

46

15I = .

71. Cao đẳng Bến Tre – 2005

2

0

cos 3

sin 1

xI dx

x

π

=+∫ ĐS: 2 3 ln 2I = − .

72. Cao đẳng SP Sóc Trăng Khối A – 2005

2

2 20

3 2

2

0

sin

sin 2 cos .cos2

sin

sin2 cos

xdxI

xx x

x xdxJ

x x

π

π

=+

=

∫

∫

ĐS:

ln 2

3

3 4

I

Jπ

= = −

73. Cao đẳng Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005

1

lne

I x xdx= ∫ ĐS: 2 1

4

eI

+= .

74. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội – 2005

2

4

0

sinI x xdx

π

= ∫ ĐS: 2

42

Iπ

= − .

75. Cao đẳng SP Hà Nội – 2005

2 3 2

2

0

2 4 9

4

x x xI dx

x

+ + +=

+∫ ĐS: 68

Iπ

= + .

76. Cao đẳng Tài Chính – 2005

( )

1

3

0 1

xdxI

x

=+

∫ ĐS: 1

8I = .

77. Cao đẳng SP Vĩnh Phúc – 2005

2

1 1 ln

edx

Ix x

=−

∫ ĐS: 6

Iπ

= .

78. Cao đẳng Truyền Hình Khối A – 2005



4 2

0

1 2 sin

1 sin2

xI dx

x

π

−=

+∫ ĐS: 1ln22

I = .

79. Cao đẳng Khối A, B – 2005

1

3 2

0

. 3I x x dx= +∫ ĐS: 6 3 8

5I

−= .

80. Cao đẳng Xây Dựng Số 3 – 2005

3

1

3

3 1 3

xI dx

x x−

−=

+ + +∫ ĐS: 6 ln 3 8I = − .

81. Cao đẳng GTVT – 2005

1

5 2

0

1I x x dx= −∫ ĐS: 8

105I = .

82. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005

2

3

0

sin 5xI e xdx

π

= ∫ ĐS:

3π

23. 5

34

eI

+= .

83. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV – 2005

3

3 5

0

1.I x x dx= +∫ ĐS: 848

105I = .



��

1. Đại học khối D – 2011

4

0

4 1

2 1 2

xI dx

x

−=

+ +∫ ĐS:

34 310 ln

3 5I = + .

2. Đại học khối B – 2011

π

3

2

0

1 sin

cos

x xI dx

x

+= ∫ ĐS: ( )2

3 ln 2 33

Iπ

= + + − .

3. Đại học khối A – 2011

( )π

4

0

sin cos cos.

sin cos

x x x xI dx

x x x

+ +=

+∫ ĐS: 2

ln 14 2 4

Iπ π

= + + .


e

1

32 ln .I x x dx

x

= − ∫ ĐS: 2

12

eI = − .


( )

e

2

1

ln.

2 ln

xI dx

x x

=+

∫ ĐS: 1 3ln

3 2I =− + .


1 2 2

0

2.

1 2

x x

x

x e x eI dx

e

+ +=

+∫ ĐS: 1 1 1 2

ln3 2 3

eI

+= + .


3

1

1.1x

I dxe

=−∫ ĐS: ( )2ln 1 2I e e= + + − .


( )

3

2

1

3 ln.

1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

1 273 ln

4 16I

= + .


( )2

3 2

0

cos 1 cos .I x x dx

π

= −∫ ĐS: 8

15 4I

π

= − .


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC



2

3

1

ln.x

I dxx

= ∫ ĐS: 3 2 ln2

16I

−= .

11. Dự bị 1 – Đại học khối D – 2008

3e 2

1

ln.

ln 1

xI dx

x x=

+∫ ĐS:

76

15I = .


( )π

22

0

2 1 cos .I x x dx= −∫ ĐS: 2 1

8 4 2Iπ π

= − − .


( )

π

4

0

sin .4

sin2 2 1 sin cos

x dx

Ix x x

π −

=+ + +∫ ĐS:

4 3 2

4I

−= .

14. Dự bị 1 – Đại học khối B – 2008

2

0

ln .e

I x x dx= ∫ ĐS: 32 1

9 9I e= + .


( )π

4sin

0

tan .cosxI x e x dx= +∫ ĐS: 1

2ln 2 1I e= + − .


π

6 4

0

tan.

cos2

xI dx

x= ∫ ĐS:

1 3 1 10ln2 3 1 9 3

I+

= −−

.

17. Dự bị 1 – Đại học khối A – 2008

π

32

0

sin . tan .I x x dx= ∫ ĐS: 3

ln28

I = − .


7

30

2.1

xI dx

x

+=

+∫ ĐS:

231

10I = .


e3 2

1

. ln .I x x dx= ∫ ĐS: e45 1

32I

−= .




( )1

2

0

1.

4

x xI dx

x

−=

−∫ ĐS: 3

1 ln2 ln 32

I = + − .


π

22

0

cos .I x x dx= ∫ ĐS: 2

24

Iπ

= − .


4

0

2 1.

1 2 1

xI dx

x

+=

+ +∫ ĐS: 2 ln2I = + .


( )1

2

0

2 .xI x e dx= −∫ ĐS: 25 3

4

eI

−= .


( )π

2

0

1 sin2 .I x x dx= +∫ ĐS: 25 3

4

eI

−= .


( )2

1

2 ln .I x x dx= −∫ ĐS: 5ln 4

4I = − .


5

3

ln

ln

1.

2. 3x xI dx

e e−=

+ −∫ ĐS: 3

ln2

I = .




��


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2: 4P y x x= − + và đường thẳng :d y x= .

ĐS: S9

2= (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2, cos , 0,y x y x x x x π= = + = = .

ĐS: S2

π

= (đvdt)


Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường ln , 0,y x x y y e= = = . Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.

ĐS: ( )e

S

35 2

27

π −= (đvtt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) ( )1 , 1 xy e x y e x= + = + .

ĐS: S 12

e= − (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0y = và ( )2

1

1

x xy

x

−=

+.

ĐS: S1ln 2 1

4 2

π

= + − (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= và 22y x= − .

ĐS: S1

2 3

π

= + (đvdt)


Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 24 ,y x y x= = . Tính vật thể tròn xoay tạo thành khi Quay hình (H) quanh trục Ox.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG



ĐS: V128

15= (đvtt)

8. Cao đẳng sư phạm TW2 – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2, , 1, 0y x y x x x= − = =− = .

ĐS: S7

6= (đvdt)

9. Cao đẳng kĩ thuật Cao Thắng 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 27 2y x= − và 2 4y x= + .

ĐS: S 4= (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2 3y x x= − + và đường thẳng : 2 1d y x= + .

ĐS: S1

6= (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 3y x x= − + và 3y x= + .

ĐS: S109

6= (đvdt)


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2

44

xy = − và

2

4 2

xy = .

ĐS: S4

23

π= + (đvdt)

13. Đại học Hàng Hải – 1999

a/ Theo chương trình phân ban.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( ) 2

1: 2P y x x= − và ( ) 2

2: 4P y x x=− + .

b/ Theo chương trình chưa phân ban.

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bởi các đường: 3

2,3

xy y x= = .

ĐS: a/ S 9= (đvdt) b/

14. Học viện Ngân hàng Tp.HCM – 2000

a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) 2: 1

1

C y x x

Ox

x

= + =



b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox giới hạn bởi:

( ) ( )3: ln 1

1

L y x x

Ox

x

= + =

ĐS: a/

15. Học viện Bưu chính viễn thông – 1999

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x 0, 2 , 3x y y x= = = − .

ĐS:

16. Học viện Bưu chính viễn thông – 1998

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 8 7 7

,3 3 3 3

x x xy y

x

−=− + − =

−.

ĐS: S 9 4 ln 4= − (đvdt)

17. Đại học Quốc gia Tp.HCM khối B – 1999

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay trục Ox một miền D giới hạn bởi các đường:

sin2 , 0, 0,2

y x x y x xπ

= = = =

ĐS: V4 2

48 32

π π

= − (đvtt)

Documents

CD5. TIch phan va ung dun.pdf