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粒子系（質点系）の力学

Made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Inst. of Tech.) filename= 2body-n-body-system-summary20150522C.ppt

内容 §０．粒子系（質点系）というモデルの位置 §1. 全質量、重心座標、相対座標 §２. 重心速度、相対速度，全運動量 §３．粒子系の力と並進運動の法則 §４. 全運動エネルギーとその重心、相対部分への分離 §5. 粒子系の回転運動 §６. まとめ §7. 参考：粒子系の回転運動には不思議な現象と関連する応用がある！

§０．粒子系（質点系）というモデルの位置

2

物理学考え方と方法 現実の現象は一般に非常に複雑である

単純化/モデル化（「まず、牛をマルと考える」）

規則性/法則の探求 客観的に評価できる共通の要素を見つけ、 それらの間の規則性を数理的に表現（法則を抽出）

現象の中の選ばれた側面の特徴と照合し， 理想化/法則が十分精度が高いか，不十分かの判断 実験結果と法則の結論との比較

Yes No

O.K.

解析可能な形で、複雑な要素を系統的に加え＊、法則（理論）の精緻化

実験結果と法則の結論との比較

粒子（質点）の力学 → 粒子系（質点系）の力学 →拡がりのある系の力学 （剛体、弾性体、流体）

氷山の一角としての現象 （系全体の趨勢の表層としての現象）

＊：粒子系モデルから剛体モデルの ように、単純化を行う場合もある。

3

系（システム）の定義

ナンシー・G・レブソン (著), 松原 友夫他訳 「セーフウェア 安全・安心なシステムとソフトウェアを目指して 」翔泳社、 2009年。P.134。

§1. 全質量、重心座標、相対座標

・i番目の粒子の質量ｍi 、任意の時刻t における、原点Oからの、位置座標ベクトルを とする．

・粒子系の重心G（または質量中心）の座標ベクトルは次のように定義される。 ・粒子系の全質量 1 2

1

(1.1)n

n ii

M m m m m=

≡ + + + = ∑

1

1

1

1 2 2

1

(1.2) (1.2 ')

1( , , ), , , (1

1

.2 '')

n

i ii

n

nn n

i

i ii

ii

m r m r m M R m r

R X Y Z X

rR m rM M

m x Y ZM

=

=

=

+ + +≡ = → =

= ≡ ≡ ≡∑

∑ ∑

・各粒子の相対座標ベクトル ' , ( 1,2, , ) (1.3)i i ir R nr≡ − =

・相対座標についての条件（相対座標は独立ではないこと）

1 1 2 2 1 1 2 2 1 11

1' ' ' ' 0 (1.4 ) ' ( ' ' ' )n

n n i i n n ni n

m r m r m r m r r m r m r m rm − −

=

+ + + = = → = − + + +∑

←各粒子の質量という重み付きの加重平均

・2個以上の粒子(質点）からなる集まりを、その周囲から区別して注目して、粒子系(または質点系）という。

粒子系(質点系）

O x

y

z

ir

ir

( , , ) (1.0)i i i ir x y z≡

ＸG

O

ir

'ir

R

5

・各粒子の速度，速さと運動量

2 2 2

, (1 1,2, , ) (2.1)

( , , ), ; (2.1')

, (1 1,2, , ) (2.2)

ii

i ix iy iz i ix iy iz

i i i

d rv ndt

v v v v v v v v

p m v n

≡ =

→ = ≡ + +

≡ =

速さ

・重心速度と相対速度

・相対速度についての条件（相対速度は独立ではないこと）

・全運動量

§２. 重心速度、相対速度，全運動量

1

1 (2.3)

, (1 1,2, , ( .4)' ) 2'ii

n

i

i

i

d rv v V

d RVdt

mvM

ndt

=

≡ =

≡ =

− =

∑

1 1 2 21

' ' ' ' 0 (2.5)n

n n i ii

m v m v m v m v=

+ + + = =∑

1 1

(2.6)n n

i i ii i

P p m v MV= =

≡ = =∑ ∑

6

§３．粒子系の力と並進運動の法則

・各粒子についての運動の第2法則（運動方程式）

・作用反作用の法則 , ( , 1,2, , , , 2) (3.3)ij jif f i j n i j n= − = ≠ ≥

式(3.1）と(3.2)を辺々加えて、式(3.3）を用いると 2

21 1

(3.4)n n

ii i

i i

d rm Fdt= =

=∑ ∑

・各粒子に働く力を、この粒子系の外から働く外力（external force）と， この粒子系内の粒子間に働く内力（＝相互作用,interaction）の2種類に分ける。 その理由は内力には作用反作用の法則が成立するから。 力の例：重力，電気力、バネの力。

, .i ijF fji i

粒子 に働く外力 粒子から粒子に働く内力

2

21,

, ( 1,2, , ) (3.1)n

jj j

ii i i

i

d rm F f i ndt = ≠

= + =∑

12 13 21 23 31 321 1,

12 21 13 31 23 32( ) ( ) ( ) 0; 3

ii

n n

ji j j

f f f f f f f

f f f f f f n= = ≠

= + + + + +

= + + + + + = =

∑ ∑の場合

7

・重心運動の方程式：式（2.3）を用いると（3.4）は次のように書ける。

1

(3.5)n

ii

dVM Fdt =

= ∑

重心の運動（並進）には内力は関係なく、外力の和により支配される。

→特に、外力が働かない系（孤立系）の場合、重心速度と全運動量は保存される。

1

constant, =constant (3.6)n

i ii

V P m v=

= = ∑

→さらに、初め重心速度がゼロならば、重心座標も保存される。

1

1 =constant (3.7)n

i ii

R m rM =

= ∑

このような意味で、重心は粒子系の運動の代表点の役割を果たす。

・相対運動の方程式

2

21,

' , ( 1,2, , , 2) (3.9)ii

ni

i jj j

d rm f i n ndt = ≠

= = ≥∑

重心運動とは異なり，外力と内力ともに関係する。特に、外力がない場合、内力だけきまるが、相対座標のひとつは独立でないから、下の表現も必ずしも有用ではない。

2 '

21 1,

, ( , 1,2, , ) (3.8)i ii i

n ni

k ik k

k k

m d r mF F f i j ndt M = = ≠

= − + =∑ ∑

2体問題(n=2)

8

相対座標のひとつは独立でないから、相対座標を次のように選んでみる。

1 2 (3.10)x x x≡ − ・独立な相対座標の定義

・換算質量の導入 1 2

1 2 1 2

1 1 1, (3.11)m mm m m m

µµ

≡ ≡ ++

・重心運動と相対運動式 2

1 22

22 1

12 1 22

(

(3

3.11)

.12)d x m mf F

d XM F

dt M

Fdt

FM

µ

= +

= + −

→特に，外力が働かない場合

2

2

2

122 (

0 (3.1

3.

3)

14)d x ft

XMdt

d

d

µ

=

=

重心は等速度運動、 相対運動は質量μをもつ一粒子の運動と同じ

1 2 2 m m mµ ≅ の場合、 となり、

1 2 2 m m mµ ≅ の場合、 となり、粒子１は静止し、粒子２のみが運動するという近似がよくなる。実例；太陽と惑星の関係、水素原子の中の陽子と電子の関係など。

そうでない場合、例えば、地球と月の場合のように、2つの粒子が共通の重心の回りを公転することを考慮する必要がある。（潮汐が1日に2回起こる理由のひとつ。）

§４. 全運動エネルギーとその重心、相対部分への分離

9

2 2 2 21 1 2 2

1

1 1 1 1 (4.1)2 2 2 2

n

n n i ii

K m v m v m v m v=

≡ + + + = ∑

・粒子系の全運動エネルギーの定義

・全運動エネルギーの分離 速さを相対速さと重心の速さで表すし、相対速度の条件を用いると

' 2 ' 2 '

2

21 1 2 2

2 '2 '

1 1

2

1

1

'

1 1 1( ) ( ) ( )2 2 21 1( )2 2

(4.2)12

12

n

i i

n n

n n n

i i i i ii i

i

i

K m V v m V v m V v

m V m v V m

V v

v

mM

= = =

=

= + + + + + +

= + + ⋅

= +

∑ ∑ ∑

∑

ここで、以下のベクトルとその大きさについての公式と式（2.5）を用いた。 2| |A A A A A≡ → = ⋅

§5.粒子系の回転運動

10

・各粒子の角運動量ベクトル

, ( 1,2, , ) (5.1)( ), ( ), ( ) (5.2)ix i i iz i iy iy i i ix i iz iz i i iy i ix

i i i iii i nm y v z v m z v x v m

r p rv y v

mx

v =→ = −≡ ×

= = −= ×

−

・粒子系の回転の運動方程式

・各粒子に働く力にモーメント(トルク）ベクトル

1,

, ( 1,2, , ) (5.3)( )n

i i i ijj j i

N r i nF f= ≠

≡ × + =∑

×はベクトル積(外積）のこと

・各粒子の(座標軸の原点Oのまわりの）回転の運動方程式

, ( 1,2, , ) (5.4)ii

d N i ndt

= =

←この段階では内力(相互作用）も関与

各粒子の(並進)運動方程式から導出

式(5.4)を全ての粒子について辺々加え，式(5.3)と(5.4)を用いると

1 1 1 1,

(5.6)( )n

i i

n n

ijj j

ii

i i

n

i i

d d LNdt d

F ft

r= = = = ≠

→

× += =∑ ∑ ∑ ∑

・粒子系の全角運動量ベクトル

1

(5.5)n

ii

L=

≡ ∑

11

式(5.5）の右辺：

1 12 13 2 21 231 1,

1 12 2 21 1 13 3 31

1 2 12 1 3 13

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )0. (5.7)

n n

i iji j j i

r f r f f r f f

r f r f r f r f

r r f r r f

= = ≠

× = × + + + × + + +

= × + × + × + × +

= − × + − × +=

∑ ∑

通常、i番目とj番目の粒子間の内力の向きは i番目とj番目の位置ベクトルの差と平行。 平行なベクトルの外積はゼロ。

ir

jr

ijf

i jr r−

内力の効果は相殺する！

式(5.7）を式（5.6）に代入して整理すると (e)

(e)

1

(5.8)

(5.9)i

n

ii

d L Ndt

N r F=

≡ ×

=

∑

粒子系の回転の運動方程式

粒子系の外力(external force)だけによる全モーメント(全トルク）

・全角運動量ベクトルの重心と相対への分離

{ }' ' ' ' ' '

1 1 1 1 1 1

' '

1

( ) ( ) ( )

(5' .10)

(5

n n n n n n

i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i

n

G

i

G

i ii

L r m v R r m V v R m V r m v R m v m r V

R MV r m

L

L R MV

v

L L

= = = = = =

=

= × = + × + = × + × + × + ×

= × + ×

→ = +

≡ ×

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

' '

1

.11)

(5.12)'n

i i ii

L r m v=

≡ ×∑

ここで、全質量の定義、相対座標についての条件式、 相対速度についての条件式を用いた。

←全質量が重心Gに集中した（原点Oの回りの）角運動量：公転に相当

←重心Gの回りの角運動量：自転に相当

12

・外力による全モーメント・ベクトルの重心と相対への分離

(e) ' '

1 1 1

(e) (e (e)

(e) '

1

)

(e)

1

'

'

( )

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Gn

n n n

i i i i ii i

G i

i

i i

in

i

N

N

N R r F R F

N

N R F

r

N

F

r F= = =

=

=

= + × = × + ×

≡

×

×

→ = +

≡

∑ ∑

∑

∑

∑

←重心Gに外力の和が作用するときの原点Oの回りのモーメント

←重心Gの回りの外力によるモーメント

・重心の（原点Oのまわりの）回転運動の方程式

(e) (5.16)GG

G

d L

d L d R dV dVMV R M V MV R Mdt dt dt dt

Ndt

= × + × = +

→ =

× ×

・重心のまわりの回転運動の方程式 式(5.16)を式(5.8)に代入すると

(e)' (5.17)'d L Ndt

=

1

n

ii

dVM Fdt =

= ∑

←重心の並進運動の方程式と等価

→重心Gのまわりの角運動量の時間変化は重心回りの外力 のモーメント(トルク）の和に等しい。この関係式は重心 の並進運動に関係なく成立することは注目すべきである。 剛体の回転運動の方程式としても使用される！

重心のまわりの回転運動の方程式（5.17）において，全モーメント(全トルク）がゼロになる、すなわち重心まわりの角運動量ベクトルが保存される事例について：

13

事例１：宇宙ステーション内など、外力がない孤立系の場合は自明である。

事例２：外力が作用していても、それらによる全モーメントがゼロになる場合。 粒子系に働く、外力としての重力の、重心まわりのモーメント(トルク）はゼロ： 重心を支えられた物体は重力により回り始めない。

(e) '

1

' 0 0n

ii

N r=

≡ × =∑

式(5.15）において

であるから、式(5.17)より ' 0 ' constant ;d L L

dt= → =

大きさだけではなく、向きも一定

重力の加速度ベクトルを と表せば、それは場所によらず一定である。そこで、重力の、重心まわりのモーメントは

g

(e) ' '

1 1

' =0n n

i i i ii i

N r m g m r g= =

≡ × = ×

∑ ∑

となる。ここで、相対位置ベクトルについての条件(1.4)を用いた。 従って、重心まわりの角運動量ベクトルが保存される。すなわち、重心を支えられた物体は重力により回り始めない。（厳密には、重心まわりの角運動量ベクトルが保存されるが、一般にはゼロではないので、回転運動状態は変化しない、というべきである。）

備考：インターネット内などの関連した解説において、猫を空中に放り上げた時とか、高飛び込みの際、 「外力が働かないので」と表現されるときもある。しかし、正しくは「重力という外力は働いているにも かかわらず、それによる重心回りの全モーメントがゼロになっている」というべきである。

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§６. まとめ

・粒子系（質点系）の力には外力と内力（相互作用）があり、それらの運動を 取り扱う際には （1）粒子系の重心の並進運動を支配する方程式(3.5) （2）粒子系の重心のまわりの回転運動を支配する方程式（5.17） を解けばよい。

・重心運動の方程式には内力（相互作用）を含まれず、外力の作用だけが現れるという特徴をもつ。

・特に、粒子系に外力が働かない場合、 (a)重心の並進運動には，運動量保存則が成立し、 (b)重心まわりの角運動量保存則が成立する。

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実例２：飛び板飛び込みにおいて、踏み切った後の人体の重心の運動経路は初速度の大きさと 向きできまるが、人体の運動によって影響されない。しかし、重心まわりの回転運動は，筋肉 の力(内力）により調節できるので、種々の姿勢をとることができる。 http://matome.naver.jp/odai/2137256485876689901

実例３：高いところから落ちる猫の動作： 猫は頭としっぽの回転運動によって、いつも足から落ちるように制御している。 http://matome.naver.jp/odai/2138750998225938401 http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/cat/cat.html

物体（＝粒子系）は外力がなくても(筋肉など内力があれば）回転できる 椅子の上でも人間は回転が出来る http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/catroll.html

実例１：フィギュアスケートにおいて、腕を縮め，回転半径を小さくすることにより、回転速度を増 すことができる。

粒子系の運動量保存則と角運動量保存則の間には次のような違いがあることに注意する。 (i)外力の合力がゼロの場合、粒子系の重心は静止または等速直線運動を続ける。 粒子間の相対位置が変っても，重心の運動には変化を生じない。 (ii)角運動量保存則の場合、重心まわりの角運動量は一定でも、粒子間の相対位置を (内力により！）変化させることにより、重心まわりの回転運動を変化させることができる。

§7.参考：粒子系の回転運動には不思議な現象と関連する応用がある！

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内力の効果は一旦消えたはずなのに、どうして、このように不思議なことが起こるのだろうか。相対運動の方程式(3.8）で、その理由を調べてみる。 式 (3.8）を粒子iとjについて考え、それぞれの質量で割った後、両者を辺々差し引くと次式が得られる。

確かに，全体ではなく、二つの粒子間では内力効果は消えていない。簡単のため、外力が一切働かない場合を考えると、重心G回りの角運動量は保存されるにもかかわらず

という関係式が得られる。確かに、内力だけにより、重心Gに準拠した座標系における粒子位置ベクトル間 の差 の加速度が生じ、運動の様子は変化しうる！ 式(3.8‘’）はn=2の場合に、式（3.14）に帰着 する。人間の高飛び込みなどの際には、内力である筋肉の力により，上半身と下半身を別々に少しひねる。

( )' 'i jr r−

別項で議論されるように、広がった物体に対する剛体というモデルは、一般的な粒子系モデルとことなり、質量の連続的分布ということ以外にも、任意の2点間の距離が不変であるという条件を課したモデルである。しかし、直前に議論したように、一般の粒子系では内力により、2点間の距離は変化しうる！ 以下の参考情報にもあるように、粒子系の力学の可能性、柔軟性は意外に深いかもしれない。

2 ' ' 2

2 21, 1,

( ) ( ), ( , 1,2, , ) (3.8')

n nii j j kki i

i

j j

jki jk k ij k

d r r d r r F fF f i j ndt dt m m m m= ≠ = ≠

− −= = − + − =

∑ ∑

2 ' ' 2

2 21, 1,

( ) ( ), ( , 1,2, , ) (3.8'')

n nii j j kk

k k k k

i

i

j

j ji

d r r d r r ff i j ndt dt m m= ≠ = ≠

− −= = − =

∑ ∑

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岩井 敏洋 教授 ホームページより 京都大学 大学院 情報学研究科 数理工学専攻 力学系理論分野 （１） 多体系の力学と接続の幾何学 多体系の力学は接続の理論と極めて相性がよい。 多体系の重心を固定する重心系は、 適当な仮定のもとで、 回転群を構造群とする ファイバーバンドルとみなせるというのが出発点である。 それにより、ネコの宙返りの幾何学的な説明が可能になる。 このような微分幾何学を基礎にして、 多体系の古典力学、 量子力学を力学系としてきちんと定式化して、 上で述べた簡約化の手法を応用すれば、 例えば、量子化学への応用も可能である 再びネコの話題にもどるが、質点系では実際のネコからほど遠いので、 せめて剛体系を考えよう。 剛体系でネコの宙返りを実現しようということで、 単に微分幾何学の問題ではなく、 ネコの宙返りを剛体系の制御問題として考えると一層興味深い。 ネコは空中に放り出された状態では、 全角運動量ゼロの拘束条件のもとで運動をする。 ところで、全角運動量ゼロの拘束条件は、いわゆる、 非ホロノーム拘束条件であるので、 非ホロノーム拘束を持つ制御問題を考えて、 宙返りの様子をコンピュータ上で実現するという研究を行っている。 アーカイブ： 猫の宙返り, http://yang.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~iwai/cat.html アメーバの変形運動, http://yang.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~iwai/amoebo.html 微小振動でも長時間経つと回転, http://yang.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~iwai/small_vib.html 猫の宙返りの奥儀. http://yang.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~iwai/matsunaka.html

岩井敏弘「多体系の幾何、 力学、 制御」 1999年。 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1119-16.pdf