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浅野 勝晃
天体物理特論
目標：天体からの放射過程を理解する
“Radiative Processes in Astrophysics”Rybicki & Lightman
1. 輻射輸送2. 電磁波の基礎理論3. 荷電粒子からの放射4. 放射に対する相対論的効果5. 制動放射6. シンクロトロン放射7. コンプトン散乱
天体物理における2本柱
流体 輻射
成績評価：出席＋議論への積極性（＋レポート）
数式の変形よりも、論理展開の把握を重視。議論の前提、観測から導き出せる物理、適用限界などを理解する
http://www.ircs.titech.ac.jp/asano/Rikkyo.pdf
天体物理を学ぶ意義
1687 ケプラーの法則をニュートンが説明1929 ハッブルの観測が宇宙膨張を示唆1932 宇宙線の中から陽電子1937 宇宙線の中からミューオン1947 宇宙線の中からπ中間子1947 宇宙線の中からK中間子1970- 太陽ニュートリノ問題（ニュートリノ振動）1972 BH候補天体Sco X-11975 暗黒物質1978 連星パルサー（重力波の間接証拠）1979 重力レンズ天体1992 CMBの揺らぎ（インフレーション）1998 加速膨張（暗黒エネルギー）
宇宙の観測と基礎科学
地上実験は1970年代に完成した素粒子標準理論と無矛盾。しかし、素粒子理論は宇宙観測から要求される、暗黒物質、暗黒エネルギー、インフラトンを説明しなくてはいけない。今後も宇宙の観測は基礎科学の方向性に影響を与えるかもしれない。（今以上の情報を引き出せるか？）
宇宙論：宇宙の年齢、密度、膨張則、インフレーションなど大枠は確立。⇒初代天体形成、宇宙の再電離などへ興味は移りつつある。
天体物理：星・銀河形成、ブラックホールからのジェットなど、様々な課題が残されている。
宇宙物理の現状
両分野共、電磁波による観測と理論の比較が主な研究手段。
超新星残骸宇宙線源
我々が住む宇宙の歴史を知る
様々な波長で見た宇宙
電波
赤外
可視
X線
全天マップ
三次元分布を二次元に射影
地球（等積図法）
天球
電磁波で探る宇宙：将来計画の例
ガンマ線観測
銀河中心からの暗黒物質対消滅χ＋χ→γ＋γの兆候を探す。
SKA（電波）
z=12 z=9 z=7CTA（TeV領域）
初代星からの紫外線で宇宙が再電離していく様子を探る。
天体の進化における輻射の役割
分子雲（高密度の水素分子ガス）
輻射冷却収縮
中性水素ガス原始星
主系列星（核融合）
輻射により重力エネルギーを解放
周囲を電離・加熱星形成を抑制
UV放射
ガンマ線バースト輻射圧によるジェット加速？
星の中心核で鉄の光分解重力崩壊
CGSガウス単位系
長さ cm, 質量 g, 時間 s
エネルギー（mc2）: erg≡ g cm2 s-2=10-7J （g=erg cm-2 s2）
電子2つの間に働く力 ]cm [erg 1-2
2
reF =
素電荷 ]cm [erg 108.4 1/21/210−×=e
Maxwell方程式
EBjBEBE
×−∇=∂∂−×∇=
∂∂
=⋅∇=⋅∇
tcctc1 ,41
0 ,4 e
ππρ
電場と磁場の単位は同じ：G ≡ erg1/2 cm-3/2
補助単位
PeV...) TeV, GeV, MeV, keV, mG, µG, (nG, Hz cm s erg 10Jy eV, 106.8K ,sHz G,
cm 103.1pc erg, 106.1eV1-2-1-2351-
1812
−−
−
=×==×=×=
１．輻射輸送の基礎
• Intensityの定義
• 真空中でのIntensityの保存
• 輻射輸送方程式（放射、吸収、散乱）
• 光学的に深い場合
• アインシュタイン係数
• 拡散近似（Rosseland近似）
幾何光学の世界
輻射輸送計算例：宇宙再電離
輻射場 z=20 z=15 z=12 z=11 z=10 z=9
温度
流体計算（宇宙膨張＋重力） ＋星形成＋放射冷却＋輻射輸送＋化学反応＋電離
http://faculty.smu.edu/reynolds/research_lca.html
輻射輸送計算例：パルサー磁気圏
Hirotani 2006
一般相対論＋Boltzmann eq.（プラズマ）＋電磁場＋γ線放射＋輻射輸送
電荷密度
γ線スペクトル
Hirotani 2007
γ＋γ→e-＋e+
輻射輸送計算例：超新星爆発
Takiwaki+ 2012
密度 ニュートリノによる加熱率 加熱効率
輻射輸送
ニュートリノテクニックは同様
Intensity
1. エネルギー（振動数）
2. 軌道（飛んでいく方向）
3. 偏光（ここでは扱わない）
光子の属性
θ
ϕ
),( ϕθ=Ω
dS
),,( zyx=x
]cm [erg]Hz sr s cm [erg
)(
2-1-1-1-2- =⋅Ω⋅⋅
=νν dddtdS
dEI Ωx,
]s [cm 1-2
εε dddtdSdEI
⋅Ω⋅⋅=
個数
エネルギー
？？ νν
νν
νν
ννν
ν
nI
nIhIn
2
)Ωx,(
∝
∝
=Ωd
観測されたIntensityの例
CMB(cosmic microwave background） EBL(extra-galactic background light）
美しいプランク分布
Intensityの保存
1dS2dS
1Ωd2Ωd
R
真空中では 0=dxdIν
νI
IntensityとFlux
*R.const=νI
rMθ 2
*cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Ω= ∫ rRIdIF νννν πθ
Flux
Intensityは“光線”、Fluxは光線の“本数密度”
Mθ が望遠鏡の角分解能（angular resolution）より小さい時は点源。Fluxしかわからない。
60/11 ,60/11 ′=′′=′ o
HST VLA 0.05’’
Chandra0.5’’
エネルギー密度・ガス中の光子
エネルギー密度
dS
cdt
∫ Ω≡= dIJJc
u νννν ππ
41 ,4
平均Intensity
νI
Intensityは真空中では一定。
Intensityに影響を与える因子•放射（光子生成）•吸収（光子消滅）•散乱（方向の変化）
輻射輸送方程式
νννννννν σσσ JnInInjdxdI
sct,sct,abs, +−−=
散乱（等方散乱近似）
放射 吸収
等方放射の時emission coefficient νπν dtd
dEnj ××=41
nガス数密度
吸収係数 abs,νν σα n≡
光学的深さ（optical depth） dx∫≡ νν ατ
平均自由行程ν
ν α1≡l
source functionν
νν α
jS ≡
光子に対するボルツマン方程式
Einstein coefficient
ν0ν
)(νφ ν∆
line profile function 次元： 1−ν
有効平均Intensity
ννφν dJJ )(0∫∞
≡
自発的遷移確率 21A吸収遷移確率 JB12
誘導遷移確率 JB21
Einstein relation
212
3
212121212 , BchABgBg ν== 1g :状態1における統計的自由度
状態1-2間の遷移
)(4 212
0 νφπν
ν Anhj = ( )212121)(4
BnBnh −= νφπναν
220 )2/()(
1)(Γ+−
∝νν
νφLorentz profile
星の構造と輻射輸送
n2
3SB
2R
22
4 ,64
3
, ,4
επσπ
α
ρρπ
&rrL
TrL
rT
rGM
rPr
rM
=∂∂−=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
2．電磁波の基礎理論
• 電磁場のエネルギー
• Poynting Flux
• スペクトラム分解
• 偏光
• ベクトルポテンシャル
• ゲージ
古典電磁気学の世界
電磁場の復習
jBEctcπ41 −×∇=
∂∂
マックスウェル方程式 （1864）
e4πρ=⋅∇ Eガウスの法則磁束の保存則
ファラデーの法則
アンペールの法則
0=⋅∇ B
EB ×−∇=∂∂tc
1
-① （1835）-② （1861）
-③ （1831）
-④ （1826）
電磁波の歴史
1864 マックスウェル方程式1868 マックスウェルによる電磁波の予言1879 マイケルソンが光速を測定1887 マイケルソン・モーリーの実験1888 ヘルツが電波の発信に成功1895 レントゲンがX線を発見1896 ベクレルがγ線を発見1900 プランクの光量子仮説1901 マルコーニが大西洋横断無線通信に成功1905 アインシュタインの特殊相対性理論1920 アメリカでラジオ放送開始1927 ディラックによる電磁場の量子化1940 アメリカで電波航法システム、レーダーの実用化1948 シュウィンガー・朝永・ファインマンの繰り込み1954 ヤン・ミルズのゲージ場1960 アメリカでレーザーの発明1967 ワインバーグ・サラムの電弱統一理論
マルコーニの受信機（彼の発明ではない…）
ヘルツの実験のセットアップ
スペクトルの取得
電場の変動の一例
可視ではグレーティングで反射・干渉させることで、分光する。
X線はCCDで光子一個一個のエネルギーを直接測れる。
γ線は電子・陽電子のエネルギーを積算する。
フーリエ分解
＝
＋
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-3 -2 -1 1 2 3
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
-3 -2 -1 1 2 3
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-3 -2 -1 1 2 3
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-3 -2 -1 1 2 3
-0.10
-0.05
0.05
0.10
＋ ＋
高エネルギー天体のスペクトル
活動銀河核ジェット Mrk421超新星残骸 RX J1713.7-3946
想像図
ννF
偏光
• 測光：感度・限界等級
• 撮像：角度分解能
• 分光：波長分解能、帯域
• 時間分解能（変動天体）
• 視野
• 指向速度（突発天体）
• 偏光
望遠鏡性能の指標
左円偏光右円偏光偏光フィルタ
シャコ
偏光観測
Neininger (1992)
銀河磁場シンクロトロン放射は磁場に垂直方向に
偏光する。
ファラデー回転プラズマ中の磁場により偏光方向が回転
銀河団の磁場測定
高エネルギー天体
超新星爆発 ガンマ線バースト
© 米徳氏
© 田中雅臣氏
CMB偏光観測
TE
EE
宇宙の再イオン化、インフレーションのモデルに制限
ベクトルポテンシャル
),( Aφµ =A
ABAE ×∇=∇−∂∂−= ,1 φtc
定義から
EB ×−∇=∂∂tc
10=⋅∇ Bと は自明。
“運動方程式”ν
µ
µ
νµν
xA
xAF
∂∂−
∂∂≡ 及び として
µν
µν π jcx
F 4−=∂
∂
),( e jρµ cj =
は
jAAA
A
ctctc
tcπφ
πρφ
411
41
2
2
2
e
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂+⋅∇∇−
∂∂−∆
−=∂∂⋅∇+∆
⇒jBE
ctcπ41 −×∇=
∂∂
e4πρ=⋅∇ E
ゲージ不変性
( ) ψγψγ µµ
µµ Aemcci =−∂ 2h
Dirac方程式
相互作用項：ゲージ対称性から自動的に決まる
)( ,)(exp µµµµµµ χψχψψ xAAAxcei ∂+=′→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=′→
h
ゲージ変換
に対して不変
電弱相互作用：SU(2)にこれを拡張強い相互作用：SU(3)に拡張
µνλ
λµλ
λννσ
µσµνµνµνµµµµ ξξξξ ,,, , ggggggxxx −++=′→+=′→
重力場
3．荷電粒子からの放射
• Lienard-Wiechartポテンシャル
• 双極近似に基づく放射
• トムソン散乱
–断面積
–偏光
波動光学の世界
遅延ポテンシャル
O
0r
r
R
n
v
nR R=時刻tにおけるｒでの電磁場は、
時刻 におけるr0での
電荷の運動で決まる。
cRt −
cRtt −≡ret として
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
=⋅−=
ctttRc
tqt
ctttR
qtretret
ret
ret
retretret
)()()(
)(),( ,)()()(),(
RvvrARvrφ
トムソン散乱
1906 Nobel prize（電子の発見etc）
e-γ
電子への反作用は無視
e-
e-e-e-
e-e-
e-
e-
p
p p p
pp
p
p
e-e-
e-
e-
e-
pp p
p
pH
H
H
H H
H
H
H
H H
HH
マイクロ波宇宙背景放射（CMB）
CMB: 電離度が下がり、光が直進できるようになった時の光
トムソン散乱が本質的な現象
星の中の輻射輸送 エディントン光度
ブラックホールからの放射の限界光度を与える。イータ・カリーナ 輻射圧による質量放出
ガンマ線バースト
Fireball温度数MeVの電子・陽電子・光子からなるプラズマが形成される。
電子・陽電子の数は熱平衡から決まり、
トムソン散乱に対する光学的深さは、
電子・陽電子・光子は一体化し、一流体として振舞う
© 関口氏
加速膨張 Γ∝R
トムソン散乱による偏光
入射光子
Θ
入射光子と散乱光子の軌跡入射光子と散乱光子の軌跡で定義される平面で定義される平面
θ
2π
( ) ( )
( ) ( )θ
πσσσ
22e
22e
pol
TTunpol
T
cos1211sin
21
221
+=+Θ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω+Θ
Ω=Θ
Ω
rr
dd
dd
dd
入射光が偏光してなければ、青い方向に電場が振動する確率と、赤い方向に電場が振動する確率は１：１
青方向の偏光光子Intensityが最大で、Imaxとすると、最小になる赤方向のIntensityはImin/Imax=cos2θとなる。
偏光度
θθ
2
2
minmax
minmax
cos1cos1
+−=
+−=ΠIIII
2πθ = から測ると偏光度は100%
散乱光子
トムソン散乱による偏光
球対称のガスからの放射
直接光（無偏光）
散乱光
直接光の寄与もあるが、偏光が検出される。縁付近
中心付近上下と左右からの寄与で偏光は打ち消される。 正面から見る
偏光方向
角度分解して観測できれば、縁付近で偏光が受かる。点源としてまとめて測ると、打消しあって偏光はゼロ。光源
散乱点
打消しあって偏光ゼロ
散乱点散乱で偏光を作るには非等方性が必要。
4．放射に対する相対論的効果
• ローレンツ変換
• ローレンツ収縮・時間の遅れ
• 相対論的ビーミング
• 相対論的粒子からの放射
• 光子の放出時間と観測時間の違い
• その他重要な変換
特殊相対論の復習
相対論的ビーミング
銀河中心BHからの相対論的ジェット
10)/(1
12
≈−
=Γcv
ローレンツ因子
M87
想像図
Q.なぜ反対側のジェットは見えないか？A.相対論的ビーミング
超相対論的エネルギーの粒子
西暦1006年に爆発した超新星残骸のX線画像
太陽の表面温度～1eV << mec
2
非相対論的
X線のエネルギー ～ keVQ. 電子のエネルギーも同程度？A. ×
典型的にはTeV >> mec2
ローレンツ因子610≈γ
放射に対して相対論的効果を考慮しなくてはいけない。
1110≈γ
宇宙には相対論的粒子が満ち溢れている。それらの起源は？
“ベクトル”量の例
),( xdcdtdx =µ ),( Aφµ =A
),( e jcj ρµ = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= k,c
k ωµ
( )vγγµ ,cu = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== p,cEmup µµ
座標 電磁場ポテンシャル
電流 波数
四元速度 運動量
微分 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∇
∂∂=
∂∂=∂ ,1
tcxµ
µ
平坦な時空では
),( 0 AAA =µに対し ),( 0 A−= AAµ
ミュー粒子の観測
Pierre Auger Observatory
アルゼンチン～3000km2
ミューオン Flux～100 m-2 s-1
質量～100MeV （電子～500keV）静止系での寿命～2×10-6 s
水タンク
宇宙線＋大気原子核→π、γ線、電子・陽電子
相対論的電子からの放射
電子のローレンツ因子
)1(1 , ,
)/(11
2 βµγδβγ
−==
−=
cv
cv
総エネルギー放射率
( )2//
2243
22
3
2
32
32 aa
cea
ce
tdEd
dtdE γγ +=′=
′′
= ⊥
角度分布
Θ′−+=
Ω′′′
=Ω−
=Ω
⊥ 24
2//
22
3
2
4
obs
sin)1(4
)1(1
βµγ
π
δβµaa
ce
dtdEd
dtddE
ddtdE
観測時間間隔 tddtdt ′−=−= )1()1(obs βµγβµ電子 v
θa
Θ
重要な関係
K系 K’系V
)1(1 , ,
)/(11
2 βµδβ
−Γ==
−=Γ
cV
cVθ
ローレンツ収縮 Γ′
= ////
LL 時間の拡張 tddt ′Γ=
速度⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
+Γ
′=′
+
+′= ⊥
⊥
2//
2//
////
1 ,
1cvV
vv
cvVVvv 光線の角度 22 )1(
,1 µβµβ
βµµ′+Γ
Ω′=Ω
′++′
= dd
分布関数 ff ′=
密度 nn ′Γ= エネルギー密度 ( )Pee ′+′Γ= 22 β
Emissivity ( ) ννν ννµβ ′′ ′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′=′′+Γ= jjj
222 1
振動数 ( ) νδνµβν ′=′′+Γ= 1
運動量空間''33
Epd
Epd =
Intensity νν νν
′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′= II
3
相対論的ジェット
Γ明るい
Γ> /1θ暗い
ジェットの偏光 Γ/1~θビーミングのおかげで、ジェットの一部だけしか見えないかも。仮に縁を見ていれば、偏光が受かる。
γ線バーストの残光光度曲線と偏光
Uehara+ 2012
1/Γ
R
ここより外は見えない
5．制動放射
• 一回散乱に伴う放射
• Gaunt因子
• 熱的制動放射
• 相対論的制動放射
• 自由自由吸収
イオンと電子の散乱による放射
制動放射：銀河団からのX線
銀河団 Abell 1689青：X線（ガス）
1E 0657-56 （Bullet Cluster）
重力によるガスの降着→衝撃波→高温プラズマ
暗黒物質：85%ガス：13%星：2%
超新星残骸などでも
赤：ガス、青：暗黒物質
銀河団スペクトル
モデル（Böhringer & Werner 2010）
Abell 1689 (Peng+ 2009)Chandra 中心3’の領域
T～10keV
一回散乱に伴う放射
e
イオン（Ze）
br
x
y
v速度 Θ= sin)( 2rad RctΕ
d&&
Θ= sin)(ˆ)(ˆ
2RcdΕ ωω&&
bv
vbmRceZEc
dAddE
e
<<Θ== ωπ
ωω
for sin)(ˆ 2222232
622
ss
bv
vbmceZ
ddE
e
<<= ωπω
for 3
82223
62
ss b
v速度
db
量子論に基づいた計算
Haug 2003
ボルン近似 Gaunt因子Nozawa+ 1998
ffg
510
610
710
0.05 0.10 0.50 1.00 5.00 10.00
0.05
0.10
0.50
1.00
熱的制動放射
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
θθ
θθε
θηπν 11exp
22114ln32
2
2
142e
65
pe
K
TCcmenn
dtdVddE
5772.0 ),exp( ,42.325exp
2 , EE12
e
≈−=≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=≡ γγηηθ C
cmT
Svensson 1984
1for 26.111exp 2 <<≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θθ
θθK
1-1-3-ff
21
ie241
ff
21
e3
e
652
ie
Hz s cm erg expkeV1
100.2
exp3
232
gT
TnnZ
gTTmcm
eZnndtdVddE
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×≈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−− ε
εππν
26.1/4ln ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡xη
]exp[3/2 x−π
光子のベキ指数： -1（プランク分布：1）
超新星残骸 RX J1713.7−3946
Morlino+ 2009
Aharonian+ 2007
ガンマ線（等高線：X線）
ハドロン・シナリオ
レプトン・シナリオ
Synch.
Bremss.
Bremss.(Te=0.01Tp)
p+p→π0→2γ
IC (Opt.+IR)
IC (CMB)
Synch.
Bremss.IC (Opt.+IR+CMB)
高エネルギー陽子とガスの衝突からパイ中間子を作り、ガンマ線を説明する場合、高いガス密度を要求。高いガス密度は、熱的X線放射を予言し、モデルに制限を与える。
冷却率（放射パワー）
1-3-B
21
ie224
B
21
e3
e
652
ie
s cm erg keV1
109.4
32
32
gTnnZ
gmT
chmeZnn
dtdVdE
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
ππ
Bg
Itoh+ 2002
21
1e
e
cool23
Tn
dtdVdE
Tnt −∝=
ガスの冷却時間スケール
銀河団の密度・温度プロファイル Arnaud+ 2010ガスの圧力分布から質量を見積もれる。中心部を加熱する機構が必要。未解明。
相対論的ガスの場合
Svensson 1982
( )
( ) 1for 2342.02ln12
1137
1for 781.1123
2
42e
6
pe
234.1
21
e3
e
65
pe
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
≤<<+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
θηθ
θθπ
Tchmenn
mT
chmenn
dtdVdE
銀河面の拡散ガンマ線 Abdo+ 2009
熱的放射
非熱的放射
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×∝ vvnnE &
c
双極近似では無視した項
双極子の寄与がゼロでも、相対論的になると放射が放たれる。
自由自由吸収
ε [eV]
νIν [
erg/
cm2 /s
/str]
Galactic Radio
CMB
MHz
free-free absorption
10-8 10-6 10-4 10-210-15
10-12
10-9
10-6
10-3
100 102 104 106
Galactic Radio Emission
6000－7000Kの電子による吸収
SNR 338.3-0.0 青：電波、緑・赤：赤外
Castelletti+ 2012
自由自由吸収に対するRosseland平均吸収係数
ie27
R 1 nnTd
TB
dTB
−∝
∂∂
∂∂
≡∫
∫ν
α
να
ν
ν
ν
Rosseland近似
rTT
dtdAdE
∂∂−= 3
R
SB
316
ασ
吸収が弱いと温度勾配も弱い。温度が低いと自由自由が効いてくる。
密度
トムソン散乱
自由自由
鉄による吸収
Soker & Lasota 2004
降着円盤でも同じ技法が用いられている。BHに吸い込まれる前に、輻射は脱出できるか？
6．シンクロトロン放射
• 磁場の中の電子の運動
• エネルギー放射率
• 典型的な振動数
• シンクロトロン関数
• 非熱的な電子集団からの放射
• シンクロトロン自己吸収
磁場による電子加速に伴う放射
シンクロトロン
ＳＰｒｉｎｇ-８
ＬＨＣ（陽子加速器半径4.3km）
シンクロトロン（電波）
CenA
CygA
M87
SNR Tycho
シンクロトロン（X線）
SNR Tychoパルサー星雲
Crab
Tycho’s SNRの時代
1572年、Tycho Brahe（デンマーク）によって発見（肉眼）された超新星
その頃の世界は英国：チューダー朝の絶対王政絶頂期仏国：ヴァロア朝の元統一独国：プロイセン、ザクセン、
バイエルンなどに分割ルネサンスからバロックへの移行期ローマ教皇：グレゴリウス13世
中東：オスマン帝国中国：明朝日本は？
エリザベス一世
万暦赤絵
その他の歴史的SNR： RCW 86（185年、後漢書）、SN 1006（宋史、安倍吉昌、アリ・イブン・リドワン、
ザンクト・ガレン修道院）、Crab（1054年、宋史など）、Kepler（1604年）、1987A（Kamiokande II）
シンクロトロン（スペクトル）
AGNMrk 421
ν [Hz]
SNRTycho
Abdo+ 2011 Völk+ 2005
シンクロトロンの典型的振動数
eBmcr
2
tγ=
γθ /1≈∆
γ≈ /1
γt2rs ≈∆
eBmc
cst
22=∆=∆
mceB
tt
23
/2
c
2obs
γω
γ
=
∆≈∆
2/πα = の時
シンクロトロンのピーク
AGNMrk 421
ν [Hz]
keV10G1.0
'20
35.02
'3 2
5max2
maxe
max ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== γδγδε B
cmeBh
1-2
5max
1-42maxe,
4var
344
max53e
24
maxe,var3
iso,max
2emax
maxe,varmaxe
2max32
e
24
maxe4
maxmaxe4
maxmax
4eiso,max
s erg10G1.0
's erg10s1020
10
9'4
)(
9'4)(
)('')('
''')(
max
max
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
≈
≈∆
∆≈
∆≈= ∫
γδ
γδε
δγγγ
γγγδ
γγγδεε
δγγε
ε
ε
BLt
cmBeLtL
cmLt
N
cmBeN
dtdEN
ddtdENdL
maxγγ =の電子が担うエネルギー放出率
時間変動スケール
球対称相当の光度なので、見かけ上電子のエネルギー放出率（実際の値）を上回っている。
AGNとSNRの場合
AGNMrk 421（Abdo+ 2011）
1-42max,e
5max
4var
s erg 103.1 ,109.3
G,038.0' s,1064.8 ,21
×=×=
=×==
L
Bt
γδ
-144,isomaxmax s erg 107 keV, 1.2
max×==⇒ εεε L
4πD2で割ると、3.3×10-10 erg cm-2 s-1
SNRSN 1006 （Acero+ 2010）
(10TeV)100.2µG,30' ,1
7max ×=
==γδ B
erg)103.3(
eV6647
tote,
max
×=
=⇒
E
ε
z
x
θn ⊥ε
//ε
β
y
tr
問題設定
( )2
3t
3ret
22
ret22
2tret
ret2
22
// 31
2exp
/4 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω ∫⊥
rtctirct
dtc
eEE
ddd γθγ
γω
θπω
ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×=== ⊥⊥
0,cos,sin
0,sin,cos
),0,1,0( ),sin,0,(cos
t
rettt
t
rett
t
ret
t
ret
//
rvtrr
rvtr
rvt
rvt
r
β
εnεεn θθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⋅−
+−≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=×× ⊥⊥
2t
3ret
22
ret22
2t
rettretret
//t
ret//
t
ret
t
ret
3)1(
21sincos
sincossin)(
rtct
rvt
crt
ct
rvt
rvt
rvt
γγθγ
θ
θθ
rn
εεεεβnn
三次微小量
低振動数の極限
( )2
3t
3ret
22
ret22
2retret2
31
2exp ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∝
Ω ∫⊥
rtctitdt
dddE γθγ
γωω
ω
0→ω での典型的時間スケール 3/12
22
33 23~ −∝∆⇒∆ ω
ωγ
γt
crt t
3/2422
retret2 ~~ ωωω
ω∝∆
Ω ∫⊥ ttdtdddE
td ∆∝∆∝Ω θ より3/1ω
ωω∝
Ω∆∝ ⊥⊥
dddEt
ddE
光子数分布なら
3/21)( −⊥ ∝∝ ωωω
ωγ ddEn
ωcω
ννF
3/4ω
時間積分
( )
( )
)(4
31exp
4
31
2exp
/4
432
2t
22
23
220
2
2t
2
22
2
3t
3ret
22
ret22
22tret
ret2
22
//
Ψ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
∫
∫⊥
Iγπ
ω
ξθγξγθξ
ξγπ
ω
γθγγω
θπω
ω
cre
ifdcr
ce
rtctirct
dtc
eEE
ddd
[ ]
∫
∫∫
∫∫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Ψ+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Ψ
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Ψ−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Ψ+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−Ψ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ψ
=Ψ
3)1(2exp
4)sgn(exp4
22
2exp3
)1(2exp2
)(31))(1(exp)(
22
02
2
00
202
2222
0
33202
XXifXiX
Xfi
XfdX
XYifXY
dYXXifdX
ifdd
ππ
ηξηξξη
ηξI
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
4)sgn(exp
2]exp[
4)sgn(exp]exp[
22
2
ππ
ππ
SiSS
iiSYdYY
SiS
iSYdY
3t
0 2 γωcrf ≡ 2
0
ret
2 γωξft≡
γθ≡Ψ
)(21 ηξ −≡X )(
21 ηξ +≡Y
絶対値の二乗→二重積分
変数変換
変数変換
Yだけ積分 公式
角度積分
∫
∫ ∫
∫
∫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Ψ+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Ψ
−Ψ=
Ψ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⊥⊥
32exp
1411
2sin
3)1(2exp
4)sgn(exp4
2sin
)(sin24
sin2
2
0
30
2
2
22
02
2
00
53
2t
22
432
2t
22
////
XXifXif
XdX
ce
XXifXiX
Xfi
XfddX
cre
dcre
EE
dddd
EE
dd
αγ
ππαγπ
ω
θαπγπ
ωω
θαπω
I
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
32cos1
2sin 2
02
2// XXf
XdX
ce
ddE αγ
ω
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫∫⊥
32sin4
32cos1
2sin 2
00
2
02
2 XXfXdXfXXfX
dXc
eddE αγ
ω
θからΨに変数変換
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
4)sgn(exp
2]exp[
4)sgn(exp]exp[
22
2
ππ
ππ
SiSS
iiSYdYY
SiS
iSYdY
Ψだけ積分 先ほどと同じ公式Expをsinとcosに分解し、積分に効かない奇関数を落とす
α
θαπ dd sin2≈Ωθd
整理整頓
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− ∫∫ 3
2sin123
2cos1 2
00
2
02
XXfX
XdXfXXfX
dX
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≡ ∫ ±
± 32sin2
2
01
0XXfdXXfI
( )−+ += IIc
eddE
2sin2
// αγω
( )−+⊥ += II
ce
ddE 3
2sin2 αγ
ω
)(3)(3
23
3sin)12()(
3/2
0
3/233/1
xGxxK
xzzdzzxxI
≡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∫
∞
+
( ) ∫∞
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
0
3/23
3/23/2 23
3sin
2/33)( xzzdzz
xxK
部分積分をすると
なので
関数 を導入すると
のように綺麗にまとまる
第二種変形ベッセル関数
を用いると
034 fx ≡ Xxz
3/1
23
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≡
整理整頓 (2)
∫
∫∞
−
∞
−
−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xydyKxxI
xKxzzdzx
xIxdx
d
)(3)(
)(32
33
cos)2/3(
3)(1
3/1
3/10
3/23
3/1
nnnnn KKKKK =−−=′ −+− 2 11
)(3)(32
)(3)(32)( 3/53/2
xFxG
ydyKxxxKxIx
+−=
+−= ∫∞
−
( ) ∫∞
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
0
3/23
3/13/1 23
3cos
2/33)( xzzdz
xxK
I-の方は
を用いる。
から、
漸化式
を用いると
034 fx ≡ Xxz
3/1
23
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≡
つまりシンクロトロン関数
∫∞
≡x
ydyKxxF )()( 3/5
ゴール
[ ]
[ ]
)(2
sin3
)()(4
sin3
)()(4
sin31
2
3
2
3
2
3////
xFmcBe
dtddE
xGxFmcBe
dtddE
xGxFmcBe
ddE
TdtddE
πα
ω
πα
ω
πα
ωω
=
−=
+==
⊥
eBmcT
B
πγω
π 22 ==一周期に1回このパルスが来るので、周期 で割ると、
0.001 0.01 0.1 1
0.10
1.00
0.50
0.20
0.30
0.15
0.70
)(xF
92.0~)29.0(F
0.001 0.01 0.1 1 10
10-4
0.001
0.01
0.1
1
)(xxF
68.0~)3.1(1.3F
mceBx
eBmcx
B
2sin31
sin32
sin32
2
23c
αγω
αγω
αωγω
ωω
=⇔=
===
3/1
2)3/1(34~)(
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Γ
<<
xxF
x
π
)exp(2
~)(
1
xxxF
x
−
>>
π
衝撃波統計加速
磁気乱流
磁気乱流
磁気乱流
磁気乱流
磁気乱流
SN1006R～10pc
T～0.24keV
乱れた磁場と粒子の相互作用
l≫ rC …荷電粒子は磁力線の曲がりに沿って運動
l～ rC …荷電粒子は磁力線の曲がりによって散乱される
l≪ rC …荷電粒子は細かい曲がりは感じない 磁力線
粒子軌道
ラーマー半径 rL～磁場の乱れのスケール
無衝突衝撃波シミュレーション
©加藤恒彦
乱れた磁場、乱流が存在
/cc1for s 106.54 1-42
=×== nmne
epe
πω速い振動
シミュレーションで実現された粒子加速
Maxwell
Spitkovsky 2008
Power-law電子からの放射
pen
−γ∝γ)(
2/)1( −−γε∝ p3/1
γε∝
γε
)( γεF
正確な積分
公式 から、⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++Γ= −∞
∫ 21
212)( 1
0
nndxxKx nµµµµ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ=
+∞
∞
∫
∫
32
237
222)(
32
234
22)(
1
0
0
µµµ
µµ
µµ
µµ
dxxFx
dxxGx
3-1-1-2/)1(
e2
e
3
c2
e
3
e
cm Hz s erg sin312
1412
194)1(2
sin3
2sin3)(
−−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∫∫
p
p
eBcmpp
cmpBeC
Fcm
BedCdtddEnd
dVdtddE
αω
πα
ωω
παγγ
ωγγ
ω
4sin πα =
シンクロトロン自己吸収
Beckert+ 1996B～10G（Free-freeでも説明可）
SN 2002ap
SN 1993J
SN 1998bw
SN爆発後11日後の電波スペクトルSutaria+ 2003
Sgr A*
7．コンプトン散乱
• 電子静止系での散乱
• Klein-Nishina断面積
• 相対論的な電子による散乱
• 逆コンプトン散乱
• コンプトン y-パラメータ
• Kompaneets方程式
• Sunyaev-Zel‘dovich 効果
電子による光子の散乱
天体における逆コンプトン散乱
SN1006
ブレーザー
Donato+ 2001
Acero+ 2010X線連星
～0.2keVの熱的光子を90keVのコロナが叩き上げている
McConnell+ 2002
NS/BH
Disk
Corona
Crab nebula
Abdo+ 2010Aharonian+ 2004
300MeV-GeV >GeV
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
( )
( )xipiixip
iii
i
xikll
xikll
ll
epdpvepcpupd
ekaekakhckdA
⋅⋅−
⋅⋅−
+=Ψ
+=
∑∫
∑∫
)(ˆ)()(ˆ)()2(
ˆ
,)(ˆ)(ˆ)2(
ˆ
†2/3
3
†*
02/3
3
π
εεπ
µµµ
[ ] )()'(ˆ),(ˆ)'(ˆ),(ˆ ),()'(ˆ),(ˆ 3††3† p'pk'k −==−= δδδδ ijjijilmml pdpdpcpckaka
電磁場と電子場の演算子
偏光状態： l
スピン状態： i
交換関係
スピノールの縮約
ijjiji vvuu δ== ††
波数ベクトルの内積2
e ,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅==⋅h
cmppkkkk µµ
Zeitschrift für Physik
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
µµψγψ Ae−=int
ハミルトニアン密度の相互作用項
二次微小量まで考えるとS行列
( )∫∫ ++= )()()(2
)(1 2int1int24
14
2
2
int4 xxTxdxd
cixxd
ciS
hh
k
'k
p
'p
qk
'k
p
'p
q
s-channel t-channel
1x
2x
1x2x
tHie h
intˆ
時間推進演算子は なので、
時間順序積
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
( )ji u
kpki
kpkiukpkp
kkcViekpSpk ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅///+
⋅///−−+=
'2''
2'')''(
'2'' 4
002
25 εεεεδπh
]exp[1 ],exp[0
xipuV
xikVkhcA iill ⋅−=Ψ⋅−=⇒ µµ ε
µµεγε ≡/
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+−+−−+=
≡ ∑∑
2
0
0
0
0
00
44
0024
410
2
)'(42'
''4
1)''(2')(
2
''21
εεδπ
πkk
kk
ppkpkpcTV
kkcVe
kpSpkMi j
h
仮に設定された体積と時間のスケール： TV ,
確率振幅
0e =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∂ iu
cmih
µµγ電子静止系で考え、反応の充分前と後ではDirac eq. を満たしているので、
デルタ関数の二乗
スピン平均
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
cvVnvTnM === ,/1 ,σ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Ω
θνν
νν
νν
θσ
222
e
2
0
0
0
0
2
0
022
e
4
'
sin'
''2
sin'
'')(2
r
kk
kk
kk
cme
dd
k
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−+=
=
=
∫
∑∑ ∫∫
∑∑
θδππ
σ
2
0
0
0
0
0000
000032
4
33
33
' '
sin'
'''
)''(')(2
')2(
')2(2
1
kk
kk
ppkkkpkpkd
ce
McTVkdVpdV
McTV
l m
p k
h
偏光の平均
Klein-Nishina断面積
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−
+++=
ΩΩ= ∫
23T
''
)21(31)21ln(
21)21ln(
21)1(21
43
xxx
xx
xxx
xx
ddd
kk
σ
σσ
2ecmhx ν≡
1for 212ln
83
1for
T
T
>>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≈
<<≈
xxx
xσσσ
ICからの磁場の推定
PKS 2155-304 Kusunose & Takahara 2008
B2maxsyn δγε ∝ syn
2maxIC εγε ≈
BUU ph
CMBUUB
SN1006
Acero+ 2010
ただし、Klein-Nishina効果を考慮すべき
光子散乱率（電子静止系）
等方で単色のソースの強度 number intensity [photons/cm2/s/eV/str]
)()()(00 εεδε
εε −=≡ NNI
23 // εε NI =ローレンツ不変
)()()( 00
2
00
2
0 εγβεγεµδ
εγβεεεεδ
εεε
′′−−′
′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
=′′ NNN
電子静止系での電子1個当たりの散乱レート [photons/s/eV/str]
∫− ′′′′=Ω′′′
′ 1
1 1T1
),(21 µµεσ
εdN
ddtdNd
Tσσ ≈ εε ′≈′1入射角度平均
( ) ( )µβγεεβµεγε ′+′=⇔−=′ 11
1
10
εγβεγεµ′
′−=′ )1()1(11 0
10
βγεεε
βγεµ
−<′=′<
+⇒<′<−
電子静止系で、光子のエネルギーが広がる
散乱光子のエネルギーの広がり
( ) ( ) ( )1
01
12
0111 1)1(1)1(
1βµβγ
εεβµβγ
εβµγεε−−
<<−+
⇒−=′
1)1(11
)1(111
11
001
1
0101
<<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⇒>
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−<<−⇒<
µβεε
βεε
βεε
βµεε
μ1の大小関係に書き換える
dVddtddNj
Ω=
εεεε 12ローレンツ不変
1
e
1
1
1e
1
1
11
1
1 Ω′′′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
=Ω′′′
′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
=′Ω′′′
′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
=Ω ddtd
NdnddtdNdn
VdddtdNd
dVddtddN
εγεε
εεε
εεε
ε
Ω′′′′′=
′Ω′′′′
ddtdNdn
VdddtdNd
εε e
γe
enn =′
Emission function
Klein-Nishinaに沿った散乱角度分布（非等方散乱）
( )0
212
02
0
4,21ln2
43
εγε
εγσ ≡−++⇒ xxxxxNn Te
)1(32
43
for )1(14
21
2
02
0Te
000
220Te
120
20Te
xNn
Nn
dNndVddtd
dN
−≈
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+=
=Ω ∫
εγσ
εεβεεβ
εβγσ
µβεγεσ
ε 散乱角度平均、積分範囲に注
14 0
21 <≡εγ
εx
.const1⇒<<x
エネルギー分布を考慮
( )0
220
4,21ln2)( ),(3
εγε
εσ
ε≡−++≡=
ΩxxxxxxgxxgNn
dVddtddN Te
先ほどの式を書き直す。
)(3 0 xxgNndVddtd
dNdVddtd
dEj Teσεε
εε =Ω
=Ω
=
γγεπεγ dnnd
cnN ee )( ,
4)(
00
0 ⇒⇒電子と光子のエネルギー分布を考える
∫∫
∫∫
∫∫
−−−−−
+−
∝⇒
∝
=Ω
=
)()(
)()(
)()()(34
2/)1(0
2/)1(00
2/)1(
)2(
0000
000
xgdxxnddVdtd
dE
xgdnd
xxgndndcdVddtd
dEdVdtd
dE
ppp
p
eT
εεεεε
γεεγεεε
γγεεεσε
πε
γ
γ
γ
dxx
dx
2/1
02/3
0 41 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∝
εεγ
εεγ
Cyg X-1
Soft photon0.2keV
Te～100keVτ～1.5
7.14 22
e
e ≈= τcmTy
Makishima+ 2008
Kompaneets Eq.
3
3333
)2( hπνγxpddxpddf n= プランク分布なら 1)/exp(
2−
=Thννn
[ ]∫∫ +−+∆Ω
Ω=∂
∂ )1()()1()()(11 eee
3νννν
ν νσnnnn
n pp1 ffdddpdc
t
),(),( 1νν 1pp ⇔
νννν <<−=∆ 1
2
22
21
1 νν
νν νν
νν ∂∂∆+
∂∂∆+≅ nn
nn
ee
,Th
Thx νν ∆≡∆≡
x∂∂≡ ν
νn
n'
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆+∆+≅2
1)()(2
e1e EfEf)(1)(e
e
e EfTE
Ef −=∂
∂
誘導放射の寄与
Kompaneets Eq.
エネルギー・運動量の保存から
( ) ( )nnpnnnpnnnnp
kn
111
11 −⋅≈⋅−+⋅−
⋅−−−⋅=∆
=
cmh
hcEhchh
k
e
22
)1()1( ν
νννν
( )
∫∫
∫∫
∆Ω
Ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++
∆Ω
Ω++=∂
∂
2ee
3
ee3
)()1(21)1('''
21
)()1('1
p
p
fdddpd
fdddpd
tcσ
σ
ννννν
νννν
nnnnn
nnnn
)cos1(22 θ−=− nn1 ( )θσ 22e
T cos121 +=
Ωr
dd
温度平衡になった時、右辺がゼロとなるなどの条件を考えると、
Kompaneets Eq.
( )[ ]2422
e
eTe '1
νννν σ nnnn ++
∂∂=
∂∂ x
xxcmTcn
t
光子も“ほぼ”プランク分布で、 γTT >>e
γ
νThz ≡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂≅
∂∂
zz
zzcmTcn
tνν σ nn 4
22e
eTe
1
),max( 22
e
eTe2
e
e ττσcmTdtcn
cmTy
t≈≡ ∫ ∞−
1for
1for 2
2 >>≅
≅⇒<<−≅
zyz
TT
zyγ
γ
ν
ν
ν
ν δδδn
n
n
n
レイリー・ジーンズ領域光子数密度∝εT
Sunyaev-Zel’dovich効果
銀河団コアのサイズ200kpc、密度0.003個cm-3、温度4keV⇒τ～0.003
51052 −×−≅−= yTT
γ
γδ
Staniszewski+ 2009
CMBを利用した銀河団の検出
WMAPによるComa ClusterでのSZ効果
銀河団密度分布のモデルと比較可能
Komatsu+ 2011
8．その他の重要な反応（おまけ）
• 電子・陽電子対生成
• ハドロンの反応
古典電磁気学では扱えない反応
電子・陽電子対生成
1k
1p
s-channel u-channel
+e
−e
2k
2p
+e
1k
1p
+e
−e
2k
2p+e
42ein 2)cos1( cm>−′ θεε の時だけ起こる反応。 ε
ε ′inθ
電子・陽電子対生成
σγγ [cm2]
εε'(1-cosθ)/2me2c4
1 10 1001e-28
1e-27
1e-26
1e-25
1e-24トムソン散乱
γγγγτ
ctR=
光子の運動方向が揃っていれば、つまり対消滅しなくてすむ。
方向を揃えるには？相対論的ビーミングの効果
1cos in ≈θ
Γ
Γ/1
ハドロンによる反応
+++→++→+ππ
nppppp
0 γγπ +→0
T05.0 σσ ≅pp
µνµπ +→ ++
µννµ ++→ ++ee
2:1:0 ≈+ππ
SNR W44 (Abdo+ 2010)
元の陽子の30%ほどのエネルギーがパイオンへ。
MeV1352 ≅cmπ
ハドロンによる反応
++→+→+ππγ
npp
0
陽子静止系での光子のエネルギー
20%ほどのエネルギーがパイオンへ。
最高エネルギー宇宙線1020eV→γ～1011
CMB光子の平均エネルギー3×3K～10-3eV
陽子静止系ではγ 10-3eV～100MeV
光子数密度 400cm-3
300MeVを超えている光子は、（ざっくり）1/100くらいか？
平均自由行程1/n σ～100Mpc
