義守大學工業管理學系

博士論文

量測系統分析的評估研究-TS 16949 On Evaluation of Measurement Systems Analysis

– TS 16949

研 究 生：方 聰 然 撰

指導教授：陳 文 魁 博士

曹 以 明 博士

中 華 民 國 一 0 五年 七 月

義 守大學工 業管理 學 系博 士班

研 究生方聰然所提之論文

量測系統分析的評估研究-TS16949

業經本委 員會審議通過

論文口試委 員會

召 集

委

委

委

委

所

人 : 胡承方 博士

員: 薄喬萍 博士/ㄈ員 : 陳文魁 博士

員 : 陳穎峰 博士

員 : 曹以明 博士

長 : 曹以明 博士

尨

(簽名)

(簽名)

(簽名)

(簽名)

(簽名)

(簽名)

中 華 民 國 1U5年 7月

UnEvaluatiUn

ApprUvedby.

牧協n綩 嚇D∴ WeⅡ一KueiCⅡ eⅡPrUfessUr

DepartmentUfApp㏑ dMathema仇 sNatbnalChiayiUniversity

AssUciatePrUfessUr

DepartnlentUfFinance

Shu＿TeUnivcrsity

AdvisUr:

CU-AdⅥsUr:

UfMeasurement一TS16949

by

Tsung-JanFang

SysteⅡtsAnalysis

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I-ShUutJniversΠ y

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DepartmentUfIndustrialh6anagement

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InstituteDirectUr:

I

謝誌

回首來時路，也無風雨也無晴，也終於完成博士論文，這段期間經歷了人生的起伏

以及退休，惟有用心觀照與體驗，才能正向迎接世界，享受另一階段的開始。

個人衷心感謝指導教授陳文魁老師及曹以明老師，不斷的細心指導與懇切叮嚀，尤

其恩師陳文魁教授，從碩士到博士這條路上，跟著老師學習與成長，讓人深深覺得師恩

浩瀚，難以回報，緊接著要特別感激義守大學薄喬萍老師、嘉義大學胡承方老師、樹德

科大陳穎峰老師的蒞臨指導，並給予本論文許多寶貴的建議，獲得很大的啟發與收穫，

致上最高的敬意；還有感謝大學同學俊傑與系助理麗琴的幫忙跟協助，才得以讓本論文

順利完成。

此外要感謝博班同學玉萍、宏昇與學弟妹等人，給我力量及鼓勵，在研究期間彼此

相互砥礪與扶持，倍感溫馨，由衷的感激，難以言喻。

最必須感謝的人，是背後推手老婆---彥羚與女兒 瑜，還有時時刻刻會擔心我的父母與家人，有你們陪伴才使我更加勇敢面對挑戰，謝謝你們背後的力量。在此，本文獻

給你們大家，謝謝各位關心的親朋好友，讓我完成這個

願望，分享這份喜悅與榮耀，更重要的是 --- 謝天 !

方聰然 謹誌

于觀音山

中華民國一○五年八月

II

摘要 工業界的量測系統分析（Measurement Systems Analysis, MSA），習於採用表格化

的方式來評價量測系統分析，通常由TS 16949國際品質系統五大核心工具之一，MSA指

導手冊（2010）的評估準則，進行量測系統的評估，而量測過程的其真正統計模型尚未

得知，經常使用由實驗獲得數據，透過變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA），

來分析量測系統的誤差及探討量測數據之變異數的變化。而古典儀錶的一致性分析時，

其使用變異數分析之組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient , ICC）的理論來分

析，與現代量測系統分析之量測雙現變異（Gauge Repeatability and Reproducibility，GRR）

有所不同，本研究就其關聯性予以探討及推導彼此之間關係。

在產業界的量測行為前提，依MSA指導手冊（2010）的評估準則假設，本文提出量

測雙現變異（GRR）模擬流程，並建構其對應的統計模擬程序，透過蒙地卡羅模擬方法

（Monte Carlo Simulation Method）的意涵，創新的結合統計概念及Excel的函數表示為

𝑓(𝑥) = ROUND （NORM. INV （RAND （） , Mean , Standard_dev ） , 2 ），其 Excel 的

RAND 隨機亂數函數的運用，可產生隨機亂數，隨機亂數為0∼1之間數值，其值可視為

累加累積機率函數的機率值，再使用 NORMINV 反函數，得到其累加累積機率函數的

機率值與常態分配位置對應之數值，所得位置對應之數值，再利用轉換為標準常態分配

的方法 𝑧 = (𝑥 − 𝜇) 𝜎⁄ ，與設定量測系統參數之平均數與標準差，可求得其模擬量測系

統的量測實驗值。

由上述之 GRR統計模擬程序，設定九種不同的量測行為情境，其九種情境各模擬

1000次，所產生的量測系統之 GRR量測實驗值，使用MSA指導手冊（2010）提供長表

格法（Long Form Table）的評估準則與雙因子巢狀式設計模式之變異數分析（Nested

Design Model ANOVA）方法，評估量測系統之精度的再現變異（Equipment Variation, EV）

及同現變異（Appraiser Variation, AV），即為量測雙現變異（GRR），其兩者方法之間

差異和敘述性統計量分析，並藉由%𝐺𝐺𝐺量測能力指標評估，進而衡量該量測系統的整

體表現，確保量測系統之良窳。

關鍵字：量測系統分析（MSA）、蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）、量測雙現

變異（Gauge Repeatability and Reproducibility，GRR）、組內相關係係數（Intraclass

Correlation Coefficient , ICC）、再現變異（EV, Equipment Variation）、同現變

異（AV, Appraiser Variation）

III

Abstract

The industry accustomed to form-based approach to evaluate the MSA, usually one of the five core tools TS 16949 international quality system, MSA Guidebook （2010） of the Long Form Table method assessment criteria, to assess the measurement system, however its true statistical model of the measurement process is not yet known. Data obtained from the experiment, is to analysis error measurement system and discuss changes in the number of variations of the measured data by Analysis of Variance (ANOVA). While the reliability measurement of classical instruments, the group apply ANOVA of the correlation coefficient (Intraclass Correlation Coefficient, ICC) theory to analyze with precision variation (EV, Equipment Variation and AV, Appraiser variation) of the measurement system analysis. It differs from Gauge Repeatability and Reproducibility (GRR). This study is to explore and derive the relations between each other on their relevance.

In the measuring behavior of industry, according to MSA Guidebook (2010) assessment criteria assumption, this study proposed the GRR simulation process and the corresponding statistical model simulation program was constructed, through the Monte Carlo simulation method innovative combined with statistical probability concepts and Excel's function expressed as 𝑓(𝑥) = ROUND（NORM. INV（RAND（）, Mean , Standard_dev）, 2） . It used Excel's RAND random number function and NORMINV inverse function. It can generate random number by RAND function, the value be 0 to 1. The value can be as the cumulative probability of the cumulative probability function value, and then use the NORMINV inverse function to obtain the value of their cumulative probability function of probability values and normal distribution corresponding to the position of the value. It obtained corresponding to the position of values; then to convert the standard normal distribution 𝒛 = (𝒙 − 𝝁) 𝝈⁄ , with setting the mean and standard deviation of the measurement system parameters, GRR simulation of experiments measured value can be obtained.

This study used the GRR statistical model simulation program, set nine different measurement situations. In each situation, 1000 times simulations are executed to obtain GRR experimental measured values. These values were analyzed with a Long Form Table method assessment criteria provided by MSA Guidebook (2010) and two-way nested design model ANOVA method, to estimate of the evaluation precision of measurement system of equipment of variation (EV) and appraiser variation (AV), is now called gauge repeatability and reproducibility (GRR). To describe basic statistics, and difference between its two methods, and then evaluate performance in the precision performance indicators of the measurement system is to ensure the measurement systems analysis.

Keywords: Measurement System Analysis（MSA） , Monte Carlo Simulation, Gauge Repeatability and Reproducibility（GRR）, Intraclass Correlation Coefficient（ICC）, Equipment Variation（EV）, Appraiser Variation（AV）

IV

目錄

第一章 緒論 ........................................................................................ 1 第一節 研究動機 .......................................................................................... 1 第二節 研究目的與範圍 .............................................................................. 3 第三節 量測科技統計名詞 .......................................................................... 5 第四節 研究流程 ........................................................................................ 10

第二章、文獻回顧 ............................................................................ 11 第一節 古典儀錶一致性分析 .................................................................... 11 第二節 IsoPlot 理論簡介 ............................................................................ 13 第三節 量測系統分析 ................................................................................ 15 第四節 量測系統之 GRR 評估方法 ......................................................... 22 第五節 蒙地卡羅方法模擬 GRR .............................................................. 35

第三章 雙因子變異數分析 .............................................................. 39 第一節 重複量測 ........................................................................................ 39 第二節 交叉式設計 .................................................................................... 40 第三節 巢狀式設計 .................................................................................... 48

第四章 模型研究 .............................................................................. 54 第一節 GRR 量測程序 .............................................................................. 54 第二節 量測系統評估 ................................................................................ 69 第三節 精度評估 ........................................................................................ 71

第五章 模擬與分析 .......................................................................... 77 第一節 GRR 模擬程序 .............................................................................. 77 第二節 情境假設 ........................................................................................ 80 第三節 GRR 評估指標基準 ...................................................................... 83 第四節 GRR 模擬流程設計 ....................................................................... 84 第五節 成果分析 ........................................................................................ 87

第六章 結論與建議 .......................................................................... 96 第一節 結論 ................................................................................................ 96 第二節 建議與未來研究 ............................................................................ 98

參考文獻 ............................................................................................ 99

V

表目錄 表 2.1 三種儀器對四位嬰兒獨立量測乙回數值……………..………… 12

表 2.2 雙因子重複測量變異分析表……...……………………………... 12

表 2.3 𝒅𝟐常數表錄表……………………………….......……………….. 20

表2.4 Classical GRR之量測記錄表…………...……….……………….. 23 表 2.5 MSA 變異數分析（ANOVA）表………..………………………… 26 表 2.6 每一變項來源之變異數項目估計表………………..…………… 26

表 2.7 6 標準差寬度表……………..………..………….……………….. 27 表 2.8 MSA 變異數分析（ANOVA）表（交互作用影響不顯著時）…… 28 表 2.9 6 標準差寬度表（交互作用影響不顯著時）……………………... 29 表 2.10 QS9000 中 𝑃 𝑇⁄ 的判定準則表………….…..……………….. 31 表 2.11 MSA 指導手冊（2010） %𝑮𝑮𝑮 的判定準則表………….....…. 32 表 2.12 組內相關係數（ICC） 𝝆 = 𝜎𝑝2 𝜎𝑡2⁄ 值判定準則表…………… 33

表 2.13 量測系統精度評價表……..………..…………………………… 34

表 3.1 量測的再現度與同現度之量測記錄表………………………….. 41

表 3.2 雙因子的變異數分析表…………………..……..………………. 42

表 3.3 雙因子的變異數分析表（交互作用影響不顯著時）…….……... 44

表 3.4 三位測手對十只另件各自獨立量測三回數表……..…………… 49

表 3.5 雙因子巢狀式量測系統的 ANOVA 表………………………….. 53

表 4.1 長式表格……………..……………………………….…………... 55

表 4.2 長式表格（續）………………………..…………………………... 56

表 4.3 GRR 量測數據記錄表…….…….….…………………………….. 58 表 4.4 EV 評估表…………………….…………………………………. 61 表 4.5 AV 評估表…………...………..…….………………..………….. 63 表 4.6 ％EV、％AV、％GRR、％PV 等值表…………....…………….… 64

VI

表 4.7 MSA 之 GRR 量測數據表……….……..………………………... 67 表 4.8 計量值管制圖之常數表（部分）…..…………………………… 66

表 4.9 GRR 報告書表………………..…………………….…………….. 68 表 4.10 巢狀式設計之 ANOVA 表………………...……………………. 72

表 4.11 巢狀式設計之 ANOVA 範例數值表………………..………..... 73

表 4.12 MSA指導手冊的長表格法之ANOVA 數值表….….………... 76

表 5.1 GRR 情境假設條件表………….…………………….………….. 82 表 5.2 GRR 模擬量測系統估計數值表………….……………………… 83 表 5.3 在 𝝈𝑮𝑹𝑹=1/3，不同組合參數設定之敘述統計量分析表……… 88

表 5.4 在 𝛔𝐑𝐑𝐑=1/10，不同組合參數設定之敘述統計量分析表….….. 89

表 5.5 在 𝝈𝑮𝑹𝑹=1/16，不同組合參數設定之敘述統計量分析表…..…. 90

表 5.6 九種的量測行為情境，量測能力指標%GRR之%NG分布表….. 91

表 5.7 在 𝝈𝑮𝑹𝑹=1/3，二種的評估準則𝝈𝑮𝑹𝑹、𝛔𝐑𝐑𝐑、GRR 比值分析表… 93

表 5.8 在 𝝈𝑮𝑹𝑹=1/10，二種的評估準則𝝈𝑮𝑹𝑹、𝛔𝐑𝐑𝐑、GRR 比值分析表… 94

表 5.9 在 𝝈𝑮𝑹𝑹=1/16，二種的評估準則𝝈𝑮𝑹𝑹、𝛔𝐑𝐑𝐑、GRR 比值分析表… 95

VII

圖目錄 圖 1.1 研究流程圖………………………………………………….......... 10

圖 2.1 製程變異的組成成分圖….…….………………………………… 17

圖 2.2 量測系統性能圖…..……………….……………………………... 18

圖 2.3 再現度 Repeatability 圖…………………………………….......... 19

圖 2.4 同現度 Reproducibility 圖….……………….……….................... 21

圖2.5 MSA之長式表格法（Long Form Table）圖…………..…………... 30 圖 2.6 標準常態分配PDF （x）及CDF （x）圖.…………………………. 37

圖 2.7 GRR 實驗量測值對應圖…….…..…….……………..…………... 37 圖 2.8 GRR 模擬流程示意圖.……………………………..…………….. 38 圖 3.1 交叉式實驗設計圖…………………………….…………………. 45

圖 3.2 巢狀式量測設計圖……………..………………………………… 48

圖 5.1 GRR 統計模擬程序圖………………………….………………… 78 圖 5.2 GRR 模擬量測實驗數據圖……..……..…………………………. 79 圖 5.3 GRR 模擬流程設計圖…………………..………………..………. 85 圖 5.4 蒐集模擬 1000 次原始數據巨集指令圖…………...…………..... 86

圖 5.5 Excel 的巨集指令程式碼圖……………...……………………… 86

1

第一章 緒論

第一節 研究動機

量測系統分析（Measurement Systems Analysis, MSA）為TS 16949國際品質系統五

大核心工具之一，MSA於2010年發行第四版，而首版於1990年美國三大汽車發行MSA，

着重量測系統的統計評價，涵蓋設備再現（Equipment Repeatability）及人員同現

（Appraiser Reproducibility）；1995年二版補強了量測原理，2002年三版補強量測儀錶

的評價，但我們可以發現，從 SQC（Statistical Quality Control）到 SPC（Statistical Process

Control） 甚至 DOE（Design of Experiment），其品質保證是離不開量測的，傳統上對

儀錶管理，企業過度倚重度量衡式校正。由於 MSA能夠填補這項品質保證的缺口，西

元1997年起三大汽車要求供應商登錄 QS 9000系統，而該系統將 MSA定為強制工具，

作為製程量測的品保後盾。為了因應 ISO 2000版的巨大改變， QS 9000自廿一世紀起

雖隨之移至 TS 16949，惟對 MSA的堅持卻依然如昔，因此從事品質研究者著重量測系

統分析的研究，以量測系統之精度的再現變異（EV, Equipment Variation）及同現變異（AV,

Appraiser Variation）的研究備受重視。

工業界的 MSA如何評價精度是否充分，通常由穩定生產線隨機挑選若干只另件，

要求多位測手操用同具量器對每只另件獨立量測數回，上述的量測系統分解出量器再現

度（Repeatability）與測手同現度（Reproducibility），即為量測系統分析之精度的再現

變異及同現變異，這是許多工業人士關心的課題；而量測系統分析時，量測過程的其真

正統計模型尚未得知，經常使用由實驗獲得數據，透過變異數分析（Analysis of Variance,

ANOVA），來分析量測系統的誤差及探求量測數據產生的變異數分析；一般而言，用

雙因子實驗設計來探討另件與量測人員雙因子的變異，加以評估量測系統之精度的再現

變異及同現變異，即為量測雙現變異（Gauge Repeatability and Reproducibility，GRR），

進而衡量該量測系統的整體表現，其量測系統分析採雙因子實驗設計時，慣用的量測系

統分析方法是採用雙因子巢狀式實驗設計，而非交叉式設計，由於實務上我們是在隨機

先挑選物件下，再進行人員量測，故工業界如何評價量測系統分析的精度估計，應是採

用雙因子巢狀式實驗設計，符合實務上量測系統分析之行為模式。

2

例如：在相同的量測條件的控制下，採雙因子實驗設計模式，假設Ａ因子和Ｂ因子

分別有 a 水準和 b 水準。假設有 n 個量測樣本，由 b 位量測人員，依同樣的量器

重覆量測 r 次，而其統計模型經常假設為： 𝑦𝑖𝑖𝑖 = 𝜇 + 𝛼i + 𝛽j + 𝛾ij + 𝜀ĩjk

𝜀ĩjk~𝑵(0,𝜎e2) ， 1 ≤ i ≤ n ，1 ≤ j ≤ b ，1 ≤ k ≤ r ，其中 i 為另件，j 為量測人員，

k 為量測回數。而真正量測模型果真如此嗎?其統計模型應建立在科學原理上，透過實

驗設計分析找出要因，再進行建構統計模型及探討，但未發現其統計模型時，是否可由

實際量測之實驗數據模擬方式，來探討量測數據之變異數的變化，同時分析量測雙現變

異（GRR），並探討重複量測，古典儀錶間的一致性分析，使用變異數分析（ANOVA）

之組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient , ICC）來分析，而工業界習於採用表

格化的方式來評價量測系統，通常由 TS 16949國際品質系統五大核心工具之一， MSA

指導手冊（2010）長式表格法（Long Form Table Method）的評估準則，進行量測系統

的評估，正符合本研究以產業界的量測行為前提下，探討 MSA指導手冊（2010）的評

估準則，估計量測系統之量測雙現變異（GRR），透過蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo

Simulation Method）的意涵，結合統計機率概念及運用隨機亂數函數和常態分配之反函

數，提供乙套量測雙現變異（GRR）模擬流程，並建構其對應的統計模擬程序，由設定

量測行為條件，來模擬量測系統的量測實驗值，使用長式表格法（Long Form Table

Method）的評估方法及與雙因子巢狀式設計模式之變異數分析（Nested Design Model

ANOVA），估計量測雙現變異（GRR），並探討其兩個方法彼此之間差異，並藉由%𝐺𝐺𝐺量

測能力指標評估，確保量測系統分析之良窳。

3

第二節 研究目的與範圍

經由研究動機之闡述，本文之研究目的與範圍可歸納如下：

壹、研究目的：

一、現代量測的精度變異與古典儀錶的一致性探討。

在產業界的量測行為前提，其量測系統分析時，可透過變異數分析（ANOVA），

來分析量測系統的誤差，而討論現代量測系統分析之精度的再現變異（EV）

及同現變異（AV），即為量測雙現變異（GRR），與古典儀錶的一致性分析

時，使用變異數分析之組內相關係數（ICC）的理論來分析有所不同，本研究

就其關聯性予以探討及推導彼此之間關係，本研究就其關聯性予以探討。

二、本研究針對現代量測的規範程序，提出乙套量測雙現變異（GRR）模擬流程，

並建構其對應的統計模擬程序。

本研究針對現代量測的規範程序，在產業界的量測行為前提，依MSA指導手冊

（2010）的評估準則，透過蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo Simulation Method）

的意涵，結合統計機率概念及運用隨機亂數函數和常態分配之反函數，提出乙

套量測雙現變異（GRR）模擬流程，並建構其對應的統計模擬程序。

三、在不同量測行為情境，探討現代量測系統的再現變異與同現變異。

由本研究建構的量測雙現變異（GRR）模擬程序，在不同量測行為情境，設定

其量測行為條件下，模擬量測系統的量測實驗數值，使用MSA指導手冊（2010）

提供長表格法（Long Form Table）的評估準則與雙因子巢狀式設計模式變異數

分析（Nested Design Model ANOVA）方法，探討現代量測系統之精度的再現

變異（EV）及同現變異（AV），即為量測雙現變異（GRR），及其兩方法之

間差異和敘述性統計量分析，並藉由%𝐺𝐺𝐺量測能力指標評估，進而衡量該量

測系統的整體表現，確保量測系統之良窳。

4

貳、研究範圍：

本文探討範圍僅限於量測系統分析評估方法，其中有關量測系統分析之精度評價準

則探討，即為評估量測雙現變異（GRR）探討，而其GRR數理統計模型並未涉入，但有

關量測系統分析的精度數理模型探討，如量測等力圖（Isoplot）在量測系統分析之研究

（Wen-Kuei Chen, Cheng-Feng Hu.，2014），提供評估量具再現度的數理模型建立，另

有關量測系統分析之準度評價準則亦不在本研究探討範圍內。

5

第三節 量測科技統計名詞

探討量測系統評價之前，若無一套術語來引述共同的統計特性和相關的量測系統要

項，在討論量測系統分析可能會造成混淆和誤解。本文引用量測系統分析（MSA）指導

手冊（2010）及國內外文獻，對量測系統的評價，一般涵蓋精度與準度；其中精度包括

設備再現與測手同現，而準度包括量測偏誤與變異線度外，尚有正規的校正程序，自動

量測設備常有量測補償的需要等項目。而一般領域固有慣用的統計名詞，惟量測領域自

有其適當的統計名詞。遭到一般統計所忽視，其實量測科技宜從誤差與殘差入手來建置

專用的統計名詞。為了豐富與釐清兩者所用統計名詞的意涵與差別，本文特別提供系統

性的數學符號與簡要說明。

壹、一般統計名詞

若母體平均數和標準差分別是 μ 和 σ ，則全距數 R 的平均數和標準差分別是 d2σ

和 d3σ ，其中 d2 和 d3 係標準常態樣本數目依賴的全距常數。就 n 件樣本的數組而言，

它擁有如下數項名詞或統計量：

一、個別樣本值（Individual Value）─ 𝑦𝑖 , 1 ≤ i ≤ n，同組樣本之第 i 項數值。

二、樣本平均數（Sample Mean）─ 𝑦� = ∑ 𝑦𝑖 𝑛�𝑛𝑖=1 ，同組 n 項數值的算數平均數。

三、樣本全距數（Sample Range）─ 𝐺 = 𝑀𝑀𝑥𝑖=1𝑛 {𝑦𝑖} −𝑀𝑀𝑛𝑖=1𝑛 {𝑦𝑖} ，同組 n 項數值的

幅度。

四、樣本變異數（Sample Variance）─ 𝑠2 = ∑ (𝑦𝑖 − 𝑦�)2 (𝑛 − 1)⁄𝑛𝑖=1 ，個樣數值對同組平

均數之諸項差值的平方總和的平均值。

五、名目值（Nominal）─ m，公知的數值。

六、樣本標準差（Sample Standard Deviation）─ s = √𝑠2，樣本變異數的平方根。

若名目值（Nominal）已知是 m ，則名目變異數（Nominal Variance）可按公式

𝑠𝑚2 = 𝑠2 + 𝑛(𝑦� − 𝑚)2 (𝑛 − 1)⁄ 計算。故而，同組樣本另有如下兩項名詞或統計量：

七、名目變異數（Nominal variance）─ 𝑠𝑚2 = 𝑠2 +𝑛(𝑦�−𝑚)2

𝑛−1，按名目值計算的樣本變異數。

6

貳、精度評價名詞

若有 b 位測手操作同具量器，取 n 只另件，每只量測 r 回，每位測手對每只另

件的測值，各有平均數和全距數，則 nbr 筆量測值擁有如下數項名詞或統計量：

一、個別測值（Individual Measure）─ 𝑦𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ b , 1 ≤ k ≤ r，第 j 位測

手對第 i 只另件進行第 k 回量測所獲的數值。

二、測手另件全距（Part Range）─ 𝐺𝑖𝑖∙ = 𝑀𝑀𝑥𝑖=1𝑟 �𝑦𝑖𝑖𝑖� − 𝑀𝑀𝑛𝑖=1𝑟 �𝑦𝑖𝑖𝑖� , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤

j ≤ b ，第 j 位測手對第 i 只另件之 r 筆量測值 𝑦𝑖𝑖𝑖的全距數。

三、測手全距平均（Mean of Part Ranges）─ 𝐺�∙𝑖∙ = ∑ 𝐺𝑖𝑖∙ 𝑛⁄ ,𝑛𝑖=1 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ b，

第 j 位測手之 n 筆另件全距 𝐺𝑖𝑖. 的平均值。

四、全距雙平均（Average of Range Means）─ 𝐺� = ∑ 𝐺�∙𝑖∙ 𝑏⁄𝑏𝑖=1 ， b 筆測手全距平均 𝐺�∙𝑖∙

的平均值，它也等於所有 nr 筆測手另件全距 𝐺𝑖𝑖. 的總平均。

五、測手另件平均（Part Mean）─ 𝑦�𝑖𝑖. = ∑ 𝑦𝑖𝑖𝑖 𝑟⁄𝑟𝑖=1 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ b，第 j 位測

手對第 i 只另件之 r 筆量測數值 𝑦𝑖𝑖𝑖 的平均值。

六、測手雙平均（Average of Part Means）─ 𝑦�∙𝑖∙ = ∑ 𝑦�𝑖𝑖. 𝑛⁄𝑛𝑖=1 , 1 ≤ i ≤ n ,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑏，第

j 位測手之 n 筆另件平均 𝑦�∙𝑖∙ 的平均值，它也等於測手所有 nr 筆量測值 𝑦𝑖𝑖𝑖 的

總平均值。

七、雙平均全距（Range of Double Averages）─ 𝐺𝑦� = 𝑀𝑀𝑥𝑖=1𝑏 �𝑦�∙𝑖∙� − 𝑀𝑀𝑛𝑖=1𝑏 �𝑦�∙𝑖∙� ， b 筆

測手雙平均 𝑦�∙𝑖∙ 的全距數。

除了環境因素之外，量測系統之精度（Precision）的主要來源包含設備變異（EV,

Equipment Variation）和測手變異（AV, Appraiser Variation）。同人同器於同只另件的

量測數值（最好同法）之全距數反映量器的再現度（Repeatability），另外 b 筆測手雙

平均的全距反映測手的同現度（Reproducibility）。量測系統的精度擁有如下數項統計量：

八、再現標準差（Standard Deviation of Repeatability）─ 𝑠𝑅𝑅𝑅 = 𝐺� 𝑑2� ，其中 𝑑2 係 nb

組各含 r 項標準常態樣本的全距常數。

九、同現標準差（Standard Deviation of Reproducibility）─ 𝑠𝑅𝑅𝑅 = �(𝐺�̿� 𝑑2⁄ )2 − 𝑠𝑅𝑅𝑅2 𝑛𝑟⁄ ，

其中 𝑑2 係單一組含 b 筆標準常態樣本的全距常數。

7

十、雙現標準差（Standard Deviation of Gage GRR）─ 𝑠𝐺𝑅𝑅 = �𝑠𝑅𝑅𝑅2 + 𝑠𝑅𝑅𝑅2 ，量測系統

包括再現與同現的雙現標準差。

十一、再現度（Equipment Repeatability）─ 𝐷𝑅𝑅𝑅 = 6 × 𝜎𝑅𝑅𝑅，量器再現之99.73%水準

的信賴區間。

十二、同現度（Appraiser Reproducibility）─ 𝐷𝑅𝑅𝑅 = 6 × 𝜎𝑅𝑅𝑅，測手同現之99.73%水準

的信賴區間。

十三、雙現度（Gage R&R）─ 𝐷𝐺𝑅𝑅 = 6 × 𝜎𝐺𝑅𝑅，系統雙現之99.73%水準的信賴區間。

若產品受評之品質特性的規格公差（Specification Tolerance）為 T 值，則量測系統

擁有如下數項精度績效指標（Precision Performance Indicators）：

十四、再現百分公差（% Tolerance of Repeatability）─ %𝑇𝑅𝑅𝑅 = 100 × 𝐷𝑅𝑅𝑅 𝑇⁄ ，量器

再現度對產品規格公差的百分佔比。

十五、同現百分公差（% Tolerance of Reproducibility）─ %𝑇𝑅𝑅𝑅 = 100 × 𝐷𝑅𝑅𝑅 𝑇⁄ ，測

手同現度對產品規格公差的百分佔比。

十六、雙現百分公差（% Tolerance of Gage R&R）─ %𝑇𝐺𝑅𝑅 = 100 × 𝐷𝐺𝑅𝑅 𝑇⁄ ，系統雙

現度對產品規格公差的百分佔比。

參、準度評價名詞

就同具量器，若同位測手操作之量取 n 只金件（Golden Unit）每只 r 回，則 nr 筆

量測值擁有如下數項名詞或統計量：

一、金件主值（Golden Master）─ 𝑚𝑖 , 1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑛，第 i 項金件之公知主值。

二、個別測值（Individual Measure）─ 𝑦𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑛 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟 ，第 i 只金件的第 k

回量測數值。

三、量測全距（Measure Range）─ 𝐺𝑖∙ = 𝑀𝑀𝑥𝑖=1𝑟 �𝑦𝑖𝑖� − 𝑀𝑀𝑛𝑖=1𝑟 �𝑦𝑖𝑖� , 1 ≤ i ≤ n ，第 i

只金件之 r 筆測值 𝑥𝑖𝑖 的全距。

四、全距平均（Measure Range）─ 𝐺�∙∙ = ∑ 𝐺𝑖∙ 𝑛⁄𝑛𝑖=1 ， n 筆量測全距 𝐺𝑖∙ 的平均。

8

五、量測殘差（Measure Residual）─ 𝛿𝑖𝑖 = 𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑖 , 1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑛 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟 ，第 i 只金

件的第 k 筆測值 𝑦𝑖𝑖 對該只金件之主值 𝑚𝑖 的差值。

六、量測偏誤（Measure Bias）─ 𝑏𝑖. = ∑ 𝛿𝑖𝑖 𝑟⁄𝑟𝑖=1 , 1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑛 ，第 i 只金件的 r 筆殘

差數值 𝛿𝑖𝑖 的平均。

七、量測標準差（Standard Deviation of Measures）─ 𝑠𝑖 = �∑ (𝛿𝑖𝑖 − 𝑏𝑖)2 (𝑟 − 1)⁄𝑟𝑖=1 ，

第 i 只金件的 k 筆量測殘差 𝛿𝑖𝑖 的標準差。

八、再現標準差（Standard Deviation of Repeatability）─ 𝑠𝑅𝑅𝑅 = �∑ 𝑠𝑖2 𝑛⁄𝑟𝑖=1 ， n筆量

測標準差 𝑠𝑖 的合併標準差。

九、偏誤全距數（Range of Biases）─ 𝐺𝑏 = 𝑀𝑀𝑥𝑖=1𝑛 {𝑏𝑖∙} −𝑀𝑀𝑛𝑖=1𝑛 {𝑏𝑖∙}， n 筆偏誤數值

𝑏𝑖∙ 的全距。

十、偏誤標準差（Standard Deviation of Bias）─ 𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵 = �(𝐺𝑏 𝑑2⁄ )2 − 𝑠𝑅𝑅𝑅2 𝑟⁄ ，其中 𝑑2

係單一組含 n 項標準常態樣本的全距常數。

十一、準確標準差（Standard Deviation of Accuracy）─ 𝑠𝐵𝐴𝐴 = �𝑠𝑅𝑅𝑅2 + 𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵2 ，量測系

統包括再現與偏誤的準確標準差。

十二、量器再現度（Gage Repeatability）─ 𝐷𝑅𝑅𝑅 = 6 × 𝑠𝑅𝑅𝑅，量器再現之99.73%水準的

信賴區間。

十三、量器偏誤度（Gage Biasness）─ 𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 × 𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵 ，量器偏誤之99.73%水準的信

賴區間。

十四、量器準確度（Gage Accuracy）─ 𝐷𝐵𝐴𝐴 = 6 × 𝑠𝐵𝐴𝐴 ，量器準確之99.73%水準的信

賴區間。

若產品受評之品質特性的規格公差（Specification Tolerance）為 T，則量測系統擁

有如下數項準度績效指標（Accuracy Performance Indicators）：

十五、再現百分公差（% Tolerance of Repeatability）─ %𝑇𝑅𝑅𝑅 = 100 × 𝐷𝑅𝑅𝑅 𝑇⁄ ，量器再

現度對產品規格公差的百分佔比。

十六、偏誤百分公差（% Tolerance of Biasness）─ %𝑇𝐵𝐵𝐵𝐵 = 100 × 𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑇⁄ ，量器偏誤

度對產品規格公差的百分佔比。

9

十七、準確百分公差（% Tolerance of Accuracy）─ %𝑇𝐵𝐴𝐴 = 100 × 𝐷𝐵𝐴𝐴 𝑇⁄ ，量器準確

度對產品規格公差的百分佔比。

十八、量器直線度（Gage Linearity）─諸項主值之量測標準差的對等程度，宜按不同主

值的諸項再現變異來評價本項績效指標。

肆、迴歸補償名詞

若量測設備量取基準設備所提供的 n 項主值每項r回，則 nr 筆量測值擁有如下數

項名詞或統計量：

一、基準主值（Device Reference）─ 𝑚𝑖 , 1 ≤ i ≤ n ，基準設備所提供的第 i 項基準值。

二、基準量測值（Reference Measure）─ 𝑦𝑖𝑖 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ k ≤ r ，量測設備對第 i 項

基準值 𝑚𝑖 的第 k 回量測數值。

三、迴歸模式（Regressing Model）─將另件實測值 𝑦𝑖𝑖 視為自變數及基準值 𝑚𝑖 為應

變數， 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ k ≤ r ，進而採用 nr 筆量測值所建置的單元或對數等其它

迴歸模式。

將另件實測值視為自變數，採用迴歸模式來推算應當輸出的量測值，這是迴歸式補

償程序（Regressing Offset Procedure）；迴歸補償擁有如下數項名詞或統計量：

四、另件實測值（Actual Measure）─ x，量測設備對受測另件的量測數值。

五、量測迴歸值（Regressing Measure）─ y ，將實測值代入迴歸模式所算出的預測值。

六、量測輸出值（Output Measure）─ 𝑜𝑥，量測設備對受測另件的輸出值。

七、量測補償值（Measure Offset）─ 𝑏𝑥 = 𝑜𝑥 − 𝑥 ，量測輸出值的調整加項。

以上的量測科技統計相關名詞，而量測過程可視為一種製造程序 （Process），受

測件或產品經過測手按程序操作量器設備去量測，獲得其品質特度數值。量測系統為「賦

予某品質特度的量測數值，所需投入的作業、程序、量器及其他設備、軟體和人員等等」

的總體或是整個過程。

10

第四節 研究流程

本文之研究流程可分為以下幾部分，如圖1.1 所示。

一、確定研究主題：確定研究目的，並界定研究範圍和主要架構。

二、相關文獻探討：蒐集並參考過去與本文相關的文獻。

三、本研究針對現代量測的規範程序，提出乙套量測雙現變異（GRR）模擬流程，

並建構其對應的統計模擬程序。

四、在產業界的量測行為前提下，由不同的情境條件，使用本文的量測雙現變異

（GRR）統計模擬程序，運用蒙地卡羅模擬方法，模擬GRR實驗數據，其兩個

評估方法比較其差異。

五、結論與建議：提出本研究之結論與未來研究方向。

圖1.1 研究流程圖

資料來源：本研究整理

確定研究主題

相關文獻探討

針對現代量測的規範程序 建構 GRR 統計模擬程序

運用蒙地卡羅模擬方法，模

擬 GRR 實驗數據

在量測行為前提下，由不同

情境條件，比較其差異

結論與建議

11

第二章、文獻回顧

本章主要是針對量測系統分析（Measurement System Analysis）之相關文獻加以整

理，內容可分為五部分，先是介紹古典儀錶一致性分析，再來是介紹 IsoPlot 理論，第

三部分為介紹量測系統分析（MSA）文獻回顧，第四部分為量測系統之GRR評估方法，

第五部份，最後為蒙地卡羅方法模擬 GRR。

第一節 古典儀錶一致性分析

古典儀錶間的一致性分析，在重複量測時，量測工具必須具有信度（Reliability），

包含儀器間信度 （Intrarater Reliability），以及測試者信度（Interrater Reliability），使

用變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）來探討，Fisher, R. A.（1938）最早提出

相關係數（Intraclass Correlation, IC）於變異數分析，而雙因子重複量測時，Bartko, J. J.

（1966）提出組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient, ICC）用於儀器間信度

（Intrarater reliability）之變異數分析，另 Shrout & Fleiss（1979）提出組內相關係數（ICC）

配合不同狀況的重複量測之相關係數分析。

例如：通常我們希望測量胎兒在子宮內的長度，使用X射線（儀器1），超音波（儀

器2），核磁共振（儀器3）。我們想知道測量胎兒的長度，透過不同儀器測試他們之間

的一致性。我們測量4位嬰兒，將獲得以下結果詳如表2.1，由變異數分析表2.2，得知組

內相關係數（ICC）𝝆 = 𝜎𝑝2

𝜎𝑡2 =

42.5842.66

= 0.9981，變異數分析 F= 0.13。有評價者之間沒有

顯著差異，測試儀器間的一致性高。

Wheeler and Lyday（1990）指出進行量測系統評估，MSA 指導手冊（2010）所介

紹的北美三大汽車公司開發的長式表格法（Long Form Table）存在很多基本的問題與缺

點，包含缺乏圖形展示、計算只依據隨機效應模式以及精度評估準則以特定的規格寬度

或觀測製程標準差為衡量基準是不足夠的，應使用變異數分析之組內相關係數（ICC）

𝝆 = 𝜎p2

𝜎t2 =

𝜎𝑡2−𝜎𝑚2

𝜎𝑡2 = 1 −

𝜎𝑚2

𝜎𝑡2，0 ≤ 𝜌 ≤ 1。量測系統的總變異，即，𝜎𝑡2 = 𝜎𝑝2 + 𝜎𝑚2。式中 𝜎𝑡2 為

測量值的總變異，𝜎𝑝2 為另件的變異，𝜎𝑚2為量具的變異，重複量測誤差越小，該組內相

關係數（ICC）𝝆 越近 1 越好。

12

表2.1 三種儀器對四位嬰兒獨立量測乙回數值

嬰兒

儀器 嬰兒 1 嬰兒 2 嬰兒 3 嬰兒 4 平均值

X 射線 1.1 2.2 6.3 9.4 4.8

超音波 1.2 2.1 6.1 9.5 4.7

核磁共振 1.5 2.0 6.8 9.0 4.8

平均值 1.3 2.1 6.4 9.3 4.8

資料來源：本研究整理

表2.2 雙因子重複測量變異分析表

Two-way ANOVA: Without Replicate

ANOVA

變源 SS DF MS F P-value

儀器 0.02 2 0.01 0.13 0.8771

嬰兒 127.74 3 42.58 526.76 0.0000

Within Error 0.49 6 0.08

Total 42.66

資料來源：本研究整理

13

第二節 IsoPlot 理論簡介

量測等力圖（Isoplot）理論為假設某製程穩定產製另件，而且另件某品質特性 𝑤� 呈

現常態分配 𝑵(𝜇𝑅𝑅𝑅,𝜎𝑅𝑅𝑅2 )，即產品之平均數和標準差分別是 𝜇𝑅𝑅𝑅 和 𝜎𝑅𝑅𝑅。假設某量

器之再現標準差係 𝜎𝑅𝑅𝑅。讓 A 與 B 兩位測手操作該量器，對每只另件分別進行乙回量

測；相對於 A 位測手，再假定 B 測手會有偏誤 τ。換言之，對具 w 值之另件，若 A 平

均測得數值 w，則 B 平均測得 w + τ。注意，該偏誤假設並不會致使測手間的同現關係

失去一般性。

Wheeler, D. J.（1990）研究量測計算程序中，將兩測量值劃在同一張 45 度等力管圖

上，這些點可以被看作是從某些二元分配。假設它是等於二元常態分配和組內相關係數

（Intraclass Correlation Coefficient, ICC）有相關性，然後在此圖中的點視為橢圓分佈，

定義比值為鑑別倍比（Discrimination Ratio）𝑫𝑮 = �(𝟏 + 𝝆) (𝟏 − 𝝆)⁄ ，兩測值之相關係

數 𝝆𝒙𝒙 等於 𝜎𝑅𝑅𝑅2 /𝜎𝑅𝑅𝑇2 ，發現其關係式，並未推導前測後測之統計理論。

Wen-Kuei Chen, Cheng-Feng Hu.（2014）量測系統分析之 Isoplot 研究，建立量測等

力圖（Isoplot）統計理論，假設量值 x 和 y 是相互獨立，對具 w 值之另件，A 與 B

兩人若各自獲得量測數值 x 和 y ，則它們的條件機率密度分別：

𝑓(𝑥|𝑤) =1

𝜎RPT√2π𝑒−12 �

𝑥−𝑤𝜎𝑅𝑅𝑅

�2

𝑓(𝑦|𝑤) =1

𝜎RPT√2πe−12 �

𝑦−𝜏−𝑤𝜎𝑅𝑅𝑅

�2

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥|𝑤)𝑓(𝑦|𝑤)𝑓(𝑤)𝑑𝑤+∞−∞ 會是它們對 w 值的聯合機率密度。

若令總變異為 𝜎𝑅𝑅𝑇2 = 𝜎𝑅𝑅𝑅2 + 𝜎𝑅𝑅𝑅2 ，則利用積分之推導獲得如下公式。

𝑓(𝑥,𝑦) =1

2𝜋�𝜁𝑒−12𝜁�𝜎𝑅𝑅𝑇

2 (𝑥−𝜇𝑅𝑅𝑅)2−2 𝜎𝑅𝑅𝑅2 (𝑥−𝜇𝑅𝑅𝑅)(𝑦−𝜇𝑅𝑅𝑅−𝜏)+𝜎𝑅𝑅𝑇

2 (𝑦−𝜇𝑅𝑅𝑅−𝜏)2�

其中 𝜁 = 𝜎𝑅𝑅𝑅2 (𝜎𝑅𝑅𝑇2 + 𝜎𝑅𝑅𝑅2 )。

14

若將兩測值視為向量變數 X = (𝑥, 𝑦)，則該二維圖點的聯合機率呈現如下式的雙變

量常態分配。

𝑓(X) =1

2π�|𝜮|e−12 �(X−𝜇)𝜮

-𝟏(X−𝜇)′�

式中 X 的平均數向量是 𝜇 = (𝜇𝑅𝑅𝑅, 𝜇𝑅𝑅𝑅 + 𝜏)，而且共變異矩陣是 Σ，其中元素是

𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎𝑅𝑅𝑇2 及 𝜎21 = 𝜎12 = 𝜎𝑅𝑅𝑅2 。

鑑別倍比（Discrimination Ratio）𝑫𝑮 = �𝟏+𝝆𝟏−𝝆

== �𝟐𝝈𝑹𝑮𝑹𝟐 +𝝈𝑮𝑮𝑮

𝟐

𝝈𝑮𝑮𝑮𝟐 = �

𝟐𝝈𝑹𝑮𝑹𝟐

𝝈𝑮𝑮𝑮𝟐 + 𝟏 =

�𝟐𝝈𝑹𝑹𝑻𝟐

𝝈𝑮𝑮𝑮𝟐 − 𝟏。

另外，𝑓(X) = 12π�|Σ|

e−12 �(X−𝜇)Σ

-1(X−𝜇)′�式，𝜎PRT2 是兩測數值的共變數，並且相關係

數等於 𝜎PRT2 /𝜎TTL2 ，以致兩測數值呈現正性相關；相對於產品標準差 𝜎PRT，量器之再

現標準差 𝜎RPT若是愈小，則兩測數值之相關係數愈大，而且數值會向正一趨近。

15

第三節 量測系統分析

壹、ISO/TS 16949品質系統簡介

1987年ISO 9000頒佈之後，北美三大汽車廠─克萊斯勒（Chrysler）、福特汽車（Ford）、

通用汽車（General Motors）整合品質系統，成立汽車工業行動組織（Automotive Industry

Action Group, AIAG），採用ISO 9000中的20項品質系統進行標準化，並聯合制定QS 9000，

隨後在1994年9月發佈QS 9000品質管理系統，自1997年起北美三大汽車要求供應商登錄QS

9000，QS 9000自21世紀起轉換至TS 16949。

（Reid, 2005）ISO/TS 16949第一版於1999年3月1日發行，品質管理系統的基礎是

ISO9001（1994）版，內容結合了美國（QS 9000）、德國（VDA6.1）、法國（EAQF94）、

義大利（AVSQ94）的汽車工業品質體系標準。企業成為提供汽車相關產品及服務的供應

商，且為全球汽車供應鏈成員時，其代價必須花費不菲，尤其不同的國家或區域就必須取

得不同的品質管理系統認證；然而這些品質管理系統認證內容往往是極為類似，其差異處

主要在於注重的目標不同，其使用之方法與工具有所不同。

1996年美國汽車工業協會 （Automotive Industry Action Group, AIAG）與歐洲各國汽車

工業協會合作，共同組織了國際汽車產業工作小組（International Automotive Task Force,

IATF），其目的在於協調整合組織成員（成員包括：美國汽車工業協會AIAG、義大利汽

車工業協會ANFIA、法國汽車製造商委員會CCFA、法國汽車裝備工業聯盟FIEV、德國汽

車工業協會VDA等）品質系統規範，藉以消彌彼此品質系統實現方法與工具之差異。Lupo

（2002）國際汽車推動小組（IATF）及日本汽車製造商協會（JAMA）擬訂，在國際標準

組織（ISO）的第176技術委員會（TC 176）協助下，整合成為ISO/TS 16949，提供汽車工

業的供應商，一套從設計、開發、生產、安裝和服務的品質管理系統標準及國際性汽車協

會如汽車工業行動組（AIAG）、義大利汽車工業協會（ANFIA）、法國汽車製造商委員會

（CCFA）和汽車裝備工業聯盟（FIEV）、德國汽車工業協會（VDA）、英國汽車製造銷

售協會（SMMT）等。IATF 對3個歐洲規範VDA6.1（德國），AVSQ（義大利），EAQF

（法國）和QS 9000（北美）進行協調，結合ISO 9001（2002）版標準的基礎上，制定出ISO/TS

16949（2002年版），簡稱TS2規範。

16

現在ISO/TS 16949這一技術規範的推出，已為汽車產業的品質管理系統驗證建立了全

球統一的標準，全球汽車行業現行之品質體系，皆適用於ISO/TS 16949汽車業品質管理系

統，因此符合ISO/TS 16949技術規範規範要求，可避免多重認證審核。此管理系統在ISO 9001

品質管理系統上架構汽車產業要求標準外，同時包含以下五大核心工具，使ISO/TS 16949

品質管理系統的要求更加嚴謹：

一、APQP：先期產品品質規劃（Advanced Product Quality Planning）。

二、PPAP：生產另件核准程序（Production Parts Approval Process）。

三、MSA：量測系統分析（Measurement System Analysis）。

四、FMEA：失效模式分析（Failure Mode and Effects Analysis）。

五、SPC：統計製程管制（Statistical Process Control）。

（陳文輝，2002a）ISO/TS 16949對產業提升競爭優勢大有助益，當它的前身QS 9000

及VDA6.1等風行草偃，除了汽車產業遵循外，其它產業也樂於推動執行，如半導體、電子

及電機等，並掀起品管系統全世界的變革；因其主要精神在要求業者持續不斷改善，經由

嚴格的審核及驗證能使管理系統更加完善，得到的效益包含生產力提高、成本降低及全面

品質及競爭力提升。林松茂（2008）談到企業導入ISO/TS 16949品質管理系統，可以得到

以下實質意義：

一、運用五大核心工具與PDCA管理模式，改善製程品質、降低保固成本、提昇交貨品

質、排除不良品減少變異及浪費。

二、對供應商、分包商管理期望發展與一致性世界性品質系統規範，避免多重驗證的

困擾與提升供應商的產品品質能力。

三、用統一的品質系統滿足不同顧客的品質要求，達到完全顧客導向的服務品質。

17

贰、量測系統分析

Measurement System Analysis （MSA）指導手冊由三大汽車公司所共同發展，透過

AIAG（Automotive Industry Action Group）於 1990 年由北美三大汽車廠共同發行首版量

測系統分析，涵蓋設備再現（Equipment Repeatability）及人員同現（Appraiser Reproducibility），

1995 年改版補強了量測原理，至西元 2002 年，發行第三版的量測系統分析，補強量測儀

錶的評價，現今所使用的最新版本為 2010 年第四版。於量測系統分析（MSA）指導手冊

（2010）中，評析量測設備的能力水準包含了「儀表現度」GRR、「儀表準度」、「儀表

直線度」GAL、及「儀表穩度」GTS等內容。Barrentine（2003）將平均與全距法做了一

個非常完整的介紹，希望能讓沒有統計背景的人也能夠在短暫的時間內學會如何分析量

測變異，只要學習者有基本的管制圖知識即可。其將觀測製程變異的組成成分分成以下

部分，如圖2.1所示。

圖2.1 製程變異的組成成分圖

資料來源：Barrentine （2003）

（陳文魁、劉漢容，2005）認為量測系統的性能內涵可分為穩度/等度、精度、準度。

如果能夠長期供應安定的測量數據，量測系統就是高穩度的；如果不同套的量測系統能夠

Observed process variation

Actual process variation Measurement variation

Long-term process

variation

Short-term process

variation

Variation within a sample

Variationdue to

operators

Variationdue togage

Repeatability Calibration Stability Linearity

18

提供相近的量測數據，它們就是高等度的。對同一另件的多次量測數據若是相近，則量測

系統就是高再現的；不同人員對另件的量測數據若是相近，則量測系統就是高同現的。對

同一另件多次量測的平均數若是近於真值，則量測系統就是低偏誤的；不同真值範圍之另

件的量測若是變異相近，則量測系統就是高直線的。整個量測系統性能如圖2.2架構所示：

圖2.2 量測系統性能圖

資料來源：劉漢容、陳文魁，（2005）

參、精度之再現度與同現度

Mandel在1972年將再現度（Repeatability）定義為：同一實驗室，重複量測相同樣本，

量測結果之變異程度；同現度（Reproducibility）定義為：不同實驗室，重複量測相同樣本，

量測結果之變異程度。

Fruit（1997）其研究中則將再現變異定義為：「相同的操作人員，重複地且正確的量

測」；而同現變異定義為：「多個操作人員，重複且正確的量測」。

Tsai（1988）研究中定義再現變異為：「同一量測人員在相同地方，重複量測相同的

樣本，所得之量測變異」，此再現變異即為量具本身在量測時所造成的變異。其將同現變

穩度/等度（ Stability / Equivalence ）

準度（Accuracy ） 精度（ Precision ）

偏誤度（ Biasness）

直線度（ Linearity）

再現度（ Repeatability ）

同現度（ Reproducibility）

19

異定義為：「不同的量測人員在相同地方，每人量測相同的樣本，所得之量測變異」，此

同現變異即為不同的量測人員所造成的變異。Tsai所定義之變異和Mandel的不同點，在於

Tsai所指的變異為在不同的量測人員之情況下，而非不同的實驗室。

Montgomery and Runger（1993a）年研究中，認為量測應該積極扮演一個能幫助組織改

善品質的關鍵角色，而量測雙現變異（GRR）的分析是為了瞭解量測過程中變異來源，並

量化其變異。

如圖2.3所示，MSA指導手冊（2010）將再現度定義為：「同一操作者使用同樣的量器，

對相同另件的相同特性多回的量測，算出多回量測數值中最大與最小值之間的讀值全距

（Observed Range），此讀值之全距大小就代表系統的再現程度，讀值全距越小者，代表量

測系統的精度越佳」。評價再現度，主要可獲知設備變異（Equipment Variation, EV），且

估計再現標準差為 𝜎RPT = 𝐺� 𝑑2⁄ ，其中𝐺� 為各組量測數據全距之平均值，𝒅𝟐 為一常數，其

數值可由MSA指導手冊（2010）依 Duncan,A.J.（1986）設計之𝒅𝟐常數表查表得知，如表

2.3，量測再現度 RPT = 6 × 𝜎RPT。

根據 Barrentine（2003）知其將再現變異、同現變異、量測雙現變異、產品變異及總

變異均定義為涵蓋了99％的機率，即其取5.15標準差來代表量測的精度，主要是因為常態

分配平均數的正負2.575標準差範圍之內包含了99%的機率。本文所要說明是在GRR指標公

式中為何是乘上6倍。這是因為在MSA指導手冊（2010）將計算GRR時是採用99.73%的信

賴區間，依據常態分配99.73%的範圍涵蓋在 X� ± 3𝜎 內，故乘上6倍，即 3 × 2 。

圖2.3 再現度 Repeatability 圖

High Repeatability Low RepeatabilityHigh Repeatability Low Repeatability

20

資料來源：本研究整理

表 2.3 𝒅𝟐常數表

樣本 （m）

組數 （g） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1.41 1.91 2.24 2.48 2.67 2.83 2.96 3.08 3.18 3.27 3.35

2 1.28 1.81 2.15 2.40 2.60 2.77 2.91 3.02 3.13 3.22 3.30

3 1.23 1.77 2.12 2.38 2.58 2.75 2.89 3.01 3.11 3.21 3.29

4 1.21 1.75 2.11 2.37 2.57 2.74 2.88 3.00 3.10 3.20 3.28

5 1.19 1.74 2.10 2.36 2.56 2.73 2.87 2.99 3.10 3.19 3.28

6 1.18 1.73 2.09 2.35 2.56 2.73 2.87 2.99 3.10 3.19 3.27

7 1.17 1.73 2.09 2.35 2.55 2.72 2.87 2.99 3.10 3.19 3.27

8 1.17 1.72 2.08 2.35 2.55 2.72 2.87 2.98 3.09 3.19 3.27

9 1.16 1.72 2.08 2.34 2.55 2.72 2.86 2.98 3.09 3.18 3.27

10 1.16 1.72 2.08 2.34 2.55 2.72 2.86 2.98 3.09 3.18 3.27

11 1.16 1.71 2.08 2.34 2.55 2.72 2.86 2.98 3.09 3.18 3.27

12 1.15 1.71 2.07 2.34 2.55 2.72 2.85 2.98 3.09 3.18 3.27

13 1.15 1.71 2.07 2.34 2.55 2.71 2.85 2.98 3.09 3.18 3.27

14 1.15 1.71 2.07 2.34 2.54 2.71 2.85 2.98 3.08 3.18 3.27

15 1.15 1.71 2.07 2.34 2.54 2.71 2.85 2.98 3.08 3.18 3.26

>15 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26

（資料來源：Duncan,A.J., 1986）

如圖2.4所示，MSA指導手冊 （2010）將同現度定義為：「由數位不同操作者使用同

樣的量器，對相同另件的相同特性多回的量測，算出多回量測數值中的數群讀值平均

（Observed Average），這些讀值平均之全距就代表系統的同現程度，全距越小者，代表量

測系統的精度越佳」。評價同現度，主要可獲知人員變異（Appraisers Variation, AV），且

估計同現標準差時，必須對再現標準差略做調整，𝜎𝑅𝑅𝑅 = �(𝐺𝑋� 𝑑2⁄ )2 − 𝜎𝑅𝑅𝑅2 𝑛𝑟⁄ ，各測手

測量數回各另件之平均再加以平均之後，這些數值之全距就為 𝐺𝑋� ，當中n 為另件數，r 為

量測次數，𝒅𝟐 為一常數，可由表2.3 得知，且量測同現度 RPD = 6 × 𝜎𝑅𝑅𝑅。

21

圖2.4 同現度 Reproducibility圖

資料來源：本研究整理

肆、評價雙現度

量測系統的精度變異 （Precision Variation）主要是由評價量測雙現獲知的。量測雙現

變異𝜎𝐺𝑅𝑅2 包含了設備變異（EV）及人員變異（AV），即𝜎𝐺𝑅𝑅2 = 𝜎𝑅𝑅𝑅2 + 𝜎𝑅𝑅𝑅2 ，其中𝜎𝐺𝑅𝑅2 為

量測雙現變異，𝜎𝑅𝑅𝑅2 為設備變異，𝜎𝑅𝑅𝑅2 為人員變異。雙現標準差為𝜎𝐺𝑅𝑅 = �𝜎𝑅𝑅𝑅2 + 𝜎𝑅𝑅𝑅2 ，𝜎𝐺𝑅𝑅

為雙現標準差。而量測雙現度（Gage Repeatability and Reproducibility, GRR）為 GRR = 6 ×

𝜎𝐺𝑅𝑅 。其中GRR為量測雙現度。

High Reproducibility Low Reproducibility

appraiser Aappraiser B

appraiser C

appraiser A

appraiser B

appraiser C

A B C A B C

High Reproducibility Low Reproducibility

appraiser Aappraiser Aappraiser Bappraiser B

appraiser Cappraiser C

appraiser Aappraiser A

appraiser Bappraiser B

appraiser C

A B C A B C

22

第四節 量測系統之 GRR 評估方法

由MSA（2010）指導手冊介紹，目前所進行的GRR研究評估分析的方法有三種，第一

種是傳統方法 （Classical GRR Studies） Montgomery and Runger （1993a），此法由平均

數與全距的方法估計，即𝐺� 𝑑2� 和 𝐺𝑌� 𝑑2⁄ （其中 𝑑2 為調整因子）來轉換成為其近似標準

差，求取其量測雙現變異（GRR）；第二種是Mandel （1972）利用變異數分析（Analysis of

Variance, ANOVA）的方法，以期望均方和求出量測雙現變異（GRR）；第三種則是第四

版MSA指導手冊（2010）所介紹的北美三大汽車公司開發的長式表格法（Long Form Table），

是以針對非統計背景從事品管實務工作人員所設計的簡易格式化的量測變異分析方法，當

取得量測資料後，僅需將所得數值填入此表格，可迅速求得再現變異、同現變異及量測雙

現變異。分別敘述如下：

壹、平均全距法

Montgomery and Runger（1993a）提出分析方法“Classical Gauge Repeatability and

Reproducibility Study”，其量測記錄方式如表2.4 所示。Classical GRR 由平均數與全距的

方法，即 𝐺� 𝑑2� 和 𝐺𝑌� 𝑑2⁄ （其 𝑑2 為調整因子，可由Duncan,A.J.（1986）設計之𝒅𝟐常數表

查表得知，如表2.3）來轉換成為其近似標準差，求取其量測雙現變異（GRR）。

再現變異的估算方式，可由 𝐺�∙𝑖 為第 j 個測手重複量測同一另件所獲得的之全距後，

再對全部另件求取其平均 𝐺�，再由 𝐺� 𝑑2� 來轉換成為其近似標準差，𝑑2 由表2.3 得知其

數值。其再現變異的估算方式如下式所示：

𝐺� = ∑ 𝐺�∙𝑖𝑏𝑖=1 𝑏⁄ ，（j＝1, …, b），b＝量測人員數

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙 =𝑅�

𝑑2

23

表 2.4 Classical GRR 之量測記錄表

測手數 量測人員 1 量測人員 2 … 量測人員 O

重複數

另件數 1 2 平均

全

距 1 2 平均

全

距 1 2 平均

全

距

1 y111 y112 𝒀�𝟏𝟏∙ 𝑮𝟏𝟏 y121 y122 𝒀�𝟏𝟐∙ 𝑮𝟏𝟐 … y1o1 y1o2 𝒀�𝟏𝟏∙ 𝑮𝟏𝟏

2 y211 y212 𝒀�𝟐𝟏∙ 𝑮𝟐𝟏 y221 y222 𝒀�𝟐𝟐∙ 𝑮𝟐𝟐 … y2o1 y2o2 𝒀�𝟐𝟏∙ 𝑮𝟐𝟏

： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：

n yn11 yn12 𝒀�𝒏𝟏∙ 𝑮𝒏𝟏 yn21 yn22 𝒀�𝒏𝟐∙ 𝑮𝒏𝟐 yno1 yno2 𝒀�𝒏𝟏∙ 𝑮𝒏𝟏

𝒀�∙𝟏∙ 𝑮�∙𝟏 𝒀�∙𝟐∙ 𝑮�∙𝟐 … 𝒀�∙𝟏∙ 𝑮�∙𝟏

資料來源：本研究整理

而同現的變異的估算方式，由 𝒀�𝒆𝒊∙ 為同一測手重複量測同一另件取求平均之後，再由

全部另件再取其平均 𝒀�∙j∙，而 𝑀𝑀𝑥𝒀�∙𝒊∙ 為所有測手中最大的 𝒀�∙𝒊∙，相同的 𝑀𝑀𝑛𝒀�∙𝒊∙ 為其所

有測手中最小的𝒀�∙𝒊∙，可由 𝐺𝑌� 𝑑2⁄ 來轉換成為其近似標準差， 𝑑2 可由表2.3 得知其數值。

其變異的估算方式如下式所示。

𝒀�𝒆𝒊. = ∑ 𝒙𝒆𝒊𝒊 𝒓⁄𝒓𝒊=𝟏 , 𝟏 ≤ 𝐢 ≤ 𝐧 ,𝟏 ≤ 𝐣 ≤ 𝐛 𝒀�∙𝒊∙ = ∑ 𝒙�𝒆𝒊. 𝒏⁄𝒏𝒆=𝟏 ,𝟏 ≤ 𝐢 ≤ 𝐧 ,𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒆

𝑮𝒀� = 𝑴𝒆𝒙𝒀�∙𝐣∙ − 𝑴𝒆𝒏𝒀�∙𝐣∙ 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙 =𝑮𝒀�𝒅𝟐

可定義量測雙現變異為：

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒂𝒆𝟐 = 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 + 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐

使用 Classical GRR 估算再現與同現變異時，適用條件為重複量測另件所得的全距（R）

必須皆落在 R Chart 之管制界限中，其目的要是確保量測系統具有鑑別力（即量測系統能

區分且表示被量測特度其很小變化的能力）。

24

貳、變異數法

Mandel（1972）提出量測的再現度與同現度的概念，由 13 個實驗室與 8 個產品，每

個產品重複量測 4 次，以雙因子變異數分析（Two-Way Analysis of Variance）分解出組內

及組間變異的概念，求取再現與同現變異。其中組內及組間的期望均方和如下列式子所示，

其中 σ2 為在同一實驗室對同一產品重複量測所產生的量測變異，亦為誤差變異； σL2 為

在不同的實驗室對同一產品量測所造成的量測變異。MSW 為同一實驗室的均方和， MSL

為不同實驗室間之均方和， n 是單指在不同實驗室量測時的重複量測次數。

𝑬(𝑴𝑴𝑾) = 𝝈𝟐

𝑬(𝑴𝑴𝑻) = 𝝈𝟐 + 𝒏𝝈𝑻𝟐

可推導出估計變異成份（Variance Components），如下所示。

𝝈�𝟐 = 𝑴𝑴𝑾

𝝈�𝑻𝟐 = (𝑴𝑴𝑻 −𝑴𝑴𝑾) 𝒏⁄

並認為母體再現變異是由母體的量測結果所產生的的變異數為 𝜎2，其中 m 為標準測

試下對樣本的重複量測次數。再現變異是對同一產品重複量測所產生的量測變異的情況，

則對測試結果的變異數可定義為 𝜎2 𝑚⁄ ，而兩個測試結果的差異間之變異數為

2 × (𝜎2 𝑚⁄ )，或是標準差為 �2 × (𝜎2 𝑚⁄ ) 。同現變異則是母體在不同的實驗室對同一產

品重複量測的情況，每一個實驗室會提供一個測試結果，樣本測試結果的變異數可定義為

𝜎𝑇2 + (𝜎2 𝑚⁄ ) ，因此，兩個測試結果的差異間之變異數為 2 × [𝜎𝑇2 + (𝜎2 𝑚⁄ )] ，或是標準

差為 �2 × [𝜎𝑇2 + (𝜎2 𝑚⁄ )] 。在 95% 的信賴水準之下其信賴區間會在 ±1.96 倍的範圍之

內，其量測的再現度與同現度的定義如下所示。

Repeatability = 𝟏.𝟗𝟗 × �𝟐 × (𝝈𝟐 𝒎⁄ ) or 𝟐.𝟕𝟕 × �𝝈𝟐 𝒎⁄

Reproducibility = 𝟏.𝟗𝟗 × �𝟐 × [𝝈𝑻𝟐 + (𝝈𝟐 𝒎⁄ )] or 𝟐.𝟕𝟕 × �[𝝈𝑻𝟐 + (𝝈𝟐 𝒎⁄ )]

25

依 MSA（2010）手冊第四版介紹變異數分析法，由 n 只零件交由 b 位測手操作同具量

器量測，而每位對上述每只另件都各自獨立量測 r 回，其中 i 為另件，j 為測手，k 為量測

回數，其個別測值（Individual Measure）─ 𝑦𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ b, 1 ≤ k ≤ r，為第 j 位

測手對第 i 只另件進行第 k 回量測所獲的數值。其數據來源須以隨機性取得，否則將導

致成為偏斜率值的來源。隨機化主要目的是保證取得另件（n 各）、測手（b 位）及量測次

數（r 次）之間的平衡。

𝑆𝑆𝑝 = ∑ �𝑦𝑖..2

𝑏𝑟�𝑛𝑖=1 −

𝑦…2

𝑛𝑏𝑟

𝑆𝑆𝐵 = ��𝑦.𝑖.2

𝑛𝑟�

𝑏

𝑖=1

−𝑦…2

𝑛𝑏𝑟

𝑇𝑆𝑆 = ����𝑦𝑖𝑖𝑖2 � −𝑟

𝑖=1

𝑦…2

𝑛𝑏𝑟

𝑏

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑆𝐵𝑅 = ���𝑦𝑖𝑖.2

𝑟�

𝑖

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

−��𝑦𝑖..2

𝑏𝑟�

𝑛

𝑖=1

−� �𝑦.𝑖.2

𝑛𝑟�

𝑏

𝑖=1+𝑦…2

𝑛𝑏𝑟

𝑆𝑆𝑒 = 𝑇𝑆𝑆 − [𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝑅 + 𝑆𝑆𝐵𝑅]

Appraiser 測手 ~ 𝑵(0,𝜔2) Parts 另件 ~ 𝑵(0,𝜎2)

Appraiser × Part 測手 × 另件 ~ 𝑵(0, 𝛾2) Equipment 設備 ~ 𝑵(0, 𝜏2)

由 MSA（2010）手冊第四版的變異數分析法是將量測系統之變異區分為四個部分，即

測手（Appraiser, AV）、另件（Parts, PV）、測手與另件（Appraiser-by-Part）的交互作用

（Interaction）及量測設備（Equipment, EV）等變異。由表2.5 可計算出各種變異來源的平

方和、自由度、均方和以及期望均方和，其中期望均方和包含了測手變異、另件變異、另

件與測手的交互作用變異項以及設備項變異。

26

表 2.5 MSA 變異數分析（ANOVA）表

變異來源 平方和

SS 自由度

DF 均方和

MS 期望均方和

EMS 測手 𝑆𝑆𝐵 (𝑏 − 1) 𝑆𝑆𝐵 (𝑏 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝐵 𝜏2 + 𝑟𝛾2 + 𝑛𝑟𝜔2

另件 𝑆𝑆𝑅 (𝑛 − 1) 𝑆𝑆𝑅 (𝑛 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝑅 𝜏2 + 𝑟𝛾2 + 𝑏𝑟𝜎2

測手×另件 𝑆𝑆𝐵𝑅 (𝑛 − 1) × (𝑏 − 1) 𝑆𝑆𝐵𝑅 (𝑛 − 1)(𝑏 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝐵𝑅 𝜏2 + 𝑟𝛾2

設備 𝑆𝑆𝑒 𝑛𝑏(𝑟 − 1) 𝑆𝑆𝑒 𝑛𝑏(𝑟 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝑒 𝜏2

全部 𝑇𝑆𝑆 𝑛𝑏𝑟 − 1

資料來源：Measurement System Analysis （2010）

將表2.5 的四項期望均方和運算求解，可得各個變異來源之估計變異，若各個變異來

源之估計變異數產生負數時，其變異數假設為零，其估計式如表2.6 所示：

表 2.6 每一變項來源之變異數項目估計表

來源 估 計 變 異 數

設備 （EV） 𝜏2 = 𝑀𝑆𝑒

交互作用 （INT） 𝛾2 =𝑀𝑆𝐵𝑅 − 𝑀𝑆𝑒

𝑟

測手 （AV） 𝜔2 =𝑀𝑆𝐵 −𝑀𝑆𝐵𝑅

𝑛𝑟

另件 （PV） 𝜎2 =𝑀𝑆𝑅 −𝑀𝑆𝐵𝑅

𝑏𝑟

資料來源：Measurement System Analysis（2010）

而 MSA（2010）手冊的五個部分變異，即量測設備（Equipment, EV）、測手 （Appraiser,

AV）、測手與另件（Appraiser-by-Part）的交互作用（Interaction）、量測雙現變異（GRR）

及另件（Parts, PV）等其估計 6標準差寬度，如表2.7 所示。

27

表 2.7 6 標準差寬度表

設備 （EV）Repeatability 𝐸𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝑒

測手 （AV）Reproducibility 𝐴𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝐵 −𝑀𝑆𝐵𝑅

𝑛𝑟

交互作用 （INT） 𝐼𝐵𝑅 = 6 × �𝑀𝑆𝐵𝑅 − 𝑀𝑆𝑒

𝑟

量測雙現變異（GRR） 𝐺𝐺𝐺 = �(𝐸𝐸)2 + (𝐴𝐸)2 + (𝐼𝐵𝑅)2

另件 （PV） 𝑃𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝑅 −𝑀𝑆𝐵𝑅

𝑏𝑟

資料來源：Measurement System Analysis（2010）

由前式，可推導再現變異、同現變異以及量測雙現變異的估計式，若各個變異來源之

估計變異數產生負數時，其變異數假設為零，其估計式如下列式子所示：

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 = 𝝉𝟐 = 𝑴𝑴𝒆 再現變異

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 = 𝜸𝟐 + 𝝎𝟐 =[𝑴𝑴𝑨+(𝒏−𝟏)𝑴𝑴𝑨𝑹−𝒏𝑴𝑴𝒆]

𝒏𝒓 同現變異

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒂𝒆𝟐 = 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 + 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 =[𝑴𝑴𝑨+(𝒏−𝟏)𝑴𝑴𝑨𝑹+𝒏(𝒓−𝟏)𝑴𝑴𝒆]

𝒏𝒓 量測雙現變異

當測手與另件的交互作用影響很小時，會造成 𝛾2 < 0，而低估了𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 。因此，

當測手與另件的交互作用不顯著時，必須將表2.5 中交互作用項的平方和、自由度及均方

和併入到誤差項中，其量測研究分析之模式中所使用的變數、定義和假設皆與 MSA（2010）

手冊第四版介紹變異數分析，其變異數分析模式相同。變異數分析表如表2.8 所示：

28

表 2.8 MSA 變異數分析（ANOVA）表（交互作用影響不顯著時）

變異來源 平方和

SS 自由度

DF 均方和

MS 期望均方和

EMS 測手 𝑆𝑆𝐵 (𝑏 − 1) 𝑆𝑆𝐵 (𝑏 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝐵 𝜏2 + 𝑛𝑟𝜔2

另件 𝑆𝑆𝑅 (𝑛 − 1) 𝑆𝑆𝑅 (𝑛 − 1)⁄ = 𝑀𝑆𝑅 𝜏2 + 𝑏𝑟𝜎2

設備 𝑆𝑆𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑛𝑏𝑟 − 𝑏 − 𝑛 − 1 𝑆𝑆𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑛𝑏𝑟 − 𝑏 − 𝑛 − 1⁄ = 𝑀𝑆𝑝𝑝𝑝𝑝 𝜏2

全部 𝑇𝑆𝑆 𝑛𝑏𝑟 − 1

資料來源：Measurement System Analysis（2010）

將表2.8 的三項期望均方和運算求解，可得各個變異來源的估計變異項，若各個變異

來源之估計變異數產生負數時，其變異數假設為零，其估計式如下列式子所示：

𝜏2 = 𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆 𝜎2 =�𝑴𝑴𝑹−𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆�

𝒆𝒓 𝜔2 = �𝑴𝑴𝑨−𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆�

𝒏𝒓

當測手與另件的交互作用不顯著時， MSA（2010）手冊的四個部分變異，即量測設備

（Equipment, EV）、測手（Appraiser, AV）、、量測雙現變異（GRR）及另件（Parts, PV）

及等其估計 6標準差寬度，如表2.9 所示。

29

表 2.9 6 標準差寬度表（交互作用影響不顯著時）

設備 （EV）Repeatability 𝐸𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝑝𝑝𝑝𝑝

測手 （AV）Reproducibility 𝐴𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝐵 −𝑀𝑆𝑅𝑝𝑝𝑝

𝑛𝑟

量測雙現變異（GRR） 𝐺𝐺𝐺 = �(𝐸𝐸)2 + (𝐴𝐸)2

另件 （PV） 𝑃𝐸 = 6 × �𝑀𝑆𝑅 −𝑀𝑆𝑅𝑝𝑝𝑝

𝑏𝑟

資料來源：Measurement System Analysis（2010）

由前式，可推導再現度變異、同現度變異以及量測雙現變異的估計式，若各個變異來

源之估計變異數產生負數時，其變異數假設為零，其估計式如下列式子所示：

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 = 𝝉𝟐 = 𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆 再現度變異

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 = 𝝎𝟐 =�𝑴𝑴𝑨−𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆�

𝒏𝒓 同現度變異

𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒂𝒆𝟐 = 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 + 𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒓𝒆𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒙𝟐 =�𝑴𝑴𝑨+(𝒏𝒓−𝟏)𝑴𝑴𝒆𝒆𝒆𝒆�

𝒏𝒓 量測雙現變異

30

參、MSA之長式表格法 （Long Form Table）

MSA（2010）手冊介紹另一種量測分析方法－長式表格法（Long Form Table），其標準

格式來自於美國三大汽車廠，格式如圖2.5 所示。此法將變異數的統計分析方法格式化，

是針對非統計背景而從事品管實務工作人員所設計的簡易分析方法，其估計方式內容由第

四章節詳述之，但其特點是所有的量測儀具均可藉由此方法來評估量測系統之精密度是否

適當。量測人員只需將量測產品所得之值，填入此標準格式中，便可求解再現變異、同現

變異、量測雙現變異、產品變異與量測總變異。另外，該格式亦可求解量測雙現變異GRR 判

定準則（即%GRR），此值可評估量測儀器是否能精確量度。

圖2.5 MSA之長式表格法（Long Form Table）圖

資料來源：劉漢容、陳文魁，（2005）

31

肆、量測系統評估基準

由MSA（2010）指導手冊所進行的GRR研究分析評估方法，其估算出來之量測雙現變

異，進行量測系統評估，以確保量測設備系統是否充分。在工業界的量測系統分析實務上，

大多採用的 QS9000 中 GRR 的判定準則 P T⁄ 值，其中P T⁄ 即為 Precision-to-Tolerance，

來判定量測系統對期望規格於 99％信賴區間是否精良，為適當評價方法之一。另外是由

MSA（2010）指導手冊第78頁，量測能力指標 %𝑮𝑮𝑮，此指標是評估量測系統對整體製程

變異評價是否充分之方法，同時針對量測系統進行改善之最佳判定方式。首介紹 P T⁄ 判

定準則如下所示：

𝑃 𝑇⁄ =6𝜎𝐺𝑎𝑎𝑎𝑒𝑇𝑜𝑇𝑒𝑟𝑀𝑛𝑇𝑒

× 100%

其中 𝜎𝐺𝑎𝑎𝑎𝑒 = �𝜎𝑅𝑒𝑝𝑒𝑎𝑡𝑎𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑟𝑝𝑑𝑎𝑒𝑖𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 ，Tolerance 為產品規格寬度，𝜎𝐺𝑎𝑎𝑎𝑒 為

量測雙現標準差， 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑒𝑎𝑡𝑎𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 為量測再現變異， 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑟𝑝𝑑𝑎𝑒𝑖𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 為量測同現變異。其 𝑃 𝑇⁄

值的判定範圍及量測系統的評估結果如表2.10 所示。

表 2.10 QS9000 中 𝑃 𝑇⁄ 的判定準則表

𝑃 𝑇⁄ 值之範圍 評估結果

𝑃 𝑇⁄ < 10% 量測系統可被接受

10% ≤ 𝑃 𝑇⁄ < 30% 可能被接受，須視公司而定

𝑃 𝑇⁄ > 30% 不被接受，須評估其原因，進而改善之

資料來源：本研究整理

32

其次量測系統分析（MSA）指導手冊（2010）第78頁，%𝑮𝑮𝑮是量測能力指標，如下

所示。

%𝑮𝑮𝑮 =𝝈�𝑮𝒆𝒆𝒂𝒆𝝈�𝑹𝒆𝒆𝒆𝒆

× 𝟏𝟏𝟏

其中 𝜎�𝐺𝑎𝑎𝑎𝑒 = �𝜎𝑅𝑒𝑝𝑒𝑎𝑡𝑎𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑟𝑝𝑑𝑎𝑒𝑖𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 ，

𝜎�𝑅𝑝𝑡𝑎𝑝 = �𝜎𝑅𝑎𝑟𝑡2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑒𝑎𝑡𝑎𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑟𝑝𝑑𝑎𝑒𝑖𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2

𝜎𝑅𝑝𝑡𝑎𝑝2 = 𝜎𝑅𝑎𝑟𝑡2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑒𝑎𝑡𝑎𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 + 𝜎𝑅𝑒𝑝𝑟𝑝𝑑𝑎𝑒𝑖𝑏𝑖𝑝𝑖𝑡𝑦2 ，

𝜎𝑅𝑎𝑟𝑡2 為產品變異，𝜎𝑅𝑝𝑡𝑎𝑝2 為量測總變異， 𝜎�𝑅𝑝𝑡𝑎𝑝 為量測總標準差。

而量測系統分析（MSA）指導手冊（2010），量測能力指標 %𝑮𝑮𝑮 在判定準則方面，如

表2.11所示：

表 2.11 MSA指導手冊（2010）%𝑮𝑮𝑮 的判定準則表

%𝑮𝑮𝑮 值之範圍 評估結果

%𝑮𝑮𝑮 < 𝟏𝟏% 量測可被接受

𝟏𝟏% ≤ %𝑮𝑮𝑮 < 𝟑𝟏% 可能被接受，視量具應用的重要度、量具

成本、維修成本等，來決定是否接受

%𝑮𝑮𝑮 > 𝟑𝟏% 不被接受，此量測系統需要改善，找出原

因並校正之

資料來源：本研究整理

33

而古典儀錶的一致性分析，在重複量測時，量測工具必須具有信度（Reliability），儀

器間信度 （Intrarater Reliability），使用變異數分析（ ANOVA）來探討，而量測系統的

總變異，即，𝜎𝑡2 = 𝜎𝑝2 + 𝜎𝑚2。式中 𝜎𝑡2 為測量值的總變異，𝜎𝑝2 為另件的變異，𝜎𝑚2為量具

的變異，並使用組內相關係數（ICC） 𝝆 定義為另件變異與總變異的比例 𝝆 = 𝜎𝑝2

𝜎𝑡2，0 ≤ 𝜌 ≤ 1。

該組內相關係數（ICC）𝝆 相當於量測系統分析（MSA）指導手冊（2010），衡量量測能

力指標 %𝑮𝑮𝑮，該組內相關係數（ICC）𝝆 越近1越好。Wheeler（1992）提出組內相關係

數（ICC）𝝆 = 𝜎𝑝2

𝜎𝑡2，在判定準則方面，如表2.12所示：

表 2.12 組內相關係數（ICC） 𝝆 = 𝜎𝑝2

𝜎𝑡2 值判定準則表

𝝆 值之範圍 評估結果

0.8 < 𝝆 ≤ 1 量測可被接受

0.5 < 𝝆 ≤ 0.8 可能被接受，視量具應用的重要度、量具

成本、維修成本等，來決定是否接受

0.2 < 𝝆 ≤ 0.5 雖不被接受，但此量測系統需要改善，找

出原因並校正之

0 ≤ 𝝆 ≤ 0.2 不能使用此量測系統

資料來源：本研究整理

然而，量測系統百分雙現度有百分公差和百分程差兩種計算方式，前者以規格公差做

為分母，而後者則取製成標準差做為分母， 𝜎𝑅𝑅𝑅 為再現標準差， 𝜎𝑅𝑅𝑅為同現標準差， 𝜎𝐺𝑅𝑅

為雙現標準差，公式分別為如下：

一、百分公差：產品受評之品質特性的規格公差（Specification Tolerance）為 T 值，則量

測系統擁有如下數項精度績效指標（Precision Performance Indicators）。

34

百分公差再現度 %𝑇 𝐺𝑃𝑇 = 6 × 𝜎𝑅𝑅𝑅 𝑇� ，量器再現度對產品規格公差的百分佔比。

百分公差同現度 %𝑇 𝐺𝑃𝐷 = 6 × 𝜎𝑅𝑅𝑅 𝑇� ，測手同現度對產品規格公差的百分佔比。

百分公差雙現度 %𝑇 𝐺𝐺𝐺 = 6 × 𝜎𝐺𝑅𝑅 𝑇� ，系統雙現度對產品規格公差的百分佔比。

二、百分程差：產品的 σPRT 為製成標準差，則量測系統擁有如下數項精度績效指標

（Precision Performance Indicators）。

百分程差再現度 % 𝐺𝑃𝑇 = 100 × 𝜎𝑅𝑅𝑅 𝜎𝑅𝑅𝑅� ，量器再現度對製成標準差的百分佔比。

百分程差同現度 % 𝐺𝑃𝐷 = 100 × 𝜎𝑅𝑅𝑅 𝜎𝑅𝑅𝑅� ，量器同現度對製成標準差的百分佔比。

百分程差雙現度 % 𝐺𝐺𝐺 = 100 × 𝜎𝐺𝑅𝑅 𝜎𝑅𝑅𝑅� ，量器雙現度對製成標準差的百分佔比。

ISO/TS 16949 中GRR之判定準則如下表2.13 所示，北美三大汽車的MSA指導手冊將

量測系統的精度區分成四個水準。

表 2.13 量測系統精度評價表

判定水準

項目 十分精確 充份精確 尚屬精確 精確不足

百 分 再 現 RPT < 7 （%） 7 ≦ RPT < 16 （%） 16 ≦ RPT < 21 （%） 20 ≦ RPT （%）

百 分 同 現 RPD < 7 （%） 7 ≦ RPD < 16 （%） 16 ≦ RPD < 21 （%） 20 ≦ RPD （%）

百 分 雙 現 GRR < 10 （%） 10 ≦ GRR < 21 （%） 20 ≦ GRR < 30 （%） 30 ≦ GRR （%）

資料來源：劉漢容、陳文魁 （2005）

35

第五節 蒙地卡羅方法模擬 GRR

壹、隨機亂數

Robert and Casella（2004）指出蒙地卡羅模擬構成要素如下︰

一、機率密度函數（Probability Density Function，PDF）：物理(數學)系統必須要有的函數。

二、隨機亂數產生器：一個隨機數的來源，可提供亂數。

三、抽樣規則：從被指定的PDF取樣，有可用的單位間隔隨機數。

蒙地卡羅模擬需要隨機亂數產生器，亂數產生，亂數產生的方法可分成物理性及軟體

性兩種方法。軟體性的亂數產生方法是運用特殊的演算法或人工方法來產生長週期性與隨

機性的亂數序列，透過演算法所產生，並不是真實的隨機亂數，所以此類的亂數產生器一

般也稱作為擬亂數產生器（Pseudo Random Number Generator）。常見的擬亂數產生器使用

線性同餘法（Linear Congruential Method）、多階層餘法（Multiple Recursive Method）或梅

森旋轉法（Mersenne Twister）等演算法來產生擬亂數。

工業界的量測系統分析，通常由穩定生產線隨機挑選若干只另件，要求多位測手操用

同具量器對每只另件獨立量測數回，一般假設某製程穩定產製另件，而且另件某品質特性

𝑥� 呈現常態分配 𝑵(𝜇𝑅,𝜎𝑅𝑅𝑅2 )，而其隨機亂數產生，最小值等於 0，最大值等於 1，成為常

態累積分配函數的機率值，轉換成蒙地卡羅模擬方法的累積機率函數。

貳、蒙地卡羅模擬

Tsu-Ming Yeh, Jia-Jeng Sun.（2013）, 藉由統計模擬方法，結合蒙地卡羅模擬（Monte

Carlo Simulation），可以有效評估的量測能力的再現度和同現度的可能範圍，決定量測能

力指標%𝑮𝑮𝑮的機率分配，研究測量系統分析的量測雙現變異，和數據類數（Number of

Distinct Category, NDC），以便建立一個於量測系統的測量能力的評價預測模型，其變異

數分析，結合蒙地卡羅模擬軟體(Crystal Ball)進行運算，運算Model透過蒙地卡羅模式建立

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求解，依照實際量測數據並定義其分佈狀態後，將參數之隨機變數以Crystal Ball之蒙地卡

羅分析技術配合同餘法亂數產生10,000次，藉此模擬量測數值，得知其量測能力指標

%𝑮𝑮𝑮的機率分配是否相符假設條件，再使用MSA指導手冊（2010），長式表格法（Long

Form Table）估算相關變異數。

在產業界的量測行為前提，其量測系統分析時，是設定量測行為條件下，可運用蒙地

卡羅模擬方法（Monte Carlo Simulation），產生亂數，得知累加累積機率函數的機率值與

常態位置對應關係，來模擬其量測系統的實驗量測值，因此，首先需定義機率密度函數分

佈，並其累加累積機率函數，調整最大值為 1，而穩定生產線隨機挑選若干只另件，其機

率分佈為常態分配，而常態機率密度函數為連續隨機變數 𝑿 服從一個位置參數為 𝝁 、尺

度參數為 𝝈 的機率分配，可記為：𝑿~𝑵( 𝝁,𝝈𝟐 )或 𝑿~𝑵( 𝒙,𝝁,𝝈 )表示常態分配（Normal

Distribution），則其機率密度函數（Probability Density Function，PDF），機率密度函數為

𝒇(𝒙) = 𝟏√𝟐𝟐𝝈

𝒆�−(𝒙−𝝁)𝟐

𝟐𝝈𝟐� ， (−∞ < 𝑥 < +∞)，另其 𝑿 的累積分配函數（Cumulative Distribution

Function，CDF），是指隨機變數𝑿小於或等於𝒙的機率，用機率密度函數表示為

𝑭(𝒙 ;𝝁,𝝈) = 𝟏√𝟐𝟐𝝈

∫ 𝒆�−(𝒙−𝝁)𝟐

𝟐𝝈𝟐�𝒙

−∞ 𝒅𝒙 ，其累加累積的機率值，最小值等於 0，最大值等於 1，

將常態累積分配函數的機率值，成為蒙地卡羅方法的累積機率函數。若累積分配函數將常

態化，則標準常態分配的累積分配函數習慣上記為 Φ ，它僅僅是指 𝝁 = 𝟏 ，𝝈 = 𝟏 時的

值，Φ(𝒛) = 𝟏√𝟐𝟐

∑ 𝒆−𝟏𝟐 𝒛

𝟐𝒅𝒛𝒛−∞ ，若將一般形式的常態分配轉換為標準常態分配的方法是

𝒛 = (𝒙 − 𝝁) 𝝈⁄ ，其PDF（x）及CDF（x）圖詳如圖2.6。

`

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圖2.6 標準常態分配PDF（x）及CDF（x）圖

資料來源：本研究整理

因此，本研究使用蒙地卡羅方法的意涵，設定量測行為條件，運用製造產生亂數，得

知累加累積機率函數的機率值與常態分配位置對應之關係，其示意圖詳如圖2.7，如此可設

定量測行為條件，使用蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo Simulation Method）的意涵，結合

統計概念，運用函數製造產生隨機亂數，其隨機亂數為0∼1之間數值，其值可視為累加累積

機率函數的機率值，再使用反函數，得到其累加累積機率函數的機率值與常態分配位置對

應之數值，所得位置對應之數值，再利用轉換為標準常態分配的方法是 𝒛 = (𝒙 − 𝝁) 𝝈⁄ ，

與設定量測系統參數之平均數與標準差，可求得其模擬量測系統的實驗量測值。

圖2.7 模擬 GRR實驗量測值對應圖

資料來源：本研究整理

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產業界量測系統分析如何評價精度是否充分，通常由穩定生產線隨機挑選若干只另件，

要求多位測手操用同具量器對每只另件獨立量測數回，上述的量測系統分解出量器再現度

（Repeatability）與測手同現度（Reproducibility）的變異，這是許多工業人士關心的課題，

而工業界習於採用表格化的方式來評價量測系統，由MSA指導手冊（2010）提供長式表格

法（Long Form Table）之來估算量測精度的變異，但其量測系統分析採雙因子實驗設計時，

慣用的量測系分析統方法是採用雙因子巢狀式實驗設計，而非交叉式設計，由於實務上是

在隨機先挑選物件下，再進行人員量測，探討量測系統之量測雙現變異（Gauge Repeatability

and Reproducibility，GRR），其量測雙現變異（GRR）模擬流程示意圖詳如圖2.8。

圖2.8 GRR 模擬流程示意圖

資料來源：本研究整理

量 器

量 法

零件1

零件2

零件⋯

零件n-1

零件n

測手 測手 測手

NRandom effect

NRandom effect

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