投資績效評估與歸因

《馬太福音，第25章，14-30節》，為著

名的「馬太效應」，是說明因為害怕風險，

把主人的銀子埋在地底下，沒有把主人的銀

子拿去賺取定存報酬，在報酬率為零下，最

後落到被主人丟出去的下場。

投資績效評估

投資績效歸因

指標介紹 短期與長期的報酬率 年化標準差 貝它 傑森阿爾法 夏普指數 崔諾指數 資訊比率

投資績效歸因拆解 國際投資的績效歸因

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Contents

投資績效評估 1

指標介紹

要評估投資績效，除了傳統的報酬與風險外，

也須考慮風險調整後的指標。常見的指標有：

短期與長期 的報酬

年化標準差 貝它

(Beta) 傑森阿爾法 (Jensen’s Alpha)

崔諾指數 (Treynor ratio)

夏普指數 (Sharp ratio)

資訊比率 (information ratio)

投資績效評估 1

短期與長期的報酬率

𝑼𝒏 = �𝑹𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

上式中，𝑼𝒏為N期累計報酬率，𝑹𝒊為第𝒊期報酬

率，𝒏為期數。

一年以內的績效可視為短期，三年為中期報酬

績效，七年以上為長期報酬績效。

投資績效評估 1

年化標準差

上式中，𝑹𝒊為𝒊月之月報酬，𝑹�𝒏為𝒏月化標準

差，𝝈月為月化標準差，𝝈季為季化標準差，

𝝈年為年化標準差。

( )

12

3

×=

×=

−

−

=∑=

月年

月季

月

σσ

σσ

σ1

1

2

n

RRn

ini

投資績效評估 1

貝它(Beta) 𝑹𝒊,𝒕 − 𝑹𝒇,𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜷𝒊 𝑹𝒊,𝒕 − 𝑹𝒇,𝒕 + 𝜺𝒊,𝒕

上式中，

𝑹𝒊,𝒕為台積電平均報酬率

𝑹𝒇,𝒕為無風險報酬(台銀1月定存利率)

𝑹𝒎,𝒕為台股加權指數報酬率

𝒕為時間，從2010/7/30至2012/6/29 𝜶𝒊、𝜷𝒊為係數 𝜺𝒊為誤差項

投資績效評估 1

傑森阿爾法(Jensen’s alpha) 傑森阿爾法 = 𝜶𝒊 = 𝑹�𝒊 − 𝑹�𝒇 + 𝜷𝒊 𝑹�𝒎 − 𝑹�𝒇

上式中，

𝜶𝒊：台積電傑森阿爾法。

𝑹�𝒊：為台積電過去24個月之平均月報酬率。

𝜷𝒊：為台積電Beta值。 𝑹�𝒇：為台銀一個月定存平均報酬率(平均無

風險報酬率)。

𝑹�𝒎：為台股加權指數平均報酬率。

投資績效評估 1

夏普指數(Sharpe Index)

夏普指數 =𝑹�𝒊 − 𝑹�𝒇𝝈𝒊

上式中，

𝑹𝒊：為台積電平均報酬率。

𝑹𝒇：為台銀一個月定存平均報酬率(無風險

報酬率)。

𝝈𝒊：為台積電月標準偏差。

投資績效評估 1

崔諾指數(Treynor Index)

崔諾指數 = 𝑻𝑷𝑹�𝑷 − 𝑹�𝒇

𝜷𝒊

上式中，

𝑹𝑷：為台積電平均報酬率。

𝑹𝒇：為台銀一個月定存平均報酬率(無風險

報酬率)。

𝜷𝒊：為Beta值。

投資績效評估 1

資訊比率(information ratio) 資訊比率衡量投資組合相對於基準組合的風險

收益情況。要計算出資訊比率，先以台積電報

酬率減去台股加權指數平均報酬率，然後再除

以相減後差額之標準差。

投資績效歸因

績效歸因可分成選股能力與擇時能力；選股能

力是指挑選股票的能力；而擇時能力則是指在

不同時候選擇不同資產權重的能力。我們可以

將自己的投資組合與基準組合(benchmark)之間的差異，拆解成為擇時貢獻與選股貢獻。當

我們的投資組合包含國際資產時，可以把績效

的貢獻拆解成貨幣選擇、國家選擇與股票選

擇。

投資績效歸因

投資績效歸因拆解

績效的總貢獻可以拆解成擇時(資產配置)貢獻

與選股貢獻，以及資產配置與選股的交叉項貢

獻。因次我們可以交叉出四個區域，分別為市

場績效、選股能力、擇時能力，以及擇時與選

股能力交叉項。為了簡化起見，我們會將交叉

項併入選股貢獻。

投資績效歸因

投資績效歸因拆解

橫軸為權重，分別為投資組合權重(𝑾𝒑)與基準

組合權重(𝑾𝒃)；縱軸為報酬，可分成投資組合

報酬(𝑹𝒑)與基準組合報酬(𝑹𝒃)。

報酬

權重 𝑾𝒃 𝑾𝒑

𝑹𝒑

𝑹𝒃

A

B

C

D

A：選股能力 B：擇時與選股

能力交叉項 C：市場績效 D：擇時能力

投資績效歸因

績效歸因的公式

基準組合報酬：𝒓𝑩 = ∑ 𝒘𝑩𝒊𝒓𝑩𝒊𝒏𝒊=𝟏

投資組合的回報： 𝒓𝒑 = ∑ 𝒘𝒑𝒊𝒓𝒑𝒊𝒏𝒊=𝟏

超額報酬： 𝒓𝒑 − 𝒓𝑩 = ∑ 𝒘𝒑𝒊𝒓𝒑𝒊𝒏

𝒊=𝟏 − ∑ 𝒘𝑩𝒊𝒓𝑩𝒊𝒏𝒊=𝟏 ===

= ∑ 𝒓𝒑𝒊 − 𝒓𝑩𝒊 𝒘𝒑𝒊 + ∑ 𝒘𝒑𝒊 − 𝒘𝑩𝒊 𝒓𝒊𝒏𝒊=𝟏

𝒏𝒊=𝟏

上式中，𝒘𝑩𝒊為基準組合權重

𝒓𝑩𝒊為基準組合報酬

𝒘𝒑𝒊為投資組合權重

𝒓𝒑𝒊為投資組合報酬

投資績效歸因

績效貢獻的公式

擇時(資產配置)貢獻(A)= ∑ 𝒘𝑷𝒊 −𝒘𝑩𝒊 𝒓𝑩𝒊𝒏𝒊=𝟏

選股貢獻(B)= ∑ 𝒓𝑷𝒊 −𝒓𝑩𝒊 𝒘𝒑𝒊𝒏𝒊=𝟏

總貢獻(A+B)= 𝒓𝑷 −𝒓𝑩

投資績效歸因

國際投資的績效歸因

1.國際投資組合之績效貢獻

𝑹𝒑 − 𝑹𝒃 = 𝑾𝒑 −𝑾𝒃 × 𝑹𝒄 + 𝑾𝒑 −𝑾𝒃 ×𝑹𝒃 + 𝑹𝒑 −𝑹𝒃 ×𝑾𝒑

𝑹𝒑：投資組合報酬 ； 𝑹𝒃：基準組合報酬 ；

𝑾𝒑：投資組合權重 ；𝑾𝒃：基準組合權重 ；

𝑹 𝒄：匯率報酬

𝑾𝒑 −𝑾𝒃 ×𝑹𝒄：貨幣選擇的貢獻

𝑾𝒑 −𝑾𝒃 ×𝑹𝒃：國家選擇的貢獻

𝑹𝒑 − 𝑹𝒃 × 𝑾𝒑：股票選擇的貢獻

投資績效歸因

2.海外投資報酬的衡量 A.外匯報酬(𝑹𝒄)的計算

𝑬𝟎：在時間點𝒕𝟎下，一單位外幣(美元)可

以換多少單位本國幣(台幣)。 𝑬𝟏：在時間點𝒕𝟏下，一單位外幣可以換多

少單位本國幣。

假設

投資績效歸因

2.海外投資報酬的衡量 A.外匯報酬(𝑹𝒄)的計算 1元新台幣在

𝒕𝟎可以轉換成𝟏𝑬𝟎美元

𝒕𝟏可以轉換成𝟏𝑬𝟎

× 𝑬𝟏 = 𝑬𝟏𝑬𝟎美元

則外匯淨報酬= 𝑬𝟏 𝑬𝟎−𝟏⁄𝟏

= 𝑬𝟏−𝑬𝟎𝑬𝟎

投資績效歸因

2.海外投資報酬的衡量 B.海外投資報酬的計算 本國毛報酬=以外幣計價毛報酬×外匯毛報酬

𝟏 + 𝑹𝒕𝒘 = 𝟏 + 𝑹𝒇 𝟏 + 𝑹𝒄

上式中，𝟏 + 𝑹𝒕𝒘：毛報酬(以本國幣計價)

𝟏 + 𝑹𝒇：外國投資毛報酬(以外幣

計價)

𝟏 + 𝑹𝒄：匯率毛報酬

投資績效歸因

2.海外投資報酬的衡量 B.海外投資報酬的計算 上式展開可以得到

𝟏 + 𝑹𝒕𝒘 = 𝟏 + 𝑹𝒇 + 𝑹𝒄 + 𝑹𝒇 × 𝑹𝒄 如果𝑹𝒇 × 𝑹𝒄這個交叉項太小，省略不計：

𝑹𝒕𝒘 = 𝑹𝒇 + 𝑹𝒄 也就是說， 本國淨報酬=以外幣計價淨報酬+外匯淨報酬