第三章管路系統分析 - 國立中興大學 · 第三章管路系統分析 Update: 2014/9/20 (3.1). 管流方程式 ... 作業3.4，若該水管前半段管長為150m，後半段管長250m，接請計算壓力降。

熱流系統分析設計中興大學機械工程研究所頁 1

第三章管路系統分析

Update: 2014/9/20 (3.1). 管流方程式

(3.1.1). 管流方程式簡化

2 2 2

2 2 2 xu u u u P u u uu v w gt x y z x x y z

穩態流： 0ut

假設一維流： 0v ， 0w

磨擦力主要來自側向的速度梯度：2 2 2

2 2 2

1 ( )u u u urx y z r r r

2 2

2 2

1u u ury z r r r

1x

u P uu r gx x r r r

將上式積分，從 r = 0~R：

00 0 0

12 2 2 2R R RR

xu P uu rdr rdr r rdr g rdrx x r r r

2

0

1 22

R

xP uu A A r g A

x x r

0r ， 0urr

r R ， wur Rr

21 22 w x

Pu A A R g Ax x

再沿著 x 方向積分，從 x=x1~x2：


2 22 1 2 11 12 2 w x

u u A P P A Ddx g Adx

2 22 1 2 11 1 42 2 w x

u u P P dx g dxD

1 2( )xg dx g h g h h ，其中 h 為沿著 x 方向的高度差 4 4w w

LdxD D

定義摩擦因子(Friction factor)： 28 wf

u

，則 21

4 2wf u

2142w

L Lf uD D

2 2 22 1 2 1 1 21 1 1 ( )2 2 2

Lu u P P f u g h hD

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2 L

u P gh u P gh P

其中 212L

P f u ，此為因管壁摩擦所造成的壓力降。

此為一維的管流方程式，可考慮管壁摩擦所造成的壓力降，也可考慮面積變化

所造成的壓力降。

(3.1.2). 摩擦因子(Friction factor)

層流 2 21 14Pu r Rx

， 2

18ave

Pu Rx

1 1 424w r R

u P R ur x R

2 2

8 32 32 64Re

wf uu u R uR

，其中Re uD


摩擦因子與雷諾數及管壁粗糙度有關。雷諾數越高則摩擦因子越小。管壁越粗

糙則摩擦因子越大。

Moody Diagram

圖 3.1.1：管流的摩擦因子

(3.1.3). 摩擦因子經驗公式

Swamee & Jain： 2

0.9

0.25

5.74log3.7 Red

f

d

：管內表面粗度

d：無因次化的表面粗度參數

Re uD

：雷諾數


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，鍍鋅鐵管的管徑為 10 mm，水的流速為 1 m/sec，表面粗度為 0.15mm，請

計算用 Colebrook equation 計算摩擦因子。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，鍍鋅鐵管的管徑為 10 mm，水的流速為 1 m/sec，表面粗度為 0.15mm，請

計算用 Swamee & Jain equation 計算摩擦因子。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

表面粗度：管路表面粗糙度與管徑的比值

ε = relative roughness of tube or duct wall (mm)

ε/ dh = the roughness ratio

Surface mm

Copper, Lead, Brass, Aluminum (new) 0.001 - 0.002 PVC and Plastic Pipes 0.0015 - 0.007

Epoxy, Vinyl Ester and Isophthalic pipe(樹脂) 0.005

Stainless steel 0.015 Steel commercial pipe 0.045 - 0.09

Stretched steel 0.015 Weld steel 0.045

Galvanized steel (鍍鋅鐵管) 0.15

Rusted steel (corrosion) 0.15 - 4 New cast iron 0.25 - 0.8 Worn cast iron 0.8 - 1.5 Rusty cast iron 1.5 - 2.5

Sheet or asphalted cast iron (瀝青) 0.01 - 0.015

Smoothed cement 0.3 Ordinary concrete 0.3 - 1 Coarse concrete 0.3 - 5

Well planed wood 0.18 - 0.9 Ordinary wood 5

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，鍍鋅鐵管的管徑為 10 mm，管長 100m，水的流速為 1 m/sec，請計算壓力

降。


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.1，有一不銹鋼管，管徑為 10 mm，管長 100m，請計算水流速度為 1 m/sec，

2 m/sec，與 5 m/sec 的壓力降。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.2，有一不銹鋼管，管徑為 10 mm，管長 100m，兩端壓力降為 1 bar 時，

請計算流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.2). 管路系統基本元件

管路系統基本元件包括長管，管件，閥件。

(3.2.1). 長管

212

LP f ud

管徑：

圓管的管徑即為其直徑。非圓管的管徑採用水利直徑(Hydraulic diameter)。

4h

Adp

，其中 A為截面積， p為浸濕的周長。

圓管套管橢圓管扁管方管

圓管：2

4A d ， p d ， hd d ，圓管的水利直徑即為其直徑。

套管：2 2( )

4 o iA d d ， ( )e ip d d ， h e id d d 。

橢圓管： A ab ， 3( ) ( 3 )(3 )p a b a b a b ，4

3( ) ( 3 )(3 )habd

a b a b a b

扁管： A ab ， 2( )p a b ，2

habd

a b

。

方管： 2A a ， 4p a ， hd a 。


注意：水利直徑並非等效直徑(equivalent diameter)，等效直徑是指與非圓管有相

同壓力降的圓管管徑。

4e

Ad

套管：2 2( )

4 o iA d d ， 2 2e o id d d

扁管： A ab ， ed ab 。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一個空氣方管，邊長為 30cm，請計算水利直徑與等效直徑。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，請比較具有相同流道面積的圓管，橢圓管(長徑與短徑的比值為 2:1)，扁

平管，與三角管的水利直徑。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.3，冷媒流道為 1.09×0.84mm 的矩形，流道總長為 78.4cm。流道內冷媒

流量為 0.0000952 kg/sec，已知冷媒黏度為 0.00025 Pa-sec，請計算壓力降。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.2.2). 管件

彎管，T 形接頭，大小頭，出口，入口。

212

P K u

K ：Minor loss coefficient

Type of Component or Fitting Minor Loss Coefficient

- K - Flanged Tees, Line Flow 0.2

Threaded Tees, Line Flow 0.9 Flanged Tees, Branched Flow 1.0 Threaded Tees, Branch Flow 2.0

Threaded Union 0.08 Flanged Regular 90o Elbows 0.3

Threaded Regular 90o Elbows 1.5 Threaded Regular 45o Elbows 0.4

Flanged Long Radius 90o Elbows 0.2 Threaded Long Radius 90o Elbows 0.7 Flanged Long Radius 45o Elbows 0.2

Flanged 180o Return Bends 0.2 Threaded 180o Return Bends 1.5

Line Flow Branch flow


各式彎管：

入口與出口：


突縮管(Sudden contraction)

gV

Cgv

Khc

Cml 211

2

22

12 / AA

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

CC 0.624 0.632 0.643 0.659 0.681 0.712 0.755 0.813 0.892 1.00 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，有一隻水管，一端管徑為 7 mm，另一端管徑為 10 mm，中間以突縮管連接，水的流速為 1 m/sec，請計算壓力降。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 突擴管(Sudden expansion)

2

2

11

AA

K


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，有一隻水管，一端管徑為 7 mm，另一端管徑為 10 mm，中間以突擴管連接，水的流速為 1 m/sec，請計算壓力降。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

漸擴管

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一隻水平的鍍鋅鐵管，一端接水塔，另一端流出。該水管前半段管徑為

7 cm，管長 50m，後半段管徑為 10 cm，管長 50m，中間以突擴管連接，水的流

量為 240 LPM，請計算壓力降。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.4，若該水管前半段管長為 150m，後半段管長 250m，接請計算壓力降。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

等效長度(equivalent length )

等效長度是將管件當作長管來處理，管件的壓力降相當於相同管徑長管的壓力降。

2 21 12 2

eql

LP C u f u

d

leq

CL df


但因 (Re, )f fd

，等效長度應與流速及流體種類有關。以下為熱水管路的等效

長度。

Screwed Fittings - equivalent length in meter

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.5，有一隻水平的鍍鋅鐵管，一端接水塔，另一端流出。該水管前半段管

徑為 7 cm，管長 50m，後半段管徑為 10 cm，管長 50m，中間以突擴管連接，

水的流量為 240 LPM，請計算管徑為 10 cm 的等效管長。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

(3.2.3). 閥件

212

P K u


Globe valve Gate valve Angel valve

Ball valve Check valve


Type of Component or Fitting Minor Loss Coefficient

- K - Fully Open Globe Valve 10 Fully Open Angle Valve 2 Fully Open Gate Valve 0.15 1/4 Closed Gate Valve 0.26 1/2 Closed Gate Valve 2.1 3/4 Closed Gate Valve 17

Forward Flow Swing Check Valve 2 Fully Open Ball Valve 0.05 1/3 Closed Ball Valve 5.5 2/3 Closed Ball Valve 200


(3.3). 串聯管路

所有管件串聯，流量相同，壓力降相加。

各管件的管徑不同，雖然流量相同，但流速不同。

通常流速最高的管件壓力降最大。

2 2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

ii i i i

i

Lu P gh u P gh f u K uD

ii

QuA

2 22 21 1 1 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

ii i

i i i

L Q Qu P gh u P gh f KD A A

2 2 2 221 1 1 1 1 1

2 2 2 2i i

i i i ii i i i i i

L Q Q Lf K Q f KD A A D A A

已知流量，求壓力降： 2 2

2 21 2 2 1 2 1

1 1 1 12 2 2 2

ii i

i i i

L Q QP P u u gh gh f KD A A

已知壓力降或高度差，求流量：

2 21 1 1 2 2 2

22 2

1 12 2

1 1 1 12 2

ii i

i i i

u P gh u P ghQ

Lf KD A A

已知壓力降及流量，求管徑或管長： 22

2 2 21 1 1 2 2 25

1 4 1 1 12 2 2 2

ii i

i i

L Qf Q u P gh u P gh KD A


重力自然流動：

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一隻鍍鋅鐵管，連接兩個不同高度的水槽。共有三段直管與兩個 90 度的

彎頭，還有一個流量控制閥。

A B C D (cm) 5.0 3.0 1.5 L (m) 30 100 10 若兩個水槽的液面高度差為 120 m，請計算流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，若流量擬調整為 50 LPM，則閥門開度應設定為何？

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


作業 3.6，若將 C 管的管徑改為 3 cm，請計算流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

水泵輸送： ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，要用水泵將下池的水打到上池，兩個水池的液面高度差為 100 m。

A B D (cm) 5.0 3.0 L (m) 30 100 若流量為 50 LPM，請計算水泵功率。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 作業 3.7，若流量為 200 LPM，管徑改為 3 cm，請計算水泵功率。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------


洩水： ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，有一個水槽，容量為 20 噸，高度 40m。今以水泵將水打入，已知所使用水管為鍍鋅鐵管，管長 100m，管徑 5 cm。水泵的壓力為

1000 30000P Q kPa，其中(Q m3/sec)為流量。請計算將水槽補滿水，需要多少時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，水槽注滿後，以相同水管將水洩出，將水槽洩光，需要多少時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.8，若洩水管徑改為 3 cm，請計算將水槽洩光所需要時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


閥門

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，以一水管自水塔取水，水塔液面 100 m，水管直徑 12.5 mm，長度 160 m，

材質為一般鐵管(ε=0.00015)。從水塔到出水口共有 10 個標準型的 90 度彎管，

出水口以手指堵住，用來控制水流量。

(1). 請計算出口全開時的水流量及出口流速。

(2). 請計算出口堵住 4/5 面積時的水流量及出口流速。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

圓桶漏水計算：( L H ) 水平管

2 2

21 12 2

ii i

i i i

L Q QgH f K RQD A A

gHQR

2

4D dHQ

dt

2

4dH gHdt D R

2

4dH g dtD RH

2

42 gH t CD R

0t ， 0H H ， 02C H

0 242 2 gH H tD R

20 0

21 1H g ttH D RH

20

1 2 gD RH


0

1 HtH

L -----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一圓桶，直徑為 1 m，內裝有高度為 10 m 的水。若圓桶底部有一圓管，

管徑為 1 cm，長度為 10 m，今以水平圓管將水漏出，請計算漏完 90%的水量需

多少時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

垂直管

2 2

21 1( )2 2

ii i

i i i

L Q Qg H L f K RQD A A

( )g L HQR

2

4dH g dtD RL H

2

42 gL H t CD R

02C L H

0 02

4 22 2 2g tL H L H t L HD R


20 0

21 1( )

L H g ttL H D R L H

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一圓桶，直徑為 1 m，內裝有高度為 10 m 的水。若圓桶底部有一圓管，

管徑為 1 cm，長度為 10 m，今以垂直圓管將水漏出，請計算漏完 90%的水量需

多少時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.9，有二圓桶，直徑均為 1 m，底部以一圓管相通，直徑為 1 cm，長度為

10 m。其中左桶內裝有高度為 10 m 的水，右桶則為空桶。若水自左桶底部流入

右桶，請計算漏出 45%的水量需多少時間。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


自然通風

0( )P gh

PRT

， 00

PRT

2 2

0

1 1 1 1( )2 2 i i

P hP gh f u K uR T T d

QuA

22

0

1 1 1 1( )2 2 i i i

P h Q Qgh f KR T T d A A

2 0

2 2

( 1)

1 1 12 i i

T ghTQ

hf Kd A A

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


例，有一壁爐，煙囪為邊長 30 cm 的正方形，高度為 10 m，頂端為 T 形出口。

已知燃氣溫度溫度 200℃，戶外溫度 0℃，請計算通風量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.10，有一方型迴管，單邊長度 10 m，直徑均為 1cm，右側上半部為加熱

區，左側下半部為冷卻區。若水的密度變化與溫度的關係可表示為

1000 0.07T m3/kg

在加熱區與冷卻區內水的密度變化均為線性，請計算內部的水流量及熱傳量。

60℃ 60℃ 30℃ 30℃

/ 2

0 0 / 2

( ) ( ) ( )L L L

R L R L R LL

P gdy gdy gdy

30R ， 30 60 30( ) / 2Ly

L ，0 / 2y L

30 60 30/ 2( )

/ 2Ry L

L ， 60L ， / 2L y L

2/ 2

60 30 60 30 30 600 / 2

1( ) ( ) ( ) ( )/ 2 / 2 2 2 4

L L

R LL

y g L gLgdy gdyL L


30 60 30 60 30 60/ 2 / 2 / 2

/ 2( ) ( ( ) ) ( ) (2 )/ 2 / 2

L L L

R LL L L

y L ygdy gdy gdyL L

2

30 60 30 60 30 603( ) (2 ) ( ) ( ) ( )4 4

y gLg y g L LL

30 60 30 60 30 60( ) ( ) ( )4 4 2gL gL gLP

2 21 142 2

LP f u K ud

230 60( ) 22

gL Lf K ud

2

4

gLuLf Kd

4

gLuLf Kd

2

2 4LQ d u d c T

2 4

dc T gLQLL f Kd

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.2.2). 水力發電機

HP ：水壩液面壓力。

LP ：後池液面壓力。

1P：渦輪機入口壓力。

2P ：渦輪機出口壓力。

H ：水壩與後池液面高度差。

考慮管路內的壓力降。

2 210 1 1 1 1 1

1

1 12 2H

LP gH P V f V gHD

2 222 2 2 2 2

2

1 12 2L L

LP gH f V P V gHD

20 1 2 0

1( )2L

Lg H H gH P P f VD

21 2 0

1( )2

LF A P P A gH f VD


20 0 0

12

LW V F V A gH f VD

20

0

3 02

dW LA gH A f VdV D

02 2

33

gH gH DV L f LfD

2 1 2 2 23 2 3 3 3gH D L gH D gH D gHW A gH f Af L D f L f L

023gH DQ AV Af L

23

WgHQ

，理想發電效率 66.7%，但發電量較小。

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例，有一水力發電機，水管直徑為 1 m，水位落差 300 m，水管長度 300m，請

計算最大的發電功率。

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【記者黃玉燕／台中報導】「自來水可不可以發電？」因為孩子一句好奇又純真

的問話，鄧鴻吉與他 8 歲的兒子在動手做的過程中，歷經 4 個月的嘗試與改良，

最後以作品「水渦輪磁場發電機」獲台北發明展環保綠能類第三名。

經營電子公司的鄧鴻吉，帶著兒子鄧立維到日月潭遊玩，為兒子解說明潭水庫洩

洪可以用來發電的原理，卻為兒子一句「自來水是不是也可以發電」，而排除種

種困難，發明了最環保的自來水發電系統「水渦輪磁場發電機」。

鄧鴻吉說明發電原理，是利用水塔下流的水，帶動渦輪轉動磁場發電機，產生電

力。現場的實驗模組，即是以每秒 0.2 公升的水通過時，就能產生 2.5V 的電力，

並儲存在電池中，隨時可以取用。

鄧鴻吉表示，一棟大樓中，以用戶自來水從水塔下流速度以及水量，就可以發電，

隨時有流水通過，就隨時可以充電，積少成多後，就足夠提供大樓電力了。

雖然發電量不大，鄧鴻吉以自家 150 戶的大社區計算，每月可以省下 8 萬元公共

電費。這套系統若再運用到自來水公司的水管裡，一般家庭甚至可以儲存電力，


回賣給電力公司。他說明系統符合大樓的自來水管設備，每套花費不到 1,000 元，

而相關設備改裝也不到 10 萬元，所以只要到第 3 個月就可以回本，開始有盈餘了。

「水渦輪磁場發電機」預計可以為全國省下可觀的電力，也引起發明展的注意，

雖然在研發的過程中，都是鄧鴻吉一人歷經無數次的模擬研究，8 歲的兒子並幫

不上忙，但是兒子的創造力，還是推出產品的第一步，鄧先生已經為產品申請擁

有 14 年的發明專利。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.11，以一水管向高處的水塔取水，水塔液面 100 m，水管直徑 10 cm，長

度 160 m，管材為一般鐵管(ε=0. 5mm)。從入水口到水塔共有 10 個標準型的 90

度彎管(k=0.3)。請計算水流量。

若在水管中裝置一具渦輪發電機，利用管中的水泵來發電，請計算產生最大功

率時的水流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.3). 併聯管路

(3.3.1). 併聯迴路


(3.3.2). Hazen-Williams formula

2

2 1.852 1.85211.852 4.8704

2

1 12 2

4

L L Q k LP f u f Q K Qd d C dd

Material Hazen-Williams Coefficient - c - Asbestos Cement 140

Brass 130 - 140 Brick sewer 90 - 100

Cast-Iron - new unlined (CIP) 130 Cast-Iron 10 years old 107 - 113 Cast-Iron 20 years old 89 - 100 Cast-Iron 30 years old 75 - 90 Cast-Iron 40 years old 64-83

Cast-Iron, asphalt coated 100 Cast-Iron, cement lined 140

Cast-Iron, bituminous lined 140 Cast-Iron, wrought plain 100

Concrete 100 - 140 Copper or Brass 130 - 140 Corrugated Metal 60

Ductile Iron Pipe (DIP) 140 Fiber 140

Fiber Glass Pipe - FRP 150 Galvanized iron(鍍鋅鐵管) 120

Glass 130 Lead 130 - 140

Metal Pipes - Very to extremely smooth 130 - 140 Plastic 130 - 150

Polyethylene, PE, PEH 150 PVC, CPVC 150

Smooth Pipes 140 Steel new unlined 140 - 150

Steel Steel, welded and seamless 100

Steel, interior riveted, no projecting rivets 100 Steel, projecting girth rivets 100 Steel, vitrified, spiral-riveted 90 - 100

Steel, corrugated 60 Tin 130

Vitrified Clays 110 Wooden or Masonry Pipe - Smooth 120

Wood Stave 110 - 120


11.852 4.8704

k LKC d

Q 的單位 1k

CFS (ft3/sec) 4.727

MGD (million gals/day) 10.63

CMS (m3/sec) 10.466

1.852fh KQ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一隻鍍鋅鐵管，水管直徑為 0.1 m，長度 1000 m，流速 1 m/sec，請計算

壓力降。(以 friction factor 計算)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一隻鍍鋅鐵管，水管直徑為 0.1 m，長度 1000 m，流速 1 m/sec，請計算

壓力降。(以 Hazen-Williams formula 計算)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，以一隻鍍鋅鐵管從高處的水塔取水，水塔液面 300 m，水管直徑為 0.1 m，

長度 1000 m，請計算流量。(以 friction factor 計算)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，以一隻鍍鋅鐵管從高處的水塔取水，水塔液面 300 m，水管直徑為 0.1 m，

長度 1000 m，請計算流量。(以 Hazen-Williams formula 計算)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.12，以一隻鍍鋅鐵管從高處的水塔取水，水塔液面 500 m，水管直徑為

0.15 m，長度 1000 m，請計算流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.3.3). Newton Raphson 法

解方程式 ( ) 0f x

其解為 0x ，即 0( ) 0f x

若 0x x x 為猜值，且 x 很小，表示猜值與正確解差距不大。

利用 Taylor 展開式 2

20 0 2

1( ) ( ) ( ) ( )2

df d ff x f x x f x x xdx dx

因 0( ) 0f x ，且2( ) 0x

( ) dff x xdx

( ) / dfx f xdx

0( )/

f xx x x xdf dx

( )/new old

f xx xdf dx

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算 3 215 6 17 0x x x 之解。


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，以一鍍鋅鐵管從高處的水塔取水，水塔液面 100 m，水管直徑 10 cm，長度

200 m，從出水口到水塔共有 10 個標準型的 90 度彎管(k=0.3)。請計算水流量。

1.852 2 1.852 21 1 ( )2 2i i

QP gh K Q K u K Q KA

1.852 222in Kgh KQ Q

A

1.852 22 02in Kf KQ Q gh

A

0.85221.852idf KKQ n Q

dQ A

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.13，以一鍍鋅鐵管向高處的水塔注水，水塔液面 100 m，水管直徑 10 cm，

長度 200 m，從出水口到水塔共有 10 個標準型的 90 度彎管(k=0.3)。已知水泵功

率為 25 kW，請計算水流量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


供水系統

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一個區域的自來水供水系統，已知共有 6 個大用戶，各用戶的需求量與

距離如下。若供水場的位置在第 3 用戶與第 4 用戶中間，請計算供水場的功率。

Q1 Q4

Q6

L1 L2 L3 L4 L5

Q2

Q3 Q5

Q1= 1.5 m3/s，Q2= 0.5 m3/s，Q3=2 m3/s，Q4= 1 m3/s，Q5= 1.5 m3/s，Q6= 0.5 m3/s

L1= 5000 m，L2= 8000 m，L3= 10000 m，L4=7000 m，L5= 6000 m

d =0.5m

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

作業 3.14，若供水場的位置改在第 2 用戶與第 3 用戶中間，請計算供水場的功

率。

Q1 Q4

Q6

L1 L2 L3 L4 L5

Q2

Q3 Q5


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一個區域的自來水供水系統，已知共有 6 個大用戶，各用戶的需求量與

距離如下。若有兩個供水場，A 供水場的位置在第 2 用戶與第 3 用戶中間，B

供水場的位置在第 3 用戶與第 4 用戶中間，請計算 A 供水場與 B 供水場的供水

量各是多少，可以使供水場的功率最小。

Q1 Q4

QA QB Q6

L1 L2 L3 L4 L5

Q2

Q3 Q5

1 2 3A AQ Q Q Q

4 5 6 3B BQ Q Q Q Q

3 3 3A BQ Q Q 1.852 1.852

1 1 2 1 2( )A AP K Q K Q Q 1.852 1.852 1.852

5 6 4 5 6 3 4 5 6( ) ( )B BP K Q K Q Q K Q Q Q 1.852 1.852

2 3 3 3A B A B A BP K Q P K Q

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


解聯立方程式 ( , ) 0f x y ， ( , ) 0g x y

其解為 0 0( , )x y ，即 0 0( , ) 0f x y ， 0 0( , ) 0g x y

若 0x x x ， 0y y y 為猜值，且 x ， y 很小，表示猜值與正確解差距不

大。

利用 Taylor 展開式

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f ff x y f x x y y f x y x yx y

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )g gg x y g x x y y g x y x yx y

因 0 0( , ) 0f x y ， 0 0( , ) 0g x y ，且2( ) 0x ， 2( ) 0y

( , ) f ff x y x yx y

( , ) g gg x y x yx y

fff xyxg g g y

x y

，

1ffx fyxy g g g

x y

1

new old

ffx x fyxy y g g g

x y

----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，請計算 3 2 10 0x xy

2 1 0x y 之解。(2,3) ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，請計算 3 23 2 4 0x xy yz

2 22 3 4 0x xy x z 2 35 7 0xy xyz z 之解。(2,3,1)


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 作業 3.15，請計算 3 23 2 21 0x xy yz

2 22 3 3 0x xy x z 2 35 32 0xy xyz z 之解。(1,4,2)

----------------------------------------------------------------------------------------------------- 二階反矩陣的計算方法

1 1 00 1

A A

11 1221 22

a aA

a a

， 1 22 1221 11

1 a aAa a

11 1211 22 21 12

21 22

a aa a a a

a a

三階反矩陣的計算方法

11 0 00 1 00 0 1

A A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

， 11 12 13

121 22 23

31 32 33

1b b b

A b b bb b b

22 2311

32 33

a ab

a a ， 21 2312

31 33

a ab

a a ， 21 2213

31 32

a ab

a a

12 1321

32 33

a ab

a a ， 11 1322

31 33

a ab

a a ， 11 1223

31 32

a ab

a a

12 1331

22 23

a ab

a a ， 11 1332

21 23

a ab

a a ， 11 1233

21 22

a ab

a a


(3.3.4). 併聯迴路計算原則

兩段管路之交點為節點，設定每一個節點(junction)。

兩個節點之間的管路為一段(section)管路，設定每一段管路，計算該段管路的 K

值。

設定每一段管路的流量。

每一個節點的流量總和為零。

由數段管路所構成的封閉管路稱為迴路，設定每一圈迴路。

每一圈迴路的壓力降總和為零。

以流量為未知數，建構流量的聯立方程式。

以 Newton Raphson 法解聯立方程式。

1 a b cQ Q Q Q

2 a b cQ Q Q Q

0a bP P

0b cP P

解法一：已知 1Q ，計算 P

解法二：已知 P ，計算 1Q


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，已知管路為新的鑄鐵管，各段管路的長度及管徑如下表所示。若入口流量

為 0.1m3/sec，請計算 A 與 B 的出口流量。

A

1

D 2 4

C 5

3

B 1.852

fh KQ

11.852 4.8704 1.852 4.8704

10.466130

k L LKC d d

L (m) D (cm) K

1 2200 15 28836.9

2 600 30 268.9

3 1700 20 588.7

4 500 20 1614.3

5 1000 20 3228.7

共有五個未知數： 1Q ， 2Q ， 3Q ， 4Q ， 5Q

共有五個方程式：

1 2 3 0.1Q Q Q

2 4 5Q Q Q 1.852 1.852 1.852

1 1 2 2 4 4K Q K Q K Q 1.852 1.852 1.852

3 3 2 2 5 5K Q K Q K Q 1.852 1.852

1 1 3 3K Q K Q


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，已知管路為新的鑄鐵管，各段管路的長度及管徑如下表所示。若入口端接

一個水泵，水泵的揚程與流量關係為 20 15h Q (m2/s2)，請計算 A 與 B 的出口流量。

A

1

D 2 4

C 5

3

B

共有 6 個未知數： 1Q ， 2Q ， 3Q ， 4Q ， 5Q ，Q

共有 6 個方程式：

1 2 3Q Q Q Q

2 4 5Q Q Q 1.852 1.852 1.852

1 1 2 2 4 4K Q K Q K Q 1.852 1.852 1.852

3 3 2 2 5 5K Q K Q K Q 1.852 1.852

1 1 3 3K Q K Q 1.852

1 1 20 15K Q Q


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，已知入口流量為 0.1m3/sec，出口 A 與出口 B 的流量分別為 0.03m3/sec 與0.07m3/sec，請計算各段管內的流量，以及出口的閥門設定。

A

1

D 2 4

C 5

3

B

共有 5 個未知數： 1Q ， 2Q ， 3Q ， 4Q ， 5Q


1 2 3 0.1Q Q Q

1 4 0.03Q Q 此四個方程式只有三個是獨立的

3 5 0.07Q Q

2 4 5Q Q Q 1.852 1.852 1.852

1 1 2 2 4 4K Q K Q K Q 1.852 1.852 1.852

3 3 2 2 5 5K Q K Q K Q


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，除了入口端接一個水泵外，還有一個熱交換器，安裝在第 2 段管路上。其流阻與流量關係為 21000h Q (m2/s2)，請計算流量。

A

1

D 2 4

C 5

3

B

共有 6 個未知數： 1Q ， 2Q ， 3Q ， 4Q ， 5Q ，Q


1 2 3Q Q Q Q

2 4 5Q Q Q 1.852 1.852 2 1.852

1 1 2 2 2 4 41000K Q K Q Q K Q 1.852 1.852 2 1.852

3 3 2 2 2 5 51000K Q K Q Q K Q 1.852 1.852

1 1 3 3K Q K Q 1.852

1 1 20 15K Q Q


----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，除了入口端接一個水泵以及第 2 段管路上安裝一個熱交換器外，在第 3 段管路上安裝一個閥，其流阻與流量關係為 2300h Q (m2/s2)，請計算流量。

A

1

D 2 4

C 5

3

B

共有 6 個未知數： 1Q ， 2Q ， 3Q ， 4Q ， 5Q ，Q


1 2 3Q Q Q Q

2 4 5Q Q Q 1.852 1.852 2 1.852

1 1 2 2 2 4 41000K Q K Q Q K Q 1.852 2 1.852 2 1.852

3 3 3 2 2 2 5 5300 1000K Q Q K Q Q K Q 1.852 2

3 3 3300 20 15K Q Q Q 1.852

1 1 20 15K Q Q


供水系統

----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，有一個供水系統，管路為新的鑄鐵管，已知 QA =10 L/sec，QB =40 L/sec，請計算 QC 與 QD。

QA

1

QB 4

3 5 6 QD

2

QC

11.852 4.8704

k LKC d

各段管子的管徑與長度如下表：

L (m) D (cm) K

1 200 10 21906

2 200 10 21906

3 170 7.5 56696

4 100 8.5 24171

5 100 8.5 24171

6 170 7.5 56696

1 4AQ Q Q

2 3BQ Q Q


3 4 5 6Q Q Q Q 1.852 1.852 1.852

3 3 5 5 2 2K Q K Q K Q 1.852 1.852 1.852

4 4 6 6 1 1K Q K Q K Q 1.852 1.852

5 5 6 6K Q K Q 1

1.8526

5 6 65

1.3318KQ Q QK

4 10.01Q Q

3 20.04Q Q

3 4 1 2 5 6 60.05 2.3318Q Q Q Q Q Q Q

1 26

0.052.3318

Q QQ

1 25 1 21.3318 0.050.052.3318 1.7509

Q QQ Q Q

1.8521.852 1.852 1.852 1.852 1.8521 2

3 3 5 5 2 2 3 2 5 2 20.05(0.04 )

1.7509Q Qf K Q K Q K Q K Q K K Q

1.852

1.852 1.852 1.852 1.852 1.8521 24 4 6 6 1 1 4 1 6 1 1

0.05(0.01 )2.3318

Q Qg K Q K Q K Q K Q K K Q

1.8521.852 1.8522 1 2 256696(0.04 ) 8566 0.05 21906f Q Q Q Q 1.8521.852 1.8521 1 2 124171(0.01 ) 11819 0.05 21906g Q Q Q Q

0.8521 21

15864 0.05f Q QQ

0.8520.852 0.8522 1 2 22

105001(0.04 ) 15963 0.05 40570f Q Q Q QQ

0.8520.852 0.8521 1 2 11

44765(0.01 ) 21889 0.05 40570g Q Q Q QQ


0.8521 22

21889 0.05g Q QQ

----------------------------------------------------------------------------------------------------- 作業 3.17，有一個供水系統，已知 QC =30 L/sec，QD =20 L/sec，請計算 QA 與QB。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一水泵之流量特性為 h = 134.4 – 2013.5 Q – 297976 Q2，其中 h 為水頭，

單位 m，Q 為流量，單位 m3/s。水泵接一塑膠水管，前段直徑 4 cm，管長 150 m，

該段水管共有四個 90 度的彎頭，後段直徑 3cm，管長 20 m，該段水管共有三個

90 度的彎頭，而在兩段水管之間，有一個突縮管，若該水管的 Hazen-Williams

Coefficient 為 140，請計算水泵之流量。 2

1.852 2 1.8521 12 2

QP K Q Ku K Q KA

前段管： 11 1.852 4.8704k LK

C d = 1569.9/9432.55/(1.554×10-7) = 1070952

1.852P KQ

= 1070952 1.852Q

彎頭： 0.3K ，214

2P QK

A

= 379954 2Q

入口： 0.5K ，21

2P QK

A

= 158314 2Q

突縮管：

2

1

AA

= 0.5625， cC = 0.7，21 1 1

2 c

P QC A

= 428873 2Q

後段管： 11 1.852 4.8704k LK

C d = 209.32/9432.55/(3.828×10-8)= 579709

1.852P KQ

=579709 1.852Q

彎頭： 0.3K ，213

2P QK

A

= 900633 2Q

出口： 1.0K ，21

2P QK

A

= 1000703 2Q


全部：P = 1650661 1.852Q +2868477 2Q

gh = 9.8(134.4 – 2013.5 Q – 297976 Q2)= 1650661 1.852Q +2868477 2Q

( )f Q =1650661 1.852Q +5788642 2Q +19732Q -1317.12=0

dfdQ

= 3057024 0.852Q +11577284Q +19732

猜 Q=0.012， ( )f Q = 210.63， dfdQ

= 229252，

Q=0.01108， ( )f Q = 6.75， dfdQ

= 213963

Q=0.01105， ( )f Q =0.34

水泵之流量為 0.01105 m3/s。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

例，若該水泵先接一塑膠水管，直徑 4 cm，管長 150 m，然後以一個 T 型接頭

分接到兩段平行的塑膠水管，其中一段直徑 4 cm，管長 150 m，另一段直徑 3cm，

管長 20 m，若不考慮次要損失，請計算水泵之流量。

1 2K K = 1070952

3K = 579709

1 2 3Q Q Q 1.852 1.852

2 2 3 3K Q K Q 1

1.8522

2 33

KQ QK

=1.393 3Q

2 3 3 12.393Q Q Q Q

3 10.418Q Q

2 10.582Q Q


gh = 9.8(134.4 – 2013.5 Q – 297976 Q2)= 1.852 1.8521 1 2 2K Q K Q =12836911.852Q

2920165 Q2 +1283691 1.852Q +19732Q-1317.12=0

( )f Q =2920165 2Q +1283691 1.852Q +19732Q -1317.12=0

dfdQ

= 5840330Q +2377396 0.852Q +19732

猜 Q=0.0155， ( )f Q = 261.71， dfdQ

= 178532，

Q=0.01403， ( )f Q = 9.66， dfdQ

= 164390

Q=0.01397， ( )f Q =-0.19

水泵之流量為 0.01397 m3/s。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


(3.3.5). 併聯迴路計算

Solution Methods for Piping Systems in Series and Parallel

1. Series Pipe Line Systems a. Class I: Flow rate (Q) and pipe diameter (D) are known, loss head (hL) is unknown.

i. Write down energy equation, P1/ + z1 + v12/2g + hA – hL – hR = P2/ + z2 + v22/2g ii. Solve for the unknown or required output (e.g. hA, etc.).

iii. Identify all the terms that make up hL, such as pipe losses, hL = f(L/D)v2/2g and minor losses, hL = Kv2/2g.

iv. By using Q, Q = v*/4*D2, and D, solve for the velocity, v and determine the Reynolds number, Re, and the loss coefficient, K.

v. By using the Reynolds number, Re and D/, determine the friction factor, f, by using the Moody Diagram or the appropriate friction factor equation. For minor losses, find fT (if required) by using D/ only.

vi. Determine hL and find the required output (e.g. hA, etc.).

b. Class II: Pipe diameter (D) and pressure drop, P, are known, flow rate, Q, is unknown. i. Write down the energy equation, P1/ + z1 + v12/2g + hA – hL – hR = P2/ + z2 +

v22/2g ii. Separate known variables from unknown variables. Put the known variables on

the left hand side of the equation, and the unknowns on the right side. iii. Identify all the terms that make up hL, such as pipe losses, hL = f(L/D)v2/2g and

minor losses, hL = Kv2/2g. iv. Since flow rate, Q, is unknown, express hL as a function v and f, and solve for v. v. Use D/to estimate an initial guess value for f, and find v.

vi. Use the calculated v to determine the Reynolds number, Re, and determine a new f value.

vii. Find v (velocity) and repeat step vi until the f value converges to a steady value. viii. Determine the flow rate, Q.

c. Class III: Pressure drop, P, and flow rate, Q, are known, D is unknown.

i. Write down the energy equation, P1/ + z1 + v12/2g + hA – hL – hR = P2/ + z2 + v22/2g

ii. Separate known variables from the unknown variables. Put the known variables on the left hand side of the equation, and the unknowns on the right side.

iii. Identify all the terms that make up hL, such as pipe losses, hL = f(L/D)v2/2g and minor losses, hL = Kv2/2g.

iv. Solve for D by using Q = v*/4*D2, and express it in terms of hL and f. v. Make an initial guess value for f (between 0.01 and 0.1, f = 0.02 is usually a good

initial guess), and find D. vi. Determine Re and D/, and compute a new f value.

vii. Find D and repeat step vi until the f value converges to a steady value. viii. Determine D.


2. Parallel Pipe Line Systems a. Two branches, total flow rate, Q, and D are known. Total pressure drop (or total head) and

individual branch flow rates are unknown. i. Identify all the terms that make up hL, such as pipe losses, hL = f(L/D)v2/2g and

minor losses, hL = Kv2/2g for each branch. ii. Since the flow rate for each branch, Qi, is unknown, express hL for each branch as a

function of velocity, v1 or v2 and f1 or f2. iii. Equate the two hL’s and express them in terms of f1 and f2 and v1 or v2. Solve for

one velocity. iv. Make an initial guess value for f1 and f2 (between 0.01 and 0.1), and by using Qtotal =

Q1 + Q2, find v1 and v2, determine Re1 and Re2, D1/1 and D2/2, and find f1 and f2. v. Repeat steps iii and iv until f1 and f2 converge to steady values.

vi. Determine Q1 and Q2, and h1 and h2.

Note: If k values are given for each branch (hL1 = K1v12/2g and hL2 = K2v22/2g), then solve for one of the velocities by equating hL1 = hL2 and using Qtotal = Q1 + Q2. Then determine Q1 and Q2.

b. Two branches, total pressure drop (or total head) is known. Total flow rate and individual

branch flow rates are unknown. i. Identify all the terms that make up hL, such as pipe losses, hL = f(L/D)v2/2g and

minor losses, hL = Kv2/2g for each branch. ii. Since the flow rate for each branch, Qi, is unknown, express v1 and v2 for each

branch as a function of h1 and h2, respectively. iii. Since the pressure drop is known, find h1 and h2.( hL = h1 = h2) iv. Determine v1 and v2 by making initial guesses for f1 and f2 (between 0.01 and 0.1),

and by using Qtotal = Q1 + Q2, if necessary. Once v1 and v2 are computed, determine Re1 and Re2, D1/1 and D2/2, and find f1 and f2.

v. Repeat steps iv until f1 and f2 converge to steady values. vi. Determine Q1, Q2 and QTotal, and h1 and h2.

Note: If k values are given for each branch (hL1 = K1v12/2g and hL2 = K2v22/2g), then find each velocity v1 and v2 and find Qtotal = Q1 + Q2.


(3.4). 管路設計軟體

Piping Systems FluidFlow3 - Design and Simulation Software

HYDROFLO™ 2.0 - Piping System Design Software


(3.5). 水錘現象

(3.5.1). 水鎚現象發生的原因

在管中流動的流體，突然遭受阻礙時，例如閥門突然關閉，流動之速度突

然減低，但流體的動能無法瞬間消散，於是轉換成位能，使流體分子間的距離

縮小，表現出來的現象就是在瞬間產生一急劇的壓力變化。壓力波之大小與速

度變化量，流體及管材性質有關。此壓力變化會使管壁發生振動，就好像用鐵

鎚在敲擊管路一樣，稱為水錘現象。

此壓力波在管路內來回震盪，會因管壁摩擦之主要損失，及彎頭，接管等

之次要損失而漸漸消耗。若壓力過大時，此種波動可能會破壞管路設施及周圍

環境。

現以一蓄水池下游端閥門突然關閉為例，說明如下：

(1). 當閥門關閉瞬間，最靠近閥門處之流體即停止流動，但上游之流體因慣性

作用繼續流動，導致閥門處之流體受到壓縮產生高壓，此一壓力波以聲速向上

游推進，迫使上游流體停止流動，此時管璧因高壓而產生變形。

(2). 當時間 Lta

時，此壓力波到達入口，此時管內所有之流體均具有一額外的

壓力水頭H ，但蓄水池之壓力頭並未改變，此高壓水頭將導致管內之水回流，

此一回流現象開始於入口處，此過程以聲速a向下游推進，而流體以V 之速度回

流。

(3). 當時間 2 Lta

時，此回流之壓力波到達閥門，整管之壓力及管牆均恢復正

常，而流體繼續以V 之速度回流，這會在閥門處造成一低壓 H ，使流體靜止，

此一低壓亦以聲速a向上游推進，也許會使管子變形，若 H 使管內壓力低於飽

和蒸氣壓時會使管內之流體蒸發，發生空蝕，對管路產生不良之影響。

(4). 當時間 3 Lta

時，低壓波到達入口，流體呈靜止，但其壓力較關閉前之壓力


低H ，此一現象再度使蓄水池之水以V 之速度流入管內，使管內壓力回到正常

狀態。

(5)當時間 4 Lta

時，整個管路之情況回到閥門關閉瞬間之情況，即一水鎚現象

以4La

之週期進行上述情況之循環。

(3.5.2). 水鎚現象的理論說明

流體中坡動傳播的速度

c

：壓縮模數 Bulk Modulus，流體可壓縮性的指標。 1

TT

vv P

，等溫壓縮。

1s

s

vv P

，絕熱壓縮。


Bulk Modulus - κ SI Units (Pa, N/m2) x 109

Carbon Tetrachloride 1.32 Ethyl Alcohol 1.06

Gasoline 1.3 Glycerin 4.52 Mercury 2.85

SAE 30 Oil 1.5 Seawater 2.34

Water 2.15

----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，請計算水中的聲速。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

若管路可變形，流體中波動傳播的速度

1

caD

E

其中為管壁厚度，D 為管徑，E為管材的楊氏係數。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，請計算在管徑 2.5 cm，壁厚 1 mm 的鋼管中，水的聲速。E = 2 x 108 kN/m2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 當水閥突然關閉，水流受阻，前面的水流受到後面水流的擠壓，壓力會突然上升。

dP dvv

，vdv dP

212

v vw Pdv P dP P

Q E W

210,2

Q E u

2 21 12 2

v P u

22 2 2 2P u u a uv

P a u


上升的壓力與流速及聲速成正比，若管路可變形，流體中波動傳播的速度變慢，則壓力上升較少，這是因為部分的能量被管壁所吸收。若管路不可變形，

所有的能量都被水所吸收，壓力上升較大。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 例，在以上水管中，流速度為 10 m/sec，若突然關閉水閥，請計算所產生的壓力。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- (3.5.3). 水錘現象的控制方法

(1). 使用較軟的管材，吸收流體動能。

(2). 在管路中裝設氣壓囊，吸收流體動能，可減少水錘壓力，降低損害。

(3). 在管路中裝設溢流井，讓部分水流出。

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第三章 管路系統分析 - 國立中興大學 · 第三章 管路系統分析 Update: 2014/9/20 (3.1). 管流方程式 ... 作業3.4，若該水管前半段管長為150m，後半段管長250m，接請計算壓力降。

第三章管路系統分析 - 國立中興大學 · 第三章管路系統分析 Update: 2014/9/20 (3.1). 管流方程式 ... 作業3.4，若該水管前半段管長為150m，後半段管長250m，接請計算壓力降。