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233
第十章 势散射理论
§10.1 一般描述
1, 散射(碰撞)实验的意义及分类
散射(碰撞)实验是指具有一定动量的入射粒子束流,射
向处于气、液、固体形态的靶粒子上,和靶粒子相互作用(电
-弱作用或强作用)之后,入射粒子、靶粒子或新生出的粒子
由相互作用的局限区域散射飞出。除入射粒子的流强和能量
之外,散射实验主要测量出射粒子的种类、能量、强度角分
布(微分截面)、极化状态、角关联等等。在实验和理论计算
中,可以近似认为入射粒子束流是单色平面波, 而(不一定和
入射粒子同类的)出射粒子束流是(渐近自由的)出射球面波,
入射粒子和靶粒子的相互作用导致入射和出射粒子不同状
态之间的跃迁。各种类型的跃迁可以在设定相互作用之后由
散射理论来计算。理论计算结果可以直接经受实验检验,因
此散射(碰撞)实验在对微观粒子相互作用以及它们内部结构
研究中处于一种特殊的地位,它们是原子物理、核物理的重
要研究手段,是粒子物理几乎唯一的研究手段。
散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类:
弹性散射过程 A B A B
非弹性散射过程 *A B A B ( *A 是 A的激发态)
碰撞反应过程 A B C D (+ ┄)
▲“弹性散射”过程中,不存在粒子种类的改变,而且不发
234
生机械能( A、B粒子总动能和相互作用势能之和)和粒子
内能之间的转化。因此,机械能守恒,可以认定粒子不存在
内部结构自由度;
▲“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比
如,电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发(或退
激发);
▲“碰撞反应”。这类反应又按参与碰撞的组分粒子的数目
是否守恒而区分为“重组反应”和“碰撞反应”过程。
“重组反应”:碰撞造成复合粒子的重新组合,参与反
应的粒子守恒。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭,只是入
射复合粒子 A、B内部组分粒子在碰撞下的分解或重组,呈
现出C 、D不同于 A、B的现象。比如,入射粒子使靶粒子电
离或分解,或是各种原子核反应。它们属于一般的形式散射
理论处理范围。
“碰撞反应”:这时过程中出现新旧粒子产生和湮灭,
参与反应的粒子数不再守恒。一般更是C 、D不同于 A、B的
现象。比如正负电子偶碰撞相互湮灭成为两个光子,自由飞
行中子衰变成质子和电子。它们属于量子场论处理范围。
<原子物理典型例子>
*
e H
e H e H
e e p
<核物理典型例子>
235
12
12 12
3 9
p C
p C n N
p He Be
<粒子物理典型例子>
0
0 0
p
p K
p
散射(碰撞)相互作用可以分为两大类:可以用局域的空
间变数的函数——势函数描述的情况,这时的散射称为势散
射;不能用局域的空间变数的函数的情况。这些属于形式散
射理论和量子场散射理论。有时也把除了弹性散射以外的全
部散射(碰撞或反应)过程统称为非弹性散射过程。
本章只研究弹性的势函数散射的过程,但其中有些概念
对非弹性势散射(乃至碰撞反应过程)也适用。
2, 基本描述方法 —— 微分散射截面
设入射粒子束的流密度为 0j ,其量纲为 2 1( ) 厘米 秒 ,在
散射区域和靶粒子相互作用之后,朝 ( , ) 方向散射出去。设
( , )J 单位时间内沿 ( , ) 方向单位立体角散射出去的粒子
数目,量纲为 1秒 。于是,定义沿 ( , ) 方向散射的微分散射
截面 ( , ) ( , )d d 为
0
( , )( , )
J dd
j
(10.1)
按定义, ( , ) 的量纲为 2厘米 。但如果设定入射粒子束用
平面波ikze 描述(如同下面所做的那样),则 0
kj v
。显然,
236
这时分母 0j 的量纲不正确,那是由于入射波函数量纲不正
确。但不要紧,只要在计算分子 ( , )J 时也使用这个入射波
函数, ( , ) 作为比值,量纲就自动是 2厘米 ,是正确的。
总散射截面为
4 4 40
1( , ) ( , )d d J d
j (10.2)
等于流强为每秒每平方厘米有一个入射粒子,并且该平方
厘米面积内只有一个靶粒子,经碰撞后散射粒子的份额。
3, 入射波、散射波和散射振幅
下面计算中假定对此两体问题取了质心系,并分离掉质
心系平动运动。于是势散射是入射粒子以折合质量 在静止
势场 ( )V r中散射, r
是靶粒子到入射(散射)粒子的矢径。
通常,入射粒子束流不可能绝对的单色,入射粒子波函
数应当以某种形式的波包来描述。但这种描述本身难以确切
和统一化 (事实上,不同的粒子加速装置所产生的同一种类
粒子束流,非单色情况会稍有差别),从而给散射实验的理论
处理带来复杂性、不确定性。因此,下面总是将入射波理想
化成为(沿 z 轴前进的)平面波i k ze 。 进一步理论分析表明,
只要入射束流足够单色(束流的动量波函数 ( )p足够好地集
中在平均值附近),则这种平面波近似将不会带来影响,就是
说,此时散射结果与 ( )p 的具体形状无关 1。
1 参见 J.R. Taylor,Scattering Theory:The Quantum Theory on Non-relativistic Collisions,John Wiley &
Sons,Inc.,1972。张永德,《高等量子力学(下册)》,科学出版社,2010 年, p.431。
237
在远离散射中心处( r ),散射粒子状态(散射波)
是一个渐近形式为 ( , )i k re
fr
的出射球面波(这个波的位相
是 kr Et ,盯住波形上任意选定点,即认定某一位相值,
发现随 t 增加保持此位相值的 r 增大,表明向外传播)。这里
, 为出射粒子的方位角, 为相对于入射粒子飞行方向的
偏转角又称散射角, r 为散射中心到探测点的距离, k为散
射波的波数,由于是从固定力心上的弹性散射,k也就是入
射波的波数。其中, ( , )f 描述出射粒子朝向不同方向散射
的概率振幅,称为“散射振幅”。
下面计算渐近形式为 ( , )ikre
fr
的散射波平均流密度:
, , , ,2
ikr ikr ikr ikre e e ej f f f f
i r r r r
利用球坐标1 1
, ,sinr r r
计算比较方便,简单计算
即得
2
2 3 3
, 1 1, r
fkj e e O e O
r r r
散
由此可知,当 r 时散射球面波的流密度矢量为 2
2
( , )r
fkj e
r
散
将此流密度矢量乘以球面元 2dS r d
,即得沿 ( , ) 方向在
d立体角元内的散射流
238
2
, ( , )k
J d j dS f d
散
注意这时入射流密度 0
kj
,从而微分截面就等于
2
0
( , ) ( , )j dS
d f dj
散
就是说,
2( , ) ( , )f (10.3)
说明:在平面波i k r i k ze e
入射下,正能量的入射粒子经散
射后,散射球面波的渐近表达式如表示为 ( , )i k re
fr
形式,
则其中散射振幅 ( , )f 的模平方即为所求的微分截面。
于是散射问题计算可以明确地表述为:求解势函数为
( )V r的定态Schrodinger 方程的渐近形式如下的正能量解,
( , , ) ( , )ikr
r ikz er e f
r (10. 4)
得到散射振幅 ( , )f 后,按(10.3)式即得微分截面。
下面两节用不同方法(“分波法”和“Green 函数法”)
求这个正能量定态解的渐近表达式(10. 4)式,主要是第二项
——散射球面波的渐近表达式。
对(10.4)式应注意两点,其一,右边并未归一,也无
法归一,只要求其中第一项——入射波是i k ze 的形式,则整
个解的第二项——散射球面波项前面的系数自然就是散射
振幅;其二, 0 时,右边两项之间不存在干涉。这是因
为探测器通常放置在kr 处,kr 非常大。对于 0 ,两项
239
间的交叉项(干涉项)(1 cos )i k z i k r i k re e e ,指数上因
子 1 coskr 随 变化快速振荡。但探测器总有一个很小的张
角 ,只要探测器不放置在 0 处,此交叉项在 内的总和
将因指数上的快速振荡而被抹去。就是说,探测器只要不位
于 0 附近,将检测不到入射波i k ze 以及它与出射波的干
涉。这正是仅用散射波(而不计入i k ze 项)计算出射流密度
的实验根据。
§10.2 分波法 —— 分波与相移
1, 分波法的基本公式
当势场为中心场 ( ) ( )V r V r 时, 2L 、 zL 守恒。散射过程可
以用下面简单直观的理论描述。
这时散射具有绕 z 轴旋转对称性。就是说,散射分布与
角无关。于是散射问题归结为:
求解定态Schrodinger 方程具有如下渐近形式的正能解:
2 2
2
2 2
10 : ( , ) ( ) ( , ) ( , )
2
( ) ( )ikr
r ikz
LE r r V r r E r
m r r r r
er e f
r
为此,事先设定解的形式为( la 是待定系数)
0
, cosl l kll
r a P R r
(10. 5)
能够如此设定的理由是:这时 ,l m都是好量子数。如果将入射
平面波分解为不同 l分波的叠加,各 l分波将各自独立散射,
可以分开处理;而且,问题具有绕入射轴旋转对称性,与角
240
无关,可以取定 0m 。这样一来,本应球谐函数展开就简化
成按 Legendre 多项式展开: ( , ) (cos )lm lY P 。下面的任
务就是确定 klR r 形式和系数 la 数值。
为此首先回忆起,平面波 ikze 可以展开为
cos
0
(2 1) ( ) (cos )ikz ikr ll l
l
e e l i j kr P
0
1(2 1) sin (cos )
2kr l
ll
ll i kr P
kr
1
0
(2 1)( 1) (cos )
2l ikr ikr
ll
le e P
ikr
其次,将展开式(10.5)式代入定态 Schrodinger 方程。不
同 l分波彼此分离,相应方程分别等于零。得
2 2
2 2 2
1 ( 1) 2( ) 0kl
kl
dRd l lr k V r R
r dr dr r
(10.6a)
这里 2
2
2 Ek
。作变换 ( ) ( )kl klr rR r ,得
2
2
2 2 2
( 1) 2( ) 0kl
kl
d l lk V r
dr r
(10.6b)
下面研究此方程的渐近行为:当kr 时,函数 kl 趋于满足,
22
20
d yk y
dr
其解为 ( ) sin( )y r kr , 待定常数。于是 ( )kl r 渐近表达式
( ) 2sin2
kr
kl l
lr kr
这里按上面平面波ikze 展开可知,已令 kl 正弦函数前面振幅
为 2,同时从待定位相 中分离出2
l ,剩下部分当作新的待
241
定常数 l 。显然, l 是中心势 V r 使第 l个散射分波产生的相
移。现在可以顺利地从整个解中分离出平面波项。注意有
( 2 )12 1( ) sin ( ) ( 1)
2l lkr i i krl l ikr
kl l
lR r kr i e e e
r ir
将它代入(10.5)式,得
( 2 )1
0
( )( , ) ( 1) (cos )
l
l
ilkr i krl ikr
l ll
i er a e e P
ir
1
0
2
0
( )( 1) (cos )
( )1 (cos )
l
l
l
ill ikr ikr
l ll
ili ikr
l ll
i ea e e P
ir
i ea e e P
ir
将此渐近式第一项和平面波展开式比较,即得系数 la 表达式
2 1
2lil
l
la i e
k
将它们代入 ( , )r 渐近表达式,就得到最后结果,
0
2 1( , ) ( 1) (cos )
2
ikrkr ikz
l ll
e lr e S P
r ki
(10.7)
这里 exp 2l lS i 。最终,分波法的散射振幅表达式为
0
1( ) (2 1)( 1) (cos )
2l l
l
f l S Pki
(10.8a)
公式表明,中心场散射振幅计算归结为对各个 l分波相移 l
计算。这组相移 l 完全确定了散射。如果某个 l 分波相移为
n ,该分波的散射振幅为零。
由 f 的模平方可得微分截面 σ θ, ,再进一步对 θ,
积分可得总截面,
242
2
2 2
200
12 2 1 1 cos sin
4li
t ll
f d l e P dk
由于 Legendre 多项式 coslP 有如下正交归一关系
0
2cos cos sin
2 1l l l lP P d
l
于是得到
2
20
42 1 sint l
l
lk
(10.8b)
这里, t 展开式中的每一项代表该 l 分波的分波截面。因此,
中心场的分波法计算中,微分截面和总截面的计算(10.8a,
b)式都归结为各个 l 分波相移 l 的计算。
2, 分波法的一些讨论
i, maxl 的估值。实际计算中对 l求和不可能也不必要
算到无穷多项。下面按物理分析给出 maxl 的一个估值。
一般说, l 值越大的分波所对应的角动量越大,离心倾
向也越大,瞄准距离b也越大,受中心力场的影响就愈小,
因此对应的相移 l 也越小。当 l 增加到相应的 0l 时,就不
必再考虑此分波(及更大 l 值分波)了。于是 maxl 值可如下估算。
设a为势场范围尺度,由于最大瞄准距离b a ,故得
max maxmvb mva l ka l ka
说明:入射粒子能量越大(波数越大)或者力程越长,需要
考虑的分波数就越多。反之,低能入射粒子在短程势上的散
射,所要考虑的分波数就很少。事实上,当 1ka 时,只需
要考虑 0l 的 s 分波即可。这时由于 0 (cos ) 1P ,表明质心系
243
中低能散射角分布是各向同性的。
ii, 相移 l 是如下两种渐近径向波函数的位相差:
有 ( )V r 的 ( )klR r 渐近式 ━ 无 ( )V r 的 ( )lj kr 渐近式
如上所说,当 0l 或n 时,该分波不发生散射,仿佛从势场
中自由透过。一般情况,根据实验测得的 ( ) 曲线,用最小
二乘法拟合可以确定一组参数 l 。这组 l 是研究入射粒子
与靶粒子之间相互作用的重要资料;根据所得的 l ,可以
近似复原散射势的形状。为复原 ( )V r ,原则上只需要知道一
个相移 ( )l k 的函数形状(比如 s波相移 0 ( )k )就可以了1。
iii, 中心势 ( )V r 正负号与 l 正负号的关系。 由于出射球
面波位相2 l
lkr
, 0l 使达到某个固定 值所需要的 r
值较小;而 0l 则使达到某个 值所需要的 r 值变大。因此,
0, , 0
0, , 0
V l
V l
吸引力 出射波相位被拉向散射中心
排斥力 出射波相位被推离散射中心
注意,与微分截面不同,分波散射截面和总截面只依赖于 l 的
数值,并不依赖于 l 的符号。
※3, 光学定理
利用这里分波法基本公式,可以证明散射理论中一个普
遍规律:总截面 t (包括非弹性散射和吸收截面在内)和弹性
散射的朝前散射振幅虚部 Im (0)elf 成正比,即
1 如果有分立的(负)能级 nE ,还需要知道分立态波函数渐近式 nl n nR a exp r 的 na
244
4Im (0)t elf
k
(10.9)
证明:由上面 ( )f 公式,令其中 0 ,得
2 2
0 0
1 1( 0) (2 1)( 1) (1) (2 1)( 1)
2 2l li i
el ll l
f l e P l eki ki
于是
2 2
0
1 1Im (0) ( (0) (0)) (2 1)( 2)
2 4l li i
el el ell
f f f l e ei k
2
0
1(2 1)sin
4l tl
kl
k
实际上,不论导致散射的相互作用是否能够用势函数描述,
也不论入射粒子静质量是否为零,以及入射粒子能量高低,
这一关系式都成立。
物理解释是:总截面是入射波减弱的一种度量( t 越大,
入射波的减弱越大),而这种减弱是由于入射波和(同方向的)
朝前散射波相消干涉的结果。于是,朝前散射波的波幅越大,
这种相消干涉也越大(它从入射波中移去一部分入射流,以说
明吸收反应、非弹性散射以及其余的弹性散射),减弱也越多,
总截面也就越大。
§10.3 散射分道概念
1, 散射分道概念
电子在氢原子上的散射,既可以弹性散射,也可以激发
和电离。散射结果是多样的。对于有内部结构的粒子碰撞更
(2
2 n
n
E
)。详见朗道,栗弗席茨,《量子力学(下)》 ,高教社,1981 年,p.252。
245
是常有之事。即便是电子,由于有自旋,也会出现散射结果
有多样性。每一种散射结果称作散射的一个“分道”。
如果散射中相互作用势和自旋无关,散射中入射粒子和
靶粒子的自旋态分别保持不变。这就是前面考虑的情况。但
如果相互作用势中含有自旋相互作用,则散射前后,不守恒
的自旋量子数将发生变化,导致入射粒子和靶粒子自旋状态
在散射前后发生改变。散射分道既可以用两个散射粒子自旋
态的耦合表象基矢来标记,也可以用它们无耦合表象的基矢
来标记,视方便而定。若自旋初态为基矢 iχ ,称为第 i入射
分道;自旋末态为基矢 fχ ,称为第 f 出射分道; i fχ χ 散
射称为 i f 散射分道。一般说,两个散射粒子系统自旋初
态或末态并不止一个,所以有自旋散射将有多个散射分道。
原则上每个分道散射振幅(微分截面)各不相同,要分别计算。
2, 渐近正能量解的表达式
这时散射问题明确表述为:对入射平面波 ii k ze ,求解
势函数 1 2( , , )V r s s 定态 Schrodinger 方程如下渐近形式正能量解,
1 2, , ,i k r
r i k zi ff i
er s s e f
r
(10. 10)
这里,已设定出射自旋态为 f ,即, i f 自旋态散射。
(10.10)式右边渐近形式中,第一项为入射态,其自旋初态 i ,
第二项为渐近形式下的球面波出射态,其自旋末态为 f 。
注意,通常 i 和 f 受实验按排和测量意图决定,不一定就
是自旋耦合(或无耦合)表象的基矢。为理论上不失普遍性,
246
这里考虑的自旋初末态是任意的,于是散射也就不一定是某
个分道的散射。一旦求得散射振幅 ,f i
f ,即得极化微分
截面
2
, ,f i f i
f (10.11)
和无自旋情况类似,因为入射平面波和(渐近形式下的)出
射球面波之间的干涉项当 r 时因快速振荡而被抹去,可
将 ( , ) f if 写为
1 2( , ) | ( , , ) |i k rf i f k rf r s s re
(10.12)
下面求此正能量定态解的渐近表达式,主要是第二项——散
射球面波的渐近表达式。即求 1 2, ,r s s
的渐近形式。
§10.4, Green 函数方法与 Born 近似
1, Green 函数方法与势散射基本积分方程
求解散射入态体系总能量为E( 0 )的定态Schrodinger 方
程解,该解 r 时具有所要求的渐近形式:
2
1 2 1 2 1 2
1 2
, , , , , ,2
, , ,i k r
r i k zi ff i
V r s s r s s E r s s
er s s e f
r
(10.13)
解:记 1 2 1 22
2( , , ) ( , , )U r s s V r s s
, 2
2 Ek
。将(10.13)式改写为
2
1 2 1 2 1 2, , , , , ,k r s s U r s s r s s
(10.14)
引入与此方程相对应的“Green 函数 ( )kG r r 方程”,
2kk G r r r r (10.15)
求得 kG 将有助于求解 。因为乘(10.15)以 1 21 2 ,( , , ) ( , )s sU r s s r
247
对 r积分,得
1 2 1 21 2 1 22 ( , , ) ,, ,( ) ( , ) ( , ) ( , )k r s s s ss s sk G r r U r s dr U r r
将此方程与(10. 14)式比较即知,积分 GU dr 与 只相
差一个齐次方程 1 2
2( ) ( , , ) 0k r s s
通解 1 2( , , )r s s
。于是得到
1 21 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )kr s s r s s G r r U r s s r s s dr
(10.16)
方程(10.16)的物理意义很清楚:在 r点附近dr
范围内发生势
散射,形成了强度为 1 2 1 2, , , ,U r s s r s s dr
的散射点源,这个
点源按出射 Green 函数分布到r点,就是对r
点所求概率幅的
贡献。全部散射点贡献之和,再叠加上入射波波幅,即为r点
的总概率幅。
渐近条件下,右边第一项 即为 ikze ;而第二项内只有
Green 函数 ( )kG r r 含变数 r
,对 的渐近要求将施加到 kG
上。于是,往求kr 下,趋于出射球面波 1 ikrer
的 ( )kG r r 。
为此,将 kG 方程 (10.15)式两边同乘以无奇点正规算符
2 1( )k i ( 0 ),得
3( )
2 30
1( ) lim
(2 )i k r r
k
d kG r r e
k i
( ) 3
2 2 30lim
(2 )
i k r re d kk k i
(10.17)
由下面推导知 i前应取正号,才能满足边条件1 ikrer
(kr ),
得到出射 Green 函数(若取 i ,将给出入射 Green 函数。当
kr 时它趋于渐近入射球面波1 ikrer
)。现在计算这个积分,
248
( )
3 2 20
1( ) lim
(2 )
ik r r
k
eG r r dk
k k i
2
cos3 2 20 0 4
1lim sin
(2 )r rikk dk
e d dk k i
2 2 20 0
1 1lim
(2 )
r r r rik ik
r r
e ek dk
i k k i
2 2 20
1lim
4
ik r r
r r
k edk
i k k i
现在可以将积分变数k延拓到复平面,利用留数定理计算这
个积分。在k为复数的平面上,被积函数有两个一阶极点 A
和 B,分别位于
2 2k k i ( )2Ak k i
、 ( )2Bk k i
小量 0 的数值并不重要,因为积分完成后要令它趋于零。
添加上半平面半圆形回路,构成闭路积分。按 Jordan 引理,
此半圆形上积分随半径趋于无穷趋于零。由留数定理得到
2 0
1( ) lim(2 )
24
Aik r r
Ak
A
k eG r r i
ki r r
1
4
ik r rer r
(10. 18)
显然,此表达式满足kr 时趋于ikre r 的渐近条件。显然,
按 i k r t
e
考察,若要结果表示出射球面波,应取 0 。
最后得到势散射理论中处于中心位置的积分方程,
1 2 1 2 1 2
1( , , ) ( , , ) ( , , )
4
i k r ri k z
i
er s s e U r s s r s s dr
r r
(10.19)
方程(10.19)是基本方程(10.16)在传播形式上的具体体现。右
边第二项已经满足所设定的kr 的边条件,并且它代表出
射球面波。方程(10.19)是一个积分方程,正是以后迭代法近
249
似求解的出发点。
2, 一阶 Born 近似
当 1 2( , , )V r s s 很弱或相当局域(V 显著不为零的区域小),或
者入射粒子能量足够大这三种情况下,上面积分方程的第二
项在数值上将显著小于第一项,即
1 2 1 2
1( , , ) ( , , )
4
i k r ri k z
i
ee U r s s r s s dr
r r
(对任意 r
值)
(10.20)
于是,求解积分方程(10.19)时可作“一阶 Born 近似”:
积分号下 1 2( , , )r s s
代以它的零阶近似 iik ze ;
由于 r r
,Green 函数分母 r r
取零阶近似(令为r);
Green 函数分子ik r r
e
位相应当取高一阶的一级近似,
2 222 (1 ) r
r rr r r r r r r r e r
r
相应地,为表示简洁引入两个波矢记号:
入射波波矢 0 zk ke , 散射波波矢 rk ke
现在是固定势场的弹性散射,两个波矢 0 ,k k
数值相同,仅方
向不同。注意 0zkz r k rke
,于是有
0 0,kik r r ikz ikr ik r i r ikr iq r q k k
。
q是入射粒子动量改变,又称传递动量。注意q
模值只依赖
于 (和k ),但出射k依赖于 ,q
方向依赖于 。由图可得
2 sin2
q k
250
在一阶 Born 近似——简称 Born 近似下, ( )r渐近表达式为
1 2 1 22( , , ) ( , , )
2
i k ri k z i q r
i i
er s s e e V r s s dr
r
(10.21)
用 f 左乘(10.19)或(10.21)式,以选定出射分道。再参
考散射振幅表达式(10.12)式即知:在 Born 近似下,选定
出射自旋态为 f 后,散射振幅表达式为
1 22( , ) | , , |
2i q r
f i f if e V r s s dr
(10.22)
此式和通常无自旋散射振幅表达式的差别仅仅在于:被积函
数中相互作用势 1 2( , , )V r s s 换成它在自旋初末态的矩阵元。于
是,一阶 Born 近似下,散射振幅 ( , ) fif 正比于势V 的自旋
初末态矩阵元 1 2| , , |f iV r s s
中对应于传递动量 q的
Fourier 分量。若 i 和 f 是耦合(无耦合)表象的两个基
矢,相应 ,fi
f 就是某个分道的散射振幅。
公式表明: i, 散射中,大动量传递(大q 值)的散射截面
较小。因为积分号内指数因子(当变数 r变化时)振荡加剧
导致积分数值减小;ii, 对高能( k较大)入射粒子,若要 ( , )
不为零,要求 较小,如此才能避免被积函数的快速振荡,
换句话说,高能散射多集中于朝前方向。
若 V 的空间函数为中心场, 1 2 1 2( , , ) ( , , )V r s s V r s s ,则(10.
22)式积分与 无关,对 , 积分可以先行算出,得到中心
场散射振幅公式
251
1 22 0, ,
2 sin2
2( ) sinf i f ir s s qr
q k
f r V drq
(10.23a)
于是,
1 20
2 2
4 2 ( , , ) sin4
( ) f i f ir V r s s qr drq
(10.23b)
这里入射粒子动量k和散射角 通过q的数值进入 表达式。
3, 无自旋例算
i, Coulomb 散射
这时 ( )A
V rr
,是中心场情况,于是用(10.23a)式,得
2 20 0
2 2( ) sin( ) sin( )
A Af r qr dr qr dr
q r q
(10.26)
这个积分在 r 处呈现不确定性,这种不确定性在有关
Coulomb 场的许多积分中都存在。可用下面常用的技巧绕过
去:在被积函数前面人为插入一个衰减因子 exp r ( 0 ),
待完成积分计算后,再令 0 取极限,以消除此衰减因子
的影响。这样就得到
2 00
2( ) lim exp sin( )
Af r qr dr
q
2 2 2 2 20
2 2lim
A q A
q q q
22
2 4 4
( ) ( )4 sin
2
Af
v
(10.27)
这正是著名的 Rutherford 散射公式,1909 年 Rutherford 研
252
究 -粒子在金属薄箔上散射时提出。此式表明:其一,小角
散射的截面大,其二,截面反比于入射粒子能量平方。其三,
小动量传递(低能入射和小角散射)极限下公式不成立。
ii, 电子在原子上的散射——屏蔽效应
电子和多电子原子散射时,入射电子除了受原子核库仑
吸力作用之外,还受核外各个电子云的库仑斥力作用。严格
说,这是一个多体相互作用问题。但如果将核外各个电子的
作用近似(!)代以分布电荷 ( )e r的作用,就可以将这个问
题化为两体散射问题,并进而简化为电子在固定力心散射的
单体问题。这时散射势由核及核外电子云的 Coulomb 作用组
成,表达式为
22 ( )
( )Ze r
V r e drr r r
(10.28)
2( ) ( )nlmr r
是电子云密度分布。代入非中心场的散射振
幅(10.22)式,
22
2
( )( , )
2iq r Ze r
f e e dr drr r r
2
2 2 2
4 4( )
2iq re Z
r e drq q
这里利用了下面两个积分公式:
2
4iq r dre
r q
和 2
4iq r iq rdre e
r r q
求这些积分也要用到上例 Coulomb 场积分技巧。注意第二个
积分是对第一个积分作了空间平移变换。所以只算第一个,
253
2
0 0 0
0 0
20 0
exp cos sin
12 exp cos
2 2 4exp exp 2 sin
iq r dre r dr i q r d d
r
r dr d i q ri q r
dr i q r i q r dr i q ri q i q q
令
( , ) ( ) iq rF r e dr
(10.29)
称为 Born 近似下的“弹性散射形状因子”。由于q方向固定,
而 r 可能各向异性,散射形状因子F 一般依赖于方位角
, 。最后得
2 2
2 2 2 2
2 2( , ) ( , ) eff
e ef Z F Z
q q
2 4 2
4 44
1( , )
4 sin2
effe Z
k
(10.30)
对此例稍作讨论:i, 如果只考虑原子核不考虑核外电子云的
散射,则 0 ,转化为上例库仑散射;ii, 由积分估值可知
( , ) ( )F r dr Z
;iii, 若采用 Yukawa 型函数 ( )r
ac
r er
代替核外电子分布,相应的屏蔽效应计算也很容易进行。
※4, Born 近似适用条件分析 1
如前面所说,若要 Born 近似成立,充要条件是基本积
分方程(10.13)右边第二项数值上要远小于第一项(对任意 r
值)。只有这样,对第二项才可以做上述 Born 近似。若要这
1 张永德,大学物理,1988 年,第 6 期,第 11 页。
254
个积分项数值小,需要下面三个条件中至少一个成立
i. ,
ii. .
iii. .
V
V
若 很弱
若 不很弱但其展布的空域很局域
入射粒子能量很高
(10.24)
当然,联合作用会使近似更好。这些结论是由于:
积分项的主要贡献来自 1 2( , , )V r s s
的不接近为零的基本
区域,如果这个区域相当小(和入射粒子波长 1k 相比较),
也即势 1 2( , , )V r s s
相当局域,这项积分的数值自然就小;
其次,若 1 2( , , )V r s s
本身很弱,这项积分也不会大;
再就是,若入射粒子能量很大,k 就很大,被积函数中
的相因子 exp ik r r
将随积分变数 r变化快速振荡,这使
积分值急剧减少。
对积分进行估值可得如下“两个 Born 近似适用条件”
表达式1,
2
2;
vV V
a a
(10.25)
这里a是势场(不显著为零的)区域的尺度,v为入射粒子
速度。第一个不等式是说弱势。它只涉及势场本身,不涉及
入射粒子的能量。势能在数值上应显著小于(将粒子局域在
a范围时按不确定关系所得的)动能;第二个不等式是说高
能。只要入射粒子能量足够高,不论势场形状如何 Born 近
似总能成立。于是,一个散射势,如果低能时可以对它做 Born
1Л.Д. 朗道,E.M. 栗弗席茨,量子力学(非相对论理论),高等教育出版社,1981 年。
255
近似,则高能时一定更可以;反之不一定。
但是,对于长程势的 Coulomb 势,显然难以给出一个确
定的a值。这时可将第二个不等式右边a代以 r (同时左边的
V 中也有同一个 r ),于是得A v
r r
,也即
1A
v
如果 2A Ze ,则要求137
Z v
c (
2 1
137
e
c
为精细结构常数)。当 Z 不
大并且入射粒子速度不小的情况下,Born 近似对 Coulomb
场也是成立的。
§10.5 ,全同粒子散射
1, 全同性原理在散射问题上的应用
设有两个自旋为 1s 、 2s 粒子,组成总自旋为S 系统,耦合
基矢为 1 2SMs s 。若将 1s 、 2s 交换,按角动量耦合理论可得
1 22 1 1 2( 1)s s SSMs s SMs s (10.31)
可以令 1 2
1
2s s ,即用两个电子的特殊情况直接检算这个公
式。这时
单重态: 1 2 1 21, 0 1s s S s s S ,自旋波函数反称;
三重态: 1 2 1 21, 1 0s s S s s S ,自旋波函数对称。
下面考察两个全同粒子系统的波函数:
首先,全同粒子的总自旋波函数。这时 1 2s s ,上式成为
2 1 1 2
2 1 1 2
( 1)
( 1)
S
S
Boson
Fermion
SMs s SMs s
SMs s SMs s
全同
全同 (10.32)
256
对 Fermion 已用了总S 为整数的事实。说明:两个全同粒子系
统的总自旋波函数是交换对称还是反对称,完全由总自旋 S 的
奇偶性决定。再考虑到:其一,全同 Boson(Fermion)系统总波
函数必须对称(反对称),其二,两个全同粒子系统空间波函数
交换对称性由相对轨道运动的量子数 l 决定。因为两个全同粒
子交换(1 2 )时即为空间波函数反演, 1 2( )r r r r
,有
1l
lm lmY r r Y r r
最后结论:不论两个全同 Boson 或是两个全同 Fermion,
也不论它俩处于散射态或是束缚态(后者如氦核外电子):
两个全同 Boson 系统,总自旋S =奇数,总自旋波函数必
为反对称,于是总空间波函数必为反对称;S =偶数,总自旋
波函数必为对称,于是总空间波函数也必为对称。
两个全同 Fermion 系统,总自旋S =奇数,总自旋波函数必
为对称,于是总空间波函数必为反对称;S =偶数,总自旋波
函数必为反对称,于是总空间波函数必为对称。
换句话说,单就空间波函数而言,有
当两个全同粒子系统的总自旋S =奇数时,系统空间波函
数必为反对称(轨道角动量量子数 l 奇数);当两个全同粒
子系统总自旋S =偶数时,系统空间波函数必为对称(轨道角
动量量子数 l 偶数)。
两个全同粒子交换时 ( ), , ( , , )r r 。于是,对
称化(反称化)空间波函数的渐近形式为
257
1
( , , ) ( , ) ( , )ikz ikz ikrr e e e f fr
(10.33)
注意,这里波函数(10.33)式中 f 不是平均而是求和(无
论是对称求和或是反称求和)。首先,第二项的表示是配合
第一项(两个指数求和而非平均)的。再说,从实验角度看,
两个全同粒子散射时,质心系中测到的沿 角散射粒子,实
验仪器对下图自左入射和自右入射两种过程无法区分,已经
将这两种过程的振幅一并计入相干(!)叠加了。再三,若
不考虑交叉干涉,现在这种做法也符合两种同时进行的经典
散射的图像。
因此有(脚标 s和a 分别表示对称和反对称。为了便于
和全同粒子情况比较,也同时测量两个可分辩粒子,结果是
两个概率之和):
两全同粒子,S=偶数,2
( , ) ( , ) ( , ) ,s f f
两全同粒子,S=奇数,2
( , ) ( , ) ( , ) ,a f f
两个可分辩粒子,2 2
( , ) ( , ) ( , ) ,f f
(10.34)
全同粒子散射公式(10.34)表明:存在可正可负的交叉
项,即干涉项,体现了源自全同性原理交换作用的干涉效应。
这从理论上否定了 Dirac 所说的:“不同来源的光子不能相互
干涉”。
2, 例算
i, 两个全同 Boson 散射。
258
这包括 散射、 0 0 散射、16 16O O 核散射等自旋
为零粒子散射以及其他自旋为整数粒子的散射(如自旋 1 的
、 散射等)。这时,散射微分截面中应当使用
空间对称波函数还是反对称波函数,要看总自旋S是偶数还
是奇数决定。例如,对 和 16 16O O 散射而言,总自旋
0S ,因此这两个散射所使用的微分截面均为
2( ) ( ) ( )s f f
2 2( ) ( ) 2Re ( ) ( )f f f f
最后一项是干涉项,它是基于全同性原理显现出的粒子的波
动性,是纯量子效应。
再举个例子,设两个自旋为 1 的全同粒子散射,求非极
化散射微分截面。这时,总自旋 0,1, 2,S 有 1+3+5 共 9 个自
旋耦合基,其中 1S 的耦合基有 3 个,它们的空间波函数(按
前面所说)均为反对称的,其余 6 个耦合基对应总自旋为 0
或 2,空间波函数均为对称的。假如散射过程是非极化的,
即入射粒子与靶粒子均未极化,它们自旋取向都是无规的,
则所有自旋耦合基出现概率相等,而且它们之间是非相干叠
加。非极化截面等于相应截面对这些自旋初态所取的平均
值,即
3 6( ) ( ) ( )
9 9a s 非
2 21 2( ) ( ) ( ) ( )
3 3f f f f
259
2 2 2( ) ( ) Re ( ) ( )
3f f f f
这里和下面情况类似,第三项实部的交叉干涉项可正可负,
体现了源自全同性原理交换作用所带来的干涉效应。
ii, 两个全同 Fermion 散射
这包括e e 散射、e e 散射、 p p 散射、n n 散
射等。这时,对应自旋单态的微分截面必须使用对称空间波
函数;而对应自旋三重态的微分截面必须使用反对称空间波
函数。由此可知,非极化散射情况,对自旋初态平均时,对
称空间波函数的截面的统计权重为 1
4,反对称空间波函数的
截面的统计权重为 3
4。即,非极化散射截面为
1 3( ) ( ) ( )
4 4s a 非
2 21 3( ) ( ) ( ) ( )
4 4f f f f
2 2( ) ( ) Re ( ) ( )f f f f
上面分析是在耦合表象中进行的。其实分析也可以在无
耦合表象中进行。简记无耦合基为 1 2m m 。于是自旋初态有
四个: 1 1,
2 2, 1 1
,2 2
, 1 1,
2 2 , 1 1
,2 2
,所以每个态的统计
权重都是 1
4。区分 4 种情况讨论:
入射粒子和靶的自旋初态为 1 1,
2 2(
1 1
0 0
粒 靶
)时,由于
现在的势散射 2 , zS S 守恒,出射自旋态仍如此。但由于两个全
同 Fermion 的自旋一直相同,无法区分在 角处测得的是入
260
射前的哪一个粒子,这导致干涉现象。由于现在自旋态是对
称的,所以空间波函数应为反对称的。于是此种情况为
2( ) ( ) ( )f f ;
自旋初态为 1 1,
2 2 (
0 0
1 1
粒 靶
)时,情况和上面类似,
结果也为2
( ) ( ) ( )f f ;
自旋初态为 1 1,
2 2 (
1 0
0 1
粒 靶
)时,这时自旋第三分量取
向不同,入射粒子与靶粒子已可区分。此时在 角处的测得
的微分截面总计(对应于入射粒子和靶粒子计数总和)为
2 2( ) ( ) ( )f f ;
最后,自旋初态为 1 1,
2 2 (
0 1
1 0
粒 靶
)时,和第三种情
况类同,也为2 2
( ) ( ) ( )f f 。
总计以上四种入射情况,各以 1
4权重相加,即得非极化
截面,
2 2 21( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )
4f f f f
非
2 2( ) ( ) Re ( ) ( )f f f f
结果和耦合表象分析所得一致。
§10.6, 有关自旋散射计算
1, 分道之间的干涉问题
分道之间干涉可区分为:i, 入射分道间的干涉, ii, 出
射分道间的干涉。
261
若(10.22)式中自旋初、末态 i 、 f 是耦合基的任
意叠加态,需用耦合基或无耦合基将它们展开。为确定起见,
下面设用耦合基 l 展开,
;i f
i l l f m mc c
于是,散射振幅将相干分解成为
( ) ( )( , ) ( , )i ff i l m m l
l m
f c c f (10.35a)
其中 ( , )m lf 为 ( )l m 散射分道的散射振幅。微分截面为
2
( ) ( )( , ) ( , )i ff i l m m l
l m
c c f (10.35b)
一般说,入射分道之间和出射分道之间会出现干涉。相应散
射截面 ( , ) f i 不能表示为各散射分道截面 ( , )m l 按入
(出)射态展开系数模平方非相干叠加。这里区分两种情况:
其一,“极化散射”情况。极化粒子入射到极化靶。如果
初态为相干叠加的纯态 i i
i l ll
c ,散射总截面在各成
分 ilc 间相互干涉——入射分道干涉。但与此同时,正交出
射分道间非相干求和。即,按散射出态为各个耦合表象基矢
f ,计算全部出射分道截面,总截面为“非相干”的概
率相加(原因见下):
2
( )( , ) ( , ) ( , )ifi l fl
f f l
c f (10.36)
其二,“非极化散射”情况。非极化粒子入射到非极化
262
靶。初态是一些纯态的非相干混合——混态 ,i
l lp ( lp >0
是此混态系综中 il 态出现的概率。 1l
l
p )。这时,不存
在初态各成分间的干涉,出射道 f 的微分截面为
( , ) ( , )f i l f ll
p (10.37)
于是,总截面计算结果表现为对初态各成分态的平均,简称
等于对“初态平均”。但是,总截面对“末态求和”(正交基
坍缩非相干相加),仍为各出射道 f 微分截面之和,
( , ) ( , ) ( , )i fi l flf f l
p (10.38)
为什么总截面是末态各正交出射分道截面的和?这是由于,
伴随测量的波包坍缩总是导致相干性的破坏,所以测量总是
非相干的“选择”(Feynman 说的“alternative”))。对散射结
果作正交测量造成各种可能的正交塌缩,不同的正交塌缩之
间不存在干涉。但要注意,这里讲的“不同正交塌缩之间必
定不存在干涉”,不能将其扩大理解为“不同散射结果之间
必定不存在干涉”!不同类型的测量迫使散射末态有不同样
的塌缩。若测量一些彼此非正交的末态,就会显示出射分道
之间有“关联或干涉”。所以,出射分道之间是否存在关联
或干涉会依赖于如何进行测量、测量何种末态。但通常情况
下,对自旋末态测量常常是针对自旋末态的正交基(耦合基
或无耦合基)进行的。这时将不存在各出射分道之间的干涉。
263
这使得总截面就等于各出射分道截面之和。这种结果通常简
称为“对末态求和”。
总而言之:
非极化散射总截面=“对初态平均”+“对末态求和”
举个简单的极化情况的例子。设两个可分辨 1
2自旋粒子,
分别为1
0
和
/2
/2
cos2
sin2
i
i
e
e
。从自旋耦合(和无耦合)
表象来看,初态 i 是个叠加态:
/2
/2 /2
/2
cos1 1 1 1 12 cos , sin ,
2 2 2 2 2 20sin
2
i
i ii
i
e
e e
e
- / 2 /21cos 1,1 sin 1,0 0,0
2 22
i ie e
这里已经作了从无耦合基向耦合基的转换(当然也可以不做
这种转换,视末态如何、计算要求如何而定)。假如自旋末
态是一般态 f (就是说不想进一步关心它的展开),相应
的微分截面即为
2
/2 /2 /2
( ,11) ( ,10) ( ,00)
1 1( , ) cos ( , ) sin ( , ) sin ( , )
2 2 22 2
i i i
fi f f fe f e f e f
这正像上面所说的:当相互作用与自旋有关时,如初态是自
旋叠加态,则 f iσ 计算中将出现入射分道之间的干涉。一般
说,这时结果不等于各分道截面按 i 展开系数模平方为权
重的非相干叠加。
264
2, 自旋权重系数问题
i, 1
2自旋权重
这里先用一个非极化简单例子来说明,一般情况之后再
说。两个 1
2自旋“可分辨”粒子,散射势为 1 2V = αs s r
,
求非极化截面。
注意 2 2
1 2
1 3
2 2s s S
, 1 2S s s
是总自旋。由V 的形式知,
散射中 ,2zS S
守恒。就是说,散射前后耦合基保持不变。于是
0 1 22exp | |
2 f if if i k k r s s r dr
1 22| |
2 f is s
一般而言,耦合表象的散射分道总数目有4 4 16 个,但对这
种相互作用势实际上只有 4 个散射分道的分道散射截面,
222 22
0 2 22
31 30 :
2 2 82( )S
222 22
1 2 22
1 11 :
2 2 82( )S
由于是非极化散射,可以设自旋初态中 4 个耦合基出现的概
率相等。非极化截面为权重平均值,
2 2
0 1 28
1 3 3( ) ( ) ( )
4 4
非
因散射态和入射态为同一耦合基,不存在“末态求和”问题。
[思考题] 若此问题是无耦合基入射,两个粒子自旋可以
265
同时翻转吗?(答: 看入射无耦合基的自旋是否平行,平行
不可以同时翻转,反平行可以)。
如果入射的是耦合基1 1 1 1 1
0, 02 2 2 22
,测量末
态为1 1
,2 2
,结果如何?(答:可以)。
ii,现在研究两个自旋 s全同粒子非极化散射的自旋权重
系数。为简单起见,假设散射相互作用与自旋无关。于是散
射中自旋态不变,而且各个散射道的分道截面相等。按前面
所说,计算截面时应对自旋初态取平均,往算初态权重系数。
这时系统总自旋可能取值将由反平行取向为零,逐个增加 1,
一直到平行取向为2s。所以系统自旋耦合基总数为
2
2
0
12 1 2 0 2 1 2 1
22 2 1
x s
x
x s s s s
其中
当 s 半整数:, : (2 1)
, : ( 1)(2 1)
S even Number of state s s
S odd Number of state s s
当 s 整数: , : 1 (2 1)
, : (2 1)
S even Number of state s s
S odd Number of state s s
上面叙述过,当总自旋 s为偶数时,空间波函数是对称的;s
为奇数时,空间波函数是反对称的。于是得到如下结果:
,
, ,
1( , ) ( , ) ( , )
2 1 2 11
( , ) ( , ) ( , )2 1 2 1
s a
s a
s Fermion
s Boson
s s
s ss s
s s
非
非
半,
整
3, 含自旋计算举例
266
例 1,研究两个1 2自旋可分辨粒子(例如质子和中子)的
各种极化与非极化散射。假定散射振幅算符 f̂ 的两个本征方
程可写为
00 1 00f̂ f , 1 3 1ˆ
M Mf f
这里 00 为自旋单态, 1M 为自旋三重态, 1f 和 3f 分别为
它们的散射振幅(一般为θ、的复值函数)。 往求:a) f̂ 表
达式;b) 散射前质子处于1
0p
态,中子为0
1n
态,散射后n、
p 自旋反向概率是多少;c) 若初态
/ 2
/2
cos1 2
0sin
2
i
iip
n
e
e
,
求散射总截面表达式。
解:a) 由题设 f̂ 的两个本征方程表明: f̂ 保持初末态总自旋
和第三分量不变 (也即, f̂ 在耦合表象中为对角的),由此可
一般性地假设 1 2ˆ
p nf
, 1 、 2 为两个(依赖于θ、)
待定系数。利用质子—中子自旋交换算符 exchP
11
2exch p nP
:1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2
1, 1, , 0, 0 0, 0 ;
exch exch
exch s s exch
P P
P M M P
将 f̂ 用 exchangeP 表示出来
1 2 2ˆ 2 exchf P
因此可得
00 1 2 00 1 00
1 1 2 1 3 1
ˆ ( 3 )
ˆ ( )M M M
f f
f f
267
由联立方程 1 2 13 f 和 1 2 3f 可得 1 和 2 ,从而求得
f̂ 表达式为
1 3 3 11 3 3 1
3 1 1ˆ4 4 2 2
p n exch
f f f ff f f f f P
b) 根据给定初态1 0 1 1
,2 20 1
i
p n
,按题意散射发
生反转要求,可知自旋末态为0 1 1 1
,2 21 0
f
p n
。于是
3 1
1 1 1 1 1ˆ ˆ, ,2 2 2 2 2
f if f f f
相应微分截面为2
3 1
1
4f f 反向 。由于 f̂ 不改变量子数 sm(现
在此守恒量子数为零),出射自旋态只能是全反转1 1
,2 2
和
全不反转1 1
,2 2
两种1。这两种散射过程的散射振幅分别为
1 3 3 1 3 1
1 1 1 1 1 1 1, ,
2 2 2 2 2 2 2exchf f f f f P f f
反向
1 3 3 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1, ,
2 2 2 2 2 2 2exchf f f f f P f f
不反向
于是,散射时发生自旋反转的概率 p 为
2
3 1
2 2
1 32
f fp
f f
反向
反向 不反向
此比值的分子表现出两粒子在自旋反转过程中散射分道之
间存在干涉。当然,也可以选用耦合表象计算,注意 f̂ 性质,
结果当然相同。
268
c) 将此处自旋初态用耦合基矢展开,得
/2
/2 /2
/2
cos1 1 1 1 12 cos , sin ,
2 2 2 2 2 20sin
2
i
i i
iip
n
e
e e
e
/2 /21cos 1,1 sin 1,0 0,0
2 22
i ie e
于是,各个出射分道的散射振幅分别为
/ 21 3 3 1 3
1 1ˆ1,1 1,1 ( ) ( ) cos2 2 2
ii exch if f f f f P f e
/2
3
1ˆ1,0 sin22
i
if f e ,
/2
1
1ˆ0, 0 sin22
i
if f e , ˆ1, 1 0if
按照微分总截面应当是对全体可能的末态结果求和,有
2 2 2
ˆ ˆ ˆ( , ) 1,1 1, 0 0, 0i i if f f
2 2 22 2 2
3 3 1
1 1cos sin sin
2 2 2 2 2f f f
2 2 23 1
1 1cos sin sin
2 2 2 2 2
3 1 3 1
1 1(3 ) ( ) cos
4 4
例 2,上例中,若初态为
/2
/2
cos12
0sin
2
i
ii
e
e
靶
粒
的两个
1
2自旋全同粒子,求散射的非极化截面。
1 注意,题设 f̂ 虽然使总自旋2S 守恒,但所给入射、出射态均不是
2S 本征态。用无耦合基计算为宜。
269
下面计算中,可以将问题提得更一般化一些:若两个 1
2自
旋的全同粒子,各自处于自旋平均值为 1s
和 2s
的自旋初
态上,求(非极化的)散射总截面。
解:由于空间各向同性,两个矢量 1s
和 2s
也只是它们彼
此相对取向有意义。于是可设对应给定值 1 2s s
的自旋初态
为 i ,即有
1 2 1 2i is s s s
再一般性地假定:散射势为 1 2 1 2 1 2( , , ) ( ) ( )V r s s A r A r s s
形式,
1A r和 2A r
是某两个待定空间函数。鉴于有下面等式
2 2
1 2 1 21 2
1 13 2
4 4s s
,
所以此种形式 1 2( , , )V r s s
的各幂次仍保持为此种形式。现在,
总截面等于初态 i 下对全部末态 f 的分道截面求和:
2 2
( , ) ( , ) exp
|
f f
fit
i f f i
f c dr dr iq r i q r
V V
2
1 2 1 2exp ( ) ( , , ) ( , , )i ic dr dr iq r r V r s s V r s s
这里用了完备性条件 1f ff
。矩阵元内V 的二次幂乘积
算符仍可归纳为 1 2 1 2( , ) ( , )B r r B r r s s
形式,于是 ( , )t
对初态极化矢量的一般依赖关系为
1 2 1 2( , ) i ita b s s a b s s
注意系数a、b与自旋初态无关,可以选两种极端情况的初
270
态来确定它们:
第一,靶和入射粒子均为非极化的情况: 1 2 0s s
,
得 1
, , 3 ,4 s at
a ;
第二,靶和入射粒子均沿同一方向极化: 1 2
1
4s s
,
这时系统的总自旋必为1,空间波函数反对称,得
1
, ,4at
a b 。
解出a、b即得
1 21
, , 3 , , ,4 s a a st
s s
这就是本例所求结果。
若初态为本例设所特殊态 i ,可进一步算出 1 2s s
,
1 1
sin cos , sin sin ,cos 0,0,1 cos4 4
s s 粒 靶 粒 靶
相应的非极化散射总截面等于在上例 c)中作全同粒子替换,
3 1;a s
于是,本例结果正是上例化为全同粒子散射的结果。