第一章

晶体的结构及其对称性

绪论

• 凝聚态物质：液体、固体以及介于其间的软物质（如液晶、凝胶等），

是原子、离子、分子的聚集体。

• 固体：在压强和温度一定，且无外力作用时，形状不变。根据组成粒子

在空间排列的有序度和对称性可分为晶体、准晶体和非晶体。

• 晶体：组成粒子在空间周期性排列，长程有序；无任意的平移和旋转对

称性，对称性破缺。

• 非晶体：组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序；高度

对称性，物理性质各向同性。

• 准晶体：介于晶体与非晶体之间，组成粒子分布完全有序，但不具有周

期性，仅仅具有长程取向序；可具有晶体不允许的旋转对称性。

1.1 晶格及其平移对称性

一、晶体结构及基元

1.晶体结构

• 晶格(Lattice)：晶体中原子的规则排列

• 晶体结构(Crystal Structure)：晶体中原子的具体排列形式

关于常见晶体结构的一些定义：

• 配位数：每个原子周围的最近邻原子数

• 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比

（1）简单立方(sc)晶体结构

配位数：6

原子半径：

原子数：

堆积密度：

2

ar

3

23

4

aV atom

aV sc

3

18

18

6

VV

sc

atomf

Simple cubic lattice

（2）体心立方(bcc)晶体结构

配位数：

原子半径：

原子数：

堆积密度：

具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。

Body centered cubic lattice

（2）体心立方(bcc)晶体结构

配位数：8

原子半径：

原子数：

堆积密度：

具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。

ar4

3

3

4

3

3

4

aV atom

aV bcc

3

218

18

8

32

VV

bcc

atomf

Body centered cubic lattice

（3）密堆晶体结构

面心(fcc)立方晶体结构（…ABCABC…堆积）

密排六方(hcp)晶体结构（…ABABAB…堆积）

• 面心立方(fcc)晶体结构

配位数：

原子半径：

原子数：

堆积密度：

具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等

Face centered cubic lattice

• 面心立方(fcc)晶体结构

配位数：12

原子半径：

原子数：

堆积密度：

具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等

Face centered cubic lattice

ar4

2

3

4

2

3

4

aV atom

aV fcc

3

42

16

8

18

6

24

VV

fcc

atomf

• 六角密堆(hcp)晶体结构

配位数：12

原子半径：

原子数：

堆积密度：

具有此类结构的原子：Be、Mg、Zn、Cd、Ti等

请列出推导过程

Hexagonal close-packed lattice

2

ar

632

12

6

112

3

23

4

aV atom

32 233

626

4

3aaaV hcp

6

26

VV

hcp

atomf

（4）金刚石结构

配位数：4

作业：请求出金刚石结构的堆积密度

上述几种属于同一种原子组成的晶体，即元素晶体。

（5）NaCl结构

将钠离子和氯离子交替排放在

一个简单立方晶格上

配位数：6

例：LiF、KCl、LiI

（6）氯化铯(CsCl)晶体结构

配位数：8

例：TlBr、TlI、NH4Cl

2

1

2

10,

2

10

2

1,0

2

1

2

1,000:Cl

002

1,0

2

10,

2

100,

2

1

2

1

2

1:Na

（7）闪锌矿结构

每种离子位于异类离子构成的正四面体中心

配位数：4

例： ZnS、CuF、CuCl、AgI、ZnSe

（8）钙钛矿（ABO3）结构

立方体结构中，

顶角位置：A，体心位置：B，面心位置：O

例：铁电晶体BaTiO3、LiNbO3、PbZrO3，

高温超导体的稀土铜氧化物等。

上述几种为化合物晶体。

2、简单晶格和复式晶格

(1)、简单晶格（布拉维格子）

• 在这一类晶体结构中，所有原子是完全等价的。作为一个原子到另一个

任意原子的平移，晶格完全复原。例：sc、bcc和fcc结构形成的晶格。

(2)、复式晶格

• 从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子作平移，晶格不能复

原。

• 一个复式晶格可以看作两个或两个以上布拉维格子套构而成。

• 例：金刚石结构，可看成沿体对角线相互错开1/4长度的两个面心立方

布拉维格子套构而成；NaCl晶格由两个面心立方布拉维格子套构而成；

CsCl由两个sc套构而成；ABO3由五个sc套构而成。

3、基元

• 在理想情况下，晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成，

这样的原子团称为基元，而这些点的集合称为晶格。

• 基元可以是一个原子（简单晶格），也可以是一个原子群（复式晶

格）。原子群的原子可以相同，也可以不同。

二、结点和点阵

• 忽略内部分布，用一个几何点代表一个基元，称为结点。

• 晶格被抽象成这些结点的几何结构，称为点阵。点阵完全反映了晶格

的平移对称性。

• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>

三、基矢和元胞

对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量𝒂1、𝒂2、𝒂3

（称为点阵的基矢），使任意一个结点

（𝑙𝑖：取正负整数包括零）

空间密度函数：

那么如果平移

应是 的周期函数。

注意: 对一个给定的点阵，基矢的选择非唯一，但是每种选择必须满足

𝒂1、𝒂2、𝒂3所构成的平行六面体体积相等，其中只包含一个结点。

𝑖=1

3

𝑙𝑖𝒂𝒊𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑=

iR

lRrr

lR

rRr l

r lR

2、元胞

对于一个点阵，通常定义三种元胞：初基元胞、单胞和维格纳-塞茨(Wigner-

Seitz)元胞。

（1）初基元胞

• 最小空间体积元，只包含一个结点

• NΩ=1，N为单位体积结点数目，Ω为初基元胞的体积。

• 初基元胞与基矢的选择有关，基矢非唯一，初基元胞也不唯一。

• 对于每一种点阵，通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式。

321 aaa

简单立方点阵

a为立方胞边长， 为直角坐标系中的单位矢量

初基元胞的体积为

体心立方点阵

iaa

1 jaa

2 kaa

3

kji

,,

k

j

i

A

k

j

i

a

a

a

a

100

010

001

3

2

1

100

010

001

aA

3321 aAaaa

kjia

a

2

1

kjia

a

2

2

kjia

a

2

3

111

111

111

2

aA

2

3

321

aAaaa

面心立方点阵

初基元胞的体积为

• 基矢𝒂1、𝒂2、𝒂3往往不构成正交系

• 初基元胞不能直观反映点阵的宏观对称性，但完全反映点阵的平移对称性

kja

a

2

1

ika

a

2

2

jia

a

2

3

011

101

110

2

aA

4

3

321

aAaaa

（2）单胞

为了能直观地反映点阵的宏观对称性，往往选择一个非初基的元胞，称为单胞。单胞的

三条棱，记为a、b、c，称为晶轴，通常选择c为主要对称轴方向。

• 单胞是一个扩大了的元胞，只能通过点阵平移矢量的一个子集做平移，不能完全反映

点阵的平移对称性。

• 单胞可包含多个结点：

sc点阵→ 1个结点，初基元胞和单胞一致

bcc 点阵→ 2个结点，单胞体积为初基元胞体积的两倍，是非初基的

fcc 点阵 → 4个结点，单胞体积为初基元胞体积的四倍，是非初基的

• 单胞虽然不是初基的，但可以充分反映点阵的宏观对称性，在结晶学中常常采用。

（3）维格纳-塞茨（W-S）元胞

• 既反映点阵平移对称性，又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元。

• W-S元胞点阵的结点处于元胞的中心，一个W-S元胞只包含一个结点，它是

初基的。

• 适用：固体物理学的理论研究。

1.2晶列和晶面

一、晶列及其晶向标志

• 晶列：点阵的结点可以看成分布在一系列相互平行的直线上，称这些直

线为一族晶列。（一族晶列应包含点阵中所有结点。）点阵中应有无穷

多族晶列。

• 晶向：每一族晶列定义了一个方向，称为晶向。

• 从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的最短平移矢量为

那么 𝑙1 𝑙2 𝑙3 就是晶向指数。𝑙1、𝑙2、𝑙3

为互质的整数，可以是正或负整数，负指数用头顶上加一横表示。

• 用 𝑙1 𝑙2 𝑙3 表示点阵中一组对称的晶向。

𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑

• 在sc点阵中，

二、晶面及有理指数定律

• 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上，这些平面

称为一族晶面（包括所有结点）。同一点阵有无限多方向不同的晶面族。

• 如何建立一个平面的方位：

111

,111,111,111,111,111,111,111表示111

的截距该平面在三个坐标轴上

弦该平面的法线的方向余

晶面上任意一点的位矢为 ，从原点算起第𝜇个晶面到原点的距离为𝜇d，

晶面方程为

设该晶面与三个坐标轴交点的截距为𝑟𝜇𝒂𝟏，𝑠𝜇𝒂𝟐，𝑡𝜇𝒂𝟑，取天然长度单位，

则有

可以得到

可见，三个方向余弦和三个截距倒数等价。

• 通常用三个截距的倒数 来标志该晶面。

den

X

X

deacosr n1

deacoss n2

deacost n3

t

1：

s

1：

r

1eacos：eacos：eacos n3n2n1

t

1，

s

1，

r

1

• 证明：𝑟𝜇、𝑠𝜇、𝑡𝜇必为有理数

因为在该族晶面中必有三个或小于三个晶面过𝒂1、𝒂2、𝒂3的端点所对应的结

点，那么对应为第ℎ1、ℎ2、ℎ3个晶面，取天然长度单位，则第𝜇个晶面的截

距为

又𝜇𝑖、ℎ𝑖均为整数，故整数之比为有理数。

• 晶面有理指数定律：晶体中任一晶面，在基矢天然坐标系中的截距为有理

数。它是点阵周期性的必然结果。

• 从原点算起的第一个晶面的截距 的倒数去

标志这一族晶面，记为 ，称为该族晶面的晶面指数。

321 ht，

hs，

hr

3

1

2

1

1

1h

1t，

h

1s，

h

1r

321 h h h

• 证明：ℎ1、ℎ2、ℎ3必为互质的整数

在 中取𝜇=1，

得到第一晶面满足的方程组：

在该晶面上的某结点位矢为 ，𝑙1、𝑙2、𝑙3为整数。则有

消去方向余弦，得

如果ℎ1、ℎ2、ℎ3不互质，有公因子m，m为大于1的整数，可令ℎ1=mℎ1’，

ℎ2=mℎ2’，ℎ3=mℎ3’，ℎ1’、ℎ2’、 ℎ3’为互质整数。代入 得

因括号中整数求和为非零整数，则上式不成立。所以ℎ1、ℎ2、ℎ3必为互质的整数

den

X

deacosh

1

deacosh

1

deacosh

1

n3

3

n2

2

n1

1

𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑

deacosleacosleacosl n33n22n11

1hlhlhl 332211 7.2.1

7.2.1

1）'hl'hl'hl（m 332211

• 一组方位不同的对称晶面用花括号表示为ℎ1ℎ2ℎ3.

• 以下为简单立方点阵中的主要晶面：

三、晶面指数和密勒指数

• 晶面指数：以𝒂1、𝒂2、𝒂3基矢为坐标系决定的指数，记为（ℎ1ℎ2ℎ3）

• 密勒指数：以单胞的三条棱为坐标系决定的指数，记为（h k l）

• 如右图，fcc点阵中同一族晶面（阴影所示）的

晶面指数为（0 1 1），而密勒指数为（1 0 0）