第五章對流熱傳 - Kun Shan Universityeportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/H/T093000093-20110524080722.pdf · 計算當地對流係數 hx 4個方程，4個未知量──可求得速度場(u,v)和溫度

1

1

第五章對流熱傳

Convection Heat Transfer

2

§5-1 對流熱傳概述

1 對流熱傳的定義和性質

對流熱傳是指流體流經固體時流體與固體表面之間的熱量傳遞現象。

● 對流熱傳實例︰1) 暖氣管道; 2) 電子器件冷卻；3)電

風扇

● 對流熱傳與熱傳導不同，既有熱對流，也有導熱；不是基本傳熱模式

3

(1) 導熱與熱對流同時存在的複雜熱傳遞過程

(2) 必須有直接接觸（流體與壁面）和巨視運動；

也必須有溫差

(3) 由於流體的黏性和受壁面摩擦阻力的影響，緊

貼壁面處會形成速度梯度很大的邊界層

2 對流換熱的特點

3 對流換熱的基本計算式

[ ]W )( ∞−= TThAQ w

[ ]2mW )(

∞−=

=

TThAQq

w

牛頓冷卻式:

4

4 表面傳熱系數（對流換熱系數）

── 當流體與壁面溫度相差1度時、每單位壁面面積上、單位時間內所傳遞的熱量

))(( ∞−= TTAQh w [ ]C)(mW 2 o⋅

如何確定h及增強換熱的措施是對流換熱的核心問題

研究對流換熱的方法︰

（1）分析法

（2）實驗法

（3）比擬法

（4）數值法

2

5

5 對流換熱的影響原素

對流換熱是流體的導熱和對流兩種基本傳熱模式共同作用的

結果。其影響原素主要有以下五個方面︰(1)流動起因; (2)流

動狀態; (3)流體有無相變; (4)換熱表面的幾何原素; (5)流體的

熱物理性質

6 對流換熱的分類︰

(1) 流動起因

自然對流︰流體因各部分溫度不同而引起的密度差異所產生的流動

強製對流︰由外力（如︰幫浦、風機、水壓頭）作用所產生

的流動自然强制 hh >6

(2) 流動狀態

層流紊流 hh >

(3) 流體有無相變

單相相變 hh >

層流：整個流場呈一簇互相平行的流線

湍流：流体質點做複雜無規則的運動（紊流）

（Laminar flow）

（Turbulent flow）

單相熱傳：

相變熱傳：凝結、沸騰、昇華、凝固、融化等

（Single phase heat transfer）

（Phase change）（Condensation）（Boiling）

7

(4) 換熱表面的幾何原素︰

內部流動對流換熱︰管內或槽內

外部流動對流換熱︰外掠平板、圓管、管束

內部流動外部流動

強迫對流

自然對流熱面朝上熱面朝下

8

(5) 流體的熱物理性質：

熱傳導係數 ]C)(mW[ o⋅k 密度 ]mkg[ 3ρ比熱 ]C)(kgJ[ o⋅c 動力粘度 ]msN[ 2⋅μ運動粘度 ]sm[ 2ρην = 體膨脹係數 ]K1[ α

pp TTv

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=ρ

ρα 11

强自然對流換熱增↑⇒α

↑↑⇒ hλ)携( 帶更多能量單位體積流體能、 ↑↑⇒ hcρ

)碍( 流流體流動、不利於熱對有↓↑⇒ hμ

)内( 熱阻小部和流體與壁面間導熱流體k

3

9

綜上所述，表面傳熱系數是眾多原素的函數︰

) , , , , , , , , ,( ΩlckTTvfh pfw μαρ=

10

對流換熱分類小結

11

7 對流換熱過程微分方程式

當黏性流體在壁面上流動

時，由於黏性的作用，流

體的流速在靠近壁面處隨

離壁面的距離的縮短而逐

漸降低；在貼壁處被滯

止，處于無滑移狀態

（即︰y=0, u=0）

在這極薄的貼壁流體層中，熱量只能以導熱模式傳遞

根據傅立葉定律︰ [ ]2,

, mW xw

xw yTkq ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

[ ]( ) 度梯度處流體的在坐標—

流體的熱傳導係數

温,0)(C)(mW

, xyTk

xw∂∂− o

12

根據傅力葉定律：

xwxw y

Tkq,

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

根據牛頓冷卻公式︰? [ ]2, mW )( ∞= -TThq wxxw[ ])CmW x 2 o⋅（處局部表面熱對流係數壁面—xh

由傅力葉定律與牛頓冷却公式：

[ ])C(mW 2,

o⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−=

∞ xwwx y

TTTkh

對流換熱過程微分方程式

4

13

溫度梯度或溫度場取決于流體熱物性、流動狀況（層流或紊流）、流速的大小及其分佈、表面粗糙度等　溫度場取決于流場

速度場和温度場由對流換熱微分方程组確定：

質質量守恒方程、量守恒方程、動動量守恒方程、能量守恒方程量守恒方程、能量守恒方程

xwwx y

TTTkh

,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−=

∞

對流換熱微分方程式

hx 取決于流體熱導系數、溫度差和貼壁流體的溫度梯度

14

§5-2 對流換熱問題的數學描述

b) 流體為不可壓縮的牛頓型流體

為便于分析，只限于分析二維對流換熱

即︰服從牛頓黏性定律的流體；而油漆、泥漿等不遵守該定律，稱非牛頓型流體 y

u∂∂

= μτ

c) 所有物性參數（k、cp、μ、ρ）為常量

4個未知量:：速度 u、v；温度 T；壓力 p

連續性方程(1)、動量方程(2)、能量方程(3)需要4個方程:

a) 流體為連續性介質假設︰

15

1 質量守恆方程(連續性方程)

M 為質量流量 [kg/s]

流體的連續流動遵循質量守恆規律

從流場中 (x, y) 處取出邊長為 dx、dy 的微元體

udyM x ρ=單位時間內、沿x軸方向、經x表面流入微元體的質量

dxxMMM xxdxx ∂∂

+=+單位時間內、沿x軸方向、經x+dx表面流出微元體的質量

單位時間內、沿x軸方向流入微元體的淨質量︰

dxdyxudx

xMMM xdxxx ∂

∂−=

∂∂

−=− +)(ρ

16

dxxMM xx ∂∂

+

vdxM y ρ=

xM udyρ=

yy

MM dy

y∂

+∂

5

17

單位時間內、沿 y 軸方向流入微元體的淨質量︰

dxdyyvdy

yM

MM ydyyy ∂∂

−=∂

∂−=− +

)(ρ

dxdytt

dxdy∂∂

=∂

∂ ρρ )(單位時間內微元體內流體質量的變化:

微元體內流體質量守恆︰

流入微元體的淨質量 = 微元體內流體質量的變化

(單位時間內)

dxdyt

dxdyyvdxdy

xu

∂∂

=∂

∂−

∂∂

−ρρρ )()(

18

t∂∂ρ

xu

∂∂

+)(ρ 0)( =

∂∂

+yvρ

二維連續性方程

xu∂∂ 0=

∂∂

+yv

t∂∂ρ

xu

∂∂

+)(ρ

yv

∂∂

+)(ρ

0)( =∂

∂+

zwρ

三維連續性方程

dxdyt

dxdyyvdxdy

xu

∂∂

=∂

∂−

∂∂

−ρρρ )()(

對于二維、穩態流動、密度為常數時︰

19

2 動量守恆方程

牛頓第二運動定律: 作用在微元體上各外力的總和等于控制體中流體動量的變化率

動量微分方程式描述流體速度場

作用力 = 質量　加速度（F=ma）

作用力︰體積力、表面力

體積力: 重力、離心力、電磁力

法向應力　中包括了壓力 p 和法向黏性應力　

壓力 p 和法向黏性應力 τii的區別︰

a) 無論流體流動與否， p 都存在；而 τii只存在于流動時b) 同一點處各方向的 p 都相同；而 τii與表面方向有關

20

動量微分方程 ─ Navier-Stokes方程（N-S方程）

(4) (3) (2) (1)

)()

)()

2

2

2

2

2

2

2

2

yv

xv

ypF

yvv

xvu

tv

yu

xu

xpF

yuv

xuu

tu

y

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

μρ

μρ

（

（

(1)─ 慣性項（ma）；(2) ─ 體積力；(3) ─ 壓強梯度；(4) ─ 粘滯力

對于穩態流動︰ 0 0 =∂∂

=∂∂

tv

tu

；

yyxx gFgF ρρ == ;只有重力場時︰

6

21

3 能量守恆方程微元體（見圖）的能量守恆︰ ──描述流體溫度場

[導入與導出的淨熱量] + [熱對流傳遞的淨熱量] +[內熱源發熱量] = [總能量的增量] + [對外作膨脹功]

　

熱源對流傳導— 内 QQQQ ++

（動能）熱力學內能— K UUE Δ+ΔΔW — 體積力(重力)作的功、表面力作的功

假設︰（1）流體的熱物性均為常量，流體不做功

（2）流體不可壓縮

（4）無化學回應等內熱源

ΔUK=0、μΦ=0Q内熱源=0

（3）一般工程問題流速低

W＝0

22

Q導熱 + Q對流 = ΔU熱力學能

dxdyTkdxdyxTkQ 2

2

2

2

y∂∂

∂∂

= ＋傳導

單位時間內、沿 x 方向熱對流傳遞到微元體的淨熱量︰

dxdyxuTcdx

xQdx

xQQQQQ pxxxxdxxx ∂

∂−=

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−=− +)("""""" ρ

單位時間內、沿 y 方向熱對流傳遞到微元體的淨熱量︰

dydxyvTcdy

yQ

dyyQ

QQQQ pyy

yydyyy ∂∂

−=∂

∂−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+−=− +

)("""""" ρ

23

dxdyyTv

xTuc

dxdyyvT

xuT

yTv

xTuc

dxdyyvTcdxdy

xuTcQ

p

p

pp

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

∂∂

−∂

∂−=

ρ

ρ

ρρ )()(對流

dxdyTkdxdyxTkQ 2

2

2

2

y∂∂

∂∂

= ＋傳導

tT

yTv

xTuT

xT

ck

p ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

2

2

2

2

y＋

ρ

能量守恆方程dttTdxdycU p ∂∂

=Δ ρ

24

對流換熱微分方程組:(常物性、無內熱源、二維、不可壓縮牛頓流體)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yT

xTk

yTv

xTu

tTc pρ

)()

)()

2

2

2

2

2

2

2

2

yv

xv

ypF

yvv

xvu

tv

yu

xu

xpF

yuv

xuu

tu

y

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

μρ

μρ

（

（

xu∂∂ 0=

∂∂

+yv

7

25

xwx y

TTkh

,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ−=

前面4個方程求出溫度場之后，可以利用牛頓冷卻

微分方程︰

計算當地對流係數 xh

4個方程，4個未知量 ── 可求得速度場(u,v)和溫度場(T)以及壓力場(p), 既適用于層流，也適用于紊流（瞬時值）

26

4 表面傳熱系數的確定方法

（1）微分方程式的數學解法

a）精確解法（分析解）︰根據邊界層理論，得到邊界層微分方程組常微分方程求解

b）近似積分法︰假設邊界層內的速度分佈和溫度分佈，解積分方程

c）數值解法︰近年來發展迅速可求解很複雜問題︰三維、紊流、變物性、跨音速

（2）動量傳遞和熱量傳遞的類比法

利用湍流時動量傳遞和熱量傳遞的類似規律，由湍流時

的局部表面摩擦系數推知局部表面傳熱系數

（3）實驗法

用相似理論指導

5 對流換熱過程的單值性條件

單值性條件︰能單值地反映對流換熱過程特點的條件

單值性條件包括四項︰幾何、物理、時間、邊界

完整數學描述︰對流換熱微分方程組 + 單值性條件

(1) 幾何條件

平板、圓管；豎直圓管、水準圓管；長度、直徑等

說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小

(2) 物理條件

如︰物性參數　k、h、c 和 ρ 的數值，是否隨溫度和壓力變化；有無內熱源、大小和分佈

說明對流換熱過程的物理特徵

(3) 時間條件

穩態對流換熱過程不需要時間條件 ─ 與時間無關

說明在時間上對流換熱過程的特點

(4) 邊界條件說明對流換熱過程的邊界特點

邊界條件可分為二類︰第一類、第二類邊界條件

a 第一類邊界條件

已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的溫度值

b 第二類邊界條件

已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的熱流密度值

8

29

§5-3 邊界層概念及邊界層換熱微分方程組邊界層概念︰當黏性流體流過物體表面時，會形成速度梯

度很大的流動邊界層；當壁面與流體間有溫差時，也會產

生溫度梯度很大的溫度邊界層（或稱熱邊界層）

1 流動邊界層（Velocity boundary layer）

1904年，德國科學家普朗特 L.Prandtl

由於黏性作用，流

體流速在靠近壁面

處隨離壁面的距離

的縮短而逐漸降

低；在貼壁處被滯

止，處于無滑移狀

態30

從 y = 0、u = 0 開始，u 隨著

y 方向離壁面距離的增加而

迅速增大；經過濃度為　的

薄層，u 接近主流速度 u　

　薄層 ─ 流動邊界層或速度邊界層

δ ─ 邊界層厚度

定義︰u/u∞　=0.99 處離壁的距離為邊界層濃度

δ小︰空氣外掠平板，u∞=10m/s︰

mm5.2 ;mm8.1 200100 == == mmxmmx δδ邊界層內︰平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大

31

由牛頓黏性定律︰

邊界層外︰ u　在 y 方向不變化，　　

流場可以劃分為兩個區︰邊界層區與主流區

邊界層區︰流體的黏性作用起主導作用，流體的運動可用

黏性流體運動微分方程組描述（N-S方程）

主流區︰速度梯度為0，　=0；可視為無黏性理想流體；

歐拉方程

yu

∂∂

= μτ 速度梯度大，粘滯應力大

粘滯應力為零 ─ 主流區

──邊界層概念的基本思想

32

流體外掠平板時的流動邊界層

臨界距離︰由層流邊界層開

始向湍流邊界層過渡的距

離，xc

平板︰

紊流邊界層：

臨界雷諾數︰Rec

ν

μρ

c

cc

xu

xu

∞

∞

=

==

Re粘性力

慣性力

565 105Re ;103~103Re ×=××= cc 取

黏性底層（層流底層）︰緊靠壁面處，粘滯力會占絕對優勢，使

黏附于壁的一極薄層仍然會保持層流特徵，具有最大的速度梯度

∞= ux

cc

νRe

9

33

流動邊界層的幾個重要特性

(1) 邊界層厚度 δ 與壁的定型尺寸L相比極小，　

(2) 邊界層內存在較大的速度梯度

(3) 邊界層流態分層流與湍流；湍流邊界層緊靠壁面處仍有層流特徵，黏性底層（層流底層）

(4) 流場可以劃分為邊界層區與主流區

邊界層區︰由黏性流體運動微分方程組描述

主流區︰由理想流體運動微分方程─歐拉方程描述

34

邊界層概念也可以用于分析其他情況下的流動和換熱︰如︰流體在管內受迫流動、流體外掠圓管流動、流體

在豎直壁面上的自然對流等

邊界層理論的基本論點

2 熱邊界層（Thermal boundary layer）

當壁面與流體間有溫差時，會產生溫度梯度很大的溫度邊界層（熱邊界層）

35

Tw

∞=−===−==

θθδθ

99.0 ,0 ,0

wt

ww

TTyTTy 溫度T範圍 ─ 熱邊界層

或溫度邊界層

δt ─ 熱邊界層濃度 δ與δt 不一定相等

流動邊界層與熱邊界層的狀況決定了熱量傳遞過程和邊界層內的溫度分佈

36

層流︰溫度呈拋物線分佈

δ 與 δt 的關係︰分別反映流體分子和流體微團的動量和熱量擴散的深度

故︰湍流換熱比層流換熱強﹗

湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層流

湍流︰溫度呈冪函數分佈

Lwtw yT

yT

,,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

)50Pr6.0 ( Pr 31 ≤≤≈ − 层流、δδ t

10

37

邊界層概念的引入可使換熱微分方程組得以簡化

數量級分析︰比較方程中各量或各項的量級的相對大小；保留量級較大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化

3 邊界層換熱微分方程組

5個基本量的數量級︰主流速度： );1(0~∞u

温度： );1(0~t 壁面特徵長度： );1(0~l

邊界層厚度： )(0~ );(0~ δδδδ t

x 与 l 相当，即： );1(0~~ lx )(0~ 0 δδ yy ∴≤≤0(1)、0(δ)表示数量级為1和δ，1>> δ。 “~” — 相当于

例︰二維、穩態、強製對流、層流、忽略重力

38

u沿邊界層濃度由0到u　

由連續性方程︰

)1(0~~ ∞uu

)1(0~~lu

xu

yv ∞

∂∂

=∂∂

−

)(0~ δv∴

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yT

xTk

yTv

xTucpρ

)()

)()

2

2

2

2

2

2

2

2

yv

xv

ypF

yvv

xvu

yu

xu

xpF

yuv

xuu

y

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

μρ

μρ

（

（

xu∂∂ 0=

∂∂

+yv

39

(a) 0=∂∂

+∂∂

yv

xu

(b) )() 22

2

2

yu

xu

xp

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ μρ（

(c) )() 22

2

2

yv

xv

yp

yvv

xvu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ μρ（

δδ

11

）（）（ 221

11 1

11 1 1

δδδ

）（）（ 222

1

1 1 1

δδδδ

δδδδ

2δ1

δ40

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

2

2

)yu

xp

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ μρ（

(d) )() 22

2

2

yT

xTk

yTv

xTucp ∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

（ρ

）（）（ 221

11 1

11 1 1

δδδ 2tδ

2

2

)yTk

yTv

xTuc p ∂

∂=

∂∂

+∂∂

（ρ

11

41

表明︰邊界層內的壓力梯度僅沿 x 方向變化，而邊界層內法向的壓力梯度極小。

邊界層內任一截面壓力與 y 無關而等于主流壓力

)(0~ δyp∂∂

)1(0~xp∂∂

dxdp

xp=

∂∂

∴

dxduudx

dp ∞∞=− ρ 由上式：

2

2

)yu

xp

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ μρ（

)(0~ δyp∂∂

可視為邊界層的又一特性

42

層流邊界層對流換熱微分方程組︰3個方程、3個未知量︰u、v、T，方程封閉如果配上相應的定解條件，則可以求解

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

2

21yu

dxdp

yuv

xuu

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

ρμ

ρ

2

2

yT

yTv

xTu

∂∂

=∂∂

+∂∂ α

dxduu

dxdp ∞

∞=− ρ 00 ==∞ dxdp

dxdu

，則若

}

43

例如︰對于主流場均速、均溫，並給定恆定壁溫的情況下的流體縱掠平板換熱，即邊界條件為

∞∞ =======

TTuuyTTvuy w

,,0,00

δ求解上述方程組(層流邊界層對流換熱微分方程組)，

可得局部表面傳熱系數的表達式

∞u ∞T

xh

31

21

332.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞

axu

xkhx

νν

注意︰層流

31

21

332.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞

axu

kxhx ν

ν⇒

3121 PrRe332.0 ⋅= xxNu⇓ ⇓ ⇓

44

31

21

332.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞

axu

kxhx ν

ν⇒

3121 PrRe332.0 ⋅= xxNu⇓ ⇓ ⇓ 特徵數方程

或

準則方程

式中：kxhNu xx = 紐塞爾(Nusselt)數

νxu

x∞=Re 雷諾(Reynolds)數

αν

=Pr 普朗特數

} 注意：特注意：特徵徵尺尺度度為當為當地坐地坐標標xx

一定要注意上面準則方程的適用條件︰

外掠等溫平板、無內熱源、層流

12

45

δ 與 δt 之間的關係

對于外掠平板的層流流動:

2

2

yT

yTv

xTu

∂∂

=∂∂

+∂∂ α

此時動量方程與能量方程的形式完全一致:

0 , =−∴=∞ dxdpconstu

2

2

yu

yuv

xuu

∂∂

=∂∂

+∂∂ ν动量方程：

表明︰此情況下動量傳遞與熱量傳遞規律相似

特別地︰對于　ν = α 的流體（Pr=1），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr的另一層物理意義︰表示流

動邊界層和溫度邊界層的厚度相同(δ ~ δt )46

§5-4 邊界層積分方程組及比擬理論

1 邊界層積分方程

1921年，馮‧卡門提出了邊界層動量積分方程。

1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。

近似解，簡單容易。

47

用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想:

(1) 建立邊界層積分方程針對包括固體邊界及邊界層外邊

界在內的有限大小的控制容積；

(2) 對邊界層內的速度和溫度分佈作出假設，常用的函數

形式為多項式；

(3) 利用邊界條件確定速度和溫度分佈中的常數，然後將

速度分佈和溫度分佈帶入積分方程，解出和的計

算式；

(4) 根據求得的速度分佈和溫度分佈計算固體邊界上的

δ tδ

Nucyt

yu

fyy

和及 ⇒∂∂

∂∂

== 00

48

(1) 邊界層積分方程的推導

(2) ──以二維、穩態、常物性、無內熱源的對流換熱為例

建立邊界層積分方程有兩種方法︰控制容積法和積分方法，我們採用前者，控制體積見圖所示，X 方向 dx y方向 l >　， z方向去單位長度，在邊界層數量級分析中已經得出

因此，只考慮固體壁面在y方向的導熱。

2

2

2

2

yt

xt

∂

∂

13

49

a 單位時間內穿過ab面進入控制容積的熱量︰

dytuc lpab ∫=Φ 0ρ

b 單位時間內穿過cd面帶出控制容積的熱量︰

dxdytux

c

dxx

lpab

ababcd

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

+Φ=

∂Φ∂

+Φ=Φ

∫0ρ

50

淨熱流量為︰ dxdytudxdc lp ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=ΔΦ ∫0ρ

c 單位時間內穿過bc面進入控制容積的熱量︰

dxvtctpbd δρ ∞−=Φ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

∂∂

−=⇒=∂∂

+∂∂

∫∫ll udy

dxddy

xuv

yv

xu

t 000 δ

dxudydxdtc lpbd ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=Φ ∫∞ 0ρ

d 單位時間內穿過ac面因貼壁流體層導熱進入控制容積的熱量︰

0=∂∂

−=Φy

fac ytdxλ

這裡假設︰Pr 　

51

dxdytudxdc lp ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−=ΔΦ ∫0ρ dxudydx

dtc lpbd ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=Φ ∫∞ 0ρ

0=∂∂

−=Φy

fac ytdxλ 0=Φ+Φ+ΔΦ acbd

00

00=

∂∂

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=∞ ∫∫

yf

lp

lp y

tdxdxdyudxdtcdxdytu

dxdc λρρ

00

)(=

∞ ∂∂

=−∫y

l

ytadyutt

dxd

整理后︰

00

)(=

∞ ∂∂

=−∫yytadyutt

dxd tδ

即︰

52

00

)(=

∞ ∂∂

=−∫yytadyutt

dxd tδ

能量積分方程︰

相似地，動量積分方程︰

00

)(=

∞ ∂∂

=−∫yy

udyuuudxd νδ

兩個方程，4個未知量︰u, t, 　　t 。要使方程組封閉，還必須補充兩個有關這4個未知量的方程。這就是關於u 和 t 的分佈方程。

14

53

(2) 邊界層積分方程組求解

在常物性情況下，動量積分方程可以獨立求解，即先求出　，然後求解能量積分方程，獲得　T 和 h

邊界條件︰

0

00

=∂∂

==

==

∞ yuanduuy

anduy

δ

假設速度u為三次多項式，即 32 dycybyau +++=

由邊界條件可以得出︰32

,0,23,0

δδ∞∞ −====udcuba

3

21

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞ δδyy

uu

54

δδδ∞

=∞=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

udyduyy

uu

y 23

21

23

0

3

00

)(=

∞ ∂∂

=−∫yy

udyuuudxd νδ帶入動量積分方程︰

xxor

ux

Re64.464.4 ==

∞

δνδ

X處的局部壁面切應力為︰

xyw

uxuu

dydu

Re323.0

64.41

23 2

0

∞∞∞

=

===ρ

ννρητ

55

在工程中場使用局部切應力與流體動壓頭之比這個無量綱量，並稱之為范寧摩擦系數，簡稱摩擦系數

21Re646.0

21

−

∞

== xw

fu

cρ

τ

21Re292.1 −= xfmc平均摩擦系數︰

上面求解動量積分方程獲得的是近似解，而求解動量微分

方程可以獲得的精確解，分別為︰fcandxδ

xx Re0.5

=δ 21Re664.0 −= xfc

21Re646.0 −= xfcxx Re

64.4=

δ 可見二者非常接近

56

可以採用類似的過程，並假設

求解能量積分方程，可得

無量綱過余溫度分佈︰

42 dycybyat +++=3

21

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

−−

∞∞ ttw

w yytttt

δδθθ

xt ⋅==−−−

21

3131

RePr52.4026.1

Pr δδ熱邊界層濃度︰

再次強調︰以上結果都是在 Pr 　1 的前提下得到的

局部對流換熱系數︰

31

21

0

PrRe332.023

xtyw

x xyt

tth λ

δλλ==

∂∂

−−=

=∞

31

21

PrRe332.0 xxx Nuxh

==λ

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第五章 對流熱傳 - Kun Shan Universityeportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/H/T093000093-20110524080722.pdf · 計算當地對流係數 hx 4個方程，4個未知量──可求得速度場(u,v)和溫度

第五章對流熱傳 - Kun Shan Universityeportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/H/T093000093-20110524080722.pdf · 計算當地對流係數 hx 4個方程，4個未知量──可求得速度場(u,v)和溫度