Cartografía, Geodesia y Topografía

GEODESIA

GEODESIA.Es la ciencia que estudia el tamaño y la forma de la Tierra y las posiciones sobre la misma.

GEOIDE Y ELIPSOIDE.Geoide

Básicamente dicho es la forma definida por el nivel medio de los mares prolongando éstos a través de los continentes, pero teniendo en cuenta las irregularidades provocadas en dicha forma debidas a la variación de densidad y distribución de masas de la Tierra (figura 1).

Elipsoide.

Es una forma creada a partir de una elipse revolucionada, la cual se adapta de la mejor forma posible al geoide. Esta adaptación no es exacta, ya que en las zonas continentales el geoide queda por encima del elipsoide y en las oceánicas queda por debajo de éste.

Los elipsoides pueden ser geocéntricos si sus centros de gravedad coinciden con el de la tierra (por ejemplo el WGS84), o locales si no coinciden (por ejemplo el Internacional 1924 o de Hayford).

Altura elipsoidal (h o HAE).

Es la distancia existente entre un punto de la superficie terrestre y el elipsoide utilizado (figura 2).

Altura ortométrica (H o HMM).

Es la distancia existente entre un punto de la superficie terrestre y el geoide (altura con respecto al nivel medio del mar) (figura 2).

Ondulación geoidal (N).

Es la distancia existente entre el elipsoide y el geoide en un punto determinado de éste (figura 2).

COORDENADAS GEOGRÁFICAS.Son dos coordenadas, latitud y longitud, por las cuales un punto cualquiera de la Tierra queda definido. Ambas coordenadas son expresiones angulares, medidas en grados sexagesimales (figura

Figura 2

Figura 1

3). Estos grados sexagesimales a veces vienen expresados en forma decimal, sobre todo cuando trabajamos con programas CAD.

Las latitudes que quedan por encima del ecuador son latitudes Norte, y las que quedan por debajo latitudes Sur.

Las longitudes que quedan en la parte oriental del meridiano 0 o de Greenwich son longitudes Este, y las que quedan en la parte occidental las Oeste.

En programas de CAD las latitudes Sur y las longitudes Oeste se suelen expresar con signo negativo.

Las coordenadas geográficas pueden ser:

astronómicas, las cuales no están asociadas a sistemas de referencia.

Geodésicas locales, las cuales están referidas a sistemas geodésicos de referencia asociados a elipsoides locales.

Geodésicas geocéntricas, las cuales están referidas a sistemas geodésicos de referencia asociados a elipsoides geocéntricos o globales.

En la figura 4 vemos las coordenadas geográficas geodésicas geocéntricas extraídas de la reseña de un vértice geodésico del Instituto Geodésico

Nacional.

La coordenada de arriba es la longitud, y es de signo negativo porque es Oeste.

La coordenada de abajo es la latitud, de signo positivo por estar en el Norte.

Pero además vemos que están referidas al sistema de referencia ETRS89, (asociado al elipsoide GRS80). Quiere decir que son coordenadas geográficas geodésicas geocéntricas.

SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA.Las coordenadas geográficas geodésicas, dejando a un lado las geográficas astronómicas, están referidas a un sistema geodésico de referencia. Estos sistemas pueden ser de dos tipos:

Geocéntricos o globales. Asociados a elipsoides geocéntricos o globales. Locales. Asociados a elipsoides locales.

Todos estos sistemas tienen asociados un elipsoide.

Sistemas de referencia Elipsoide asociado Tipo

Figura 4

Figura 3

WGS84 WGS84 Global o geocéntrico

ED 50 Internacional 1924 o de Hayford

Local

ETRS89 GRS80 Global o geocéntrico

RED GEODÉSICA NACIONAL.Es una red que cubre todo el ámbito nacional y está formada a su vez por dos redes, la REGENTE (Red Geodésica Nacional por Técnicas Espaciales) y la ROI (Red de Orden Inferior). Cada una de estas redes está generada mediante triangulaciones cuyos vértices son los vértices geodésicos.

A los vértices que generan la red REGENTE se les denomina coloquialmente vértices regentes.

A los vértices que generan la red ROI se les denomina coloquialmente vértices de orden inferior.

Hay que tener en cuenta que los vértices regentes son también vértices de orden inferior.

El Instituto Geográfico Nacional pone a disposición ciudadana toda la información importante sobre cada uno de estos vértices, mediante la distribución de documentos de texto llamados reseñas.

En estas reseñas podemos consultar por ejemplo las coordenadas geográficas del vértice del que se trate, referidas generalmente al sistema ED50 y ETRS89. Por lo tanto son coordenadas geográficas geodésicas, ya que van asociadas a elipsoide.

También podemos consultar las coordenadas en proyección UTM según los dos sistemas, así como otros datos como la altitud, localización, nombre, número.

En el apartado observaciones se indica si un vértice es regente o no. Si no aparece esta información es que es de orden inferior.

En el Anexo I del final del documento se puede ver un ejemplo de reseña.

El Instituto Geográfico Nacional pone a nuestra disposición en su página web un programa denominado con las siglas PAG. Este programa incorpora, entre otras funciones, un visor de vértices geodésicos tanto de la red REGENTE como ROI. Pinchando sobre ellos podremos acceder a la reseña de los que nos interese.

CARTOGRAFÍA Y TOPOGRAFÍA

CARTOGRAFÍA.Podría definirse como la ciencia consistente en la representación gráfica de grandes zonas de superficie terrestre en las que se ha de tener en cuenta la curvatura de la Tierra y, por lo tanto, el elipsoide a utilizar, de forma tal que a cada punto de dicho elipsoide le corresponda otro sobre papel mediante el proceso de transformación más adecuado.

A esta representación gráfica se la llama mapa.

PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA.El proceso de transformar las coordenadas geográficas geodésicas del esferoide en coordenadas planas para representar una parte de la superficie del elipsoide en dos dimensiones se conoce como proyección y es el campo de estudio tradicional de la ciencia cartográfica.

En cartografía se suele utilizar la proyección UTM.

TOPOGRAFÍA.Podría definirse como la ciencia consistente en la representación gráfica de la superficie terrestre sobre papel, siempre que la superficie a representar esté comprendida dentro de triangulaciones de 5 a 10 km de lado, en la cual se puede despreciar la curvatura terrestre.

A esta representación gráfica se la llama plano.

DEFINICIONES TOPOGRÁFICAS.Distancia natural.

La distancia natural entre dos puntos es la distancia que les separa sobre el terreno, teniendo en cuenta las irregularidades de éste (figura 1).

Distancia geométrica.

Es la mínima distancia que une dos puntos (figura 1).

Distancia reducida.

Es la distancia geométrica entre dos puntos, pero referida o proyectada a un plano horizontal (figura 1).

Dr=Dg ∙cos∝

Desnivel.

Es la diferencia de altura entre dos puntos (figura 1).

ZAB=Dr ∙ tag α

Figura 1

Altimetría.

Parte del trabajo topográfico que estudia las elevaciones de los puntos a partir de las diferencias de altura entre ellos.

Pendiente de una recta.

Es el resultado de dividir la distancia vertical (desnivel) de dos de sus puntos entre la horizontal. Evidentemente, en el sistema de planos acotados la distancia horizontal es la distancia reducida.

PTE=desnivel

distanciareducida

Para expresar la pendiente en porcentaje se multiplica por 100 el resultado.

Línea divisoria.

En una elevación es la línea ideal del terreno que separa las aguas hacia una u otra ladera, descendiendo por ella.

Vaguada.

Es la línea ideal de una depresión por la que discurre el agua procedente de dos laderas, y que coincide con la parte más baja de ésta.

SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS.Es el sistema utilizado en Topografía. En él existe un plano de dibujo que coincide con el nivel del mar, y sobre el que se proyectan todos los puntos, de forma tal que los puntos pueden estar entre el plano y nosotros (cota positiva), comprendido en el plano (cota 0), o por detrás del plano (cota negativa).

En la práctica mediante programas CAD y como norma general, cualquier punto en este sistema queda representado por:

Un símbolo de punto. Una letra o, como suele ser más habitual, un código identificativo. La altura.

La altura o cota viene dada en metros. Al medir sobre el plano cualquier trazado lo que obtenemos es la distancia reducida, por tratarse de una proyección.

Si de manera equidistante vamos colocando planos paralelos e imaginarios al plano de dibujo obtenemos cortes imaginarios del terreno que dan lugar a las curvas de nivel y nos dan una idea de la forma que este terreno tiene. De esta forma, las curvas de nivel que quedan por detrás del plano de dibujo indicarán depresiones en el terreno, y las que estén entre el dibujo y nosotros indicarán zonas montañosas.

Evidentemente, todos los puntos de una curva de nivel tienen la misma altura, por ser el plano de corte imaginario paralelo al de dibujo.

Las curvas de nivel pueden ser:

Maestras: son generadas por planos de corte imaginarios y paralelos todos al plano de dibujo, de forma equidistante unos de otros. Por lo tanto, representan alturas que van de tanto en tanto metros, las cuales se indican en cada curva. Se suelen representar con un tono marrón oscuro y grueso.

Secundarias: también son generadas por planos de corte imaginarios y paralelos todos al plano de dibujo, de forma equidistante unos de otros. La diferencia está en que estos planos de corte vuelven a segmentar equidistante e imaginariamente las porciones de terreno que ya habían sido segmentadas por las maestras, por lo que estas curvas quedan situadas entre curva y curva maestra de forma que se produce una graduación secundaria de alturas. Este tipo de curva no lleva indicación de la altura que representa por no saturar el plano, por lo que la altura de cualquier punto de ella se determina a partir de las curvas maestras y secundarias adyacentes. Suelen ir representadas por un tono marrón claro y fino.

Para entenderlo mejor las curvas de nivel maestras serían como los centímetros de una regla y las secundarias como los milímetros. De esta forma las alturas son más precisas y detalladas.

Teniendo en cuenta que las curvas de nivel son proyecciones propiamente dichas sobre el plano de dibujo y no objetos reales, podemos observar en ellas una serie de características:

Son siempre cerradas. No se cortan, ya que son generadas por planos paralelos distintos y con diferentes alturas.

Aunque no es habitual, pueden verse cortadas cuando se trata de la representación de una cueva, pero realmente los planos imaginarios que las generan estarían a diferentes alturas.

Dos o más curvas de nivel pueden tener tramos superpuestos, en cuyo caso estaríamos ante un acantilado.

EL GPS.Es un sistema que permite determinar las coordenadas de cualquier punto de la superficie terrestre.

Consta de tres sectores: sector espacial, sector de control y sector de usuario.

Sector espacial.

Formado por 6 órbitas con 4 satélites repartidos uniformemente en cada una de ellas. Cada satélite pasa por el mismo lugar cada 12 horas, por estar situados a una altitud de 20180 km.

Este conjunto de órbitas conforman la constelación NAVSTAR.

Cada satélite lleva consigo relojes de gran precisión, así como la tecnología necesaria para transmitir su posición mediante una señal característica propia.

Sector de control.

Formado por una estación central o maestra, situada en Colorado Springs, y otras cuatro estaciones oficiales situadas en Isla Ascensión (Atlántico Sur), Isla Diego García (Océano índico), en Kwajalein (Pacífico Occidental) y Hawai (Pacífico Oriental).

Estas estaciones se encargan de controlar la posición de cada satélite, así como de sincronizar los relojes de todos ellos.

Sector usuario.

Está compuesto por todos los instrumentos que se emplean para el cálculo de las coordenadas mediante la información que llega a través de las señales que los satélites transmiten. Estos instrumentos son básicamente un receptor y una antena.

Como el receptor conoce la hora en la que fue emitida la señal por el satélite, la hora en la que la ha recibido, y también conoce la velocidad de la luz, puede calcular la distancia que le separa de éste a partir de estos tres datos, aplicando la fórmula.

d=v ∆ t

∆ t=diferenciade tiempo entre la se ñal de emisi ón y derecepci ónde la se ñal .

v=velocidad de laluz .

d=distancia entre sat é lite y receptor .

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS.Sistema sexagesimal.

Es un sistema de medida de ángulos en el que el ángulo de un grado es el resultado de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Ese grado contendrá 60 minutos y cada minuto, a su vez, 60 segundos.

Un ángulo recto en este sistema tendrá, por tanto, 90 grados sexagesimales.

Se pueden expresar de varias formas:

4 °35 ' 17 ' '

4 °35,2833 '

4,588055 °

Sistema centesimal.

Es un sistema de medida de ángulos por el cual una circunferencia queda dividida en 400 partes. Cada una de esas partes es un grado centesimal. Cada grado centesimal tiene 60 minutos centesimales y cada uno de éstos, a su vez, de 60 segundos centesimales.

El ángulo recto en este sistema tendrá, por tanto, 100 grados centesimales.

Se pueden expresar de varias formas:

4 g35m 17s

4 g35,17m

4,3517g

DISEÑO EN LA OBRA CIVIL

PLANTA DE UNA CARRETERA.Pueden aparecer los siguientes elementos geométricos, definiendo los acuerdos horizontales:

Rectas. Curvas circulares. Curvas de transición.

Acuerdo tramo recto-curva circular-tramo recto.

Los puntos característicos que nos encontramos son estos (figura 1):

O: Es el centro de la curva. V: Es el punto donde se encuentran las prolongaciones de los tramos rectos. Segmento V─O: Es el segmento definido por vértice y centro. TE: Es la tangente de entrada, en el

sentido de avance de los Pk’s. TS: Es la tangente de salida, en el

sentido de avance los Pk’s. Cuerda TE ─TS: Es el segmento que

une tangente de entrada y salida. M: Es el punto medio de la cuerda TE

─TS, y que también es propio del segmento V─O.

B: Es el punto medio de la curva, y que también es propio del segmento V─O.

Acuerdo tramo recto-curva de transición-curva circular-curva de transición-tramo recto.

En este tipo de acuerdo se introduce entre la curva circular y los tramos rectos curvas de transición que hacen que la fuerza centrífuga del vehículo aumente y disminuya progresivamente para que no se salga de la carretera.

En los tramos rectos la fuerza centrífuga de los vehículos es nula y crece de golpe al entrar en una curva circular de radio mínimo si no reducen éstos la velocidad.

La curva de transición más utilizada es la clotoide.

La fuerza centrífuga se calcula mediante la siguiente fórmula:

Figura 1

FC=M ∙v2

R

FC=Fuerza centrífuga, en kg∙m /s2 según S.I.

M=masa del vehículo , en kg según S.I .

v=velocidad, en m /s según S.I.

R=Radio, en m según S.I .

PERFILES LONGITUDINALES DE CARRETERA.Acuerdos verticales.

Se llaman acuerdos verticales de un perfil longitudinal a las curvas que aparecen entre cambios de rasante (figura 2).

Estos acuerdos pueden ser:

Convexos: con el centro por debajo de la rasante. Cóncavos: con el centro por encima de la rasante.

Las rasantes pueden ser:

Pendientes: van de arriba abajo en el desarrollo del perfil, y tienen signo negativo. Rampas: van de abajo arriba en el desarrollo del perfil, y tienen signo positivo. Horizontal: no tienen pendiente.

En el punto imaginario donde se cortan las prolongaciones de las rasantes se coloca una banderola, con los siguientes datos:

Figura 2

PK: Es el punto kilométrico correspondiente a la intersección entre las prolongaciones de las rasantes.

CV: Es la altura en la que se encuentra la intersección entre las prolongaciones de las rasantes.

W: Es la diferencia entre pendientes de la rasante de salida menos la de entrada, teniendo en cuenta los signos.

W=iS−iE

KV: Es el radio de curvatura. Se calcula en base a tabla de la normativa, y en función de los carriles, calzada y velocidad de proyecto del vial.

LV: Es el producto de KV por el valor absoluto de W. D: Es la diferencia de cota entre la intersección producida por las prolongaciones de las

rasantes y el punto de la curva que se encuentra en la misma vertical.

D=KV ∙(W 2)

8

CUBICACIÓN DE TIERRAS POR EL MÉTODO DEL PRISMATOIDE.Cubicar es calcular el volumen total de tierra a remover en caso de desmontes y el total de tierra a aportar en el caso de terraplenes. La cubicación se emplea siempre en los proyectos de carreteras y urbanismo, siendo el método del prismatoide la forma de cálculo más empleada.

Procedimiento de cálculo.

En todo proyecto de carreteras tendremos un plano con los perfiles transversales. Estos perfiles estarán generados mediante algún programa de diseño cada determinados metros.

Primero tendremos que hacer las cubicaciones parciales entre un perfil y su consecutivo. Nos podremos encontrar con estos casos:

Perfil con todo terraplén – perfil con todo terraplén. En este caso aplicamos la fórmula siguiente:

V T=T 1+T 2

2∙ L

Perfil con todo desmonte – perfil con todo desmonte. En este caso aplicamos la fórmula siguiente:

V D=D1+D2

2∙ L

Perfil con todo desmonte – perfil con todo terraplén o viceversa. Habrá que aplicar dos fórmulas:

V D=D2

D+T∙L2

V T=T 2

D+T∙L2

Esto es lo que significa cada término:

V T=Volumendel prismatoide cuando es terraplén(enm3)

T ,T 1 , T 2 , T 3…=Áreas de terraplén(enm2)

L=Distancia enmetros entre los dos perfiles

D , D1, D2 ,D3 …=Áreas de desmonte (enm2)

Otros casos. Son los casos en los que tenemos perfil mixto – perfil mixto o perfil mixto – perfil con todo desmonte o todo terraplén o viceversa. En este caso haremos pasar verticales por todos los puntos en los que se produce el paso de terraplén a desmonte. De esta forma tendremos los dos perfiles descompuestos en cualquiera de los tres primeros casos y podremos calcularlos.

Para finalizar calcularemos el volumen total en desmonte y el total en terraplén, que serán la suma de todos los volúmenes de cada tipo.

LA PERCEPCIÓN VISUAL Y SU RELACIÓN CON LA ESCALA.Se considera que las dimensiones más pequeñas que el ojo humano es capaz de percibir son de 0,2 mm.

Por lo tanto, para saber la dimensión real que esos 0,2 mm medidos sobre el plano representan hay que multiplicar éstos por el denominador de la escala. Dimensiones por debajo de ese resultado serán imposibles de medir sobre el plano.

Imaginemos que vamos a trabajar a una escala de 1/500. Si multiplicamos 0,2 mm por 500 tendremos que es igual a 100 mm. Esto quiere decir que dimensiones reales menores de 100 mm serán imposibles de medir sobre el plano.

FOTOGRAMETRÍA

ORTOFOTOS Y SU GEOREFERENCIACIÓN A SISTEMAS CAD.Una ortofoto es un archivo de imagen formada por píxeles que se puede descargar de las páginas de organismos oficiales. Sobre ella se pueden medir ángulos, áreas y distancias.

Este archivo suele venir acompañado de otro archivo denominado archivo mundo, en el que figura una serie de datos:

Tamaño píxel en x y en y. Al ser cuadrado el tamaño es el mismo tanto en una como en otra coordenada. Viene expresado en metros.

Coordenadas en x y en y del centro del píxel de la esquina superior izquierda.

Estos datos también vienen incluidos como metadatos en el propio archivo de la ortofoto, por lo que en un principio no haría falta el archivo mundo.

Aparte de estos datos la ortofoto tiene una anchura y altura expresada en píxeles determinada. Mediante la combinación de éstas con los datos contenidos en el archivo mundo estaremos en condiciones de georeferenciarla.

Ortofoto y archivo mundo suelen venir en formato sid y sdw respectivamente, por lo que para georreferenciar en AutoCAD normal hay que convertirlos a tif y tfw con ayuda de algún programa como Global Maper.

Caso práctico de georreferenciación.

Supongamos que nos hemos bajado una ortofoto en formato tif, acompañada de su respectivo archivo mundo, el cual estará en formato tfw.

Los datos contenidos en el archivo mundo son los siguientes:

Tamaño píxel en x:

(Px)=0,50 m

Tamaño pixel en y:

(Py)=-0,50 m. El signo negativo se desprecia porque solamente indica una dirección.

Coordenada en x del centro del píxel de la esquina superior izquierda:

X=505143,25

Coordenada en y del centro del píxel de la esquina superior izquierda:

Y= 4677551,75

Aparte de estos datos sabemos que la ortofoto tiene estas dimensiones:

Anchura en píxeles=6931 Altura en píxeles=4684

Pues bien, para georreferenciar la ortofoto en un sistema CAD vamos a utilizar el AutoCAD Civil 3d en su versión 2014. Lo haremos de dos maneras diferentes para comprobar que ciertamente el resultado coincide.

Primer método: clásico o manual para AutoCAD.

En la figura 1 podemos ver un dibujo esquemático con los datos que nos dan y los que deducimos a partir de ellos. Por ejemplo, tenemos que la anchura es de 6931 píxeles, que multiplicado por 0,5 metros que mide cada uno de ellos, nos da una anchura de 3645,5 m. De la misma forma se procede a calcular la altura en metros.

También hay que tener en cuenta que las coordenadas que nos dan son las del centro del píxel que está pegado a la esquina superior izquierda. Si dibujamos los centros de los cuatro píxeles más escorados del dibujo podemos hallar fácilmente la distancia que hay de centro a centro teniendo en cuenta la anchura y altura en metros total de la imagen y el ancho y alto del píxel (0,5 m). El

resultado es de una separación de 3645 m en x y una de 2341,5 m en y.

Otra cosa muy importante a tener en cuenta es que AutoCAD inserta la imagen a partir de la esquina inferior izquierda de la imagen, no del centro del píxel más pegado a esa esquina. Es muy fácil caer en este error, por lo que debemos tenerlo muy en cuenta. Las coordenadas de la esquina inferior de la imagen se pueden hallar fácilmente con los datos que ya tenemos.

Una vez tenemos claro este asunto podemos empezar a georreferenciar en AutoCAD:

1. Abrimos la Paleta de referencias externas (Cinta vista/Paletas/Paleta de referencias externas) (figura 2).

2. En esta paleta debe haber una opción que nos permita insertar imágenes. La presionamos y nos aparecerá un cuadro donde podremos buscarla y seleccionarla (figura 3). Una vez seleccionada presionamos el botón Abrir.

3. Nos aparecerá otra ventana donde introduciremos los datos necesarios (figura 7).

Figura 1

4. Ahora en esta ventana de la figura 4 introducimos las coordenadas de la esquina inferior izquierda que habíamos calculado en la figura 1. En escala introducimos lo que mide el ancho total de la imagen en metros (3645,5 m).

Finalmente presionamos en Aceptar y ya tenemos la ortofoto georreferenciada.

Segundo método: Automático para AutoCAD Civil 3d.

El proceso es el siguiente:

1. En espacio de trabajo Planificación y análisis vamos a cinta Inicio/Datos/Insertar una imagen…Nos sale la ventana de la figura 5, en la que podemos buscar el archivo de la ortofoto. Si el archivo mundo está junto a la ortofoto, AutoCAD tomará los datos de éste; si no hay archivo mundo tomará los datos de los metadatos de la propia ortofoto (es decir, los datos se incluyen tanto en un archivo como en otro).Una vez seleccionada podemos desactivar la casilla Modificar correlación y darle a Aceptar, pero vamos a dejarla marcada para comprobar como los datos que recopila AutoCAD se corresponden con los datos que habíamos introducido en el método clásico. Le damos a Aceptar.

2. En la ventana de la figura 6 podemos ver como AutoCAD recopila los datos del

archivo mundo, ya que disponemos de él y está en la misma carpeta de la orfofoto. Con este método también se inserta la imagen desde la esquina inferior izquierda, y vemos como coge automáticamente las coordenadas que habíamos calculado en la figura 1 para esa misma esquina.

Figura 5

TOPOGRAFÍA SIN CLASIFICAR

AMPLIACIÓN DE CONOCIMIENTOS TOPOGRÁFICOS.Los ángulos a medir pueden ser:

Horizontales. Llamados también acimutales. Verticales. Llamados también cenitales.

El aparato topográfico de mayor precisión en el cálculo de desniveles es el nivel.

Cuando el nivel está correctamente estacionado y la mira a la que apunta está completamente vertical, la visual que describe éste con ésta es perpendicular. Es entonces cuando estaremos en condiciones de calcular la distancia reducida y de tomar las lecturas.

Las distancias que interesan en topografía son las distancias reducidas, que son las que se reflejan en los planos.

Las planimetrías son trabajos topográficos en los que no se tienen en cuenta las alturas, midiendo y representando solamente los ángulos acimutales (también llamados horizontales) y las distancias. Se deduce de esto que el plano que contiene a la visual del aparato es horizontal.

Con los GPS la toma de datos puede realizarse en modo estático y dinámico. El equipo consta de una estación base y otra móvil.

La estación móvil debe localizar un número suficiente de satélites, los cuales deben proporcionar un buen DOP y darnos puntos en 3d.

Para hallar el desnivel de un terreno lo más preciso es el uso del nivel.

Hay varios tipos de itinerarios:

Abierto, itinerario de punto inicial y de llegada no coincidentes, en el que el punto inicial es de cota conocida, no así el punto de llegada.

Cerrado: itinerario de tipo poligonal en el que el punto inicial y el de llegada coinciden. Encuadrado: como el abierto solo que conocemos también la cota del punto de llegada.

ANEXOS

ANEXO I: RESEÑAS

ANEXO II: EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LA

TOPOGRAFÍA

1. Expresar 4 °35 ' 17 ' ' en grados sexagesimales.

Primero vamos a ver cuántos grados son 35 minutos mediante una regla de tres:

1 grado 60 minutos

X grados 35 minutos

60 x=35

x=3560

=0,58 3̂

Después vamos a ver cuántos grados son 17 segundos mediante otra regla de tres:

1 grado 3600 segundos

X grados 17 segundos

3600 x=17

x= 173600

=0,0047 2̂

Ahora sumamos estos dos resultados a los 4 grados que tenemos:

4+0,58 3̂+0,0047 2̂=4,588055556 °

2. Expresar 4 °35 ' 17 ' ' en grados y minutos sexagesimales.

Tendremos que pasar los segundos a minutos, mediante regla de tres:

1 minuto 60 segundos

X minutos 17 segundos

60 x=17

x=1760

=0,28 3̂

Ahora sumamos a los minutos que tenemos este resultado:

35+0,28 3̂=35,28 3̂

Por lo que tenemos por fin el resultado:

4 °35,2833 '

3. Expresar 4,588055556 ° en grados, minutos y segundos sexagesimales.

Los grados enteros ya los tenemos, por lo que debemos centrarnos en saber a cuántos minutos corresponde la parte decimal de los grados. Esto se consigue con una regla de tres:

1 grado 60 minutos

0,588055556 grados x minutos

x=0,58805556 ∙60=35,28333336

Ya tenemos que son 4 °35,2833 ' . Nos falta por saber a cuántos segundos corresponde la parte decimal de los minutos mediante el mismo procedimiento:


0,28333336 minutos x segundos

x=0,28333336 ∙60=17,0000016

Por lo que tenemos finalmente:

4 °35 ' 17

4. Expresar 4 g35m 17s en grados centesimales.

Para pasar los minutos a grados lo hacemos mediante regla de tres:

1 grado 100 minutos

X grados 35 minutos

100 x=35

x= 35100

=0,35

Para pasar los segundos a grados lo hacemos también mediante regla de tres:

1 grado 10000 segundos

X grados 17 segundos

10000 x=17

x= 1710000

=0,0017

Y por último sumamos estos dos resultados a los 4 grados centesimales que ya teníamos:

4+0,35+0,0017=4,3517g

5. Expresar 4 g35m 17s en grados y minutos centesimales.

Tendremos que pasar los segundos a minutos, mediante regla de tres:


X minutos 17 segundos

100 x=17

x= 17100

=0,17

Ahora sumamos a los minutos que tenemos este resultado:

35+0,17=35,17

Por lo que tenemos por fin el resultado:

4 g35,17m

6. Expresar 4,3517g en grados, minutos y segundos centesimales.

Los grados enteros ya los tenemos, por lo que debemos centrarnos en saber a cuántos minutos corresponde la parte decimal de los grados. Esto se consigue con una regla de tres:

1 grado 100 minutos

0,3517 grados x minutos

x=0,3517 ∙100=35,17

Ya tenemos que son 4 g35 ,17m Nos falta por saber a cuántos segundos corresponde la parte decimal de los minutos mediante el mismo procedimiento:


0,17 minutos x segundos

x=0,17 ∙100=17

Por lo que tenemos finalmente:

4 g35m 17s

7. Dado un punto en cada curva de nivel, intercalar otro punto C de cota 143 m.

El desnivel de AB es igual a la diferencia de alturas entre los puntos dados, es decir, 5 m.

El problema se resuelve partiendo de la fórmula de la pendiente y partiendo también de la base de que el segmento AB formado tendrá la misma pendiente que el segmento AC .

PTE=desnivel

distanciareducida

PTE AB= desniveldistancia reducida

= 545,90

PTE AC= desniveldistanciareducida

=3x

Igualando obtendremos una ecuación de la que podremos obtener la distancia reducida desde A hasta C, es decir, el segmento AC:

545,90

=3x⟹5x=137,7⟹ x=137,7

5⟹ x=27,54 metros

Este punto intercalado estará contenido en el segmento AB. AB y AC estarán superpuestos.

8. Hallar la distancia entre un punto determinado B (125) y otro indeterminado M (133), sabiendo que la pendiente es del 12,828 %.

Las pendientes expresadas en tanto por ciento están multiplicadas por 100. Por lo tanto, para poder aplicar la fórmula de la pendiente tendremos que expresar dicha pendiente en tanto por uno, por lo que dividiremos ésta entre 100:

12,828100

=0,128

Este es el resultado que nos ha de dar la fórmula de la pendiente, en la cual tenemos la incógnita de la distancia reducida. Haciendo la ecuación resolvemos el ejercicio:

PTE=desnivel

distanciareducida

8x=0,128⟹0,128 x=8⟹ x= 8

0,128⟹ x=62,5metros

Hay que decir para finalizar que pueden existir más puntos que equidisten de B la misma distancia y tengan la misma pendiente.

9. Dado el siguiente eje de carretera calcular a partir de la información dada los datos concernientes a la curva de radio 80. Los ángulos dados están en sistema sexagesimal. Hallar también el desarrollo. Los datos están en metros.

CÁLCULO DE A.

Para grados sexagesimales se aplica esta fórmula:

A=180°−∝

A=180°−100=80°

Si fueran grados centesimales aplicaríamos esta otra:

A=200g−∝

CÁLCULO DEL DESARROLLO.

Para grados sexagesimales se aplica cualquiera de estas dos fórmulas:

desarrollo=π ∙ r ∙α180

desarrollo=2∙ π ∙ r ∙ α360

Vamos a calcularlo de las dos formas para ver que coincide el resultado


⟹ π ∙80 ∙100180

=139.62


⟹ 2∙ π ∙80 ∙100360

=139,62metros

Si los ángulos estuvieran en sistema centesimal se aplicarían las siguientes fórmulas:



CÁLCULO DE T.

Aplicaremos la siguiente fórmula:

T=r ∙ tg∝2

T=80 ∙ tg100

2=80 ∙tg 50=95,34metros

Con grados centesimales aplicaríamos la misma fórmula, debiendo dar el mismo resultado.

CÁLCULO DE DV.

Aplicamos la siguiente fórmula:

DV=r ((sec ∝2 )−1)DV=80(( sec 50 )−1)

La secante es la inversa del coseno. Calculamos el coseno y dividimos 1 entre dicho coseno. El resultado será secante:

cos50=0,642

sec∝=sec 80= 1cos∝

= 1cos50

= 10,642

=1,555

Ahora continuamos con la fórmula:

DV=80 ( (sec 50 )−1 )=80 (1,555−1 )=80 ∙0,555=44.45metros

10. Dados los dos perfiles transversales de una carretera hallar el volumen de tierras existente entre los dos, calculándolo por el método del prismatoide.

Tenemos en este caso dos secciones en terraplén. Para este caso la fórmula a aplicar será:

V T=T 1+T 2

2∙ L

V T=Volumendel prismatoide cuando es terraplén

T 1−T2=Área enmetros cuadrados de los terraplenes

L=Distancia entre perfiles(20metros en este caso)

V T=92,87+97,85

2∙20=190,72

2∙20=95,36 ∙20=1907,2m3

11. La diferencia de nivel entre dos puntos A y B es de 65 metros, y la distancia reducida 580 metros. Calcular la pendiente.

PTE=desnivel

distanciareducida

PTE=65

580=0,1121=11,21%

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Cartografía, Geodesia y Topografía