Carta de Smith

C ít l 3Capítulo 3:Herramientas para el análisis de líneas de

transmisión: Carta de Smith

En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de

cualquier circuito de microondascualquier circuito de microondas.El fundamento de la carta de Smith es la transformación de

impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de una representación polar en el plano de los coeficientes derepresentación polar en el plano de los coeficientes de reflexión. De esta forma se obtiene una representación acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas

existentes

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith Microondas-3- 1

existentes.

ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA

Dada una línea de transmisión:

i(z,t)

v(z,t) z

Δz

Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…



i(z,t) i(z + Δz,t)

v(z t)

RΔz LΔz

GΔz CΔz v(z+ Δz t)v(z,t) GΔz v(z+ Δz,t)

Δz

R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/m

L = inductancia en serie por unidad de longitud, H/mp g ,G = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m

C = capacidad por unidad de longitud, F/m


C capacidad por unidad de longitud, F/m

Ecuación del telegrafistag

Por las leyes de Kirchhoff:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =Δ+−∂

∂⋅Δ⋅−⋅Δ− tzzv

ttzizLtzizRtzv

∂t

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =Δ+−∂Δ+∂

Δ−Δ+⋅Δ− tzzit

tzzvzCtzzVzGtzi∂t

Δz 0

( ) ( )t

tziLtziRz

tzv∂

∂⋅−⋅−=

∂∂ ,),(,

Aplicación de la T. Fourier en ttz ∂∂

( ) ( )t

tzvCtzvGz

tzi∂

∂⋅−⋅−=

∂∂ ,),(,


tz ∂∂


( ) ( ) ( )zIjwLRzdV⋅+= ( ) ( )zIjwLR

dz⋅+−=

( ) ( ) ( )zVjwCGzdI+=

Similitud con las ecuaciones de Maxwell

( ) ( )zVjwCGdz

⋅+−=

( ) ( ) 022

=− zVdz

zVd γdz( ) ( ) 02

2

=− zIzId γ( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

( ) 0dz

γCONSTANTE DE PROPAGACIÓN



( ) zz eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+( ) oo eVeVzV +( ) z

oz

o eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+( ) oo

( ) [ ] [ ]zo

zo

zo

zo

o

eVeVjwLR

eVeVZ

zI γγγγ γ⋅−⋅

+=⋅−⋅= −−+−−+1

−

−

+

+

−==o

oo

o

o

IVZ

IV

jwCGjwLRjwLRZo +

+=

+=

γ( )

o

zo

zo

ZeVeVzIγγ ⋅−⋅

=−−+


j CGγ

ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA(dominio temporal)( p )

( ) ( )( )

zo ezwtVtzv αφβ +⋅+−⋅= −++ cos,

( ) zo ezwtV αφβ ⋅++⋅ −− cos

πλ 2= fwv ⋅== λ

βλ = fvp == λ

β


Línea sin pérdidasp

LCβ LLCjwj =+= βαγ LCw=β

0=α CLZo =

( ) zo

zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+

LCwπ

βπλ 22==

( ) zozo eZVe

ZVzI ββ ⋅−⋅=

−−

+

β

wvp1

==β

( )oo ZZ LCp β


Línea cargada

La onda regresiva aparece cuando la línea tiene una condición de cierre

i(z,t) Origen de referenciaen la carga

v(z,t) z ZLZo,β

g

z = 0z = -l

( ) zozo eZVe

ZVzI ββ ⋅−⋅=

−−

+

( ) zo

zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+ ( )

oo ZZ( ) oo


Definición del coeficiente de reflexión

( ) oo ZVVVZ−+ +

==0 +− −

= oL VZZV( ) ooo

L ZVVI

Z −+ −==

0 += o

oLo V

ZZV

ZZV

oL

oL

o

o

ZZZZ

VV

+−

==Γ +

−

( ) [ ]ljljo eeVzV ββ −+ ⋅Γ+=

( ) [ ]ljljo eeVzI ββ −+

⋅Γ−=( ) [ ]o

eeZ

zI Γ


Onda estacionaria

( )2

21

+oV

Pé did d t ( )Γ= log20RL dB( )2121

Γ−=o

oav Z

P Pérdidas de retorno: ( )Γ⋅−= log20RL dB

( )( )

ljo

zjo eVeVzV ββ 22 11 −++ =⋅Γ+⋅=⋅Γ+⋅=

( )ljo eV βθ 21 −+ ⋅Γ+⋅

( )( )Γ+⋅= + 1max oVV

( )Γ+ 1VVΓ−Γ+

===11

min

max

VVSWRROE

( )Γ−⋅= 1min oVV∞<< SWR1


Coeficiente de reflexión en cualquier punto de la líneade la línea

( ) ( ) ljlj

o eeVl ββ

20 −−−

Γ⋅

Γ COEFICIENTE DE REFLEXIÓN( ) ( ) jlj

oe

eVl β

β 0+ Γ=⋅

=Γ EN EL RESTO DE LA LÍNEA

( )( )

( )( )ljZZ

ljZZZZee

lIlVZ oL

oolj

lj

in ββ

β

β

tantan

11

2

2

++

=ΓΓ+

=−

= −

−

( ) ( )ljZZelI Lo βtan1 +Γ−−

Ejemplos de casos particulares…


Línea cortocircuitada

i(z,t)

v(z,t) zZo,β

0ll

( ) [ ] ( )zsenVjeeVzV ozjzj

o βββ ⋅⋅−=−= +−+ 2( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )zVeeVzI ozjzjo βββ cos2⋅=+=

+−

+

( ) [ ] ( )zZ

eeZ

zI βcos00

⋅=+=

( )ljZZ βtan=Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith Microondas-3- 13

( )ljZZ oin βtan=

Línea en circuito abiertoLínea en circuito abierto

i(z,t)

v(z,t) zZo,β

0ll

( ) [ ] ( )zVeeVzV ozjzj

o βββ cos2 ⋅=+= +−+( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )zsenVjeeVzI ozjzjo βββ ⋅⋅

=−=+

−+ 2( ) [ ] ( )zsen

Zee

ZzI β⋅=−=

00

( )lZjZi βcot⋅−=


( )lZjZ oin βcot

Línea λ/2

i(z,t)

v(z,t) zZo,β ZL

z = 0z = -l

ZZ Lin ZZ =


Línea λ/4

i(z,t)

v(z,t) zZo,β ZL

z = 0z = - l

oZZ2

Lin Z

Z =


Línea acoplada a otra línea

Z Z

Γ T

Zo Z1

z0

ZZ − ( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+ z<0

0

o

o

ZZZZ

+=Γ

1

1( ) [ ]o

( ) zjo eTVzV β−+ ⋅⋅= z>0

ZZZT+

=Γ+=1

121


oZZ +1

Propiedades del coeficiente de reflexión y de la onda estacionariade la onda estacionaria

• Como consecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de voltaje y d i t t i i l l d d b i d lde corriente permanecen estacionarias a lo largo de cada abscisa de la línea.

• Los máximos ocurren cuando . ( ) πβθ nl 22 =−• Los mínimos ocurren cuando • Máximos de voltaje coinciden con mínimos de corriente y viceversa.

( ) ( )πβθ 122 −=− nl

• En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece constante. Este lugar geométrico es una circunferencia en el plano complejo de

( ) ( ) ljel β20 −Γ=Γ( )lΓp p j

• Existe una transformación bilineal entre impedancias y coeficientes:( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )0

2

2

11

0101

ZlZZlZlZ

llZelZ oolj

lj −=Γ⇒⋅

ΓΓ+

=⋅ΓΓ+

=−

β

β

• A cada coeficiente de reflexión le corresponde uno, y sólo uno, valor de impedancia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 101 ZlZle oolj +Γ−Γ− − β

impedancia.


Carta de Smith

11−

=−

=Γ LoLL Z

ZZZZZL

LZΓΓ+

=11 Correspondencia

biunívoca 1++ LoLL ZZZLΓ−1 biunívoca

Plano complejo de impedancias.Representación cartesiana.

Plano semiinfinito

Plano complejo de coeficientes ΓL.Representación polar.

Plano limitado por la circunferencia | Γ |=1

Im(Γ)2 familias de rectas perpendiculares 2 familias de circunferencias perpendiculares

x

Plano semiinfinito. Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.

Biyección x

Re(Γ)rr


Carta de Smith

( ) ( )( )ZllZ Γ+

=1 ( ) ( ) jxr

ZlZlZ +==

Normalización( ) ( ) oZ

llZ

Γ−1( ) j

Zo

ljLejvuw β2−Γ=+=

11

+−

=+−

=Γ LoLL Z

ZZZZZ )(1

)(1jvujvujxr

+−++

=+

1++ LoL ZZZ

( )221 vu +− 22 1vru +⎟⎞

⎜⎛( )

( ) 221 vur

+−=

2

( )211 rv

ru

+=+⎟

⎠⎜⎝ +

−

( ) 2212

vuvx+−

= ( ) 2

22 111

xxvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−


2 1r ⎞⎛ F ili d i f i

( )22

11

1 rv

rru

+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+− Familia de circunferencias

con r como parámetro

⎞⎛ rCentro ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+1

0,r1

r r=0v

1r

Radio+11 r=1

u

(1,0)(0,0)

u

r=∞


Familia de circunferencias con x como parámetro ( ) 2

22 111

xxvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− p

Centro 1,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

v

xx ⎠⎝

xRadio

x1

⎠⎝x=1

0 5 x

(1 0)(0 0)x=0

x=2x=0.5

u

(1,0)(0,0)

x=-1x 1

x=-2x=-0.5


¿Significado del sentidod l i i t l t ?del movimiento en la carta?

Sentido horario:hacia generadorhacia generadorSentido antihorario:hacia la carga


CALCULADOR EN LA CARTA DE SMITH

Para una ROE de 2, llevando una línea vertical podemos ver queel coeficiente de reflexión en voltaje es 0.33, el coeficiente de Reflexión en potencia es 0.11 que, en dB vale 9.54 dB.


Doble carta de Smith ZYEl coeficiente Гv = - ГIPasar de impedancias a admitanciasPasar de impedancias a admitanciassupone girar 180º en la carta anterior.o hacer una doble lectura en la cartadoble ZY.


Adaptación de impedanciasAdaptación de impedancias• Supone pasar de un punto de coeficiente

de reflexión (impedancia) original a otro ( p ) gfinal.

• Normalmente, aunque no siempre, el punto final es el origen: coeficiente de p greflexión 0 ó impedancia normalizada 1.

• Para realizar ese movimiento sólo nos podemos mover por circunferencias depodemos mover por circunferencias de un parámetro constante:

– Movimiento a lo largo de la línea sin pérdidas: circunferencia de módulo de pcoeficiente de reflexión constante.

– Inclusión de una celda de adaptación sin pérdidas: movimiento por una i f i d ó t tcircunferencia de r ó g constante.

– Inclusión de una celda de adaptación sólo con pérdidas: movimiento por una circunferencia de reactancia constantecircunferencia de reactancia constante (no es lo habitual).


Adaptación de impedancias

SEjercicios de la carta de Smith

Adaptadores simples Stub simple Doble stub


Adaptadores simplesp p

jX

ZL = 50 +j10Zo = 70

dd

Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguiradaptación en la línea…


ZL

Z 142.0714.0 jZZZ

o

LL +==


14207140 jZZ L +== 142.0714.0 jZ

Zo

L +==

Solución A:

Azimut = 0.141 λ

Impedancia vista = 1 + j0.38

d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ

Solución B:

Azimut = 0 359 λAzimut = 0.359 λ

Impedancia vista = 1 - j0.38

d = (0 359-0 043)λ = 0 316 λ


d = (0.359-0.043)λ = 0.316 λ

Stub simple

YL = 0.4 + j1.35ZojB

d

l

Encontrar l y d para conseguir adaptación en la línea…


y p g p


Solución A: Azimut = 0.193 λ

d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ

Admitancia vista = 1 + j2.3

Azimut de -j2.3 = 0.315 λ

l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ

Solución B: Azimut = 0.307 λ

d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ

Admitancia vista = 1 - j2.3j

Azimut de j2.3 = 0.185 λ

l = (0.25 + 0.185) λ = 0.435 λ


( )

Doble stub

λ/4λ/4

ZrZojB1jB2

Zo

Zo = 200 Ω

SWR = 6 5

l1l2

o

Zo

SWR = 6.5

Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ

Zr ??


l1 y l2 para adaptación de la línea ??


Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:

Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω

Yr = 0.21 + j0.55

Solución A: Solución B:

j

Yr = 0.21 + j 0.41 Yr = 0.21 - j 0.41

Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14

Azimut de –j0.14 = 0.478 λ

Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96

Azimut de –j0.96 = 0.379 λ

l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ

Yin = 1 – j1.95 Yin = 1 + j1.95


Azimut de j1.95 = 0.174 λ

l = (0.25 + 0.174) λ = 0.424 λ

Azimut de -j1.95 = 0.326 λ

l = (0.326 – 0.25) λ = 0.076 λ

Criterio de Bode FanoCriterio de Bode-Fano

La demostración del criterio es muy compleja:

H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.

R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitraryimpedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950, p , , , pp , y ,

and pp. 139-154 February 1950.

¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?

Si d ál l l ió t l á i fi i t d fl ióSi no se puede, ¿cuál es la relación entre el máximo coeficiente de reflexiónque nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?

S d l l l jid d d l d d d t ió ?Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.


¿Se puede evaluar la complejidad de la red de adaptación?

d π∫∞ 1l

π≤Δ

1l( ) RC

dww

π≤

Γ∫0

1lnRC

wm

≤Γ

Δ ln

Módulo Γ

Δw

Γm


Δw

Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano

P d d d iPara una carga dada, se puede conseguir un ancho de banda elevado a expensas

de aumentar el coeficiente de reflexiónde aumentar el coeficiente de reflexión….

El coeficiente de reflexión sólo puede ser ceroEl coeficiente de reflexión sólo puede ser ceroa frecuencias discretas….

Circuitos con Q mayor son más difíciles deadaptar que los de Q menor:

(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)


Teoría de reflexiones múltiples

Γ T

Z Z1

Γ T

RLZo Z1

z0

RL

0

Γ1 T1 Γ3

Γ2 Z2Γ2

o

o

ZZZZ

+−

=Γ1

11

13

ZRL −=ΓoZZ

ZT+

=Γ+=1

111

21

110

2 Γ−=+−

=ΓZZZZ 1

3 ZRL +Γ

o

ZZZT+

=1

22


10 + ZZ oZZ +1

TTTTTT =+ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=Γ 33

22

2132

2213211 ...

( )n

TT ∑∞

ΓΓ−Γ−Γ= 323211

212213211

n∑=0

Serie geométricaSerie geométrica

( )( )( )11

12

32

3213211 21 ZRZZ

RZZTT

Lo

Lo

++−

=ΓΓ+

Γ−ΓΓΓ+Γ=Γ ( )( )11321 ZRZZ Lo ++ΓΓ+

Recordar adaptador de λ/4…


Desadaptación de la carga y del generador

i(z,t)ZG ΓlΓG

( )

v(z,t) zZo,β ZLVg

0-l

Zin ( ) [ ] ing

ljl

ljo ZZ

ZVeeVlV+

=⋅Γ+=− −+ ββ

gin ZZ +

ljβ ZZlj

gl

lj

gin

ogo e

eZZ

ZVV ⋅−

⋅−+

Γ⋅Γ−+= β

β

21 og

ogg ZZ

ZZ+

−=Γ


gg g

2* 1R1R1 VIVP ⎬⎫

⎨⎧

21

Re2

Re2 in

ginin

RZ

VIVP =⎭⎬

⎩⎨==

Potencia entregada a la carga

( ) ( )22

2

21

gingin

ing XXRR

RV+++

a la carga

Carga adaptada a la línea21 Z Ad t ió l j( ) ( )22

2

21

ggo

og XRZ

ZVP++

= Adaptación compleja

gVP 11 2=

Generador adaptado a la línea cargada

( )221 gR

VP =

gg R42

*gin ZZ =


( )242 ggg XR

VP+

gin

Línea de transmisión con pérdidasp

( ) ( )( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

⎞⎛wLR << ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅ o

o

GZZR

21α LZ ≅

wCG <<⎠⎝ o

LCw≅βC

Zo ≅

LCR=α

Línea de HeavisideCG

LR=

L

LCw=βGrupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.


β

[ ] ( ) [ ]V +

( ) [ ]zzo eeVzV γγ ⋅Γ+= −+ ( ) [ ]zz

o

o eeZVzI γγ ⋅Γ−= −

( )( )

( )( )lZZ

lZZZlIlVZ

Lo

oLoin γ

γtanhtanh

++

=−−

= Con PL potencia en la carga

( )[ ] lo elV

P α22

2

1 Γ−=+

[ ]2

2

1 Γ−=+

oVP

la carga

( )[ ]o

in elZ

P 12

Γ= [ ]12

Γ−=o

L ZP

( ) ( )[ ]lloLinloss ee

ZV

PPP αα 222

2

112

−Γ+−=−=+


oZ2

CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓNDESADAPTACIÓN

• Potencia disponible de un generador V

21

ZgZggenerador

• Potencia de entrada a la red g

gdg R

VP

81⋅=

ΓS ΓinZL

Red sin pérdidassin pérdidas

ingg MPRRV

P =⎥⎤

⎢⎡ ⋅⋅

=

241 Z

VgS in pérdidas

M

Ad t ió j d á i t f i d t i

gdg

inggin MP

ZZRP ⋅=

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ += 28

*ZZ =

ZinMg

• Adaptación conjugada para máxima transferencia de potencia• Coeficiente de reflexión conjugado:

gin ZZ =

ginin ZZ

ZZ+

−=

*

ρ

• Relación entre coeficiente de reflexión conjugado y coeficiente de desadaptación:

gin ZZ +

21 ingM ρ−=


CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓN (II)DESADAPTACIÓN (II)

ZZg ZgZg

Red sinVg

ΓS ΓinZL

Red sin pérdidas

ZinMg M2

M

• Teorema: el coeficiente de desadaptación a través de una red de adaptación sin pérdidas permanece constante a lo largo de toda la

M1

adaptación sin pérdidas permanece constante a lo largo de toda la estructura.

21 MMMg ==


Conclusiones (I)

• Se ha presentado la línea de transmisión finalizada que origina una onda estacionaria.Di h d t i i i t i d l• Dicha onda estacionaria viene caracterizada por el coeficiente de reflexión en cada punto de la línea. – En una línea sin pérdidas es constante el módulo Esto supone– En una línea sin pérdidas es constante el módulo. Esto supone

una circunferencia.– En una línea con pérdidas hay un decrecimiento del módulo con

l i ió d f E i lla variación de fase. Esto supone una espiral.– Al haber una aplicación biyectiva entre cada coeficiente de

reflexión y cada impedancia, a cada coeficiente de reflexión le y p ,corresponde una y sólo una impedancia.


Conclusiones (II)

• La carta de Smith constituye la herramienta básica para l áli i d l i i it d i del análisis de cualquier circuito de microondas.

• Consiste en una representación en el PLANO POLAR de los coeficientes de reflexiónde los coeficientes de reflexión.

• Por la aplicación biyectiva entre coeficientes de reflexión e impedancias a cada coeficiente de reflexión en ele impedancias a cada coeficiente de reflexión en el plano polar le corresponde un valor de impedancia o admitancia.


Conclusiones (III)

• Funcionalidades de la carta de Smith:– Lectura directa del coeficiente de reflexión en módulo y fase

(mediante la superposición de curvas de resistencia –conductancia- y reactancia –susceptancia-, también se lee el y p ,valor de la impedancia).

– Obtención del valor del coeficiente de reflexión en cualquier punto de una línea sin más que hacer una rotación a través depunto de una línea sin más que hacer una rotación a través de una circunferencia de coeficiente de reflexión constante (centro el origen y radio R).

– Representación de admitancias/impedancias sin más que hacer un giro de 180º (en la carta de Smith convencional).

– Adaptación de impedancias mediante movimientos en,Adaptación de impedancias mediante movimientos en, principalmente, dos familias de circunferencias: coeficientes de reflexión constantes y resistencias (conductancias) constantes.


Referencias

1. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 5)

2 R b t E C lli "F d ti f i2. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 5)

3 Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design"3. Bahl y Bhartia: Microwave Solid State Circuit Design , Wiley Interscience, 1988, segunda edición. (capítulo 4).


Documents

Carta de Smith