Universidad Autónoma

San FranciscoCARRERA PROFESIONAL: Lengua, Traducción

e Interpretación

Asignatura: MATEMÁTICA

Tema: “FUNCIONES LÓGICAS”

Algebra de BooleEn la mayor parte de los sistemas digitales de gran

escala, tales como calculadoras, procesadores de datos, control o sistemas de comunicaciones digitales, etc., sólo hay unas pocas operaciones básicas, que deben llevarse acabo. Estas operaciones deberán repetirse, a buen seguro, un gran número de veces.

Las funciones lógicas más empleadas comúnmente para tales sistemas, son: O, Y, NO. Se denominan funciones lógicas o puertas lógicas, porque se emplean las ecuaciones del álgebra de Boole, o algebra booleana. Esta álgebra fue inventada a mediados del siglo XIX por George Boole, para obtener un sistema de análisis matemático de la lógica.

OPERACIONES DIGITALES DE UN SISTEMAUn sistema digital funciona de una manera

binaria. Emplea sistemas en que sólo son posibles dos estados. Físicamente en un computador puede tener una tensión elevada

En lógica, una premisa se caracteriza como verdadera o falsa, y ésta es la primera clasificación binaria

TABLA TERMINOLOGIA DEL ESTADO BINARIO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Uno de

los

estados

Cierto Alto 1 Subiend

o

Impuls

o

Excitad

o

Desconectad

o

Calient

e

Cerrado Nort

e

Sí

El otro

estado

Falso Bajo 0 Bajando No No Conectado Frio Abierto Sur No

Tabla: Equivalencias en anotación decimal y

binaria

Notación

decimal

Notación

binaria

Notación

decimal

Notación

binaria

0 00000 11 01011

1 00001 12 01100

2 00010 13 01101

3 00011 14 01110

4 00100 15 01111

5 00101 16 10000

6 00110 17 10001

7 00111 18 10010

8 01000 19 10011

9 01001 20 10100

10 01010 21 10101

En la siguiente tabla se da una reducida lista de números equivalentes, entre el sistema binario y el decimal.

Sistemas lógicosEn un sistema de continuidad, o nivel lógico,

un bit se caracteriza por uno de los dos niveles de tensión eléctrica.

La tensión más positiva es el nivel 1 y la otra es el nivel 0, se dice que el sistema emplea lógica positiva. un sistema lógico negativo, es el que designa el estado de tensión más negativo del bit, como el nivel 1 y el más positivo como el nivel 0.

Sistemas lógicos   5 5

V (1) = 4V V (0) = 4V 3 3         0.4 0.4   0 t1 t t1 0 t (a) (b)

V (0) = 0.2V V(1) = 2V

En un sistema dinámico o de lógica de impulsos, el bit se reconoce por la presencia o ausencia del impulso. Un 1 significa la existencia de un impulso positivo en un sistema dinámico de lógica positiva, y un impulso negativo indica 1, en un sistema dinámico de lógica negativa.

En ambos sistemas, un 0 en una entrada (o salida), en un instante de tiempo dado, significa que no hay impulso alguno en ese momento particular.

Sistemas lógicos

Puerta OUna puerta O tiene dos o más entradas y una sola salida, y

funciona de acuerdo con la siguiente definición: la salida de un O se halla en el estado 1, si una o más de las entradas, está en 1. Las n entradas de un circuito lógico las designaremos con las letras A, B,....., N, y la salida por Y, con el bien entendido de que cada uno de estos símbolos puede suponer uno cualquiera de los estados lógicos, 0 ó 1.

En lugar de definir una operación con palabras, se puede emplear el método de la tabla de la verdad, que contiene una lista de todos los valores posibles de las entradas y sus correspondientes salidas.

Debe quedar claro que la tabla de la verdad de dos entradas de la figura, equivale a la definición anterior del funcionamiento del O.

Entrada Salida

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 Y = A + B +.... + N

(a) (b)

 En la figura viene dibujado el símbolo normalizado de una puerta lógica O, junto con la expresión de Boole para tal puerta. Esta ecuación debe leerse “Y igual A ó B ó....ó N”.

Puerta O

IDENTIDADES DE BOOLE

A + B + C = (A +B) + C = A + (B + C) A + B = B + A

A + A = A A + 1 = 1 A + 0 = A

Puerta YUna puerta Y tiene dos o más entradas y una

sola salida, y funciona de acuerdo con la siguiente definición: La salida de la puerta Y estará en estado 1, sólo si están en el estado 1, todas las entradas.

En la figura se da el símbolo del circuito Y, junto con la expresión de Boole para dicha puerta

La ecuación se lee Y igual A y B y... y N”;.a veces se coloca un punto (.) o una aspa (x,) entre los símbolos, para indicar la operación Y. Se puede comprobar que la tabla de verdad de dos entradas de la figura, responde a la definición de la función Y.

Puerta Y

Entrada Salida

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B Y

N Y = A x B x C x……. x N

IDENTIDAD DE BOOLE A BC = (AB) C = A (BC) A B = BA

AA = AA1 = AA 0 = 0

A (B + C) = AB + AC A + AB = A

A + BC = (A + B) (A + C)

Puerta NOLa puerta lógica NO tienen una sola entrada y una sola

salida, y responde a la negación lógica, de acuerdo con la siguiente definición: La salida de un circuito NO tiene el estado 1, solo si la entrada no toma el estado 1. La norma para indicar una negación lógica, es un pequeño circuito en el punto que la línea de señal se une a un símbolo lógico.

La negación en la entrada de un bloque lógico (a), y la salida en la figura (b). El símbolo de una puerta NO y la expresión de Boole para la negación.

La ecuación se lee “Y igual a NO A” o bien “Y es el complemento de A”; a veces se emplea una vírgula ( ) en lugar de un (-), para indicar la operación NO.

Leyes de MoorganLa afirmación “Si todas las entradas son ciertas, (1), la

salida es verdadera (1)” es lógicamente equivalente a “Si por lo menos una de las entradas es falsa (0), la salida es falsa (0)”. En notación de Boole, ésto equivale a escribir:

ABC = A + B + C +... 

 Si tomamos el complemento de ambos lados de esta ecuación y empleamos la ecuación A = A, obtendremos:

ABC.... = A + B + C +......

Esta ecuación y su dual:

A + B + C + .. = A B C....

Resumen Leyes fundamentales

O Y NO A + 0 = A A0 = 0 A + A = 1 A + 1 = 1 A1 = A A A = 0

A + A = A AA = A A = A A + A = 1 AA = 0

Leyes asociativas (A + B) + C = A + (B + C) (AB) C = A (BC)

Leyes Conmutativas A + B = B + A AB = BA 

Leyes distributivas A (B + C) = AB + AC

Leyes de Morgan A B ... = A + B + ... A + B + ... = AB .. 

Identidades auxiliares A + AB = A

A + A’B = A + B (A + B) (A + C) = A + BC

GRACIASUNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCO