CARPETA DE TRABAJO ESTRUCTURAS … · Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional / Dirección General de Formación de Maestros / Equipo de Formación Docente

PEAMS- Componente de Especializacin Estructuras Algebraicas/Trigonometra y su Didctica

(Documento de Trabajo)

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CARPETA DE TRABAJO

ESTRUCTURAS

LGEBRAICAS/TRIGONOMETRA Y SU

DIDCTICA


Carpetas de Formacin Continua

(FE-EATD)

mbito: Formacin Especialidad Cuatrimestre: Primer

Especialidad: Matemticas

Bolivia 2011



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MINISTERIO DE EDUCACIN

De la presente edicin: Coleccin: CARPETAS DE FORMACIN CONTINUA ESTRUCTURAS LGEBRAICAS/TRIGONOMETRA Y SU DIDCTICA CARPETA DE TRABAJO Coordinacin Viceministerio de Educacin Superior de Formacin Profesional / Direccin General de Formacin de Maestros / Equipo de Formacin Docente Continua

Equipo de Redaccin y Direccin Unidad Especializada de Formacin Continua UNEFCO Av. Vctor Paz Estensoro N 227 Tarija-Bolivia Telf.: 66-44416 Fax: 66-42805

www.minedu.gob.bo www.unefco.edu.bo

Cmo citar este documento: Ministerio de Educacin (2011). Estructuras Algebraicas/Trigonometra y su Didctica. Carpeta de Trabajo. UNEFCO Tarija-Bolivia Diseo & Impresin

UNEFCO La venta de este documento est prohibida. Denuncie al vendedor a la Direccin General de Formacin de Maestros, Telf. 2440815 o a la Unidad Especializada de Formacin Continua, [email protected].

Bolivia, Julio 2011



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PRESENTACIN El Ministerio de Educacin, en el marco de la Constitucin Poltica del Estado, la Ley de la Educacin 070 Avelino Siani - Elizardo Prez y el Sistema Plurinacional de Formacin de Maestros, ha priorizado la implementacin de acciones formativas para maestras/os normalistas del Nivel Secundario del Sistema Educativo Plurinacional, para mejorar la calidad de la educacin en dicho nivel, que por mucho tiempo no se benefici con formacin continua; en este sentido, el Programa de Especializacin y Actualizacin de Maestros de Secundaria (PEAMS) ha sido estructurado con dos componentes: especializacin y actualizacin.

La especializacin es una formacin intensiva que tiene como objetivo el de Brindar formacin especializada a maestras/os normalistas que habiendo sido formados para primaria o inicial ejercen como docentes en reas del nivel de educacin secundaria, mediante procesos de formacin centrados en aspectos disciplinares y de didcticas especficas, tomando en cuenta las necesidades reales del Sistema Educativo Plurinacional as como las nuevas polticas sociales y educativas del pas que prevn la universalizacin de la educacin secundaria, con el fin de garantizar la solvencia profesional de estos maestros/as y la calidad de la educacin de todos los estudiantes de este nivel.

Este componente es de rgimen especial y transitorio. Los/as docentes que accedan a los cursos de especializacin recibirn una certificacin para el ejercicio de las especialidades del nivel secundario, segn una normativa especial indicada en la Resolucin Ministerial N 121/2010. El programa es financiado por el Ministerio de Educacin y ejecutado por la Unidad Especializada de Formacin Continua (UNEFCO), bajo la modalidad semipresencial.

El PEAMS, tiene previsto el desarrollo de materiales de apoyo en una Coleccin denominada Carpetas de Formacin Continua, la misma que contempla una Carpeta de Trabajo y un Cuadernillo de Actividades para cada uno de los 16 mdulos de las 6 especialidades contempladas. Dicho material est organizado en unidades temticas que siguen una secuencia sistemtica para favorecer el proceso de aprendizaje de las/los participantes, cuyo contenido no slo es un recurso para fortalecer conocimientos y orientaciones pedaggico-didcticas sino una forma de ampliar la conciencia sobre el mundo y la sociedad.

Sobre la base de estos Documentos de Trabajo (versiones en construccin colectiva), tutores/as del PEAMS podrn aadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas de acuerdo a cada contexto. Invitamos a tutores y participantes de todo el pas a contribuir con observaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones ([email protected]).

Fernando Carrin J. - Director General UNEFCO

Compromiso social y vocacin de servicio: Maestras/os

forjadores de la Revolucin Educativa



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NDICE GENERAL PRESENTACIN NDICE GENERAL DATOS GENERALES DE LA CARPETA ......................................................................... 6 Introduccin ...................................................................................................................... 6 Objetivos holstico de rea/especialidad ............................................................................ 6 Objetivo holstico de la Carpeta ......................................................................................... 7 UNIDAD 1: Las generalizaciones en la aritmtica y el lgebra ................................... 8 Objetivos de la unidad ....................................................................................................... 8 1.1. Representacin de las propiedades de las operaciones aritmticas relacionadas con el lgebra .............................................................................................................................. 9 1.2. Simbologa literal ...................................................................................................... 11 1.3. La representacin de regularidades referidas a los nmeros naturales ..................... 14 1.4. Representacin de trminos generales de una sucesin de nmeros ...................... 15 Resumen de la unidad ..................................................................................................... 16 Bibliografa ....................................................................................................................... 16 UNIDAD 2: Las ecuaciones .......................................................................................... 17 Objetivos de la unidad ..................................................................................................... 17 2.1. Las Ecuaciones ........................................................................................................ 17 2.2. Construir una ecuacin ............................................................................................ 19 2.3. Conceptos y elementos asociados a una ecuacin .................................................. 20 2.4. Ecuaciones equivalentes ......................................................................................... 22 2.5. Resolucin de ecuaciones ....................................................................................... 23 Resumen de la unidad ..................................................................................................... 29 Lecturas complementarias ............................................................................................... 30 Bibliografa ....................................................................................................................... 30 UNIDAD 3: Trigonometra ............................................................................................. 31 Objetivos de la unidad ..................................................................................................... 31 3.1. Trigonometra .......................................................................................................... 31 3.2. Historia de la Trigonometra ..................................................................................... 32 3.3. Unidades Angulares ................................................................................................. 41 3.4. Tringulos oblicungulos ......................................................................................... 44 Resumen de la unidad ..................................................................................................... 46 Lecturas Complementarias .............................................................................................. 46 Bibliografa ....................................................................................................................... 46 UNIDAD 4: identidades trigonomtricas46



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Objetivos de la unidad ..................................................................................................... 46 4.1 Identidades Trigonomtricas ..................................................................................... 46 4.2 Desarrollo de las Identidades Trigonomtricas ......................................................... 49 4.3 Ecuaciones Trigonomtricas ..................................................................................... 51 4.4 Funciones Trigonomtricas de la suma y diferencia de dos ngulos ........................ 53 4.5 Didctica de las Matemticas del lgebra y Trigonometra ...................................... 55 Resumen de la unidad ..................................................................................................... 57 Lecturas Complementarias .............................................................................................. 57

Bibliografa ..................................................................................................................... 57

Anexos



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DATOS GENERALES DE LA CARPETA

INTRODUCCIN El objetivo del presente documento es desarrollar en los maestros/as, habilidades y destrezas en Especializacin Estructuras Algebraicas/Trigonometra y su Didctica, mdulo que es parte de su especialidad dentro el PEAMS, es por esta razn que brindaremos herramientas y diferentes tcnicas que puedan aplicar en el aula, como una alternativa de fortalecer sus conocimientos y capacidades, mejorando as la calidad de la educacin en dicho nivel, siendo una prioridad del Ministerio de Educacin la atencin a los maestros/as implementando el Programa de Especializacin y Actualizacin de Maestros de Secundaria (PEAMS). Este proceso de formacin se conjuga con el proceso de transformacin curricular sobre la base de los lineamientos de la nueva Educacin Boliviana. Tambin no podemos olvidar que el docente es el protagonismo de poder afianzar estrategias y conocimientos entre la formacin primaria, secundaria y superior, siendo el comn denominador de esta rea las matemticas que deber hacer frente a la globalizacin de los saberes y al mismo tiempo relacionarlos con los saberes propios de la regin. La transformacin de los conocimientos en su proceso de adaptacin supone la delimitacin de conocimientos parciales, la contextualizacin y descontextualizacin y finalmente las estrategias para trabajar en la descolonizacin de los saberes regionales. La carpeta de trabajo, nos guiara hacia las diferentes actividades propuestas en el cuadernillo de trabajo y al mismo tiempo poder cumplir con los objetivos del programa, y que el docente sea capaz de satisfacer las demandas de sus estudiantes del nivel secundario y enriquecer sus enseanzas con tcnicas propias y la didctica pertinente a las matemticas y sus caractersticas, en esta lnea puede citarse el inters por establecer un marco terico original, desarrollando sus propios conceptos y mtodos y considerando las situaciones de enseanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemolgicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los estudiantes y el maestro/a, dentro del contexto particular de la clase. Recordar que la didctica de la matemtica estudia las formas de ensear, es decir las actividades que tienen por objeto la enseanza operativa dentro el aula y evidentemente en lo que ellas tienen de especfico en matemticas.

OBJETIVO HOLSTICO DE REA

Caracterizamos el rea de Especialidad de Educacin en Matemtica y en reas productivas tecnolgicas, como una ciencia exacta, en el marco del Sistema Educativo Plurinacional, identificando la concepcin de cada una de las ciencias que la constituyen como la geometra, clculo, estadstica y las estructuras algebraicas y las matemticas aplicadas, para la comprensin del sustento terico y la operativizacin en el currculo y la prctica educativa y capaz de desarrollar la capacidad de razonamiento en el ser humano bajo los lineamientos de la Nueva ley Educativa Elizardo Prez Avelino Siani.



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OBJETIVO HOLSTICO DE LA CARPETA

Analizamos paradigmas educativos contemporneos describiendo al proceso de enseanza aprendizaje en la educacin secundaria determinando los principios y caractersticas de la didctica correspondiente, para mejorar el trabajo docente en beneficio de los estudiantes del nivel secundario, especializndonos en didctica de las estructuras algebraicas que contemplan la aritmtica algebraica, ecuaciones trigonomtricas y las identidades trigonomtricas.



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UNIDAD 1: LAS GENERALIZACIONES EN LA ARITMTICA Y EL LGEBRA

La presente unidad trata de relacionar los primeros pasos que tiene la aritmtica antes de entrar a lo que es el lgebra, ya que como sugiere el ttulo de esta carpeta, nos vamos a introducir en otro campo de la matemtica, en la que debemos detenernos y observar dnde estamos ubicados, situados, de dnde venimos y qu hemos recorrido hasta ahora. En este sentido, veremos como se inicia el lgebra y al mismo tiempo cual es la base para que este elemento como es el lgebra tenga tanta informacin y bases en lo que es el clculo de la incgnita y datos relacionados con la trigonometra y cul es su fuente o base que tenemos que estudiar detenidamente para poder abrir el campo de la enseanza y la metodologa de la didctica de las matemticas en el nivel secundario con nfasis en las estructuras algebraicas y la trigonometra. No vamos a retroceder mucho en los conocimientos que los docentes del nivel primario ya tienen, como todos sabemos y de acuerdo a su grado los estudiantes ya utilizan con tanta facilidad los nmeros naturales, los nmeros complejos y radicales. Cuando usamos las propiedades de las operaciones relacionadas con las personas, es descubrir cmo los nmeros nos ayudan a ver el contexto de nuestro cotidiano vivir, que comparado con lo social, es la misma situacin de otra persona pero que al mismo tiempo son diferentes y sus soluciones pueden ser las mismas. Esta es la base principal que el lgebra utiliza en el razonamiento lgico en las ecuaciones literales, donde nos ayudan a resolver problemas matemticos y al mismo tiempo nos ayudan a resolver nuestros problemas considerando las consecuencias. Descubriremos, adems, que todo lo anterior nos ayudara a resolver multitud de problemas de naturaleza y contextos muy diversos, ya que el mundo de los nmeros, sus operaciones y de sus relaciones, se nos presenta como una coleccin muy rica de modelos utilizables para la tarea de resolver problemas, algunos de stos generados en nuestro entorno y otros de carcter ms ldico, pero siempre como un reto a nuestra capacidad de hallar soluciones a los problemas. Y adems aprendimos a resolverlos por vas muy particulares, entre las que destacamos la del ensayo y ajuste. Cuando hablamos de la aritmticas nos referimos a lo siguiente: el mundo de los nmeros, sus operaciones y de sus relaciones, sus regularidades y patrones, la resolucin de problemas con modelos y mtodos propios.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Observamos las diferentes posibilidades y las necesidades de avanzar ms all de lo que es la aritmtica.

Entendemos la representacin de las propiedades de las operaciones como una generalizacin en la Aritmtica.



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Entendemos la representacin de las regularidades, de los patrones y de las conjeturas referidas a los nmeros como generalizaciones en la Aritmtica y Dominar las reglas que rigen la sintaxis simblica literal

1.1 REPRESENTACIN DE LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ARITMTICAS RELACIONADAS CON EL LGEBRA A continuacin vamos a estudiar algunas referencias sobre las propiedades que tiene la aritmtica en las operaciones. Por ejemplo, la adicin de nmeros naturales presenta las propiedades conmutativa, asociativa, y de existencia de un elemento neutro. As como las reglas y formas de solucin que presenta la aritmtica, por ejemplo, la primera de estas propiedades Conmutativa lo define de la siguiente manera: El orden en que se consideran dos sumandos no modifica su suma. Por ejemplo, sumar 5 a 8 sumar 8 a 5 produce el mismo resultado.

En el caso anterior, hubiramos podido representar la propiedad escribiendo: 5 + 8 =8 + 5. Pero es evidentemente, la propiedad no se restringe al ejemplo indicado; sirve para cualquier par de nmeros naturales. Cmo escribimos, representamos, esta ltima afirmacin? Una manera sencilla de hacerlo es utilizar letras que mayormente se representa las del abecedario para mayor comprensin, bajo el supuesto compartido por todos de que tales letras esconden, representan, nmeros naturales. Y as, si convenimos en llamar a y b a dos nmeros naturales cualesquiera, la propiedad asociativa de la adicin se representara:

Conmutativa en el lgebra: Para todo par de nmeros naturales a y b, se verifica:

Qu hemos ganado para expresar con esta forma de representacin de la propiedad conmutativa? Hemos ganado en generalidad. Ahora tenemos una forma de representacin que puede referirse a cualquier nmero natural, a cualquier par de nmeros naturales, etc., es por esta razn que podemos relacionarlos con objetos, formas, para poder nombrarlos sucesivamente. Lo mismo ocurre si se trata de otro tipo de nmeros como ser los complejos, radicales, reales. Por ejemplo, la misma propiedad conmutativa de la adicin puede referirse a las fracciones, en cuyo caso escribiremos:



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Conmutativa en las fracciones: Para todo par de fracciones podemos demostrar de la siguiente manera:

Si nos referimos tambin en la propiedad asociativa de la suma de los nmeros naturales obtendremos resultados de la siguiente manera:

Asociativa

Si hay ms de dos sumandos, el orden progresivo en que entran en la suma es indiferente: el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo, si hay que sumar 10, 15 y 20, puede hacerse en cualquier orden: 15 ms 20 y luego ms 10, 20 ms 10 y luego ms 15, 10 ms 15 y luego ms 20, el uso de letras nos llevara a esta representacin generalizada que demostramos luego:

Asociativa con relacin al lgebra Para cualesquiera tres nmeros naturales, a, b y c, se verifica:

Y la conjuncin de las propiedades conmutativa y asociativa nos permitira extender la representacin anterior como en el siguiente ejemplo:

Otra de las formas en que las letras nos ayudan a poder desarrollar una comprensin del uso algebraico resulta prcticamente necesario generalizar, las propiedades de las operaciones como son la de las potencias de los nmeros naturales, como lo estamos haciendo al inicio del mdulo para poder comprender su complejidad y su relacin con las operaciones algebraicas. Multiplicamos los nmeros de 35 x 32 obtenemos los siguientes resultados como ser:

Si verificamos con otros nmeros podemos comparar que tambin se repite esta misma situacin como es el uso de las propiedades de los exponentes.

224 x 226 = 2210



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A simple vista podemos definir la regla: El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican, el uso de los exponentes en la potenciacin de los nmeros naturales, en este caso tambin aplicamos la misma regla para en el uso de las letras, como ser: Si denominramos las letras a, n, m son nmeros naturales podemos demostrar lo siguiente:

Si observamos bien el proceso de generalizacin que acabamos de mostrar, nos daremos cuenta de que hemos sustituido unos smbolos abstractos (los nmeros) por otros smbolos ms abstractos todava (las letras). En efecto, las letras son una abstraccin de los nmeros, que ya son una abstraccin de realidades de nuestro entorno. Con el uso de las letras ganamos en generalidad, pero se nos plantea una cuestin: as como las expresiones con los nmeros deban guardar ciertas reglas de escritura, lo mismo debe ocurrir para las expresiones que se escriben con las letras como smbolos. En otras palabras, debemos conocer y manejar la nueva sintaxis simblica

1.2 SIMBOLOGA LITERAL Como ya nos estamos introduciendo al uso de la simbologas algebraicas como son las letras que al mismo tiempo representan a los nmeros naturales de una forma generalizada o abstracta; estos smbolos literales reciben el nombre genrico de indeterminadas, porque su valor nominal no est determinado o fijo, sino que puede pertenecer a diferentes valores pero que el uso de estas variables pueden determinar segn como se lo exponga o razonen de acuerdo a las circunstancia o momento dado. Las operaciones que definimos anteriormente lo podemos definir en el siguiente cuadro y que al mismo tiempo verificaremos que no hay mucha diferencia ms que todo en la expresin que utilizaremos.

Operacin Representacin

literal Valores

numricos Uso de nmeros naturales y la

parte literal

Adicin

Sustraccin

Multiplicacin

Potenciacin

Divisin



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Como nos podemos dar cuenta que tienen la misma similitud en el proceso y las demostraciones que nos presentan el cuadro y cmo podemos ver en la adiccin y sustraccin son los mismos pasos solamente en la representacin de lo abstracto. En cuanto a la presentacin de la multiplicacin desaparece la letra x, que en la misma aritmtica representa la operacin de por,, pero que en el lgebra ya desaparece y son usados los smbolos de punto (.), parntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, entre los nmeros y las variables determinando la posicin o demostracin que se le quiera dar para no confundir las letras algebraicas con las operaciones algebraicas esto con el fin de poder dominar expresiones lgicas o representativas de un valor determinado como son los valores numricos. En este proceso de inicio como son las expresiones como el uso de las letras y nmeros recibe el nombre de trmino (2xy, 9ab, o n trminos); el nmero que acompaa a la parte literal se denomina coeficiente: 2 en 2yz, 9 en 9ab, 1 en n. Cuando hay varios trminos se unen como en la suma o resta estos en las expresiones algebraicas o unen mediantes signos de operaciones, se forma una expresin algebraica. Debemos contar con unos smbolos y unas reglas que nos sealen cmo hacerlo. Pues bien, para ello disponemos de los parntesis del tipo ( ), [ ], { } como elementos auxiliares. As, la operacin de dividir a entre la diferencia de b y c se expresara: a / (b c). En general, ste es el orden de aplicacin de las operaciones indicadas en las expresiones literales o numrico - literales El uso de las operaciones con las simbologas algebraicas podemos definir de la siguiente manera:

- Operaciones indicadas dentro de los parntesis. Si hay parntesis dentro de otros parntesis, se procede a resolverlos de adentro hacia fuera.

- Potencias.

- Multiplicaciones y divisiones.

- Sumas y restas



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A continuacin observaremos en el siguiente cuadro algunos de los ejemplos que hemos definido, Veamos las aplicaciones de estas reglas:

Ejemplos Aplicacin de las reglas Caso numrico

9ab La expresin nos dice que es una multiplicacin de tres factores: 9, a, b.

Si a = 5, b =3 9 a b = 9 * 5 *3 = 12015

12 a + 3 c Primeramente se efecta las multiplicaciones por separados y los resultados se suman de acuerdo a sus cantidades

Si a = 2, c = 4 12 a + 3 c = 24 + 12 = 36

3 m + 2 Se efecta la multiplicacin de 3 m y luego se suma el coeficiente que es 2

Si m = 5 3 m + 2 = 2 x 5 + 2 = 10 + 2 = 12

12 ( x 5 ) Se resta 5 al valor de x y este resultado se multiplica por 12.

Si x = 8 12 (x 5) =

12 * (8 5 ) = 12 * 3 = 36

4 ( 13 a x ) Se efecta la multiplicacin de 13 a; se resta el valor de x; se multiplica el resultado anterior por 4.

Si a = 2, x = 15 4(13 a x) = 4 *(13 * 2- 15) = 4 * (26 15) = 4 * 11 = 44

3 a2 Se calcula la potencia de a

2; luego se

multiplicamos el valor de 3

Si a = 4 3 x 42 = 3 x 16 = 48

( 2 a )2 Se multiplica primeramente el producto de 2 a y este resultado se eleva al cuadrado.

Si a = 4 ( 2 a )2 = (2 x 4 )2 = 82 = 64

a2 b2 Se calcula primeramente las potenciaciones y los resultados se restan

Si a = 3, b = 2 a2 b2 = 32 22 = 9 4 = 5

( x y )2 Se efecta la diferencia y luego se eleva al cuadrado

Si x = 10, y = 6 ( x y )2 = ( 10 6)2 = 42 = 16

Se calcula la potencia respectiva de y se multiplica por 3 (primer resultado); se efecta la multiplicacin y se agrega ms 5

(segundo resultado). Se dividen ambos resultados

Si x = 3



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Ahora, vemos que en el caso de las expresiones simblicas literales, el signo de igualdad no es una invitacin para obtener el resultado numrico de una operacin; simplemente indica un equilibrio, una simetra, entre las expresiones que se hallan a ambos lados del signo: ambas tienen el mismo valor. Ya nosotros utilizamos este tipo de igualdad en algunos temas de Aritmtica; por ejemplo, al hablar de la potenciacin escribamos igualdades como estas para representar algunas regularidades referentes a los nmeros naturales: Como en el uso de los productos notables algunos casos responden a ciertas que reglas que son definidas por simple inspeccin como en el siguiente caso:

1.3. LA REPRESENTACIN DE REGULARIDADES REFERIDAS A LOS NMEROS NATURALES En el proceso de las operaciones que presentamos tambin debemos fundamentar lo que es una regla de simple inspeccin como lo son los productos notables que rigen ciertas reglas que a continuacin definimos:

Cuadrado de un binomio: es igual al cuadrado del primer trmino ms o menos el duplo del primer trmino por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino. Por ejemplo:

Cubo de un binomio: es igual al cubo del primer trmino ms o menos el triplo del primer trmino al cuadrado por el segundo trmino, ms el triplo del primer trmino por el segundo trmino al cuadrado, ms o menos el cubo del segundo trmino.

Trinomio de la forma (x + a)(x + b): es igual al cuadrado del primer trmino, la suma o diferencia de los segundos trminos por la raz del primer trmino, ms el producto de los segundos trminos.

Esta necesidad de generalizacin, de expresar la generalidad, es tan sentida que, como acabamos de recordarlo, no pudimos resistir la tentacin de utilizar expresiones simblicas literales en algunos casos de los productos notables y de factorizacin.



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As que, sin querer queriendo, ya hemos justificado el uso de estas expresiones para representar regularidades propias de los nmeros naturales. Este uso de la expresin simblica literal de una regularidad [por ejemplo, (n + 1)2 n2 = [ n + ( n + 1) ] abarca todos los casos numricos particulares y dice la regularidad de una manera ms resumida que su expresin verbal (la diferencia de los cuadrados de dos nmeros naturales consecutivos es igual a la suma de dichos nmeros consecutivos). Sin embargo, quien lee (n + 1)2 n2 = n + (n + 1) debe estar siempre en capacidad de interpretar su contenido, es decir, de saber formular su expresin verbal.

1.4. REPRESENTACIN DE TRMINOS GENERALES DE UNA

SUCESIN DE NMEROS.

En los ejercicios de Aritmtica hemos planteado algunos en los que se daban algunos trminos de una sucesin de nmeros y se peda averiguar algn nmero omitido, o el siguiente de la sucesin. Un ejercicio de esta especie puede ser: Cul es el nmero que ocupa la posicin 15 en esta sucesin de nmeros: 2, 4, 6, 8, 10,...? Resolver primeramente este ejercicio al primer paso puede ser difcil y para alguno un poco tardo, esto no es que no comprendan los significados sino la falta de prctica para la resolucin de ejercicios implica averiguar cul es la ley o regla que se aplica para generar cada uno de los nmeros de la sucesin. Al intentar hacerlo nos percatamos enseguida de que estamos tratando con dos tipos de nmeros: uno, el que indica la posicin en que se halla cada nmero (n); y dos, el nmero que ocupa esa posicin (an ). Para el ejemplo dado:

Posicin que ocupa (n) Nmero que ocupa esa posicin (an )

N = 1 A1 = 2

N = 2 A2 = 4

N = 3 A3 = 6

Etc. Etc.

Pues bien, lo que tenemos que hacer es descubrir la relacin que existe entre cada par de nmeros: posicin ocupada y nmero que ocupa esa posicin (1 y 2; 2 y 4; 3 y 6; etc.); es decir, debe tratarse de una relacin constante, la misma para cada par de nmeros relacionados. En nuestro caso es sencillo: el nmero que ocupa una posicin es el doble del

nmero que indica la posicin ocupada: an es el doble de n. Ahora resulta sencillo representar esta relacin: el trmino general de la sucesin es an = 2n. Ahora estamos listos para contestar la pregunta: el nmero que ocupa la posicin 15 (n = 15) en esta sucesin es a15 = 2 x 15 = 30. Y, adems, podemos saber qu nmero ocupa cualquier otra posicin en la sucesin, as como la posicin que ocupa cualquier nmero; por ejemplo, el nmero 628 est en la posicin 314 de esa sucesin (por qu?).



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A continuacin presentamos el siguiente cuadro para mayor orientacin sobre los que estamos estudiando:

Representacin simblica del trmino general

Tipo de nmero representado Valores numricos

Mltiplos de 5 0, 5, 10, 15, .

Mltiplos de a 0, a, 2 a, 3 a .

Nmeros impares 1, 3, 5, 7, .

Potencias de 10 1, 10, 100, 1000,

Cuadrado de nmeros naturales, ms 1 unidad

1, 2, 5, 10, 17,

Cuadrado de los nmeros naturales, a partir de 4

4, 9, 16, 25, 36, ..

Cuadrado de nmeros naturales a partir de 4

4, 9, 16, 25, 36, .

Mltiplos de 6, ms 3 unidades (nmeros que, al dividirse entre 6, dan 3 como resto)

3, 9, 15, 21, 27, ..

Fracciones de esas forma

Potencias de 0, 1 1; 0,1; 0,01; 0,001;

RESUMEN DE LA UNIDAD En esta unidad tratamos que reflexionemos un poco sobre el uso de los nmeros naturales y de sus respectivas reglas y su importancia que pueden tener en el uso de las operaciones algebraicas sin perder su origen y significado. Entender cuan importantes es conocer las reglas respectivas en la representacin de las propiedades de las operaciones como una generalizacin en la Aritmtica.

BIBLIOGRAFA

- Baldor, Aurelio (S/A). lgebra. - Andonegui. Martin (2007). Introduccin al lgebra. Caracas. Federacin Internacional de

Fe y Alegra. - Gutirrez. Pedro Antonio (2007). Matemtica 1: Bolivia; Editorial LA HOGUERA - Blsamo. Josefina y Contenidos de Fondo Educativo Panamericano (2009).

Matematicas 1. Impreso Bolivia: Editorial EL PAURO.



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UNIDAD 2: LAS ECUACIONES


Reflexionamos sobre la construccin de las ecuaciones partiendo de igualdades aritmticas.

Comprendemos los conceptos de ecuacin, incgnita, y la forma de una ecuacin.

Hallamos ecuaciones equivalentes a partir de una dada.

2.1. LAS ECUACIONES Hasta ahora hemos visto la necesidad de avanzar ms all de la Aritmtica, precisamente para dotar de generalidad a la representacin de las propiedades de las operaciones entre nmeros naturales, ciertas regularidades que se presentan entre tales nmeros, los patrones o trminos generales de secuencias numricas, conjeturas acerca de los nmeros, y para su correspondiente prueba. Existe otro campo de trabajo fundamental en la Aritmtica, que es la resolucin de problemas. Hemos trabajado con algunos mtodos propios, tales como utilizar las operaciones y sus propiedades como modelos de las situaciones problemticas; tambin nos hemos servido del mtodo general de ensayo y ajuste, que sugiere probar con valores particulares de la incgnita del problema y tomar decisiones a partir de los resultados as obtenidos, hasta llegar a la solucin. Pero despus de lo desarrollado en esta carpeta, es lcito preguntarnos: Tambin es posible avanzar hacia procesos ms generales de resolucin de problemas? Existe algn mtodo general, vlido como el de ensayo y ajuste, que permita abordar la resolucin de un problema sin tener que ir probando con valores particulares de la incgnita del problema? Veamos un problema, planteado y la forma de cmo podemos desarrollarlo: La suma de tres nmeros impares consecutivos es 81. Cul es el menor de ellos?. La solucin dada es determinar cul es el numero base para poder resolverlos, basta con aproximarnos por tanteo como el de pensar en dividir el numero en tres pares iguales y luego jugar con los nmeros y se llega con la siguiente definicin y el valor aproximado es 25

(25 + 27 + 29 = 81).

Si en el enunciado anterior se nos hubiera dicho que la suma es 126, el mtodo de tanteo hubiera funcionado igual, pero habra que ensayar con otros nmeros particulares, hasta llegar al ajuste correspondiente.



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Hay otra forma de plantear la bsqueda de la solucin? S. Pensamos en el enunciado de esta manera: tengo que sumar al nmero menor otro que es 2 unidades mayor, y un tercero que es 2 unidades mayor que el anterior, es decir, 4 unidades ms que el primero; en total estoy acumulando tres veces el nmero menor, ms 6 unidades; este total debe valer 81. Podemos abreviar todo ese discurso si al nmero menor (que es la incgnita del problema) lo designamos con una letra; por ejemplo, n. Entonces el planteamiento hacia la solucin se escribira: n + (n + 2) + (n + 4) = 81. Qu es esta expresin? Qu representa? Desde luego, no representa una propiedad de la suma de nmeros, tampoco una regularidad que se cumple para todos los nmeros, ni tampoco el patrn de una sucesin numrica, ni tampoco una conjetura de carcter general. A pesar de que utilizamos un smbolo literal, ya no estamos en el mbito de las expresiones que representan una generalizacin. Por defecto definimos que la Ecuacin, igualdad en la que intervienen una o ms letras, llamadas incgnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Las expresiones que estn a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuacin: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se llama solucin de una ecuacin a un valor de la incgnita, o a un conjunto de valores de las incgnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuacin puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo: La suma de dos edades es 34, si el menor tiene cuatro aos menos que el mayor. Hallar ambas edades. A simple vista pareciera que fuera difcil, pero lo resolveremos por tanteo y la nica solucin por el momento es de dividir los 34 aos entre 2 y el resultado es 17 y a continuacin jugamos con los nmeros y encontramos que el menor tiene 15 aos y el mayor 19 aos, lo cual verificamos con la expresin 15 + 19 = 34. Ahora con otro ejercicio 3x 7 = x + 1 es una ecuacin con una incgnita. Tiene una nica solucin: x = 4. Seguimos con las ecuaciones de x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de dos cuadrados es un nmero positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumndole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15. Pero despus de lo desarrollado en este Carpeta, es lcito preguntarnos: Tambin es posible avanzar hacia procesos ms generales de resolucin de problemas? Existe algn mtodo general, vlido como el de ensayo y ajuste, que permita abordar la resolucin de un problema sin tener que ir probando con valores particulares de la incgnita del problema? Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solucin. As, la ecuacin 3x 7 = x + 1 es equivalente a 2x 8 = 0 porque ambas tienen como solucin nica x = 4.



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En lo que sigue vamos a estudiar con detenimiento este nuevo objeto matemtico y cmo se trabaja con l para poder llegar a la solucin de los problemas, es decir, a obtener el valor de la incgnita de cada problema. Pero lo que nos interesa destacar es que llevar el enunciado de un problema a una ecuacin es un nuevo mtodo para resolver ciertos problemas. Y es un mtodo general. En efecto, si en el problema anterior la suma debe ser 129, la ecuacin correspondiente ser n + (n + 2) + (n + 4) = 129. Cambia ese dato final, pero no la estructura de la ecuacin. Ms an, si el enunciado indica que la suma de 5 nmeros impares consecutivos es 405 y hay que hallar el mayor, la ecuacin ser (n 8) + (n 6) + (n 4) + (n 2) + n = 405; la ecuacin tiene una estructura similar a las anteriores. Es decir, la estructura de la ecuacin est preparada para aceptar diversos casos particulares y representarlos. Por este proceso vamos a estudiar un poco detenidamente de cmo podemos resolver ecuaciones para poder resolver problemas. Como una actividad en el campo de la matemtica la ecuacin es muy importante en s misma.

2.2. CONSTRUIR UNA ECUACIN Nos preguntaremos primeramente aunque en anterior punto lo hemos definido, qu es una ecuacin y cun importante es en nuestro contexto? En este concepto bsico podemos tambin dar a conocer de cmo se puede formar una ecuacin y una de ellas es determinar una igualdad, y para ello nada mejor que saber construirla: si sabemos fabricar una ecuacin tendremos asegurada una respuesta a esa pregunta. Una ecuacin es una igualdad aritmtica en la que hay algn nmero desconocido. El smbolo (letra) que esconde ese nmero se denomina incgnita. Resolver una ecuacin significa hallar el valor numrico de la incgnita. Una ecuacin est bien resuelta si al sustituir la incgnita por el valor numrico hallado se hace verificable la igualdad aritmtica inicial. En este caso hemos hallado la solucin de la ecuacin. Vamos a hacerlo. Tomemos, por ejemplo, el nmero 13 y escribamos algunas expresiones aritmticas que liguen nmeros naturales con operaciones y cuyo resultado sea 13. En seguida se nos vienen a la mente las ms sencillas, las que utilizan dos nmeros ligados por un signo de operacin; por ejemplo: 9 + 4; 18 5; 26 / 2; 5 + 8; etc. En un segundo paso, seguramente empezamos a manejar expresiones ms complejas, con ms nmeros o ms operaciones implicadas; por ejemplo: 6 + 6 + 1; 8 + 10 5; 3 x 4 + 1; 30 / 2 2; 2 x 5 + 3; 6 x (4 1) 5; 42 + 4 7; etc. Como se puede apreciar, la lista de expresiones no tiene fin cuando cada uno puede pensar muchas posibles soluciones de dar una repuesta adecuada y combinas de acuerdo a la complejidad de solucin podamos dar de acuerdo al grado.

Hay que hacer notar que los smbolos que habitualmente se utilizan para esconder los nmeros son los de uso ms universal: las letras. De este modo, si tomo la letra m (que es la inicial de mi nombre), la expresin anterior ser: 2 x m + 3 = m + 8 cuya escritura formal, segn vimos anteriormente, ser: 2m + 3 = m + 8. Acabamos de construir una ecuacin.



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Tambin podramos haber partido de la igualdad aritmtica 42 + 4 7 = 3 x 4 + 1 en la que, si escondemos el nmero 4 por la letra y (que es la ltima letra de mi nombre), llegamos a la

expresin: cuya escritura formal ser: Hemos construido otra ecuacin. Ahora ya podemos responder a la pregunta anterior, qu es

una ecuacin.

2.3. CONCEPTOS Y ELEMENTOS ASOCIADOS A UNA ECUACIN Antes de continuar con los contenidos temticos aremos un pequeo recuerdo de lo que hemos estado estudiando en una sntesis. Una ecuacin es una igualdad aritmtica en la que hay algn nmero desconocido. El smbolo (letra) que esconde ese nmero se denomina incgnita. Resolver una ecuacin significa hallar el valor numrico de la incgnita. Una ecuacin est bien resuelta si al sustituir la incgnita por el valor numrico hallado se hace verificable la igualdad aritmtica inicial. En este caso hemos hallado la solucin de la ecuacin. Tambin utilizando otras definiciones tenemos: una ecuacin numrica es una ecuacin que

no tiene ms letras que las incgnitas, como donde la nica letra es la incgnita x, como

Una ecuacin literal es una ecuacin que adems de las incgnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas como:

Una ecuacin es entera cuando ninguno de sus trminos tiene denominador como los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuan algunos o todos sus trminos tienen denominador, como:

En una ecuacin ya construida encontramos los siguientes elementos: Los miembros de la ecuacin son las expresiones que se ubican a cada lado del signo =. As, en 2m + 3 = m + 8, el miembro de la izquierda es 2m + 3, y el de la derecha, m + 8. Y anlogamente,

y en . En cada miembro encontramos trminos, que son las expresiones separadas por los signos

+ . Por ejemplo, en hay tres trminos: y 7. Algunos trminos tiene su coeficiente numrico y su parte literal; por ejemplo, en 3n, 3 es el coeficiente y n la parte literal; y en m, el coeficiente es 1 y m la parte literal. Otros trminos se reducen a un nmero, como por ejemplo, 3, 8, 7, 1.



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El grado de la ecuacin viene dado por el mayor exponente que presenta la incgnita

respectiva. As, la ecuacin es de grado 2 o de segundo grado,

mientras que es una ecuacin de primer grado o de grado 1. El nmero de incgnitas de una ecuacin es otro elemento a tomar en cuenta. As, 2m + 3

= m + 8 y son dos ecuaciones con una sola incgnita cada una. En cambio, es una ecuacin con dos incgnitas.



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2.4. ECUACIONES EQUIVALENTES En cuanto a las resoluciones o al mismo tiempo de plantear una ecuacin pueden compartir la misma solucin. En el proceso de la similitud y la forma y cuanto a las que lo hacen se denominan ecuaciones equivalentes. Por ejemplo y dentro del conjunto de las ecuaciones

de primer grado con una incgnita en N, y son ecuaciones equivalentes, ya que para ambas la solucin es 5. Por el momento nos interesan, en particular, las ecuaciones que se van derivando de una ecuacin dada a partir de transformaciones que sean vlidas. Como una ecuacin es una igualdad aritmtica, las transformaciones vlidas son aquellas que conservan la igualdad de

ambos miembros. Veamos algunas de ellas, aplicadas a la ecuacin cuya solucin es 5. Que con mayor comprensin verificaremos en el siguiente cuadro:

Transformaciones validas Ejemplos Solucin

Cambiar la letra que designa a la incgnita pero sin variar la ecuacin

Cambiar de la los miembros de la ecuacin

Cambiar el orden de los trminos en los miembros de la ecuacin

Sumar el mismo trmino en ambos miembros de la ecuacin

Sumar

Sumar 3 m

Restar el mismo trmino en ambos miembros de la ecuacin

Restar 3

Restar m

Multiplicar ambos miembros de la ecuacin (los coeficientes de todos los trminos) por el mismo nmero

Multiplicar por 3

Dividir ambos miembros de la ecuacin (los coeficientes de todos los trminos)

por el mismo nmero

Dividir entre 2

Combinar con algunas de las

transformaciones anteriores

Multiplicar 2 y agregar 5

Combinar las tres primera



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2.5. RESOLUCIN DE ECUACIONES Como ya nos estamos relacionando con las ecuaciones y su importancia que tiene para darle funcin podemos decir que resolver una ecuacin es encontrar su solucin, es decir, el valor numrico de la incgnita; este valor, al sustituirse en la ecuacin, restituye y hace verificable la igualdad aritmtica inicial o sea que el valor obtenido en el miembro izquierdo es el mismo valor en el miembro derecho. Como hemos visto algunos procesos de formar ecuaciones y diferentes procedimientos disponibles para resolver ecuaciones, digamos que stas pueden presentar varias formas, como ya hemos visto en los ejemplos presentados hasta ahora.

La forma , en la que son coeficientes (generalmente, nmeros naturales, alguno de los cuales puede ser eventualmente igual a cero), se denomina forma cannica de la ecuacin de primer grado con una sola incgnita en N. A continuacin veremos algunos procesos de calculo que podemos desarrollar en el transcurso del mdulo y al mismo tiempo las diferentes soluciones o alternativas que podemos utilizar.

a) Los mtodos intuitivos: Corresponden a ecuaciones muy sencillas; por ejemplo, para resolver una ecuacin como , basta recordar las tablas de la suma

o, simplemente, contar desde 5 hasta 11 y deducir que debe ser igual a 6. O para el caso de , es fcil percibir que, como es igual a , entonces

debe corresponder a , con lo que debe valer . Igualmente, para ecuaciones como , podemos percibir que equivale a (para ajustar el

resultado de la suma ), de donde se sigue que .

En todos los procesos o casos prevalece una visin integral de la ecuacin como un todo, como una relacin de igualdad que comprende todos los trminos de los dos miembros, y no slo una visin aislada de la incgnita. Por esta razn, estos mtodos son perfectamente vlidos y no deben desdearse, aun cuando en este proceso de resolucin no se escribe nada y el resultado se limite a describir verbalmente el proceso seguido. Es ms, esta visin integral de toda ecuacin debe ser uno de los objetivos a alcanzar en las tareas de resolucin de ecuaciones.

b) El mtodo de ensayo y ajuste (tanteo razonado): Este es un proceso donde cada

uno de los lectores o participantes trata de asignar un valor inicial a la incgnita, al mismo tiempo reemplazarlo o sustituirlo en la ecuacin, observamos si los dos miembros de la ecuacin toman el mismo valor, y decidir en consecuencia. Por

ejemplo, intentemos resolver la ecuacin .

Damos a x el valor inicial 3; el miembro de la parte izquierda queda igual a 8 y el de la derecha, a 14; en este sentido hay que tener mucho cuidado en dar una ecuacin porque si

analizamos el valor que le estamos dando, 3 no es la solucin requerida ya que ;

notamos que la diferencia entre estos valores . Damos ahora a ; el miembro de la izquierda queda igual a 13 y el de la derecha, a 17; tampoco 4 es la solucin

requerida, pero observamos que la diferencia entre estos ltimos valores ; es decir, la diferencia se ha acortado (ha pasado de 6 a 4).



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Esta ltima observacin significa que el proceso de incrementar el posible valor de x, a partir del valor inicial 3, es correcto: la incgnita vale ms que 3. En efecto, si en lugar de 4 hubiramos dado a la incgnita el valor 2, el miembro de la izquierda hubiera quedado igual a 3 y el de la derecha a 11, y la diferencia entre estos ltimos valores 11 3, sera 8; es decir, la diferencia se habra incrementado (pasara de 6 a 8).

Por consiguiente, despus de dar estos dos pasos, es decir, de asignar dos valores a la incgnita, estamos en capacidad de decidir hacia dnde tenemos que ensayar nuevos valores de la incgnita. En el ejemplo que nos ocupa, este valor es mayor que 4. Resta, pues, probar con 5, con 6..., hasta llegar al punto en que los dos miembros de la ecuacin alcancen el mismo valor. Esto quiere decir solamente en dar valores sin encontrar en el despeje de la incgnita que veremos a continuacin en el siguiente punto.

En nuestra ecuacin esto ocurre con ; en efecto, los dos miembros de la ecuacin toman el valor 23 (que es el valor de la igualdad aritmtica inicial). Podemos afirmar que este mtodo de ensayo cumple para algunas ecuaciones cuando est planteado para menor grado de similitud como ser en los nios con el ensayo y el ajuste es muy largo y, por consiguiente poco econmico y muy complejo.

Aparentemente es as, pero tiene la ventaja de que tambin toma en cuenta a toda la ecuacin de una manera integral, y no slo a las incgnitas; y adems, nos recuerda el origen de las ecuaciones, la igualdad aritmtica original, ya que en cada ensayo nos obliga a considerar si se ha alcanzado o no dicha igualdad.

Como en el caso de los mtodos intuitivos, tampoco aqu se est obligando a escribir el proceso de resolucin; el mtodo puede desarrollarse mentalmente. Pero podemos ayudarnos con un esquema sencillo para desarrollarlo mentalmente antes de plantear una ecuacin. Como el de determinar cul es la ecuacin que voy a dar y que datos voy a escribir en la parte izquierda y que datos en la parte derecha.

c) Los mtodos de despeje: Como ya hemos visto algunos de los proceso de posible solucin ahora entraremos de acuerdo a las soluciones de encontrar el valor de la incgnita y las solucione ms adecuadas de resolver una ecuacin, determinando cuando se llega a obtener el valor de la incgnita; es decir, cuando se llega a una expresin como x = 5. Bien observada, esta ltima expresin tiene tambin la forma de una ecuacin: hay dos miembros ligados por el signo de igualdad. La particularidad est en que en uno de los miembros figura la incgnita con coeficiente 1 que debe acompaar a la variable y en el otro, un nmero. En lo que respecta a la incgnita, debe estar sola, despejada de cualquier otro trmino y de cualquier otro coeficiente que no sea 1.

Por consiguiente, es lgico pensar en un mtodo que parta de la ecuacin original y que, mediante una cadena de ecuaciones equivalentes obtenidas por la aplicacin de transformaciones vlidas, nos lleve a una expresin en la que la incgnita aparezca despejada. Y resulta natural identificar a este proceso como el mtodo de despeje.

c.a La tcnica de la balanza Consideremos la ecuacin 2x + 9 = 5x + 3, en la

que los trminos numricos y los coeficientes de la incgnita son todos positivos. Podemos representar esta situacin mediante una balanza en



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equilibrio (imagen de la igualdad), en la que cada platillo simboliza un miembro de la ecuacin; y para representar los trminos utilizamos, por ejemplo, un para cada x y un para cada unidad numrica.

El equilibrio final traduce la equivalencia en peso de los objetos contenidos en cada platillo;

es decir, un equivale a . Si regresamos ahora a las representaciones inciales, decimos que hemos llegado al resultado: x = 2. Esta es la solucin de la ecuacin, como puede verificarse; el valor de la igualdad aritmtica inicial es 13. Como puede apreciarse, el procedimiento es til para manipular y captar visualmente las transformaciones que afectan a cada miembro de la ecuacin (platillo) y que van generando la cadena de ecuaciones equivalentes que nos llevan a la solucin. Su limitacin consiste en que los trminos numricos y los coeficientes de la incgnita deben ser todos positivos.



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c.b La tcnica del grfico transformacional Este proceso es aquel que demuestra procedimientos, a partir de la ecuacin inicial, las transformaciones que se aplican en cada paso y las ecuaciones equivalentes que se generan como resultado van cambiando de acuerdo al orden que se le est dando y los procedimientos son los mismos y los resultados diferentes. As, para nuestra ecuacin partimos de su representacin inicial, en la que se colocan los trminos de cada miembro encima y debajo de los lados horizontales de un rectngulo: Vamos a trabajar en los mtodos para su resolucin.

Si consideramos como base este ejercicio nos damos cuenta que la parte izquierda de la ecuacin est colocado en la parte superior, y la parte derecha de la ecuacin est en el lado inferior y con esto jugaremos con el valores y encontraremos el valor de la incgnita.

Evidentemente nos podemos dar cuenta que para poder ensear de como poder demostrar un despeje de variable se puede dar como lo demostramos en el grfico y al mismo tiempo al disminuirle -2x, se procede en la disminucin de ambas partes, luego le disminuimos -3, afirmamos ya casi con el valor ms simple de la expresin de la incgnita y por ultimo vemos que ambos son divisibles entre tres los dividimos 3, encontramos que el valor de la incgnita es x = 2. Ahora ya con este ejemplo podemos agregar algunos componentes lgebraicos y al mismo tiempo hacerlo ms complejo para que nuestros participantes comprendan los procesos, como en el siguiente ejercicio vamos a demostrar:

Como se puede apreciar, las dos primeras transformaciones no implican operaciones aritmticas referidas a ambos miembros de la ecuacin, sino



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simplemente transformaciones en la expresin de uno de los miembros, con el fin de llegar a la forma cannica de la ecuacin.

c.c La tcnica simblica habitual: La tcnica de despeje que se utiliza habitualmente para la resolucin de una ecuacin de primer grado es una simplificacin de la tcnica transformacional anterior, en el sentido de que nicamente se presenta la cadena de ecuaciones equivalentes, en su forma simblica, sin indicar explcitamente la transformacin que se lleva a cabo en cada paso. As, en nuestra ecuacin 2x + 9 = 5x + 3, la secuencia de resolucin es:

(1) 2x + 9 = 5x + 3 (2) 2x + 6 = 5x (3) 6 = 3x (4) 2 = x

En la solucin que aplicaremos para poder resolver las ecuaciones es que debemos en primer lugar tratar de hacer desaparecer las variables en uno de los miembros de las ecuacin, como ser: de (1) se pasa a (2) porque el 3 que est sumando pasa restando; de (2) se pasa a (3) porque el 2x que est sumando pasa restando; de (3) se pasa a (4) porque el 3 que est multiplicando pasa dividiendo. Estas reglas mecnicas que suelen aplicarse son, pues, reglas que damos con mucha repeticin en el curso que a su vez suena algo montono para algunos estudiantes y para otros una regla de oro: 1) lo que est sumando, pasa restando; 2) lo que est restando, pasa sumando; 3) lo que est multiplicando, pasa dividiendo; 4) lo que est dividiendo, pasa multiplicando. Esta tcnica tiene el objetivo de resolver como nos explica el libro del lgebra: Resolver una ecuacin es hallar sus races, o sea el valor o los valores de las incgnitas que satisfacen la ecuacin. Y como regla general tenemos:

1. Se efectan las operaciones indicadas, si las hay 2. Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los

trminos que contengan la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

3. Se reducen trminos semejantes si los hay en cada miembro. 4. Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el

coeficiente de la incgnita. Lo que hay que afirmar que los procesos presentados son de conocimientos general y que no deben conocer los alumnos ya que el mtodo de la tcnica del grafico transformacional no solo es de demostracin sino una forma de apropiacin del concepto de resolucin de ejercicios Indudablemente; en todo caso deben ser descubiertas por ellos, como una conclusin prctica y posterior de su trabajo con la aplicacin de las transformaciones



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correspondientes. Slo si se guarda este orden se evitarn los errores tan frecuentes en las tareas de despeje de la incgnita. 1De modo que la secuencia de aprendizaje de la resolucin de una ecuacin de primer grado por el mtodo de despeje, bien puede pasar por las dos tcnicas previas (de la representacin en la balanza y por medio del grfico transformacional) antes de llegar al modo habitual de slo presentar la cadena de ecuaciones equivalentes (mal acompaada, a veces, por las reglas mecnicas de su uso y la falta de aclaracin y su funcionalidad correspondiente)

. La experiencia ensea que habituarse a este tipo de traslacin de lo grfico a lo simblico con trminos numricos positivos, facilita la comprensin posterior de las transformaciones simblicas en ecuaciones con trminos negativos.

c.d El tanteo formalizado: la regla falsa o de falsa posicin Retrocedamos un poco a la ecuacin que nos sirvi de ejemplo anterior al hablar del mtodo

de ensayo y ajuste, Como vimos, empezamos a ensayar con los valores para x, con los que obtuvimos los valores

respectivos de los miembros de la izquierda y de la derecha, (para ) y 13 y 17 (para ); tambin obtuvimos las diferencias entre

ambos miembros, en cada caso, . Vamos a llevar todos estos datos a la siguiente tabla, y agregaremos los correspondientes a y a (el subndice que se coloca a las incgnitas indica el orden en que se consideran;

as, indica que 4 es el segundo valor de x considerado):



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Valor de la incgnita

Valor del miembro de la izquierda; I

Valor del miembro de la

derecha: D

Diferencia: F F = ( I D ) ( D I )

8 14 D I = 6

13 17 4

18 20 2

23 23 0

Cuando analizamos por simple inspeccin por el mtodo de ensayo y ajuste slo remarcamos dos puntos: que la diferencia F disminuy al pasar de a (lo que indicaba que la solucin estaba del lado de los valores mayores que 3) y que haba que seguir ensayando con algn valor mayor que 4, hasta llegar a la solucin (cuando F = 0).

Ahora podemos fijarnos en otro dato adicional: la variacin de F. Cuando x vale 3, F toma el valor 6; despus, al incrementarse x en una unidad (al pasar de 3 a 4, de 4 a 5, y de 5 a 6), F disminuye en 2 unidades (de 6 a 4, de 4 a 2, y de 2 a 0). Pero realmente no tenamos que haber completado la tabla hasta llegar a tener F = 0. Con los dos primeros ensayos (x = 3 y x = 4) podamos haber calculado la solucin de la ecuacin. En efecto, estamos en presencia de una situacin proporcional: cada vez que x aumenta una unidad, la diferencia disminuye en 2 unidades. La pregunta es: cuntas unidades tiene que aumentar x para que la diferencia se anule? Podemos plantear la siguiente regla de tres: Aumento del valor de x disminucin de la diferencia F 1 2 a 6 de donde, a = 3. Es decir, la incgnita debe aumentar 3 unidades a partir de su valor inicial, que era 3. Por lo tanto, la solucin de la ecuacin es x = 6. Puede verificarlo.

RESUMEN DE LA UNIDAD

Aumento del valor de x Disminucin de la diferencia

1 2

a 6

Para finalizar en este punto el resumen de la ecuacin con su respectivo despeje llegamos a

la siguiente conclusin de donde . Es decir, la incgnita debe aumentar 3

unidades a partir de su valor inicial, que era 3, por lo tanto la solucin de la ecuacin es , si existiera alguna duda nos pondremos a analizar el ejercicios y verificaremos que lo

que estamos diciendo es verdico.



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LECTURAS COMPLEMENTARIAS

- Baldor, Aurelio (aos). lgebra. Ecuaciones de primer grado. - Gutirrez. Pedro Antonio (2007). Matemtica 1: Bolivia; ecuaciones de primer grado,

BIBLIOGRAFA

- Baldor, Aurelio (aos). lgebra. - Andonegui. Martin (2007). Introduccin al lgebra. Caracas. Federacin Internacional

de Fe y Alegra - Gutirrez. Pedro Antonio (2007). Matemtica 1: Bolivia; Editorial LA HOGUERA - Blsamo. Josefina y Contenidos de Fondo Educativo Panamericano (2009).

Matemticas 1. Impreso Bolivia: Editorial EL PAURO



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UNIDAD 3: TRIGONOMETRIA OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Reflexionamos la importancia que tiene la trigonometra en nuestro contexto.

Analizamos los diferentes conceptos generales que tiene la trigonometra y su aplicacin en el diario vivir.

Nos apropiamos de las diferentes funciones y definiciones de las funciones trigonomtricas de acuerdo a su variacin de solucin.

3.1. TRIGONOMETRA Las definiciones que podemos averiguar en las diferentes bibliografas de lo que es la trigonometra son las siguientes:

- Trigonometra.- (Del gr. ). f. Parte de las matemticas que trata del clculo de los elementos de los tringulos planos y esfricos. || ~ esfrica. f. La que trata de los tringulos esfricos. || ~ plana. f. La que trata de los tringulos planos

- La trigonometra es una rama de la matemtica, cuyo significado etimolgico es "la

medicin de los tringulos". Se deriva del vocablo griego "tringulo" + "medida".

La trigonometra es la rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los ngulos y los lados de los tringulos. Para esto se vale de las razones trigonomtricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en clculos tcnicos. En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites. Tambin en otras definiciones tenemos que la Trigonometra, es una rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos. Etimolgicamente significa medida de tringulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia y la astronoma, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seno_%28trigonometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_%28trigonometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial



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trigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenos peridicos, como el flujo de corriente alterna.

3.2. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRA La agrimensura y la navegacin son prcticas que, desde sus orgenes, han requerido el clculo de distancias cuya medicin directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el mbito de la astronoma. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometra; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relacin las medidas de los lados de un tringulo con las medidas de sus ngulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaa hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcacin hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medicin directa; en cambio, el ngulo que forma la visual dirigida a un accidente geogrfico, o a un punto de la bveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida segn la horizontal), acostumbra ser fcil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometra es establecer las relaciones matemticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un tringulo con las medidas de las amplitudes de sus ngulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. Entre los ms importantes en lo que estudia la trigonometra tenemos los siguientes conceptos y definiciones de su estudio NGULOS Asociada tradicionalmente a un captulo tan importante de la actividad humana como es el de la observacin astronmica, la nocin de ngulo es bsica en geometra (y obviamente en trigonometra). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el tratamiento de los ngulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de medicin de los ngulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geomtricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que slo se consigue adecuadamente asocindolos a arcos de circunferencia. Pero el clculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el nmero pi; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la divisin de un ngulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse fcilmente mediante una construccin geomtrica que se sirva exclusivamente de la regla y el comps. A continuacin estudiaremos un poco slo los ngulos que contienen los tringulos.



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Agudos Son aquellos ngulos que miden ms de 0 pero menos de 90. Son caractersticos de los tringulos acutngulos.

Rectos Son aquellos ngulos que miden 90. Son caractersticos de los tringulos rectngulos.

Obtusos

Son aquellos ngulos que miden ms de 90 pero menos de 180. Son caractersticos de los tringulos obtusngulos.



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TRINGULOS El tringulo es el polgono ms simple y tambin el ms fundamental, ya que cualquier polgono puede resolverse en tringulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vrtice, o ms en general, uniendo todos los vrtices con un mismo punto interior al polgono. Por otra parte, un tipo particular de tringulos, los tringulos rectngulos, se caracterizan por satisfacer una relacin mtrica (el llamado teorema de Pitgoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

CLASIFICACIN POR LADOS

a. Issceles Se llama tringulo issceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ngulos en la base de un tringulo issceles son iguales; recprocamente, si dos ngulos de un tringulo son iguales, los lados opuestos a dichos ngulos tambin sern iguales.

b. Equiltero Se llama tringulo equiltero al que tiene los tres lados iguales. Como un tringulo equiltero es issceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ngulos de un tringulo equiltero son iguales; recprocamente, si los tres ngulos de un tringulo son iguales, el tringulo es equiltero. Cabe mencionar que al tringulo que tiene los tres ngulos iguales se le llaman, como se acaba de mencionar, tringulo equiltero, pero tambin es llamado equingulo.

http://trigonometria.galeon.com/frames.html



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c. Escaleno Cuando un tringulo tiene sus tres lados distintos entre s se llama escaleno.

CLASIFICACIN POR NGULOS D. Acutngulo Un tringulo que tiene sus tres ngulos agudos (mayor que 0 pero menor que 90) se llama acutngulo.

E. Rectngulo Cuando uno de los ngulos es recto (igual a 90), se llama rectngulo.



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F. Obtusngulo Cuando uno de los ngulos es obtuso (mayor que 90 pero menor que 180), el tringulo se llama obtusngulo.

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Las funciones trigonomtricas, en matemticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ngulos del tringulo con las longitudes de los lados del mismo. Las funciones trigonomtricas son de gran importancia en fsica, astronoma, cartografa, nutica, telecomunicaciones, la representacin de fenmenos peridicos, y otras muchas aplicaciones.

La razn es la comparacin por cociente de dos magnitudes de la misma especie; por lo tanto, se trata de un nmero abstracto. Dado un ngulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por ejemplo, el punto M, situado sobre el lado OM (O es el vrtice). Si por M trazamos una perpendicular, que cortar al otro lado del ngulo, en el punto S, quedan determinados tres segmentos, los



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cuales forman un tringulo rectngulo. En un tringulo rectngulo, al lado ms grande (el que est frente al ngulo de 90) se le denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos. Con los tres segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cotangente.

ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES Antes de iniciar con la importancia que tiene las funciones presentaremos algunos grficos de las funciones de acorde con el plano cartesiano:

Donde los valores se expresan por segmentos para mayor comprensin y es el siguiente:



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; ;

; ;

Seno: Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa. Dicho de otra forma

decimos: En un tringulo rectngulo, el seno de un ngulo agudo , que se designa por es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida por la longitud de la hipotenusa

En la figura notamos que no se encuentra a simple vista el tringulo rectngulo y para mayor comprensin tenemos:

O lo que es lo mismo:



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Pero antes de seguir con las funciones debemos definir el teorema de Pitgoras que dice el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de sus catetos al cuadrado. Por ejemplo:

Donde el proceso del clsico ejercicio es el siguiente donde b = 3 y a = 4 deducimos que el valor es igual a 5.

Por lgica deducimos y el resultado parcial es y el valor

correspondiente de

Y con el cual deducimos en el siguiente cuadro por lgica de razonamiento deductivo dando valores de productos:

Producto resultante Valor de a Valor de b Valor de c

1 3 4 5

2 6 8 10

3 9 12 15

4 12 16 20

Etc. Etc. Etc. Etc.

Verifquenlo y veremos que los mltiplos son los mismos y cuando averiguamos los ngulos con cualquier funcin es la misma en cada uno.

Ahora ingresaremos a las diferentes definiciones que tienen los ngulos:

Coseno: Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa. Tambin los definimos como: En un tringulo rectngulo, el coseno de un ngulo agudo , que se designa por cos , es igual a la longitud del cateto adyacente al ngulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

O tambin:

El coseno de un ngulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniomtrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ngulo la corta:

Circunferencia goniomtrica, circunferencia de radio unidad sobre la cual se representan los ngulos para que se puedan visualizar sus razones trigonomtricas.



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Sobre un sistema de ejes coordenados con centro en el origen, O, se traza una circunferencia de radio unidad: Tangente: Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

Cotangente: Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el cateto opuesto. Debemos aclarar que con estas co funciones solo se lo puede conocer como en forma terica ya que para hallarla en la calculadora no existe y para resolverlo debemos primeramente sacar la

funcin de tangente y luego el resultado debe estar de divisor en la expresin

Secante: Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.

Cosecante: Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.



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Cuadrantes:

Signos de las razones Trigonomtricas en los Diferentes cuadrantes del Plano

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

I + + + + + +

II + - - - - +

III - - + + - -

IV - + - - + -

3.3. UNIDADES ANGULARES En la medida de ngulos, y por tanto en trigonometra, se emplean tres unidades, si bien la ms utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemticas es el Radin la ms utilizada, y se define como la unidad natural para medir ngulos, el Grado centesimal se desarroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, se usa en topografa, arquitectura o en construccin.



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Radian: unidad angular natural en trigonometra, ser la que aqu utilicemos. En una

circunferencia completa hay radianes. Aqu hay que tomar en cuenta que el

permetro de la circunferencia es donde r es el radio y = 3.1416.

Grado Sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Donde cada una de estas partes es un grado sexagesimal, (10) cada grado es dividido

en 60 minutos o partes () y cada minuto est dividido en 60 segundos ()



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Grado Centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Donde cada parte se llama grado centesimal (1 g), cada grado est

dividido en 100 minutos () y cada minuto est dividido en 100 segundos ().

Conversin de un sistema a otro: Para un mayor conocimiento recomendamos primeramente la realizacin de las operaciones de las ecuaciones y luego el uso de la calculadora y que despus lo participantes aprendan a transformar la pate decimal de un ngulo a minutos y segundos de acuerdo a las operaciones indicadas de conversin.



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La ecuacin general de los tres sistemas queda de la siguiente manera:

Los siguientes despejes para la realizacin de los siguientes ejercicios son los siguientes Para el clculo del sistema sexagesimal con los otros dos sistemas

Para el clculo del sistema centesimal con los otros dos sistemas

ara el clculo del sistema radial con los otros dos sistemas

3.4. TRINGULOS OBLICUNGULOS Un tringulo oblicungulo es aquel que no es recto ninguno de sus ngulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitgoras, el tringulo oblicungulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, as como el que la suma de todos los ngulos internos de un tringulo suman 180 grados. Este programa se resuelve tambin tringulos rectngulos si alguno de los ngulos es de 90 grados, en este caso la hipotenusa es el lado opuesto al ngulo recto y los otros lados son los catetos. Para resolver un tringulo rectngulo se deben seguir las siguientes reglas que a continuacin detallamos en los siguientes formularios



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La ley de los cosenos

La ley de los senos

O tambin lo podemos decir as:

Para encontrar los ngulos utilizando las funciones de coseno tenemos:

Para poder guiarnos mucho mejor, tenemos algunos ejercicios de gua con colores:



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RESUMEN DE LA UNIDAD Como hemos visto anteriormente hemos priorizado con los ejercicios que son utilizados y que deben conocer nuestros estudiantes y al mismo tiempo poder sacarle provecho a todo lo que estamos realizando. Es una orientacin de los procesos de asimilacin de los diferentes ngulos con sus respectivos conceptos para facilitar el proceso de la operacin indicada en la resolucin de problemas en los ngulos indicados.

LECTURAS COMPLEMENTARIAS

- http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica - http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm - http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html - http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml

BIBLIOGRAFA

- Baldor, Aurelio (1977). Geometra Plana y del Espacio y Trigonometra.

- Gutirrez. Pedro Antonio (2007). Matemtica 3: Bolivia; Editorial LA HOGUERA

- Blsamo. Josefina y Contenidos de Fondo Educativo Panamericano (2009). Matemticas 3. Impreso Bolivia: Editorial EL PAURO



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UNIDAD 4: IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS


- Reflexionamos sobre la importancia que tienen las identidades trigonomtricas en la resolucin de funciones en ngulos notables y complementarios.

- Analizamos los diferentes procesos de las ecuaciones trigonomtricas y su aplicabilidad en el contexto.

- Conceptualizamos los diferentes criterios y la didctica que surge en nuestras unidades educativas.

4.1. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS A continuacin damos algunos conceptos ms importantes que podemos definir: En matemticas, las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran funciones trigonomtricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ngulos sobre los que se aplican las funciones).

En matemticas, las identidades trigonomtricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ngulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades, son tiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonomtricas. Otra aplicacin importante es el clculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonomtricas: se suele usar una regla de sustitucin con una funcin trigonomtrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonomtricas.

La igualdad anterior es una identidad porque sabemos que sea cual sea el valor del ngulo a el primer miembro de la igualdad toma el mismo valor que el segundo.

El nippde Descartes nos permite verificar si una expresin en la que figure una igualdad es una identidad o no.

Para ello escribimos en la parte inferior derecha la funcin , y

en la esquina inferior izquierda .

Si las grficas de las dos funciones coinciden, es una identidad. Si se cortan en algunos puntos, se trata de una ecuacin con soluciones las abscisas de los puntos de corte. Si no se cortan nunca se trata de una ecuacin sin solucin.



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A este proceso para facilitar el desarrollo de las actividades podemos escribir los siguientes formularios.

A continuacin escribiremos las sumas de ngulos duplos entre los ms usados como anlisis y uso en la suma o la resta de ngulos.

B

A C

x



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Tambin colocaremos los valores de las funciones si es que no existiera una calculadora cientfica con el fin de facilitar el proceso y desarrollo de las ecuaciones trigonomtricas.

Grado

rad

00 0

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

2700

3600

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tan 0 1 -1 0 - 0

Cot 1 0 -1 - 0

Sec 1 2 -2 -1 1

Csc 2 1 2 -1

Es cuanto podemos ofrecer para facilitar y comprender las diferentes posiciones de las identidades trigonomtricas.

4.2. DESARROLLO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Existen muchas formas para poder resolver una identidad trigonomtrica pero la ms usada es la siguiente:

Se expresan todos los trminos de la igualdad en funcin del seno y coseno y se efectan las operaciones indicadas, consiguindose as la identidad de ambos miembros. Como por ejemplo:



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Reemplazando las identidades de csc, seca y por otro lado cot, tan con las funciones de seno y coseno queda de la siguiente manera.

Realizando las operaciones de producto y suma de fracciones heterogneas tenemos la siguiente expresin

Y como , verificamos que los miembros son iguales y es de aqu

que decimos que es una identidad

Aunque debemos informar que cuando se procede a resolver un ejercicio de identidad trigonomtrica, podemos tener hasta tres valores o mas de acuerdo a nuestro conocimiento matemtico y los procesos no siempre son iguales.

Debemos aclarar que no es una receta fija ya que el transcurso de los aos vemos que el participante y docente adquiere habilidades que a veces no sigue las reglas sino que las resuelve de acuerdo al ambiente y con las destrezas de los/as alumnos/as del aula demuestran el inters de aprender.

Resolviendo otro ejercicio tenemos los siguientes datos

Si analizamos la expresin verificamos y obtenemos:

Realizando operaciones de medios con medios y extremos con extremos tenemos el siguiente dato:

Y con este resultado ya no podemos seguir ya que en el formulario es la misma respuesta y puede ser:

en su defecto



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Con estos resultados podemos realizar diferentes operaciones que lo dejamos de acuerdo a sus habilidades.

4.3. ECUACIONES TRIGONOMTRICAS Una ecuacin trigonomtrica es aquella ecuacin en la que aparecen una o ms funciones trigonomtricas. En las ecuaciones trigonomtricas la incgnita es el ngulo comn de las funciones trigonomtricas. No puede especificarse un mtodo general que permita resolver cualquier ecuacin trigonomtrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran nmero de stas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonomtricas, todas las funciones que aparecen

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CARPETA DE TRABAJO ESTRUCTURAS … · Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional / Dirección General de Formación de Maestros / Equipo de Formación Docente