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CARLOS GERARDO YAX TZUL
“CONSECUENCIAS DEL ESCASO CONOCIMIENTO DE LAS
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS ENTEROS, EN
ESTUDIANTES DE SEGUNDO BÁSICO DE INSTITUTOS POR
COOPERATIVA UBICADOS EN EL SECTOR OESTE DEL MUNICIPIO
DE TOTONICAPÁN”.
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN DE LA MATEMÁTICA Y LA
FÍSICA
Quetzaltenango, agosto 2015
Este trabajo de Graduación fue elaborado por el autor, como requisito previo a
obtener el título de Licenciatura en Educación de la Matemática y la Física.
Quetzaltenango, agosto de 2015.
AGRADECIMIENTOS
AA DDiiooss,, qquuee eess ffuueennttee ddee ttooddaa ssaabbiidduurrííaa,, gguuííaa iinnddiissppeennssaabbllee eenn eell rreeccoorrrriiddoo ddee mmii
vviiddaa yy ppiieezzaa pprriinncciippaall ppaarraa eell llooggrroo ddee eessttaa mmeettaa..
AA mmiiss ppaaddrreess MMiigguueell YYaaxx yy MMaannuueellaa TTzzuull
AA mmii eessppoossaa IIrrmmaa CCaalleell SSiiss
AA mmiiss hhiijjooss KKiiaarraa AAnnaallyy,, CCaarrllooss MMaannuueell yy WWeennddyy AArrmmeenniiaa YYaaxx CCaalleell
AA mmii nniieettoo EEssttuuaarrddoo IIssrraaeell YYaaxx CCaalleell
AA llaa UUnniivveerrssiiddaadd GGaalliilleeoo ppoorr ppeerrmmiittiirr hhaacceerr rreeaalliiddaadd mmíí mmeettaa
AA llooss eessttuuddiiaanntteess ddeell IInnssttiittuuttoo ppoorr CCooooppeerraattiivvaa ddeell CCaannttóónn JJuucchhaanneepp,, TToottoonniiccaappáánn
I
RESUMEN
Para esta investigación se planteo el siguiente objetivo “Determinar las
consecuencias del escaso conocimiento de las operaciones básicas con números
enteros en los estudiantes se segundo básico que se encuentran ubicados en el
sector oeste del municipio de Totonicapán” con la finalidad de proponer otras
estrategias, técnicas y métodos que contribuyan con los docentes y estudiantes para
una mejor asimilación de contenido sobre Aritmética, ya que ella es de mucha
utilidad para su aplicación en los temas que se estarán desarrollado en el transcurso
de su formación académica.
Para la investigación se tomaron como población a 194 estudiantes y 4 docentes de
cuatro Institutos de Educación Básica por Cooperativa ubicados en el sector oeste
del municipio de Totonicapán.
A los 194 estudiantes se les aplicó una boleta de encuesta; con 9 cuestionamientos
cerrados y abiertos, para recabar información general y 10 cuestionamientos para
obtener información específica sobre conocimiento de la Aritmética.
A los 4 docentes se les aplicó una boleta de encuesta; con 4 cuestionamientos, para
obtener información general y 20 interrogantes específicas, cerradas y abiertas para
conseguir información sobre la didáctica, metodología y estrategia que utiliza el
docente para la enseñanza de los números enteros.
Se concluye que una forma más productiva de realizar el proceso enseñanza
aprendizaje de la Aritmética, es por medio de la aplicación de diversidad de técnicas
y estrategias.
ÍNDICE
CONTENIDO PÁG. RESUMEN CAPÍTULO 1. 1.1. INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1. ANTECEDENTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CAPÍTULO 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1. MARCO TEORICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.1 Números Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1.2 Construcción de Números Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 3.1.3 El Conjunto de los Enteros Positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … 4 3.1.4 El Conjunto de los Enteros Negativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.5 El Número Cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.6 Números Enteros, Origen e Historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1.7 Enseñanza de los Números Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1.8 La Enseñanza Aprendizaje de la Aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 3.1.9 Formas de Aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 3.1.10 Formas del Aprendizaje. . . . . . . . . … . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9 3.1.11 La Forma de Aprendizaje Intelectual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.12 Formas de Aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.13 Enfoque por Competencia en los Aprendizajes. . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.14 Cómo Enseñar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.15 Hacer Preguntas Frecuentemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.16 Estrategias de Enseñanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
CAPÍTULO 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1.1 Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.1.1 Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 4.1.1.2 Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.2 Variable de Estudios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.3 Definición de Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.4 Alcances y Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.4.1 Alcances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.4.2 Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.4.3 Aporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CAPÍTULO 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1 METODOLOGÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.1 Sujetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.2 Instrumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.3 Criterio de Selección de Muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.1.4 Procedimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.1.5 Diseño de la Investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.6 Metodología Estadística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
CAPÍTULO 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1.1 Cuadro No. 1 Boleta para estudiantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1.2 Cuadro No. 2 Boleta para docentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 CAPÍTULO 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7.1 DISCUCIÓN DE RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 CAPÍTULO 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.1 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.2 Recomendaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 CAPÍTULO 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1 FUENTES BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Anexo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Anexo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
II
CAPÍTULO 1
1.1. INTRODUCCIÓN
En otros países desde hace algunas décadas, los educadores en el área de
la Matemática vienen Investigando, reflexionando y debatiendo sobre la
formación matemática de los niños, niñas y jóvenes, sobre la manera de como
ésta puede contribuir eficazmente a las grandes metas y propósitos de la
educación actual. Por la necesidad que, la educación Matemática debe responder a
nuevas demandas globales y nacionales, como las relacionadas con una educación
para todos, la atención a la diversidad y a la interculturalidad de los países y la
formación de ciudadanos y ciudadanas con las competencias necesarias para el
ejercicio de sus derechos y deberes democráticos. Primordialmente para comprender
mejor los cambios en la relación entre las metas de la educación de la Matemática y
los fines de la educación actual.
Es también el caso de la educación de nuestro país Guatemala. Por lo que la
investigación proporcionará argumentaciones sobre la importancia de la formación
Matemática y su relación con las nuevas visiones de la naturaleza de la Matemática.
Ello, en primer lugar, por su papel en la cultura y la sociedad, en aspectos como las
artes plásticas, la arquitectura, las obras de ingeniería, la economía y el comercio; en
segundo lugar, porque se ha relacionado siempre con el desarrollo del pensamiento
lógico y, finalmente, porque su conocimiento se ha considerado esencial para el
desarrollo de la ciencia y la tecnología.
En el departamento de Totonicapán, el proceso de aprendizaje de la Matemática no
se ha realizado un estudio responsable y comprometedor, a pesar que es una de las
ciencias de gran importancia para el desarrollo y formación integral de los
estudiantes en todos los niveles de educación. Además de ser, una de las
disciplinas que mayor utilidad tiene en la vida cotidiana de todo ser humano y sobre
todo en los estudiantes, y con su correcto dominio o aprendizaje se obtienen grandes
beneficios principalmente en el dominio de los contenidos que se desarrolla en las
etapas posteriores.
III
En este sentido, solamente el docente de Matemática que reconozca los beneficios
del completo dominio de la Aritmética, puede entender y realizar adecuadamente
actividades relevantes y tareas matemáticas elementales. Por tanto es preciso
reconocer que el dominio de la Aritmética como uno de los constituyentes del
sistema cognitivo de todo sujeto. Su importancia permite establecer las bases de la
construcción de los conocimientos matemáticos, además favorece la producción de
otros conocimientos perteneciente a otras asignaturas del plan de estudio.
Se considera que uno de los grandes problemas del proceso de la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática en el nivel básico, es consecuencia de la deficiente
asimilación y definición de los procesos anteriores, provocando en los estudiantes
frustración y perdida de atención en sus clases, específicamente en la aplicación de
nuevos contenidos y sobre todo al realizar sus tareas, hojas de trabajo y en la
solución de sus evaluaciones.
Para el curso de Matemática sobre todo el enfrentamiento de nuevos contenidos o
cuestionamientos, indican los distintos autores que el desarrollo de contenidos
anteriores, razonamiento lógico matemático y la ejercitación constante en clases
como en casa de manera individual o grupal, vienen a contribuir de forma positiva en
la asimilación de los contenidos de manera que estas se fijen en la memoria del
estudiante utilizando menos esfuerzo. Logrando en el estudiante aplicar con facilidad
y sobre todo con mucha eficiencia.
Para la enseñanza de la Matemática en el departamento de Totonicapán, la
importancia que se le ha brindado, tomando los programas que impulsa el Ministerio
de Educación de Guatemala tales como: “Me Gusta La Matemática” y el Proyecto
“Guatemática” pero desafortunadamente no se ha prestado atención a la
enseñanza-aprendizaje en el nivel básico, específicamente de la importancia del
dominio de la Aritmética.
La presente investigación proporciona al docente técnicas y metodologías que
contribuya al estudiante desarrollar sus habilidades en el dominio de la Aritmética,
consiguiendo con ella mejorar su rendimiento en el curso de Matemática y tener
mejor asimilación en su aprendizaje en los demás contenidos, para ello en el primer
capítulo, se presenta una descripción del trabajo de investigación realizado en cuatro
IV
Institutos por Cooperativa del municipio de Totonicapán, ubicados en el oeste del
municipio.
En el segundo capítulo, se han desarrollado antecedentes de investigaciones
realizadas en otros tiempos por otros autores que dan sus experiencias y
sugerencias sobre la importancia del dominio de la Aritmética para mejorar el
rendimiento en el área de la Matemática.
En el tercer capítulo, se desarrolla el Marco Teórico, en la que se detalla
ampliamente la información sobre la forma de la construcción y enseñanza de la
Aritmética y sus ventajas en el aprendizaje de la Matemática y la amplia comprensión
que se logra tener en la asimilación de otros contenidos, esta información se
fundamenta a través de las distintas obras de autores citados.
En el cuarto Capítulo, se presenta el planteamiento del problema, que consiste en el
poco dominio de la Aritmética de los estudiantes y los problemas con que se
encuentran los docentes y estudiantes. En el quinto capítulo, se presenta las técnicas
y metodologías que se recomiendan para mejorar el desarrollo del aprendizaje de la
Aritmética. En el sexto capítulo, se presentan los cuadros de resultados estadísticos.
En el séptimo capítulo, se presentan los análisis, fundamentados en los diversos
autores que aparecen citados en el marco teórico. Se presentan los resultados de la
investigación, realizado con los 194 estudiantes investigados y 4 docentes de los
cuatro Institutos por Cooperativa investigados. Con los datos estadísticos, que
sustentan el análisis de cada planteamiento, desarrollado con los estudiantes y
docentes; así mismo el análisis respectivo.
En el octavo capítulo, se presentan las conclusiones y recomendaciones a las que se
ha llegado luego de realizar todo el proceso de investigación. Y como última parte del
trabajo aparecen, las propuestas de investigación, la cual consiste en algunas
sugerencias de ejercicios basados en actividades de Aritmética, tales ejercicios se
fundamentan en contenidos para el ciclo básico, además se contemplan los anexos,
las boletas de encuestas administradas a las diferentes personas sujetas de
investigación.
1
CAPITULO 2
2.1 ANTECENTES
2.1.1 LOCALES:
En el departamento de Totonicapán aun no se ha realizado un estudio o
investigación sobre el proceso enseñanza - aprendizaje de la Aritmética. Únicamente
se ha centrado en obtener información sobre los resultados de evaluaciones que
mide el nivel de logro de los estudiantes en Aritmética, sin descubrir cuáles son las
causas del bajo rendimiento que reflejan en tales evaluaciones, aunque, la mayoría
de docente y autoridades que se dedica a la educación en los centros educativos
conocen las causas, pero con mucha preocupación me atrevo a decir que es poco el
esfuerzo que se ha realizado para superar tales deficiencias, demostradas en las
evaluaciones practicadas a los estudiantes en los diferentes niveles de educación.
2.1.2 ANTECEDNETES NACIONALES:
En el país Guatemala el primer trabajo realizado sobre la construcción de los
números enteros, es la efectuada en el año 1 990 por el doctor Bernardo Morales y el
Ingeniero Leonel Pinot, al elaborar cuaderno para estudiantes, sobre operaciones en
Conjuntos Numéricos.
En la que se explica y demuestra detalladamente la construcción ordenada de los
números enteros, así mismo las operaciones básicas y la aportación interesante es
que además de su enseñanza está acompañada de actividades para el estudiante
para la fijación del contenido desarrollado y su propio control de asimilación.
El Ministerio de Educción como responsable del buen desarrollo del proceso
enseñanza-aprendizaje impulsa los programas “Me Gusta la Matemática” y
“Guatemática” es un proyecto que tiene la finalidad mejorar la enseñanza de la
Matemática en Guatemala, en las escuelas de educación primaria guatemalteca.
Este proyecto permite adoptar nuevas metodologías, como el constructivismo, que
ayuden a la mejor asimilación y dominio de la Aritmética en los niños y niñas que
2
favorece en la construcción de su propio aprendizaje partiendo de su experiencia
cotidiana, además proporciona su participación directa y activa.
El propósito de la enseñanza de la Matemática es hacer de ella una herramienta útil
para la vida. Pretende cambiar el rol del docente, de ser únicamente en proporcionar
la información de conocimientos, a ser un facilitador del aprendizaje. Tales iniciativas
son impulsadas por el Ministerio de Educación, con el propósito de modificar los
alarmantes resultados obtenidos por los estudiantes en Matemática, en el nivel
primario y esto se refleja en todos los niveles de educación del país y por otra parte
también busca modificar la actitud de rechazo a tan importante materia, como
instrumento para pensar, valorar y entender su entorno y un medio para alcanzar los
mejores resultados en la enseñanza y el aprendizaje de Matemática.
Se ha descuidado la investigación y el descubrimiento de las causas que provocan
los problemas en los estudiantes del país. La pedagogía señala que los maestros
deben propiciar experiencias, actividades, juegos y proyectos que permitan a los
niños desarrollar su pensamiento; mediante la observación, la exploración, la
comparación y la clasificación de los objetos, contribuyendo con ella mejor y facilitar
el aprendizaje de contenidos, tal es el caso de la Aritmética.
El texto; Matemática Primer curso; de la Editora Educativa, Un esfuerzo
guatemalteco para la excelencia educativa, aparece en la tercera unidad didáctica de
las páginas 79 a la 95, el tema sobre Números Enteros, teniendo como objetivo;
reconocer, resolver, aplicar y manejar el conjunto de los números enteros. La cual no
proporciona una didáctica específica sobre su enseñanza aprendizaje.
En otras instituciones y universidades del país, investigación específica sobre una
didáctica de la enseña de los números enteros aun no existe, únicamente se ha
centralizado en integrar los contenidos programáticos, además de investigaciones
sobre problemas de rendimiento académico de los estudiantes y hacer propuestas de
metodologías y didácticas de forma generalizada que contribuyan en la solución de
las dificultades que se encuentra el docente en la enseñanza de la Matemática.
3
CAPÍTULO 3
3.1 MARCO TEORICO
3.1 NÚMEROS ENTEROS
El aprendizaje de los números enteros brinda un gran beneficio en los estudiantes
para el dominio de los demás contenidos, ya que es de utilidad en los temas que
se van desarrollando, tales como; orden jerárquico, introducción al Algebra y
ecuaciones.
El enfoque y la forma en que se realiza la enseñanza de los números enteros, debe
brindarse mucha atención, abarcando desde su origen y su construcción hasta la
aplicación en las operaciones básicas, con la finalidad de conseguir una buena
comprensión de los contenidos.
3.1.2 CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
(Morales B., Pinot L. 1990); Enteros positivos, negativos y cero
Definición: “Se dice que las parejas de números naturales tales que su primer
elemento es mayor que el segundo son “positivos”; las que tienen su primer elemento
menor que el segundo son “negativos”; y las que tienen ambos elementos iguales
son “nulos”.
Esto es: B 1 : Conjunto de “positivos.
B 2 : Conjunto de “negativos”
B 3 : Conjunto de “nulos”
El siguiente paso es identificar entre los números positivos, a los números enteros
positivos; entre los números negativos, a los números enteros negativos; e identificar
a todos los nulos como el número entero “cero”. Para esto se estará tomando el
conjunto de parejas ordenadas, para realizar la siguiente clasificación:
Un primer conjunto se coloca a todas las parejas ordenadas tales que el
primer elemento es mayor que uno, que el segundo elemento. Por ejemplo las
parejas (3, 2); (4, 3); (9, 8); etc.… Esto es que el primer elemento de la pareja
4
le sobra 1 para ser igual al segundo elemento de la pareja. Obteniendo el
primer conjunto de entero uno.
La representación canónica a la pareja (1, 0) se escribe 0,1 para
representar al subconjunto B 1 .
Ejemplo 1: El número entero positivo uno es un conjunto de parejas
ordenadas de naturales, tales que el primer elemento de la pareja es mayor
que el segundo, en el natural uno, (1).
Uno positivo = 1,,, yxNxNyxyx
Todas las parejas ordenadas del subconjunto B 1 tales que el primer elemento
sea mayor que el segundo en 2, por ejemplo (4, 2); (6, 4); (5, 3); (2, 0); etc. ...
Su representante canónico es (2, 0).
Ejemplo 2: El número entero positivo dos es un conjunto de parejas ordenadas
de naturales, tales que el primer elemento es mayor que el segundo, en el
natural dos (2).
Dos positivo = zyxNxNyxyx ,,, .
En general, un número entero positivo z, está constituido por las parejas de los
subconjuntos B, que sean equivalentes, lo que significa que todas ellas son
tales que el primer elemento es mayor que el segundo elemento de la pareja,
en z, esto es:
z positivo = NxyxNxNyxyx ,,,,,
3.1.3 EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS POSITIVOS
Se ha construido, el conjunto de los enteros positivos tomando parejas “positivas” y
clasificando las mismas por diferencia entre elementos (primer elemento mayor que
el segundo elemento).
Los representantes canónicos de los enteros positivos son aquellas parejas cuyo
segundo elemento mayor es cero. Así (17, 0) es el representante canónico del entero
positivo diecisiete = +17.
5
Notación: Al conjunto de los números enteros positivos se le identifica común mente
con Z . Se escribe Z = {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), ...} o bien
Z = {1, 2, 3, 4, 5, …}”.
3.1.4 EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS NEGATIVOS
“De la misma manera que se ha clasificado con el primer conjunto B 1 , puede hacerse
con la segunda, con la pequeña diferencia de que ahora se trabaja en el conjunto B 2
donde se encuentran los negativos por lo que el resultado será la obtención de los
enteros negativos.
1,0 = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (9, 10), ..}. A este entero (colección de parejas
ordenadas de naturales cuyo primer elemento es menor que el segundo en una
unidad) lo llamaremos uno negativo.
2,0 = {(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), …}, A este entero (colección de
parejas ordenadas de naturales cuyo primer elemento es menor que el segundo en
dos unidades) lo llamaremos dos negativo.
3,0 = {(0. 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), …} es el número tres negativo.
En general yx, y = x + n con Nnyx ,, . Etc.
Al continuar el proceso se obtiene el conjunto de los números enteros negativos, el
cual por comodidad se representará por Z .
Notación: Z = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), …}
o bien Z = { -1, -2, -3, -4, -5, -6; …}”.
3.1.5 EL NÚMERO ENTERO CERO
“El conjunto B 3 , en este conjunto están colocadas todas las parejas en las que el
primer elemento es igual al segundo elemento, entonces la distancia del primero al
segundo es cero. Formando el conjunto de cero.
0,0 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), …}.
Notación: El número entero cero, que es 0,0 , se escribe brevemente “0”.
6
Definición: El conjunto de los números enteros (Z) es la unión del conjunto de los
números enteros positivos (Z ) con el conjunto de los números enteros negativos
(Z ) y con el conjunto del número entero cero.
Esto es: Z = Z Z
{0}.
Notación: Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, …}”.
3.1.6 NÚMEROS ENTEROS; ORIGEN E HISTORIA
(Torres, 2014); “Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuesta a sus
inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente
del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de
darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad”.
Torres al referirse a la representación de la noción de cantidad, indica que diversas
culturas se fueron desarrollando positivamente la que permitió al nacimiento de
diversas notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, maya entre
otros. Además indica que la Matemática, cambia según el contexto que utiliza para
la solución de problemas.
“Número Natural: Los números naturales tienen dos principales características: La
cardinalidad y la ordinalidad. Los símbolos que representan a los números no han
sido siempre los mismos. La simbolización de diversas culturas respecto a los
números naturales, según su contexto”.
Para la comodidad o conveniencia, indica Torres que se adoptaron diversas
simbologías sobre números naturales, adaptadas según el contexto de las culturas.
Al final se estableció la notación del conjunto de números naturales, adoptando la
letra N, la cual es el siguiente.
N ={0, 1, 2, 3, 4, …, 100, 101, …}”
“Incluyendo el cero en los números naturales tomando como referencia el aporte de
Giuseppe Peano (1858 – 1932)”.
7
“Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden
restar o dividir. Es por eso que se hace una extensión al conjunto de los naturales, la
necesidad de completitud general el conjunto de los números negativos”.
“Los Números Negativos: Los números negativos antiguamente conocidos como;
“números deudos” o “Números absurdos”, datan de una época donde el interés
central era la de convivir con los problemas cotidianos”.
“Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no
llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números
positivos y negativos, estrictamente se utilizaban los ábacos, usando tablillas o bolas
de diferentes colores”.
“Los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo sea solución de una
ecuación. Los indios la diferenciación entre números positivos y números negativos,
interpretaban como créditos y débitos. Sin embargo fueron los indios los encargados
en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivo y negativo. ES así que
Brahmagupt, matemático indio contribuye al álgebra con presentación de soluciones
negativas para ecuaciones cuadráticas”.
“La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a
Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el
matemático alemán Stifel (1487 – 1567)”.
“Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra
(1770) trata de demostrar que (-1)(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que
ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1)(-1) = -1, tendrá que ser (-1).(-1) = +1”.
“Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los
números naturales, generando por un defecto de los números naturales; La
generalidad para la operación de la resta y división”.
“El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta
creó otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los
8
números naturales junto con los negativos forman luego el conjunto de los números
enteros”.
3.1.7 ENSEÑANZA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Siendo los números enteros uno de los contenidos de aplicación constante en el
desarrollo de temas que van impartiéndose a lo largo de la formación académica del
estudiante, por lo que es importante brindarle toda la atención necesaria, cumpliendo
todos los procesos de su enseñanza- aprendizaje, obteniendo con ella mayor éxito
en el dominio de cada contenido desarrollado.
Para la enseñanza aprendizaje de los números enteros es importante considerar el
proceso de aprendizaje que los estudiantes traen en el nivel primario, con la finalidad
de darle continuidad y aprovechar los conocimientos ya fijados en su memoria.
En el nivel inferior, una forma muy frecuente de abarcar la enseñanza de los
números enteros positivos, es por medio de la representación gráfica de la recta
numérica, por lo que es conveniente aprovechar este conocimiento, no importando el
error que se ha cometido, pero debe hacerse las correcciones de la enseñanza real
de los números enteros positivos y números enteros negativos.
Representación gráfica del conjunto de números enteros positivos.
0 1 2 3 4 5 6 …
Representación gráfica del conjunto de números enteros negativos.
... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Representación gráfica del conjunto de números enteros positivos y negativos.
. . . -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
9
3.1.8 LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA ARITMÉTICA
La enseñanza de la Aritmética es de vital importancia para el desarrollo
profesional humano, ya que se utiliza en todo ámbito y momento de la vida diaria y
sobre todo al encontrarse en un país multiétnico, plurilingüe y pluricultural.
La enseñanza de la Aritmética ofrece al estudiante múltiples oportunidades para su
desarrollo y poder enfrentarse ante una sociedad competitiva, por lo tanto la
búsqueda de alternativas por parte de autoridades y docentes debe ser inmediata y
lograr el mejoramiento del aprendizaje de los contenidos programáticos.
La Aritmética es parte de la Matemática y su aprendizaje y dominio será elemental
para el desarrollo de otras área como el Algebra, la Geometría, la Estadística, la
Economía entre otros, obteniendo con ella mayores oportunidades para enfrentarse
ante un mundo competitivo, tecnológico, moderno y globalizado además un medio
de alcanzar el desarrollo de un país.
3.1.9 FORMAS DE APRENDIZAJE
El aprendizaje del ser humano se realiza en todo momento y en diferentes ámbitos
de la vida, influyendo las diferencias culturales y sociales del estudiante.
3.1.10 FORMAS DEL APRENDIZAJE
(Nérici I. 1 994); “No hay aprendizaje puramente motor, emotivo o intelectual. El ser
humano aprende a través de todo su realidad existencial. Lo que hay es predominio
de la motricidad, emotividad o intelectualidad en este o en aquel aprendizaje. Desde
el punto de vista didáctico, el aprendizaje puede ser coordinado, en orden de
complejidad, en tres formas: motora, emocional e intelectual”.
“En relación al aprendizaje de forma motora, indica que esta es la que
evidencia los movimientos musculares y puede ser de dos formas: sensorio-
motora y perceptivo-motora”.
10
a) “La sensorio-motora es la que se adquiere habilidades motoras fáciles y
automatizables y que pueden funcionar con un mínimo control del
pensamiento”.
b) “La perceptivo-motora ésta se refiere de alcanzar habilidades motoras en la
que se requieres más control del pensamiento, requiere elección de estímulos
y está sujeta a pequeñas adaptaciones”.
“Al referirse al aprendizaje en forma emocional, menciona que es la que se
utiliza con mayor preferencia la emotividad y que éstas pueden ser; de
apreciación, de actitudes y de por Impulso de la voluntad”.
“La apreciación se refiere a que el individuo se capacita para aceptar la naturaleza.
Las actitudes procura alcanzar posiciones definidas que orienta el comportamiento y
la forma de reaccionar ante circunstancias presentes y la forma volitiva se trata al
dominio de la propia voluntad, racionalización y socialización de los impulsos y
deseos del ser humano”.
3.1.11 LA FORMA DE APRENDIZAJE INTELECTUAL
(Nérici I. 1 994); “La forma intelectual es la que utiliza preferentemente la inteligencia.
Puede ser verbal, conceptual y de espíritu crítico”
“Verbal es la que procura aprender de memoria a reconocer nombres, fechas,
hechos, relaciones, reglas, fórmulas. Esta forma de aprendizaje utiliza la memoria
mecánica”.
La forma de aprendizaje verbal es de gran importancia desarrollarla en los
estudiantes para mejorar el aprendizaje de la Matemática ya que por medio de ella
se logra favorecer la memoria con el fin de fijar positivamente reglas y fórmulas que
son de mucha utilidad en el área de la Matemática.
“Conceptual, es la que retiene hechos, relaciones y acontecimientos mediante la
comprensión. Procura, así fijar circunstancias y causalidades, pudiendo llegar a las
11
abstracciones, definiciones o generalizaciones. Esta forma apela en mayor grado a la
memoria lógica y se refiere a los conocimientos de naturaleza teórica”.
El aprendizaje conceptual, es otra forma que debe considerarse cuidadosamente ya
que en el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, existe una gran cantidad
de contenidos que se realiza en forma abstracta y sobre todo la realización de
generalizaciones y sobre la aplicación del razonamiento lógico del estudiante.
“De espíritu crítico. Esta forma otorga importancia a la asociación, comparación y
análisis de ideas, circunstancias y hechos, a fin de extraer de ellos conclusiones
lógicas”.
“La forma de aprendiza intelectual, debe prestársele interés para contribuir en su
formación por parte de todas las autoridades e instituciones que se dedican a la
educación. Unificar esfuerzos entre la comunidad educativa para la búsqueda de
formas y estrategias que contribuyan en la realización efectiva del aprendizaje
intelectual”.
“Todo docente debe estar dispuesto y comprometido con el aprendizaje de los
educandos al realizar las aportaciones necesarias y adecuadas, consiguiendo el
desarrollo intelectual y trabajar las habilidades verbales, conceptual y de espíritu
crítico”.
El compromiso del docente es dedicarle todo el interés adecuado en las diferentes
formas de aprendizaje ya que cada una de ellas proporciona una vital función en el
estudiante para la construcción de su aprendizaje en el área de la Matemática. Tal es
como la forma de aprendizaje de espíritu crítico, proporcionándole su desarrollo en la
obtención de conclusiones lógicas, y la forma intelectual le proporciona ser un
individuo con mejores habilidades y medios para enfrentarse ante los
acontecimientos de su vida cotidiana.
12
3.1.12 FORMAS DE APRENDIZAJE
Para la realización del aprendizaje existen una gran cantidad de enfoques, que son
producto de experiencias de expertos dedicados a la educación. En el presente
trabajo se estarán mencionando algunas que se ajustan al medio en que se estará
realizando la investigación.
3.1.13 ENFOQUE POR COMPETENCIAS EN LOS APRENDIZAJES
El enfoque de aprendizaje por competencias, en la actualidad no debe pasar por
desapercibido ya que en la actualidad nos enfrentamos en un mundo moderno
competitivo, por lo tanto la obligación de toda persona dedicada a la educación su
compromiso es formar estudiantes competitivos que estén dispuestos y aptos para
enfrentarse ante las exigencias que llega a presentarse ante los establecimientos
educativos o institucionales.
(Xavier Roegiers, 2007); Competencia básica: “Es una competencia que debe ser
necesariamente dominada por el alumno para poder entrar sin problema en nuevos
aprendizajes que lo involucren”
(Xavier Roegiers, 2007); Menciona: “Que el aporte por competencias se sitúa,
esencialmente, en tres niveles. Este enfoque permite:
Dar sentido a los aprendizajes.
Hacer aprendizajes más eficaces.
Fundar los aprendizajes posteriores”.
“Dar sentido a los aprendizajes: este enfoque consiste, que el desarrollo de las
competencias apunta a contextualizar los aprendizajes a los intereses de los
alumnos, a darle sentido, a situar todos los aprendizajes en relación a una situación
que tiene sentido para el alumno”.
13
“Hacer que el aprendizaje tenga sentido y que el conocimiento adquirido pueda
utilizarla posteriormente en su vida escolar y lo fundamentalmente en su vida adulta y
en el trabajo, esta favorece al estudiante en su proceso de aprendizaje”.
“Hacer aprendizajes más eficaces: El enfoque permite obtener en el aprendizaje las
siguientes ganancias: Los conocimientos sean mejores fijados, lo primordial ha sido
puesto en lo esencial y los conocimientos han sido relacionados unos con otros”.
“Además el enfoque por competencias asegura una fijación de los contenidos
adquiridos; permitiendo poner mayor interés en lo esencial, ya que todos los
aprendizajes no se encuentran en el mismo nivel de importancia. Algunos son útiles
en la vida diaria y otros constituyen fundamentos de los aprendizajes siguientes.
Finalmente el dominio a profundidad de un contenido pone, en práctica la relación
con otros que sean ligados y lleva a establecer lazos entre las deferentes nociones
provenientes de una misma disciplina o provenientes de otras disciplinas”.
“Fundar los aprendizajes posteriores: Al referirse a la fundación de los aprendizajes
posteriores indica que, la puesta en relación progresiva de los diferentes contenidos
adquiridos por los alumnos y la movilización conjunta de los conocimientos en
situaciones significativas supera el marco de un aula y de un año escolar. Esta
además permite construir un sistema más global, la que permite que de un año a
otro, de un ciclo a otro, los conocimientos sean progresivamente reinvertidos y
puestos al servicio de competencias más complejas. Con la idea del enfoque por
competencias permite fundar los aprendizajes futuros”.
(Gloria G. 2 005); En la página 44 del texto Competencias en Matemática, sobre la
elaboración de Estándares Básicos de Competencias en Matemática, en la ciudad
de Colombia, al desarrollar el tema indica: “El desarrollo del razonamiento lógico
empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que
permiten percibir regularidades y relaciones; hacer deducciones; justificar o
contradecir esas deducciones; dar explicaciones coherentes; proponer
14
interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y
razones.
Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que la
Matemática no es simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que
tienen sentidos, son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son divertidas. En
los grados superiores, el razonamiento se va independizando de estos modelos y
materiales, y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías, cadenas
argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones, pero suele apoyarse
también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos,
materiales, dibujos y otros recursos”.
La enseñanza aprendizaje en todos los países debe darse desde el inicio en los
primeros grados, siempre tomando en consideración el contexto en que se encuentra
el estudiante y la aplicación de materiales físicos y visuales adecuados, que le
faciliten hacer sus propias deducciones, además con ellas realiza las explicaciones
adecuadas con la propia experiencia obtenida, de ella se obtiene con mayor facilidad
la memorización de reglas y algoritmos que son necesarias para el aprendizaje
adecuado de la Matemática.
3.1.14 CÓMO ENSEÑAR
La didáctica que se utiliza para cómo enseñar es otro aspecto que debe prestarse
mucha importancia, porque ella es fundamental para hacer efectiva el aprendizaje de
los estudiantes, además con ellas es posible hacer que el estudiante encuentre
interés y satisfacción o todo lo contrario.
(Efraín Soto Apolinar, 2008); En la página 133 de su libro, Enseñanza Efectiva de la
Matemática, al realizar sugerencias para la enseñanza, menciona la siguiente forma
de enseñar; (Haga preguntas frecuentemente), proponiendo preguntas en el tema:
15
3.1.15 HACER PREGUNTAS FRECUENTE MENTE:
“ En relación a esta sugiere lo siguiente:
Preparar preguntas adecuadas al nivel de cada estudiante.
Cuando el estudiante conteste primero debe ordenar sus ideas.
No exigir que el estudiante conteste inmediatamente, debe ayudarse dando
algunas sugerencias, haciendo otras preguntas.
Sugerir a dar explicaciones a problemas para que pueda entender el concepto
de manera más profunda.
En cada oportunidad que tenga el estudiante debe expresar sus ideas. El
profesor debe identificar los errores en la forma de pensar o interpretar
incorrectamente las propiedades de un objeto matemático.
Permitir que el estudiante resuelva problemas, ya ésta ayuda a construir las
bases del razonamiento lógico y profundizar el entendimiento del objeto
matemático.
Cuando un estudiante logra resolver un problema adquiere otra visión de la
matemática, le ayuda a mejorar las condiciones de vida.
El estudiante necesita aprender los principios matemáticos, adquirir
habilidades de razonamiento y madurar en el proceso aprendizaje.
Proponer preguntas abiertas durante la clase. Hacer que los estudiantes
sientan que cada pregunta es un reto que debe alcanzar y una vez resuelta
adquieren confianza y poder resolver problemas cada vez más difíciles. Se
recomienda no hacer preguntas con respuestas de falso o verdadero”.
Entre otras de las sugerencias menciona las siguientes:
La voz es importante.
Relacionar a distintas ramas de la matemática.
Dar definiciones claras para los estudiantes, pero precisas.
Aplicar en distintos contextos cada concepto.
16
Existen una gran variedad de sugerencias, formas o estrategias para la realización
de la enseñanza de los estudiantes, pero lo más importante es la disponibilidad del
docente para su aplicación sistemática de tales sugerencias y conseguir que el
proceso educativo sea efectivo y productivo para el beneficio del estudiante.
3.1.16 ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
Las estrategias que el docente aplica para el desarrollo del proceso enseñanza
aprendizaje debe ser una habilidad fundamental, ya que por medio de ella se obtiene
un positivo resultado en el aprendizaje del estudiante.
El término estrategia se emplea en educación haciendo diferencia con didáctica y
metodología, que son los medios o caminos que se emplean para lograr objetivos,
pero que en ciertas ocasiones estos medios o caminos tomados, pueden ser
modificadas, al contrario de las estrategias, estas son actos o actividades bien
planificadas, que deben aplicarse disciplinadamente cumpliéndolas estrictamente,
asegurando con ella el logro de las competencias trazadas.
(Monereo C. 1 999); Estrategia: “Son actividades siempre conscientes e
intencionales, dirigidas a un objetivo relacionados con el aprendizaje”.
“La estrategia se considera una guía de las acciones que hay que seguir, y que,
obviamente, es anterior a la elección de cualquier otro procedimiento para actuar”.
“Las estrategias de aprendizaje es una de las medidas que todo docente debe tomar
con mucha consideración, sobre todo investigar, estudiar y analizar las diferentes
estrategias existen para tomar una buena decisión, con el fin de aplicar la más
adecuada en el momento de desarrollar un contenido específico.
Para la ejecución efectiva de la enseñanza aprendizaje, es responsabilidad del
docente seleccionar la forma o estrategia más adecuada y sobre todo que se ajusten
a los diversos factores que condicionan en proceso educativo.
17
Entre los factores podemos mencionar algunas las que más frecuentemente el
docente se enfrenta:
Factores social, refiriéndose al los ideales que se tenga.
Factores del área en que ubica el establecimiento, rural o urbana.
Factores de motivación, en relación a oportunidades que tenga en el futuro.
Factor subjetivo. Se refiere al nivel de madurez que se tenga.
Factor cultural y educativo. El grado de desarrollo alcanzado por el estudiante
sobre ciencia y asimilación de contenidos en los años anteriores.
Factor de contenidos. Si los contenidos desarrollados en los planes de
estudios cumplen el proceso lógico”.
Romero Escobar, Universidad Galileo, (2 013 Pág. 83), en su trabajo de investigación
“La Ejercitación en el aprendizaje de la Matemática”, recomienda que, “La
ejercitación en el curso de Matemática debe ser un proceso continuo que se debe
dar durante el desarrollo de las clases y no dejar que se realice en los últimos días
de cada unidad. Para ello es recomendable crear un cronograma de los ejercicios y
tareas que va asignar durante la unidad, de esta manera evitar la improvisación, que
devenga la ejecución de trabajos extensos y descontextualizados”.
La ejercitación responsablemente y planificada es una estrategia positiva que el
docente del área de la Matemática debe asumir e implementar en su proceso
enseñanza aprendizaje, ya que por medio de ella se logra una mejor asimilación de
los contenidos desarrollados en clases.
18
CAPÍTULO 4
4.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
En el municipio de Totonicapán, un alto porcentaje de estudiantes del nivel básico y
medio tienen grandes dificultades en el dominio de los contenidos en el área de la
Aritmética, esta se demuestra en el momento de resolver las pruebas sobre el logro
de conocimientos adquiridos.
Los estudiantes en mucho de los casos al enfrentarse ante situaciones que se
requieran operaciones con Aritmética quedan frustradas sus aspiraciones
académicas al sentirse incapaces de dar soluciones a los cuestionamientos.
El estudiante que tiene deficiencia para la realización de operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división con números enteros, se complica en la solución
de ejercicios que tengan que aplicar números enteros, estas dificultades se agudiza
en segundo y tercero básico. Esta es una de las causas que da como resultado el
bajo logro de contenidos programáticos de la Aritmética.
El dominio de la Aritmética, van formando en el estudiante las bases fundamentales
para la mejor asimilación de los contenidos programáticos, por lo tanto para todo
estudiante que posee deficiencia en el dominio de dicho contenido, se le dificulta el
buen desarrollo del proceso de aprendizaje en el área de la Matemática.
Escaso interés en directores, docentes y estudiantes en estar constantes en la
aplicación de técnicas, estrategias y metodologías que vengan a contribuir con el
proceso enseñanza aprendizaje de la Aritmética, lo más delicado se encuentra en
que no se ha podido observar que está área de la Matemática es fundamental e
importante para el desarrollo y construcción de nuevos contenidos.
La Aritmética para muchos estudiantes por cooperativa del municipio de Totonicapán
y estudiantes del país, lo consideran que es un área de aprendizaje que ocasiona
dificultades y que es un verdadero castigo.
19
Para desarrollar habilidades por medio de la adquisición de nuevos conocimientos,
en este proceso de aprendizaje participan en el estudiante una serie de factores que
influyen de forma máxima o mínima medida afectando positivamente o
negativamente en el estudiante.
4.1.1 OBJETIVOS
4.1.1.1 Objetivos Generales:
Determinar las consecuencias del escaso conocimiento de las
operaciones básicas con números enteros.
Identificar los factores que afectan en el logro de la adición,
sustracción, multiplicación y división con números enteros.
4.1.1.2 Objetivos Específicos:
Determinar la influencia de la didáctica y metodología aplicada por el
docente en la enseñanza de los números enteros.
Aportar sugerencias en la construcción de recursos didácticos para
realizar el proceso enseñanza aprendizaje de las operaciones básica
de los números enteros.
Desarrollar una propuesta que contribuya con el proceso de enseñanza
aprendizaje de los números enteros.
Elaborar una propuesta de formación al docente para una enseñanza
activa, significativa y positiva para los estudiantes.
4.1.2 VARIABLE DE ESTUDIOS
a. La construcción de los números enteros y sus operaciones
básicas.
b. Didáctica y metodología para el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Aritmética.
20
4.1.3 DEFINICIÓN DE VARIABLES
a. La construcción de los números enteros y sus operaciones básicas:
Definición conceptual: Serie de Compendios Schaum, en su “Teoría de Conjuntos y
Temas Afines, define los números enteros, “son los números reales. … -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, …
Se denotan los enteros por Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, ...}”.
“Las propiedades de los números, es que son cerrados respecto de las operaciones
de adición, multiplicación y sustracción”.
Definición Operacional: El presente trabajo define a los números enteros, como al
conjunto formado por; números positivos y números negativos. Se expresa Z = {- ,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }.
Las operaciones de suma, sustracción y producto de dos enteros, se obtiene como
resultado otro entero, no así para la división de dos enteros, el resultado no siempre
se obtiene otro entero.
C. Didáctica y metodología para la enseñanza aprendizaje de la Aritmética.
Definición conceptual: Hacia Una Didáctica General Dinámica, define la didáctica;
como el arte de enseñar y que proviene de las voces griegas didaktiké.
Definición Operacional: La didáctica son habilidades que posee el docente para
transmitir conocimiento de Aritmética.
Método son los medios o medidas educativas que utiliza el docente para realizar el
proceso enseñanza aprendizaje de la Aritmética, las cuales están fundamentadas
sobre conocimientos claros, seguros y leyes lógicas, alcanzando con seguridad la
competencia.
21
4.1.4 ALCES Y LÍMITES
4.1.4.1 ALCANCES:
El proyecto de investigación abarcará exclusivamente estudiantes de Institutos
Básico por Cooperativa de la región oeste del municipio de Totonicapán, sobre las
causas que obstaculizan la percepción, detención o el conocimiento de las
operaciones básicas con números enteros de sus estudiantes para mejorar el
rendimiento en el área de la Matemática.
4.1.4.2 LÍMITES:
Los establecimientos oficiales y privadas no son sujetos de investigación y además
las otras áreas de asignatura no estarán siendo tomadas para su investigación.
4.1.4.3 APORTE:
En el presente trabajo, se informa a los directores, docentes y alumnos, de los cuatro
Institutos por Cooperativa; Cantón Chotacaj, Cantón Juchanep, Cantón Paquí.
Cantón Nimapá, los resultados que proyectaron de la investigación por medio de la
interpretación y análisis de los resultados. De esa manera crear en los directores,
docentes y estudiantes el análisis y la responsabilidad sobre la aritmética. Además
se plantearán una serie de propuestas didácticas, que contribuirán con mayor
facilidad el proceso enseñanza aprendizaje de la Aritmética.
22
CAPÍTULO 5
5.1 METODOLOGÍA
“La metodología en una investigación, es el conjunto de actividades que deben
desarrollarse, es decir, las acciones, los instrumentos, técnicas, los criterios y
procedimientos a aplicar para la obtención de datos, con el propósito de lograr los
objetivos propuestos en la investigación. Es importante determinar cómo se hará y
con quién se efectuará”.
Partiendo de la definición anterior, el estudio permitió identificar a los sujetos a
investigar, seguidamente la aplicación de los distintos instrumentos y técnicas, para
la obtención de información confiable del estudio. A continuación se presenta cada
uno de los aspectos:
5.1.1 SUJETOS
El universo identificado para la investigación, es el número de Directores, docentes y
alumnos de los cuatro institutos por cooperativas existentes actualmente para el año
2015, en el área oeste del municipio de Totonicapán, siendo ellas:
Instituto del cantó Chotacaj.
Instituto del cantón Juchanep.
Instituto del cantón Paquí.
Instituto del cantón Nimapá.
5.1.2 INSTRUMENTOS
La investigación se realizará con la aplicación de un cuestionario con 15 preguntas
abiertas, a estudiantes y docentes de segundo básico de los Institutos por
Cooperativa de los cantones de Chotacaj, Juchanep, Paquí y Nimapá, cuya finalidad
sondear a los representantes de los Institutos y conocer el grado de conocimiento
acerca del rendimiento de sus estudiantes en el área de Matemática. Esto a la vez
permite obtener indicadores para el diseño de investigación. Para una mayor
23
información con relación al objeto de estudio, se utilizarán técnicas tales como:
entrevistas estructuradas y visitas institucionales de educación. La primera con
preguntas entre ellas abiertas y cerradas, con las preguntas abiertas se logra a que
los entrevistados tuvieran la oportunidad de expresar con toda libertad a los
planteamientos que se realiza.
5.1.3 CRITERIO DE SELECCIÓN DE MUESTRA
En cuanto al criterio de la selección de la muestra, no se aplicó ninguna fórmula para
establecerla, considerando que el universo identificado mediante un mapeo
institucional realizado, lo constituyeron 4 Institutos por Cooperativa ubicadas en la
región; oeste, del municipio de Totonicapán, hasta el año 2015, para el efecto se
opta por trabajar con el muestreo, por ser una cantidad elevada de Institutos por
cooperativa del municipio.
5.1.4 PROCEDIMIENTO
Los procedimientos a aplicar en el estudio, se definen en las siguientes etapas:
a) Selección del tema.
b) Determinar la población y muestra.
c) Elaboración de boletas
d) Investigación de campo.
e) Tabulación e interpretación de la investigación.
f) Análisis de resultados obtenidos.
g) Elaboración del informe.
24
5.1.5 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
Se utiliza como diseño de investigación. La investigación Ex Post Facto: Este tipo de
investigación se ajusta y es apropiada para establecer posibles relaciones de causa y
efecto que permitan observar ciertos hechos ocurridos y la búsqueda de factores
pasados que hayan podido originar.
Características de la investigación Ex Post Facto:
Es que el investigador escoge uno o más efectos que le es dable observar y
se remonta en el tiempo en busca de posibles causas.
Proporciona información útil sobre la naturaleza del problema: que factores
están asociados, bajo qué circunstancias, en que secuencias aparecen.
Identificar las características de los estudiantes que obtienen altas notas en
los contenidos asimilados.
5.1.6 METODOLOGIA ESTADISTICA
Se utilizó Muestra Probabilísticas o Aleatorias: Todos los elementos de la población
tienen las mismas probabilidades de ser seleccionados.
Para la interpretación se utilizó el intervalo de confianza IC, para una proporción
poblacional, al considerar que es una muestra grande, el nivel de confianza utilizada
es de 99%. Para ello se usan las siguientes variables:
a) Nivel de Confianza: NC= 99%
b) Valor Crítico Normal Estándar: Z2
= Z 005.0 = 2.58
c) Proporción: = P
d) Intervalo de confianza: IC
25
n
nn
qp
np
IC
Z
ZZ
Z
2
2
2
2
2
2
1
4
ˆˆ
2ˆ
e) Límite de confianza inferior:
n
nn
qp
np
LCI
Z
ZZ
Z
2
2
2
2
2
2
1
4
ˆˆ
2ˆ
f) Límite de confianza Superior:
n
nn
qp
np
LCS
Z
ZZ
Z
2
2
2
2
2
2
1
4
ˆˆ
2ˆ
g) Total de la muestra = n
h) Frecuencia Absoluta = f
26
CAPÍTULO 6
6.1 RESULTADOS
Seguidamente se presentan dos cuadros que contienen el análisis estadístico de
cada boleta que fue aplicada, una para estudiantes y la otra corresponde a docentes
que imparten la asignatura de Matemática.
En el primer cuadro se presenta los resultados del proceso estadístico de la
información recabada en los cuatro Institutos de Educación básica por Cooperativa
ubicados en el sector oeste del municipio de Totonicapán.
6.1.1 CUADRO NO. 1
BOLETA DIRIGIDA A ESTUDIANTES CON n = 194
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 1
Historia 47 0.24227 0.75773 0.15300 0.34865
Matemática 99 0.51031 0.48969 0.40182 0.61812
Comunicación y Lenguaje 48 0.24742 0.75258 0.15754 0.35406
Pregunta 2
Ejercitar 134 0.69072 0.30928 0.58177 0.79703
Copiar 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Aplicar 55 0,28351 0.71649 0.18972 0.39168
Nada 4 0.02062 0.97938 0.03652 0.10233
Pregunta 3
Si 192 0.98969 0.01031 0.91013 1.03677
No 2 0.01031 0.98969 -0.03677 0.08988
Pregunta 4 Mis padres estén contentos 12 0.06186 0.93814 0.00194 0.15085 Es importante para mí futuro 143 0.73711 0.26289 0-62976 0.8273 Porque puedo aplicar los contenidos en la vida
29 0.14948 0.85052 0.07302 0.24920
Para estar entre los mejores de mí clase
6 0.03093 0.96907 -0.02246 0.11463
Para que mis compañeros y maestros me admiren
4 0.02062 0.97938 -0.02928 0.10233
otros 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
27
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 6
Si 144 0.74227 0.25773 0.63516 0.83332
No 50 0.25773 0.74227 0.16670 0.36485
Pregunta 7
Si 157 0.80928 0.19072 0.70611 0.81193
No 37 0.19072 0.80928 0.10808 0.29389
Pregunta 8
Si 107 0.55155 0.44845 0.44207 0.65762
No 87 0.44845 0.55155 0.34239 0.55793
Pregunta 9 Asistir puntualmente 62 0.31959 0.68041 0.22235 0.42881 Hacer los ejercicios con interés 98 0.50515 0.49485 0.39682 0.61315 Participar activamente en clase 34 0.17526 0.82474 0.09484 0.27724 Quedarme fuera de clases 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 Copiar las tareas de los compañeros
0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 1 Es la parte de un todo 105 0.54124 0.45877 0.43196 0.64779 Es una multiplicación 20 0.10309 0.89691 0.03473 0.19779 Es el conjunto de números positivos y negativos
69 0.35567 0.64433 0.35543 0.46549
Pregunta 2
Si 161 0.82989 0.17010 0.72835 0.90956
No 33 0.17010 0.82989 0.09045 0.27165
Pregunta3
Si 183 0.94329 0.56701 0.78425 1.7293
No 11 0.56701 0.94329 0.42045 0.70913
Pregunta 4
Al pagar un préstamo 65 0.33505 0.66495 0.23647 0.44458
Al repartir una ganancia 84 0.43299 0.56701 0.32772 0.54272
En ningún momento 45 0.23196 0.76804 0.14392 0.22427
Pregunta 5 Explicación Oral únicamente 48 0.24742 0.75258 0.15754 0.35406 Con gráficas en el pizarrón 130 0.67010 0.32989 0.56067 0.76825 Con juegos 7 0.03608 0.96392 0.01779 0.12074 Otro, especifique 9 0.04639 0.95361 0.00997 0.13286
28
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 6
Resolviendo problemas 142 0.73196 0.26804 0.62440 0.82414
Con gráficas en el pizarrón 39 0.20103 0.79897 0.11697 0.30494
Con juegos entre
compañeros
13 0.06701 0.93299 0.00597 0.15679
Otra forma especifique 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 7
Si 169 0.87113 0.12887 0.77349 0.94416
No 25 0.12887 0.87113 0.05585 0.22652
Pregunta 8
Si 156 0.80412 0.19588 0.70058 0.88749
No 0.19588 0.80412 0.11252 0.29943
Pregunta 9 No existe mucha explicación
32 0.16495 0.83505 0.08608 0.26607
Diferenciar la aplicación del signo
60 0.30928 0.069072 0.21298 0.41824
Hallar el procedimiento a seguir
69 0.35567 0.64433 0.25542 0.46549
Poco tiempo dedicado al tema
33 0.17010 0.82989 0.09045 0.27165
Pregunta 10 Suma 35 0.18041 0.81959 0.09923 0.28279 Resta 8 0.04124 0.95876 -0.41883 0.12682 Multiplicación 49 0.25258 0.74742 0.16212 0.35947 División 46 0.23711 0.76289 0.14846 0.34322 Ninguna 56 0.28866 0.71134 0.19134 0.39700
29
6.1.2 CUADRO NO.2
Seguidamente se presentan los resultados estadísticos obtenidos, sobre la
investigación de campo realizado a los docentes que imparten la asignatura de
Matemática en los cuatro Institutos por Cooperativa ubicados en el sector oeste del
municipio de Totonicapán.
BOLETA DIRIGIDA A DOCENTES
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 1
Si 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
No 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 2
Mucho 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Regular 2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Poco 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Nada 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 3
Oral 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Escrito 3 0.75000 0.25000 0.21766 0.97002
Visual 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Pregunta 4
Si 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
No 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 5
Pizarrón 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
Cartel 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Proyector 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Computadora 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Otros 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 6
Diario 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Semanal 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Mensual 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Al finalizar un tema 3 0.75000 0.25000 0.21766 0.97002
Pregunta 7
Asignar un punteo 3 0.75000 0.25000 0.21766 0.97002
Fijar el tema 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Aprovechar el tiempo 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
30
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 9
Juegos Lógicos 2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Juegos didácticos 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Juegos lúdicos 2 0.50000 0.50000 0.00000 0.00000
Pregunta 10
Si 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
No 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 11 Mejorar la comprensión del tema
1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Despierta el interés del alumno
2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Mantener ocupado al alumno
0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Mejorar la fijación del tema 1 0.250000 0.75000 0.02998 0.78233
Pregunta 12
Si 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
No 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 13
Si 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
No 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta14 Falta de conocimiento previo
1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Falta de atención en clase 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233 Falta de interés del tema 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233 Poca ejercitación 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233 Poco tiempo de aplicación 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 15
Nada 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Poco 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
Mucho 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 16
Individual 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
En pareja 4 1.00000 0.00000 0.37536 1.00000
En grupo 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 17
31
Intervalo de Confianza
F p̂ q̂ LCI LCS
Pregunta 17
Suficiente apoyo 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Escaso apoyo 2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Nada de apoyo 2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Pregunta18
Explicación 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Demostración 2 0.50000 0.50000 0.10483 0.89517
Solución d0.e problemas 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
Asignación de tareas 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
Pregunta 19
Si 3 0.75000 0.25000 0.21766 0.97002
No 1 0.25000 0.75000 0.02998 0.78233
32
CAPÍTULO 7
7.1 DISCUCIÓN DE RESULTADOS
La investigación de campo realizada en los cuatro Institutos por Cooperativa
ubicados en el sector oeste del municipio de Totonicapán del departamento de
Totonicapán, de la cual da por consecuencia la siguiente discusión de resultados.
De la investigación realizada a los cuatro institutos por cooperativa ubicados en
sector oeste del municipio de Totonicapán, se obtiene la información que el 51% de
estudiantes indican gustarle más la asignatura de Matemática en comparación a la
asignatura de Historia y Comunicación y Lenguaje ya de ellas el porcentaje de
estudiantes que prefieren la asignatura de Historia es un 24% y los que más les
gusta la asignatura de comunicación y Lenguaje es un 25% únicamente.
Además un 69% de los estudiantes de los cuatro Institutos por cooperativa
investigados, indican que generalmente lo que más les gusta de la Matemática es la
ejercitación y el 28% de ellos lo que les gusta es aplicar y en oposición al
cuestionamiento, únicamente el 2% de ellos se manifestaron indicando no gustarles
nada.
Sobre la interrogante planteada, ¿Le interesa aprender Matemática?
El porcentaje de estudiantes que dicen que si les interesa aprender Matemática es
extremadamente alto en comparación a los que indican que no les interesa
aprenderlo, ya que la información obtenida proporciona que el 99% de estudiantes
indican su interés en aprender, en comparación al 1% indican que no les interesa
aprender Matemática. Las razones que manifiestan del porque les interesa la
asignatura de Matemática son las siguientes; un 6% indican que si les interesa ya
que por medio de ella pueden satisfacer a sus padres, el 74% su justificación sobre
su interés de aprender la asignatura es por la importancia que brinda para su
formación en el futuro, el 15% indican que les interesa aprender porque los
contenidos pueden ser aplicado en su vida, el 3% su interés consiste en estar entre
33
los mejores de su clase, y el 2% su interés es únicamente el ser admirado por sus
maestros y amigos.
En relación al 1% de estudiantes que indicaron que no les interesa aprender
Matemática, se justifican indicando no comprender los diversos contenidos y
acompañado de una mala explicación por parte de sus docentes, además es
demasiado difícil controlar las diferentes aplicaciones de los signos en cada
operación, provocando en ellos la dificultad para su comprensión y aprendizaje, esto
se les complica aún más al resolver los ejercicios y tareas.
Sobre el cuestionamiento: Los contenidos de Matemática le permiten resolver
problemas de su vida diaria:
Los estudiantes de los cuatro institutos por cooperativa respondieron; el 74%
indicaron que los contenidos de Matemática si les permite resolver problemas de su
vida diaria, y en oposición a este cuestionamiento el 26% de estudiantes indicaron
que los conocimientos de Matemática no es útil para resolver problemas de su vida
diaria.
Soto (2 008 Pág. 15); en su libro “Enseñanza Efectiva de la Matemática” en su
sección 1.3 hace algunas propuestas de cómo debe despertar el interés de los
estudiantes en clase, en esta sección sugiere como estrategia la creación de
problemas motivadores y su objetivo en primer lugar mostrar que la Matemática se
encuentra a su alrededor y sentir que es algo conocido, el problema motivador debe
estar sobre conocimientos previos del estudiante, además aprovechar ese momento
para la introducción de un conocimiento nuevo.
Indica que el problema motivador tiene como finalidad, despertar en el estudiante el
interés en aprender el tema, de ello debe propiciar al estudiante que la Matemática
es útil para la vida y que su aplicación le favorece de manera positiva y fácil para la
solución de problemas cotidianos.
34
Por lo tanto el docente es el encargado directo en despertar el interés en el
estudiante, la cual es fundamental para el aprendizaje efectivo del área de la
Matemática, con ella logra obtener mejores resultados en la asimilación de
contenidos. Por lo que debe utilizar todos los recursos, medios o estrategias
necesarios para conseguirlo ya que ella le permitirá realizar el proceso enseñanza
aprendizaje más efectivo.
En relación a la pregunta; Está satisfecho con los conocimientos que recibe en la
clase de Matemática.
El 81% de estudiantes respondieron que si están satisfechos de los conocimientos
recibidos en la clase de Matemática, y que únicamente el 19% indicaron no estar
satisfechos de los conocimientos recibidos. Los conocimientos que se imparten en
los diferentes grados está según el currículo Nacional Base, la cual respondan a las
políticas y fines de la educación nacional, con ella se pretende obtener estudiantes
competitivos y dispuestos a enfrentar un mundo moderno y exigente.
Godino (2 004Pag. 30); En el libro “Didáctica de la Matemática Para Maestros”, al
referirse sobre los contenidos en el área de la Matemática, el Diseño Curricular Base
contempla tres aspectos fundamentales; conceptos, procedimientos y actitudes.
Los conceptos es la que presenta hechos y principios; los hechos y conceptos estas
se encuentran siempre presentes en los programas escolares, no así para los
principios, esta se refiere a los enunciados que describen como los cambios que se
van dando en un objeto. En relación a los procedimientos, esta se refiere al conjunto
de acciones que se realizan en forma ordenadas para conseguir una meta.
Cuando se refiere a la formación o construcción de valores, normas y actitudes este
Diseño Curricular Base, propone a los profesores que se programe y trabaje en los
alumnos que se aprendan valores, normas y actitudes en la escuela y que esta forme
parte de la planificación oculta ya que esta no se puede dar de una manera
planificada.
35
Al enfocar los contenidos abarcando los aspectos conceptuales, procedimentales y
actitudinales, indica; que es de naturaleza pedagógica, es decir es una conveniencia
que se escoge para trabajar los contenidos seleccionados, al realizar la selección de
contenido obedece a la naturaleza o a la intención educativa que se tenga sobre el
contenido la que debe abordar los tres aspectos indicados. Estos tres aspectos son
de igual importancia, ya que por medio de ella se logra la adquisición de las
capacidades que sean planificadas. Estos tres aspectos al ser abordados debe
hacerse en forma simultánea durante el proceso enseñanza aprendizaje y de la
misma forma para su evaluación.
Consejo Editorial de Editora Educativa; en el texto de Matemática, Un esfuerzo
guatemalteco para la excelencia educativa, al referirse sobre la aplicabilidad del
conocimiento; indican que los contenidos se clasifican en conceptuales, actitudinales,
y procedimentales.
Los conceptuales proporcionan las definiciones, informaciones e interpretaciones de
los conceptos, los contenidos actitudinales involucran el desarrollo de competencias
de una persona de cómo debe ser dentro de una sociedad y estimula la convivencia
dentro de un marco democrático y los procedimentales proporcionan las
herramientas para desarrollarse en un mundo moderno y científico.
Sobre el cuestionamiento; ¿el tiempo que dedica el profesor para la explicación y
ejercitación es suficiente?
El resultado de la investigación se obtiene que; el 55% de estudiantes indicaron, el
tiempo que el profesor le dedica a la explicación y ejercitación es suficiente y el 45%
indicaron lo contrario, que no es suficiente.
El tiempo, así como la ejercitación que se proporciona para el desarrollo de los
contenidos que se abarcan es fundamental para obtener una exitosa asimilación del
tema que se imparte. Este tiempo que se emplea, se da de dos maneras
indispensables; la primera consiste en el tiempo que es docente emplea para el
desarrollo de cada contenido en clase y de la misma forma la ejercitación
36
acompañada que recibe el estudiante. El otro tiempo y ejercitación, que es de igual
importancia, es la que le dedica el estudiante fuera de clases.
Por lo que se hace el cuestionamiento de autoevaluación sobre. ¿Cómo se considera
en la dedicación de sus estudios?
Para dicho cuestionamiento el 32% de estudiantes se considera asistir puntualmente
a sus clases, el 51% indica que realiza sus ejercicios con interés y el 18% se califica
de ser un estudiante que le gusta participar activamente en clase.
La segunda parte de la boleta, contiene preguntas de conocimiento y de experiencias
obtenidas en clase. Las preguntas realizadas son de conocimiento básico sobre
números enteros, la cual es contenido impartido con anterioridad.
Sobre el cuestionamiento que se hizo, ¿Cómo considera el conocimiento previo que
posee el estudiante en números enteros?
Un docente indica que los estudiantes poseen mucho conocimiento, dos profesores
indican que los conocimientos que poseen es regular y uno de ellos indican que
tienen poco conocimiento en números enteros. Esto se comprueba con la
interrogante realizada a los estudiantes.
¿Qué es número entero?
El resultado obtenido de la investigación en los cuatro Institutos por Cooperativa, no
es nada alentador, ya que únicamente el 36% de estudiantes indicó que números
enteros es el conjunto de números positivos y negativos, y en su contraparte el 54%
de los estudiantes investigados seleccionaron el enunciado que dice. Es la parte de
un todo y el 10% señalaron que, es una multiplicación. Por lo que es evidente que
un porcentaje elevado de estudiantes no recuerda o no se aprendió el contenido de
números enteros.
Por lo que esto afecta para el aprendizaje y desarrollo de los contenidos que se
impartirán en el transcurso del año y grados superiores en el área de la Matemática,
37
provocando en los estudiantes grandes dificultades y frustración y que al final puede
ocasionar el fracaso y el peor de los casos el abandono definitivo de sus clases.
El resultado sobre el cuestionamiento. ¿Le es fácil realizar suma y resta de números
enteros?
Como resultado de la investigación a los cuatro Institutos por Cooperativa, el 83% de
estudiantes su respuesta es indicar que si le facilita realizar suma y resta de números
enteros, al contrario para tal cuestionamiento el 17% indicó que no le facilita realizar
tales operaciones.
De acuerdo a la interrogante. ¿Es importante aprender a multiplicar y dividir con
números enteros?
La respuesta de los estudiantes, el 94% reconocen la importancia de aprender las
operaciones de multiplicación y división de números enteros, con un 6% de
estudiantes no comprenden la importancia de su aprendizaje.
La Importancia que los estudiantes le brindan a determinados, contenidos, temas o
actividades que se quiera realizar, depende fundamentalmente del profesor, ya que
esta es producto de la organización y la seguridad que se tenga por parte del
docente para involucrarlos activamente en su aprendizaje, además todo esto provoca
la confianza y la participación de los estudiantes.
Para lograr el interés en los estudiantes es importante involucrar al estudiante en
situaciones que lo hagan participantes activos de su aprendizaje, para tal propósito
se realiza el siguiente cuestionamiento a los docentes.
La enseñanza de los números enteros lo realiza utilizando problemas del entorno del
estudiante.
Tres de los docentes investigados indicaron que si, y un docente indico que no utiliza
problemas del entorno del estudiante.
38
La ubicación del docente en el entorno o contexto del estudiante es fundamental para
obtener mejores resultados en su aprendizaje, ya que de esa manera se logra que
puedan identificar relaciones del contenido con su realidad.
Alicia Bruno y Antonio Cejas (1 994), en su; I Seminario Nacional de Lenguaje y
Matemática, sobre Contextos y Estructuras en el Aprendizaje de los números
negativos, al realizar una investigación sobre los contextos y estructuras que se
utilizan en los enunciados en el momento de afrontar los contenidos llegaron a
descubrir que los estudiantes eligen la acción a tomar según el contexto en que se
encuentran, por lo que las dificultades son grandes al encontrarse con diversos
contextos. Además se encontraron con que los contextos que se utilizan para los
números enteros son reducidos, no así para los números positivos. Por ejemplo los
contextos que se utiliza para la adición de números positivos son; juntar, agregar,
unir… y en relación a los números negativos son muy limitados.
En sus conclusiones indican; “Abordar la enseñanza de los números negativos a
través de la solución de problemas es interesante, ya que permite a los alumnos
reflexionar y razonar sobre las operaciones básicas y se les puede ofrecer una mayor
riqueza de significados para ellas.” y “El número de contextos que puede usarse para
dar sentido a los números negativos no es tan amplio como en los números positivos,
pero esto, al principio puede ser un impedimento. Tiene la ventaja de que permite
realizar una elección adecuada al preparar el tipo de problema que se planteará en el
aula”.
CNB. (2 009); Hacia la Reforma Educativa; Menciona que con la educación se puede
lograr avances y la capacidad de influir en la formación del ser humano, pero esta es
posible al ser abordados desde cada contexto individual.
“En Guatemala la Reforma Educativa se realiza en un contexto sociocultural,
socioeconómico, jurídico, político y educativo singular, de donde surgen criterios
orientadores”.
39
En el siguiente cuestionamiento. ¿En qué momento ha aplicado suma y resta de
números enteros?
Es importante comprender al estudiante en relación a las aplicaciones que le da a los
contenidos en su vida cotidiana, en la investigación se tienen los siguientes
resultados; el 34% indicaron que la suma y resta de números enteros lo utilizan al
pagar un préstamo, el 43% que lo aplican en el momento de repartir una ganancia y
el 23% indicaron que en ningún momento hacen uso de la suma y resta de números
enteros.
El uso que tengan los estudiantes en su vida cotidiana, de los contenidos recibidos
en el aula, es de mucho valor ya que todo aprendizaje, tiene la finalidad de contribuir
para enfrentarse positivamente ante los acontecimientos que se presentan a diario y
a solucionar los problemas con mayor éxito.
CNB. (2 009); En la sección sobre “Condiciones necesarias para una educación de
calidad”, expone que la escuela de calidad, es aquella que promueve el progreso de
los y las estudiantes, por medio del logro intelectual, moral y emocional.
Además se refiere a la eficacia de obtener un buen resultado, con los medios
disponibles y hacer que los estudiantes progresen partiendo de sus circunstancias
personales.
La siguiente pregunta tiene la finalidad de entender y conocer las formas que se
aplican para impartir los contenidos, haciendo el siguiente cuestionamiento.
¿Cómo le enseñaron los números enteros?
El 25% de estudiantes respondieron que la enseñanza se realizó únicamente por
medio de la explicación oral, el 67% indica haber recibido su aprendizaje con gráficas
en el pizarrón, el 4% indica que le enseñaron por medio de juegos y el 5% señala
que la enseñanza de los números enteros fue por medio de la aplicación de todas
las formas mencionadas.
40
En relación al cuestionamiento a los docentes, ¿Qué medios didácticos utilizas para
fijar el conocimiento en los estudiantes?
Tres de los docentes indicaron que utilizan el medio escrito y un docente utiliza el
medio visual y los recursos que tienen a su disposición para la enseñanza de los
números enteros es el pizarrón, la elaboración de carteles y la utilización de los
materiales que poseen en el aula.
La importancia de conocer las diferentes formas de enseñanza que usan los
docentes, se fundamenta en propone la implementación de nuevas formas, técnicas
o estrategias que contribuyan en la realización del proceso educativo, en este caso la
enseñanza de los números enteros de manera efectiva.
De acuerdo al cuestionamiento que se hizo, ¿De qué forma sugiere que le enseñen
las operaciones con números enteros?
El resultado obtenido con los cuatro Institutos por Cooperativa investigados; el 73%
sugieren que se haga por medio de la solución de problemas, el 20% su elección que
sea por medio de gráficas en el pizarrón y el 7% sugiere que se le enseñe por medio
de juegos entre sus compañeros.
El tomar en consideración la inquietud y el pensamiento de los estudiantes, en
relación a como desea que se le enseñe los contenidos, favorece en el sentido de
aplicar formas, técnicas o estrategias que los estudiantes participaran con gusto y
hacer que el proceso educativo sea amena y efectiva en logro de las competencias.
Currículum Nacional Base Nivel Medio – Ciclo Básico, (2 009 Pág. 19); “La
transformación curricular es un área importante, al considerar la actualización y
renovación técnico pedagógica de los enfoques, esquemas, métodos, contenidos y
procedimientos didácticos; de diversas formas de prestación de servicios educativos
y de la importancia de todos los actores”.
Sobre el cuestionamiento realizado, ¿Cree que tiene compañeros qué les facilita
realizar operaciones con números enteros?
41
Del resultado de la investigación se obtiene, que el 87% indicaron que si tienen
compañeros que les facilitan las operaciones con números enteros y el 13% indica
que no cree que tenga compañeros que les facilita las operaciones con números
enteros.
El siguiente cuestionamiento dice, Tiene idea que los números enteros tienen
utilidad en otros contenidos.
La respuesta para tal cuestionamiento, el 80% indicó que si tiene idea de su utilidad
en otros contenidos y para la contra parte al cuestionamiento el 20% de estudiantes
indica que no tiene idea que los números enteros tienen utilidad en otros contenidos.
Este cuestionamiento se hace con el propósito de entender cuál es la actitud del
estudiante ante el tema de números enteros, y la importancia para su buen
aprendizaje y las consecuencias que provoca para el aprendizaje y dominio de otros
contenidos que se estarán desarrollando en el futuro.
Sobre el cuestionamiento que se hizo, ¿Cuál fue la mayor dificultad que encontró al
resolver ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de números enteros?
La respuesta de los estudiantes fueron diversas al indicar, el 16% indica que su
dificultad se encuentra por no existir mucha explicación por parte de los docentes, el
31% su dificultad se encuentra en el momento de diferenciar el uso de los signos, el
36% señala que encuentra dificultad en hallar el procedimiento que debe seguir, y el
17% indica que su problema es consecuencia de la poca dedicación de tiempo al
tema.
Conocer las dificultades de los alumnos permite enfocar la atención en ciertos
aspectos y puntualizar la solución de los problemas que encuentran los estudiantes
ante el desarrollo de contenidos en este caso el tema, números enteros y sus
operaciones básicas, además brinda información sobre la identificación de ciertos
errores que continuamente se cometen durante el proceso educativo.
42
De acuerdo a la pregunta que se hizo. De las cuatro operaciones con números
enteros. ¿Cuál le es más difícil resolverlo?
De la investigación a los cuatro Institutos de Educación por Cooperativa ubicados en
sector oeste del municipio de Totonicapán, 71% de estudiantes indicaron tener
diferentes dificultades en resolver las operaciones básicas con números enteros, el
18% su dificultad se encuentra en la adición, el 4% se encuentra su dificultad al
realizar la sustracción, el 25% su dificultad aparece en la multiplicación y el 24% su
dificultad es en el momento de hacer la división. Al contrario únicamente el 29% de
estudiantes indicaron que no es difícil resolver operaciones de suma, resta,
multiplicación y división con números enteros.
La boleta dirigida a los docentes de los cuatro Institutos de Educación por
Cooperativa ubicados en el sector oeste del municipio de Totonicapán, que fueron
sujetos para la investigación de campo, se llegó a conocer que los cuatro educadores
poseen el título de Profesor de enseñanza Media en Matemática y Física, además
tres de los docentes tienen la experiencia de más de diez años de impartir la
asignatura de Matemática y que únicamente uno tiene la experiencia de 9 años.
Los cuatro docentes investigados indicaron que en la actualidad las secciones que
atienden, están formados por más de 30 estudiantes y que además de impartir la
asignatura de Matemática, dos de ellos también imparten otras asignaturas como,
Contabilidad General, y los otros dos ciencias Naturales en tercer grado.
De acuerdo al cuestionamiento que se hizo, ¿Considera que es importante el
aprendizaje de los números enteros?
El 100% de los docentes indicaron que si es importante el aprendizaje de los
números enteros.
43
Sobre el cuestionamiento, ¿Con qué frecuencia asigna tareas a los estudiantes?
Un docente indicó que se asignan tareas diariamente y tres docentes indicaron que
lo hacen al finalizar el desarrollo de un tema.
Además se pregunta, ¿Qué objetivo persigue al asignar ejercicios a los estudiantes?
Tres de los docentes investigados indicaron que su objetivo es de asignarle un
punteo y uno de ellos señaló que su objetivo es el de fijar el tema desarrollado.
Morales (2 002) indica en su trabajo sobre metodología para la enseñanza de la
Matemática, que las tareas escolares deben ser planificadas y graduadas acorde a
las necesidades que se presentan. El docente al planificar adecuadamente las tareas
estará logrando con seguridad el aprendizaje que tiene como objetivo, porque al
hacer las tareas el estudiante experimenta y aplica sus habilidades y conocimientos.
Por lo que la ejercitación continua es necesaria practicarla ya que por medio de ella
se logra reafirmar los contenidos desarrollados en el aula, además es una
oportunidad para los estudiantes de analizar y aplicar los conocimientos recibidos en
clase.
Nérici, (1985 Pág. 261), en su libro Hacia una Didáctica General Dinámica, en
relación a los ejercicios dice; “Los ejercicios representan trabajos escolares sobre la
base de clases dadas, y procuran la fijación de lo que fue enseñado, principalmente,
en lo que atañe a la adquisición de automatismos”
Por lo que el docente bebe definir el objetivo que desea alcanzar al asignarles
ejercicios a los estudiantes, además que su propósito es de asignar un punteo, lo
fundamental debe ser la fijación del contenido impartido en clase.
Aprovechando las ventajas que proporciona la ejercitación para los estudiantes, entre
las que el mismo docente investigado indica, que por medio de la ejercitación los
estudiantes tienen la oportunidad de practicar, aplicar y aprender con su forma
propia el contenido desarrollado en clase.
44
En relación al cuestionamiento que se hizo, ¿Qué actividades desarrolla para la
enseñanza de la Aritmética?
Dos de los docentes investigados indicaron que las actividades que realizan, los
juegos didácticos y dos docentes desarrollan juegos lúdicos.
La variedad de actividades desarrolladas por el docente, para la enseñanza de la
Aritmética es muy significativa para obtener un mejor resultado en la fijación del
contenido en todos los estudiantes involucrados, porque es una de las formas de
hacer posible que el proceso enseñanza aprendizaje sea amena y variada.
Mónica Agrasar y Silvia Chara (2 004 Pág. 5) en su libro Juegos en Matemática, el
juego como recurso para aprender, un material elaborado para docentes, al referirse
a los juegos didácticos dice en el tema:” El uso del Juego en el aula” que los juegos
brindan a los estudiantes la ventaja de independizarse del docente en la aplicación
de sus conocimientos.
La aplicación de los juegos en el aula debe usarse como una herramienta didáctica,
La diferencia del juego didáctico al juego social, consiste en que el estudiante desea
siempre ganar dentro y fuera del aula a cambio el docente lo que persigue es que el
estudiante aprenda el contenido involucrado en el juego. El docente se apoya según
su propósito con el juego, además debe seleccionar sus materiales, las cuales deben
estar adaptados al contenido que desea impartir, seguidamente organizar a los
estudiantes y acompañarlos por cada etapa durante el juego, proporcionando las
reglas que corresponden para cada juego, y velar que la participación sea activa de
todos los integrantes.
Es importante considerar que cada juego no debe jugarse una sola vez, porque de
esa manera se estará estimulando la aplicación de estrategias y la memorización de
ellas mismas. En relación a los juegos dirigidos indican que debe incluirse la
aplicación del cálculo, también es importante organizar actividades en las cuales
deben usar los conocimientos aprendidos con juegos realizados con anterioridad.
45
Reyes (1 999 Pág. 15), en su trabajo; Juegos Didácticos En El Proceso Enseñanza
–Aprendizaje De la Matemática En El Nivel Medio Superior; al referirse a los juegos
didácticos dice; “El juego didáctico puede llegar a ser un método muy eficaz de la
enseñanza. Mediante este, es posible contribuir a la formación del pensamiento
teórico y práctico del egresado y a la formación de las cualidades que debe reunir
para el desempeño de sus funciones: capacidades de dirigir, y tomar decisiones
individuales y colectivas, habilidades y hábitos propios de la dirección y de las reglas
sociales”.
Se hace el cuestionamiento sobre la aplicación de juegos lúdicos para la enseñanza
de los números enteros es beneficioso, el 100% de docentes investigados indicaron
que si, la aplicación de juegos lúdicos en la enseñanza de los números enteros
brindan beneficios, ya que por medio de ella se logra el desarrollo del conocimiento,
la aplicación del análisis al enfrentarse ante lo concreto y abstracto, y además
contribuye para el desarrollo del pensamiento lógico del estudiante.
Los beneficios que proporcionan a los estudiantes, la aplicación de los juegos
lúdicos en la ejecución del proceso educativo; que por medio de ella se logra mejorar
la comprensión del tema que se imparte en clases, despierta el interés del estudiante
en su aprendizaje, y contribuye para mejor la fijación del contenido desarrollado.
Echeverri y Gómez (2 009), https://www.google.com.gt/. blog.utp.edu.com/…
recuperado el 19 de marzo de 2015, en su documento sobre la dimensión lúdica del
maestro en formación, al tratar sobre los juegos lúdicos dice: Que la lúdica es parte
fundamental del desarrollo humano, no es una ciencia, ni una disciplina o nueva
moda. “Es más bien una actitud del humano ante la vida, es una forma de
relacionarse con ella, en aprovechar los espacios diarios en la que se puedan
conseguir alegría, acompañado de las actividades simbólicas e imaginarias con el
juego”.
También piensan; “La lúdica no como un medio, sino como un fin, debe de ser
incorporada a lo recreativo más como un estado ligado en forma natural a la
46
finalidad del desarrollo humano, que como actividad ligada sólo al juego; es más bien
propender por una existencia lúdica de tipo existencial, que nos ayude a
comprendernos a sí mismos, para comprender al otro en toda su dimensión
sociocultural”.
A sí mismo indican que, la importancia que tienen los juegos lúdicos en la enseñanza
se fundamentan en que se pueden combinar diversos aspectos que favorecen a la
organización de la enseñanza, además aprovechar que los juegos pueden ser
utilizados en todas las etapas de la vida; desde la infancia hasta en la edad adulta.
De acuerdo al cuestionamiento que se hizo, ¿Considera que el dominio de los
números enteros mejora el rendimiento de los estudiantes?
La respuesta de los cuatro docentes, indicaron que si contribuye a mejora al
estudiante en su rendimiento, porque su aplicación se va haciendo con más
frecuencia en los contenidos que se van impartiendo en los grados superiores, por lo
que es fundamental su aprendizaje y dominio.
En relación al cuestionamiento anterior se realiza la siguiente pregunta, Ha prestado
atención a los estudiantes sobre las dificultades del dominio de las operaciones
básicas de números enteros, la respuesta fue positiva por parte de todos los
docentes involucrados en la investigación. Haciendo el señalamiento de las causas
que ocasionan las dificultades en los estudiantes, indicando que una de las causas
del poco dominio sobre las operaciones básicas con números enteros, son por; la
falta de conocimiento previo, la falta de atención en clases, la falta de interés sobre el
tema, la poca ejercitación realizada, y el poco tiempo que le dedica para la
realización de sus tareas.
Acompañado a estas causas indican otra que es fundamental para la efectividad que
se desea en el proceso enseñanza- aprendizaje, es el poco apoyo que reciben de
parte de sus padres en casa, y en los peores casos nada de apoyo reciben los
estudiantes en casa para mejorar su rendimiento.
Sobre el cuestionamiento realizado, ¿Cuál es la mejor forma en que aprenden los
estudiantes? Los cuatro docentes investigados indicaron que la mejor forma de
aprender de los estudiantes es en pareja.
47
El docente debe utilizar todas las alternativas que tiene a su alcance con la finalidad
de facilitar la enseñanza de los educandos.
Díaz (2 006, Pág. 53) En su libro Orientaciones Para el trabajo Pedagógico de la
Matemática, en el capítulo III, Orientaciones para el Aprendizaje, sobre el tema
Estilos de Enseñanza. Dice que los profesores tienen su propio estilo de enseñanza,
tales estilos son copiados de sus profesores que más les impactaron durante su
proceso de formación. Por lo que de igual manera los estudiantes tienen su propio
estilo de aprendiza, de esa manera el profesor debe propiciar el ambiente necesario
para que el estudiante encuentre su forma de aprendizaje formando grupos de
trabajo, proponiendo trabajos individuales y grupales, que les permita la organización
flexible y dinámica.
De acuerdo al cuestionamiento que se hizo, ¿Qué didáctica utiliza para la enseñanza
de las operaciones básicas de números enteros?
La respuesta para dicho cuestionamiento, un docente indicó que utiliza la
explicación, dos docentes indicaron que para la enseñanza emplea la demostración,
y un docente indica que utiliza como didáctica la solución de problemas.
Los cuatro docentes que participaron en la investigación de campo mencionaron que
los métodos de enseñanza que utilizan son las siguientes: el deductivo, el inductivo,
el activo, el heurístico, el demostrativo, el participativo, el grupal y el explicativo.
48
CAPÍTULO 8
8.1 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
8.1.1 CONCLUSIONES
a. La educación básica plantea la formación del individuo proactivo y capacitado
para enfrentarse ante la vida social, la educación en Matemática es
fundamental ya que se considera como la rama más importante para el
desarrollo del individuo, al proporcionarle los conocimientos básicos, tales
como el contar, agrupar, clasificar, accediéndole la base necesaria para la
valoración de la misma, dentro de la cultura de su comunidad, región y de su
país.
b. De los 194 estudiantes investigados, 192 equivalente al 99% manifiesta el
interés de aprender el curso de Matemática, su argumento consiste en que es
de gran importancia para su vida en el futuro porque que los conocimientos
aprendido le permitirán resolver problemas de su vida cotidiana, además por
medio de ella pueden satisfacer a sus padres.
c. Los estudiantes afirman que les gusta más el curso de Matemática, que los
cursos de Historia y comunicación y Lenguaje, generalmente lo que más le
gusta de la Matemática es ejercitar y en algunos casos aplicar los
conocimientos aprendidos.
d. Los estudiantes manifiestan estar satisfechos de los conocimientos que
reciben en la clase de Matemática y el tiempo que le dedica el profesor para la
explicación y ejercitación de los contenidos es suficiente.
e. Los docentes afirman que los conocimientos previos sobre números enteros
que poseen los estudiantes es regular, la que fue demostrada en la pregunta
realizada a los estudiantes sobre, ¿Qué es número entero? La que en su
mayoría señaló la respuesta de forma equivocada.
f. Los estudiantes señalan que su dificultad sobre los números enteros se
encuentran en la solución de las operaciones de adición, sustracción, división
49
y multiplicación, esto es debido a la diferencia que existe en la aplicación de
los signos de cada operación.
g. Los docentes y estudiantes afirman que el medio didáctico que se utiliza con
mayor frecuencia es la explicación oral y como recurso el pizarrón por medio
de gráficas, porque es lo único que posee el establecimiento educativo.
h. Los estudiantes sugieren que la forma que desean que le enseñen las
operaciones básicas de números enteros, sea por medio de la solución de
problemas.
i. Los docentes y estudiantes afirman que los contenidos de números enteros es
de gran utilidad en la aplicación de otros contenidos y con su dominio
adecuado favorece en su rendimiento en el área de Matemática.
j. Los docentes afirman que la asignación de tareas y la ejercitación al finalizar
el desarrollo de un tema su objetivo es fijar el contenido y la aplicación de los
conocimientos adquiridos y además la asignación de un punteo.
k. Los docentes aseguran que la aplicación de juegos lúdicos en el proceso
enseñanza aprendizaje de los números enteros proporciona grandes
beneficio al estudiantes y, además es un medio útil para el desarrollo del
pensamiento y las habilidades analíticas del estudiante, y la relación de lo
concreto con lo abstracto que existen en los contenidos.
l. Los docentes afirman que le han prestado atención a los diversos problemas
que tiene el estudiante en el dominio de la Aritmética, y que una de las causas
fundamentales es el poco tiempo que el estudiante le dedica para la
realización de sus tareas y el escaso apoyo que reciben por parte de sus
padres.
m. Los docentes aseguran que en pareja es la mejor forma de aprender por parte
de los estudiantes, y con ella se está provocando la discusión entre ellos y el
compartir los conocimientos adquiridos en el momento de la solución de los
ejercicios asignados.
50
8.1.2. RECOMENDACIONES
A continuación se presentarán una serie de recomendaciones, que tienen como
propósito contribuir con los docentes para mejorar en la asimilación de contenidos en
los estudiantes de los cuatro Institutos por Cooperativa ubicados en el sector oeste
del municipio de Totonicapán:
a) Toda actividad que desarrolle el docente, no debe perder de vista los fines de
la educación nacional, utilizando como fuente de referencia lo que está
enmarcado en el Currículo Nacional Base (CNB).
b) El docente debe investigar o diseñar actividades adaptadas a la realidad del
contexto de la región o comunidad donde se realiza el proceso enseñanza
aprendizaje, estas actividades deben propiciar el razonamiento lógico y
cálculo matemático. Además debe proporcionar en el estudiante, motivación,
interés, iniciativa, imaginación, y sobre todo alegría y satisfacción para su
realización.
c) Implementar sistemáticamente en el proceso educativo; actividades
didácticas, como juegos lúdicos matemáticos, de esa manera proporcionar a
los estudiantes una nueva alternativa en su aprendizaje de la Matemática y
dejar de ver que es un verdadero sacrificio.
d) Los juegos didácticos que ocupa mucho tiempo para su solución, debe pedirle
que se resuelva en casa, invitando a toda su familia para colaborar en su
solución y de esa manera involucrar a todos en el proceso educativo, y
estimular el espíritu de confianza y armonía familiar, el siguiente día de clases,
compartir su algoritmo de solución y de las experiencias obtenidas
seguidamente participar todos para la solución. Estas actividades deben
contribuir en la fijación del aprendizaje de la Aritmética.
51
e) Para que el curso de Matemática no se convierta en algo tediosa, aburrida y
pesada para el estudiante, el docente debe implementar en su planificación la
solución de problemas de Matemática que tengan relación con la Aritmética.
f) Practicar actividades que estimulen la función de los sentidos para acceder
más fácilmente a la información, a la adquisición de habilidades y destrezas, y
a la formación de actitudes y valores.
g) En la solución de problemas matemáticos, deben aplicarse con moderación y
precaución, para evitar que el estudiante, pierda el objetivo principal de las
actividades que es la asimilación de los contenidos de una manera más
espontanea y efectiva.
h) Para continuar con el interés del estudiante se debe aplicar diversas
estrategias que contribuyan en el desarrollo de su pensamiento, y
proporcionar los medios y ambientes positivos de cómo aplicar las
estrategias aprendidas en la solución de sus tareas y ejercicios en sus
momentos libres.
i) Investigar los beneficios que proporciona el dominio de la Aritmética para la
enseñanza de otros contenidos y estar comprometido para conocer las
diversas actividades y estrategias que se puedan usar en el proceso
educativo.
j) Conocer las ventajas que brindan la aplicación de otras formas, medios
didácticos, estrategias y técnicas, en los estudiantes en relación a la
asimilación de contenidos y de esa manera hacer uso responsable de la
diversidad de recurso didáctico existentes.
52
k) Planificar actividades que promuevan la participación de los estudiantes para
reunirse en pareja en la realización de sus ejercicios y tareas asignadas, con
el fin de despertar el espíritu de cooperación, colaboración y ayuda para
superar juntos las dificultades con que se encuentran en cada contenido
desarrollado.
l) El docente debe entender que la Matemática, tiene un lugar importante en la
formación de la inteligencia. Por lo que se hace necesario que los profesores
entiendan que la Matemática es una asignatura fundamental que posibilita el
desarrollo de hábitos y actitudes positivas, así como la capacidad de formular
conjeturas racionales y de asumir retos basados en el descubrimiento y en
situaciones didácticas que les permitan contextualizar los contenidos como
herramientas disponibles de ser utilizadas en la vida.
m) El docente debe promover el ambiente y actividades que propicien en el
estudiante dedicarle mayor tiempo en la ejercitación y práctica para la
realización de sus tareas.
53
CAPÍTULO 9
9.1 FUENTES BIBLIOGRÁFICAS
Xavier R. (2 007); Pedagogía de La Integración. Editor Coordinación Educativa y
Cultura Centroamericana.
Soto E. (2 008); Enseñanza Efectiva de las Matemáticas: Versión electrónica.
Nérici I. (1994); Hacia una Didáctica General Dinámica; Tercera Edición.
Morales B, Pinot L. (1 990); Conjuntos Numéricos, Cuaderno de Matemática, Primera
Edición, Editorial Piedra Santa.
Monereo C. (1 999); Estrategias de Enseñanza Aprendizaje; Sexta Edición, Editorial
Graó.
Romero E. (2 013) La Estrategia en el Aprendizaje de la Matemática; Trabajo de
investigación.
Gloria G. (2 003); Universidad Pedagógica Nacional de Bogotá Colombia: Estándares
Básicos de Competencias en Matemática.
Seymour L. (1 985); Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Primera Edición, Editorial
Litografía Ingramex S. A.
Ministerio de Educación (2 009); Currículum Nacional Base del Nivel Medio – Ciclo
Básico, Primera Edición.
Agrasar M. y Chara S. (2 004); Juegos en Matemática, Primera Edición, Norma Sosa.
Consejo Editorial de Centro de Ediciones S.A. Matemática 2. Editorial Educativa la
Marca.
Soria G. (2 010), 100 Problemas Matemáticos, Un Recurso Para el Aula, Editora
Cefire de Elda.
Díaz M. (2 006), Orientaciones Para el trabajo Pedagógico de la Matemática,
Segunda Edición. Impreso Fimart S. A. C.
Bruno A.y Martinón A. (1 994); Universidad de la Laguna, Área de la Didáctica de la
Matemática, I Primer Seminario de Lenguaje y Matemática, sobre Contextos y
Estructuras en el Aprendizaje de Números Negativos.
54
Reyes A. (1 999), Juegos Didácticos En El Proceso Enseñanza –Aprendizaje De la
Matemática En El Nivel Medio Superior, trabajo presentado previo a obtención el
título de Maestra en Enseñanza de las Ciencias con Especialidad en Matemática.
Echeverri J. y Gómez J (2 009), Investigación sobre la dimensión Lúdica del maestro
en formación.
Navarro Á. (2 011) 1001 Juegos de Inteligencia Para toda la Familia, Primera Edición
Ninahuanca, C. T. (01 de 04 de 2014). ISSUU. Obtenido de ISSUU:
http://issuu.com/jllahore/docs/origen_e_historia_numeros_enteros
Godino J. (08 de 09 de 2013). Proyecto Edumat-Maestros; Didáctica de la
Matemática Para Maestros, facultad de Ciencia de la Educación Universidad de
Granada. http:/www. Ugr.es/local/jgodino/edumat-maestro/
55
ANEXOS 1
56
PROPUESTA
57
1. INTRODUCCIÓN
En estos tiempos es muy frecuente escuchar de los estudiantes indicar que la
Matemática es difícil, aburrido, y pesado señalando que no tiene utilidad para la
vida, y es por tal razón que le pierden el interés y la dedicación para su
preparación en sus estudios.
Los docentes en muchas ocasiones se justifican indicando, que no se cuenta con
el tiempo suficiente para la implementación de nuevas actividades, técnicas o
estrategias que puedan ser usadas y muy útiles para superar muchos obstáculos
que encuentran en el aula día tras día.
La metodología que se emplea propone la aplicación del trabajo en forma grupal
o individual y promueven la participación de los estudiantes, al aplicar los
conocimientos adquiridos en clases, además el uso de recursos que estarán
contribuyendo para una mejor asimilación de las operaciones de Aritmética.
La implementación de la solución de problemas de forma modificada y planificada
en el proceso enseñanza aprendizaje de la Aritmética, brindará una nueva
oportunidad para el docente y estudiante para hacer más efectiva el aprendizaje
de dicho contenido.
Los juegos didácticos son unas de las tantas alternativas, de las que puede hacer
uso el docente para solucionar de alguna forma las malas experiencias que se
tienen en la asimilación de las operaciones básicas de los números enteros.
58
1.2 JUSTIFICACIÓN
La estadística que reporta el Ministerio de Educación en relación a las
evaluaciones sobre el logro en los contenidos que dominan los estudiantes
son alarmantes, al encontrarse el municipio de Totonicapán en un nivel bajo.
La preocupación de buscar alternativas, para la superación de tan delicada
situación de los estudiantes en relación a los logros que obtienen en la
solución de las evaluaciones que se enfrentan, es importante la
implementación de otros medios y estrategias que contribuyan para el
mejoramiento del logro de contenidos.
Existe una gran cantidad de estudiantes que por tener dificultades para la
comprensión y asimilación de los contenidos en el área de la Matemática, se
ven obligados a abandonar sus estudios, esto se da en todos los niveles de
educación. Esto provoca para el país un enorme estancamiento o retroceso
ante un mundo moderno, cambiante y tecnológico.
Como resultado de la investigación se descubrió que la mayoría de docentes
utilizan con mayor frecuencia como medio de enseñanza la explicación
únicamente, la cual corresponde a la forma tradicional de hacer educación.
En estos tiempos los estudiantes deben ser más protagonistas de su propio
aprendizaje, esto es posible con la implementación de nuevas estrategias por
parte del docente, en aplicar estrategias que encamine a sus estudiantes
aprender a aprender.
Los estudiantes deben relacionar los contenidos adquiridos con el contexto en
que vive o en la que se encuentra en las diversas actividades que el docente
programe para el desarrollo del contenido sobre números enteros y obtener
un mejor aprendizaje.
59
1.3 OBJETIVOS
Implementar otras técnicas, estrategias y metodologías que contribuyan la
ejecución efectiva del proceso enseñanza aprendizaje de la Aritmética.
Contribuir a estimular y motivar a la población estudiantil del nivel básico
de Institutos por Cooperativa, para su participación efectiva en el proceso
enseñanza aprendizaje.
Proponer juegos didácticos, que contribuyan con el docente para que el
proceso de aprendizaje de la Aritmética sea agradable.
Dar otros medios didácticos, que contribuyan a estimular y motivar de
manera divertida y participativa el desarrollo de las habilidades,
capacidades lógicas intelectuales, analíticas y deductivas del estudiante.
Promover a partir de la solución de problemas y el juego didáctico
motivaciones para ejercicios matemáticos, específicamente las
operaciones básicas de números enteros.
Favorecer la comprensión y el uso de contenidos aritméticos que tienen la
finalidad el desarrollo del pensamiento lógico.
Promover la participación activa del estudiante por medio de actividades
prácticas, como juegos didácticos, solución de problemas que incluyan las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división de números
enteros.
Proponer un modelo de planificación que contempla diversas actividades
donde el estudiante su participación tenga una experiencia significativa del
conocimiento.
60
1.4 ESTRATEGIAS
Se proponen estrategias que tienen la finalidad, realizar el proceso enseñanza
aprendizaje de la Aritmética de una manera efectiva, consiste en implementar el uso
de otras formas y actividades, que permitan al estudiante formar equipos de trabajo
para compartir conocimientos y experiencias adquiridos, para la solución de tareas y
ejercicios que se les sean asignado.
Asignar actividades, juegos didácticos en forma planificada de tal manera que
los contenidos de números enteros a impartir no encuentren mayor dificultad
en su asimilación, obteniendo mayores éxitos en sus logros.
Elaborar actividades, solución de problemas, que sean adaptables a los
contenidos que se desea desarrollar, además ajustadas al contexto del
estudiante.
Todas las actividades que se practican deben ser resueltos por el docente
cuando el estudiante no logre resolver.
Planificar todas las actividades acorde a los contenidos que se esté
desarrollando en clase.
Aclarar todas las dudas que se presentan, por parte de los estudiantes.
Elaborar actividades que sean adaptables a los contenidos que se desea
desarrollar, además aplicables al nivel del estudiante.
1.5 DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Seguidamente se presentan una serie de actividades y sugerencias metodológicas,
que son elaborados por diversos autores las cuales, pueden ser utilizadas para la
enseñanza de la Aritmética y con su aplicación hacer que su enseñanza sea amena,
alegre y divertida y con ella obtener mejores resultados para su asimilación y lo más
interesante es salir de lo tradicional.
61
La propuesta se basa fundamentalmente la extraída del cuaderno de Matemática
para estudiantes; “Operaciones en Conjuntos Numéricos”, de los autores; Bernardo
Morales y Leonel Pinot.
PROPUESTA
La siguiente propuesta tiene la finalidad de conducir al docente y estudiante el
aprendizaje de la Aritmética enfocada desde un nivel formal y lógico, por medio de la
aplicación de otras formas de enseñanza aprendizaje, que permitan a los estudiantes
organizarse en equipos de trabajo y compartir los conocimientos adquiridos para la
solución de ejercicios y tareas.
CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Números enteros positivos: Es el conjunto de parejas (a, b) de números naturales,
ordenadas de tal forma que en los conjuntos se encuentran todas las parejas
ordenadas donde el primer elemento es mayor, que el segundo elemento.
Primer conjunto (a, b) de números naturales, se encuentran todas las parejas
ordenadas donde el primer elemento es mayor en uno, que el segundo elemento.
Ejemplo las parejas (1, 0), (2, 1), (3, 2)… Segundo conjunto (a, b) de números
naturales, se forma de todas la parejas ordenadas donde el primer elemento es
mayor en dos, que el segundo elemento. Ejemplo las parejas (2, 0), (4, 2), (5, 3)…;
Tercer conjunto (a, b) de números naturales, se forma de todas las parejas
ordenadas donde el primer elemento es mayor en tres, que el segundo elemento.
Ejemplo de parejas (3, 0), (4, 1), (5, 2), (6, 3)… etcétera.
En forma general el conjunto de los números enteros positivos se forman de todas
las parejas ordenadas, de tal forma que el primer elemento es mayor, que el segundo
elemento.
Uno positivo = 1= {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (9, 8), (12, 11)...}
Dos positivo = 2= {(2, 0), (3, 1), (4, 2), (10, 8), (13, 11)...}
62
Tres positivo = 3= {(3, 0), (4, 1), (5, 2), (11, 8), (14, 11)...}
Cuatro positivo = 4= {(4, 0), (5, 1), (6, 2), (12, 8), (15, 11)...}
De esta forma sucesiva se van formando las parejas, ordenadas hasta el infinito.
Números enteros negativos: Es el conjunto de parejas ordenadas de tal forma que
en el primer conjunto se encuentran todas las parejas ordenadas donde el primer
elemento es menor en uno, que el segundo elemento. Ejemplo las parejas (0, 1), (1,
2), (2, 3)… El segundo conjunto se forma de todas la parejas ordenada donde el
primer elemento es menor en dos, que el segundo elemento. Ejemplo las parejas
(0, 2), (1, 3), (2, 4)…; El tercer conjunto se forma de todas las parejas ordenadas
donde el primer elemento es menor en tres, que el segundo elemento. Ejemplo de
parejas (0, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 6)…etcétera.
En forma general el conjunto de los números enteros negativos se forman de las
parejas ordenadas, de tal forma que el primer elemento es menor, que el segundo
elemento.
Uno negativo = -1 = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (9, 10), (12, 13)...}
Dos negativo = -2 = {(0, 2), (3, 5), (4, 6), (10, 12), (13, 15)...}
Tres negativo = -3 = {(0, 3), (4, 7), (5, 8), (11, 14), (14, 17)...}
Cuatro negativo = -4 = {(0, 4), (5, 9), (6, 10), (12, 16), (15, 19)...}
De esta forma sucesiva se van formando las parejas, ordenadas hasta el infinito.
Números enteros cero: Es el conjunto de parejas ordenadas de tal forma que en el
primer conjunto se encuentran todas las parejas ordenadas donde el primer elemento
es igual, que el segundo elemento. Ejemplo las parejas (1, 1), (2, 2), (3, 3)…
63
En forma general el número entero cero se forma de todas las parejas ordenadas, de
tal manera que el primer elemento es igual, que el segundo elemento.
Cero = 0 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (9, 9), (13, 13)...}
NOTACIÓN:
El conjunto de números enteros positivos se identifica Z .
Se escribe Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
El conjunto de números enteros negativos se identifica Z .
Se escribe Z = {-1, -2, -3, -4, -5, … }
Definición: “El conjunto de los números enteros Z es la unión del conjunto de los
números enteros positivos Z con el conjunto de los números enteros negativos Z
y con el conjunto del número entero cero”. Morales B. y Pinot L. (1 990 Pág. 79)
Conjuntos numérico, cuaderno para estudiantes II; 7.
Notación Z = {… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
ADICIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Morales y Pinot (1 990 Pág. 72, 91) Conjuntos numérico, cuaderno para estudiantes
III, 7. Presentan la enseñanza de la adición, sustracción y multiplicación del
conjunto de los números enteros de la siguiente manera:
Sean (a, b), (c, d) parejas ordenadas de números naturales tales que
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (m, n) donde;
1. a + c = m; m N
b + d = n; n N
La suma de parejas ordenadas es una pareja ordenada.
64
Ejemplo 1. (6, 2) + (6, 8) = ?
Donde podemos decir que (6, 2) = (4, 0) por ser el primer elemento de la pareja
mayor en cuatro, que el segundo elemento y (6, 8) = (0, 2) porque el primer
elemento es menor en dos, que el segundo elemento. Por lo tanto usar.
(4, 0) + (0, 2), en lugar de (6, 2) + (6, 8), en la adición se obtiene como resultado.
(4, 0) + (0, 2) = (4 + 0, 0 + 2) (6, 2) + (6, 8) = (6 + 6, 2 + 8)
= (4, 2) = (2, 0) = (12, 10) = (2, 0)
= 2 = 2
Ejemplo 2. (15, 7) + (17, 20), en su lugar usar (8, 0) + (0, 3) por lo tanto
(8, 0) + (0, 3) = (8 + 0, 0 + 3)
= (8, 3) = (5, 0)
= 5
Ejemplo 3. (27, 12) + (19, 25), en su lugar usar (15, 0) + (0, 6) por lo tanto
(15, 0) + (0, 6) = (15 + 0, 0 + 6)
= (15, 6) = (9, 0)
= 9
Al pertenecer las parejas (a, b) al producto cartesiano de N x N se puede obtener las
siguientes situaciones: a > b ó a < b ó a = b en
consecuencia de lo anterior se representan así:
(5, 0), 5 Z
(0, 3), 3 Z
(0, 0), 0 { 0 }
65
PROPIEDADE DE LA ADICIÓN EN NÚMEROS ENTEROS
Propiedad de cerradura: al formarse de una clase de equivalencia de parejas
ordenadas de números naturales y que la operación en los números naturales, por lo
tanto es una operación cerrada en Z.
Propiedad Asociativa: Esta propiedad es el resultado de los mismos números
naturales ya que para todo z .. . Se tiene
Demostración:
Sea = (a, b); = (c, d); = (e, f), demostrar que
+ ( + ) = ( + ) + es decir, (a + b) + [(c, d) + (e, f)] = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)
se obtiene (a + b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + (c +e), b + (d + f).
Al ser una asociación de la adición en N: (a + (c +e), b + (d + f) = (a, b) + (c + e, d + f)
Se le aplica la definición de adición de parejas ordenadas el resultado es:
(a + c) + e, (b + d) + f = (a + c, d + b) + (e, f).
Ejemplo 1. [ (-3) + (-8) ] + (-5) = (-3) + [ (-8) + (-5) ]
(-11) + (-5) = (-3) + (-13)
(-16) = (-16)
Ejemplo 2. [ 16 + (-5) ] + (-2) = 16 + [ (-5) + (-2) ]
11 + (-2) = 16 + (-7)
9 = 9
Propiedad Conmutativa: En el cambio de orden de los sumandos el resultado no
cambia. Donde; . Z, se tiene + = +
Si = (a, b); y = (c, d) donde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
66
Ejemplo 1. (-1) + (-4) = (-4) + (-1)
(-5) = (-5)
Ejemplo 2. (-23) + 16 = 16 + (-23)
-7 = -7
Inversos aditivos: para toda Z existe un solo (- ) z tal que + (- ) = 0
Sea = (a, b); (- ) = (c, d) & 0 = (m, m) entonces (a, b) + (c, d) = (m, m)
Enunciado (a + c, b, d) = (m, m) por definición de igualdad de parejas.
a + c = m & b + d = m si un número m es igual tanto a + c como b + d entonces
a + c = b + d
Ejemplo 1. d = (7, 5); - Es: (- ) = (5, 7) puesto que
+ (- ) = (7, 5) + (5, 7) = (12, 12) = 0
Ejemplo 2. 7 + (-7) = (7, 0) + (0, 7) = (7, 7) = 0
SUSTRACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Dado dos números enteros & , se define la sustracción de números enteros por:
- como + (- ) esto quiere decir que; - = + (- ).
Ejemplo 1. (7) – (5) = (7, 0) – (0, 7) = (7 - 0, 0 – 5) = (7, 5) = 2
Ejemplo 2. (9) – (3) = (9, 0) – (0, 3) = (9 - 0, 0 – 3) = (9, 3) = 6
Ejemplo 3. (8) – (13) = (8, 0) – (0, 13) = (8 - 0, 0 – 13) = (8, 13) = -5
67
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para la multiplicación de números enteros se usan parejas ordenadas.
En la multiplicación de dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) se obtiene.
(a, b) x (c, d) = (a x c + b x d, a x d, + b x c) = (e, f)
El producto de dos parejas ordenadas, es uno ordenada.
Ejemplo 1. (3, 2) x (4, 5) = (3 x 4 + 2 x 5, 3 x 5 + 2 x 4)
(3, 2) x (4, 5) = (12 + 10, 15 + 8)
(3, 2) x (4, 5) = (22, 23) = (0, 1)
(3, 2) x (4, 5) = -1
Resueltas las multiplicaciones en parejas ordenadas;
(3, 2) x (4, 5) donde (3, 2) = (1, 0) y (4, 5) = (0, 1)
Se obtiene (1, 0) x (0, 1) = (1 x 0 + 0 x 1, 1 x 1 + 0 x 0)
1 x (-1) = (0 + 0, 1 + 0)
-1 = (0, 1)
En forma breve se escribe; 1 x (-1) = -1
Ejemplo 2. (8, 2) x (3, 5) = (8 x 3 + 2 x 5, 8 x 5 + 2 x 3)
(8, 2) x (3, 5) = (24 + 10, 40 + 6)
(8, 2) x (3, 5) = (34, 46) = (0, 12)
(8, 2) x (3, 5) = -12
En forma breve se escribe; 6 x (-2) = -12
68
Ejemplo 3. (7, 6) x (9, 4) = (7 x 9 + 6 x 4, 7 x 4 + 6 x 9)
(7, 6) x (9, 4) = (63 + 24, 28 + 54)
(7, 6) x (9, 4) = (87, 82) = 5
En forma breve, 1 x (5) = 5
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN NÚMEROS ENTEROS
Propiedad de cerradura: Para todo , Z se tiene que . Z
Sea (a, b) = y (c, d) = , por definición de multiplicación de parejas ordenadas:
(a, b) x (c, d) = (a x c + b x d, a x d + b x c) pero a, b, c, d N y por la definición de
multiplicación en Z se obtiene el resultado x Z.
Ejemplo 1. (-8) x (5) = -40 Z
Ejemplo 2. (25) x (3) = 75 Z
Ejemplo 3. (-12) x (-3) = 36 Z.
Propiedad asociativa: Para todo , , Z
x ( x ) = ( x ) x donde (a, b) = ; (c, d) = ; y (e, f) =
Usando la expresión: (a, b) x [ (c, d) x (e, f) ]= (a, b) x (ce + df, cf +de)
(a, b) x (ce + df, cf +de) = [a(ce + df) + b(cf + de), a(cf + de) + b(ce + df)]
[a(ce + df) + b(cf + de), a(cf + de) + b(ce + df)] = (ace + adf + bcf + bde, acf + ade +
bce + bdf)
69
Ejemplo 1. (-2) x [ (-5) x (-4) ] = [ (-2) x (-5) ] x (-4)
(-2) x 20 = 10 x (-4)
-40 = -40
Ejemplo 2. [ (7) x (4) ] x (-5) = 7 x [ 4 x (-5) ]
(28) x (-5) = 7 x (-20)
-140 = -140
Propiedad conmutativa: Para todo , z se tiene x = x
Sean (a, b) = y (c, d) = , por definición se tiene
(a, b) x (c, d) = (ac + db, ad + bc)
= (ca + db), (cb + da)
Ejemplo 1. (-4) x 6 = 6 x (-4)
-24 = -24
Ejemplo 2. -5 x (-8) = (-8) x -5
40 = 40
Propiedad Distributiva Respecto de la Adición:
Para todo , , z; x ( + ) = x + x
donde (a, b) = ; (c, d) = ; y (e, f) =
(a, b) x [(c, d) + (e, f)] = (a, b) x (c, d) + (a, b) x (e, f)
(ac + bd, ad + bc) + (ae + bf, af + be)
Por lo que x ( x ) = x + x
70
Ejemplo 1. (-3) x [ 4 + (-5) ] = (-3) x 4 + (-3) x (-5)
(-3) x (-1) = (-12) + 15
3 = 3
Ejemplo 2. (-8) x [ (-3) + (-5) ] = (-8) x (-3) + (-8) x (-5)
(-8) x (- 8) = 24 + 40
64 = 64
Para la finalinalización del desarrollo de cada contenido es importante planificar las
tareas que se le asigne a los estudiantes para reafirmar su aprendizaje.
Acontinuación se presentan sugerencias de actividades que tienen la finalidad de
proveer la ejercitación de los contenidos desarrollados en el aula, con el propósito de
tener una mejor asimilación del contenido y salirse de lo tradicional.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La resolución de problemas según Soria (2 010), en su libro 100 Problemas
matemáticos, un recurso para el aula dice; que constituye un recurso básico y una
parte integral de toda actividad Matemática, al constituirse en un proceso que debe
darse en el salón de clases, usando contexto y que puedan aprender conceptos y
destrezas, además desarrollar y aplicar las estrategias para su solución.
71
Problema tomado del libro: 100 Problemas Matemáticos del autor; Germán Soria
HABILIDAD A
DESARROLLAR
División y multiplicación PROBLEMA
Edades
SUGERENCIA METODOLÓGICA
La edad de Juan es 1/6 que la edad de su padre. Sabiendo que la edad de su padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de residuo 1, pero al dividir por 5 el residuo es 0. ¿Cuál es la edad de Juan?
Problema tomado del libro; 100 Problemas Matemáticos del autor Germán Soria.
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Números Positivos y
Negativos
PROBLEMA
El Número 6
2 +2 + 2 = 6
SUGERENCIA METODOLÓGICA
Realizar ejercicios similares en clases, luego dejar que el estudiante los practique.
Una forma de obtener el 6 es sumar tres veces el dos. Pero ¿Podrías obtener el 6 con otros tres números iguales y los signos que quieras? 3 3 3 = 6, 4 4 4 = 6, 5 5 5 = 6, 6 6 6 = 6, 7 7 7 = 6
72
Problema tomada del libro: 100 Problemas Matemáticos del autor; Germán Soria
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Números Positivos y
Negativos
PROBLEMA
Números Curiosos
46 x 96 = 64 x 69 SUGERENCIA METODOLÓGICA
Los números 46 y 96 tienen curiosa propiedad; su producto no se altera aunque las cifras que las componen cambien de lugar. Podrías descubrir existen otros que tengan la misma propiedad. ¿Cuáles son?
Problema tomada del libro: 100 Problemas Matemáticos del autor; Germán Soria
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Análisis, positivismo
Operaciones básicas.
PROBLEMA
Las Vacas
SUGERENCIA METODOLÓGICA
Cuatro vacas negras y tres vacas marrones, dan una cantidad de leche en 5 días como tres vacas negras y cinco vacas marrones en 4 días. ¿Qué clase de vaca es la que más leche aporta, la negra o la marrón?
73
Actividad extraída del libro 1001 Juegos de Inteligencia para toda la Familia, de la
autora Ángel Navarro.
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Seriación y suma JUEGO
Sumas Triangulares
SUGERENCIA METODOLÓGICA
-Escribe el número correspondiente en cada espacio vacío. Cada uno es el resultado de la suma de los dos números que tiene encima. -Motivar al estudiante para que observe, analice para llegar a las solución.
3 -2 - 3 1 -2
- 4 - 9 - 7 -3 7 - 9 9
74
Actividad extraída del documento “El Juego Como Recurso Didáctico en aula de
Matemática de Adela Salvador, Universidad Politécnica de Madrid.
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Números Positivos y Negativos JUEGO
El Juego de la Rana
El Juego de la Rana: Es un juego de estrategias que consiste en realizar el menor número de movimientos para intercambiar posiciones las fichas, negras con las blancas. Estas fichas son diseñadas.
1 -1
0 0
1 -1
0 0
1 -1
0 0 1 -1
SUGERENCIA METODOLÓGICA: Se usan cierto número de fichas de dos colores, negras y blancas; las negras se colocan a la derecha y las blancas a la izquierda de un espacio libre. El objetivo es que con el menor número de movimientos, intercambiar las posiciones de las fichas. Condiciones para el juego.
1. Las fichas blancas solo pueden moverse a la derecha y las negras solo a la
izquierda.
2. Una ficha puede moverse a una casilla adyacente si está vacía de ficha o de
numerales.
3. Una ficha puede saltar, sobre otro de distinto color, a una casilla vacía.
4. Cada movimiento consiste en mover una sola ficha.
Aplicación para los números positivos y negativos:
Cero (0) al hueco inicial, y numerar con números positivos las posiciones de la derecha,
y negativos a las posiciones de la izquierda. Indicar que el movimiento de la ficha
blanca como (-1, 0) si va de la casilla -1 a la casilla 0, y el primer movimiento de la ficha
negra como (1, -1) si salta de la casilla 1 a la casilla -1.
75
Actividad del libro; Juegos Didácticos, de Nieves Sariego, Pilar Terceño y José
Cuervo
HABILIDAD A
DESARROLLAR
Operaciones con Números
Positivos y Negativos
JUEGO
BINGOMATE
Recursos: 25 cartones con 3 líneas horizontales de juego y en cas línea 3 números enteros. Rotuladores para tachar los cartones. 45 bolas de plástico incorporando en su interior operaciones con números enteros. Hojas de control y bolsas para sacar las bolas.
BINGOMATE 1
-9 0 10
-8 2 2
-21 11 18
HOJA DE CONTROL -27+5
-22
7(-3)
-21
5(-4)
-20
-17-2
-19
6(-3)
-18
-15-2
-17
(-8)(+2)
-16
-18-(-3)
-15
(-7)(+2)
-14
-9-4
-13
6(-2)
-12
-14+3
-11
(-5)2
-10
-3-6
-9
2-10
-8
(-6)+(-1)
-7
(-12) 2
-6
15 (-3)
-5
0+(-4)
-4
(-6)2
-3
(-8)+6
-2
(-6) 6
-1
-3+3
0
(-3) (-3)
1
-8 (-4)
2
-9 (-3)
3
-12 -3
4
1-(-4)
5
(-2)(-3)
6
2-(-5)
7
(-4)(-2)
8
9X1
9
5X2
10
-2+13
11
8+4
12
-13(-1)
13
8+6
14
(-5)(-3)
15
14-(-2)
16
14-(-3)
17
(-6)-3
18
14-(-5)
19
18+2
20
(-3)(-7)
21
16-(-6)
22
BINGOMATE 2
-11 -7 22 -10 -4 3
0 8 9
SUGERENCIA METODOLÓGICA
1. Se reparten los cartones a los estudiantes. 2. El profesor ira sacando las bolas con operaciones de la bolsa. 3. Los alumnos van tachando el número resultante de su catón. 4. El primero que tache una línea horizontal grita, en voz alta “LINEA”. 5. El profesor deberá comprobar. 6. Seguirá sacando bolas hasta que los números de un cartón sea tachado completamente y dirá en vos alta “BINGOMATE”. 7. El profesor comprobará que sean tachados correctamente todos los números.
76
ANEXO 2
77
Universidad Galileo, Quetzaltenango
Facultad de Educación
Licenciatura en Educación, de la Matemática y la Física
ENCUESTA DIRIGIDA A ESTUDIANTES
A continuación se le plantea una serie de preguntas, por lo que se le solicita responderlas sinceramente, ya que el propósito de la misma es de fines académicos. Su respuesta, contribuirá a mejorar la calidad del proceso de enseñanza – aprendizaje de la Aritmética. Gracias.
Información general a) Grado_____________________________ Edad______ Sexo______
b) Lugar del Instituto: ___________________________________________
INSTRUCCIONES: En algunas preguntas debe escribir lo que piensas y en otras debes marcar una equis (X) sobre la raya, según sea su respuesta.
1. ¿Cuál de las tres asignaturas que se le plantea le gusta más? enuméralas del 1 al 3 en su orden: Historia ………………….. _____________ Matemática …………….. _____________ Comunicación y Lenguaje _____________
2. De la Matemática, generalmente me gusta (marque solo una)
a) Ejercitar_____ b) Copiar_____ c) Aplicar_____ d) Nada_____
3. ¿Le interesa aprender Matemática? a) Si _____ b) No _____
4. Si le interesa aprender Matemática, responda marcando solo una.
a) Para que mis padres estén contentos conmigo……. _____
b) Porque es importante para mi futuro………………… _____
c) Porque puedo aplicar los contenidos en la vida…….._____
d) Para estar entre los mejores de mi clase……………. _____
e) Para que mis compañeros y maestros me admiren… _____
f) Otros:____________________________________________________________
5. Si no le interesa aprender Matemática escriba tres razones:
1___________________________________________________________________
2.__________________________________________________________________
3. __________________________________________________________________
78
6. Los contenidos de Matemática le permiten solucionar situaciones de su vida.
a) Si ______ b) No _______
7. Está satisfecho con los conocimientos que recibe en la clase de Matemática. . a) Si _____ b) No _____
8. ¿El tiempo que dedica el profesor para explicar y ejercitar es suficiente? a) Si______ b) No_______ 9. ¿Cómo se considera en la dedicación de sus estudios? a) Asistir puntalmente…………………………………………________ b) realizar los ejercicios con interés…………………………________ c) Participar activamente en clase………………………….. ________ d) Quedarme fuera de clases cuando haya oportunidad… ________ e) Copiar las tareas de los compañeros…………………… ________ SEGUNDA PARTE: 1. ¿Qué es número entero?
a) Es la parte de un todo…………………………………………………………. ______
b) Es una multiplicación…………………………………………………………... ______
c) Es la unión del conjunto de números positivos con el conjunto de números
negativos y el conjunto del número cero…………………………………………. ______
2. ¿Le es fácil realizar suma y resta de números enteros? a) Si _____ b) No _____ 3. ¿Es importante aprender a multiplicar y dividir con números enteros? a) Si __ b) No___ 4. ¿En qué momento ha aplicado suma y resta de números enteros? a) Al pagar un préstamo …. _____ b) Al repartir una ganancia.. _____ c) En ningún momento……. _____ 5. ¿Cómo le enseñaron los números enteros? a) Con explicación oral únicamente. _____ b) Con gráficas en el pizarrón……... _____ c) Con Juegos……………………….._____ d) Otro, especifique. _______________________________________________
79
6. ¿De qué forma sugiere que le enseñen las operaciones con números enteros? a) Resolviendo problemas………… _____ b) Con gráficas en el pizarrón…….. _____ c) Con Juegos entre compañeros…_____ d) Otra forma especifique ____________________________________________ 7. ¿Cree que tiene compañeros qué les facilita realizar operaciones con números . enteros? a) Sí _______ b) No _______ 8. Tiene idea que los números enteros tienen utilidad en otros contenidos. a) Si ______ b) No ________ 9. ¿Cuál fue la mayor dificultad que encontró al resolver ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de números enteros? a) No existe mucha explicación……….. _____ b) Diferenciar la aplicación del signo… _____ c) Hallar el procedimiento a seguir……. _____ d) Poco tiempo dedicado al tema ……. _____ 10. De las cuatro operaciones con números enteros. ¿Cuál le es más difícil resolver? a) Suma………….. _____ b) Resta………….. _____ c) Multiplicación…. _____ d) División………... _____ e) Ninguna……….. _____
80
Universidad Galileo, Quetzaltenango Facultad de Educación Licenciatura en Educación de la Matemática y la Física BOLETA DE ENCUESTA DIRIGIDA A DOCENTES
A continuación se plantean varios enunciados, por lo que se solicita responderlas sinceramente, la información que proporcione es de carácter confidencial, el propósito de la misma es de fines académicos. Su respuesta, contribuirá a mejorar la calidad del proceso de enseñanza – aprendizaje de la Aritmética. Gracias.
INFORMACIÓN ADICIONAL
1. El título que posee para ejercer el curso es:
a) M E P ____ b) P E M____
c) PEM. En Matemática y Física ____ d) Lic. En Pedagogía ____
e) Otro especifique ____________________________________________________
2. El tiempo que tiene en impartir el curso es de:
a) De cero a tres años _______ b) De cuatro a ocho años _____
c) De nueve a diez años ______ d) Más de diez años ______
3. La cantidad de estudiantes que atiende por sección es de:
a) De diez a quince estudiantes _____ c) De dieciséis a veinte estudiantes _____
b) De veintiuno a treinta estudiantes ____ d) Más de treinta y un estudiantes ____
4. Además de Impartir el curso de Matemática imparte otro curso: SI _____ NO ______
Especifique:__________________________________________________________
INFORMACIÓN ESPECÍFICA:
1. ¿Considera qué es importante el aprendizaje de los números enteros? Si ___ No ___
2. ¿Cómo considera el conocimiento previo que posee el estudiante en números
enteros:
Mucho___________ Regular_______ Poco ___________ Nada ___________
3. ¿Qué medios didácticos utilizas para fijar el conocimiento en los estudiantes?
Oral ____________ Escrito___________ Visual ___________
4. ¿Utiliza recursos para la enseñanza de los números enteros SI _____ NO ______
Especifique. ________________________________________________________
81
5. ¿Cuáles de los recursos utiliza con mayor frecuencia para la enseñanza en clase?
Pizarrón ___ cartel ____ proyector ____ computadora ____ otros_____________
Por qué___________________________________________________________
6. ¿Con qué frecuencia asigna tareas a los estudiantes?
Diario _____ semanal ____ mensual___ Al finalizar un tema _______
7. ¿Qué objetivo persigue al asignar ejercicios a los estudiantes?
a) Asignar un punteo………. ________
b) Fijar el tema……………… ________
c) Aprovechar el tiempo…… ________
8. ¿Qué ventajas se obtiene al asignar ejercicios a los estudiantes?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
9. ¿Qué actividades desarrolla para la enseñanza de la Aritmética?
Juegos lógicos _______ Juegos lúdicos ________ Otro especifique__________
10. La aplicación de juegos lúdicos para la enseñanza de los números enteros es
beneficioso. SI ________ NO _________
Por qué _______________________________________________________
11. Los beneficios que proporciona los juegos lúdicos son:
a) Mejor la comprensión del tema… ________
b) Despierta el interés del alumno…_________
c) Mantener ocupado al alumno….. _________
d) Mejorar la fijación del tema……. _________
12. ¿Considera que el dominio de los números enteros mejora el rendimiento de los
estudiantes? SI ______ No_____
Por qué ___________________________________________________________
13. Ha prestado atención a los estudiantes sobre las dificultades del dominio de las
operaciones básicas de números enteros. SI _____ NO _______
82
14. ¿Cuáles son las causas que usted considera del poco dominio sobre las operaciones
básicas con números enteros?
a) falta de conocimiento previo…_______
b) falta de atención en clase……_______
c) falta de interés del tema…….. _______
d) poca ejercitación……………... _______
e) poco tiempo de aplicación….. _______
15. ¿Qué tiempo cree que los estudiantes le dedican para la realización de sus tareas?
Nada _____ poco ______ mucho ______
16. ¿Cuál es la mejor forma en que aprenden los estudiantes?
a) Individual _______ b) en pareja _________ c) en grupo ________
17. ¿Cómo cree el apoyo que reciben los estudiantes en casa para mejorar su
rendimiento?
Suficiente apoyo ____ Escaso apoyo______ Nada de apoyo _______
18. ¿Qué didáctica utiliza para la enseñanza de las operaciones básicas de números
enteros?
Explicación.………………._______
Demostración………….… _______
Solución de problemas….._______
Asignación de tareas….… _______
19. La enseñanza de los números enteros lo realiza utilizando problemas del entorno del
estudiante. SI ______ NO ______
20. ¿Qué métodos utiliza para la enseñanza de las operaciones básica de números
enteros?
a) _____________________________________________________________
b) _____________________________________________________________
c) _____________________________________________________________
d) _____________________________________________________________
e) _____________________________________________________________
83
Guatemala, 27 de mayo 2016
Msc. Bayardo Mejía
Decano FACED
Universidad Galileo
Estimado maestro Bayardo:
Por medio de la presente, se deja constancia que el presente
trabajo de graduación se pública en el Tesario de la Universidad Galileo sin la
respectiva carta individualizada del autor, pues a la fecha y luego de muchos
intentos de ubicar al autor, este no se ha presentado a la entrega de la misma y no
ha sido localizado el ahora profesional para completar el tramite requerido por la
Universidad Galileo.
No obstante la Facultad de Educación reconoce como autor al estudiante que se
consigna en la portada y en la respectiva carta enviada al Decano la cual puede
observarse en las primeras hojas de la investigación.
Por lo anterior expresa que es el resultado de un proceso sustentado mediante el
protocolo de FACED del respectivo año, establecidos en el Reglamento de la
Universidad Galileo y declara responsable del contenido a su autor y los derechos
de autor de los trabajos consultados para realizar la investigación han sido
respetados.
Sin otro particular, me suscribo.
Lizbeth Barrientos
Centro de Investigaciones FACED
LLNH /llbh
84
