Cardinalidad

Definicion. Sean A y B conjuntos, se dice que son equipotentes si existe una biyeccion entre ellos, esdecir si existe una funcion biyectiva de uno a otro. En tal caso se nota A B.

Teorema. La propiedad de equipotencia define una relacion de equivalencia.

Definicion. Un conjunto A se dice que es finito si es vaco o si es equipotente a un conjunto {1, 2, ..., n}con n N. Se dice que A es infinito si no es finito. Si A es finito no vaco se define su cardinal comoel numero card(A) := n.

Teorema. Sean A y B conjuntos tales que A B

B es finito = A es finito.

A es infinito = B es infinito.

A y B son finitos = A B es finito.

A es finito y B infinito = B \A es infinito.

Definicion. Un conjunto A se dice que es numerable si existe un conjunto B N tal que A B. Enparticular, si A N se dice que es infinito numerable, y se escribe card(A) = 0.

Teorema. Si A es un conjunto no numerable entonces es infinito.

Teorema. Un conjunto A no es equipotente al conjunto P(A).

Definicion. Sean A y B A conjuntos, se dice que A es infinito en el sentido de Dedekind si A B.

Teorema. Sean A y B conjuntos tales que A B

Todo subconjunto de un conjunto numerable, es numerable.

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable.

La union numerable de conjuntos numerables es numerable.