Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e ...€¦ · Cap tulo 5 - Distribui˘c~oes conjuntas de probabilidade e complementos Em muitas situa˘c~oes, est a-se interessado

Capıtulo 5 - Distribuicoes conjuntas deprobabilidade e complementos

Conceicao Amado e Ana M. Pires e Isabel M. Rodrigues

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Capıtulo 5 - Distribuicoes conjuntas de probabilidade ecomplementos

Em muitas situacoes, esta-se interessado em estudarsimultaneamente mais de uma caracterıstica numa experienciaaleatoria. Suponha-se que a experiencia e selecionaraleatoriamente alunos de um certo curso, e o interesse e estudar operfil “biologico” desses alunos. Pode-se, entao considerar que operfil e composto de:

— peso

— altura

— pressao arterial

— frequencia cardıaca

— capacidade respiratoria

Ou seja, esta-se interessado em cinco variaveis aleatorias quedevem ser estudadas simultaneamente. Isto motiva a seguintedefinicao de um vector aleatorio.

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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.

Definicao: Considere-se uma experiencia aleatoria e o seu espacode resultados Ω. Diz-se que (X ,Y ) e um vector aleatorio, paraleatorio ou variavel aleatoria bidimensional se X e Y forem variaveisaleatorias.

(X ,Y ) e um vector aleatorio:

— discreto se X e Y forem variaveis aleatorias discretas;

— contınuo se X e Y forem variaveis aleatorias contınuas.

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Dadas duas ou mais v.a. o seu comportamento simultaneo eestudado usando as chamadas distribuicoes conjuntas.

Definicao: Dadas duas variaveis aleatorias discretas, X e Y , chama-se funcao de (massa de) probabilidade conjunta a funcao

fX ,Y (x , y) = P(X = x ,Y = y), ∀(x ,y)∈R2 ,

que verifica

i) fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x ,y)∈R2

ii)∑x

∑y

fX ,Y (x , y) = 1

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Esta funcao em tabela de dupla entrada:

X\Y y1 y2 · · · ys · · ·

x1 p11 p12 · · · p1s · · ·

x2 p21 p22 · · · p2s · · ·

. . . · · · · · ·

xr pr1 pr2 · · · prs · · ·

. . . · · · · · ·

pij = P(X = xi ,Y = yj)

I pij ≥ 0

I∑

i

∑j pij = 1

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Exemplo 5.1: Considere o lancamento de dois dados perfeitos.Seja

X - v.a. que indica o n.ode vezes que saiu a face 5

Y - v.a. que indica o n.ode vezes que saiu a face 6

Valores possıveis: RX = 0, 1, 2 e RY = 0, 1, 2X ∼ Bin(2, 1/6) e que Y ∼ Bin(2, 1/6).

Nota: Isto quer dizer que X e Y tem o mesmo comportamentoem termos de valores possıveis e respectivas probabilidades.

Nao quer dizer X = Y ! O que se pode dizer e

X e Y sao identicamente distribuıdas

Qual e o comportamento conjunto das duas variaveis, emtermos de probabilidades dos pares de valores (x , y), comx = 0, 1, 2 e y = 0, 1, 2?

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P(X = 0,Y = 0) = 46 × 4

6

P(X = 0,Y = 1) = 16 × 4

6 × 2

P(X = 0,Y = 2) = 16 × 1

6

P(X = 1,Y = 0) = P(X = 0,Y = 1)

P(X = 1,Y = 1) =) = 16 × 1

6 × 2

P(X = 1,Y = 2) = 0

P(X = 2,Y = 0) = P(X = 0,Y = 2)

P(X = 2,Y = 1) = 0

P(X = 2,Y = 2) = 0

Verificar que

2∑x=0

2∑y=0

P(X = x ,Y = y) = 1

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X\Y 0 1 2

0 1636

836

136

1 836

236

0

2 136

0 0

fX,Y (x, y)

x

y

4/9

y

x0 1 2

0

1

2

(4/9) (2/9)

(2/9) (1/18)

(1/36)

(1/36)

b b b

b b

b

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Definicao: Seja (X ,Y ) um v.a. contınuo. Se existir uma funcaofX ,Y (x , y) tal que:

F(X ,Y ) (x , y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞f(X ,Y ) (u, v) dvdu, ∀(x,y)∈R2

entao ela diz-se a funcao de densidade de probabilidade conjunta do v.a.contınuo (X ,Y ) e satisfaz:

1) fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x,y)∈R2

2)

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞fX ,Y (x , y)dxdy = 1

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Nota: Qualquer que seja a regiao R ∈ R2

P((X ,Y ) ∈ R) =

∫R

∫fX ,Y (x , y)dxdy .

Exemplo 5.2: Seja a f.d.p conjunta do par aleatorio (X ,Y ),

f(X ,Y ) (x , y) =

12 , 0 < x < 1, 0 < y < 20, c .c .

E facil de verificar que e, de facto, uma f.d.p, pois:

(i) f(X ,Y ) (x , y) ≥ 0, ∀(x,y)∈R2 ;

(ii)∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ f(X ,Y ) (x , y) dydx =

∫ 1

0

∫ 2

012dydx =

=∫ 1

0

[12y]20dx =

∫ 1

01dx = [x ]10 = 1

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Definicao: Dado o par (X ,Y ) discreto (contınuo), com funcao de pro-babilidade conjunta P(X = x ,Y = y) (f.d.p. conjunta fX ,Y (x , y)), asfuncoes de probabilidade (f.d.p.) marginais de X sao:

P(X = x) =∑y

P(X = x ,Y = y) ∀x∈R (discreto)

fX (x) =

∫ +∞

−∞f(X ,Y ) (x , y) dy =, ∀x∈R (contınuo)

e de Y sao:

P(Y = y) =∑

x P(X = x ,Y = y), ∀y∈R (discreto)

fY (y) =

∫ +∞

−∞f(X ,Y ) (x , y) dx =, ∀y∈R (contınuo)

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Exemplo 5.1 (cont.) - Funcoes de probabilidade marginais:

X\Y 0 1 2 P(X = x)

016

36

8

36

1

36

25

36

18

36

2

360

10

36

21

360 0

1

36

P(Y = y)25

36

10

36

1

361

por exemplo

P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y = 1) + P(X = 0,Y = 2) =

=∑2

y=0 P(X = 0,Y = y) (verificar que X e Y ∼ Bin(2, 1/6))

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F(X ,Y )(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =∑xi≤x

∑yj≤y

P(X = xi ,Y = yj), ∀(x,y)∈R2

(discreto)

F(X ,Y )(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞fX ,Y (u, v)dvdu, ∀(x,y)∈R2

(contınuo)

Nota: As propriedades da funcao de distribuicao sao analogas as do casounivariado.

Exemplo 5.1 (cont.)

O valor da funcao distribuicao no ponto (0, 1):F(X ,Y )(0, 1) = P(X ≤ 0,Y ≤ 1) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y = 1) = 24

36

Exemplo 5.2 (cont.)Calculo da seguinte probabilidade:

P(X ≤ 1

3,Y ≤ 1) = F(X ,Y )(

1

3, 1) =

∫ 13

0

∫ 1

0

1

2dydx =

1

6

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E [h(X ,Y )] =∑x

∑y

h(x , y)P(X = x ,Y = y) (discreto)

E [h(X ,Y )] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞h(x , y)fX ,Y (x , y)dydx (contınuo)

Casos particulares:

I E (XY ) =∑x

∑y

x y P(X = x ,Y = y) (discreto)

I E (XY ) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x y fX ,Y (x , y)dydx (contınuo)

I E (X ) =∑x

∑y

x P(X = x ,Y = y) =

∑x

x

(∑y

P(X = x ,Y = y)

)=∑x

x P(X = x) (discreto)

I E [X ] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞xfX ,Y (x , y)dydx =

∫ +∞

−∞xfX (x)dx

(contınuo)14 / 45


Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36

P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1

I E (XY ) =∑

x

∑y x y P(X = x ,Y = y) =

= 0× 0× 1636 + 0× 1× 8

36 + · · ·+ 1× 1× 236 + 2× 2× 0 = 1

18

I E (X ) =∑

x

∑y x P(X = x ,Y = y) =

= 0× 1636 + 0× 8

36 + 0× 136 + 1× 8

36 + 1× 236 + 2× 1

36 = 13

ou

E (X ) =∑

x x P(X = x) = 0× 2536 + 1× 10

36 + 2× 136 = 1

3

ou ainda

E (X ) = 2× 16 = 1

3 , dado que X ∼ Bin(2, 16 )

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Definicao: Dado o par (X ,Y ) discreto (contınuo), com funcao de proba-bilidade conjunta P(X = x ,Y = y) (f.d.p conjunta fX ,Y (x , y))), chama-se funcao de probabilidade (f.d.p.) condicionada de Y dado x (seP(X = x) > 0, fX (x) > 0) a funcao :Caso discreto:

fY |x(y) = P(Y = y |X = x) =fX ,Y (x , y)

fX (x)=

P(X = x ,Y = y)

P(X = x)

que verifica

1) fY |x(y) ≥ 0, ∀y e 2)∑y

fY |x(y) = 1

Caso contınuo:

fY |x(y) =fX ,Y (x , y)

fX (x)

que verifica

1) fY |x(y) ≥ 0, ∀y e 2)

∫y

fY |x(y)dy = 1

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I Para cada x fixo, fY |x(y), tem as propriedades de uma funcaode probabilidade (e a f.p. da v.a. Y |X = x)

I Analogamente define-se fX |y (x) = P(X = x |Y = y).

I E as funcoes de distribuicoes condicionadas de Y |X = x eX |Y = y definem-se como usualmente.

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Definicao: O valor e esperado condicionado e a variancia condicionada deY dado x (tal que fX (x) > 0) sao respectivamente:Caso discreto:

E (Y |X = x) =∑y

y P(Y = y |X = x)

V (Y |X = x) = E (Y 2|X = x)− E 2(Y |X = x)

Caso contınuo:

E (Y |X = x) =

∫ +∞

−∞y fY |x(y)dy

V (Y |X = x) = E (Y 2|X = x)− E 2(Y |X = x)

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Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/36

1 8/36 2/36 0 10/36

2 1/36 0 0 1/36

P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1

Y |X = 0 Y |X = 1

P(Y = 0|X = 0) = 16/3625/36

= 16/25 P(Y = 0|X = 1) = 8/3610/36

= 8/10

P(Y = 1|X = 0) = 8/3625/36

= 8/25 P(Y = 1|X = 1) = 2/3610/36

= 2/10

P(Y = 2|X = 0) = 1/3625/36

= 1/25 P(Y = 2|X = 1) = 010/36

= 0

E(Y |X = 0) = 1× 825

+ 2× 125

= 10/25 E(Y |X = 1) = 1× 210

= 2/10

O que acontece com Y |X = 2?

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Representacao grafica de valores esperados condicionados:

y

x0 1 2

0

1

2

bcbc

bcbc

bc

bc

b b b

b b

b

·

·

·+

+

+

E(Y |X = x)

E(X|Y = y)

Observacoes:

I Os E (X |Y ) e E (Y |X ) sao v.a.(s) que tomam diferentes valoresconsoantes os valores fixos para X e Y respectivamente.

I Propriedade destas v.a.(s) :

I E (E (X |Y )) = E (X ) se E (X ) existir e fY (y) > 0.I E (E (Y |X )) = E (Y ) se E (Y ) existir e fX (x) > 0.

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Definicao: Seja (X ,Y ) um vector aleatorio. As variaveis aleatoriasX e Y (contınuas ou discretas), dizem-se independentes, simbolica-mente X ⊥⊥ Y , sse:

FX ,Y (x , y) = FX (x)FY (y), ∀(x ,y)∈R2 (1)

A equacao (1) e equivalente a:

I P(X = x ,Y = y) = P(X = x)P(Y = y), ∀(x ,y)∈R2 , se(X ,Y ) for um vector aleatorio discreto;

I fX ,Y (x , y) = fX (x) fY (y), ∀(x ,y)∈R2 , se (X ,Y ) for um vectoraleatorio contınuo.

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Observacao: Podemos dizer, em geral, que as variaveis aleatoriassao independentes sse:

P(X ∈ A,Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)

para quaisquer acontecimentos A e B definidos no eixo dos xx e noeixo dos yy , respectivamente.

Se X ⊥⊥ Y entao:

I fY |x(y) = fY (y), ∀(x ,y), com fX (x)>0

I fX |y (x) = fX (x), ∀(x ,y), com fY (y)>0

I E (XY ) = E (X )E (Y ).

No Exemplo 5.1 X e Y serao independentes? E no Exemplo 5.2?

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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades

Objectivo: Duas medidas do grau de associacao linear de duas variaveisaleatorias:

I covariancia;

I correlacao.

Definicao: A covariancia de duas variaveis aleatorias X e Y , com valoresesperados E (X ) e E (Y ), respectivamente, representa-se por cov(X ,Y ) ouσXY , e definida por

cov(X ,Y ) = E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))]

e calcula-se por∑x

∑y

(x − E (X ))(y − E (Y ))P(X = x ,Y = y)

se X e Y forem discretas, ou por∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞(x − E (X ))(y − E (Y ))fX ,Y (x , y)dxdy

se X e Y forem contınuas.23 / 45


y

x

·

(µX , µY )

(x−µX) > 0(y−µY ) > 0

(x−µX) < 0(y−µY ) < 0

(x−µX) < 0(y−µY ) > 0

(x−µX) > 0(y−µY ) < 0

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Interpretacao do valor e sinal covariancia:

Mede a variacao conjunta de duas variaveis, podendo serinterpretada do modo seguinte:

I se for positiva, as duas variaveis variam em media no mesmosentido;

I se for negativa, as duas variaveis variam em media emsentidos contrarios;

I se for nula, nao se verifica nenhuma das tendencias anteriorese as duas variaveis aleatorias nao estao linearmente associadas

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1. cov(X ,Y ) = E (XY )− E (X )E (Y )

2. cov(X ,Y ) ∈ R e nas (unidX )×(unidY )

3. cov(X ,Y ) = cov(Y ,X )

4. cov(X ,X ) = var(X )

5. cov(aX + b, cY + d) = a c cov(X ,Y )

6. cov(X + Z ,Y ) = cov(X ,Y ) + cov(Z ,Y )

7. Se X ⊥⊥ Y entao cov(X ,Y ) = 0 ... Muito importante: a proposicaoinversa nao e verdadeira, i.e.

cov(X ,Y ) = 0 ⇒/ X e Y sao independentes

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Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36

P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1

E (XY ) =1

18E (X ) = E (Y ) = 1

3 (ja calculados)

cov(X ,Y ) =1

18− 1

9= − 1

18

Significa que ha uma tendencia para Y decrescer quando X cresce evice-versa.

Podemos saber se essa tendencia e “forte” ou “fraca”?

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Definicao: A correlacao ou coeficiente de correlacao (linear)entre duas variaveis aleatorias, X e Y , representa-se por corr(X ,Y )ou ρX ,Y e e definida por

corr(X ,Y ) = ρX ,Y =cov(X ,Y )√V (X )V (Y )

=σXYσXσY

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O coeficiente de correlacao nao e alterado quando ha mudancas deescala e e adimensional:

1 2 3 4

1

2

3

4

y

xb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

5 10 15 20

5

10

15

20

y

xb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

ρX ,Y = 0.81 ρX ,Y = 0.81

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Propriedades da correlacao

1. −1 ≤ ρX ,Y ≤ 1

2. ρX ,Y = 1 se e so se Y = a + bX , com b > 0

ρX ,Y = −1 se e so se Y = a + bX , com b < 0

3. Se X e Y forem independentes entao ρX ,Y = 0. a proposicaoinversa nao e necessariamente verdadeira, i.e.,

ρX ,Y = 0 ⇒/ X e Y sao independentes

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Demonstracoes

1) Considere-se a variavel aleatoria XσX

+ YσY

. Usando uma daspropriedades da variancia vem:

V

(X

σX+

Y

σY

)≥ 0 ⇔ E

[(X

σX+

Y

σY

)2]−[E

(X

σX+

Y

σY

)]2⇔

⇔ E (X 2)

σ2X

+E (Y 2)

σ2Y

+2E (XY )

σXσY−E 2(X )

σ2X

−E 2(Y )

σ2Y

−2E (X )E (Y )

σXσY≥ 0 ⇔

⇔ E (X 2)− E 2(X )

σ2X

+E (Y 2)− E 2(Y )

σ2Y

+ 2E (XY )− E (X )E (Y )

σXσY≥ 0 ⇔

1 + 1 + 2 ρX ,Y ≥ 0 ⇔ ρX ,Y ≥ −1

De igual modo V

(X

σX− Y

σY

)≥ 0 ⇔ · · · ⇔ ρX ,Y ≤ 1

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Demonstracoes (cont.)

2) ρX ,Y = 1 ⇔ V

(X

σX− Y

σY

)= 0 ⇔ X

σX− Y

σY= constante

ρX ,Y = −1 ⇔ V

(X

σX+

Y

σY

)= 0 ⇔ X

σX+

Y

σY= constante

3) X e Y independentes ⇔ fX ,Y (x , y) = fX (x) fY (y), ⇒

⇒ E (XY ) =

∫ ∫x y fX ,Y (x , y)dxdy =

∫ ∫x y fX (x) fY (y)dxdy =

=

(∫x fX (x)dx

)(∫y fY (y)dy

)= E (X )E (Y )

isto e:cov(X ,Y ) = 0 ⇔ ρX ,Y = 0

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Para mostrar quecov(X ,Y ) = corr(X ,Y ) = 0 ⇒/ X e Y sao independentes

basta dar um contra-exemplo:

X\Y −1 0 1 P(X = x)

−1 0 1/6 0 1/6

0 1/12 1/12 1/12 2/3

1 0 1/6 0 1/6

P(Y = y) 1/12 5/6 1/12 1

I. E (XY ) = 0, E (X ) = E (Y ) = 0, logo cov(X ,Y ) = 0

II. No entanto, X e Y nao sao independentes

(por exemplo, P(X = −1,Y = −1) 6= P(X = −1)× P(Y = −1)

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Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)

0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36

P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1

Vimos antes que cov(X ,Y ) = −1/18, o que significa que ha uma tendenciapara Y decrescer quando X cresce e vice-versa, e podemos agora responder aquestao: essa tendencia e “forte” ou “fraca”?

Como X e Y ∼ Bin(2, 1/6), tem-se que V (X ) = V (Y ) = np(1− p) = 5/18,logo

corr(X ,Y ) =−1/18√

5/18× 5/18= −1

5

o que permite concluir que a sua tendencia/relacao e “fraca” (por o seu valorestar bastante mais proximo de 0 do que de -1), para alem de que as variaveisestao correlacionados linearmente no sentido negativo.

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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias

Definicao: Dadas p variaveis aleatorias, X1,X2, . . . ,Xp e p cons-tantes reais, c1, c2, . . . , cp, diz-se que a variavel aleatoria Y , definidacomo

Y = c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cp Xp

e uma combinacao linear de X1,X2, . . . ,Xp.

Valor esperado de uma combinacao linear

I E (c1 X1 + c2 X2) = c1E (X1) + c2E (X2)

Demonstracao:

∫ ∫(c1x1 + c2x2)f (x1, x2)dx1dx2 =

= c1

∫ ∫x1f (x1, x2)dx1dx2 + c2

∫ ∫x2f (x1, x2)dx1dx2

I E (c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cp Xp) =c1E (X1) + c2E (X2) + · · ·+ cp E (Xp)

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Variancia de uma combinacao linear

I V (c1 X1 + c2 X2) = c21V (X1) + c22V (X2) + 2 c1 c2 cov(X1,X2)

Dem.: V (c1X1 + c2X2) = E[(c1X1 + c2X2)2

]− [E (c1X1 + c2X2)]2 =

= E (c21X21 + c22X

22 + 2c1c2X1X2)− (c1E (X1) + c2E (X2))2 =

= c21E (X 21 ) + c22E (X 2

2 ) + 2c1c2E (X1X2)−c21E

2(X1)− c22E2(X2)− 2c1c2E (X1)E (X2) =

= c21(E (X 2

1 )− E 2(X1))

+ c22(E (X 2

2 )− E 2(X2))

+

+2c1c2 (E (X1X2)− E (X1)E (X2))

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Variancia de uma combinacao linear (cont.)

I V (c1X1 + · · ·+ cpXp) =p∑

i=1

c2i V (Xi ) + 2

p∑i=1

p∑j=1,j>i

ci cj cov(Xi ,Xj)

I Se cov(Xi ,Xj) = 0, para qualquer i 6= j , ou seja, se asvariaveis aleatorias forem nao correlacionadas duas a duas,entao

V (c1 X1 + · · ·+ cp Xp) =

p∑i=1

c2i V (Xi )

I O mesmo acontece se as variaveis aleatorias foremindependentes duas a duas, pois como se viu, independencia⇒ covariancia (e correlacao) nula.

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Casos especiais de somas/combinacoes lineares de variaveisaleatorias

1. Soma de binomiais independentes com a mesmaprobabilidade de sucesso

X1 ∼ Bin(n1, p)X2 ∼ Bin(n2, p)X1 e X2 independentes

⇒ X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p)

Xi ∼ Bin(ni , p) independentes ⇒ X1+· · ·+Xk ∼ Bin(∑k

i=1 ni , p)

Caso especial:

Xi ∼ Ber(p) ≡ Bin(1, p) independentes ⇒ X1+· · ·+Xn ∼ Bin (n, p)

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2. Soma de Poisson’s independentes

X1 ∼ Poisson(λ1)X2 ∼ Poisson(λ2)X1 e X2 independentes

⇒ X1 + X2 ∼ Poisson(λ1 + λ2)

Xi ∼ Poisson(λi ) independentes ⇒ X1+· · ·+Xk ∼ Poisson(∑k

i=1 λi

)

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3. Combinacao linear de normais independentes

X1 ∼ N(µ1, σ21)

X2 ∼ N(µ2, σ22)

X1 e X2 independentes

⇒ aX1+bX2 ∼ N(aµ1+bµ2, a2σ21+b2σ22)

Xi ∼ N(µi , σ2i ) independentes ⇒

⇒ c1X1 + · · ·+ ckXk ∼ N(∑k

i=1 ciµi ,∑k

i=1 c2i σ

2i

)

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5.6 Teorema do Limite Central. Aplicacoes as distribuicoesbinomial e de Poisson

Na maioria das situacoes e difıcil determinar a distribuicao da somade variaveis (mesmo que sejam independentes!). O teoremaseguinte justifica a grande utilidade e importancia da distribuicaonormal (quer em probabilidades quer em estatıstica).

Teorema do Limite Central: Seja X1, . . . ,Xn uma sucessao dev.a. independentes e identicamente distribuıdas com valor esperadoµ < ∞ e variancia σ2 < ∞. Considere-se Sn =

∑ni=1 Xi , entao

quando n→ +∞

Sn − E (Sn)√V (Sn)

=Sn − nµ√

nσ2a∼N (0, 1) ,

ou seja,

limn→+∞

P

(Sn − E (Sn)√

V (Sn)≤ z

)= Φ(z)

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Observacoes:

I A demonstracao do teorema exige algumas ferramentasmatematicas avancadas.

I Observar que,

E (Sn) = E

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

E (Xi ) = nE (X1) = nµ

e como X1,X2 · · ·Xn sao v.a. independentes tem-se

V (Sn) = V

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

V (Xi ) = nV (X1) = nσ2

I As v.a. X1, . . . ,Xn podem ser discretas ou contınuas.

I Geralmente considera-se n grande se n ≥ 30

I As distribuicoes Binomial e de Poisson podem ser aproximadas peladistribuicao normal (na seccao anterior vimos que podem serescritas como somas de variaveis aleatorias).

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Exemplo 1. Combinacao linear de normais independentes

Um elevador de acesso a galeria de uma mina tem capacidade nominal de3800kg. Admita que a v.a. Xi peso do i−esimo mineiro que usa o elevador temdistribuicao normal com valor esperado 75kg e desvio padrao 8kg. Qual e aprobabilidade de ser excedida a capacidade nominal do elevador quando nele seencontram 50 mineiros?

Xi− ‘v.a. peso do i−esimo mineiro (kg)’ , i = 1, . . . , 50, Xi ∼ N(75; 82) , ∀iVamos admitir que Xi q Xj para i 6= j

S =∑50

i=1 Xi ‘v.a. peso dos 50 mineiros (kg)’

E(S) = E(∑50

i=1 Xi ) =∑50

i=1 E(Xi ) = 50E(X ) = 50× 75 = 3750 (porque saoidenticamente distribuıdos (i.d.) a X )

V (X ) = V (∑50

i=1 Xi ) =∑50

i=1 V (Xi ) = 50V (X ) = 50× 82 = 3200 porque saoindependentes e identicamente distribuıdos (i.d.) a X .

S ∼ N(3700, 3200) porque e a combinacao linear de v.a.’s normaisindependentes

P(S > 3800) = 1− P(S ≤ 3800) = 1− P( S−3750√3200≤ 3800−3750√

3200) =

1− Φ( 3800−3750√3200

) = 1− Φ(0.88) = 1− 0.8106 = 0.1894.

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Exemplo 2. Teorema do limite central (T.L.C.)

Uma empresa de chocolates embala caixas com 100 pacotes de bombons. Ospesos por pacote sao v.a.’s Xi , onde Xi q Xj , com media 0.5kg e variancia0.1kg2.Sao colocadas 10 caixas numa palete. Qual e a probabilidadeaproximada do peso dos bombons da palete ser superior a 510kg?

Xi− ‘v.a. peso do i−esimo pacote (kg)’E(Xi ) = 0.5 V (Xi ) = 0.1 ,∀i e Xi q Xj para i 6= j

S =∑1000

i=1 Xi ‘v.a. peso dos bombons colocados na palete (kg)’

E(S) = E(∑1000

i=1 Xi ) =∑1000

i=1 E(Xi ) = 1000E(X ) = 1000× 0.5 = 500 (porquesao identicamente distribuıdos (i.d.) a X )

V (X ) = V (∑1000

i=1 Xi ) =∑1000

i=1 V (Xi ) = 1000V (X ) = 1000× 0.1 = 100 porquesao independentes e identicamente distribuıdos (i.d.) a X .

Pelo T.L.C. tem-se que: S−E(S)√V (S)

= S−500√100

a∼N (0, 1) ,

P(S > 510) = 1− P(S ≤ 510) = 1− P

(S − 500√

100≤ 510− 500√

100

)≈

T .L.C .

≈T .L.C .

1− Φ(1) ≈ 0.1587.

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Aproximacoes Binomial/Normal e Poisson/Normal:

I X ∼ Bin(n, p) pode ser aproximada a X ∼ N(np, np(1− p)) quandonp > 5 e n(1− p) > 5

I X ∼ Poisson(λ) pode ser aproximada a X ∼ N(λ, λ) quando λ > 5

I Correccao de continuidade: em geral a aproximacao e melhor sefizermos

P(a ≤ X ≤ b) ' P(a− 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)

Exemplo: O numero de chamadas de telemovel registadas a partir de certa“zona” numa hora tem, em condicoes estacionarias, distribuicao de Poisson deparametro 1500. Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 1600 chamadasna proxima hora.X ∼ Poi(1500) pode ser aproximado a X ∼ N(1500, 1500)

P(X > 1600) = 1− P(X ≤ 1600) = 1− P(X ≤ 1600 + 0.5) '

' 1− P(X ≤ 1600.5) = 1− P

(X − 1500√

1500≤ 1600.5− 1500√

1500

)=

= 1− Φ(2.59) ' 0.0048

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Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e ...€¦ · Cap tulo 5 - Distribui˘c~oes conjuntas de probabilidade e complementos Em muitas situa˘c~oes, est a-se interessado