Capítulo

Probabilidad

© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

3 5

• La probabilidad es una medida de la

posibilidad de que un evento ocurra.

• La probabilidad se ocupa de medir o

determinar cuantitativamente la posibilidad de

que un suceso o experimento produzca un

determinado resultado.

• La proporción con que a largo plazo se observa

un mismos evento, es la probabilidad de ese

evento.

5-2 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

En probabilidad, un experimento es cualquier proceso que se puede repetir y en el cual los resultados son inciertos.

Ejemplo: Lanzar una moneda, tirar un dado, etc.

El espacio muestral , S, de un experimento es la colección de todos los posibles resultados de ese experimento.

Ejemplo: En el experimento de lanzar una moneda justa una vez, se puede obtener cara o cruz.

5-3 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

Un evento es una colección de resultados de un experimento.

Ejemplo: Lanzar una moneda 50 veces

Consideremos el experimento “Tener dos hijos”.

(a) Identificar los posibles resultados (b) Determine el espacio muestral. (c) Defina el evento E = “tener un varón”.

EJEMPLO Identificar Eventos y el Espacio Muestral de

un experimento

(a) e1 = varón, varón; e2 = varón, hembra; e3 = hembra, varón; e4 = hembra, hembra

(b) {(varón, varón), (varón, hembra), (hembra, varón), (hembra, hembra)}

(c) {(varón, hembra), (hembra, varón)} 5-4

© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

1. La probabilidad de cualquier evento, E, se denota P(E), y 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1.

2. La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados de un experimento debe ser igual a 1.

3. Si 𝑆 = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} entonces 𝑃 𝑒1 + 𝑃 𝑒2 +…+𝑃 𝑒𝑛 = 1

Un Modelo Probabilístico debe cumplir con estas reglas.

5-5 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

Reglas de Probabilidad

EJEMPLO Un Model Probabilístico

En una bolsa de dulces de maní y

chocolate M & M, los colores de los

dulces pueden ser de marrón, amarillo,

rojo, azul, naranja o verde.

Supongamos que un dulce es

seleccionado al azar de una bolsa.

La tabla muestra cada color y la

probabilidad de sacar ese color.

Verifique que este sea un modelo de probabilístico.

Color Probabilidad

Marrón 0.12

Amarillo 0.15

Rojo 0.12

Azul 0.23

Anaranjado 0.23

Verde 0.15

Solución: •Todas las probabilidades están entre 0 y 1, inclusive. • Como 0.12 + 0.15 + 0.12 + 0.23 + 0.23 + 0.15 = 1, se satisface la regla 2. •Por lo tanto, es un modelo probabilístico

5-6 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

Si es seguro que un evento ocurra, la probabilidad de ese evento es 1.

Si un evento es imposible, la probabilidad de ese evento es igual a 0.

Un evento raro entonces la probabilidad de que ocurra es baja.

5-7 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

Probabilidad de un evento

5-8 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

La probabilidad de un evento E es aproximadamente el número de veces que se observa el evento E dividido entre el número de repeticiones del experimento.

𝑃 𝐸 ≈ 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐸 =𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐸

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Aproximar la probabilidad de un evento

“Pass the PigsTM “ es un juego de mesa de Milton-Bradley en el cual se usan unos cerditos como dados. Se acumulan puntos conforme a cómo caen los cerditos y existen 6 posibles resultados. Un grupo de 52 estudiantes tiran los cerditos 3,939 veces. El número de veces que salió cada resultados está registrado en la tabla que se muestra. (Source: http://www.members.tripod.com/~passpigs/prob.html)

EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad

Resultado Frecuencia

De constado (sin puntos) 1344

De costado (con puntos) 1294

Espalda abajo 767

De pie 365

Trompa abajo 137

Oreja y trompa contra piso

32

5-9 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

“Pass the PigsTM “ es un juego de mesa de Milton-Bradley en el cual se usan unos cerditos como dados. Se acumulan puntos conforme a cómo caen los cerditos y existen 6 posibles resultados. Un grupo de 52 estudiantes tiran los cerditos 3,939 veces. El número de veces que salió cada resultados está registrado en la tabla que se muestra. (Source: http://www.members.tripod.com/~passpigs/prob.html)

EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad

Resultado Frecuencia

De constado (sin puntos) 1344

De costado (con puntos) 1294

Espalda abajo 767

De pie 365

Trompa abajo 137

Oreja y trompa contra piso

32

(a)Use la tabla para construir un modelo probabilístico para la forma en que cae el cerdito.

(b)Estime la probabilidad de que el cerdito caiga con el costado con puntos hacia arriba.

(c)¿Podemos considerar el evento “Oreja y trompa contra piso” un evento raro?

5-10 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

Resultado Probability

De constado (sin puntos)

De costado (con puntos)

Espalda abajo

De pie

Trompa abajo

Oreja y trompa contra piso

(a)

13440.341

3939

(b) (c)

5-11

EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad (cont.)

El método clásico para calcular probabilidades requiere resultados igualmente probables.

Se dice que un experimento tiene resultados igualmente

probables cuando cada evento simple tiene la misma

probabilidad de ocurrir.

Si un experimento tiene n resultados igualmente probables y si m es la cantidad de formas en que un evento E puede ocurrir, entonces la probabilidad de E, P(E) está dado por

𝑃 𝐸 =𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 𝐸

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠=

𝑚

𝑛

Si S, es el espacio muestral del experimento, entonces podemos definir la probabilidad de E como

𝑃 𝐸 =𝑁(𝐸)

𝑁(𝑆)

5-12 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

EJEMPLO Calcular Probabilidades Usando el Método Clasicó

Suponer que una bolsa tamaño “fun size” de M&Ms contiene 9 dulces

marrones, 6 dulces amarillos, 7 dulces rojos, 4 dulces anaranjados, 2

dulces azules y 2 dulces verdes. Suponer que se elige un dulce

aleatoriamente.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarillo?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?

(c) Comente sobre la ambas probabilidades.

(a)Hay un total de 9 + 6 + 7 + 4 + 2 + 2 = 30 dulces, por lo tanto N(S) = 30.

(b) (c)

5-13 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

P(amarillo) = 𝑁(𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜)

𝑁(𝑆) =

6

30 = 0.2

• Utilice TI 89 para simular el lanzamiento de un dado de

6 caras 100 veces.

EJEMPLO Usar una similación

5-14 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

• Para la simulación del lanzamiento de un dado de 6

caras 100 veces, calcule la probabilidad de sacar un 4.

• ¿Cómo se compara esto con la probabilidad clásica?

• Repetir el ejercicio de 300 y 1000 tiros del dado.

EJEMPLO Usar una similación

5-15 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

P(4) = 11

100= 0.11

P𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑙á𝑠𝑖𝑐𝑎 1

6= 0.167

• Repetir el ejercicio de 300 y 1000 tiros del dado.

EJEMPLO Usar una similación

5-16 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights

reserved

P(4) =

P𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑙á𝑠𝑖𝑐𝑎 1

6= 0.167

n = 300