Capítulo 2 - UDCcaminos.udc.es/.../recursos/tema02.pdf · que se encuentra solicitado por un conjunto de acciones exteriores.Como consecuencia de ello el medio se habrá deformado

Capítulo 2. Movimientos y deformaciones — 1

Capítulo 2

RELACIONES ENTRE MOVIMIENTOS Y DEFORMACIONES EN LOS MEDIOS

DEFORMABLES. ECUACIONES CINEMÁTICAS

2.1. CAMPO DE MOVIMIENTOS EN LOS MEDIOS DEFORMABLES

Supóngase un medio continuo deformable como el que aparece en la figura 2.1, que se encuentra solicitado por un conjunto de acciones exteriores. Como consecuencia de ello el medio se habrá deformado y sus puntos habrán cambiado de posición. Por ejemplo el punto P (x, y, z), definido desde el origen de coordenadas por el vector x, estará en la posición P1 (r1, r2, r3), definida por el vector r. Las relaciones entre las coordenadas de ambos puntos son

1 2 3r x u r y v r z w= + = + = + (2.1.1)

o en forma vectorial

r = x + u (2.1.2)

siendo u, v, w la variación de posición del punto en cada uno de los ejes.

2 — Capítulo 2. Movimientos y deformaciones

Figura 2.1.1. Movimientos en un medio deformable

Las coordenadas x se denominan habitualmente coordenadas lagrangianas y atienden a la situación inicial de los puntos del medio. Las coordenadas r se refieren a las posiciones modificadas de los puntos del medio y se denominan coordenadas eulerianas.

En el campo de movimientos el elemento diferencial lineal dx definido por los puntos PQ pasará a ser el elemento diferencial lineal dr definido por los puntos P1Q1, y resultará la relación

d d d+ = + + +r r x x u u (2.1.3)

y recordando (2.1.2) quedará

d d d= +r x u (2.1.4)

que a partir de (2.1.1) puede escribirse matricialmente como

1

2

3

1

1

1

u u ux y zdr dx

v v vdr dyx y z

dr dzw w wx y z

∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

(2.1.5)

o también

( )dd d d∂ = + ⋅ = + ⋅ ∂ ur I x I J xx

(2.1.6)

z

yx

QQ

PPx u

u+du

r

dxdr

1

1


donde la matriz Jd contiene derivadas primeras de los movimientos del punto P. Por ello se le denomina matriz de gradientes del vector de movimientos.

d x y z

u u ux y zv v vx y zw w wx y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

uJ u u ux

(2.1.7)

siendo ux, uy, uz vectores columna que contienen las derivadas primeras de las componentes del vector de movimientos respecto a cada uno de los ejes coordenados.

Asimismo el vector P1Q1, definido como dr, puede expresarse en función del vector dx mediante la expresión

d d d∂= ⋅ = ⋅∂rr x J xx

(2.1.8)

donde J es la matriz jacobiana entre los sistemas de referencia x y r y cuyos elementos son

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y z

r r rx y zr r rx y zr r rx y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

rJ r r rx

(2.1.9)

cuyo determinante J puede expresarse como

( )x y zJ = ⋅ ×r r r (2.1.10)

donde rx, ry, rz son vectores columnas que contienen las derivadas primeras del vector de posición del punto P1 respecto a cada uno de los ejes coordenados. Por tanto a la matriz J se le denomina también matriz de gradientes del vector posición del punto. Comparando las expresiones (2.1.6) y (2.1.9) se comprueba que

d= +J I J (2.1.11)


2.2. TENSORES DE DEFORMACIONES

2.2.1. Tensores en teoría de grandes deformaciones

La deformación de los puntos del medio se puede estudiar a partir de la variación correspondiente a los elementos diferenciales PQ y P1Q1, definidos por los vectores dx y dr y cuyas longitudes son dl y dlr respectivamente. En ellas se cumple que

2 T 2 2 2dl d d dx dy dz= ⋅ = + +x x (2.2.1.1)

y

2 T 2 2 2r 1 2 3dl d d dr dr dr= ⋅ = + +r r (2.2.1.2)

recordando la expresión (2.1.8)

2 T Trdl d d= ⋅ ⋅ ⋅x J J x (2.2.1.3)

Las diferencias entre ambas longitudes son

( )2 2 T T T Trdl dl d d d d d d− = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅r r x x = x J J I x (2.2.1.4)

que puede escribirse como

2 2 Tr ldl dl 2 d d− = ⋅ ⋅ ⋅x E x (2.2.1.5)

donde El es una matriz cuyos elementos son adimensionales y tiene propiedades de tensor. Está asociada a la deformación del elemento diferencial lineal utilizando la posición inicial de los puntos del medio y se suele denominar tensor de deformaciones de Green-Lagrange. Recordando la expresión (2.1.9) puede escribirse como

( )1

1 1 12 2

1

T T Tx x x y x z

T T T Tl x y y y y z

T T Tx z y z z z

⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

r r r r r r

E J J I r r r r r r

r r r r r r

(2.2.1.6)

la diferencia entre 2 2rdl y dl puede también expresarse en función de dr. Recordando la

expresión (2.1.8)

1d d−= ⋅x J r (2.2.1.7)

y


( )T2 2 T T T 1 1

rdl dl d d d d d d− −− = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅r r x x r I J J r (2.2.1.8)

o también

2 2 Tr edl dl 2 d d− = ⋅ ⋅ ⋅r E r (2.2.1.9)

donde

( )T1 1e 12− −= ⋅ − ⋅E I J J (2.2.1.10)

siendo Ee una matriz simétrica con propiedades de tensor cuyos elementos son adimensionales que está asociada a la deformación del elemento diferencial utilizando la posición final de los puntos del medio. Recibe el nombre de tensor de deformaciones de Euler-Almansi.

Los tensores El y Ee presentan entre ellos la relación

Tl e= ⋅ ⋅E J E J (2.2.1.11)

Volviendo a las expresiones (2.2.1.1) y (2.2.1.2) y recordando (2.1.2) resulta

2 2 2 2 2 2 2rdl dx 2 dx du du dy 2 dy dv dv dz 2 dz dw dw= + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + (2.2.1.12)

( )2 2 2 2 2rdl dl 2 dx du dy dv dz dw du dv dw− = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + (2.2.1.13)

las diferenciales totales du, dv, dw son

u u udu dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

(2.2.1.14a)

v v vdv dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

(2.2.1.14b)

w w wdw dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

(2.2.1.14c)

sustituyendo en (2.2.1.13)


2 2

2 2 22 2 22 2

2 2 2

1 12 22 2

122

rdl dl

u u v w v u v wdx dyx x x x y y y y

w u v wz z z z

− =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 2

v u u u v v w wdz dxdyx y x y x y x y

w u u u v v w w w v u u v v w wdxdz dydzx z x z x z x z y z y z y z y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2.1.15)

Esta expresión puede representarse matricialmente como

[ ]11 12 13

2 221 22 23

31 32 33

2r

e e e dxdl dl dx dy dz e e e dy

e e e dz

− = ⋅ ⋅ ⋅

(2.2.1.16a)

o

2 2 Tr ldl dl 2 d d− = ⋅ ⋅ ⋅x E x (2.2.1.16b)

Recordando (2.2.1.5) se observa que estos elementos son los del tensor de Green-Lagrange, siendo

2 2 2

1112

u u v wex x x x

∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2.1.17a)

2 2 2

2212

v u v wey y y y

∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2.1.17b)

2 2 2

3312

w u v wez z z z

∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2.1.17c)

12 21u v u u v v w w 1e ey x x y x y x y 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2.1.17d)

13 31u w u u v v w w 1e ez x x z x z x z 2∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2.1.17e)

23 32v w u u v v w w 1e ez y y z y z y z 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2.1.17f)


Resulta conveniente también conocer la relación entre los volúmenes inicial y final, V y Vr respectivamente. Si se considera un volumen elemental de dimensiones dx, dy, dz, en cada uno de los ejes coordenados, el volumen inicial será dV= dx·dy·dz.

El volumen final en la configuración deformada tendrá como dimensiones dr1, dr2, dr3 y cada una de ellas será

i i iir r rdr dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

(2.2.1.18)

Si se denominan ji (i=1,2,3) a los vectores que definen el volumen del material deformado, su expresión en los ejes coordenados iniciales será

31 21 xrr r dx dx

x x x∂∂ ∂ = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂

j r (2.2.1.19a)

31 22 yrr r dy dy

y y y ∂∂ ∂

= ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ j r (2.2.1.19b)

31 23 zrr r dz dz

z z z∂∂ ∂ = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂

j r (2.2.1.19c)

El volumen del material tras la deformación se expresa como

( ) ( ) ( )r 1 2 3 x y z x y zdV dx dy dz dx dy dz = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ j j j r r r r r r (2.2.1.20)

y por tanto

rdV J dV= ⋅ (2.2.1.21)

2.2.2. Tensor en teoría de pequeñas deformaciones. Tensor de Cauchy

En el caso de pequeñas deformaciones se puede prescindir de los términos cuadráticos de los tensores de deformación. De esta forma las expresiones se simplifican y el tensor correspondiente se denomina tensor de deformaciones lineal o de Cauchy E. Se puede demostrar que en este caso, es decir, prescindiendo de los términos cuadráticos, se cumple

( ) ( )1 1 22 2T T

l e d d= = = ⋅ + = ⋅ + − ⋅E E E J J J J I (2.2.2.1)

Recordando las expresiones (2.2.1.16) y (2.2.1.17) y suprimiendo los términos cuadráticos


11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 12 2

1 12 2

1 12 2

u u v u wx y x z x

e e eu v v u w e e ey x y z y

e e eu w v w wz x z y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + =

⋅ + ⋅ +

E (2.2.2.2)

de manera que las expresiones (2.2.1.5) y (2.2.1.9) quedan

2 2 Trdl dl 2 d d− = ⋅ ⋅ ⋅x E x (2.2.2.3)

Tanto en el tensor E como en El y Ee, los términos de la diagonal principal representan las deformaciones longitudinales en pequeñas deformaciones. Ello puede comprobarse haciendo que el vector dx coincida con una de las direcciones coordenadas, por ejemplo dl = dx y por tanto dy = dz = 0. Entrando en (2.2.2.3) resulta

( ) ( )2 2 2r r r 11dl dl dl dl dl dl 2 e dx− = − ⋅ + = ⋅ ⋅ (2.2.2.4)

en pequeñas deformaciones

rdl dl 2 dl+ ≈ ⋅ (2.2.2.5)

r 11 xudl dl e dx dx dxx

ε∂− = ⋅ = ⋅ = ⋅∂

(2.2.2.5a)

según puede deducirse tras comparar la anterior expresión con (2.2.1.17a). Lo mismo sucede en los otros ejes coordenadas, obteniéndose por tanto que

22 ye ε= (2.2.2.5b)

33 ze ε= (2.2.2.5c)

Los elementos externos a la diagonal principal están asociados a las deformaciones angulares. Ello puede comprobarse definiendo un rectángulo elemental de lados paralelos a los ejes coordenados por ejemplo en las direcciones ox, oz.


Figura 2.2.1. Deformación de un rectángulo elemental

La variación del ángulo correspondiente al punto O puede expresarse de la manera siguiente, considerando únicamente infinitésimos de primer orden

ˆ ˆ1 1 1 xzw uAOB A O Bx z

γ∂ ∂− = + =∂ ∂

(2.2.2.6)

comparando (2.2.2.6) con los elementos del tensor E se deduce que

( )13 1 1 11 1ˆ ˆ2 2 xze AOB A O B γ= ⋅ − = ⋅ (2.2.2.7a)

lo mismo sucede con los términos

1212 xy

e γ= ⋅ (2.2.2.7b)

2312 yz

e γ= ⋅ (2.2.2.7c)

por tanto, el tensor de pequeñas deformaciónes de Cauchy puede expresarse como

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

1 11 12 22 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

u u v u wx y x z x

u v v v wy x y z y

u w v w wz x z y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε γ γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ε γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ γ γ ε∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = + + =

+ +

E (2.2.2.8)

z

O

A C

B

B

A

O

C

x1

11

1wu

dx

dz

ww dzz

∂+ ⋅∂

uu dzz∂

+ ⋅∂

uu dxx∂

+ ⋅∂

ww dxx

∂+ ⋅∂


2.2.3. Otra definición de deformación. Tensores de Cauchy-Green

Anteriormente, la deformación se ha definido a partir de la expresión dlr2 – dl2, según (2.2.1.4). No obstante, puede definirse de otras maneras, que son el origen de otros tensores de deformación. Si, por ejemplo, se define la elongación λ como

rdldl

λ = (2.2.3.1)

se tendrá que

2 T T

2 T Tr2 2

dl ddl dl

λ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅dx J J x n J J n (2.2.3.2)

el producto JT·J representa un tensor de deformación denominado tensor directo de Cauchy-Green Cr (“right tensor” de Cauchy-Green)

Tr = ⋅C J J (2.2.3.3)

Este tensor está relacionado con los definidos anteriormente. Recordando (2.2.1.5)

T2 2 2

T T Tlr rl2 2 2

2dl dl dl2 1 1dl dl dl

⋅ ⋅ ⋅−= = ⋅ ⋅ ⋅ = − = ⋅ ⋅ ⋅ −

dx E dx n E n n J J n (2.2.3.4)

comparando con (2.2.3.2) resulta que

T r l2⋅ − = − = ⋅J J I C I E (2.2.3.5)

luego

T r l2⋅ = = ⋅ +J J C E I (2.2.3.6)

También puede definirse otro tensor deformación similar a este a partir del tensor de Euler-Almansi. Recordando (2.2.1.11) y sustituyendo en (2.2.3.6)

T T e2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +J J J E J I (2.2.3.7)

multiplicando por J y JT se obtiene

T T T T Te2⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅J J J J J J E J J J J (2.2.3.8)

Se define el tensor reverso de Cauchy-Green (“left tensor” de Cauchy-Green) como

Tl = ⋅C J J (2.2.3.9)


sustituyendo en la expresión anterior

l l l e l l2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +C C C E C C (2.2.3.10)

y también

1 1 1 1 1 1l l l l l l e l l l l l2− − − − − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅C C C C C C E C C C C C (2.2.3.11)

que se reduce a

1e l2−= ⋅ +I E C (2.2.3.12)

luego

( )1e l12−= ⋅ −E I C (2.2.3.13)

Entre los dos tensores de Cauchy-Green existe la relación siguiente

T1 T 1

l r r l− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅C J C J C J C J (2.2.3.14)

2.3. DIRECCIONES PRINCIPALES DE DEFORMACIÓN Y DE DEFORMACIÓN ANGULAR MÁXIMA

Si en un punto del medio se define una dirección genérica n, el vector deformación εn vendrá expresado por

1 12 2

1 12 21 12 2

x xy xz

nx

n ny xy y yz

nzxz yz z

lmn

ε γ γεε γ ε γ

εγ γ ε

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅E nε (2.3.1)

siendo l, m, n los cosenos directores de la dirección n.

La componente longitudinal ε de la deformación será

T Tnε = ⋅ = ⋅ ⋅n n E nε (2.3.2)

desarrollando (2.3.2)


[ ]

x xy xz

xy y yz

xz yz z

1 12 2 l

1 1l m n m2 2

n1 12 2

ε γ γ

ε γ ε γ

γ γ ε

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

(2.3.3)

que conduce a

2 2 2x y z xy xz yzl m n l m l n m nε ε ε ε γ γ γ= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (2.3.4)

La deformación angular será

2 212 nγ ε⋅ = −ε (2.3.5)

Se denominan direcciones principales de deformación a aquellas en las que sólo existe deformación longitudinal por anularse la deformación angular. Aparecen expresando que en esas direcciones el vector deformación εn es paralelo al vector n

n ε= ⋅ = ⋅E n nε (2.3.6)

lo que equivale a la expresión

( )ε− ⋅ ⋅ =E I n 0 (2.3.7)

en consecuencia el problema consiste en obtener los autovalores de (2.3.7). La ecuación de tercer grado que resulta es

3 21 2 3 0I I Iε ε ε− ⋅ + ⋅ =− (2.3.8)

donde I1, I2, I3 tienen el mismo valor en cualquier triedro de coordenadas cartesianas. Se denominan invariantes del tensor de deformaciones y son

invariante lineal 1 x y zI ε ε ε= + + (2.3.9a)

invariante cuadrático 2 2 221 1 14 4 4x y x z y z xy xz yz

I γ γ γε ε ε ε ε ε= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ (2.3.9b)

invariante cúbico 3I = E (2.3.9c)

Las raíces de (2.3.8) son siempre reales, se denominan deformaciones principales y serán


1 2 3ε ε ε≥ ≥ (2.3.10)

La dirección principal asociada a cada una de ellas se obtiene sustituyendo el valor εi (i =1, 2, 3) de cada deformación principal en el sistema de ecuaciones siguiente

1 1 02 2x xy xz i

l m n lγ γε ε⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = (2.3.11a)

1 1 02 2xy y yz i

l m n mγ γε ε⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = (2.3.11b)

1 1 02 2xz yz z i

l m n nγ γ ε ε⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = (2.3.11c)

2 2 2 1l m n+ + = (2.3.11d)

Como en las direcciones principales no hay deformación angular, el tensor deformación E tendrá la expresión

1

2

3

0 00 00 0

εε

ε

=

E (2.3.12)

a partir de ello, recordando la expresión (2.3.5) y utilizando las direcciones principales de deformación como ejes de coordenadas, la deformación angular en una dirección cualquiera puede escribirse como:

( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 31 l m n l m n2γ ε ε ε ε ε ε ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

(2.3.13)

Como los cosenos directores de n deben cumplir la condición (2.3.11d), la obtención de los valores máximos de γ equivale a la resolución de un problema de maximización condicionada. Ello puede llevarse a cabo por el método de los multiplicadores de Lagrange creando una función lagrangiana a partir de la expresión (2.3.13) de la deformación que se quiere maximizar y la condición (2.3.11d)

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3L l m n l m n l m n 1ε ε ε ε ε ε λ= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − (2.3.14)

los valores extremos de (2.3.14) cumplirán las condiciones

( )2 2 2 21 1 1 2 3L l 2 l m n l l 0l ε ε ε ε ε λ∂

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∂

(2.3.15a)


( )2 2 2 22 2 1 2 3L m 2 l m n m m 0m ε ε ε ε ε λ∂

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∂

(2.3.15b)

( )2 2 2 23 3 1 2 3L n 2 l m n n n 0n ε ε ε ε ε λ∂

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∂

(2.3.15c)

2 2 2L l m n 1 0λ∂

= + + − =∂

(2.3.15d)

Las ecuaciones (2.3.15) constituyen un sistema no lineal. La solución correspondiente al máximo del lagrangiano, que es asimismo el máximo de la deformación angular, es aquella en la que m = 0. Si se sustituye este valor en el sistema, se simplifican las ecuaciones (2.3.15a) y (2.3.15c) y se iguala el valor que resulta para λ en cada una de ellas se tiene

( ) ( )2 2 2 21 1 1 3 3 3 1 32 l n 2 l nε ε ε ε ε ε ε ε ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ (2.3.16)

agrupando términos y dividiendo por (ε1 - ε3) queda

( )2 21 3 1 32 l n 0ε ε ε ε+ − ⋅ ⋅ + ⋅ = (2.3.17)

esta ecuación junto a (2.3.15d) proporciona la solución

m 0= (2.3.18a)

.2 2l n 0 5= = (2.3.18b)

Puede comprobarse que estos planos asociados a las direcciones de (2.3.18) forman ángulos de 45° con los de las direcciones principales ε1, ε3 y contienen al de la dirección ε2.

Sustituyendo en la ecuación (2.3.13) se obtiene el valor máximo de la deformación angular

1 3máx12 2

ε εγ

−⋅ = (2.3.19)

Si se considera un prisma infinitesimal de dimensiones dx, dy, dz, el incremento de volumen que experimentará como consecuencia de las deformaciones será

( ) ( ) ( )x y z

x y zdx 1 dy 1 dz 1 dx dy dzdV e

V dx dy dz

ε ε εε ε ε

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅= ≈ + + =

⋅ ⋅ (2.3.20)


al parámetro e se le denomina deformación volumétrica y es evidente que coincide con el invariante I1 según la expresión (2.3.9a), en consecuencia es un valor constante e independiente del sistema de coordenadas elegido.

Si el tensor de deformación es el de Green-Lagrange la expresión para obtener las deformaciones principales será

l 0ε− ⋅ =E I (2.3.12)

que proporcionará tres raíces ( )1,2,3i iε = . Las direcciones principales se obtendrán de los sistemas de ecuaciones siguientes.

( ) , ,l i i i 1 2 3ε− ⋅ ⋅ = =E I n 0 (2.3.13)

Si en la expresión (2.3.12) se introduce la (2.2.3.6) que relaciona el tensor de Green-Lagrange y el tensor directo de Cauchy-Green resulta

rl 02 2ε ε − ⋅ = − − ⋅ =

C IE I I (2.3.14)

o

( )r 2 1 0ε− ⋅ + ⋅ =C I (2.3.15)

lo que quiere decir que los autovalores del tensor de Green-Lagrange pueden obtenerse de la expresión (2.3.12) o (2.3.15). Por tanto, las direcciones principales de deformación del tensor de Green-Lagrange y del tensor directo de Cauchy-Green son las mismas.

Esta última expresión suele escribirse como

2r 0λ− ⋅ =C I (2.3.16)

y representa la manera de obtener los autovalores del tensor directo de Cauchy-Green. Comparando (2.3.15) y (2.3.16) es claro que los autovalores de Cr y El están relacionados en la forma

, ,i i1 2 i 1 2 3λ ε= + = (2.3.17)

para esa expresión se utiliza en ocasiones una aproximación lineal

, ,i i1 i 1 2 3λ ε≈ + = (2.3.18)


El motivo de que los autovalores del tensor directo de Cauchy-Green se escriban como ( ), ,2i i 1 2 3λ = se debe a que esos son los valores de las deformaciones principales de ese tensor. Se recordará que vienen dadas por las expresiones ( ), ,Ti r i i 1 2 3⋅ ⋅ =n C n . Si se sustituye Cr por su expresión en (2.2.3.3) resulta

, ,T T Ti r i i i i 1 2 3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =n C n n J J n (2.3.19)

y comparando ello con (2.2.3.2) queda finalmente

, ,T T T 2i r i i i i i 1 2 3λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =n C n n J J n (2.3.20)

En los ejes de las direcciones principales de deformación las expresiones de los invariantes del tensor Cr son

2 2 2C1 1 2 3I λ λ λ= + + (2.3.21a)

2 2 2 2 2 2C 2 1 2 1 3 2 3I λ λ λ λ λ λ= ⋅ + ⋅ + ⋅ (2.3.21b)

2 2 2C 3 1 2 3I λ λ λ= ⋅ ⋅ (2.3.21c)

y el tensor directo de Cauchy-Green en los ejes correspondientes a las direcciones principales será

21

2r 2

23

0 00 00 0

λλ

λ

=

C (2.3.22)

Asimismo, en estos ejes, la variación del volumen del medio deformable respecto al inicial es

( ) ( ) ( )1 2 3r 1 2 3 C 3dx dy dz 1 1 1V I

V dx dy dzε ε ε

λ λ λ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

≈ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

(2.3.23)

Las deformaciones principales del tensor reverso de Cauchy-Green Cl se obtendrían de la ecuación

2l 0µ− ⋅ =C I (2.3.24)

puede demostrarse que los variantes del tensor reverso de Cauchy-Green son los mismos que los del tensor directo y por tanto ( 1, 2,3)i i iλ µ= = y las direcciones principales de Cl se obtienen realizando un giro al triedro formado por las direcciones principales de Cr.


2.4. ELIPSOIDE DE DEFORMACIONES

Es el lugar geométrico de los extremos del vector deformación εn correspondiente a todas las direcciones que pasan por un punto. Si se toman las direcciones principales como ejes de coordenadas, la expresión de la deformación en un punto cualquiera será

1

2

3

0 00 00 0

nx

n ny

nz

lmn

ε εε ε

εε

= = ⋅

ε (2.4.1)

y además

2 2 2l m n 1+ + = (2.4.2)

eliminando l, m, n entre las ecuaciones anteriores resulta

22 2

n ynx nz2 2 21 2 3

1εε ε

ε ε ε+ + = (2.4.3)

que es la ecuación del elipsoide buscado y suele escribirse también como

2 2 2

2 2 21 2 3

x y z 1ε ε ε

+ + = (2.4.4)

Figura 2.4.1. Elipsoide de deformaciones

Esta superficie solo da una idea de la distribución en el espacio del vector deformación εn, pero no indica nada respecto del signo del vector ni de la dirección a la que pertenece. Para obtener esa información hay que averiguar la ecuación de otras superficies denominadas cuádrica indicatriz y cuádrica directriz.

x

y

z

1ε2ε

3ε


2.5. CUÁDRICA INDICATRIZ DE DEFORMACIONES

Es el lugar geométrico de los extremos de los segmentos que resultan llevando sobre cada dirección n la distancia ON desde el punto O, origen de coordenadas.

1ONε

= (2.5.1)

Las coordenadas del punto N serán

l m nx y zε ε ε

= = = (2.5.2)

si los ejes de coordenadas son las direcciones principales se cumple que

2 2 21 2 3l m nε ε ε ε= ⋅ + ⋅ + ⋅ (2.5.3)

eliminando l, m, n entre (2.5.2) y (2.5.3) resulta

2 2 21 2 3 1x y z cεε ε εε

⋅ + ⋅ + ⋅ = = = ± (2.5.4)

a) Si εi > 0 (i = 1, 2, 3) para c = −1 la ecuación (2.5.4) es un elipsoide imaginario que no tiene sentido físico. Para c = 1 se obtiene un elipsoide real que es el lugar geométrico de los puntos ON. Todas las deformaciones normales serán de alargamiento y el vector deformación εn forma un ángulo agudo con la dirección n.

b) Si εi < 0 (i = 1, 2, 3) el elipsoide real aparece para c = −1. Todas las deformaciones normales son de acortamiento y la deformación total εn forma un ángulo obtuso con la dirección n.

Figura 2.5.1. Elipsoide indicatriz de deformaciones

1

1ε

2

1ε

3

1ε

x

yz


c) Si dos deformaciones principales son positivas ε1 ≥ ε2 > 0 y ε3 < 0, para c = 1 resulta un hiperboloide de una hoja y para c = −1 se obtiene un hiperboloide de dos hojas como aparece en la figura 2.5.2.

Figura 2.5.2. Hiperboloide indicatriz de deformaciones

Si la dirección n corta al hiperboloide de una hoja, la deformación normal es de alargamiento positivo y cuando corta al de dos hojas es negativo. Ambos hiperboloides están separados por el cono asintótico que tiene por ecuación

2 2 21 2 3 0x y zε ε ε⋅ + ⋅ + ⋅ = (2.5.5)

Si la dirección n coincide con una de las generatrices de ese cono, la deformación normal será nula.

d) Si una deformación principal es positiva ε1 > 0 y las otras dos negativas ε3 ≤ ε2 < 0, para c = −1 se obtiene un hiperboloide de una hoja y para c = 1 otro de dos hojas y las conclusiones son análogas a las del caso anterior.

La cuádrica indicatriz permite determinar la deformación total que corresponde a una dirección n. En las figuras 2.5.3 y 2.5.4 se indica cómo se obtiene εn a partir de n en el elipsoide y el hiperboloide de deformación.

Cono asintótico


Figura 2.5.3. Dirección n y deformación εn en el elipsoide indicatriz de deformación

Figura 2.5.4. Dirección n y deformación εn en el hiperboloide indicatriz de deformación

La explicación gráfica de las figuras 2.5.3 y 2.5.4 se puede obtener analíticamente. Si la ecuación de la cuádrica indicatriz es

( ), , 2 2 21 2 3f x y z x y z cε ε ε= ⋅ + ⋅ + ⋅ − (2.5.6)

el plano conjugado para una dirección n es

f f fx y z 0x y z∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂

(2.5.7)

Elipsoide dedeformaciones

nεn

Plano π

Indicatriz

Plano tangente

Otg

N

Hiperboloideindicatriz

Plano π

n

εn

N

Elipsoide dedeformaciones

tg

tg

Plano tangente

Cono

O


siendo

1 2 3f f f2 x 2 y 2 zx y z

ε ε ε∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∂ ∂ ∂

(2.5.8)

sustituyendo en (2.5.8) l, m, n en lugar de x, y, z, la ecuación (2.5.7) que define el plano conjugado queda

1 2 3l x m y n z 0ε ε ε⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = (2.5.9)

Se observa que los cosenos directores (l·ε1, m·ε2, n·ε3) de la recta n que define el plano se corresponden con las componentes de la deformación total εn correspondiente a una dirección n cuando los ejes de coordenadas son las direcciones principales, como se desprende de la ecuación (2.4.1), por tanto el vector perpendicular a ese plano que va desde el origen de coordenadas hasta la elipse de deformaciones es εn.

2.6. CUÁDRICA DIRECTRIZ DE DEFORMACIONES

Es el lugar geométrico definido por los puntos N que son extremo del vector que resulta de modificar el vector deformación εn en la forma siguiente

nεε

(2.6.1)

Si los ejes de coordenadas son las direcciones principales, las componentes de la deformación correspondiente a una dirección n son

1 2 3nx ny nzl m nε ε ε ε ε ε= ⋅ = ⋅ = ⋅ (2.6.2)

las coordenadas del punto N serán

31 2nl mx y z εε ε

ε ε ε⋅⋅ ⋅

= = = (2.6.3)

y teniendo en cuenta la expresión (2.5.3) resulta

2 2 2

1 2 31x y z

ε ε ε+ + = ± (2.6.4)


Figura 2.6.1. Elipsoide directriz de deformaciones

Sobre la ecuación de esta cuádrica se puede hacer la misma discusión que la realizada respecto a la cuádrica indicatriz.

Esta cuádrica tiene la propiedad de que conocida la dirección de un vector deformación εn, que da lugar al punto N de la figura 2.6.2 en la cuádrica directriz, la dirección n a la que corresponde es la normal al plano tangente en el punto de corte de εn con la cuádrica directriz como se observa en esa figura.

Figura 2.6.2. Sección plana del elipsoide directriz de deformaciones

2.7. CÍRCULOS DE MOHR DE DEFORMACIONES

Es un planteamiento que permite estudiar el tensor de deformaciones de una dirección cualquiera n. Recordando la expresión (2.4.1) se cumple que

( ) ( ) ( )2

22 2 2 21 2 3

12

Tn n n l m nε ε ε ε γ

⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅

ε ε ε (2.7.1)

asimismo

2 2 21 2 3T

n l m nε ε ε ε= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅n ε (2.7.2)

εn

n

O

N

Plano πDirectriz

Elipsoide dedeformaciones Plano tangente

paralelo a π

3ε

2ε

1εx

y

z


y

2 2 2 1l m n+ + = (2.7.3)

eliminando m y n entre las tres ecuaciones resulta

2 2 2 2 2 21 2 3

21 2 3

2

14

0

1 1 1

l

l

l

ε γ ε ε ε

ε ε ε ε

+ ⋅ − ⋅

− ⋅ =

−

(2.7.4)

desarrollado y dividiendo por (ε1 − ε3) y recordando que ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, se llega a la expresión siguiente

( ) ( )2 2

2 22 3 2 31 2 1 3

1 04 2 2

lε ε ε εγ ε ε ε ε ε+ − ⋅ + − − = ⋅ − ⋅ − ≥

(2.7.5a)

análogamente eliminando l y n resulta

( ) ( )2 2

2 21 3 1 32 3 1 2

1 04 2 2

mε ε ε εγ ε ε ε ε ε+ − ⋅ + − − = − ⋅ − ⋅ − ≤

(2.7.5b)

y eliminando l y m resulta

( ) ( )2 2

2 21 2 1 23 1 3 2

1 04 2 2

nε ε ε εγ ε ε ε ε ε+ − ⋅ + − − = ⋅ − ⋅ − ≥

(2.7.5c)

El lugar geométrico definido por las ecuaciones (2.7.5) es el conjunto de puntos situados dentro del círculo definido por (2.7.5b) y fuera de los círculos definidos por (2.7.5a) y (2.7.5c). Ello se muestra en la figura 2.7.1 y esos puntos representan el conjunto de vectores deformación de todas las direcciones n. Si la deformación de un punto está definida por ε y γ/2, el punto (ε, γ/2) representa el extremo del vector deformación εn.


Figura 2.7.1. Círculo de Mohr de deformación

Los círculos de Mohr permiten identificar el punto que define al vector deformación para una dirección cualquiera n definida respecto a las direcciones principales de deformación como n = l·i+m·j+n·k. Se recordará que el círculo mayor se había obtenido eliminando l y n entre las ecuaciones (2.7.1), (2.7.2) y (2.7.3). Si se define

cos cosl nα θ= = (2.7.6)

y se llevan los ángulos α y θ a partir del eje ε tal y como se indica en la figura 2.7.2, se obtendrán los puntos P y Q. Trazando desde el eje ε los círculos de radio AP y BQ respectivamente se puede obtener el punto M que representa el vector deformación para esa dirección, siendo A y B los centros de los círculos interiores.

Figura 2.7.2. Obtención del vector deformación

γ/2

ε

C13C

C2M

εγ/2

ε3ε2

ε1

γ/2

ε

ε3ε2

ε1

α θ

P QM

A B


Esta construcción gráfica permite comprobar también que las deformaciones angulares máximas corresponden a los puntos M1 y M2 que se obtienen con α = θ = 45º como se observa en la figura 2.7.3. Ello quiere decir que

cos cos2 2l n2 2

α θ= = ± = = ± (2.7.7)

y por tanto m = 0 que es lo que se había obtenido analíticamente en el apartado 2.3. Asimismo se comprueba que el valor máximo era el obtenido allí, que era

1 3máx12 2

ε εγ −⋅ = (2.7.8)

Figura 2.7.3. Direcciones de deformación angular máxima

2.8. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD EN TEORÍA DE PEQUEÑAS DEFORMACIONES

Dado un campo de movimientos definidos por los valores de u, v, w siempre puede obtenerse el campo de deformaciones. Sin embargo, la situación inversa no siempre es posible ya que las componentes del tensor de deformaciones están relacionadas entre sí como se verá a continuación.

A partir del sistema de ecuaciones diferenciales generado por el tensor de deformaciones en teoría lineal resulta posible obtener las expresiones de los movimientos u, v, w de un punto cualquiera del medio continuo.

γ/2

εε3 ε2 ε145° 45°

γmáx/2

γmín/2

M1

M2


x y zu v wx y z

ε ε ε∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

(2.8.1a)

xy xz yzu v u w v wy x z x z y

γ γ γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.1b)

Este sistema de seis ecuaciones contiene únicamente tres incógnitas, por lo que solo tendrá solución cuando exista alguna relación entre ellas. Lo que equivale a decir que las componentes del tensor de deformaciones no pueden tener unas expresiones cualquiera, sino que tienen que cumplir ciertas condiciones. Ello se debe a la exigencia de que no existan discontinuidades ni superposiciones en el medio tras la deformación, y a la necesidad de que sus partículas elementales permanezcan unidas.

Si en las componentes εx, εy, γxy se realizan las siguientes derivadas

2 22 3 3 3 3

y xyx2 2 2 2 2 2

u v u vy x y x x y x y x y x y

ε γε ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.2)

se obtiene que

2 22

y xyx2 2y x x y

ε γε ∂ ∂∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.3)

realizando operaciones similares con εx, εz, γxz y εy, εz, γyz se llegaría finalmente a las siguientes expresiones

2 2 2

x z xz2 2z x x zε ε γ∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.4a)

2 22

y yzz2 2z y y zε γε∂ ∂∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.4b)

asimismo si en εx, γxy, γxz, γyz se realizan las derivadas siguientes

2 3

x uy z x y zε∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.5a)

2 223 3 3 3 3 3

xy yzxz2 2 2 2 2

u v u w v wx z x y z x z x y x y z x y x x z y xγ γγ∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.5b)

resulta


2

xy yzx xz2y z x z y x

γ γε γ∂ ∂ ∂ ∂∂⋅ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.6)

procediendo similarmente con εy, γxy, γxz, γyz se obtiene

2

y xy yzxz2y z y z y xε γ γγ∂ ∂ ∂ ∂∂

⋅ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.7)

y haciendo lo mismo con εz, γxy, γxz, γyz resulta

2

xy yzxzz2x y z z y x

γ γγε ∂ ∂ ∂∂ ∂⋅ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.8)

El conjunto de expresiones obtenidas es

2 22 2

y xy xy yzx x xz2 2 2y x x y y z x z y x

ε γ γ γε ε γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ = ⋅ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.9a)

22 22

2 2 2y xy yzx xz xzz

z x x z x z y z y xε γ γε γ γε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ = ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.9b)

2 22 2

2 2 2y yz xy yzxzz z

z y y z x y z z y xε γ γ γγε ε∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = ⋅ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.9c)

Si se denominan eij (i, j = 1, 2, 3) a los elementos del tensor de deformaciones y xi (i = 1, 2, 3) a los ejes coordenados, estas expresiones pueden escribirse como

2 22

jj ijii2 2j i i j

e eex x x x

∂ ∂∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.8.10a)

2

ij jkii ik

j k i k j i

e ee e2x x x x x x

∂ ∂∂ ∂∂⋅ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8.10b)

Reciben el nombre de condiciones de compatibilidad y expresan el concepto de que los elementos del tensor de deformaciones E no son independientes entre sí, sino que las expresiones que los definen tienen que cumplir las condiciones que resultan en las ecuaciones (2.8.9). Dado que todas ellas contienen derivadas segundas, es evidente que si las expresiones que definen los elementos de Ε son lineales o constantes siempre las satisfarán.

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Capítulo 2 - UDCcaminos.udc.es/.../recursos/tema02.pdf · que se encuentra solicitado por un conjunto de acciones exteriores.Como consecuencia de ello el medio se habrá deformado