capitulos 1 y 2

ANALISIS DE CIRCUITOSELECTRICOS I

Ing. Norman Cesar Mercado CruzProfesor Titular

Ing. Jose David Lopez Hincapie MSc. PhD.Profesor Asistente

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIAFACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICATERCERA EDICION

MEDELLIN, 6 de septiembre de 2013

Norman Cesar Mercado Cruz, Jose David Lopez HincapieReimpresos, duplicacion de textos y documentos academicos de la Universidadde Antioquia

ISBN: 958-655-810-X

Primera impresion 6 de septiembre de 2013Terminacion: Imprenta Universidad de AntioquiaDistribucion: Precooperativa de Servicios Estudiantiles Prospectiva U

Impreso y hecho en Colombia / Printed and made in ColombiaProhibida la reproduccion total o parcial, por cualquier medio o con cualquierproposito, sin la autorizacion escrita de Reimpresos, duplicacion de textos academi-cos de la Universidad de Antioquia

Reimpresos duplicacion de textos y documentos academicosTelefono: (574)-2105330. Telefax: (574)-2105332e-mail: [email protected]

Reimpresos: Programa solidario de la Direccion de Bienestar Universitarioy el Departamento de Publicaciones que tiene como objetivo editar y distribuirtextos y documentos academicos de mayor demanda, para hacerlos asequibles a lacomunidad universitaria, en cumplimiento de disposiciones legales y con criteriosde economa y calidad.

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3

PRESENTACION

CONTENIDO DEL CURSO

Contenido detallado

Sistemas y senales de variable continua (5 sesiones):

1. Introduccion al curso, sistemas lineales invariantes (SLI), propiedades de los SLI,sistemas (elementos de un sistema), senales, senales periodicas, transformaciones(desplazamiento, reflexion, escalado temporal).

2. Senales singulares: escalon, impulso, relacion entre escalon e impulso, rampa, ex-ponencial, sinusoidal.

3. Respuesta natural de un sistema, integral de convolucion.

4. MATLAB 1, taller.

5. Examen 1.

Elementos y principios electricos (9 sesiones):

6. Definicion de voltaje, corriente, potencia, elementos activos y pasivos, modelo realde los elementos (simplificaciones), circuitos resistivos, Leyes de Kirchhoff, elemen-tos en serie y paralelo.

7. Tecnicas de simplificacion: fuentes ideales, resistores en serie y paralelo, divisor devoltaje, transformacion de fuentes reales (serie, paralelo, corrimiento de ideales).

8. Equivalentes Thevenin y Norton, teorema de maxima transferencia de potencia,transformacion Y-Delta.

9. SPICE 1, taller.

10. Examen 2. Tecnica de corrientes de nodo

11. Tecnica de voltajes de malla

12. Principio de superposicion, fuentes controladas.

13. SPICE 2, taller.

v

14. Examen 3. MATLAB 2, sistemas lineales invariantes en el tiempo: Ecuacion di-ferencial de un sistema, solucion complementaria, solucion particular, integral deconvolucion.

Elementos circuitales dinamicos y respuesta en el tiempo (8 sesiones):

15. Elementos circuitales dinamicos: Constitucion fsica, modelo circuital, elementosen serie y paralelo.

16. Analisis en el dominio del tiempo de circuitos RC y RL: Respuesta al escalon,respuesta natural.

17. Taller.

18. Examen 4. Circuitos RLC: Serie, estabilidad (movimiento sub, crtico y sobreamor-tiguado), paralelo, movimiento oscilatorio puro, otras configuraciones.

19. MATLAB 3, taller.

20. Examen 5. Inductancia mutua, circuitos con bobinas acopladas.

21. EAGLE 1, taller.

22. Examen 6. EAGLE 2.

Amplificador operacional (6 sesiones):

23. Introduccion, modelo ideal y real del amplificador operacional.

24. Configuraciones basicas: inversor, no inversor, seguidor, diferencial, sumador inver-sor, derivador e integrador inversor.

25. Respuesta en el tiempo: sistema de primer orden, sistema de segundo orden.

26. Circuitos comparadores, detectores, computador analogico.

27. Taller.

28. Examen 7.

Evaluacion

Examen 1 (15 % - 1.5 horas): Sistemas y senales de variable continua.

Examen 2 (10 % - 0.5 horas): Tecnicas de simplificacion de circuitos.

Examen 3 (15 % - 1 hora): Tecnicas de analisis de circuitos.

Examen 4 (5 % - 0.5 horas): Circuitos RL y RC.

Examen 5 (10 % - 0.5 horas): Circuitos RLC.

Examen 6 (10 % - 0.5 horas): Circuitos con bobinas acopladas.

Examen 7 (15 % - 1.5 horas): Amplificador operacional.

Laboratorio (20 %).

INDICE GENERAL

Contenido del curso V

Indice general IX

Indice general X

1. Sistemas y senales de variable continua 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Propiedades de los sistemas lineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Elementos de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1. Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3. Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.4. Escalado temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Senales singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1. Funcion escalon unitario o funcion de Heaviside . . . . . . . . . . . . . 121.6.2. Funcion impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3. Relacion entre el escalon y el impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.4. Funcion rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.5. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.6. Funcion sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Respuesta de un sistema lineal invariante (S.L.I.) . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7.1. Respuesta natural de un sistema lineal invariante . . . . . . . . . . . . 201.7.2. Integral de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ix

1.9. Ejercicios del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10. Examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Sistemas lineales invariantes en el tiempo 472.1. La ecuacion diferencial de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Solucion complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3. Respuesta al escalon unitario y respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . 482.4. Respuesta ante cualquier excitacion: La integral de convolucion . . . . . . . . . 57

CAPITULO 1

SISTEMAS Y SENALES DEVARIABLE CONTINUA

1.1. Introduccion

Es bastante complicado encontrar una buena definicion para sistema, sin embargo podemosaproximarnos a una definicion de un sistema fsico, cuyo esquema se ilustra en la Figura 1.1,mediante modelos con elementos idealizados que tienen una descripcion matematica precisa.

S.L.I.x(t) y(t)

Figura 1.1

Un sistema consiste en la interconexion de cierto numero de elementos que ejecutan unaoperacion determinada. El producto final de un sistema depende tanto de los elementos quelo componen como de la excitacion que lo activa. En el analisis de un sistema es necesarioconocer completamente cada uno de sus elementos constitutivos as como los principios deoperacion de los mismos. A cada disciplina de ingeniera le correspondera el analisis de lossistemas que le sean afines. En ingeniera electrica, electronica y de telecomunicaciones, porejemplo, se estudian sistemas circuitales tales como: motores, transformadores, amplificadores,osciladores, filtros, servomecanismos, entre otros.

1

2 CAPITULO 1. SISTEMAS Y SENALES DE VARIABLE CONTINUA

1.2. Sistemas fsicos

Dado un sistema fsico, analizarlo consiste en predecir la respuesta y(t) cuando se excita conla senal x(t). Para efectuar el analisis es necesario conocer las leyes y los principios que rigen alos elementos del sistema. La aplicacion de estas leyes y principios conducen al planteamientodel problema de valor inicial:

F

(t, y(t),

dy(t)

dt,d2y(t)

dt2, . . . ,

dny(t)

dtn

)= 0

Dadas las condiciones iniciales (energa inicial del sistema):

y(0),dy(0)

dt,d2y(0)

dt2, . . . ,

dn1y(0)dtn1

Como puede observarse, resolver el problema de valor inicial requiere de la solucion de unaecuacion diferencial, asunto muy complicado en terminos generales. Afortunadamente recu-rriremos a modelos de sistemas lineales, cuyo analisis es relativamente simple ya que conducea ecuaciones diferenciales lineales cuya forma general es la siguiente:

andn

dtny(t) + an1

dn1

dtn1y(t) + + a1 d

dty(t) + a0y(t) = x(t)

Los coeficientes de la ecuacion diferencial lineal arriba mostrada son, en general, variablesdependientes del tiempo. Particularmente estaremos interesados en las ecuaciones diferencialesde coeficientes constantes.

Un sistema lineal es aquel que esta regido por una ecuacion diferencial lineal

Una manera mas comoda y util de escribir una ecuacion diferencial lineal es haciendo uso deloperador D:

(anDn + an1Dn1 + + a2D2 + a1D + a0)y(t) = x(t)

La parte entre parentesis es un operador lineal y se puede simbolizar como L(t,D), con locual resulta una simbologa mas resumida para la ecuacion diferencial:

L(t,D)y(t) = x(t)

Los sistemas lineales presentan la importante propiedad conocida como principio de superpo-sicion, que establece:

Si las respuestas a las excitaciones: x1(t) y x2(t) son respectivamente y1(t) yy2(t), entonces la respuesta a la excitacion: ax1(t) + x2(t) sera: ay1(t) + y2(t)

1.2. SISTEMAS FISICOS 3

Donde a es una constante real. Se puede visualizar el principio de superposicion mediante lasiguiente secuencia de identidades:

L(t,D)y1(t) =x1(t)

L(t,D)y2(t) =x2(t)

L(t,D)ay1(t) =ax1(t)

Sumando la segunda y tercera identidad tenemos:

L(t,D)[ay1(t) + y2(t)] = ax1(t) + x2(t)

Ejemplo 1.1. Un sistema consta de una varilla con un extremo articulado y del otroextremo cuelga un peso W . Si el sistema es lineal, la deformacion de la varilla es proporcionalal peso, esto es: kW . Donde k es una constante que depende del material de la varilla.

Solucion: Puede verse que:1 kW1 2 kW2 a1 akW1

Concluimos que:

a1 + 2 k(aW1 +W2)

Los sistemas lineales se clasifican en dos grandes categoras, a saber: los sistemas linealesvariantes en el tiempo y los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Nos interesan particu-larmente los sistemas lineales invariantes, caso en el cual la ecuacion diferencial que los rige esde coeficientes constantes. Una ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes se puederesolver facilmente.

Un sistema lineal invariante esta regido por una ecuacion diferencial lineal decoeficientes constantes

El problema de valor inicial asociado a los sistemas lineales invariantes es el siguiente:

L(D)y(t) = x(t); y(0), Dy(0), D2y(0), . . . , Dn1y(0)

Las condiciones iniciales dan cuenta de la energa inicial del sistema.

En un curso regular de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudia la solucion de dichoproblema, siguiendo los siguientes pasos:


1. Se determina la solucion complementaria yc(t):

yc(t) = C1y1(t) + C2y2(t) + + Cnyn(t)Donde:{y1(t), y2(t), . . . , yn(t)} es un conjunto fundamental de soluciones de la ho-mogenea asociada.

2. Se determina la solucion particular o respuesta forzada: yss(t). La solucion particular,tambien conocida como respuesta de estado estacionario, depende fundamentalmente dela excitacion y se encuentra usando diversas tecnicas, entre las cuales podemos mencio-nar: operador inverso, coeficientes indeterminados y variacion de parametros. Se escribela solucion general de la ecuacion diferencial, as:

yg(t) = C1y1(t) + C2y2(t) + + Cnyn(t) + yss(t)3. Se aplican las condiciones iniciales para determinar las constantes: C1, C2, . . . , Cn.

4. Finalmente, se escribe la solucion del problema de valor inicial y se representa grafi-camente. Normalmente la solucion del problema de valor inicial tiene dos partes: larespuesta natural del sistema y la respuesta forzada (depende de la excitacion)

y(t) = yn(t) + yss(t)

1.3. Propiedades de los sistemas lineales invariantes

Cuando un sistema lineal invariante esta inicialmente en reposo presenta algunas propiedadesimportantes, a saber:

Si la respuesta a la excitacion x(t) es y(t), entonces la respuesta a la excitacion x(t )es y(t). Lo anterior significa que si la excitacion se traslada en el tiempo la respuestatambien se traslada en la misma cantidad.

Si la respuesta a la excitacion x(t) es y(t), entonces la respuesta a la derivada de x(t)sera la derivada de y(t).

Si la respuesta a la excitacion x(t) es y(t), entonces si la excitacion se integra la respuestatambien se integra.

A continuacion podemos visualizar mas adecuadamente las propiedades expuestas:

Excitacion Respuestax(t) y(t)

x(t ) y(t )dx(t)

dt

dy(t)

dt t0

x()d

t0

y()d

1.4. ELEMENTOS DE UN SISTEMA 5

Ejemplo 1.2. Un sistema lineal invariante esta inicialmente en reposo, en t = 0 se aplicala excitacion x(t) = sen(t)u(t), obteniendo como respuesta la funcion y(t) = t sen(t)u(t).La funcion u(t) es la funcion escalon unitario, la cual estudiaremos mas adelante en detalle.Determine la respuesta del sistema cuando se excita con las siguientes funciones:

1. sen(t pi)u(t pi)2. cos(t)u(t)

Solucion: De acuerdo con las propiedades, las respuestas son:1. (t pi) sen(t pi)u(t pi)2. [t cos(t) + sen(t)]u(t)

1.4. Elementos de un sistema

Los elementos de un sistema son los encargados de procesar la informacion de entrada: x(t),por tanto se hace necesario caracterizarlos adecuadamente para efectos de analisis, cada ele-mento presenta cierta caracterstica o parametro intrnseco que lo diferencia de los demas. Loselementos de un sistema pueden tener dos o mas terminales, aunque preferiblemente haremosalusion a los de dos terminales para el caso de los circuitos electricos. Un circuito electrico ensu forma mas simple se modela con elementos idealizados, as:

Elementos activos: Son los que suministran la energa al circuito; es decir, las fuentestanto de voltaje como de corriente.

Elementos pasivos: Son los que procesan la energa suministrada por las fuentes: resis-tores, capacitores e inductores. El primero disipa la energa y los otros dos la almacenany reciben el calificativo de dinamicos. Los sistemas electronicos (ademas de los elementosmencionados) pueden ser: diodos, transistores, amplificadores operacionales y una grandiversidad de circuitos integrados.

Los elementos circuitales pasivos son en general bilaterales, esto es, la informacion setransmite en igual forma en cualquiera de las dos direcciones. Los capacitores electrolti-cos y los diodos son ejemplos de elementos unilaterales.

1.5. Senales

Una senal es una funcion del tiempo que puede ser de variable continua o de variable dis-creta; aqu nos referiremos unicamente a las funciones de variable continua. Una funcion de


variable continua toma valores en un intervalo de los numeros reales, normalmente para t > 0.

Las senales tienen cierto contenido de energa o mejor, contienen alguna informacion; unasenal electrica se presenta en terminos de corriente o voltaje. Es necesario hacer un estudiode las senales que aparecen en el analisis de sistemas electricos, tales senales pueden teneruna descripcion matematica precisa o pueden ser senales reales cuyo estudio se hara a laluz de la transformada de Fourier (Este tema se estudia con bastante detalle en un curso dematematicas especiales).

Hay diversas operaciones importantes que pueden realizarse sobre senales, algunas de ellasson facilmente identificables y comprender su tratamiento sera de gran utilidad mas adelanteen el curso. Tres de estas transformaciones de la variable independiente (es decir, modificamosla variable independiente para lograr el efecto deseado en la variable dependiente) se presen-tan a continuacion, pero antes definiremos una propiedad elemental de las senales llamadaperiodicidad.

1.5.1. Senales periodicas

Una senal f(t) es periodica si existe un numero real T , denominado periodo, tal que n Zse verifica que:

f(t+ nT ) = f(t)

La frecuencia angular fundamental de una senal periodica se define como 0 = 2pi/T y semide en radianes/segundo. La frecuencia se puede medir en Hertz y esta dada por: f0 = 1/T .Segun se estudiara en un curso de matematicas especiales, una senal periodica se puede ex-presar mediante una serie infinita de sinusoides de frecuencias 0, 20, 30, . . .

Para representar graficamente una funcion periodica se hace la grafica en un perodo y luegose repite el numero de ciclos que se deseen. En general, si f(t) es una senal definida en unperodo T , la senal periodica g(t) se puede expresar en la forma:

g(t) =

n=f(t nT )

Una senal periodica se puede caracterizar mediante dos medidas, a saber:

Valor promedio: El valor promedio o valor DC de una senal periodica se define como:

fprom =1

T

t0+Tt0

f(t)dt

Valor cuadratico medio: El valor cuadratico medio o valor eficaz de una funcionperiodica se define como:

frms =

1

T

t0+Tt0

(f(t))2dt

1.5. SENALES 7

Puede verificarse, facilmente, que los valores promedio y efectivo de una sinusoide de amplitudA y de cualquier frecuencia, estan dados por fprom = 0, frms = A/

2 .

1.5.2. Desplazamiento

La senal x(t t0) es la misma senal x(t) desplazada t0 en el tiempo. La Figura 1.2 muestra lasenal x(t) y su desplazamiento con t0 > 0. En este caso la senal se ha atrasado con respectoa su valor original; para t0 < 0 se habra adelantado (desplazado hacia la izquierda).

t

x(t)

t

x(t-t0)

t0

Figura 1.2

Para realizar la operacion desplazamiento se debe reemplazar el argumento original por elargumento desplazado, veamos un ejemplo para clarificar el concepto.

Ejemplo 1.3. Desplace 3 unidades a la derecha la senal x(t) = sen(pit) para 0 < t < 1,es decir halle x(t 3).

Solucion: En la Figura 1.3(a) se observa la senal x(t), graficamente es sencillo realizar eldesplazamiento de 3 unidades a la derecha como se observa en la Figura 1.3(b).

t

x(t)

1

1

(a)

t

x(t-3)

1

3 4

(b)

Figura 1.3


Pero tambien es necesario realizar el desplazamiento analticamente, para ello vamos a reem-plazar el argumento en la ecuacion:

x(t) = sen(pit)

x(t 3) = sen(pi(t 3))x(t 3) = sen(pit 3pi))

Note la importancia de utilizar radianes, no podemos eliminar el termino de desfase de lasinusoidal como lo haramos en el calculo tradicional porque este es el que indica nuestrodesplazamiento.

1.5.3. Reflexion

Si f(t) es nuestra senal a transformar, entonces f(t) sera su reflexion. La operacion reflexiones similar al concepto de senal par en calculo dado que la senal gira alrededor del eje x, peroen este caso no hace las veces de espejo. Veamos la Figura 1.4 para clarificar el concepto, laoperacion reflexion se ha realizado sobre la senal f(t) dando como resultado la misma senalpero al lado contrario del eje x.

t

f(t)

1

-

t

f(-t)

-1

-

Figura 1.4

En este caso debemos poner atencion al concepto de tiempo en el eje negativo: en ingeniera escomun determinar el momento preciso de un evento dado, dicho evento suele marcarse comoel inicio del tiempo (t = 0) ya que a partir de all puede observarse su efecto (mas adelantelo veremos como un disparo para activar senales); pero en algunos casos tambien es necesarioincluir los sucesos antes de dicho evento, este lapso de tiempo anterior suele graficarse contiempo negativo y su cuenta por supuesto va hacia atras.

1.5.4. Escalado temporal

Las senales tambien pueden ampliarse o reducirse en el tiempo. La Figura 1.5 muestra unasenal triangular f(t).

1.5. SENALES 9

t

f(t)

1

1 2-1-2

Figura 1.5

El escalado temporal consiste en multiplicar o dividir el argumento de la funcion (en este casoel tiempo), su efecto sera un ensanchamiento de la misma si dividimos: f(t/2) por ejemplo; oun encogimiento si multiplicamos: f(2t), como puede observarse en la Figura 1.6.

t

f(t/2)

1

4 2-4 -2 t

f(2t)

1

11/2-1 -1/2

Figura 1.6

Estas tres operaciones pueden aplicarse simultaneamente a una senal dada.

Ejemplo 1.4. Considere la senal:

f(t) =

0 si t < 0t si 0 t 22 si 2 < t < 40 si t 4

1. Represente graficamente la funcion en el intervalo: 0 t 4.2. Represente graficamente la funcion: f(t/2 2).

Solucion:1. La grafica de la funcion se muestra en la Figura 1.7

2. Para hallar la grafica de f(t/2 2) se debe comenzar por determinar el nuevo do-minio. El dominio inicial de la funcion es [0, 4] (tal como se observa en la Figura 1.7).Inicialmente cambiamos el argumento para el dominio dado:

0 t/2 2 4 (1.1)ahora despejamos t para determinar el nuevo dominio:


t

f(t)

2

2 4

Figura 1.7

Sumamos 2 en la desigualdad (desplazamiento): 2 t/2 6Multiplicamos por dos (escalado temporal): 4 t 12Multiplicamos por menos uno (reflexion): 4 t 12, que se puede reescribircomo 12 t 4

Podemos realizar el mismo procedimiento sobre la grafica de la funcion. La Figura 1.8(a)presenta el desplazamiento en 2 de la senal original, la Figura 1.8(b) presenta el escaladotemporal, y finalmente la Figura 1.8(c) muestra el resultado final luego de hacer lareflexion. Podemos corroborar que efectivamente el dominio final es [12,4]

t

f(t-2)

2

2 4 6

(a)

t

f(t/2-2)

2

4 8 12

(b)

t

f(-t/2-2)

2

-4-8-12

(c)

Figura 1.8

1.5. SENALES 11

Ejemplo 1.5. Considere la senal:

f(t) =

0 si t < 0t si 0 t 11 si 1 < t < 2

3 t si 2 t 4t 5 si 4 < t < 5

0 si t 5

1. Represente graficamente la funcion en el intervalo: 0 t 5.

2. Represente graficamente la funcion: f(t/2 2).

Solucion:1. La grafica de la funcion se muestra en la Figura 1.9.

t

f(t)

1

421 3-1 6 7

-1

5

Figura 1.9

2. Para este literal es necesario realizar las tres transformaciones del mismo modo que serealizo en el ejemplo anterior. El dominio original es [0, 5] y el de la funcion transformadasera [14,4]. La Figura 1.10 presenta la grafica de la senal transformada.

t

f(-t/2-2)

1

-2-6-8 -4-12-14

-1

-10

Figura 1.10


1.6. Senales singulares

Una senal singular es aquella que tiene una representacion matematica simple que permitemanipularla desde el punto de vista del calculo (diferencial e integral); sin embargo, algunassenales singulares no pertenecen al esquema de calculo tradicional y por tanto es necesariointroducir algunos conceptos adicionales que nos permitan efectuar un estudio mas detalladode las mismas.

1.6.1. Funcion escalon unitario o funcion de Heaviside

Tambien conocida como funcion paso unitario, esta funcion se describe matematicamentecomo una funcion que vale cero si el argumento es menor que cero, esto es, si t < 0; y quevale uno para t > 0. Puede observarse que en t = 0 la funcion no esta definida. En las Figuras1.11(a) y 1.11(b) se representan graficamente la funcion escalon unitario: u(t), y la funciondesplazada hacia la derecha. La funcion escalon es muy importante ya que puede usarse paragenerar otras funciones en el analisis de circuitos, veamos algunos ejemplos.

t

u(t)

(a)

t

u(t-a)

a

(b)

Figura 1.11

Ejemplo 1.6. Representemos graficamente las funciones definidas a continuacion:

f(t) = u(t+ 1) u(t 1)g(t) = u(t) u(2 t)

Solucion: La Figura 1.12(a) muestra la secuencia para dibujar la funcion f(t). La funcionresultante es un pulso rectangular de dos unidades de ancho y una unidad de altura. Desdeel punto de vista del calculo la funcion es par y presenta dos discontinuidades finitas.

La Figura 1.12(b) muestra la secuencia para dibujar la funcion g(t). La funcion resultante esun pulso rectangular de dos unidades de ancho y una unidad de altura. Desde el punto devista del calculo, la funcion es la que resulta de trasladar f(t) una unidad hacia la derecha,

1.6. SENALES SINGULARES 13

t

u(t+1)

-1

t

u(t-1)

1

t

u(t+1) - u(t-1)

-1 1

(a)

t

u(t)

t

u(2-t)

2

t

u(t)u(2-t)

2

(b)

Figura 1.12

es decir, g(t) = f(t 1).

Ejemplo 1.7. Dada la funcion:

f(t) = u(t2 + t 6)1. Exprese f(t) en terminos de la funcion escalon unitario.

2. Represente graficamente la funcion.

3. Represente graficamente la funcion: 1 f(t). Solucion:

1. La funcion toma el valor cero cuando el argumento es negativo, esto es, cuando verificaque:

t2 + t 6 < 0La inecuacion anterior se puede expresar como:

(t+ 3)(t 2) < 0


Con base en lo anterior podemos redefinir la funcion de la siguiente manera:

f(t) =

1 si t < 30 si 3 t 21 si t > 2

Por tanto, la funcion se puede expresar como: f(t) = u(t 3) + u(t 2).2. La Figura 1.13(a) muestra la grafica de la funcion.

t

f(t)

1

1 2-1-2-3-4 3 4

(a)

t

g(t)

1

1 2-1-2-3-4 3 4

(b)

Figura 1.13

3. Puede notarse que la funcion 1 f(t), cuya grafica se muestra en la Figura 1.13(b), sepuede escribir en la forma: g(t) = 1 f(t) = u(t+ 3) u(t 2).

1.6.2. Funcion impulso unitario

Tambien conocida como funcion Delta de Dirac, esta funcion es de fundamental importancia enel analisis de sistemas lineales de ingeniera. La funcion no hace parte del calculo tradicionaly se obtiene a partir de un pulso rectangular de acuerdo con el siguiente procedimiento.Consideremos el pulso rectangular h(t, a) definido como:

h(t, a) =1

a[u(t+ a/2) u(t a/2)]

La Figura 1.14 ilustra la grafica del pulso.

t

h(t,a)

-a/2 a/2

1/a

Figura 1.14

Si analizamos la situacion mostrada en la grafica vemos que:


1. El area bajo la curva es la unidad para cualquier valor de a.

2. La altura del pulso tiende a infinito cuando a tiende a cero.

Precisamente, definiremos la funcion impulso a partir de h(t, a), as:

(t) = lma0{h(t, a)}

(t)dt = 1

La funcion impulso presenta algunas propiedades importantes. Si f(t) es una funcion definidaen t = t0 entonces:

f(t)(t t0) = f(t0)(t t0)

f(t)(t)dt = f(t0)

Para efectos de representacion grafica de la funcion impulso se adoptara la convencion mos-trada en la Figura 1.15(a), el impulso desplazado se presenta en la Figura 1.15(b).

t

(t)

(a)

t

(t-t0)

t0

(b)

Figura 1.15

Podemos visualizar la primera propiedad de la siguiente manera: si f(t) es continua en t = t0,entonces al multiplicarla por el impulso (t t0) el producto es cero para t 6= t0, y en t = t0el producto es igual al valor de la funcion multiplicada por el impulso. La segunda propiedadse deriva del hecho de que la integral del impulso es la unidad.

1.6.3. Relacion entre el escalon y el impulso

En este punto es conveniente encontrar la relacion entre las funciones escalon e impulso.Consideremos la funcion x(t, a) definida de la siguiente manera:

x(t, a) =1

a[tu(t) (t a)u(t a)]

Para una mejor ilustracion definimos la funcion por tramos y la representamos graficamenteen la Figura 1.16(a). Es claro que si a tiende a cero la funcion x(t, a) tiende a la funcionescalon unitario, esto es:

lma0{x(t, a)} = u(t)


Sabemos desde el punto de vista del calculo tradicional que la funcion x(t, a) no es derivableen t = 0 y tampoco en t = a. Podemos sin embargo derivar la funcion en los intervalosabiertos t < 0, 0 < t < a y t > a. Si denotamos por y(t, a) a la derivada de x(t, a) y represen-tamos graficamente obtenemos la situacion mostrada en la Figura 1.16(b). Recordemos quela expresion matematica para y(t, a) es la siguiente:

y(t, a) =1

a[u(t) u(t a)]

t

x(t,a)

1

a

(a)

t

y(t,a)

a

1/a

(b)

Figura 1.16

De la grafica se observa que y(t, a) tiende a la funcion impulso cuando a tiende a cero. Loanterior nos lleva a la siguiente definicion:

La derivada de la funcion escalon unitario es la funcion impulso unitario

Matematicamente presentamos la relacion diferencial y la relacion integral, as:

du(t)

dt= (t) u(t) =

t

(t)dt

1.6.4. Funcion rampa unitaria

La funcion rampa unitaria se define como:

r(t) =

{0 si t < 0t si t 0

Por otro lado, la rampa desplazada a unidades hacia la derecha, viene dada por:

r(t a) ={

0 si t < at a si t a

La Figura 1.17(a) muestra la grafica de la funcion rampa, la rampa trasladada a unidadeshacia la derecha se muestra en la Figura 1.17(b).


t

r(t)

1

1

(a)

t

r(t-a)

1

a+1a t

r(t-a)

1

a+1a

(b)

Figura 1.17

Observe que entre la funcion rampa y la funcion escalon se presentan las siguientes relaciones:

r(t a) = (t a)u(t a)dr(t a)

dt= u(t a) t

u(t a)dt = r(t a)

Ejemplo 1.8. Considere la funcion f(t) definida por tramos, como se indica a continua-cion para el intervalo (0, 3):

f(t) =

{t si 0 < t 12 si 1 t < 3


2. Exprese f(t) mediante las senales singulares.

3. Encuentre la derivada de f(t) y grafique.

Solucion:1. Observe que f(t) no esta definida en t = 1; la grafica se muestra en la Figura 1.18(a).

2. Ahora expresamos f(t) en terminos de las senales singulares, as:

f(t) = tu(t) + u(t 1) (t 1)u(t 1)

3. En cuanto a la derivada de f(t) usamos las reglas de derivacion tradicionales junto conlas propiedades del impulso, denotamos la derivada como g(t):

g(t) = t(t) + u(t) + (t 1) (t 1)(t 1) u(t 1)


Como ejercicio complementario verifique que el primero y el cuarto termino de g(t) soniguales a cero, dando como resultado:

g(t) = u(t) + (t 1) u(t 1)

La Figura 1.18(b) presenta la derivada g(t).

t

f(t)

1

1 2 3

2

(a)

t

g(t)

1

1 2 3

2

(b)

Figura 1.18

Ejemplo 1.9. Represente graficamente las senales:

1. f(t) = t[u(t) u(t 1)]

2. g(t) =3

n=2f(t n)

3. h(t) =2

n=1f(t 2n)

Solucion: La secuencia de Figuras 1.19 ilustran las senales correspondientes. Puede obser-varse que la senal: g(t) es periodica con periodo T = 1, mientras que h(t) tiene como periodoT = 2.

1.6.5. Funcion exponencial

La funcion exponencial real es una de las mas importantes en el analisis de sistemas deingeniera, normalmente se define como:

x(t) = [F + (P F )et]u(t)


t

f(t)

1

1 2 3 t

g(t)

1

1 2 3-1-2

t

h(t)

1

1 2 3-1-2

Figura 1.19

Donde F es el valor final, P es el valor inicial o valor presente y = 1/ es la constante detiempo. Para propositos practicos se supone que la funcion alcanza su valor final al cabo decinco constantes de tiempo. Observe en efecto que e5 es practicamente cero.

Ejemplo 1.10.Represente graficamente las funciones:

f(t) = 10(1 et)[u(t) u(t 5)]g(t) = 10et[u(t) u(t 5)]

Solucion: Las graficas se muestran en las Figuras 1.20(a) y 1.20(b).f(t)

10

5 t

(a)

g(t)

10

5 t

(b)

Figura 1.20


1.6.6. Funcion sinusoidal

Una sinusoide es una combinacion lineal de las funciones seno y coseno, as:

f(t) = C1 cos(t) + C2 sen(t); C1,2 0, se define como:

f(t) g(t) = t0

f()g(t )d

La convolucion de dos senales es conmutativa, es decir, se verifica que:

f(t) g(t) = g(t) f(t)Conocida la respuesta natural h(t) de un sistema lineal invariante es posible determinar larespuesta ante cualquier excitacion x(t), as:

y(t) = h(t) x(t)A continuacion se presentan las respuestas de un sistema a diferentes excitaciones:

Excitacion Respuesta(t) h(t)

(t ) h(t )f()(t ) f()h(t )

f()(t )d

f()h(t )d (Nota 1)

f(t)

t0

f()h(t )d (Nota 2)x(t) x(t) h(t)


Nota 1. La funcion impulso es una funcion par, esto es, (t ) = ( t).Nota 2. Se aplica la propiedad de la funcion impulso, que establece:

f(t)(t a)dt = f(a)

Si la excitacion x(t) se aplica en t = 0, la variable tomara valores significativos entre = 0y = t.

Ejemplo 1.11.La respuesta natural de un sistema esta dada por h(t) = etu(t).

Determine la respuesta para cada una de las siguientes excitaciones representando grafica-mente la entrada y la salida en cada caso:

1. x(t) = u(t)

2. x(t) = tu(t)

3. x(t) = etu(t)

4. x(t) = sen(t)u(t)

Solucion:1. y1(t) = e

t u(t) = t0eu(t )d =

[ t0ed

]u(t). Evaluando la integral, resulta

y1(t) = (1 et)u(t).

2. y2(t) = et tu(t) =

[ t0e (t )d

]u(t). Evaluando la integral, resulta y2(t) =

(et + t 1)u(t).

3. y3(t) = et etu(t) =

[ t0ee(t)d

]u(t). Evaluando la integral, resulta y3(t) =

tetu(t).

4. y4(t) = et sen(t)u(t) =

[ t0e sen(t )d

]u(t). Evaluando la integral, resulta

y4(t) =1

2(et cos(t) + sen(t))u(t).

Las Figuras 1.23 muestran las graficas correspondientes obtenidas con el software Matlab (ver??).

1.8. EJEMPLOS 23

2 0 2 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y 1(t)

2 1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

y 2(t)

t

2 0 2 4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

y 3(t)

t2 0 2 4 6 8 10

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

y 4(t)

t

Figura 1.23

1.8. Ejemplos

Ejemplo 1.12.Una senal esta definida como:

f(t) =

{0 si |t| > 11 si |t| 1


2. Exprese la funcion mediante la funcion escalon unitario.

3. Encuentre la derivada de la funcion y represente graficamente.


4. Encuentre la integral entre menos infinito y un instante t cualquiera y represente grafi-camente.

5. Represente graficamente las funciones: f(t/2), f(2t), g(t) =5

n=5f(t 3n).

6. Encuentre los valores promedio y eficaz de la funcion periodica: g(t).

Solucion:1. Se hace la grafica de la funcion f(t) tal como se definio y se ilustra en la Figura 1.24.

t

f(t)

-1 1

Figura 1.24

2. A partir de la grafica se puede expresar la funcion en terminos de la senal escalon, as:

f(t) = u(t+ 1) u(t 1)

3. La derivada de la funcion esta dada por:

Df(t) = (t+ 1) (t 1)

La Figura 1.25(a) muestra la grafica de la derivada de la funcion.

t

Df(t)

-1 1

(t+1)

-(t-1)

(a)

t

If(t)

1

1 2

2

-1

(b)

Figura 1.25

1.8. EJEMPLOS 25

4. Sea If(t) = t f(x)dx la integral pedida. Se sabe que la integral de la funcion escalon

u(t) es la rampa unitaria tu(t). En consecuencia, la integral de la funcion dada es:

If(t) = (t+ 1)u(t+ 1) (t 1)u(t 1)

La Figura 1.25(b) muestra la grafica de la integral de la funcion.

5. Las Figuras 1.26(a) y 1.26(b) muestran las funciones con el escalamiento en el tiempo.Puede observarse que f(t/2) es la funcion original amplificada el doble en el tiempo,mientras que f(2t) es la senal original contrada a la mitad.

6. En cuanto a la funcion periodica, la Figura 1.26(c) ilustra algunos periodos de la senal.

t

f(2t)

1

1 2-1-2

(a)

t

f(t/2)

1

1 2-1-2

(b)

t

g(t)

1

1 2-1-2-3-4 3 4

(c)

Figura 1.26

Ejemplo 1.13.Una senal f(t) esta definida como:

f(t) =

{0 si |t| > 1

1 |t| si |t| 1


2. Exprese la funcion mediante la funcion escalon unitario.



4. Encuentre la integral entre menos infinito y un instante t cualquiera y represente grafi-camente.

5. Represente graficamente las funciones: f(t/2), f(2t), g(t) =5

n=5f(t 3n).

6. Encuentre los valores promedio y eficaz de la funcion periodica g(t).

Solucion:1. La Figura 1.27(a) muestra la grafica de la funcion.

2. La expresion matematica para la funcion es:

f(t) = (t+ 1)u(t+ 1) 2tu(t) + (t 1)u(t 1)

3. La derivada de la funcion viene dada por: Df(t) = u(t+1)2u(t)+u(t1) y su graficase ilustra en la Figura 1.27(b).

t

f(t)

1

1 2-1-2

(a)

t

Df(t)

1 2-1-2

(b)

Figura 1.27

4. La integral de la funcion, cuya grafica se muestra en la Figura 1.28(a), viene dada por:

If(t) =1

2(t+ 1)2u(t+ 1) t2u(t) + 1

2(t 1)2u(t 1)

5. La Figura 1.28(b) muestra la grafica de la funcion f(t/2), la Figura 1.28(c) correspondea la funcion f(2t), y la Figura 1.28(d) muestra algunos ciclos de la senal periodica.

6. Finalmente, el estudiante puede verificar que los valores promedio y eficaz, son:

gprom u 0.333 grms u 0.471

1.8. EJEMPLOS 27

t

If(t)

1

1 2-1

(a)

t

f(t/2)

1

1 2-1-2-3-4 3 4

(b)

t

f(2t)

1

11/2-1 -1/2

(c)

t

g(t)

1

1 2-1-2-3-4 3 4

(d)

Figura 1.28

Ejemplo 1.14.Considere la senal:

f(t) =

0 si t < 0t si 0 t 11 si 1 < t < 2

3 t si 2 t 4t 5 si 4 < t < 5

0 si t 51. Represente graficamente la funcion en el intervalo: 2 t 82. Exprese la funcion en terminos de la senal escalon

3. Encuentre Df(t) y grafique.

4. Encuentre t f(x)dx y grafique.

5. Represente graficamente la funcion: f(2t)

Solucion:1. La grafica de la funcion se muestra en la Figura 1.29

2. La expresion matematica para la funcion es:

f(t) = tu(t) (t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2) + 2(t 4)u(t 4) (t 5)u(t 5)


t

f(t)

1

421 3-1 6 7

-1

5

Figura 1.29

3. La Figura 1.30 muestra la grafica de la primera derivada, cuya expresion matematicaes:

Df(t) = u(t) u(t 1) u(t 2) + 2u(t 4) u(t 5)

t

Df(t)

1

4 521 3-1 6 7

-1

Figura 1.30

4. En cuanto a la integral de la funcion, se aplican las reglas de integracion, resultando:

If(t) =1

2t2u(t) 1

2(t 1)2 1

2(t 2)2u(t 2) + (t 4)2u(t 4) 1

2(t 5)2u(t 5)

La Figura 1.31 muestra la grafica de la funcion If(t).

5. Finalmente, se deja al estudiante la representacion grafica de f(2t).

t

If(t)

1

4 521 3-1 6 7

2

Figura 1.31

1.8. EJEMPLOS 29

Ejemplo 1.15.Dada la funcion:

f(t) = sen(pit)[u(t) u(t 1)]1. Represente graficamente la funcion

2. Muestre que la funcion se puede escribir en la forma:

f(t) = sen(pit)u(t) + sen(pi(t 1))u(t 1)

3. Determine Df(t) y represente graficamente

4. Determine t f(x)dx y represente graficamente

5. Represente la senal g(t) = f(t) + f(t+ 1)

Solucion:1. La grafica de la funcion se ilustra en la Figura 1.32(a).

t

f(t)

1

1

(a)

t

Df(t)

1

-

(b)

Figura 1.32

2. La funcion se puede expresar en la forma:

f(t) = sen(pit)u(t) sen(pit)u(t 1)= sen(pit)u(t) sen(pi(t 1 + 1))u(t 1)= sen(pit)u(t) sen(pi(t 1) + pi)u(t 1)= sen(pit)u(t) + sen(pi(t 1))u(t 1)

3. En la deduccion anterior se hizo uso de la identidad: sen( + pi) = sen(). Con baseen lo anterior, tenemos:

Df(t) = pi cos(pit)u(t) + cos(pi(t 1))u(t 1)La Figura 1.32(b) muestra la derivada de la funcion.


4. Para evaluar la integral de la funcion, se procede calculando la integral de sen(pit)u(t): t0

sen(x)dx =1

pi[1 cos(pit)]u(t)

y luego se agrega la misma integral desplazada en el tiempo:

If(t) =1

pi[1 cos(pit)]u(t) + 1

pi[1 cos(pi(t 1))]u(t 1)

La descripcion por tramos de la integral viene dada por:

If(t) =

0 si t < 0

1pi[1 cos(pit)] si 0 t 1

2pi

si t > 1

La Figura 1.33(a) muestra la grafica de la integral de la funcion.

5. Finalmente, la Figura 1.33(b) ilustra la grafica de la funcion g(t) = f(t) + f(t+ 1).

t

If(t)

1

2/

(a)

t

g(t)=f(t)+f(t+1)

1

1-1

(b)

Figura 1.33

Ejemplo 1.16.Considere la funcion: f(t) = sen(pit)[u(t) u(t 1)].

1. Genere algunos ciclos de la senal periodica: g(t) =

n=f(tn) y encuentre sus valores

promedio y efectivo

2. Repita el literal anterior para la funcion: s(t) =

n=f(t 2n)

3. Si la respuesta natural de un sistema esta dada por h(t) = etu(t), determine la respuestacuando se excita con la funcion: f(t) y grafique.

1.8. EJEMPLOS 31

Solucion:1. La funcion bajo estudio recibe el nombre de onda seno rectificada en onda completa y

es de mucha importancia en el analisis de algunos sistemas de ingeniera. El estudiantepuede comprobar que los valores promedio y cuadratico medio, vienen dados por:

gprom =1

1

10

sen(pit)dt u 0.637 grms =

1

1

10

sen2(pit)dt u 0.707

2. La senal s(t) es la onda seno rectificada en media onda, sus valores promedio y eficazvienen dados por:

sprom =1

2

10

sen(pit)dt u 0.318srms =

1

2

10

sen2(pit)dt u 0.0.5

3. Finalmente, aplicando la integral de convolucion tenemos:

h(t) f(t) = pipi2 + 1

[et cos(pit)]u(t) + pipi2 + 1

[e(t1) cos(pi(t 1))]u(t 1)

Ejemplo 1.17.Consideremos la senal:

f(t) =

sen(pit) si 0 t 1 sen(pit) si 1 < t 2

0 si t < 01 si t > 2

1. Represente graficamente la senal y expresela mediante las senales singulares.

2. Determine la derivada de la funcion y represente graficamente.

3. Encuentre la integral de la funcion entre cero y cualquier instante t y represente grafi-camente.

4. Determine los valores promedio y efectivo de la senal periodica g(t) =

n=f(t 3n)

Solucion:1. La grafica de la funcion se muestra en la Figura 1.34. Expresamos la funcion usando el

escalon unitario, as:

f(t) = sen(pit)u(t) + 2 sen(pi(t 1))u(t 1) + sen(pi(t 2))u(t 2)


t

f(t)

1

21

Figura 1.34

2. La derivada de la funcion se describe a continuacion y su representacion grafica se ilustraen la Figura 1.35(a):

Df(t) = pi cos(pit)u(t) + 2pi cos(pi(t 1))u(t 1) + pi cos(pi(t 2))u(t 2)

3. En cuanto a la integral, sea la funcion:

g(t) =

t

sen(pit)dt

Puede verse que la integral pedida es:

If(t) = g(t) + 2g(t 1) + g(t 2)

Donde:

g(t) =1

pi[1 cos(pit)]u(t)

La grafica se muestra en la Figura 1.35(b).

t

Df(t)

1

-

2

(a)

t

If(t)

1/

21

2/

(b)

Figura 1.35

1.8. EJEMPLOS 33

4. La senal periodica es de periodo T = 3 y sus valores promedio y eficaz, son:

gprom =1

3

( 10

sen(pit)dt 21

sen(pit)dt

)= 0.424

grms =

1

3

( 10

sen(pit)dt 21

sen(pit)dt

)= 0.577

Ejemplo 1.18.Considere la senal seno rectificada en onda completa: f(t) = | sen(t)|

1. Verifique que el periodo de la senal es T = pi y represente 4 ciclos de la senal.

2. Represente graficamente la funcion: y(t) = u(t) u(t ), 0 < < pi

3. Represente graficamente la senal: x(t) =2

n=2y(t npi)

4. Represente graficamente la senal: g(t) = f(t) x(t)

5. Determine el valor de de tal manera que el valor eficaz de g(t) sea grms = 0.5

Solucion:1. A partir de la Figura 1.36 es claro que el periodo de la senal es T = pi.

t

f(t)

1

--2 2

Figura 1.36

2. La Figura 1.37 muestra la grafica del pulso rectangular y(t), con = 3pi/4.

3. La Figura 1.38 muestra la grafica de la senal x(t) que se obtiene de la anterior.

4. Finalmente, la Figura 1.39 muestra la grafica de g(t)


t

y(t)

1

--2 23 /4

Figura 1.37

t

x(t)

1

--2 23 /4

Figura 1.38

t

g(t)

1

--2 23 /4

Figura 1.39

5. El valor eficaz de la senal g(t) esta dado por:

grms =

1

pi

pi+

sen2(t)dt

Evaluando la integral y haciendo grms = 0.5, tenemos la ecuacion:

1

pi

(cos() sen() +

pi

2

)=

1

4

La ecuacion obtenida se resuelve numericamente, obteniendo como resultado el valor de = 1.1549. En conclusion, el valor de que hace que el valor eficaz de la senal sea 0.5,es de aproximadamente 66 grados.

1.8. EJEMPLOS 35

Ejemplo 1.19.Un sistema se caracteriza mediante la relacion entrada-salida siguiente:

Vo =

{0 si Vi < 01 si Vi 0

Con base en la informacion suministrada, determine la respuesta del sistema cuando se excitacon las siguientes entradas:

f(t) = sen(pit)u(t) sen(pi(t 2))u(t 2)g(t) = tu(t) 2(t 1)u(t 1) + 2(t 3)u(t 3) (t 4)u(t 4)

En ambos casos, represente graficamente tanto la entrada como la salida.

Solucion: Las Figuras 1.40(a) y 1.40(b) muestran las respectivas entradas rotuladas porf(t) y g(t).

t

f(t)

1

21

(a)

t

g(t)

1

42

(b)

Figura 1.40

En ambos casos, las salidas son:

Vo1 =

0 si t < 0

2 sen(pit) si 0 t 10 si t > 1

Vo2 =

0 si t < 0t2

si 0 t 112(1 t) si 1 < t < 3

12(3 t) si 3 t 4

0 si t > 4

Se deja como ejercicio al estudiante la representacion grafica de las salidas.

Ejemplo 1.20.Considere la funcion: f(t) = u(t) + (t 1)u(t 1) 2tu(t 3) + tu(t 5)


1. Muestre que la funcion se puede expresar en la forma:

f(t) = u(t) + (t 1)u(t 1) 2(t 3)u(t 3) 6u(t 3) + (t 5)u(t 5) + 5u(t 5)



4. Encuentre la integral entre menos infinito y un instante cualquiera de la funcion yrepresente graficamente.

Solucion:1. Este tem lo verifica el estudiante.

2. La Figura 1.41(a) muestra la grafica de la funcion.

t

f(t)

1

4 521 3-1 6

-1

3

-3

2

-2

-4

-5

(a)

t

Df(t)

1

4 521 3-1 6

-1

-6

-3

2

-2

-4

-5

(t)

-6(t-3)

5 (t-5)

(b)

Figura 1.41

3. La derivada de la funcion, cuya grafica se muestra en la Figura 1.41(b), viene dada por:

Df(t) = (t) + u(t 1) 2u(t 3) 6(t 3) + u(t 5) + 5(t 5)

1.9. EJERCICIOS DEL CAPITULO 37

4. La integral viene dada por:

If(t) = tu(t) +1

2(t 1)2u(t 1) (t 3)2u(t 3) 3(t 3)u(t 3)

+1

2(t 5)2u(t 5) + 5(t 5)u(t 5)

Se deja como ejercicio la correspondiente representacion grafica.

1.9. Ejercicios del captulo

1. Dada la senal: f(t) = tu(t) (t 2)u(t 2) 2u(t 2)a) Represente graficamente la funcion.

b) Encuentre la derivada de la funcion y grafique.

c) Encuentre la integral de la funcion y grafique.

2. Un sistema lineal invariante se excita con la funcion impulso y su respuesta es la funcion:

f(t) = sen(pit)u(t)

Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones:

a) x1(t) = u(t)

b) x2(t) = tu(t)

c) x3(t) = (t 1)u(t 1)d) x4(t) = e

tu(t)

3. Una senal periodica esta definida en un periodo de la siguiente manera:

f(t) =

{t/2 si 0 t 2

3 t si 2 < t 4a) Represente tres ciclos de la senal

b) Exprese la senal en terminos de las senales singulares

c) Determine los valores promedio y cuadratico medio.

4. Dada la senal:

f(t) =

{| sen(pit)| si 0 t 40 si (t < 0) (t > 4)

a) Represente graficamente la funcion.


b) Exprese la funcion mediante senales singulares.

c) Represente graficamente las senales: f(t/2) y f(2t).

d) Encuentre la derivada de la funcion y grafique.

e) partir de la senal dada genere una onda periodica de periodo: T = 2 y encuentresus valores promedio y eficaz.

5. La respuesta natural de un sistema lineal invariante esta dada por: h(t) = et. Determinela respuesta ante las siguientes excitaciones:

a) x1(t) = u(t)

b) x2(t) = tu(t)

c) x3(t) = sen(t)u(t)

d) x4(t) = etu(t)

6. Dada la funcion:

f(t) =

{|t 1| si 0 t 10 si (t < 0) (t > 1)



c) Represente graficamente las senales: f(t/2) y f(2t).

d) Encuentre la derivada de la funcion y grafique.

e) A partir de la senal dada genere una onda periodica de periodo: T = 2 y encuentresus valores promedio y eficaz.

7. Una senal periodica esta definida en un periodo de la siguiente manera:

f(t) =

t si 0 t 11 si 1 < t < 2

3 t si 2 t 3a) Exprese la funcion mediante las senales singulares.

b) Encuentre los valores promedio y eficaz de la senal periodica.

8. Dada la senal: x(t) = u(t) + (t 1)u(t 1) 2tu(t 2) + 4u(t 2)a) Determine la derivada de la funcion y represente graficamente.

b) Determine la integral de la funcion y represente graficamente.

9. Represente graficamente las siguientes funciones:

a) f(t) = u(1 t2)

1.9. EJERCICIOS DEL CAPITULO 39

b) g(t) = [1 et/5]u(t)c) x(t) = sen(pit/2)[u(t) u(t 4)]d) y(t) =

t0[u(t) + u(t 1) + u(t 1) 3u(t 3)]dt

e) z(t) = 3 sen(t) + 4 cos(t)

10. Dada la funcion:

x(t) =

1 si t < 0t si 0 t 1

2t 1 si 1 < t < 25 t si 2 t 5

0 si t > 5



c) Halle la derivada de la funcion y grafique.

d) Halle t0x(t)dt y grafique.

e) Represente graficamente la senal: w(t) = 12[x(t) + x(t)].

11. Dada la senal f(t) = sen(pit)[u(t) u(t 2)]a) Determine la derivada de la funcion y represente graficamente.

b) Determine la integral de la funcion y represente graficamente.

12. La respuesta natural de un sistema lineal invariante esta dada por:

h(t) = [1 cos(t)]u(t)Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones:

a) x1(t) = u(t)

b) x2(t) = tu(t)

c) x3(t) = sen(t)u(t)

d) x4(t) = etu(t)

13. Considere la funcion: x(t) = tu(t t2)a) Represente graficamente la funcion.

b) Encuentre la derivada de la funcion y represente graficamente.

c) Encuentre la integral de la funcion y represente graficamente.

d) A partir de la senal dada genere una senal periodica de periodo: y encuentre susvalores promedio y eficaz.


14. Considere la senal:

f(t) =

1 si 0 t 2

1 t si 2 < t 40 si (t < 0) (t > 4)

a) Exprese la funcion mediante las senales singulares.

b) Represente graficamente la funcion.

c) Encuentre la derivada de la funcion y represente graficamente.

d) Encuentre la integral de la funcion y represente graficamente.

e) A partir de la senal dada genere una senal periodica de periodo: y encuentre susvalores promedio y eficaz.

15. Represente graficamente cada una de las siguientes senales

f(t) = u(cos(pit))

g(t) = u(t) u(sen(pit/2))

16. La respuesta al escalon unitario de un sistema lineal invariante esta dada por:

ye(t) = (1 et)u(t)

a) Encuentre la respuesta natural y represente graficamente.

b) Encuentre la respuesta ante las siguientes excitaciones:

x1(t) = tu(t 1)x2(t) = te

tu(t)

x3(t) = cos(t)u(t)

17. Para cada una de las siguientes senales:

x(t) =

1 si 0 t 12 si 1 < t 20 si (t < 0) (t > 2)

y(t) =

0 si t < 0

|1 t| si 0 t 20 si t > 2

z(t) = sen(2pit)[u(t+ 1) u(t 1)]

a) Exprese mediante las senales singulares.

b) Determine la derivada y represente graficamente.

c) Determinar la integral y represente graficamente.

d) A partir de cada una de ellas genere sendas senales periodicas de periodo: T = 4 yencuentre los valores promedio y eficaz.

1.10. EXAMEN 41

18. La caracterstica: entrada-salida de un sistema esta dada por:

Vo(t) =

0 si vi(t) < 0

vi(t) si 0 vi(t) 11 si vi(t) > 1

Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones y represente graficamente:

a) vi(t) = 2 sen(t)u(t)

b) vi(t) = 2u(sen(t))u(t)

19. Considere las funciones:

f(t) =

0 si t < 0t si 0 t 1

t 1 si 1 < t 20 si t > 2

g(t) =

0 si t < 0t si 0 t 1

t 3 si 1 < t 20 si t > 2

a) Represente graficamente.

b) Represente en terminos de funciones singulares.

c) Encuentre la derivada y represente graficamente.

d) Encuentre la integral y represente graficamente.

e) Genere una senal periodica de periodo T = 2 y encuentre sus valores promedio yeficaz.

f ) Genere una senal periodica de periodo T = 3 y encuentre sus valores promedio yeficaz.

20. Considere los pulsos sinusoidales de las Figuras 1.42(a) y 1.42(b).

a) Exprese mediante senales singulares.

b) Encuentre la derivada de cada funcion y represente graficamente.

c) Encuentre la integral de cada funcion y represente graficamente.

d) Represente graficamente la funcion h1(t) = f(t) + f(t).e) Represente graficamente la funcion h2(t) = g(t) + g(t).

1.10. Examen

En esta seccion se presentan diversos ejercicios que han hecho parte en examenes parcialesde cursos de circuitos electricos, se recomienda al estudiante resolverlos luego de los ejerciciospropuestos con el objetivo de evaluar los conocimientos aprendidos en el captulo.


t

f(t)

1

21

(a)

t

g(t)

1

2-2

(b)

Figura 1.42

0 1 2 3 4 5 61

0

1

2

y e(t)

t

Figura 1.43

1. La Figura 1.43 ilustra la respuesta al escalon unitario de un sistema lineal invariante enel tiempo.

a) Exprese la respuesta al escalon en terminos de las senales singulares

b) Encuentre la respuesta natural y grafique

c) Encuentre la respuesta a la rampa y grafique

2. Una senal esta definida, as:

f(t) =

0 si t < 0

| sen(t)| si 0 t 2pi0 si 2pi < t < 3pi

a) Exprese la senal en terminos de las senales singulares

1.10. EXAMEN 43

b) Calcule el valor cuadratico medio de la senal periodica de periodo T = 3pi generadapor f(t)

3. La respuesta natural de un sistema lineal invariante en el tiempo viene dada por:

h(t) = 2(t) + etu(t)


a) tetu(t)

b) 3u(t 1)4. La Figura 1.44 ilustra la grafica de una senal x(t).

3 2 1 0 1 2 31

0

1

2

3

x(t)

t

Figura 1.44

a) Exprese la senal en terminos de las senales singulares

b) Encuentre la derivada y grafique.

c) Encuentre la integral y grafique.

d) Represente graficamente la senal dada por y(t) = x(t) x(t 4).5. Una senal esta definida, as:

f(t) =

sen(2pit) si 1/2 t 0sen(2pit) si 0 < t 1/2

0 si (t < 1/2) (t > 1/2)a) Represente graficamente la senal.

b) Calcule el valor cuadratico medio de la senal periodica de periodo T = 2 generadapor la senal.


c) Exprese la senal mediante las senales singulares.

d) Represente graficamente la senal f(t/2).


h(t) = (t) + 2etu(t)


a) tu(t 2)b) 3tetu(t)


h(t) = 2(t) + etu(t)


a) x1(t) = tu(t 1)b) x2(t) = te

tu(t)

c) x3(t) = et sen(t)u(t)

8. La Figura 1.45 ilustra 4 ciclos de una senal periodica h(t).

2 1 0 1 2 3 4 5 61

0

1

2

3

h(t)

t

Figura 1.45

a) De la descripcion por tramos de la senal en el intervalo [0, 2).

b) De el valor cuadratico medio de la senal.

1.10. EXAMEN 45

9. La respuesta al escalon unitario de un sistema lineal invariante en el tiempo viene dadapor:

ye(t) = et sen(t)u(t)


a) x1(t) = (t)

b) x2(t) = tu(t)

c) x3(t) = etu(t)

10. Considere la senal:x(t) = u(3 2t t2)

a) Exprese la senal mediante funciones escalon.

b) Represente graficamente la senal z(t) = x(t) + 2x(t 4).c) Calcule

t1 z(t)dt y represente graficamente.

11. La respuesta al escalon unitario de un sistema lineal invariante en el tiempo viene dadapor:

ye(t) = (3 3e2t 2et)u(t)Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones:

a) x1(t) = (t)

b) x2(t) = tu(t)

c) x3(t) = etu(t)

CAPITULO 2

SISTEMAS LINEALESINVARIANTES EN EL TIEMPO

2.1. La ecuacion diferencial de un sistema

Un sistema lineal invariante, en su forma mas elemental, se representa usualmente medianteun bloque en el que se muestran tanto la excitacion como la respuesta, tal como lo ilustra laFigura 2.1.

Excitacion S.L.I.T. Respuestax(t) y(t)

Figura 2.1

Al aplicar las leyes y principios que rigen el comportamiento de los elementos del sistema seobtiene un problema de valor inicial de orden n, as:

andn

dtny(t) + an1

dn1

dtn1y(t) + + a1 d

dty(t) + a0y(t) = f(t)

Donde f(t) depende de la excitacion y sus m primeras derivadas, as:

f(t) = bmdm

dtmx(t) + bm1

dm1

dtm1x(t) + + b1 d

dtx(t) + b0x(t)

Las condiciones iniciales del sistema son las siguientes:

y(0), y(0), y(0), . . . , yn1(0)

47

48 CAPITULO 2. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

Haciendo uso del operador D la ecuacion diferencial del sistema es la siguiente:

(anDn + an1Dn1 + + a2D2 + a1D + a0)y(t)

= (bmDm + bm1Dm1 + + b2D2 + b1D + b0)x(t)

Analizar el sistema consiste en determinar la respuesta ante una excitacion determinada ysabiendo que el sistema esta inicialmente en reposo, esto es, las condiciones iniciales son igualesa cero. Para llevar a cabo el analisis es necesario resolver la ecuacion diferencial. Recordemosque la solucion general de la ecuacion diferencial consiste de dos partes a saber: una solucioncomplementaria y una solucion forzada. La solucion complementaria es una combinacion linealde las n soluciones de la homogenea, mientras que la solucion forzada depende de la excitacion.

2.2. Solucion complementaria

La homogenea asociada a la ecuacion diferencial esta dada por:

(anDn + an1Dn1 + + a2D2 + a1D + a0)y(t) = 0

Suponiendo que la homogenea admite soluciones de tipo exponencial, es decir, soluciones dela forma y(t) = et; resulta el polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial, as:

L() = ann + an1n1 + + a22 + a1+ a0

A partir de las races del polinomio caracterstico se encuentran las n soluciones linealmenteindependientes de la homogenea y su combinacion lineal es la solucion complementaria, as:

yc(t) = C1y1(t) + C2y2(t) + + Cnyn(t)

La solucion forzada depende de la excitacion y, por el momento, consideramos el caso en quela excitacion es la senal escalon unitario.

2.3. Respuesta al escalon unitario y respuesta al impul-

so

Cuando la excitacion es el escalon unitario la ecuacion diferencial es la siguiente:

(Dn + an1Dn1 + + a2D2 + a1D + a0)y(t) = Ku(t)

Donde K es una constante real: K = 1/an. De acuerdo con lo estudiado en un curso deecuaciones diferenciales, la solucion general de la ecuacion diferencial es:

ygen(t) = C1y1(t) + C2y2(t) + + Cnyn(t) +K/a0

2.3. RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO Y RESPUESTA AL IMPULSO 49

En la expresion anterior, el ultimo termino es la solucion particular o respuesta forzada delsistema. Las constantes de integracion de la solucion general se encuentran con base en lascondiciones iniciales. Despues de hallar las constantes arbitrarias se escribe la respuesta alescalon unitario: ye(t). La respuesta al impulso unitario o respuesta natural del sistema sedetermina mediante la derivada con respecto al tiempo de la respuesta al escalon unitario,as: h(t) = ye(t).

Ejemplo 2.1. Un sistema lineal invariante de segundo orden, inicialmente en reposo,esta regido por el problema de valor inicial:

(D2 + 4D + 3)y(t) = x(t); y(0) = 0, Dy(0) = 0

1. Determine la respuesta al escalon unitario.

2. Determine la respuesta al impulso unitario.

3. Usando Matlab, determine la respuesta al escalon unitario.

4. Represente en la misma figura la respuesta al escalon unitario y la respuesta natural delsistema.

Solucion:1. Puesto que el escalon unitario es la unidad para t > 0, el problema a resolver es:

(D2 + 4D + 3)y(t) = 1; y(0) = 0, Dy(0) = 0

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homogeneaasociada a partir del polinomio caracterstico L() = 2+4+3. Las races del polinomioson 1 = 1, 2 = 3 y en consecuencia el conjunto fundamental de soluciones de lahomogenea asociada es: {et, e3t}. A continuacion se determina la respuesta de estadoestacionario por el metodo del operador inverso, as:

yss =1

D2 + 4D + 3 1D=0

=1

3

Ahora se escribe la solucion general: y(t) = C1et + C2e3t + 1/3.

La primera derivada de la solucion general es: Dy(t) = C1et +3C2e3t.Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

0 = C1 + C2 + 1/3

0 = C1 3C2


Al resolver el sistema y sustituir en la solucion general, resulta la respuesta al escalonunitario, as:

ye(t) =

(1

2et +

1

6e3t + 1/3

)u(t)

2. La respuesta al impulso unitario, conocida como respuesta natural del sistema, se de-termina como la derivada de la respuesta al escalon y se representa como:

h(t) =

(1

2et 1

2e3t

)u(t)

3. Usando el comando dsolve de Matlab, se tiene:

Matlab:

y = dsolve(D2y = 1-3*y-4*Dy, y(0) = 0, Dy(0) = 0)

>> y = 1/(6*exp(3*t)) - 1/(2*exp(t)) + 1/3

4. Para la representacion grafica se usa Matlab, as:

Matlab:

t = 0:0.001:5;

ye = (1/6).*exp(-3*t)-(1/2).*exp(-t)+1/3;

h = (1/2).*exp(-t)-(1/2).*exp(-3*t);

plot(t,ye,k,linewidth,2)

grid on

hold on

plot(t,h,--,linewidth,2)

dando como resultado la Figura 2.2.


(D2 + 4D + 4)y(t) = x(t); y(0) = 0, Dy(0) = 0



0 1 2 3 4 50.05

0

0.050.1

0.150.2

0.250.3

t

ye(t)

h(t)

Figura 2.2





(D2 + 4D + 4)y(t) = 1; y(0) = 0, Dy(0) = 0

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homogeneaasociada a partir del polinomio caracterstico L() = 2+4+4. Las races del polinomioson 1 = 2, 2 = 2 y en consecuencia el conjunto fundamental de soluciones de lahomogenea asociada es {e2t, te2t}. A continuacion se determina la respuesta de estadoestacionario por el metodo del operador inverso, as:

yss =1

D2 + 4D + 4 1D=0

=1

4

Ahora se escribe la solucion general: y(t) = C1e2t + C2te2t + 1/4.

La primera derivada de la solucion general es: Dy(t) = 2C1e2t + C2e2t 2C2te2t.


Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

0 = C1 + 1/4

0 = 2C1 + C2Al resolver el sistema y sustituir en la solucion general, resulta la respuesta al escalonunitario, as:

ye(t) =

(1

4e2t 1

2te2t + 1/4

)u(t)

2. La respuesta al impulso unitario, conocida como respuesta natural del sistema, se de-termina como la derivada de la respuesta al escalon y se representa como: h(t) =(te2t)u(t).

3. Usando dsolve de Matlab, se tiene:

Matlab:


>> y = 1/4 - t/(2*exp(2*t)) - 1/(4*exp(2*t))


Matlab:

t = 0:0.001:5;

ye = 1/4 - t./(2*exp(2*t)) - 1./(4*exp(2*t));

h = t./exp(2*t);


grid on

hold on




(D2 + 2D + 5)y(t) = x(t); y(0) = 0, Dy(0) = 0


0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t

ye(t)

h(t)

Figura 2.3






(D2 + 2D + 5)y(t) = 1; y(0) = 0, Dy(0) = 0

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homogeneaasociada a partir del polinomio caracterstico L() = 2+2+5. Las races del polinomioson 1 = 1+j2, 2 = 1j2 y en consecuencia el conjunto fundamental de solucionesde la homogenea asociada es {et cos(2t), et sen(2t)}. A continuacion se determina larespuesta de estado estacionario por el metodo del operador inverso, as:

yss =1

D2 + 2D + 5 1D=0

=1

5

Ahora se escribe la solucion general: y(t) = et(C1 cos(2t) + C2 sen(2t)) + 1/4.


La primera derivada de la solucion general es: Dy(t) = et((2C1 C2) sen(2t) +(2C2 C1) cos(2t)).Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

0 = C1 + 1/5

0 = 2C2 C1Al resolver el sistema y sustituir en la solucion general, resulta la respuesta al escalonunitario, as:

ye(t) =

[et(1

5cos(2t) 1

10sen(2t)

)+

1

5

]u(t)


h(t) =

(1

2et sen(2t)

)u(t)


Matlab:


>> y = 1/5 - sin(2*t)/(10*exp(t)) - cos(2*t)/(5*exp(t))


Matlab:

t = 0:0.001:5;

ye = 1/5 - sin(2*t)./(10*exp(t)) - cos(2*t)./(5*exp(t));

h = (1/2)*sin(2*t).*exp(-t);


grid on

hold on




0 1 2 3 4 50.1

0

0.1

0.2

0.3

t

ye(t)

h(t)

Figura 2.4

Ejemplo 2.4. Un sistema lineal invariante de tercer orden, inicialmente en reposo, esta re-gido por la ecuacion diferencial:

(D3 + 3D2 + 4D + 2)y(t) = x(t)






(D3 + 3D2 + 4D + 2)y(t) = 1; y(0) = 0, Dy(0) = 0, D2y(0) = 0

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homogeneaasociada a partir del polinomio caracterstico L() = 3 + 32 + 4 + 2. Las races delpolinomio son 1 = 1 + j1, 2 = 1 j1, 3 = 1 y en consecuencia el conjuntofundamental de soluciones de la homogenea asociada es {et cos(t), et sen(t), et}. A


continuacion se determina la respuesta de estado estacionario por el metodo del operadorinverso, as:

yss =1

D3 + 3D2 + 4D + 2 1D=0

=1

2

Ahora se escribe la solucion general:

y(t) = et(C1 cos(t) + C2 sen(t)) + C3et + 1/2

La primera derivada de la solucion general es:

Dy(t) = et((C1 C2) sen(t) + (C2 C1) cos(t)) C3et

La segunda derivada de la solucion general es:

D2y(t) = et(2C2 sen(t) + 2C1 cos(t)) + C3et

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

0 = C1 + C3 + 1/2

0 = C2 C1 C30 = 2C1 + C3

Al resolver el sistema y sustituir en la solucion general, resulta la respuesta al escalonunitario, as:

ye(t) =

[et(

1

2cos(t) 1

2sen(t)

) et + 1

2

]u(t)


h(t) =1

2et(1 cos(t))u(t)


Matlab:

y = dsolve(D3y = 1-1*y-4*Dy-3*D2y,...

y(0) = 0, Dy(0) = 0, D2y(0) = 0)

>> y = cos(t)/(2*exp(t)) - 1/exp(t) - sin(t)/(2*exp(t)) + 1/2

2.4. RESPUESTA ANTE CUALQUIER EXCITACION: LA INTEGRAL DE CONVOLUCION57


Matlab:

t = 0:0.001:5;

ye = cos(t)./(2.*exp(t))-1./exp(t)-sin(t)./(2.*exp(t))+1/2;

h = (1-cos(t)).*exp(-t);


grid on

hold on



0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

ye(t)

h(t)

Figura 2.5

2.4. Respuesta ante cualquier excitacion: La integral de

convolucion

De acuerdo con lo estudiado previamente en el curso, la respuesta de un sistema ante unaexcitacion x(t) cualquiera es la integral de convolucion entre la excitacion y la respuestanatural del sistema h(t) (Respuesta al impulso):

y(t) = h(t) x(t) = t0

h(t)x(t )d = t0

h(t )x(t)d


Ejemplo 2.5. La respuesta natural de un sistema lineal invariante viene dada por:

h(t) = (1 et)u(t)1. Determine la respuesta al escalon unitario.

2. Determine la respuesta a la excitacion x(t) = etu(t).

3. Determine la respuesta a la excitacion x(t) = cos(t)u(t).

Solucion:1. Puesto que la respuesta al escalon unitario es la integral de la respuesta natural, se

tiene:

ye(t) =

[ t0

(1 ex)dx]u(t)

= (t+ et 1)u(t)

2. Se aplica la integral de convolucion, as:

y(t) = h(t) x(t) =[ 1

0

(1 ez)e(tz)dz]u(t)

=

[et 10

(ez 1)dz]u(t)

Es conveniente usar Matlab para hacer la integral, as:

Matlab:

f = (1-exp(-x))*exp(-t+x)

>> f = (1-exp(-x))*exp(-t+x)

y = int(f,0,t)

>> y = 1 - t/exp(t) - 1/exp(t)

dando como resultado:y(t) = (1 et tet)u(t)



y(t) = h(t) x(t) =[ t

0

(1 ez) cos(t z)dz]u(t)

=1

2

(et + sen(t) cos(t))u(t)

La integal ha sido calculada utilizando Matlab, as:

Matlab:

f = (1-exp(-x))*cos(t-x)

>> f = (1-exp(-x))*cos(t-x)

y = int(f,0,t)

>> y = 1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2

Puesto que la convolucion es conmutativa, tambien puede procederse de la siguientemanera:

Matlab:

f = (1-exp(-t+x))*cos(x)

>> f =(1-exp(-t+x))*cos(x)

y = int(f,0,t)

>> y = 1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2

Ejemplo 2.6. La respuesta natural de un sistema lineal invariante viene dada por:

h(t) = sen(t)u(t)


2. Determine la respuesta a la excitacion x(t) = etu(t).


3. Determine la respuesta a la excitacion x(t) = cos(t)u(t).

Solucion:1. Puesto que la respuesta al escalon unitario es la integral de la respuesta natural, se

tiene:

ye(t) =

[ t0

sen(x)dx

]u(t)

= (cos(t) 1)u(t)


y(t) = h(t) x(t) =[ t

0

sen(z)e(tz)dz]u(t)

= et[ t

0

ez sen(z)dz

]u(t)

=1

2

(et + sen(t) cos(t))u(t)

La integral ha sido calculada usando Matlab, as:

Matlab:

f = exp(x-t)*sin(x)

>> f = exp(x-t)*sin(x)

y = int(f,0,t)

>> y = 1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2


y(t) = h(t) x(t) =[ t

0

sen(z) cos(t z)dz]u(t)

Es conveniente usar Matlab para hacer la integral, as:


Matlab:

f = cos(t-x)*sin(x)

>> f = cos(t-x)*sin(x)

y = int(f,0,t)

>> y = (t*sin(t))/2

es decir:

y =t sen(t)

2

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capitulos 1 y 2