Upload
dawrindc22
View
277
Download
14
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Capitulo9 Sears Exercicios Gabarito
Citation preview
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
1
Questes
Q9.1 Quando uma fta de vdeo ou de udio
rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola
mais rpida no final do rebobinamento?
Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo
deve ser perfeitamente rgido para que todos os pontos do
corpo girem com a mesma velocidade angular e com a
mesma acelerao angular? Explique.
Q9.3 Qual a diferena entre a acelerao
tangencial e a acelerao radial de um ponto em um
corpo que gira?
Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente
possuem a mesma velocidade escalar linear v. O mdulo
da acelerao linear a tambm o mesmo para todos os
pontos ao longo da corrente? Qual a relao existente
entre a acelerao angular das duas rodas dentadas?
Explique.
Q9.5 Na Figura 9.11, qual a relao entre a
acelerao radial de um ponto sobre o dente de uma das
rodas e a acelerao radial de um ponto sobre o dente da
outra roda dentada? Explique o raciocnio que voc usou
para responder a essa pergunta.
Q9.6 Um volante gira com velocidade angular
constante. Um ponto de sua periferia possui acelerao
tangencial? Possui acelerao radial? Essas aceleraes
possuem um mdulo constante? Possuem direo
constante? Explique o raciocnio usado em cada caso.
Q9.7 Qual o objetivo do ciclo de rotao da
mquina de lavar roupa? Explique em termos dos
componentes da acelerao.
Q9.8 Embora a velocidade angular e a acelerao
angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento
angular , apesar de possuir mdulo e sentido, no considerado um vetor. Isso porque o ngulo 1 no segue as regras da lei comutativa da adio vetorial (Equao (l
.4)). Prove essa afirmao do seguinte modo. Coloque um
dicionrio apoiado horizontalmente sobre a mesa sua
frente, com a parte superior voltada para voc de modo que
voc possa ler o ttulo do dicionrio. Gire a aresta mais
afastada de voc a 90 em torno de um eixo horizontal.
Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a
aresta esquerda 90 se aproximando de voc em torno de
um eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de 1. A lombada do dicionrio deve ficar de frente para voc, c
voc poder ler as palavras impressas na lombada. Agora
repita as duas rotaes de 90, porm em ordem inversa.
Voc obtm o mesmo resultado ou no? Ou seja, 2 + 1 igual a 2 + 1,? Agora repita a experincia porm com um ngulo de l cm vez de 90. Voc acha que um
deslocamento infinitesimal d obedece lei comutativa da
adio e, portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua
resposta seja afirmativa, como voc relaciona a direo e o
sentido de d com a direo e o sentido de tu?
Q9.9 Voc consegue imaginar um corpo que
possua o mesmo momento de inrcia para todos os eixos
possveis? Em caso afirmativo, fornea um exemplo e, se
sua resposta for negativa. explique por que isso seria
impossvel. Voc pode imaginar um corpo que possua o
mesmo momento de inrcia em relao a todos os eixos
passando em um ponto especfico? Caso isso seja possvel,
fornea um exemplo e diga onde o ponto deve estar
localizado.
Q9.10 Para maximizar o momento de inrcia de
um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma
e como sua massa deve ser distribuda? Explique.
Q9.11 Como voc poderia determinar
experimentalmente o momento de inrcia de um corpo de
forma irregular em relao a um dado eixo?
Q9.12 Um corpo cilndrico possui massa M e raio
R. Pode sua massa ser distribuda ao longo do corpo de tal
modo que seu momento de inrcia em relao ao seu eixo
de simetria seja maior do que AW2? Explique.
Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2
poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte
(d).
Q9.14 O momento de inrcia I de um corpo rgido
em relao a um eixo que passa em seu centro de massa
Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I
seja menor do que Icm? Explique.
Q9.15 Para que as relaes de / fornecidas nas
partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam vlidas, necessrio
que a barra tenha uma seo rota circular? Existe alguma
restrio sobre a rea da seo reta para que essas relaes
sejam vlidas? Explique.
Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da
placa deve ser menor que a para que a expresso de I possa
ser aplicada. Porm, na parte (c), a expresso se aplica para
qualquer espessura da placa. Explique.
Q9.17 Na Figura 5.26a use as expresses
21
2K m v e 2
1
2K I para calcular a energia
cintica da caixa (considerando-a uma partcula nica).
Compare os dois resultados obtidos. Explique esses
resultados.
Q9.18 A Equao (9.18) mostra que devemos
usar ycm para calcular U de um corpo com uma distribuio
de massas contnua. Porm no Exemplo 9.9 (Seo 9.5). y
no foi medido em relao ao centro de massa mas, sim, a
partir do ponto inferior da massa pendurada. Isso est
errado? Explique.
Q9.19 Qualquer unidade de ngulo radiano, grau ou revoluo pode ser usada em alguma equao do Captulo 9, porm somente ngulos em radianos podem
ser usados em outras. Identifique as equaes para as quais
o uso do ngulo em radianos obrigatrio e aquelas para
as quais voc pode usar qualquer unidade de ngulo, e diga
o raciocnio que foi usado por voc em cada caso.
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
2
SEO 9.2 VELOCIDADE ANGULAR ACELERAO ANGULAR
9.1 (a) Calcule o ngulo em radianos subtendido por
um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma
circunferncia de raio igual a 2.50 m. Qual esse ngulo em
graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende
um ngulo de 128 em um crculo. Qual o raio da
circunferncia desse crculo? (c) E de 0.700 rad o ngulo
entre dois raios de um crculo de raio igual a 1.50 m. Qual o
comprimento do arco sobre a circunferncia desse crculo
compreendido entre esses dois raios?
9.2 A hlice de um avio gira a 1900 rev/min. (a)
Calcule a velocidade angular da hlice em rad/s. (b) Quantos
segundos a hlice leva para girar a 35?
9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2
(Seo 9.2).
(a) Calcule a acelerao angular instantnea para t =
3.5 s. Explique porque seu resultado igual acelerao
angular mdia para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.
(b) Calcule a velocidade angular instantnea para t =
3.5 s. Explique por que seu resultado no igual velocidade
angular mdia para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5
s corresponda ao valor mdio desse intervalo de tempo.
9.4 As lminas de um ventilador giram com
velocidade angular dada por 2t t , onde = 5.00 rad/s e = 0.800 rad/s2. (a) Calcule a acelerao angular em funo do
tempo,
(b) Calcule a acelerao angular instantnea a para t
= 3.00 s e a acelerao angular mdia med para o intervalo de tempo t = 0 at t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem
ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que so
diferentes?
9.5 Uma criana est empurrando um carrossel. O
deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de
acordo com a relao 3t t t , onde = 0.400 rad/s e = 0.0120 rad/s2. (a) Calcule a velocidade angular do carrossel em
funo do tempo,
(b) Qual o valor da velocidade angular inicial?
(c) Calcule o valor da velocidade angular instantnea
para t = 5.00 s e a velocidade angular mdia med para o intervalo de tempo de t = 0 at t = 5.00 s. Mostre que med no igual a mdia das velocidades angulares para t = 0 at t
= 5.00 s e explique a razo dessa diferena.
9.6 Para t = 0 a corrente de um motor eltrico de
corrente contnua (de) invertida, produzindo um
deslocamento angular do eixo do motor dado por
2 32 3250 20 1.50t rad s t rad s t rad s t . (a) Em que instante a velocidade angular do eixo do
motor se anula?
(b) Calcule a acelerao angular no instante em que a
velocidade angular do eixo do motor igual a zero.
(c) Quantas revolues foram feitas pelo eixo do
motor desde o instante em que a corrente foi invertida at o
momento em que a velocidade angular se anulou?
(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor
para t = 0, quando a corrente foi invertida?
(e) Calcule a velocidade angular mdia no intervalo
de tempo desde t = 0 at o instante calculado no item (a).
9.7 O ngulo descrito por uma roda de bicicleta
girando dado por 2 3t a b t c t onde a, b e c so constante reais so constantes positivas tais que se t for dado
em segundos, deve ser medido em radianos. (a) Calcule a acelerao angular da roda em funo
do tempo.
(b) Em que instante a velocidade angular instantnea
da roda no est variando?
SEO 9.3 ROTAO COM ACELERAO ANGULAR
CONSTANTE
9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade
angular de 1.50 rad/s.
(a) Se sua acelerao angular constante e igual a
0.300 rad/s, qual sua velocidade angular para t = 2.50 s?
(b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t =
t = 2.50 s?
9.9 Um ventilador eltrico desligado, e sua
velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min
at 200 rev/min em 4.00 s.
(a) Ache a acelerao angular em rev/se o nmero
de revolues feitas no intervalo de 4.00 s.
(b) Supondo que a acelerao angular calculada no
item (a) permanea constante. durante quantos segundos a
mais a roda continuar a girar at parar?
9.10 (a) Deduza a Equao (9.12) combinando a
Equao (9.7) com a Equao (9.11) para eliminar t.
(b) A velocidade angular da hlice de um avio
cresce de 12.0 rad/s at 16.0 rad/s quando ela sofre um
deslocamento angular de 7.00 rad. Qual a acelerao
angularem rad/s?
9.11 A lmina rotatria de um misturador gira com
acelerao angular constante igual a 1.50 rad/s.
(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para
atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?
(b) Qual o nmero de revolues descritas pela
rotao da lmina nesse intervalo de tempo?
9.12 Um volante leva 4.00 s para girar atravs de um
ngulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante
Final igual a 108 rad/s. Calcule
(a) a velocidade angular no incio desse intervalo de
4.00 s;
(b) a acelerao angular constante.
9.13 A roda de uma olaria gira com acelerao
angular constante igual a 2.25 rad/s. Depois de 4.00 s, o
ngulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a
velocidade angular da roda no incio do intervalo de 4.00 s?
9.14 A lmina de uma serra circular de dimetro
igual a 0.200 m comea a girar a partir do repouso. Em 6.00 s
ela se acelera com velocidade angular constante ate uma
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
3
velocidade angular igual a 140 rad/s. Calcule a acelerao
angular e o deslocamento angular total da lmina.
9.15 Um dispositivo de segurana faz a lmina de
uma serra mecnica reduzir sua velocidade angular de um
valor 1 ao repouso, completando 1.00 revoluo. Com essa mesma acelerao constante, quantas revolues seriam
necessrias para fazer a lmina parar a partir de uma
velocidade angular 2 sendo 2 = 31 ?
9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro
periferia de uma roda. Voc escurece a sala e usa uma cmara
e uma unidade estroboscpica que emite um flash a cada
0.050 s para fotografar a roda enquanto ela gira em um
sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio. Voc dispara o
estroboscpio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre
quando a fita est na horizontal voltada para a direita com
deslocamento angular igual a zero. Para as situaes descritas
a seguir, faa um desenho da foto que voc obter para a
exposio no intervalo de tempo para cinco flashes (para t =
0: 0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faa um grfico de contra t e de a contra t desde t = 0 at t = 0.200 s.
(a) A velocidade angular constante e igual a 10.0
rev/s.
(b) A roda parte do repouso com uma acelerao
angular de 25.0 rev/s.
(c) A roda est girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia
sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0
rev/s.
9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui
velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma
acelerao angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um
freio acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira
432 rad medida que pra com uma acelerao angular
constante,
(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda
desde t = 0 at o instante em que ela parou?
(b) Em que instante ela parou?
(c) Qual foi o mdulo da sua acelerao quando ela
diminua de velocidade?
9.18 (a) Deduza uma expresso para um movimento
com acelerao angular constante que fornea 0 em
funo de de e de t (no use 0 na equao), (b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de
um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de
8.0 s ela girou atravs de um ngulo de 40.0 rad. Use o
resultado da parte (a) para calcular a acelerao angular
constante da engrenagem,
(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem
para t = 0?
SEO 9.4 RELAES ENTRE A CINEMTICA ANGULAR LINEAR E A
CINEMTICA
9.19 O rotor principal de um helicptero gira em um
plano horizontal a 90.0 rev/min. A distncia entre o eixo do
rotor e a extremidade da lmina igual a 5.00 m. Calcule a
velocidade escalar da extremidade da lmina atravs do ar se
(a) o helicptero est em repouso no solo:
(b) o helicptero est subindo verticalmente a 4.00
m/s.
9.20 Um CD armazena msicas em uma
configurao codificada constituda por pequenas reentrncias
com profundidade de 10 m. Essas reentrncias so agrupadas
ao longo de uma trilha em forma de espiral orientada de
dentro para fora at a periferia do disco; o raio interno da
espiral igual a 25.0 mm e o raio externo igual a 58.0 mm.
medida que o disco gira em um CD player, a trilha
percorrida com uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.
(a) Qual a velocidade angular do CD quando a
parte mais interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a
pane mais externa est sendo percorrida?
(b) O tempo mximo para a reproduo do som de
um CD igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da
trilha desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma
trilha reta?
(c) Qual a acelerao angular mxima para esse CD
de mxima durao durante o tempo de 74.0 min? Considere
como positivo o sentido da rotao do disco.
9.21 Uma roda gira com velocidade angular
constante de 6.00 rad/s.
(a) Calcule a acelerao radial de um ponto a 0.500
m do eixo, usando a relao arad = 2r.
(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule
sua acelerao radial pela frmula arad = v2/r.
9.22 Calcule a velocidade angular necessria (em
rev/min) de uma ultracentrfuga para que a acelerao radial
de um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto ,
400000 vezes maior do que a acelerao da gravidade).
9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do
repouso e se acelera com acelerao angular constante de
0.600 rad/s2. Calcule o mdulo da acelerao tangencial, da
acelerao radial e da acelerao resultante de um ponto da
periferia do volante
(a) no incio:
(b) depois de ele ter girado um ngulo de 60.0;
(c) depois de ele ter girado um ngulo de 120.0.
9.24 Um ventilador de teto cujas lminas possuem
dimetro de 0.750 m est girando em torno de um eixo fixo
com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A
acelerao angular igual a 0.900 rev/s2.
(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.
(b) Quantas revolues foram feitas pela lmina
durante esse intervalo de tempo?
(c) Qual a velocidade tangencial de um ponto na
extremidade da lmina para t = 0.200 s?
(d) Qual o mdulo da acelerao resultante de um
ponto na extremidade da lmina para t = 0.200 s?
9.25 Uma propaganda afirma que uma centrfuga
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
4
precisa somente de 0.127 m para produzir uma acelerao
radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessrio
dessa centrfuga. A afirmao da propaganda vivel?
9.26 (a) Deduza uma equao para a acelerao
radial que inclua v e mas no inclua r. (b) Voc est projetando um carrossel para o qual um
ponto da periferia possui uma acelerao radial igual a 0.500
m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui
mdulo igual a 2.00 m/s. Qual a velocidade angular
necessria para se atingir esses valores?
9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um
buraco com dimetro igual a 12.7 mm na madeira, no plstico
ou no alumnio, o manual do fabricante recomenda uma
velocidade de operao igual a 1250 rev/min. Para uma broca
com um dimetro de 12.7 mm girando com uma velocidade
constante igual a 1250 rev/min, calcule
(a) a velocidade linear mxima de qualquer ponto da
broca;
(b) a acelerao radial mxima de qualquer ponto da
broca.
9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma
roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial
igual a 50.0 m/s quando a roda est freando com uma
acelerao tangencial constante com mdulo igual a 10.0
m/s2.
(a) Calcule a acelerao angular constante da roda.
(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e
t = 0.
(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda
entre t = 0 e t = 3.00 s?
(d) Em qual instante a acelerao radial toma-se
igual a g?
9.29 Os ciclos de rotao de uma mquina de lavar
possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640
rev/min. O dimetro interno do tambor igual a 0.470 m.
(a) Qual a razo entre a fora radial mxima sobre
a roupa, quando a velocidade angular mxima, e a fora
radial, quando a velocidade angular mnima?
(b) Qual a razo da velocidade tangencial mxima
da roupa quando a velocidade angular mxima e quando a
velocidade angular mnima?
(c) Calcule, em funo de g a velocidade tangencial
mxima da roupa e a acelerao radial mxima.
SEO 9.5 ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAO
9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m,
esto presos s extremidades e ao centro de uma barra leve de
comprimento igual a L. Calcule o momento de inrcia do
sistema em relao a um eixo perpendicular barra passando
em um ponto situado a do comprimento a partir de uma das
extremidades da barra. Despreze o momento de inrcia da
barra leve.
9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro
metlico de massa M e comprimento L. Cada extremidade
possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode
ser tratada com preciso como uma partcula neste problema.
Calcule o momento de inrcia da batuta em relao ao eixo
usual de rotao (perpendicular batuta e passando pelo seu
centro).
9.32 Calcule o momento de inrcia em relao a cada
um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de
dimetro, 1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg.
Use as frmulas da Tabela 9.2.
(a) Em relao a um eixo perpendicular barra e
passando pelo seu centro,
(b) Em relao a um eixo perpendicular barra e
passando em uma de suas extremidades,
(c) Em relao a um eixo longitudinal passando pelo
centro da barra.
9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas
massas puntiformes com massa de 0.200 kg, esto dispostas
nos vrtices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e
conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento
de inrcia do sistema em relao a um eixo
(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu
centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);
(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado
(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);
(c) passando pelo centro da esfera superior da
esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e atravs
do ponto O.
0.400 m 0.200 kg
A B
O
Figura 9.21 Exerccio 9.33.
9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos
todas as dimenses de um objeto por um fator de escala/, sua
massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento
de inrcia ficar multiplicado por qual fator? b) Sabendo que
um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia
cintica relacional de 2,5 J, qual ser a energia cintica do
objeto sem nenhuma reduo de escala feito com o mesmo
material e girando com a mesma velocidade angular?
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
5
9.35 Uma roda de carroa feita como indicado na
Figura 9.22. O raio da roda igual a 0,300 m e o aro possui
massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios,
distribudos ao longo de dimetros, possuem comprimento de
0.300 m e massa igual a 0.280 kg. Qual o momento de
inrcia da roda em relao a um eixo perpendicular ao plano
da roda e passando pelo seu centro? (Use as frmulas
indicadas na Tabela 9.2.)
FIGURA 9.22 Exerccio 9.35.
9.36 Uma hlice de avio possui massa de 117 kg e
comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A
hlice est girando a 2400 rev/min em relao a um eixo que
passa pelo seu centro,
(a) Qual sua energia cintica rotacional? Considere
a hlice como uma barra delgada,
(b) Supondo que ela no gire, de que altura ela
deveria ser largada em queda livre para que adquirisse a
mesma energia cintica?
9.37 (a) Mostre que as unidades de 21
2I so
equivalentes s unidades de joule. Explique por que a unidade
"rad" no precisa ser includa nessas unidades,
(b) Geralmente w expresso em rev/min em vez de
rad/s. Escreva uma expresso para a energia cintica
rotacional de forma que se / for expresso em kg . m2 e for
expresso em rev/min, a energia cintica ser expressa em
joules.
9.38 O prato de discos de um fongrafo antigo
possui energia cintica igual a 0.0250 J quando gira com 45,0
rev/min. Qual o momento de inrcia do prato do fongrafo
em relao ao eixo de rotao?
9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer
uma energia cintica igual a 500 J quando sua velocidade
angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual o
momento de inrcia necessrio'?
9.40 Uma corda leve e flexvel enrolada diversas
vezes em tomo da periferia de uma casca cilndrica com raio
de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em
tomo de um eixo horizontal fixo. O cilindro ligado ao eixo
por meio de raios com momentos de inrcia desprezveis. O
cilindro est inicialmente em repouso. A extremidade livre da
corda puxada com uma fora constante P at uma distncia
de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a
6.00 m/s. Sabendo que a corda no desliza sobre o cilindro,
qual o valor de P?
9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de
70.0 kg que possui forma de um disco macio uniforme com
raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a acelerao
radial mxima de um ponto na sua periferia igual a 3500
m/s. Qual a energia cintica mxima que pode ser
armazenada no volante?
9.42 Suponha que o cilindro macio do dispositivo
descrito no Exemplo 9.9 (Seo 9.5) seja substitudo por uma
casca cilndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa
M. O cilindro ligado ao eixo por meio de raios com
momentos de inrcia desprezveis.
(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no
instante em que ela atinge o solo.
(b) A resposta encontrada no item (a) igual, maior
ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua
resposta usando conceitos de energia.
9.43 Taxa de perda da energia cintica. Um corpo
rgido com momento de inrcia I gira uma vez a cada T
segundos. A velocidade de rotao est diminuindo, de modo
que dT/dt > 0.
(a) Expresse a energia cintica da rotao do corpo
em termos de I e de T.
(b) Expresse a taxa de variao da energia cintica da
rotao do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.
(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m. Qual a
energia cintica do volante quando o perodo de rotao
igual a 1.5 s?
(d). Qual a taxa de variao da energia cintica do
volante na parte (c) quando o perodo de rotao igual a 1.5
s e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?
9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento
e massa igual a 3.00 kg est presa ao teto de um ginsio e a
outra extremidade est quase tocando o solo. Qual a
variao da energia potencial gravitacional se a corda
terminar esticada sobre o solo (sem espiras)?
9.45 Centro de massa de um objeto com massa
distribuda. Qual o trabalho realizado por um lutador para
elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg at uma
distncia vertical igual a 0.700 m?
SEO 9.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
9.46 Calcule o momento de inrcia de um aro (um
anel fino) de raio R e massa M em relao a um eixo
perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.
9.47 Em relao qual eixo uma esfera uniforme de
madeira leve possui o mesmo momento de inrcia de uma
casca cilndrica de chumbo de mesma massa e raio em
relao a um dimetro?
9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
que os momentos de inrcia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2
so coerentes.
9.49 Uma placa metlica fina de massa M tem forma
retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos
para determinar seu momento de inrcia em relao a um
eixo perpendicular ao plano da placa passando por um dos
seus vrtices.
9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
6
(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inrcia em relao a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e paralelo ao eixo indicado na figura,
(b) Ache o momento de inrcia da placa em relao a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).
*SEO 9.7 CLCULOS DE MOMENTO DE INRCIA
*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e
informaes da Tabela 9.2, ache o momento de inrcia da
barra delgada de massa M e comprimento L indicado na
Figura 9.18 em relao a um eixo passando pelo ponto O
situado a uma distncia arbitrria h de uma de suas
extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no
Exemplo 9.12 (Seo 9.7).
*9.52 Use a Equao (9.20) para calcular o momento
de inrcia de um disco macio, uniforme, de raio R e massa
M em relao a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo seu centro.
*9.53 Use a Equao (9.20) para calcular o momento
de inrcia de uma barra delgada de massa M e comprimento L
em relao a um eixo perpendicular barra e passando pela
sua
extremidade.
*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui
massa por unidade de comprimento variando a partir da
extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx =
x, onde constante com unidades de kg/m,
(a) Calcule a massa total da barra em termos de e de L.
(b) Use a Equao (9.20) para calcular o momento de
inrcia da barra em relao a um eixo perpendicular barra e
passando pela sua extremidade esquerda. Use a relao
encontrada na parte (a) para obter a expresso de / em termos
de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido
para uma barra delgada uniforme? Explique essa
comparao,
(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo
passando pela extremidade direita da barra. Como seu
resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?
Explique esse resultado.
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
7
PROBLEMAS
9.55 Faa um desenho de uma roda situada no plano do
papel e girando no sentido anti-horrio. Escolha um ponto
sobre a circunferncia e desenhe um vetor r
ligando o centro
com esse ponto,
(a) Qual a direo e o sentido do vetor
?
(b) Mostre que a velocidade desse ponto dada por
v r
.
(c) Mostre que a acelerao radial desse ponto dada por
rad rada v a r
(Veja o Exerccio 9.26.)
9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e
gira em torno de um eixo fixo com acelerao angular
constante, a acelerao radial de um ponto do objeto
diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,
(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando
a acelerao resultante fez um ngulo de 36.9 com a direo
radial inicial?
9.57 O rolo de uma impressora gira um ngulo:
2 3t t t = 3.20 rad/s2 e = 0,500 rad/s3. (a) Calcule a velocidade angular do rolo em funo do
tempo,
(b) Calcule a acelerao angular do rolo em funo do
tempo,
(c) Qual a velocidade angular positiva mxima, e para
qual valor de t isso ocorre?
*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira
com acelerao angular t t , onde = 1.80 rad/s2 e = 0.25 rad/s. Ela est em repouso para t = 0.
(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular
em funo do tempo.
(b) Calcule a velocidade angular positiva mxima e o
deslocamento angular positivo mximo da roda. {Sugesto:
Veja a Seo 2.7.}
9.59 Quando um carrinho de brinquedo atritado contra o
piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui
massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de
inrcia igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento
igual a 15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de
escala do carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de
escala a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de
escala dado pela razo entre o comprimento de um carro real e
o comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro
real de comprimento igual a 3.0 m.
(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve
ser a velocidade de translao efetiva do carrinho?
(b) Supondo que toda a energia cintica inicialmente
acumulada no volante possa ser convertida em energia cintica
de translao do carrinho, qual foi a energia cintica
inicialmente acumulada no volante?
(c) Qual ser a velocidade angular inicial necessria para
que o volante tenha a quantidade de energia cintica acumulada
no item (b)?
9.60 Um automvel clssico Chevrolet Corvette 1957 com
1240 kg parte do repouso e acelera com acelerao tangencial
constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com
raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partcula,
(a) Qual sua acelerao angular?
(b) Qual sua velocidade angular 6.00 s depois do incio?
(c) Qual sua acelerao radial nesse instante?
(d) Faa um esboo de uma vista de topo mostrando a pista
circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor
acelerao 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,
(e) Qual o mdulo da acelerao resultante e da fora
resultante sobre o carro nesse instante?
(f) Qual o ngulo formado entre a velocidade do carro
nesse instante e a acelerao resultante e entre a velocidade e a
fora resultante?
9.61 O volante de uma prensa de perfurao possui
momento de inrcia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O
volante fornece toda a energia necessria para a rpida
operao de perfurao.
(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a
velocidade do volante se reduz devido a uma repentina
operao de perfurao que necessita de 4000 J de trabalho,
(b) Qual deve ser a potncia (em watts) fornecida ao
volante para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00
s?
9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com
massa igual a 40.0 g, est preso extremidade livre de um fio
de 2.50 m preso ao teto. O bolinho puxado horizontalmente
at formar um ngulo de 36.9 com a vertical e a seguir
libertado,
(a) Qual deve ser o mdulo, a direo e o sentido da
velocidade angular do bolinho na primeira vez que a acelerao
angular se anula?
(b) Qual o segundo instante em que t = 0?
(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual o
mdulo, a direo e o sentido da acelerao radial do bolinho?
(d) Mostre que a resposta da parte (c) no depende do
comprimento do fio.
9.63 A correia de uma mquina de lavar a vcuo
enrolada ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma
roda de raio igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o
eixo e a roda semelhante ao descrito na Figura 9.11
envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta. O
motor faz o eixo girar com 60.0 rev/s e a correia faz a roda
girar, que por sua vez est ligada a um outro eixo que empurra
a sujeira para fora do tapete que est sendo lavado a vcuo.
Suponha que a correia no deslize nem sobre o eixo nem sobre
a roda.
(a) Qual a velocidade de um ponto sobre a correia?
(b) Qual a velocidade angular da roda em rad/s?
9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450
rev/min. Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma
segunda polia com metade do dimetro atravs de uma correia
V. Uma serra circular de dimetro igual a 0.208 m est
montada sobre o mesmo eixo da segunda polia,
(a) O operador no cuidadoso, e a lmina lana para trs
um pequeno pedao de madeira. A velocidade do pedao de
madeira igual velocidade tangencial na periferia da lmina.
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
8
Qual essa velocidade?
(b) Calcule a acelerao radial nos pontos sobre a periferia
da lmina para entender por que o p da madeira serrada no
fica grudado em seus dentes.
9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma
acelerao angular constante enquanto gira em tomo de um
eixo fixo passando em seu centro,
(a) Mostre que a variao do mdulo da acelerao radial
de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo
igual ao dobro do produto da acelerao angular vezes o
deslocamento angular e vezes a distncia perpendicular do
ponto ao eixo.
(b) A acelerao radial de um ponto sobre a roda situado a
uma distncia de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0
m/s2 para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad.
Calcule a acelerao tangencial desse ponto,
(c) Mostre que a variao da energia cintica da roda
durante qualquer intervalo de tempo igual ao produto do
momento de inrcia da roda em relao ao eixo vezes a
acelerao angular e vezes o deslocamento angular,
(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad
mencionado na parte (b), a energia cintica da roda cresce de
20.0 J para 45.0 J. Qual o momento de inrcia da roda em
relao ao eixo de rotao?
9.66 Os trs objetos uniformes indicados na Figura 9.23
possuem a mesma massa m. O objeto A um cilindro macio
de raio R. O objeto B uma casca cilndrica de raio R objeto C
um cubo macio cuja aresta igual a 2R. O eixo de rotao
de cada objeto perpendicular respectiva base e passa pelo
centro de massa do objeto.
(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inrcia?
Explique,
(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inrcia?
Explique,
(c) Como voc compara esses resultados com o momento
de inrcia de uma esfera macia uniforme de massa m e raio R
em relao a um eixo de rotao ao longo de um dimetro da
esfera? Explique. 2R
2R
A B
2R
C
Figura 9.23 Problema 9.66.
9.67 A Terra, que no uma esfera uniforme, possui
momento de inrcia igual a 0.3308MR2 em relao a um eixo
ligando o plo norte ao plo sul. O tempo para a Terra
completar um giro igual a 86164 s. Use o Apndice F para
calcular
(a) a energia cintica da Terra oriunda do movimento
de rotao em tomo desse eixo e
(b) a energia cintica da Terra oriunda do movimento
orbital da Terra em tomo do Sol.
(c) Explique como o valor do momento de inrcia da
Terra nos informa que a massa da Terra est mais concentrada
perto do seu centro.
9.68 Um disco macio uniforme de massa m e raio R
est apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.
Um pequeno objeto de massa w est colado na periferia do
disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno
objeto situado na extremidade de um raio horizontal, ache a
velocidade angular quando o pequeno objeto estiver
verticalmente embaixo do eixo.
9.69 Uma rgua de um metro e massa igual a 0.160 kg
possui um piv em uma de suas extremidades de modo que ela
pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A rgua
mantida em uma posio horizontal e a seguir libertada.
Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule
(a) a variao da energia potencial gravitacional
ocorrida;
(b) a velocidade angular da rgua;
(c) a velocidade linear na extremidade da rgua oposta
ao eixo.
(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade
de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do
repouso.
9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexvel de
massa m enrolada na periferia de um cilindro uniforme
macio de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em
tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das
extremidades da corda est presa ao cilindro. O cilindro
comea a girar com velocidade angular . Depois de uma revoluo, a corda se desenrolou e nesse instante ela est
pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a
velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da
extremidade inferior da corda nesse instante. Despreze a
espessura da corda. {Sugesto: Use a Equao (9.18).}
9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e
momento de inrcia I. A corda no desliza sobre a polia e esta
gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cintico
entre o bloco A e o topo da mesa C. O sistema libertado a partir do repouso, e o bloco B comea a descer. O bloco A
possui massa mA e o bloco B possui massa mB. Use mtodos de
conservao da energia para calcular a velocidade do bloco B
em funo da distncia d que ele desceu.
FIGURA 9.24 - Problema 9.71.
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
9
9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160
m e momento de inrcia 0.480 kg.m2. A corda no desliza
sobre a periferia da polia. Use mtodos de conservao da
energia para calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no
momento em que ele atinge o solo.
4,00 kg
5,00 m
2.00 kg
FIGURA 9.25 - Problema 9.72.
9.73 Voc pendura um aro fino de raio R em um prego
na periferia do aro. Voc o desloca lateralmente at um ngulo
a partir de sua posio de equilbrio e a seguir o liberta. Qual sua velocidade angular quando ele retoma para sua posio de
equilbrio? (Sugesto: Use a Equao (9.18).)
9.74 Um nibus de passageiro em Zurique, na Sua,
usa sua potncia motora oriunda da energia acumulada em um
volante grande. Utilizando-se de energia da rede eltrica, a roda
colocada em movimento periodicamente quando o nibus
para em uma estao. O volante um cilindro macio de massa
igual a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular
mxima igual a 3000 rev/min.
(a) Para essa velocidade angular, qual a energia
cintica do volante?
(b) Se a potncia mdia necessria para operar o
nibus for igual a 1.86.104 W, qual a distncia mxima que
ele pode se mover entre duas paradas?
9.75 Dois discos metlicos, um com raio R1 = 2.50 cm
e massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa
M2 = 1.60 kg, so soldados juntos e montados em um eixo sem
atrito passando pelo centro comum (Figura 9.26).
(a) Qual o momento de inrcia dos dois discos?
(b) Um fio fino enrolado na periferia do disco
menor, e um bloco de l ,50 kg suspenso pela extremidade
livre do fio. Se o bloco libertado do repouso a uma distncia
de 2.00 m acima do solo, qual sua velocidade quando ele
atinge o solo?
(c) Repita o clculo da parte (b), agora supondo que o
fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois
casos a velocidade do bloco maior? Explique por que isso
deve ser assim.
9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9
(Seo 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de
borracha, de modo que nenhuma energia mecnica perdida
quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro no
estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do
repouso a uma altura h acima do solo, at que altura essa massa
atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois
de colidir com o solo?
(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta
da parte (a) menor do que h.
9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.
Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um
ponto situado a uma distncia RH do centro do disco,
(a) Calcule o momento de inrcia do disco com o
buraco em de inrcia do disco que foi retirado do disco
macio.)
(b) Calcule o momento de inrcia do disco com o
buraco em relao a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo centro do buraco.
9.78 Um pndulo constitudo por uma esfera
uniforme macia com massa M e raio R suspensa pela
extremidade de uma haste leve. A distncia entre o ponto de
suspenso na extremidade superior da haste e o centro da esfera
igual a L. O momento de inrcia do pndulo 1^ para uma
rotao em torno do ponto de suspenso geralmente
aproximado como ML2,
(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
que se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezvel, Ip
ser somente 0.1 % maior do que ML2.
(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de
L, qual ser a razo entre Ihaste em relao a um eixo passando
pelo piv e ML2?
9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere
um corpo rgido constitudo por uma placa plana fina de forma
arbitrria. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e
imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no
exterior do corpo. Seja Ix, o momento de inrcia em relao ao
eixo Ox, Iy o momento de inrcia em relao ao eixo Oy e I0 o
momento de inrcia do corpo em relao a um eixo
perpendicular ao plano e passando pelo ponto 0.
(a) Considerando elementos de massa mi, com
coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relao o
teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O no
precisa ser o centro de massa,
(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1,
e raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para
achar o momento de inrcia em relao a um eixo situado no
plano da arruela e que passa atravs de seu centro. Voc pode
usar as informaes da Tabela 9.2.
(c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o
momento de inrcia de uma placa fina quadrada de massa M e
lado L em relao a qualquer eixo situado no plano da placa e
que passa atravs de seu centro igual a ML2/12. Voc pode
usar as informaes da Tabela 9.2.
9.80 Uma haste uniforme fina dobrada em forma de
um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o
momento de inrcia em relao a um eixo situado no plano do
quadrado e que passa atravs de seu centro. (Sugesto: Use o
teorema dos eixos paralelos.)
*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma
densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, = r, onde uma constante positiva, a) Calcule o momento de inrcia do cilindro em relao a um eixo longitudinal que passa
atravs de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta
Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori
10
maior ou menor do que o momento de inrcia de um cilindro
com mesma massa e mesmo raio porm com densidade
constante? Explique qualitativamente por que esse resultado
faz sentido.
9.82 Estrelas de nutrons e restos de supemovas. A
nebulosa do Caranguejo uma nuvem de gs luminoso que
possui uma extenso de 10 anos-luz, localizada a uma distncia
aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).
So os restos de uma exploso de uma supernova, observada da
Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta
energia com uma taxa aproximada de
R2 R1
m = 1.50 kg
FIGURA 9.26 - Problema 9.75.
PROBLEMAS DESAFIADORES
Figura 9.27 Problema 9.82
R
9.83 O momento de inrcia de uma esfera com
densidade constante em relao a um eixo que passa atravs de
seu centro dado por 2MR2/5 = 0.400MR
2. Observaes feitas
por satlites mostram que o momento de inrcia da Terra
dado por 0.3308MR2. Os dados geofsicos sugerem que a Terra
constituda basicamente de cinco regies: o ncleo central
(de r = 0 a r= 1220 km) com densidade mdia igual a 12.900
kg/m o ncleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com
densidade mdia igual a 10900 kg/m , o manto inferior (de r =
3480 km a r = 5700 km) com densidade mdia igual a 4900
kg/m o manto superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com
densidade mdia igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos
(de r = 6350 km a r = 6370 km) com densidade mdia igual a
2400 kg/m.
(a) Mostre que o momento de inrcia de uma esfera
oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante
dado por:
5 52 18
15I R R
(Sugesto: Forme a esfera oca pela superposio de
uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com densidade -).
(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa
da Terra,
(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento
de inrcia da Terra em termos de MR2.
*9.84 Determine o momento de inrcia de um cone
macio uniforme em relao a um eixo que passa atravs de
seu centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O
raio do crculo da sua base igual a R.
h
Eixo
Figura 9.28 Problema 9.84
9.85 Em um CD, a msica codificada em uma
configurao de minsculas reentrncias dispostas ao longo de
uma trilha que avana formando uma espiral do interior
periferia do disco. medida que o disco gira no interior de um
CD player, a trilha varrida com velocidade linear constante
= 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta medida que o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar
quando o CD est girando. (Veja o Exerccio 9.20.) Vamos ver
qual a acelerao angular necessria para manter v constante.
A equao de uma espiral dada por:
0r r , onde r0 o raio da espiral para = 0 e uma constante. Em um CD, r0 o raio interno da trilha espiral. Considerando
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
como positivo o sentido da rotao do CD, deve ser positivo, de modo que r e acrescem medida que o disco gira.
(a) Quando o disco gira atravs de um pequeno
ngulo d, a distncia varrida ao longo da trilha ds = r d. Usando a expresso anterior para r(), integre ds para calcular a distncia total s varrida ao longo da trilha em funo do
ngulo total descrito pela rotao do disco. (b) Como a trilha varrida com velocidade linear
constante v, a distncia total s encontrada na parte (a) igual a
vt. Use esse resultado para achar 0em funo do tempo.
Existem duas solues para ; escolha a positiva e explique por que devemos escolher essa soluo.
c) Use essa expresso de (t) para determinar a velocidade angular e a acelerao angular em funo do tempo. O valor de constante?
(d) Em um CD, o raio interno da trilha igual a 25.0
mm, o raio da trilha cresce 1.55m em cada volta e o tempo de durao igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de ache o nmero total de voltas feitas durante o tempo total da
reproduo do som.
(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),
faa um grfico de (em rad/s) contra t e um grfico de (em rad/s
2) contra t desde t = 0 at t = 74.0 min.
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
Gabarito Exerccios mpares Exerccio Gabarito
9.1 (a) 0.600rad (b) 6.27 cm (c) 1.05 m
9.3 (a) 42 rad/s (b) 74 rad/s
9.5 (a) 2( ) 0.4 0.036t t (b) 0.4
rad/s (c) = 1.30 rad/s, rad = 0.700
rad/s
9.7 (a) (t) = 2b-6ct (b) b/3c
9.9 (a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev
(b) 2.67 s.
9.11 (a) 24s (b) 68.8rev
9.13 10.5rad/s
9.15 9.00 rev
9.17 (a) 540 rad
(b) 12.3s (c) -8.17 rad/s
9.19 (a) 3.60m s (b) 43.7m s
9.21
(a) 218.0rada m s
(b) 23.00 , 18.0radv m s a m s
9.23
(a) 2 20.180 ,0,0.180m s m s
(b) 2 2 20.180 ,0.377 ,0.418m s m s m s
(c) 2 2 20.180 ,0.754 ,0.775m s m s m s
9.25 10.7 cm; no
9.27
(a) 0.831m s (b) 109 m/s
9.29
(a) 2.29
(b) 1.51
(c) 3 215.7 ,1.06 10 108m s m s g .
9.31 (M/12+m/2)L2
9.33
(a) 20.064kg m
(b) 20.032kg m
(c) 20.032kg m
9.35 20.193kg m
9.37 (b) K = I/1800
9.39 20.600kg m 9.41 47.35 10 J
9.43
(a) 2 22K I T
(b) 2 34dK dt I T dT dt (c) 70J
(d) 0.56 J s
9.45 75 kg
9.47 Um eixo paralelo e a uma distncia
2 15 R do centro da esfera
Exerccio Gabarito
9.49
2 21
3M a b
9.51
2 21
3 33
M L Lh h
9.53 21
3ML
9.57 (a) 26.4 1.5t t (b) 6.4 3 t
(c) 6.83 para 2.13mx rad s t s 9.59 (a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652
rad/s
9.61 (a) 211 rev/s. (b) 800 W
9.63 (a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s
9.65 (b) 2.00 m/s (d) 0.208 kg.m
9.67 (a) 292.14 10 J
(b) 332.66 10 J
9.69
(a) 0.784J (b) 5.42rad s
(c) 5.42m s (d) velocidade da partcula:
4.43m s
9.71 22 B C A A Bgd m m m m I R
9.73 1 cosg R
9.75 (a) 3 22.25 10 kg m (b) 3.40m s
(c) 4.95m s
9.77 (a) 2247 512 MR (b)
2383 512 MR 9.79
(b) 2 21 1 24 M R R
9.81 (a) 23
5MR (b)maior.
9.83 (b) 245.97 10 kg (b) 20.334MR
9.85
(a)
2
02
s r
(b) 2
0 0
12r v t r
(c)
2
322 20
0
2 2
v v
r v t r v t
(d) 40 2.50 , 0.247 ,2.13 10r cm m rad rev
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
Gabarito Exerccios Pares resolvidos Cortesia: Editora Pearson
9-2: (a)./199
60
min12
min1900 srad
srev
radx
rev
(b)(35 x rad/180)/(199 rad/s) = 3.07 x 10-3 s.
9-4: (a) .)/60.1(2)( 3 tsradtdt
dwt
(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s2
,/40.20.3
/00.5/20.2
0.3
)0()0.3( 2srads
sradsrad
s
save
o qual to grande (em, mdulo) quanto a acelerao para
t = 3.0 s.
9-6: =(250 rad/s) (40.0 rad/s2)t (4.50 rad/s3)t2, = -(40.0 rad/s
2) (9.00 rad/s3)t.
(a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equao quadrtica em t; o nico valor de tempo positivo para o qual = 0 t = 4.23 s. (b) At t = 4.23 s, = -78.1 rad/s2.
(c) At t = 4.23 s, = 586 rad = 93.3 rev.
(d) At t = 0, = 250 rad/s.
(e)ave = ./13823.4
586srad
s
rad
9-8: (a) 0 t 21.50 / (0.300 / )(2.50 ) 2.25 /rad s rad s s rad s
(b) 2
0 1/ 2t t
2 21(1.50 / )(2.50 ) (0.300 / )(2.50 )2
rad s s rad s s
4.69rad 9-10: (a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:
.0
t
Reescrevendo a Eq. (9-11) como:
)
2
1(
00tt
e substituindo t
encontramos:
,2
1
2)(
1
)(2
1
2
0
2
0
0
00
0
0
a qual quando re-agrupada resulta na Eq. (9-
12).
(b) = (1/2)(1/)(2 - )20 = (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0
rad/s)2 (12.0 rad/s)2) = 8 rad/s2.
9-12: (a) A velocidade angular mdia :
,/5.4000.4
162srad
s
rad
e portanto a velocidade angular inicial :
./27,2002
sradave
(b) ./8.3300.4
)/27(/108 2srads
sradsrad
t
9-14: Da Eq. (9-7), com
./33.2300.6
/140,0 2
0srad
s
srad
t
O ngulo mais facilmente encontrado de :
.420)00.6)(/70( radssradtave
9-16: A seguinte tabela d as revolues e o ngulo atravs dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e
em trs situaes distintas:
Os grficos de e so os seguintes: (a)
(b)
(c)
9-18: (a) A Equao (9-7) resolvida para 0 = - t, resultando em:
.2
1,
2
2
0ttort
ave
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
(b) ./125.02 22
sradtt
(c) ./5.5 sradt
9-20: (a)
,/55.21100.58
25.1,/0.50
100.25
/25.133
sradmx
msrad
mx
sm
ou 21.6 rad/s , para trs algarismos significativos.
(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.
(c)./1041.6
min)/60min)(0.74(
/55.21/0.50 23 sradxs
sradsrad
9-22: De ,2rrad
,/1025.11050.2
/80.9000,400 42
2
sradxmx
smx
r
qual (1.25 x 104 rad/s)
.min/1020.160min/1
2/1 5 revxs
radrev
9-24: (a) = 0 +t = 0.250 rev/s + (0.900 rev/s
2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e so
dados em termos das revolues, no necessrio converter
para radianos).
(b) ondat = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev. (c) Aqui, a converso para radianos deve ser realizada para que
se possa utilizar a Eq. (9-13), ento
./01.1)/2/430.0(2
750.0smrevradxsrev
mrv
(d) Combinando as Equaes (9-14) e (9-15),
./46.3
))375.0)(/2/900.0((
))375.0()/2/430.0((
)()(
2
2
122
24
2222
tan
2
sm
mrevradxsrev
mrevradxsrev
rrrad
9-26: (a) Combinando as Equaes (9-13) e (9-15),
.22 vv
rrad
(b) Do resultado da parte (a), temos:
./250.0/00.2
/500.0 2srad
sm
sm
v
rad
9-28: (a) 22
tan /0.50200.0
/0.10srad
m
sm
r
(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e ,/250
200.0
/0.50srad
sm
r
v
e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 3.00 s) = 80.0 m/s,
ento = 400 rad/s. (c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.
(d) ./40.1)200.0)(/80.9( 2 smmsmrvrad
Esta
velocidade ser alcanada em um tempo de:
ssm
smsm86.4
/0.10
/40.1/0.502
aps t = 3.00 s, ou para t = 7.86
s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes
clculos )
9-30: A distncia das massas relativo ao eixo so: 3
, ,4 4 4
L L Le e portanto da Eq. (9-16), o momento de inrcia :
.16
11
4
3
44
2
222
mLL
mL
mL
mI
9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes
maior que a sua largura, ento a mesma pode ser considerada
como sendo uma vara fina
(a) Da Tabela (9-2(a)),
.1088.7)50.1)(042.0(12
1
12
1 2322 mkgxmkgMLI
(b) Da Tabela (9-2(b)),
.1015.3)50.1)(042.0(3
1
3
1 2222 mkgxmkgMLI
(b) Para esta vara fina o momento de inrcia relativo ao seu
eixo obtido considerando-a como um cilindro slido e, da
Tabela (9-2(f)),
.1073.4)105.1)(042.0(2
1
2
1 28232 mkgxmxkgMRI
9-34: (a) Na expresso da Eq. (9-16), cad termo ter a massa
multiplicada por f 3 e a distncia multiplicada por f, e ento o
momento de inrcia multiplicado por f 3(f)
2 = f
5.
(b) (2.5)(48)5 = 6.37 x 10
8.
9-36: (a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),
.103.1min/60
/2
min2400)08.2)(117(
24
1
12
1
2
1 62
222 Jxs
revradx
revmkgmLK
(b) De mgy = K,
.16.11016.1)/80.9)(117(
)103.1( 32
6
kmmxsmkg
Jx
mg
Ky
9-38: Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:
.1025.2
)min/
/
60
2min/45(
)025.0(22 23
22
mkgx
rev
sradxrev
JKI
9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro PL, onde L o
comprimento da corda.Combinando as Equaes (9-17), (9-13)
e a expresso para I , ver Tabela (9-2(g)), temos: 2 2
2
2
1 1 (40.0 )(6.00 / )14.7 .
2 2 2(9.80 / )(5.00 )
w w v N m sPL v P N
g g L m s m
9-42: (a) Com I = MR2, a expresso para v :
./1
2
mM
ghv
Esta expresso menor que aquela para um cilindro slido. A
maior parte da massa est concentrada na sua borda, ento,
para uma dada velocidade, a energia cintica do cilindro
maior. Uma grande parte da energia potencial convertida
para energia cintica do cilindro, e portanto, uma quantidade
menor est disponvel para a massa em queda .
9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da
corda, ento a variao na energia potencial gravitacional :
.147)0.10)(/80.9)(00.3(2
1
2
1 2 JmsmkgmgL
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R
2 , ento IP = 2MR
2.
9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se
encontrar o momento de inrcia de uma corda fina relativo ao
eixo atravs de sua extremidade e perpendicular a corda,
temos:
.3212
2
2
22 LML
MLM
MdIIcmP
9-50: (a) 2
12
1MaI
(b) 2
12
1MbI
9-52: A anlise idntica aquela do Exemplo 9-13, com o
limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo
igual a R, e a massa .2LpRM O resultado :
,2
1 2NRI o que est de acordo com a Tabela (9-2(f)).
9-54: Para estes caso temos dm = dx.
(a) .22
2
0
2
0
LxdxxdmM
LL
(b) 24
0
4
2
0 244)( L
MLxdxxxI
LL
Isto maior que o momento de inrcia de uma corda uniforme
de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de
massa bem maior longe do eixo que quando mais prximo
dele .
(c)
.6
12
432
2
)2(
)(
2
4
0
432
2
322
0
2
0
LM
L
xxL
xL
dxxLxxL
xdxxLI
L
L
L
Este um tero do resultado encontrado na parte (b), refletindo
o fato de que mais a massa est concentrada no final .
9-56: (a) Para uma acelerao angular constante, temos: 2
2 2 .2
rad r r
(b) Denotando como o ngulo que o vetor acelerao faz com a direo radial, e utilizando as Equaes (9-14) e (9-15),
,2
1
2tan
2
tan
r
r
r
r
rad
ento .666.09.36tan2
1
tan2
1rad
o
9-58: (a) Por integraes sucessivas das Equaes (9-
5) e (9-3),
.)/042.0()/90.0(62
.)/125.0()/80.1(2
332232
2322
tsradtsradtt
tsradtsradtt
(b) A velocidade angular positiva mxima ocorre quando =
0, ou t = ;
a velocidade angular para este tempo :
./48.6)/25.0(
)/80.1(
2
1
2
1
2 3
2222
sradsrad
srad
O deslocamento angular mximo ocorre quando ,0 para o
tempo
2t (t = 0 um ponto de inflexo e (0) no um
mximo ) e o deslocamento angular para este tempo :
.2.62)/25.0(
)/80.1(
3
2
3
22
6
2
2 3
32
2
332
radsrad
srad
9-60: (a) ./050.00.60
/00.3 22
tan sradm
sm
r
(b) ./300.0)00.6)(/05.0( 2 sradssradt
(c) ./40.5)0.60()/300.0( 222 smmsradrrad
(d)
(e)
,/18.6)/00.3()/40.5( 222222tan
2 smsmsmrad
e o mdulo da fora :
F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.
(f) arctan .9.60
00.3
40.5arctan
tan
orad
9-62: (a) A acelerao angular ser zero quando a
velocidade for um mximo, o que ocorre na parte inferior do
circulo . De consideraes de energia, a velocidade :
v = ,)cos1(22 gRgh onde o ngulo entre a vertical, livre, e
2(1 cos )
v g
R R
22(9.80 / )(1 cos36.9 ) 1.25 / .
(2.50 )
om s rad sm
(b) ser novamente igual a 0 quando a almndega passa atravs do ponto mais baixo.
(c)rad direcionada em direo ao centro, isto :
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
2
rad R 2 2(1.25 / ) (2.50 ) 3.93 / .rad rad s m m s
(d) rad = 2R = (2g/R)(1- cos )R = (2g)(1 cos ),
independente de R.
9-64: A segunda polia, com metade do dimetro da
primeira, deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta a
velocidade angular da lmina da serra
(a) (2(3450 rev/min))
./1.752
208.0
min/
/
30sm
m
rev
srad
(b) 2
rad r
2
4 2/ 0.2082(3450 / min) 5.43 10 / ,30 / min 2
rad
rad s mrev x m s
rev
ento a fora segurando a serragem sobre a lmina deveria ser
aproximadamente 500 vezes to forte quanto a gravidade .
9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:
.3
2,
2
1 222 MRIandMRIMRICBA
(a) O objeto A possui o menor momento de inrcia, pois, dos
trs objetos dados sua massa a mais concentrada prxima ao
eixo.
(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o
mais distante do eixo.
(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como
possuindo o menor quantidade de momento de inrcia .
9-68: Utilizando consideraes de energia, o sistema
adquire tanto energia cintica quanto ocorre a perda em sua
energia potencial , mgR. A energia cintica :
.)(2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1 222222 mRIRmImvIK
Utilizando 2
2
1mRI e resolvendo para , obtemos:
.3
4,
3
42
R
ge
R
g
9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia
potencial gravitacional como estando no eixo, a energia
potencial inicial nula ( a corda empacotada crculos tendo o
eixo como centro ). Quando a corda desenrolada seu centro
de massa est a uma distncia de R abaixo do eixo. O comprimento da corda 2R e metade desta distncia a posio do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda
est se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , ento a velocidade da corda R (a parte superior final da corda possui a mesma velocidade tangencial que a borda do
cilindro). Da conservao de energia, e utilizando I = (1/2)MR2
para um cilindro uniforme , temos:
.2424
222
0
2 RmgRmM
RmM
Resolvendo para , temos:
,)2(
)/4(20
mM
Rmg
e a velocidade em qualquer parte da corda :
v = R.
9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou
em energia cintica :
K = (4.00 kg 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J. Em termos da velocidade comum dos blocos, a
energia cintica do sistema :
.4.12)160.0(
)480.0(00.200.4
2
1
2
1)(
2
1
2
2
2
2
2
2
21
kgvm
mkgkgkgv
R
vIvmmK
Resolvendo para v, temos:
./81.24.12
0.98sm
kg
Jv
9-74: (a)
.1000.2
min/
/
60
2min/3000)90.0)(1000(
2
1
2
1
2
1
7
2
2
2
Jx
rev
sradxrevmkg
IK
(b) ,1075
1086.1
1000.24
7
sWx
Jx
P
K
ave
o qual aproximadamente 18 min.
9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia perdida, a
altura de recuo h est relacionada com a velocidade v por:
h = ,2
2
g
v e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,
h = .2/1 mM
h
(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da
energia potencial inicial da massa transformou-se em energia
cintica do cilindro. Considerando apenas a massa, a tenso na
corda realizou trabalho sobre a massa, ento sua energia total
no conservada .
9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de
inrcia :Ip = (2/5)MR2 ML
2, e
.
5
21
2
2
L
R
ML
IP
Se R = (0.05) L, a diferena (2/5)(0.05)2 = 0.001.
(b) (Irod/ML2) = (mrod/3M), o qual 0.33% quando
mrod = (0.01) M.
9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa ,4
M e
o momento de inrcia de cada lado, relativo a um eixo
perpendicular ao lado e atravs do seu centro :
.48412
1 22 MaaM
Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inrcia de
cada lado relativo ao eixo atravs do centro do quadrado :
.32448
222 MaaMMa
9-82: (a) Do Exerccio 9-43, a taxa de perda de energia :
;4
3
2
dt
dT
T
I resolvendo para o momento de
Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori
inrcia I em termos da potncia P, temos: 3
2
1
4 /
PTI
dT dt
31 338 2
2 13
(5 10 )(0.0331 ) 11.09 10 .
4 4.22 10
x W s sI x kg m
x s
(b)5
2
IR
M
38 23
30
5(1.08 10 )9.9 10 10 .
2(1.4)(1.99) 10 )
x kg mR x m km
x kg
(c) .103.6/109.1)0331.0(
)109.9(22 363
cxsmxs
mx
T
R
(d) ,/109.6)3/4(
317
3mkgx
R
M
V
M
o qual muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14
ordens de grandeza, sendo comparvel a densidade de massa
nuclear .
9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo
9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo
vertical ), temos:
.2
,)( 44
4
2
2
2
dzzh
RdIanddzz
h
Rdm
h
Rzzr
Ento,
.10
1][
102
4
0
5
4
4
4
04
4
hRzh
Rdzz
h
RdII h
h
O volume de um cone circular :
,3
1 2hRV e sua massa : ,
3
1 2hR e portanto:
.10
3
310
3 222
MRRhR
I