Capítulo08 - Analisis Dinamico de Edificios

Análisis Estático y Dinámico de Estructuras Tomás Guendelman Capítulo 8: Análisis Dinámico de Edificios

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Capítulo 8: Análisis Dinámico de Edificios

ECUACION DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( )trGrrCr g&&&&& κΜ−=Κ++Μ

{ }r : vector de desplazamientos relativos. Se supondrá que corresponde a

traslaciones según x (u), según y (v) y rotaciones en planta de las losas de los pisos (θ)

{ }r : se organiza en la forma siguiente :

{ }r u u u v v vn n n

Τ = 1 2 1 2 1 2L L Lθ θ θ los pisos se enumeran de arriba hacia abajo.

( )&&r tg : registro de aceleraciones sísmicas en la base de la estructura.

[ ]Μ : matriz de masas del edificio. [ ]C : matriz de amortiguamiento viscoso equivalente. [ ]Κ : matriz de rigidez del edificio. { }Gκ : matriz de transformación de desplazamientos para sismo en dirección ″κ″.

{ }Gx = 1 1 1 0 0 0 0 0 0L L L Τ

{ }Gy = 0 0 0 1 1 1 0 0 0L L L Τ


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METODO DE SUPERPOSICION MODAL

− transformación de coordenadas: { } [ ] [ ]r = Φ η se acepta ortogonalidad entre [M], [C], [K] con [Φ]. { }η : vector de coordenadas normales.

[ ]Φ : matriz modal del sistema no amortiguado.

{ }{ }{ } { }[ ]n321 φφφφ L

n : número de grados de libertad.

Ecuación diferencial para la coordenada normal ″i″

{ } [ ]{ } ( )trG1

2 gki*i

iefi2iiiii &&&&& Μφ

Μ−=Ρ=ηω+ηωλ+η Τ

−

{ } [ ] { }Μ ΜΤ

i i i* = φ φ … masa generalizada de orden

"i" La solución de esta ecuación es:

( ) { } [ ]{ } ( ) ( ) ( ) ττ−ωτΜφωΜ

−=η τ−ωλ−

οκΤ ∫ dtsenerG

1t iD

ttgi

Di*i

iii&&

en que: λ i : Porcentaje de amortiguamiento del modo " "i con respecto al

amortiguamiento crítico.

ω i : Frecuencia natural del modo ″i″.

ω Di : Frecuencia amortiguada del modo ( )" "i i i= −ω λ1 2


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VALORES MAXIMOS

Conforme a lo estudiado para los sistemas de 1 grado de libertad se tiene:

{ } [ ]{ }

"x"sismopara;SG

ai*i

2i

xT

imaxxi Μω

Μφ=η −

{ } [ ] { }

"y"sismopara;SG

ai*i

2i

yimaxyi Μω

Μφ=η

Τ

−

en que Sai es la ordenada espectral de pseudo aceleraciones para el modo "i". Cálculo de la respuesta

− Desplazamientos modales

{ }ri : Contribución del modo ″i″ en {r}

− valores máximos de esta contribución: { } { }r para sismo xi x max i i x max− −= φ η ; " "

{ } { }r para sismo yi y max i i y max− −= φ η ; " "

− Solicitaciones modales

{ }Ri : Contribución del modo ″i″ al vector de solicitaciones modales. Los

valores máximos de esta contribución son: { } [ ]{ } "x";R maxxiimaxxi sismopara−− ηφΚ=

{ } [ ]{ } "y"R maxyiimaxyi sismopara;−− ηφΚ=

− Esfuerzos de cortes basales modales

Qi−κ : Contribución del modo ″i″ al esfuerzo de corte basal, para sismo en dirección κ. Los valores máximos de esta contribución son:

"x"SQ aixeqixmaxi sismopara;−− Μ=

"y"SQ aiyeqiymaxi sismopara;−− Μ=

Μ eqi −κ : Masa equivalente modo ″i″, dirección κ .


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Desarrollando las ecuaciones anteriores se observa que:

( ) ( )*i

2

n2,1njj,ij

yeqi*i

2

n,1jj,ij

xeqi

m

;

m

Μ

φ

=ΜΜ

φ

=Μ +=−

=−

∑∑

La suma de las masas equivalentes en cada dirección completan la masa total de la estructura. Por este motivo, al realizar un análisis con un número parcial de modos, es importante acumular masas equivalentes significativas, por ejemplo mayores al 90% de las masa total. Es habitual definir además los Factores de Participación Modal:

*i

n2,1njj,ij

yi*i

n,1jj,ij

xi

m

;

m

Μ

φ

=ΓΜ

φ

=Γ +=−

=−

∑∑

Obsérvese que si los modos están normalizados con respecto a la masa, Mi

* = 1, se cumple que:

Μ Γeqi k i k− −=* 2

− Combinación de respuesta modales según CQC

S S Sijj n

i ji n

=

==∑∑ ρ

11 ,,

( ) ( ) ( )

ρλ

λij

t

t t t t=

+ − + +

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1 1 4 1

2 3 2

2 2

donde:

S : respuesta combinada de cualquier parámetro. Si : contribución del modo i, con su signo. S j : contribución del modo j, con su signo ρij : coeficiente de acoplamiento modal t : cuociente de los períodos de los modos i y j. λ : razón de amortiguamiento con respecto al crítico. Se supone que

su valor es el mismo para todos los modos. La Norma chilena NCh433.Of96 establece un amortiguamiento modal uniforme de 5% y fija un número de modos tal que la suma de masas modales equivalentes sea mayor o igual al 90% de la masa total del edificio.


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MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO

Uno de los parámetros más inciertos en el análisis dinámico de estructuras lo constituye la expresión de la fuerza de amortiguamiento. Desde el punto de vista del planteamiento de ecuaciones de equilibrio dinámico, resulta conveniente el empleo de amortiguamiento viscoso equivalente, el que se define como aquel que es capaz de disipar la misma cantidad de energía que la que ocurre en el fenómeno físico real, independientemente de su naturaleza. Diversas formas se han atribuido a estas expresiones, entre las cuales tiene mayor difusión la debida a Caughey.

[ ] [ ] [ ][ ][ ] j

1j

1j

1 aC−

=

−∑ ΚΜΜ=l

o [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]C a a a= + + +−

1 2 31Μ Κ Κ Μ Κ L

Algunas propiedades importantes de [ ]C están contenidas en esta expresión.

i) [ ]C es simétrica ii) [ ] [ ][ ]φ φΤ C es diagonal para todo l

[ ]φ : son las formas de vibrar de la estructura no amortiguada. iii) los coeficientes a1, a2, etc., se determinan mediante un sistema de

ecuaciones que permiten satisfacer l razones de amortiguamiento. Designando [ ]Μ ,[ ]Κ y[ ]C a las matrices que resultan de las expresiones

[ ][ ][ ]φ φΤ Μ ,[ ] [ ][ ]φ φΤ Κ y [ ] [ ][ ]φ φΤ C , respectivamente, y denominando Μ i ,Κi y Ci a

las componentes de orden “i” de cada una de ellas, se obtiene: i

2ii Μω=Κ

22

ii2ii2i1i aaaC −ωΜ++ωΜ+Μ= l

lK Ci se puede expresar en la forma: iiii 2C Μωλ= , en que λi es la razón de amortiguamiento de orden i. En consecuencias,


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ω++ω+

ω=λ −32

ii2i

1i aa

a21 l

lK

Seleccionando l valores diferentes de λ, asociados a las frecuencias cuyos amortiguamientos se desea controlar, se constituye un conjunto de l ecuaciones

simultáneas, cuya solución conduce a los valores de la . Una expansión importante debida a Lord Rayleigh, coincide con la de Caughey para l = 2

[ ] [ ] [ ]C a a= +1 2Μ Κ Esta es la expresión más utilizada en aplicaciones profesionales.

MATRIZ DE MASAS EN EDIFICIOS

Con el objeto de generar la matriz de masas [ ]Μ i , parte de la matriz [ ]Μ del edificio completo, asociada a los grados de libertad de su nivel i , se hace uso del principio del trabajo virtuales. Si la masa total del nivel i se concentra en un punto cualesquiera del diafragma, y a éste le damos un desplazamiento virtual con componentes u v yi i i, θ , el trabajo virtual We producido por las fuerzas de inercia queda dado por:

[ ]

θΜ>θ<=

i

i

i

iiiie vu

vuW&&&&&&

Por otra parte, las masas distribuidas en el diafragma producen un trabajo virtual dado por:

( )W dAR i

i

= ⋅∫r rδ δ µ α β&& ,

Α

En que Ai es el área del diafragma, rδ el vector de desplazamientos virtuales en el

punto de coordenadas α β, , &&rδ las aceleraciones reales, y µ la densidad de masas,

en ese mismo punto.

Si yuv

i

i

i

rδ

θ

son geométricamente compatibles y We WR= , se determinará

una matriz de masas [ ]Μ i equivalente a las masas distribuidas en el diafragma.


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Como se observa en la figura, las ecuaciones de compatibilidad geométrica quedan dadas por:

( ) ( )rδ θ β θ α= − + +u i v ji i i i

$ $

( ) ( )&& && && $ && && $rδ θ β θ α= − + +u i v ji i i i

θi

(α,β)

xi

vi

yi

δ

ui

en que $i y $j son vectores unitarios asociados a los ejes x e y de coordenadas. Desarrollando las ecuaciones que igualan We y WR , se obtiene:

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Μ

Α Α

Α Α

Α Α Α

i

iA

iA

iA

iA

iA

iA

iA

d d

d d

d d d

i i

i i

i i i

=

−

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

µ α β βµ α β

µ α β αµ α β

βµ α β αµ α β α β µ α β

, ,

, ,

, , ,

0

0

2 2

Se puede observar que si se anulan los términos no nulos ubicados fuera de la diagonal, el origen de coordenadas corresponderá al centro de gravedad del diafragma, es decir, el punto en el que se cumple que: ( ) ( )αµ α β βµ α β, ,d di

Ai

i i

Α ΑΑ

∫ ∫= = 0


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De igual manera observamos que ( ) iA

i mdA,i

∫ =βαµ , que es la masa del nivel i.

Por su parte, la expresión ( ) ( ) iiA

22 JdA,i

=βαµβ+α∫ , representa la masa de inercia

rotacional de ese mismo nivel. En consecuencias, para el origen coordenado situado en el centro de gravedad del diafragma, la matriz de masas equivalentes es diagonal y queda dada por:

[ ]Μi

i

i

i

mm

J=

GENERALIZACIÓN PARA EL EDIFICIO COMPLETO

Para el ordenamiento de los grados de libertad dinámicos { }r del edificio en la forma: { }r u u u v v vn n n

Τ = < >1 2 1 2 1 2K K Kθ θ θ la matriz de masas del edificio completo queda dada por:

[ ]

=Μ

n

2

1

n

2

1

n

2

1

J

JJ

m

mm

m

mm

O

O

O

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