CAPITULO IV Sistemas Lineales

APUNTES DE SISTEMAS LINEALES

CAPITULO IV

ANALISIS FRECUENCIAL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

En ingeniería a lo largo de la historia se ha recurrido a la matemática y a la física para que sirvan como soporte científico de sus diferentes aplicaciones. En este caso tomamos el área de la física del sonido para comprender ciertas características de propagación de la energía. La ley de Weber-Fechner del sonido dice en pocas palabras que “el oído escucha logarítmicamente”, esto quiere decir que la intensidad del sonido es una función logarítmica de energía. Esta condición está sujeta a un valor que debe ser alcanzado para lograr audibilidad. Esta función está descrita por la ecuación:

El Neper y el decibel son unidades que miden el cambio de la intensidad sonora como resultado de un cambio de energía. Específicamente si trabajamos la unidad Neper tenemos:

[Nepers]

Y en decibeles:

[dB]

Obtenemos una constante como relación entre las dos unidades a partir de las dos últimas ecuaciones:

En ingeniería de sonido, asumiendo que un cambio en la energía sonora se asocia a un cambio directo en la potencia eléctrica, se puede escribir que:

Si remplazamos la potencia por sus respectivos equivalentes, se obtiene:

Elaborado por la Profa. Jelisaveta Budovalchew

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Por reglas de los logaritmos, se llega finalmente a:

Las funciones mas representativas en el trazo de diagramas de Bode, son:

· F1(s)= K

· F2(s)=

· F3(s)=

· F4(s)=

Con los diagramas de Bode se pueden representar cada una de estas funciones

bajo la condición que . Estas gráficas se realizan sobre papel semilogarítmico con el eje vertical representado por:

En el eje horizontal se representa la dimensión adecuada.

Considerando los términos mencionados anteriormente se puede realizar un análisis independiente de ellos.

La primera función que se debe tener es una constante:

F1(s)= K

Esta tiene una magnitud de [dB] y un ángulo de fase de cero grados.

Si la función es negativa (-K), su magnitud es [dB] y su ángulo de fase es 180 grados(o –180 grados).

En la segunda función, este término corresponde a un polo en el origen, y


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expresado en términos de frecuencia angular, es igual a:

Para generalizar cualquier función que adopte esta forma, se debe hacer un

simple reemplazo; si se considera , con carácter adimensional, entonces

.

Esta última ecuación, nos conduce a que:

De esta forma obtenemos:

Esta ecuación permite prever una variación lineal con pendiente negativa de –20 dB/Dec, y que en U=1 la grafica pasa por el valor de 0 dB. Una gráfica exacta de la función, se muestra a continuación, con U en el eje horizontal:


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El diagrama de fase, se obtiene de un sencillo análisis:

Este valor se conserva para todos los valores de U.

TERMINO

Este término representa un polo en el eje real en –b. Para esta función se cumple que:

nuevamente definimos (adimensional), para graficar en el eje horizontal y

así generalizar la gráfica para cualquier función de este tipo. La función de transferencia se puede reescribir como:


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Cuando U es muy pequeña:

Para U muy grande:

El diagrama de magnitud correspondiente está compuesto de dos líneas divididas en el punto de intersección U=1. El diagrama de fase de este tipo de funciones, implica un análisis aproximado de la función:

Para valores pequeños de U:

para valores grandes de U:

para U=1:

Con estos valores podemos hacer el diagrama de fase que se ve en la figura.


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EL TERMINO

Primero escribimos la función de una forma conveniente para el análisis:

Este término constituye un par de polos complejos conjugados. Para analizar como se grafica, primero debemos hacer algunas consideraciones previas. Si definimos los coeficientes c y d en el plano complejo, tenemos:


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Y asociamos estos valores a unas nuevas variables:

(rad/seg)

de esta forma:

si se presenta esta ecuación en términos de frecuencia angular:

si se toma , se llega a:


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cuando U es muy pequeña:

cuando U es muy grande:

El diagrama de fase se obtiene de forma similar a la sección anterior:

Supongamos un valor de U=1:

cuando U es muy pequeño:


Aquí debemos tener en cuenta que la variación curva de la grafica de ángulo de

Fase aquí expuesta, depende de los valores que tome .


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TERMINOS RECÍPROCOS

En este momento se sabe como graficar diferentes funciones que tienen polos en diferentes lugares del plano complejo. No obstante, todavía nos falta graficar funciones que contengan ceros en el plano complejo. Estas funciones resultan ser los recíprocos de las funciones estudiadas en las anteriores secciones:

·

·

·

La función de transferencia constante, no necesita ser analizada de nuevo, puesto que el recíproco de una constante es otra constante. Si se realiza el análisis respectivo de cada función de forma similar a los ya estudiados en las secciones anteriores, se obtienen respectivamente los siguientes resultados:

TERMINO

Este término corresponde a un cero en el origen, y expresado en término de


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frecuencia angular, es igual a:

para generalizar cualquier función que adopte esta forma, se debe hacer un simple reemplazo; si se considera:

con carácter adimensional.

Esta última ecuación, nos conduce a que:

De esta forma obtenemos:

Esta ecuación permite prever una variación lineal con pendiente positiva de 20 dB/Dec, y que en U=1 la grafica pasa por el valor de 0 dB. La gráfica exacta de la función, se muestra en la sección principal, con U en el eje horizontal. El diagrama de fase, se obtiene de un sencillo análisis:

Este valor se conserva para todos los valores de U.


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TERMINO

Este término representa un cero en el eje real en –b. Para esta función se cumple que:

nuevamente definimos (adimensional), para graficar en el eje horizontal y así generalizar la gráfica para cualquier función de este tipo. La función de transferencia se puede rescribir como:

Cuando U es muy pequeña:


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Para U muy grande:

El diagrama de magnitud correspondiente esta compuesto de dos líneas divididas en el punto de intersección U=1. El diagrama de fase de este tipo de funciones, implica un análisis aproximado de la función:

Para valores pequeños de U:

para valores grandes de U:

para U=1:

Con estos valores podemos hacer el diagrama de fase que se ve en la figura de la sección principal.


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TERMINO

Primero escribimos la función de una forma conveniente para el análisis:

Este término constituye un par de cero complejos conjugados. Para analizar como se grafica, recordamos los coeficientes c y d en el plano complejo:


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Y asociamos estos valores a unas nuevas variables:

(rad/seg)

de esta forma:

si se presenta esta ecuación en términos de frecuencia angular:

si se toma , se llega a:


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cuando U es muy pequeña:


el diagrama de fase se obtiene de:

Supongamos un valor de U=1:

cuando U es muy pequeño:


Aquí debemos tener en cuenta que la variación curva de la grafica de ángulo de

Fase aquí expuesta, depende de los valores que tome .


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Problemas adicionales

1. Dado el siguiente sistema de un circuito eléctrico y su grafica de bode en magnitud, Determinar C1 y C2

2. Dada la siguiente red, determine la función de trasferencia , grafique el bode en

magnitud y fase y calcule las características de estabilidad del sistema.

3. Determinar la estabilidad del siguiente sistema:


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