Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES … · Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere ... en otras circunstancias se pueden utilizar

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño

Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

I-2005 65

Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

3.1 INTRODUCCIÓN:

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones.

En otros términos, la determinación de las “Funciones Primitivas” constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales. Ejemplo 1:

Dada la siguiente ecuación diferencial:

1x2dxdy

−=

La resolución de dicha ecuación consiste en encontrar la función que, sin contener derivadas o diferenciales, sea equivalente a la expresión anterior.

Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere integrar la expresión previa, obteniéndose la siguiente función primitiva:

Cxxy 2 +−=

Donde:

C: Constante de integración arbitraria

La última expresión constituye una familia de curvas parabólicas, con eje focal paralelo al eje “y”, coincidente con la recta “x=1/2”, cuyo gráfico se presenta a continuación.



I-2005 66

La posición vertical del foco de cada parábola de la familia dibujada (también la posición vertical del vértice de las curvas especificadas) depende del valor asignado a la constante arbitraria de integración “C”.

La tabla que sirve de base para la generación del gráfico anterior se la puede elaborar en una hoja electrónica con un contenido similar al siguiente:

En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos de simple integración como el que se presentó en el ejemplo previo; alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación; en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, y en otras ocasiones se utilizarán propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales.

Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación diferencial, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento, e inclusive pueden favorecer la obtención de una representación gráfica. Problema Resuelto 1*:

Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada.

1e2y x3 += Función solución

3y3dxdy

−= Ecuación diferencial

Solución:

Calculando la primera derivada de la función solución:

x3e6dxdy

=

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.



I-2005 67

3y3dxdy

−=

3)1e2(3)e6(

y

x3dxdy

x3 −+=48476876

Simplificando:

3)3e6(e6 x3x3 −+=

33e6e6 x3x3 −+=

x3x3 e6e6 = Verificado

NOTA 1: Se ha verificado que la función es solución de la ecuación diferencial mediante derivación de la función y reemplazo de la función y su derivada en la ecuación diferencial. Al obtenerse una identidad se verifica la hipótesis del problema.

NOTA 2: Es importante notar que la función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. Cualquier valor que preceda a la expresión exponencial “e3x ” cumplirá con la ecuación diferencial, por lo que una solución general sería:

1e.Ay x3 += Función solución general

Donde:

A: Constante arbitraria

Problema Resuelto 2:


x2y = Función solución



I-2005 68

xy

2dxdy

= Ecuación diferencial

Solución:


2dxdy

=

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial:

xy

2dxdy

=

}}

x)x2(

2)2(

ydxdy

=

Simplificando:

42 =

42 ≠ No se verifica

NOTA: La función presentada no es solución de la ecuación diferencial propuesta. Problema Resuelto 3:


2xy = Función solución

xy

2dxdy


Solución:


x2dxdy

=

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial:

xy

2dxdy

=

x)x(

2)x2(2

=

Simplificando:

x2x2 = Verificado



I-2005 69

NOTA: La función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general:

2x.Ay = Función solución general

Donde:


Problema Resuelto 4*:


1xy −= Función solución

1xy

dxdy

−= Ecuación diferencial

Solución:


1dxdy

=

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.

1xy

dxdy

−=

}

1x)1x(

)1(

ydxdy

− −

=

876

Simplificando:



I-2005 70

11 = Verificado

NOTA: La función presentada no es la única que es solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general:

)1x(Ay −= Función solución general

Donde:


3.2 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Consiste en colocar, en expresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial y proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables. Problema Resuelto 5:

Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente:

01xx6x3y 23 =−−+−′

Solución:

Despejando la primera derivada de “y”:

1xx6x3y 23 ++−=′

La derivada se puede expresar como:

dxdy

y =′

Reemplazando:



I-2005 71

1xx6x3dxdy 23 ++−=

Separando las diferenciales del miembro izquierdo:

dx)1xx6x3(dy 23 ++−=

Integrando ambos miembros:

∫∫ ++−= dx)1xx6x3(dy 23

Ejecutando las integrales:

Cxx21

x36

x43

y 234 +++−=

Simplificando:

Cxx21

x2x43

y 234 +++−= Solución

Donde:


La hoja electrónica que permite graficar la función puede ser la siguiente:



I-2005 72

Verificación:

El punto de partida es la función solución:

Cxx21

x2x43

y 234 +++−=

La derivada de “y” respecto a “x” es:

1x22

x6x4

12y 23 ++−=′

Simplificando:

1xx6x3y 23 ++−=′

La ecuación diferencial original es:

01xx6x3y 23 =−−+−′

Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

01xx6x3)1xx6x3( 23

y

23 =−−+−++−

′ 444 8444 76

Simplificando:

00 = Verificado

NOTA 1: Se ha conseguido resolver la ecuación diferencial mediante su transformación en un proceso de integración. Para el efecto se han realizados manejos algébricos que permiten la separación de las variables y de sus diferenciales.

NOTA 2: La presencia de la constante de integración arbitraria dentro de la solución de la ecuación diferencial da lugar a una familia de curvas que cumplen con la ecuación diferencial. Problema Resuelto 6:


0e2y x3 =−′



I-2005 73

Solución:

Despejando la primera derivada de “y”:

x3e2y =′

La derivada se puede expresar como:

dxdy

y =′

x3e2dxdy

=


dxe2dy x3=


∫∫ = dxe2dy x3


Ce32

y x3 += Solución

Donde:


La hoja electrónica que dio origen al gráfico es:



I-2005 74

Verificación:

La función solución es:

Ce32

y x3 +=

La derivada de “y” respecto a “x” es:

x3e36

y =′

Simplificando:

x3e2y =′


0e2y x3 =−′

Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

0e2)e2( x3

y

x3 =−

′876

Simplificando:

00 = Verificado Problema Resuelto 7:

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

05x3x4y 2 =−−+′′

Solución:

Despejando la segunda derivada de “y”:

5x3x4y 2 ++−=′′



I-2005 75

La segunda derivada normalmente se la expresa como:

2

2

dx

ydy =′′

Pero la segunda derivada es también “la derivada de la primera derivada”:

dxyd

y′

=′′

Reemplazando:

5x3x4dxyd 2 ++−=

′


dx)5x3x4(yd 2 ++−=′


∫∫ ++−=′ dx)5x3x4(yd 2


123 Cx5x

23

x34

y +++−=′

Reemplazando “y′ ” por su expresión equivalente:

dxdy

y =′

123 Cx5x

23

x34

dxdy

+++−=

Separando las diferenciales:

dxCx5x23

x34

dy 123

+++−=


∫∫

+++−= dxCx5x

23

x34

dy 123


21234 CxCx

25

x63

x124

y ++++−=

Simplificando:

21234 CxCx

25

x21

x31

y ++++−= Solución



I-2005 76

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C2: Constante de integración arbitraria

Verificación:


21234 CxCx

25

x21

x31

y ++++−=

La primera derivada de “y” respecto a “x” es:

123 Cx

210

x23

x34

y +++−=′

Simplificando:

123 Cx5x

23

x34

y +++−=′

La segunda derivada de “y” es:

5x26

x3

12y 2 ++−=′′

Simplificando:

5x3x4y 2 ++−=′′


05x3x4y 2 =−−+′′

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial y simplificando se tiene:

05x3x4)5x3x4( 2

y

2 =−−+++−

′′ 44 844 76

Simplificando:

00 = Verificado

NOTA 1: La resolución de la ecuación diferencial de segundo orden ha sido transformada en un doble proceso de integración, lo que produjo 2 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un doble proceso de derivación.

NOTA 2: Con el objeto de facilitar la realización de las 2 integraciones requeridas, ejecutándolas de manera separada, la segunda derivada se expresó como “la derivada de la primera derivada”. Problema Resuelto 8:




I-2005 77

05x2x3y 2 =+−+′′

Solución:

Despejando la segunda derivada:

5x2x3y 2 −+−=′′

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada de la función:

dxyd

y′

=′′

5x2x3dxyd 2 −+−=

′


dx)5x2x3(yd 2 −+−=′


∫∫ −+−=′ dx)5x2x3(yd 2


123 Cx5x

22

x33

y +−+−=′

Simplificando:

123 Cx5xxy +−+−=′

Reemplazando “y′ ” por las diferenciales correspondientes:

123 Cx5xx

dxdy

+−+−=


dx)Cx5xx(dy 123 +−+−=


∫∫ +−+−= dx)Cx5xx(dy 123


21234 CxCx

25

x31

x41

y ++−+−= Solución

Donde:




I-2005 78

Verificación:


21234 CxCx

25

x31

x41

y ++−+−=


123 Cx

210

x33

x44

y +−+−=′

Simplificando:

123 Cx5xxy +−+−=′


5x2x3y 2 −+−=′′


05x2x3y 2 =+−+′′

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial se tiene:

05x2x3)5x2x3( 2

y

2 =+−+−+−

′′ 44 844 76

Simplificando:



07)x2(Cos3y2 =−+′′

Solución:


7)x2(Cos3y2 +−=′′

27

)x2(Cos23

y +−=′′

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada:

dxyd

y′

=′′

27

)x2(Cos23

dxyd

+−=′




I-2005 79

dx27

)x2(Cos23

yd

+−=′


∫∫

+−=′ dx

27

)x2(Cos23

yd


1Cx27

)x2(Sen43

y ++−=′


dxdy

y =′

1Cx27

)x2(Sen43

dxdy

++−=


dxCx27

)x2(Sen43

dy 1

++−=


∫∫

++−= dxCx

27

)x2(Sen43

dy 1


212 CxCx

47

)x2(Cos83

y +++= Solución

Donde:


Verificación:


212 CxCx

47

)x2(Cos83

y +++=


1Cx4

14)x2(Sen

86

y ++−=′

Simplificando:

1Cx27

)x2(Sen43

y ++−=′



I-2005 80

La segunda derivada de “y” respecto a “x” es:

27

)x2(Cos46

y +−=′′

Simplificando:

27

)x2(Cos23

y +−=′′


07)x2(Cos3y2 =−+′′


07)x2(Cos327

)x2(Cos23

2

y

=−+

+−

′′ 444 8444 76

Simplificando:

07)x2(Cos32

14)x2(Cos

26

=−+

+−

[ ] 07)x2(Cos37)x2(Cos3 =−++− 00 = Verificado



0)t3(Seny =−′′

Solución:


)t3(Seny =′′

Por la forma de las expresiones que aparecen en la ecuación diferencial, “y″ ” es la segunda derivada de “y” respecto a “t” (no es la segunda derivada de “y” respecto a “x”).

2

2

dt

ydy =′′

Pero la segunda derivada es también la derivada de la primera derivada:

dtyd

y′

=′′

Reemplazando se tiene:

)t3(Sendtyd

=′



I-2005 81


dt)t3(Senyd =′


dt)t3(Senyd ∫∫ =′


1C)t3(Cos31

y +−=′


dtdy

y =′

1C)t3(Cos31

dtdy

+−=


dtC)t3(Cos31

dy 1

+−=


∫∫

+−= dtC)t3(Cos

31

dy 1


21 CtC)t3(Sen91

y ++−= Solución

Donde:




I-2005 82

NOTA: Las curvas obtenidas son sinusoides que se desarrollan sobre ejes de referencia correspondientes a rectas en diferentes partes del plano y con inclinaciones diferentes. La posición y orientación del eje de referencia depende de los valores de las constantes “C1” y “C2”

La tabla que dio origen al gráfico es:

Verificación:


21 CtC)t3(Sen91

y ++−=

La primera derivada de “y” respecto a “t” es:

1C)t3(Cos93

y +−=′

Simplificando:

1C)t3(Cos31

y +−=′

La segunda derivada de “y” respecto a “t” es:

)t3(Sen33

y =′′

Simplificando:

)t3(Seny =′′


0)t3(Seny =−′′




I-2005 83

0)t3(Sen)t3(Seny

=−

′′48476

Simplificando:



03x12ey x =−++′′′ −

Solución:

Despejando la tercera derivada de “y”:

3x12ey x +−−=′′′ −

La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada:

dxyd

y′′

=′′′

Reemplazando:

3x12edxyd x +−−=

′′ −


dx)3x12e(yd x +−−=′′ −


∫∫ +−−=′′ − dx)3x12e(yd x


12x Cx3x

212

ey ++−=′′ −

Simplificando:

12x Cx3x6ey ++−=′′ −

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada:

dxyd

y′

=′′

Reemplazando:

12x Cx3x6e

dxyd

++−=′ −



I-2005 84


dx)Cx3x6e(yd 12x ++−=′ −


∫∫ ++−=′ − dx)Cx3x6e(yd 12x


2123x CxCx

23

x36

ey +++−−=′ −

Simplificando:

2123x CxCx

23

x2ey +++−−=′ −


dxdy

y =′

2123x CxCx

23

x2edxdy

+++−−= −


dxCxCx23

x2edy 2123x

+++−−= −


∫∫

+++−−= − dxCxCx

23

x2edy 2123x


322134x CxCx

2C

x63

x42

ey ++++−= −

Simplificando:

322134x CxCx

2C

x21

x21

ey ++++−= − Solución

Donde:

C1: Constante de integración arbitraria C2: Constante de integración arbitraria C3: Constante de integración arbitraria

Verificación:




I-2005 85

322134x CxCx

2C

x21

x21

ey ++++−= −


2123x Cx

2C2

x23

x24

ey +++−−=′ −

Simplificando:

2123x CxCx

23

x2ey +++−−=′ −


12x Cx

26

x6ey ++−=′′ −

Simplificando:

12x Cx3x6ey ++−=′′ −

La tercera derivada de “y” es:

3x12ey x +−−=′′′ −


03x12ey x =−++′′′ −

Reemplazando la tercera derivada “y″′ ” en la ecuación diferencial se tiene:

03x12e)3x12e( x

y

x =−+++−− −

′′′

−44 844 76

00 = Verificado

NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una familia de parábolas de cuarto grado más una “función exponencial amortiguada” (exponente con signo negativo) para los valores positivos de “x”.

NOTA 2: La resolución de la ecuación diferencial de tercer orden ha sido transformada en un triple proceso de integración, lo que produjo 3 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un triple proceso de derivación.

NOTA 3: Para facilitar la realización de las 3 integrales requeridas en la resolución de la ecuación diferencial, ejecutándolas por separado, la tercera derivada se expresó como “la derivada de la segunda derivada”, y la segunda derivada se describió como la “derivada de la primera derivada”. Problema Resuelto 12:




I-2005 86

yx

dxdy

=

Solución:

Separamos todas las expresiones en “x” de las expresiones en “y”:

dx.xdy.y =


∫∫ = dx.xdy.y


C2

x2

y 22+=

Agrupando las variables en un solo miembro:

C2

x2

y 22=−

Multiplicando por “2”:

C2xy 22 =−

Reemplazando “2C” por una nueva constante “k”:

kxy 22 =− Solución

NOTA: Cuando “k” tiene valor positivo, la solución es la ecuación de una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje de las “x”. Si el va lor de “k” es negativo la solución es también una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas, pero el eje focal coincide con el eje de las “y”.



I-2005 87

NOTA: En ambas circunstancias estamos hablando de una relación y no de una función, pues en el primer caso para cada valor de “x” existen 2 valores de “y” (dos puntos, en dos segmentos de curva), y en el segundo caso para cada valor de “y” existen 2 valores de “x”.

Verificación:

La solución es:

kxy 22 =−

Obteniendo diferenciales en la expresión (las reglas de diferenciación son similares a las de derivación):

0dx.x2dy.y2 =−


dx.x2dy.y2 =

Simplificando:

dx.xdy.y =

Reagrupando las diferenciales en forma de derivadas:

yx

dxdy

= Verificado

NOTA: A diferencia de los problemas anteriores en que la ecuación diferencial solo contenía una de las derivadas de la variable dependiente, pero no la variable “y”, en el presente caso, debido a la presencia simultánea de “y”, “y′ ” y alguna función de la variable independiente “x”, la verificación ha consistido en recuperar la ecuación diferencial original en base a su solución matemática. Problema Resuelto 13:




I-2005 88

xy

dxdy

=

Solución:


xdx

ydy

=


∫∫ =xdx

ydy

Ejecutando las integrales, que claramente conducen a expresiones logarítmicas por presentar en el numerador de las fracciones las derivadas (propiamente las diferenciales) de los correspondientes denominadores:

C)xln()yln( +=

Por facilidad de simplificación posterior se reemplaza la constante “C” por el logaritmo natural de otra constante (“k”), de modo que todas las expresiones sean funciones logarítmicas.

)kln()xln()yln( +=

La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto:

)x.kln()yln( =

Aplicando el antilogaritmo natural a ambos miembros:

x.ky = Solución

NOTA 1: Debido a que los procesos de integración condujeron solamente a expresiones logarítmicas, resultó conveniente reemplazar la constante de integración por el logaritmo de otra constante, pues permitió una simplificación importante de la expresión final de la solución.

NOTA 2: La solución (la función primitiva) es la ecuación de una familia de rectas que pasan por el origen y tienen una pendiente variable “k” (en Geometría Analítica la ecuación de esa familia de rectas se escribe “y=m.x”).



I-2005 89

Verificación:

La solución es:

x.ky =

Obteniendo la derivada de “y” respecto a “x”:

kdxdy

=

En la función solución se despeja “k”:

xy

k =

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:

xy

dxdy

= Verificado

NOTA 1: Mientras mayor sea la complejidad de la ecuación diferencial, más artificiosa se puede volver la verificación.

NOTA 2: En todos los casos en que aparecen variables y sus derivadas se toma como punto de partida la solución obtenida y como punto de llegada la ecuación diferencial original. Problema Resuelto 14*:


2

2

y

x1dxdy −

=

Solución:




I-2005 90

dx)x1(dy.y 22 −=


∫∫ −= dx).x1(dy.y 22


C3x

x3

y 33+−=


C3xx3y 33 +−=


0C3x3yx 33 =−−+

Reemplazando “-3C” por otra constante (“k”):

0kx3yx 33 =+−+ Solución

Donde:

k: Constante arbitraria

NOTA 1: En muchos casos es conveniente el reemplazo de constantes de integración por otras expresiones también constantes para simplificar las expresiones.

NOTA 2: La hoja electrónica es especialmente útil para encontrar valores para las constantes involucradas, de modo que los gráficos de las funciones sean representativos de la solución.

Verificación:

La solución es:

0kx3yx 33 =+−+

Derivando respecto a “x” se tiene:



I-2005 91

03dxdy

.y3x3 22 =−+

Simplificando:

01dxdy

.yx 22 =−+

Despejando la derivada:

22 x1dxdy

.y −=

Despejando la derivada:

2

2

y

x1dxdy −

= Verificado



)x(Tan).y(Secdxdy

=

Solución:

Separando las variables:

dx).x(Tan)y(Sec

dy=

Colocando las funciones trigonométricas en Senos y Cosenos:

dx)x(Cos)x(Sen

dy).y(Cos ⋅=

Integrando:

∫∫ ⋅= dx)x(Cos)x(Sen

dy).y(Cos


[ ] C)x(Cosln)y(Sen +−=


[ ] C)x(Cosln)y(Sen =+ Solución

Donde:

C: Constante arbitraria de integración



I-2005 92

NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una expresión periódica que tiene valores dentro del campo de los reales en ciertos intervalos y carece de soluciones en otros intervalos. Los intervalos en que no existe solución corresponden a aquellos valores en que el Coseno de “x” adquiere valores negativos y por consiguiente no es factible obtener su logaritmo, lo que se refleja en la hoja electrónica que se utiliza para generar los gráficos.

NOTA 2: Debido a la presencia de funciones Seno y Coseno, cuyos valores fluctúan entre “-1” y “+1”, no existe solución real para todos los valores de “C”, pues cuando “C≤-3” o “C≥+1” no existen valores reales que cumplan con la “Función Primitiva”.

Verificación:

La solución es:

[ ] C)x(Cosln)y(Sen =+

Obteniendo diferenciales de la expresión:

0dx)x(Cos)x(Sen

dy).y(Cos =⋅−

+



I-2005 93

Simplificando:

0dx)x(Cos)x(Sen

dy).y(Cos =⋅−

Pero la expresión “Sen(x)/Cos(x)” es igual a “Tan(x)”:

0dx).x(Tandy).y(Cos =−


dx).x(Tandy).y(Cos =

Agrupando las diferenciales:

)y(Cos)x(Tan

dxdy

=

Reemplazando “Cos(y)” por el inverso de “Sec(y)”:

)x(Tan).y(Secdxdy

= Verificado

NOTA: Generalmente los pasos seguidos en la resolución de la ecuación diferencial dan la pauta de los artificios requeridos para su verificación. 3.3 FACTORES Y DIVISORES DE INTEGRACIÓN:

Existen determinadas expresiones algébricas que al multiplicar o dividir a las ecuaciones diferenciales las simplifican pues facilitan la separación de variables y posibilitan su integración; tales factores o divisores se denominan factores o divisores de integración, de acuerdo al caso. Problema Resuelto 16*:


0dy)yxy(dx)xyx4( 22 =+++

Solución:

Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables:

0dy)x1(ydx)y4(x 22 =+++

Dividiendo para el producto “(4+y2).(1+x2)” constituido por las expresiones que impiden la integración directa de los 2 términos de la ecuación diferencial, que es el “divisor de integración”. El inverso de la expresión es el “factor de integración”.

0)x1).(y4(

dy)x1(ydx)y4(x22

22=

++

+++

0)x1).(y4(

dy)x1(y

)x1).(y4(

dx)y4(x22

2

22

2=

++

++

++

+



I-2005 94

Simplificando:

0y4

dy.y

x1

dx.x22

=+

++

Integrando:

Cy4

dy.y

x1

dx.x22

=+

++

∫∫


C)y4ln(21

)x1ln(21 22 =+++


C2)y4ln()x1ln( 22 =+++

Reemplazando “2C” por el logaritmo natural de “k”:

)kln()y4ln()x1ln( 22 =+++

El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

{ } )kln()y4).(x1(ln 22 =++

Aplicando el antilogaritmo a ambos miembros:

k)y4).(x1( 22 =++ Solución

Donde:

k: Constante arbitraria de integración

Verificación:

La solución es:



I-2005 95

k)y4).(x1( 22 =++

Obteniendo diferenciales de la expresión anterior:

0dx).x2).(y4(dy).y2).(x1( 22 =+++

Simplificando:

0dx).y4(xdy).x1(y 22 =+++

Efectuando los productos:

0dx).xyx4(dy).yxy( 22 =+++

Reordenando:

0dy)yxy(dx)xyx4( 22 =+++ Verificado Problema Resuelto 17*:


dy.xdx.ydy.x4 2=−

Solución:


dx.ydy.xdy.x4 2 =−

dx.ydy).xx4( 2 =−

Dividiendo para el producto “(4x-x2).y”, que es el “divisor de integración”:

y).xx4(

dx.y

y).xx4(

dy).xx4(22

2

−=

−

−

Simplificando:

2xx4

dxydy

−=

)x4(xdx

ydy

−=

Descomponiendo el miembro derecho en fracciones parciales y reemplazando:

x4B

xA

)x4(x1

−+=

−

Obteniendo denominador común en el miembro derecho:

)x4(xx.B)x4(A

)x4(x1

−+−

=−

Destruyendo paréntesis en el numerador:



I-2005 96

)x4(xx.BAxA4

)x4(x1

−+−

=−

Agrupando:

)x4(xA4)AB(x

)x4(x1

−+−

=−

Convirtiendo al numerador de la fracción izquierda en un polinomio similar al del numerador derecho.

)x4(xA4x)AB(

)x4(x1x.0

−+−

=−+

De donde, al igualar los polinomios de los numeradores de las 2 fracciones se tiene:

1A40AB

==−

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 4/1A = 4/1B =

La fracción original es equivalente a:

x44/1

x4/1

)x4(x1

−+=

−

x4

dx41

x

dx41

ydy

−+=


x4dx

xdx

ydy.4

−+=

4xdx

xdx

ydy.4

−−=

Integrando:

∫∫∫ −−=

4xdx

xdx

ydy.4


C)4xln()xln()yln(.4 +−−=

Reemplazando “C” por el “ln(k)”:

)kln()4xln()xln()yln(.4 +−−=

Agrupando los logaritmos:

−=

4xx.k

ln)yln( 4

Calculando los antilogaritmos:



I-2005 97

4xx.k

y 4−

= Solución

Donde:




0dy)yxyx2(dx)xyyx3( 43232 =++−

Solución:

Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables:

0dy)yy2(xdx)xx3(y 4232 =++−

Dividiendo para el producto “x3.y”, que es el “divisor de integración”:

0y.x

dy)yy2(xdx)xx3(y3

4232=

++−

0y.x

dy)yy2(x

y.x

dx)xx3(y3

423

3

2=

++

−

Simplificando:

0y

dy)yy2(

x

dx)xx3( 42

3

2=

++

−

0dy)yy2(x

dx)1x3( 32

=++−

Separando los componentes de la integración y simplificando:

0dy.ydy.y2x

dx

x

dx.x3 322

=++−



I-2005 98

0dy.ydy.y2dx.xxdx3 32 =++− −

Integrando:

Cdy.ydy.y2dx.xxdx.3 32 =++− ∫∫∫∫ −


C4

y2y2

1x

)xln(.3421

=++−

−−

Simplificando:

C4y

yx)xln(.34

21 =+++ −

C4

yy

x1

)xln(.34

2 =+++ Solución

Donde:


NOTA: Para graficar la solución podría resultar conveniente representarla como una ecuación de segundo grado en que la variable independiente es “y2 ”, que puede ser representada como una nueva variable “z”.

Reordenando la expresión:

Cx1

)xln(.3y4y 2

4=+++

0Cx1

)xln(.3y4y 2

4=−+++

Reemplazando la constante “-C” por una constante “k”:

0kx1

)xln(.3y4y 2

4=++++

Agrupando el término independiente de “y2 ”:

0kx1

)xln(.3y4

y 24

=

++++


0kx1

)xln(.3.4y4y 24 =

++++

Poniendo la expresión en función de “y2 ”:

[ ] [ ] 0kx1

)xln(.3.4y4y 222 =

++++

Para simplificar el procedimiento puede utilizarse la siguiente ecuación paramétrica: 2yz = o zy ±= Ecuación paramétrica para graficación

Reemplazando la ecuación paramétrica en la expresión previa:



I-2005 99

0kx1

)xln(.3.4z4z 2 =

++++

Resolviendo la ecuación de segundo grado para la variable “z” se tiene:

)1(2

kx1

)xln(.3.4)1(444

z

2

++−±−

=

Simplificando:

2

kx1

)xln(.316164z

++−±−

=

2

kx1

)xln(.31164

z

++−±−

=

Extrayendo el “16” de la expresión radical:

2

kx1

)xln(.3144z

++−±−

=

2

kx1

)xln(.3144z

−−−±−=

Simplificando:

kx1

)xln(.3122z −−−±−=

Reemplazando “z” en función de “y”: 2yz =

kx1

)xln(.3122y2 −−−±−=

Despejando “y”:

kx1

)xln(.3122y −−−±−±=

Para el valor negativo del radical interior no existen valores dentro del conjunto de los números reales por lo que la expresión para la graficación es:

kx1

)xln(.3122y −−−+−±= Solución para graficación

Un aspecto que es importante mencionar es que no siempre se podrá obtener con facilidad una representación gráfica de las funciones equivalentes a las ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera planteadas.



I-2005 100



0dy).1x(ydx).1y(x 22 =−++

Solución:

Dividiendo para “(y+1).(x-1)”, que son los factores que impiden la integración directa:

0)1x).(1y(

dy).1x(ydx).1y(x 22=

−+−++

0)1x).(1y(

dy).1x(y)1x).(1y(

dx).1y(x 22=

−+−

+−+

+

Simplificando:

01y

dy.y1x

dx.x 22=

++

−

Separando la parte entera (divisible) de la parte no divisible en las 2 fracciones:

La determinación de la parte entera polinómica y la parte fraccionaria polinómica se puede realizar mediante una sencilla división, en la que el cociente es la parte entera y el residuo dividido para el divisor es la parte fraccionaria no divisible.

)x(D )x(d .............. )x(Q )x(R

)x(d)x(R

)x(Q)x(d)x(D

+=



I-2005 101

1x

11x

1xx 2

−++=

−

2x 1x −

+− xx 2 1x + + x +− 1x + 1

1y1

1y1y

y 2

++−=

+

2y 1y +

−− yy 2 1y − − y ++ 1y + 1

Reemplazando las equivalencias se tiene:

0dy.1y

11ydx.

1x1

1x =

+

+−+

−++

Separando los componentes de la integración y simplificando:

01y

dydy).1y(

1xdx

dx).1x( =+

+−+−

++

Integrando:

C1y

dydy).1y(

1xdx

dx).1x( =+

+−+−

++ ∫∫∫∫


C)1yln(y2

y)1xln(x

2x 22

=++−+−++ Solución

Donde:


NOTA: Cuando es difícil o imposible despejar una de las variables, de modo que se pueda construir la representación gráfica de una función (como en la expresión anterior), la hoja electrónica se puede organizar de tal manera que por tanteos convergentes se llegue a una aproximación aceptable de evaluación (que la evaluación del miembro izquierdo sea muy parecida a la evaluación del miembro derecho).



I-2005 102

La tabla a través de la cual se pudo construir el gráfico anterior es:

Para cada valor de “x” se asignan diferentes valores de “y”, de modo que en las columnas “C”, “E” y “G” se evalúa el miembro izquierda de la ecuación y se procura que alcance un valor que se aproxime mucho a “200”, “500” y “1000”. Problema Resuelto 20*:


)3y(xy4

dxdy

−=

Solución:


dx.y4dy).3y(x =−

Dividiendo para “x.y”, que son los factores que impiden la integración directa:



I-2005 103

y.xdx.y4

y.xdy).3y(x

=−

Simplificando:

xdx4

ydy).3y(

=−

Separando los componentes del miembro izquierdo:

xdx4

ydy.3

ydy.y

=−

xdx4

ydy.3

dy =−

Integrando:

∫∫∫ =−xdx4

ydy.3

dy


C)xln(.4)yln(.3y +=−


)kln()xln(.4)yln(.3y +=−


)x.kln(.4)yln(.3y =− Solución

Donde:


NOTA: La solución podría tener una expresión exponencial alternativa que eventualmente podría favorecer su representación gráfica.

Introduciendo el valor “3” y el “4” como exponentes de las expresiones logarítmicas: 43 )x.kln()yln(y =−

)x.kln()yln(y 443 =− Reemplazando la constante por otra más simple:

)x.kln()yln(y 41

3 =− Agrupando las expresiones logarítmicas:

)x.kln()yln(y 41

3 += El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:

)y.x.kln(y 341=

La expresión exponencial equivalente es: 34

1y y.x.ke =

De esta expresión se podría despejar “x” y obtener una expresión de esa variable en función de “y”, lo que facilitaría la graficación.



I-2005 104

31

y4

y.k

ex =

La expresión que se puede utilizar para crear gráficos sería:

43

1

y

y.k

ex ±=

Esta expresión tiene 2 soluciones dentro del campo de los reales (cuando el argumento del radical es positivo) y 2 soluciones en el campo de los números complejos (cuando el argumento es negativo).

Problema Resue lto 21*:


0dy).x1(dx.y.x 2 =++

Solución:

Dividiendo para “y.(1+x2)”, que son los factores que impiden la integración directa:

0)x1.(y

dy).x1(dx.y.x2

2=

+

++

Separando en 2 fracciones:

0)x1.(y

dy).x1(

)x1.(y

dx.y.x2

2

2 =+

++

+

Simplificando:

0ydy

)x1(

dx.x2

=++

Integrando:



I-2005 105

0y

dy

)x1(

dx.x2

=++

∫∫


C)yln()x1ln(21 2 =++

Multiplicando por “2” y simplificando:

C2)yln(.2)x1ln( 2 =++

C2)yln()x1ln( 22 =++

Reemplazando “2C” por el “ln(k)”:

)kln()yln()x1ln( 22 =++


( ) )kln()x1.(yln 22 =+

Aplicando antilogaritmos:

k)x1.(y 22 =+ Solución

Donde:




0d.d).(Ctg =θρ+ρθ

Solución:

Dividiendo para “ρ .Ctg(θ)”:



I-2005 106

0)(Ctg.

d.d).(Ctg=

θρθρ+ρθ


0)(Ctg.

d.)(Ctg.

d).(Ctg=

θρθρ

+θρ

ρθ

Simplificando:

0)(Ctg

dd=

θθ

+ρρ

Pasando la función trigonométrica al numerador:

0d).(Tand

=θθ+ρρ

Integrando:

Cd).(Tand

=θθ+ρρ

∫∫


[ ] C)(Cosln)ln( =θ−ρ


[ ] )kln()(Cosln)ln( =θ−ρ

Pasando el logaritmo con signo negativo al miembro derecho:

[ ])(Cosln)kln()ln( θ+=ρ


[ ])(Cos.kln)ln( θ=ρ


)(Cos.k θ=ρ Solución

Donde:




I-2005 107

3.4 CAMBIO DE VARIABLES:

Un artificio empleado con bastante frecuencia en ecuaciones diferenciales es el cambio de variables, que significa la introducción de una o varias nuevas variables en función de las variables ya existentes, lo que permite la eliminación de una o algunas de las variables primarias y la simplificación de la ecuación diferencial original.

El tipo de expresiones que se utilizan en el cambio de variables depende de la forma general de las ecuaciones planteadas.

Son usuales las nuevas variables que se obtienen a partir de operaciones básicas que afectan a las variables originales, a constantes específicas, o a las derivadas de las funciones involucradas en la ecuación diferencial. 3.4.1 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Homogéneas:

Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones homogéneas del mismo orden para las 2 diferenc iales, es conveniente introducir una nueva variable tal que una de las 2 variables iniciales sea igual a la nueva variable multiplicada por la otra variable inicial. Problema Resuelto 23:


0dy.xy2dx).yx( 22 =−+

Solución:

Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan “2” (“x2 ”, “y2 ”, “x.y”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “2”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables.

La expresión para la sustitución de variables sería:

x.vy = Ecuación de cambio de variable

La expresión diferencial correspondiente es:



I-2005 108

dv.xdx.vdy +=

Reemplazando en la ecuación diferencial original se tiene:

( ) 0)dv.xdx.v).(x.v(x2dx.)x.v(x 22 =+−+

Resolviendo:

0)dv.xdx.v.(v.x2dx).v1.(x 222 =+−+

Factorando “x2 ”:

( ) 0)dv.xdx.v.(v2dx).v1(x 22 =+−+

Simplificando:

0)dv.xdx.v.(v2dx).v1( 2 =+−+


0dv.x.v2dx.v2dx).v1( 22 =−−+

0dv.x.v2dx).v1( 2 =−−

Dividiendo para el divisor de integración se tiene:

0x).v1(

dv.x.v2dx).v1(2

2=

−

−−

Simplificando:

0x).v1(

dv.x.v2

x).v1(

dx).v1(22

2=

−−

−

−

0)v1(

dv.v2xdx

2=

−−


C)v1(

dv.v2xdx

2=

−− ∫∫

C)v1(

dv.v2xdx

2=

−

−+ ∫∫

Ejecutando las integrales, que son del tipo logarítmico:

C)v1ln()xln( 2 =−+

Reemplazando la constante “C” por “ln(k)”:

)kln()v1ln()xln( 2 =−+




I-2005 109

{ } )kln()v1.(xln 2 =−

Calculando el antilogaritmo:

k)v1.(x 2 =− Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”:

xy

v =

kxy

1.x2

=

− Solución

Donde:


Para la representación gráfica es preferible utilizar la expresión en que “y” aparece despejada:

x.kxy 2 −±=

NOTA 1: Debido a la forma general de la ecuación diferencial original, que tiene factores “x2+y2” y “x.y”, la “Ecuación de Cambio de Variable” podría ser indistintamente “y=v.x” o “x=v.y”.

NOTA 2: Generalizando, las ecuaciones con funciones homogéneas en “x” y “y” pueden ser resueltas mediante cambios de variable de la forma “y=v.x” o “x=v.y”. Problema Resuelto 24*:


0dy.y.x3dx).yx( 233 =++



I-2005 110

Solución:

Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan “3” (“x3 ”, “y3 ”, “x.y2 ”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “3”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables.




dv.xdx.vdy +=

Reemplazando “y” y “dy” en la ecuación diferencial original se tiene:

( ) 0)dv.xdx.v.()x.v.(x3dx.)x.v(x 233 =+++

Resolviendo:

0)dv.xdx.v.(x.v3dx.x.vdx.x 32333 =+++

0dv.x.v3dx.x.v3dx.x.vdx.x 4233333 =+++

Factorando “x3 ”:

0)dv.x.v3dx.v3dx.vdx(x 2333 =+++

Simplificando:

0dv.x.v3dx.v3dx.vdx 233 =+++

0dv.x.v3dx.v4dx 23 =++

Agrupando de acuerdo a las diferenciales:

0dv.x.v3)dx.v4dx( 23 =++

0dv.x.v3dx).v41( 23 =++


0x).v41(

dv.x.v3dx).v41(3

23=

+

++

Simplificando:

0x).v41(

dv.x.v3

x).v41(

dx).v41(3

2

3

3=

++

+

+

0)v41(

dv.v3x

dx3

2=

++




I-2005 111

C)v41(

dv.v3x

dx3

2=

++ ∫∫


C)v41ln(41

)xln( 3 =++


C4)v41ln()xln(4 3 =++

Introduciendo el número “4” en la expresión logarítmica:

C4)v41ln()xln( 34 =++

Reemplazando la constante “4C” por “ln(k)”:

)kln()v41ln()xln( 34 =++

Agrupando logaritmos:

( ) )kln()v41.(xln 34 =+


k)v41.(x 34 =+ Solución intermedia


xy

v =

kxy

41.x3

4 =

+

Destruyendo los signos de agrupación:

kxy

.x4x3

44 =

+

kx

y.x4x

3

344 =+

Simplificando:

ky.x4x 34 =+ Solución

Donde:




I-2005 112



0dx.yxdx.ydy.x 22 =−−−

Solución:

Debido a que las potencias simplificadas de todos los componentes dan “1” (“x”, “y”,

“ 22 yx + ”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “1”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables.




dv.xdx.vdy +=


0dx.)x.v(xdx).x.v()dv.xdx.v.(x 22 =−−−+

Resolviendo:

0dx.)v1(xdx.x.vdv.xdx.v.x 222 =−−−+

0dx.v1.xdv.x 22 =−−

Factorando “x”:

0dx.v1dv.x.x 2 =

−−

Simplificando:



I-2005 113

0dx.v1dv.x 2 =−−


0v1.x

dx.v1dv.x2

2=

−

−−

Simplificando:

0v1.x

dx.v1

v1.x

dv.x2

2

2=

−

−−

−

0x

dx

v1

dv2

=−−


0x

dx

v1

dv2

=−−

∫∫


C)xln()v(Sen 1 =−−

Reemplazando la constante “C” por “ln(k)”:

)kln()xln()v(Sen 1 =−−


)kln()xln()v(Sen 1 +=−


)x.kln()v(Sen 1 =− Solución intermedia


xy

v =

)x.kln(xy

Sen 1 =

− Solución

Donde:


NOTA: Para representar gráficamente a la función se necesita calcular el Seno de las 2 expresiones.

{ })x.kln(Senxy

SenSen 1 =

−



I-2005 114

Simplificando:

{ })x.kln(Senxy

=

{ })x.kln(Sen.xy = Solución para graficación


Resolver la siguiente ecuación diferencia l:

0dy).xy(dx).y3x2( =−++

Solución:

Debido a que las potencias de todos los componentes dan “1” (“2x”, “3y”, “y”, “-x”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “1”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables.




dv.xdx.vdy +=


0)dv.xdx.v).(xx.v(dx).x.v3x2( =+−++

Agrupando las expresiones con el mismo diferencial:

0dv.x).xx.v(dx.v).xx.v(dx).x.v3x2( =−+−++

0dv).1v(xdx).x.vx.v(dx).x.v3x2( 22 =−+−++

0dv).1v(xdx).x.vx.vx.v3x2( 22 =−+−++

Simplificando:



I-2005 115

0dv).1v(xdx).x.vx.v2x2( 22 =−+++

0dv).1v(xdx).vv22.(x 22 =−+++

Dividiendo para el divisor de integración:

0x).vv22(

dv).1v(xdx).vv22.(x22

22=

++

−+++


0x).vv22(

dv).1v(x

x).vv22(

dx).vv22.(x22

2

22

2=

++

−+

++

++

Simplificando:

0vv22

dv).1v(x

dx2

=++

−+

Completando en el numerador de la segunda fracción la mitad de la derivada del denominador:

0vv22

dv).21v(x

dx2

=++

−++

Separando la segunda fracción en 2:

0vv22

dv2

vv22

dv).1v(x

dx22

=++

−++

++

0vv22

dv2

vv22

dv).2v2(.

21

xdx

22=

++−

++

++

Integrando:

Cvv22

dv2

vv22

dv).2v2(.

21

xdx

22=

++−

++

++ ∫∫∫


Cvv22

dv2)vv22ln(.

21

)xln(2

2 =++

−+++ ∫

Agrupando el denominador en un trinomio cuadrado perfecto:

C1)1v2v(

dv2)vv22ln(.

21

)xln(2

2 =+++

−+++ ∫

C1)1v(

dv2)vv22ln(.

21

)xln(2

2 =++

−+++ ∫

C)1v(Tan2)vv22ln(.21

)xln( 12 =+−+++ −

Multiplicando por 2:



I-2005 116

C2)1v(Tan4)vv22ln()xln(.2 12 =+−+++ −

Reemplazando “2C” por “k”:

k)1v(Tan4)vv22ln()xln( 122 =+−+++ −

La suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

{ } k)1v(Tan4)vv22.(xln 122 =+−++ − Solución intermedia


xy

v =

k1xy

Tan4xy

xy

22.xln 12

2 =

+−

+

+ −

Simplificando:

k1xy

Tan4x

yx

xy

x2x2ln 12

2222 =

+−

⋅+⋅+ −

{ } k1xy

Tan4yy.x2x2ln 122 =

+−++ − Solución

3.4.2 Ecuaciones Diferenciales con Relaciones Expresas entre las Variables:

Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con relaciones expresas ent re las variables puede ser conveniente introducir una nueva variable tal que refleje esas relaciones expresas. Problema Resuelto 27*:


[ ] 0dy.yx

1.e2dx.e21 )y/x()y/x( =

−++

Solución:

Debido a la presencia de expresiones de la forma “x/y”, la relación para la sustitución de variables es directamente identificable:

yx

v = o y.vx = Ecuación de cambio de variable


dv.ydy.vdx +=

Reemplazando “x” y “dx”en la ecuación diferencial original se tiene:



I-2005 117

0dy).yy.v

1(e2)dv.ydy.v).(e21( yy.v

yy.v

=−+++

Simplificando:

0dy).v1(e2)dv.ydy.v).(e21( vv =−+++

0dy.v.e2dy.e2dv.y.e2dy.v.e2dv.ydy.v vvvv =−++++

0dy.e2dv.y.e2dv.ydy.v vv =+++

Agrupando diferenciales:

0)dv.y.e2dv.y()dy.e2dy.v( vv =+++

Factorando:

0dv).y.e2y(dy).e2v( vv =+++

0dv).e21.(ydy).e2v( vv =+++

Simplificando mediante el divisor de integración:

0y).e2v(

dv).e21.(ydy).e2v(v

vv=

+

+++


0y).e2v(

dv).e21.(y

y).e2v(

dy).e2v(v

v

v

v=

+

++

+

+

Simplificando:

0e2v

dv).e21(ydy

v

v=

+

++

Integrando:

0e2v

dv).e21(y

dyv

v=

+

++ ∫∫


C)e2vln()yln( v =++

Reemplazando “C” por el logaritmo natural de “k”:

)kln()e2vln()yln( v =++

la suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

( ) )kln()e2v.(yln v =+




I-2005 118

k)e2v.(y v =+

Destruyendo el paréntesis:

ke.y2v.y v =+ Solución intermedia


yx

v =

ke.y2yx

.y )y/x( =+

Simplificando:

ke.y2x )y/x( =+ Solución

La información en la hoja electrónica que permite generar la familia de curvas se obtiene asignando valores a “x” y buscando mediante “prueba y error” los valores de “y” que permiten cumplir con la “función primitiva”.



I-2005 119



0dy)xyx(dx)yxxy1( 2322 =⋅−+⋅+−

Solución:

La ecuación de cambio de variable es:

y.xv = Ecuación de cambio de variable

Equivalente a:

xv

y =


2x

dx.vdv.xdy

−=

Reemplazando “y” y “dy”:

0x

dx.vdv.xx

xv

xdxxv

xxv

x1 223

22 =

−⋅

−

+⋅

+

−

Simplificando:

0x

dx.vdv.x)xv.x(dx)vv1(

2222 =

−⋅−+⋅+−

0x

dx.vdv.x)1v(xdx)vv1(

222 =

−⋅−+⋅+−

0)dx.vdv.x()1v(dx)vv1( 2 =−⋅−+⋅+−

Destruyendo paréntesis:

0)dx.vdv.xdx.vdv.v.x()dx.vdx.vdx( 22 =+−−++−


0)dv.xdv.v.x()dx.vdx.vdx.vdx.vdx( 22 =−++−+−

Simplificando:

0dv.x).1v()dx( =−+

Dividiendo para “x” que es el divisor de integración:

0x

dv.x).1v(dx=

−+

Separando en 2 fracciones y simplificando:



I-2005 120

0x

dv.x).1v(x

dx=

−+

0dv).1v(x

dx=−+

Integrando:

Cdv).1v(x

dx=−+ ∫∫


Cv2

v)xln(

2=−+ Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: y.xv =

C)y.x(2y.x

)xln(22

=−+ Solución



2)yx(dxdy

−=

Solución:

Separando las diferenciales de la ecuación se tiene:

dx.)yx(dy 2−=

Las expresiones que aparecen en la ecuación diferencial sugieren la siguiente transformación:



I-2005 121

yxv −= Ecuación de cambio de variable

Equivalente a: vyx +=


dvdydx +=

Reemplazando “x” y “dx” y simplificando:

[ ] )dvdy.(y)vy(dy 2 +−+=

( ) )dvdy.(yvydy 2 +−+=

)dvdy.(vdy 2 +=

Destruyendo el paréntesis:

dv.vdy.vdy 22 +=


dv.vdy.vdy 22 =−

dv.vdy).v1( 22 =−

Separando variables:

dv.v1

vdy

2

2

−=

Separando la parte entera de la parte no divisible de la fracción:

1v

v

v1

v2

2

2

2

−−=

−

1v

1)1v(

v1

v2

2

2

2

−

+−−=

−


1v

1

1v

)1v(

v1

v22

2

2

2

−−

−

−−=

−

1v

11

v1

v22

2

−−−=

−

Reemplazando en la expresión diferencial anterior:

dv.v1

vdy

2

2

−=

dv.1v

11dy 2

−−−=



I-2005 122

Factorando el denominador de la fracción:

dv.)1v).(1v(

11dy

−+

−−=

Descomponiendo en Fracciones Parciales la expresión fraccionaria:

1vB

1vA

)1v).(1v(1

−+

+=

−+−


)1v).(1v()1v.(B)1v.(A

)1v).(1v(1

−+++−

=−+

−

Destruyendo paréntesis en el numerador derecho:

)1v).(1v(Bv.BAv.A

)1v).(1v(1

−+++−

=−+

−

Agrupando:

)1v).(1v()AB(v).BA(

)1v).(1v(1

−+−++

=−+

−

Al igualar los polinomios de las 2 fracciones se tiene el siguiente par de ecuaciones:

1AB0BA−=−

=+

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 2/1A =

2/1B −= La fracción original es equivalente a:

1v2/1

1v2/1

)1v).(1v(1

−−

++

=−+

−

Reemplazando en la expresión diferencial:

dv.1v

2/11v

2/11dy

−−

++−=

Separando componentes:

dv.1v

2/1dv.

1v2/1

dvdy−

−+

+−=

1vdv

21

1vdv

21

dvdy−

⋅−+

⋅+−=

Integrando:

∫∫∫∫ −−

++−=

1vdv

21

1vdv

21

dvdy




I-2005 123

C)1vln(21

)1vln(21

vy +−−++−= Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: yxv −=

C)1yxln(21

)1yxln(21

)yx(y +−−−+−+−−= Solución

3.4.3 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Linealmente Dependientes:

Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con dependencia lineal entre las expresiones que involucran a las variables que afectan a las diferenciales, es apropiado reemplazar una de esas relaciones lineales por una nueva variable. Problema Resuelto 30*:


0dy).4y3x3(dx).yx( =−+++

Solución:

Las expresiones “x+y” y “3x+3y” (el segundo polinomio en función de las variables es un múltiplo del primero por lo que son linealmente dependientes) dejan traslucir la conveniencia de un cambio de variable del tipo:

yxv += o xvy −= Ecuación de cambio de variable


dxdvdy −=


[ ] 0)dxdv.(4)xv(3x3dx).xvx( =−−−++−+

Simplificando:

( ) 0)dxdv.(4x3v3x3dx.v =−−−++ ( ) 0)dxdv.(4v3dx.v =−−+

Reagrupando:

( ) 0dv.4v3dx).4v3v( =−++− ( ) 0dv.4v3dx).v24( =−+−

Separando variables y diferenciales de esas variables:

( )dv.v34dx).v24( −=−

Factorando el miembro izquierdo:

( )dv.v34dx).v2(2 −=−

Trasladando las expresiones en “v” al miembro derecho:



I-2005 124

dv.v2v34

dx.2

−−

=

Separando la parte entera de la parte fraccionaria:

dv.v2

2)v36(dx.2

−−−

=

dv.v2

2dv.

v2v36

dx.2−

−−

−=

dv.v2

2dv.3dx.2

−−=

Integrando:

∫∫∫ −−= dv.

v22

dv.3dx.2

C)v2ln(2v3x2 +−+=

Reemplazando “C” por el logaritmo natural de “k”:

)kln()v2ln(v3x2 2 +−+=


{ }2)v2.(k lnv3x2 −+= Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: yxv +=

{ }2)yx2.(k ln)yx(3x2 −−++=

{ }2)yx2.(k lny3x3x2 −−++=

Pasando todas las expresiones al miembro izquierdo y cambiando de signo:

{ } 0x2)yx2.(klny3x3 2 =−−−++

{ } 0)yx2.(k lny3x 2 =−−++ Solución

NOTA: Para la utilización del artificio propuesto se han comparado exclusivamente las partes que contienen las variables, dentro de los polinomios que multiplican a las diferenciales; se han ignorado los términos independientes.



I-2005 125

NOTA: La representación gráfica de la solución no es directa sino que requiere la evaluación de la función para algunos valores de la variable independiente “x”, a partir de lo cual se estima el valor aproximado de la variable dependiente “y” que le corresponda. Problema Resuelto 31:


0dy).y2x2(dx).1yx( =++−+

Solución:

Las expresiones “x+y” y “2x+2y”, donde la segunda expresión es múltiplo de la primera, determinan la siguiente transformación:

yxv += o xvy −= Ecuación de cambio de variable

Las diferenciales correspondientes son:

dxdvdy −=

Reemplazando en la ecuación diferencial las equivalencias de “y” y “dy”, en función de la nueva variable “v”, se tiene:

{ } { } 0)dxdv.()xv(2x2dx.1)xv(x =−−++−−+

Simplificando y agrupando las diferenciales:

{ } { } 0)dxdv.(x2v2x2dx.1xvx =−−++−−+

Simplificando:

0)dxdv.(v2dx).1v( =−+− 0dx.v2dv.v2dxdx.v =−+−

0dv.v2dxdx.v =+−−

Agrupando:

0dv.v2dx).1v( =++−



I-2005 126


dx).1v(dv.v2 +=


dxdv.1v

v2=

+


∫∫ =+

dxdv.1v

v2

Reemplazando la fracción de la integral izquierda por su equivalente:

∫∫ =

+− dxdv.

1v2

2


Cx)1vln(.2v2 +=+−

Trasladando “x” al miembro izquierdo:

Cx)1vln(.2v2 =−+− Cx)1vln(.2v2 =−+− Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: yxv +=

Cx)1yxln(.2)yx(2 =−++−+

Simplificando:

Cx)1yxln(.2y2x2 =−++−+ C)1yxln(.2y2x =++−+ Solución



I-2005 127

3.4.4 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Lineales Independientes no Homogéneas:

Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones lineales independientes no homogéneas es conveniente encontrar transformaciones lineales de las variables de modo que se pueda obtener una Ecuación Diferencial Equivalente con Funciones Homogéneas. Posteriormente se resuelve la ecuación como se describió en el numeral anterior.

Es importante asegurarse que las expresiones de las variables (no se toman en consideración los términos independientes) que acompañan a las 2 diferenciales no sean linealmente dependientes como en los problemas inmediatamente anteriores. Problema Resuelto 32:


0dy).2y4x2(dx).5yx( =+−+−+

Solución:

Debido a que los factores que multiplican a las diferenciales no son proporcionales en la parte que corresponde a las variables, no es posible aplicar el artificio anterior.

Por tener una ecuación lineal no homogénea es necesario transformarla en una ecuación lineal homogénea. Para encontrar las expresiones que permitan la simplificación de la ecuación diferencial se deben resolver como simultáneas las expresiones que multiplican a las diferenciales, igualadas a cero:

02y4x205yx=+−

=−+

La solución al sistema de ecuaciones es:

3x = 2y =

Las variables “x” y “y” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas que toman en consideración los valores solución del sistema de ecuaciones:

3xs −= o 3sx += Ecuación 1 de cambio de variable 2yt −= o 2ty += Ecuación 2 de cambio de variable


dsdx = dtdy =

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene:

{ } { } 0dt.2)2t(4)3s(2ds.5)2t()3s( =++−++−+++

Simplificando:

{ } { } 0dt.28t46s2ds.52t3s =+−−++−+++

{ } { } 0dt.t4s2ds.ts =−++ Ecuación diferencial intermedia 1



I-2005 128

La nueva ecuación es lineal homogénea.

La resolución del sistema de ecuaciones simultáneas, basada en los factores que afectan a las diferenciales “dx” y “dy”, es equivalente a la búsqueda de un nuevo centro de coordenadas que coincide con la intersección de las 2 rectas, por lo que luego de realizar la traslación de ejes al utilizar las nuevas variables, definidas por esa coordenada de intersección, los factores que afectan a las diferenciales carecen de términos independientes, pues las rectas que representan esos factores pasan por el nuevo eje de coordenadas.

Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo:

s.vt = o st

v = Ecuación 3 de cambio de variable


dv.sds.vdt +=

Reemplazando “t” y “dt”:

{ } { } 0)dv.sds.v.(s.v4s2ds.s.vs =+−++

Dividiendo para “s”:

0)dv.sds.v).(v42(ds).v1( =+−++

Simplificando:

0)dv.s.v4ds.v4dv.s2ds.v2()ds.vds( 2 =−−+++

Destruyendo signos de agrupación:

0dv.s.v4ds.v4dv.s2ds.v2ds.vds 2 =−−+++




I-2005 129

0)dv.s.v4dv.s2()ds.v4ds.v2ds.vds( 2 =−+−++

0dv).s.v4s2(ds).v4v2v1( 2 =−+−++

Simplificando:

0dv).v42(sds).v4v31( 2 =−+−+

Factorando:

0dv).v42(sds).v1)(v41( =−+−+

Dividiendo para “s.(1+4v).(1-v)” que es el divisor de integración:

0)v1).(v41.(s

dv).v42(sds).v1)(v41(=

−+−+−+


0)v1).(v41.(s

dv).v42(s)v1).(v41.(s

ds).v1)(v41(=

−+−

+−+

−+

0)v1).(v41(

dv).v42(s

ds=

−+−

+ Ecuación diferencial intermedia 2

Descomponiendo la segunda fracción en fracciones parciales y reemplazando:

v1B

v41A

)v1).(v41(v42

−+

+=

−+−


)v1).(v41()v41.(B)v1.(A

)v1).(v41(v42

−+++−

=−+

−

Destruyendo paréntesis en el numerador:

)v1).(v41(v.B4Bv.AA

)v1).(v41(v42

−+++−

=−+

−

Agrupando:

)v1).(v41(v).AB4()BA(

)v1).(v41(v42

−+−++

=−+

−

De donde, al igualar los polinomios de las 2 fracciones se tiene:

4AB42BA−=−

=+

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 5/2A −= 5/12B =

La fracción original es equivalente a:

v15/12

v415/2

)v1).(v41(v42

−+

+−

=−+

−

Reemplazando en la Ecuación Diferencial Intermedia 2 se tiene:



I-2005 130

0v1

dv).5/12(v41dv).5/2(

sds

=−

++

−+

0v1

dv5

12v41

dv52

sds

=−

⋅++

⋅−

Integrando:

0v1

dv5

12v41

dv52

sds

=−

⋅++

⋅− ∫∫∫


0C)v1ln(5

12)v41ln(

101

)sln( =+−−+− Solución intermedia 1

Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable:

st

v =

0Cst

1ln5

12st4

1ln101

)sln( =+

−−

+− Solución intermedia 2

Reemplazando las 2 primeras ecuaciones de cambio de variable:

3xs −= 2yt −=

0C3x2y

1ln512

3x)2y(4

1ln101

)3xln( =+

−−

−−

−−

+−− Solución



0dy).1xy4(dx).1yx( =−++−−

Solución:

La ecuación es lineal no homogénea y requiere ser transformada en una ecuación lineal homogénea. El sistema de ecuaciones simultáneas que permite esa simplificación es:

01xy401yx

=−+=−−


1x = 0y =

Las variables “x” y “y” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

1xs −= o 1sx += Ecuación 1 de cambio de variable



I-2005 131

yt = o ty = Ecuación 2 de cambio de variable


dsdx = dtdy =

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene:

{ } { } 0dt.1)1s()t(4ds.1)t()1s( =−+++−−+

Simplificando:

{ } { } 0dt.11st4ds.1t1s =−+++−−+ 0dt)st4(ds)ts( =⋅++⋅− Ecuación diferencial intermedia 1


Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo:

s.vt = o st

v = Ecuación 3 de cambio de variable


dv.sds.vdt +=


{ } { } 0)dvsdsv(s)sv(4ds)sv(s =⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−


0)dvsdsv()1v4(ds)v1( =⋅+⋅⋅++⋅−

Simplificando y destruyendo signos de agrupación:

0)dv.sds.vdv.s.v4ds.v4()ds.vds( 2 =++++−

0dv.sds.vdv.s.v4ds.v4ds.vds 2 =++++−


0)dv.sdv.s.v4()ds.vds.v4ds.vds( 2 =++++−

0dv).ss.v4(ds).vv4v1( 2 =++++−

0dv).ss.v4(ds).v41( 2 =+++

Factorando:

0dv).1v4.(sds).v41( 2 =+++

Dividiendo para “s.(1+4v2)” que es el divisor de integración:

0)v41.(s

dv).1v4.(sds).v41(2

2=

+

+++




I-2005 132

0)v41.(s

dv).1v4.(s

)v41.(s

ds).v41(22

2=

+

++

+

+

0v41

dv).1v4(sds

2=

+

++

0v41

dv

v41

dv.v4s

ds22

=+

++

+ Ecuación diferencial intermedia 2

Integrando:

0v41

dv

v41

dv.v4s

ds22

=+

++

+ ∫∫∫


0C)v.2(Tan)v41ln(21

)sln( 12 =++++ − Solución intermedia 1

Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable:

st

v =

0Cst2

Tans

t41ln

21

)sln( 12

2=+

+

++ − Solución intermedia 2

Reemplazando las 2 primeras ecuaciones de cambio de variable:

1xs −= yt =

0C1x

y2Tan

)1x(

y41ln

21

)1xln( 12

2=+

−+

−++− − Solución

NOTA: Para enfrentar la resolución de nuevas formas de ecuaciones diferenciales se busca una aproximación a esquemas cuya solución ya se conoce, a través de manejos algébricos. El cambio de variables es uno de los mecanismos más apropiados para lograr esa aproximación. 3.4.5 Ecuaciones Diferenciales No Convencionales:

Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales no convencionales es apropiado realizar reemplazos por nuevas variables que conduzcan a la simplificación de la ecuación diferencial, y permitan su aproximación hacia las formas convencionales. Problema Resuelto 34*:


0dy.y).8y2x3(dx.x).7y3x2( 2222 =−+−−+



I-2005 133

Solución:

Por la forma de las expresiones y de sus diferenciales es conveniente realizar los siguientes reemplazos de variables:

2xu = Ecuación 1 de cambio de variable 2yv = Ecuación 2 de cambio de variable


dx.x2du = dy.y2dv =

Reemplazando “x” y “y”, “dx” y “dy” en la ecuación diferencial:

02

dv).8v2u3(

2du

).7v3u2( =−+−−+


0dv).8v2u3(du).7v3u2( =−+−−+ Ecuación diferencial intermedia 1

La ecuación es lineal no homogénea y requiere ser transformada en una ecuación lineal homogénea mediante otro cambio de variables. El sistema de ecuaciones simultáneas que permite esa simplificación es:

08v2u307v3u2

=−+=−+


2u = 1v =

Las variables “u” y “v” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

2us −= o 2su += Ecuación 3 de cambio de variable 1vt −= o 1tv += Ecuación 4 de cambio de variable


dsdu = dtdv =

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial intermedia 1 se tiene:

{ } { } 0dt.8)1t(2)2s(3ds.7)1t(3)2s(2 =−+++−−+++

Simplificando:

{ } { } 0dt.82t26s3ds.73t34s2 =−+++−−+++

{ } { } 0dt.t2s3ds.t3s2 =+−+ Ecuación diferencial intermedia 2


Se requiere de un nuevo cambio de variables del siguiente tipo:



I-2005 134

s.wt = o st

w = Ecuación 5 de cambio de variable


dw.sds.wdt +=


{ } { } 0)dw.sds.w.()s.w(2s3ds.)s.w(3s2 =++−+ 0)dw.sds.w).(s.w2s3(ds).s.w3s2( =++−+

0)dw.sds.w).(w23(sds).w32(s =++−+


0)dw.sds.w).(w23(ds).w32( =++−+

Simplificando y destruyendo signos de agrupación:

0)dw.w.s2ds.w2dw.s3ds.w3()ds.w3ds2( 2 =+++−+

0dw.w.s2ds.w2dw.s3ds.w3ds.w3ds2 2 =−−−−+


0)dw.w.s2dw.s3()ds.w2ds.w3ds.w3ds2( 2 =+−−−+

0dw).w.s2s3(ds).w2w3w32( 2 =+−−−+

0dw).w23(sds).w22( 2 =+−−

Factorando:

0dw).w23(sds).w1)(w1(2 =+−+−

Dividiendo para “s.(1-w).(1+w)” que es el divisor de integración:

0)w1).(w1.(s

dw).w23.(sds).w1).(w1(2=

+−+−+−


0)w1).(w1.(s

dw).w23.(s)w1).(w1.(sds).w1).(w1(2

=+−

+−

+−+−

0)w1).(w1(

dw).w23(sds2

=+−

+−

Descomponiendo en fracciones parciales la segunda expresión:

w1B

w1A

)w1).(w1(w23

++

−=

+−−−

Obteniendo denominador común:

)w1).(w1()w1(B)w1(A

)w1).(w1(w23

+−−++

=+−

−−




I-2005 135

)w1).(w1(w.BBw.AA

)w1).(w1(w23

+−−++

=+−

−−

Agrupando en un polinomio al numerador derecho:

)w1).(w1(w).BA()BA(

)w1).(w1(w23

+−−++

=+−

−−

Igualando los polinomios de los numeradores se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

2BA3BA

−=−−=+


25

A −=

21

B −=

Reemplazando en la expresión general de las fracciones parciales se tiene:

w1B

w1A

)w1).(w1(w23

++

−=

+−−−

w121

w125

)w1).(w1(w23

+

−+

−

−=

+−−−

Reemplazando las fracciones parciales en la ecuación diferencial:

0)w1).(w1(

dw).w23(sds2

=+−

+−

0dw w1

21

dw w1

25

sds2

=⋅+

−⋅−

−

0w1

dw21

w1dw

25

sds2

=+

⋅−−

⋅− Ecuación diferencial intermedia 2

Integrando:

Cw1

dw21

w1dw

25

sds2

=+

−−

− ∫∫∫


C)w1ln(21

)w1ln(25

)sln(2 =+−−−

Pasando los logaritmos negativos al miembro derecho:

C)w1ln(21

)w1ln(25

)sln(2 +++−=


C2)w1ln()w1ln(5)sln(4 +++−=



I-2005 136

Reemplazando “2C” por el “ln(k)”:

)kln()w1ln()w1ln(5)sln(4 +++−=

Introduciendo los coeficientes en los logaritmos:

( ) ( ) )kln(w1lnw1ln)sln( 54 +++−=

Agrupando los logaritmos:

( ) ( ){ }w1.w1.kln)sln( 54 +−=

Calculando antilogaritmos:

( ) ( )w1.w1.ks 54 +−= Solución intermedia 1

Reemplazando la quinta ecuación de cambio de variable:

st

w =

+

−=

st

1.st

1.ks5

4 Solución intermedia 2

Reemplazando la tercera y la cuarta ecuaciones de cambio de variable:

2us −= 1vt −=

−−

+

−−

−=−2u1v

1.2u1v

1.k)2u(5

4 Solución intermedia 3

Reemplazando la primera y segunda ecuaciones de cambio de variable:

2xu = 2yv =

−

−+

−

−−=−

2x

1y1.

2x

1y1.k)2x(

2

25

2

242 Solución



I-2005 137

3.5 RESOLUCIÓN BASADA EN PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES:

3.5.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales Exactas:

Dada la ecuación diferencial de la forma:

0dy).y,x(Ndx).y,x(M =+

La ecuación es una diferencial exacta de una función primitiva “F(x, y)” si se cumple que:

xN

yM

∂∂

=∂∂

Cuando se menciona que la ecuación “M(x,y).dx+N(x,y).dy=0” es una diferencial exacta de una función primitiva se hace referencia al hecho de que al diferenciar la función “F(x,y)”, antes de eliminar cualquier expresión factorada, se obtiene exactamente la ecuación diferencial propuesta.

La ecuación diferencial, en función de la expresión primitiva, se puede escribir como:

0)y,x(dFdy.Ndx.M ==+

Donde “dF” es una diferencial exacta cuya solución es:

C)y,x(dF =∫ C)y,x(F =

El diferencial de la función primitiva “F” se puede calcular como:

dy.yF

dx.xF

)y,x(dF∂∂

+∂∂

=

Donde:



I-2005 138

dy).y,x(Ndx).y,x(Mdy.yF

dx.xF

)y,x(dF +=∂∂

+∂∂

=

Claramente se puede determinar que:

dx).y,x(Mdx.xF

=∂∂

De donde:

)y(dx).y,x(M)y,x(F x φ+= ∫

Donde:

∫x : Integración respecto a “x” tratando a “y” como constante

φ(y): Constante de integración respecto a “x”.

Obteniendo la derivada parcial de la expresión anterior, respecto a “y”:

)y,x(Ndyd

dx).y,x(Myy

F x =φ

+

∂∂

=∂∂

∫

)y,x(N)y(dx).y,x(Myy

F x =φ′+

∂∂

=∂∂

∫

La expresión previa nos permite determinar la expresión de “φ′ ”:

∂∂

−=φ′ ∫x dx).y,x(M

y)y,x(N)y(

Lo que por integración nos permite calcular “φ (y)” y por consiguiente determinar “F(x, y)”.

Es importante notar que las derivadas parciales cruzadas también pueden ser representadas de la siguiente manera:

x.yF

xF

yyM 2

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

y.xF

yF

xxN 2

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

Con las 2 expresiones anteriores se evidencia la razón por la que las derivadas parciales cruzadas deben ser iguales.

y.xF

x.yF 22

∂∂∂

=∂∂

∂ →

xN

yM

∂∂

=∂∂

Ejemplo 2:


0dy).1yx3(dx).y3x2( 3 =−+++

Las funciones definidas en la propiedad de originarse en una diferencial exacta son:



I-2005 139

y3x2M 3 += 1yx3N −+=

Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas:

3y

)y3x2(y

M 3=

∂+∂

=∂∂

3x

)1yx3(xN

=∂

−+∂=

∂∂

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial es exacta, y su solución podría obtenerse mediante separación de variables o utilizando las ecuaciones descritas anteriormente (las metodologías básicas se presentan en los siguientes problemas resueltos). Ejemplo 3:


0dy).1yx2(dx).7y4x( 32 =+−+++

Las funciones definidas en la propiedad anterior son:

7y4xM 2 ++=

1yx2N 3 +−=


4y

)7y4x(y

M 2=

∂++∂

=∂∂

2x

)1yx2(xN 3

=∂

+−∂=

∂∂

Debido a que las 2 derivadas parciales son diferentes, la ecuación diferencial, tal como está planteada, no proviene de una diferencial exacta de una función primitiva. Problema Resuelto 35*:

Resolver la ecuación diferencial del Ejemplo 2:

0dy).1yx3(dx).y3x2( 3 =−+++

Solución 1:

En el Ejemplo 2 se demostró que la ecuación diferencial propuesta proviene de una diferencial exacta pues las derivadas cruzadas son exactamente iguales.

Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial se tiene:

0dydy.ydy.x3dx.y3dx.x2 3 =−+++



I-2005 140

Reagrupando los términos de la ecuación diferencial en función de que sean integrables directamente o no lo sean:

0)dy.x3dx.y3()dydy.ydx.x2( 3 =++−+

Integrando:

C)dy.x3dx.y3()dydy.ydx.x2( 3 =++−+ ∫∫

C)dy.x3dx.y3(dydy.ydx.x2 3 =++−+ ∫∫∫∫


C)dy.x3dx.y3(y2

y4x2 24

=++−+ ∫

La integral que queda pendiente es la derivada de la expresión “3y.x”, por lo que:

Cx.y3y2

y2

x 24=+−+ Solución 1

Solución 2:

Se van a aprovechar las propiedades obtenidas para las ecuaciones diferenciales exactas. La ecuación básica es:

0dy).1yx3(dx).y3x2( 3 =−+++

Las funciones “M” y “N” son:

y3x2M 3 += 1yx3N −+=

La expresión para el cálculo de la función primitiva es:


)y(dx).y3x2()y,x(F x 3 φ++= ∫

Ejecutando la integral respecto a “x”:

)y(x.y3x42

)y,x(F 4 φ++= Función primitiva

“φ (y) ” es una función exclusiva de “y” cuyo valor aún se desconoce.

Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”:

)y(x3yF

φ′+=∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂



I-2005 141

De donde:

1yx3)y(x3 −+=φ′+

Simplificando:

1y)y( −=φ′

Integrando “φ′ ” se obtiene “φ”:

∫ −=φ dy).1y()y(

yy21

)y( 2 −=φ

La función primitiva es:

)y(x.y3x42

)y,x(F 4 φ++=

Reemplazando “φ (y)”:

yy21

x.y3x21

)y,x(F 24 −++= Función primitiva

La ecuación primitiva es:

C)y,x(F =

Cx.y3y2

y2

x 24=+−+ Solución 2

NOTA 1: Los dos métodos de solución proporcionan respuestas idénticas.

NOTA 2: A pesar de existir varias etapas en que se realizan integraciones, en la segunda alternativa la Constante Arbitraria de Integración solamente se la aplica en la última instancia.



I-2005 142

NOTA 3: Los pasos requeridos en la metodología para utilizar las propiedades de las ecuaciones diferenciales que son diferenciales exactas de una Función Primitiva son:

Ø Determinar las funciones “M(x,y)” y “N(x,y)” a partir de la ecuación diferencial original


Ø Verificar que la ecuación diferencial propuesta provenga de una diferencial exacta de una “Función Primitiva” mediante el cumplimiento de que:

xN

yM

∂∂

=∂∂

Ø Obtener la función primitiva “F(x,y)” de la ecuación diferencial, mediante una integración con respecto a “x”, incluyendo una función “φ (y)” aún desconocida.


Ø Calcular la derivada parcial de la función primitiva “F(x,y)”, con respecto a “y” e igualar a la función “N(x,y)”.

)y,x(Ndyd

dx).y,x(Myy

F x =φ

+

∂∂

=∂∂

∫

Ø Determinar el valor de la derivada de “φ” con respecto a “y”.

∂∂

−=φ

=φ′ ∫x dx).y,x(M

y)y,x(N

dyd

)y(

Ø Integrar la expresión obtenida para calcular “φ”.

∫ φ′=φ dy.)y(

Ø Una vez conocido “φ (y)” determinar la función primitiva completa mediante la expresión:




{ } 0dy.1)1y(Seny.x4dx).y.x4e6( 222x3 =−+++++

Solución 1:

En primer lugar se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta.

Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: 22x3 y.x4e6M += +

1)1y(Seny.x4N 2 −++= Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas:



I-2005 143

y.x8y

)y.x4e6(yM 22x3

=∂

+∂=

∂∂ +

( )y.x8

x1)1y(Seny.x4

xN 2

=∂

−++∂=

∂∂

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial tiene solución exacta.


0dydy).1y(Sendy.y.x4dx.y.x4dx.e6 222x3 =−+++++


( ) ( ) 0dy.y.x4dx.y.x4dydy).1y(Sendx.e6 222x3 =++−+++

Integrando:

( ) ( ) Cdy.y.x4dx.y.x4dydy).1y(Sendx.e6 222x3 =++−++ ∫∫ +

( ) Cdy.y.x4dx.y.x4dydy).1y(Sendx.e6 222x3 =++−++ ∫∫∫∫ +


( ) Cdy.y.x4dx.y.x4y)1y(Cose36 222x3 =++−+− ∫+

Simplificando:

( ) Cdy.y.x4dx.y.x4y)1y(Cose2 222x3 =++−+− ∫+

La integral que queda pendiente es la derivada de la expresión “2x2.y2 ”, por lo que:

Cy.x2y)1y(Cose2 222x3 =+−+−+ Solución 1

Solución 2:

La ecuación diferencial básica es:

{ } 0dy.1)1y(Seny.x4dx).y.x4e6( 222x3 =−+++++


22x3 y.x4e6M += +

1)1y(Seny.x4N 2 −++=



)y(dx).y.x4e6()y,x(F x 22x3 φ++= ∫ +




I-2005 144

)y(y.x24

e36

)y,x(F 222x3 φ++= +

Simplificando:

)y(y.x2e2)y,x(F 222x3 φ++= + Función primitiva


)y(y.x4yF 2 φ′+=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde:

1)1y(Seny.x4)y(y.x4 22 −++=φ′+

Simplificando:

1)1y(Sen)y( −+=φ′


{ }∫ −+=φ dy.1)1y(Sen)y( y)1y(Cos)y( −+−=φ


)y(y.x2e2)y,x(F 222x3 φ++= +

y)1y(Cosy.x2e2)y,x(F 222x3 −+−+= +


C)y,x(F =

Cy.x2y)1y(Cose2 222x3 =+−+−+ Solución 2

NOTA: A pesar de la complejidad de la ecuación diferencial cuya solución se estaba buscando, el procedimiento empleado en la Solución 2, que aprovecha las propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales exactas, es menos complicado. Problema Resuelto 37*:


0dy).y3e.y.x2(dx).x4e.y( 2y.x3y.x2 22=−++

Solución 1:

Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta.



I-2005 145

Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: 3y.x2 x4e.yM

2+=

2y.x y3e.y.x2N2

−= Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas:

22222

y.xy.x3y.xy.x23y.x2

e.y2e.y.x2)y2(e)y.x2(e.yy

)x4e.y(y

M+=+=

∂+∂

=∂

∂

22222

y.xy.x3y.x2y.x2y.x

e.y2e.y.x2)1(e)y(e.xy2x

)y3e.y.x2(xN

+=

+=

∂−∂

=∂∂

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial es exacta.


0dy.y3dy.e.y.x2dx.x4dx.e.y 2y.x3y.x2 22=−++


0)dy.e.y.x2dx.e.y()dy.y3dx.x4(22 y.xy.x223 =++−

Integrando:

C)dy.e.y.x2dx.e.y()dy.y3dx.x4(22 y.xy.x223 =++− ∫∫

C)dy.e.y.x2dx.e.y(dy.y3dx.x422 y.xy.x223 =++− ∫∫∫

C)dy.e.y.x2dx.e.y(3y3

4x4 22 y.xy.x2

34=++− ∫

C)dy.e.y.x2dx.e.y(yx22 y.xy.x234 =++− ∫

Se debe resolver la integral que queda pendiente:

La integral es:

∫ + )dy.e.y.x2dx.e.y(22 y.xy.x2

Es conveniente utilizar un cambio de variable: 2y.xz = Ecuación de cambio de variable

Que es equivalente a:

2y

zx = o 2y.zx −=

La expresión diferencial equivalente es:

dz.ydy.y).2.(zdx 23 −− +−=

dz.ydy.y.z2dx 23 −− +−= Reemplazando “x” y “dx” en la integral:



I-2005 146

∫

∫−− −−− ++−

=+

)dy.e.y).y.z(2)dz.ydy.y.z2.(e.y(

)dy.e.y.x2dx.e.y(2222

22

y).y.z(223y).y.z(2

y.xy.x2

Simplificando:

∫

∫−−− ++−

=+

)dy.e.y).y.z(2)dz.ydy).y.z2.(e.y(

)dy.e.y.x2dx.e.y(

z223z2

y.xy.x2 22

∫ ∫∫∫ −− ++−=+ dy.e.y.z(2dz.edy.e.z.y2)dy.e.y.x2dx.e.y( z1zz1y.xy.x2 22

∫ ∫∫∫ −− +−+=+ dy.e.y.z(2dy.e.z.y2dz.e)dy.e.y.x2dx.e.y( z1z1zy.xy.x2 22

zy.xy.x2 e)dy.e.y.x2dx.e.y(22

=+∫ Reemplazando “z” en función de “x” y “y”:

222 y.xy.xy.x2 e)dy.e.y.x2dx.e.y( =+∫

Reemplazando la integral obtenida en la solución de la ecuación diferencial:

C)dy.e.y.x2dx.e.y(yx22 y.xy.x234 =++− ∫

Ceyx2y.x34 =+− Solución 1

Solución 2:

La ecuación diferencial básica es:

0dy).y3e.y.x2(dx).x4e.y( 2y.x3y.x2 22=−++


3y.x2 x4e.yM2

+=

2y.x y3e.y.x2N2

−=



)y(dx).x4e.y()y,x(Fx 3y.x2 2

φ++= ∫


)y(4x4

e.y.y

1)y,x(F

4y.x2

2

2φ++=

Simplificando:

)y(xe)y,x(F 4y.x 2φ++= Función primitiva




I-2005 147

)y(e.y.x2yF 2y.x φ′+=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde:

2y.xy.x y3e.y.x2)y(e.y.x222

−=φ′+

Simplificando:

2y3)y( −=φ′


∫−=φ dy.y3)y( 2 3y)y( −=φ


)y(xe)y,x(F 4y.x 2φ++=


34y.x yxe)y,x(F2

−+= Función primitiva


C)y,x(F =

Cyxe 34y.x 2=−+ Solución 2



I-2005 148

3.5.2 Ecuaciones Diferenciales Lineales No Exactas:

Dada la ecuación diferencial de la forma:


Si las derivadas parciales cruzadas de las funciones no son iguales, la ecuación se denomina Lineal No Exacta.

xN

yM

∂∂

≠∂∂

Para convertirla en Ecuación Diferencial Lineal Exacta, en algunos casos se puede obtener un factor de integración “µ” tal que:

0dy).y,x(N.dx).y,x(M. =µ+µ

“Ecuación Diferencial Equivalente” en la que deberá cumplirse que:

x)N.(

y)M.(

∂µ∂

=∂µ∂

Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Para obtener los factores de integración se pueden utilizar las siguientes reglas:

Condición Factor de Integración

)x(fN

xN

yM

=∂∂

−∂∂

∫=µ dx).x(fe

* )y(gM

xN

yM

−=∂∂

−∂∂

∫=µ dy).y(ge

* )y(gM

yM

xN

=∂∂

−∂∂

∫=µ dy).y(ge

0dy).y,x(Ndx).y,x(M =+ es homogénea y.Nx.M

1+

=µ

Si la ecuación 0dy).y,x(Ndx).y,x(M =+ puede escribirse en la forma 0dy).y.x(g.xdx).y.x(f.y =+ , y )y.x(g)y.x(f ≠ y.Nx.M

1−

=µ

* Las 2 expresiones corresponden al mismo tipo de solución Problema Resuelto 38*:


0dy.y.xdx).xyx( 22 =+++

Solución:

En primer lugar se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta.



I-2005 149

Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

xyxM 22 ++= y.xN =


y2y

)xyx(yM 22

=∂

++∂=∂∂

yx

)y.x(xN

=∂

∂=

∂∂

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.

A pesar de que la ecuación diferencial no es exacta, una rápida inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “N” es una función de “x”.

y.xyy2

NxN

yM

−=

∂∂

−∂∂

Simplificando:

y.xy

NxN

yM

=∂∂

−∂∂

x1

NxN

yM

=∂∂

−∂∂

De donde:

x1

)x(f =

El factor de integración “µ” es:

∫=µ dx).x(fe

Reemplazando la función “f(x)”:

∫=µ x

dx

e

Ejecutando la integral:

)xln(e=µ

Por la relación entre el logaritmo natural y la función exponencial se tiene: x=µ



I-2005 150

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración “x” se tiene una “Ecuación Diferencial Equivalente”:

{ } 0dy.y.xdx).xyx(.x 22 =+++

0dy.y.xdx).xy.xx( 2223 =+++ Ecuación diferencial equivalente

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”:

223 xy.xxM ++=

y.xN 2=

Obteniendo las derivadas parciales cruzadas:

y.x2yM

=∂∂

y.x2xN

=∂∂

Debido a que las 2 expresiones son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.

En este punto existen 2 caminos para resolver la ecuación diferencial: se pueden agrupar los términos de modo que las funciones sean directamente integrables, o se pueden aprovechar las propiedades matemáticas de las ecuaciones diferenciales exactas. En el presente caso escogeremos la primera alternativa.

Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial equivalente se tiene:

0dy.y.xdx.xdx.y.xdx.x 2223 =+++


0)dy.y.xdx.y.x()dx.xdx.x( 2223 =+++

Integrando:

C)dy.y.xdx.y.x(dx.xdx.x 2223 =+++ ∫∫∫

Ejecutando las 2 primeras integrales:

C)dy.y.xdx.y.x(3

x4

x 2234

=+++ ∫

La integral que queda pendiente proviene de la derivación de “x2.y2 ”:

C2y.x

3x

4x 2234

=++


C12y.x6x4x3 2234 =++

Reemplazando “12C” por “k”:



I-2005 151

ky.x6x4x3 2234 =++ Solución Problema Resuelto 39*:


0dy).x3y.xe.y.x(dx).yy.x2e.y.x2( 22y423y4 =−−+++

Solución:

Se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta.


yy.x2e.y.x2M 3y4 ++=

x3y.xe.y.xN 22y42 −−=


y)yy.x2e.y.x2(

yM 3y4

∂++∂

=∂∂

Ejecutando las derivadas:

( ) 1y.x6)y4.(ee.yx2yM 23yy4 +++=∂

∂


1y.x6e.y.x8e.y.x2yM 2y3y4 +++=∂

∂

x)x3y.xe.y.x(

xN 22y42

∂−−∂

=∂∂


3y.x2e.y.x2xN 2y4 −−=

∂∂


Una inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “M” es una función de “y”.

yy.x2e.y.x2

)3y.x2e.y.x2()1y.x6e.y.x8e.y.x2(M

xN

yM

3y4

2y42y3y4

++

−−−+++=

∂∂

−∂∂

Eliminando paréntesis:

yy.x2e.y.x2

3y.x2e.y.x21y.x6e.y.x8e.y.x2M

xN

yM

3y4

2y42y3y4

++

++−+++=

∂∂

−∂∂



I-2005 152

Simplificando:

yy.x2e.y.x2

4y.x8e.y.x8M

xN

yM

3y4

2y3

++

++=

∂∂

−∂∂

Factorando:

)1y.x2e.y.x2(y

)1y.x2e.y.x2(4M

xN

yM

2y3

2y3

++

++=

∂∂

−∂∂

Simplificando:

y4

MxN

yM

=∂∂

−∂∂

De donde:

y4

)y(g =−

y4

)y(g −=

El factor de integración es:

∫−=µ dy).y(ge

Reemplazando la función “g(y)”:

∫−∫−==µ y

dy4

ydy4

ee


)yln(4e −=µ

Introduciendo el “-4” en el logaritmo:

)yln( 4e

−=µ

)y/1ln( 4e=µ

Por la relación entre el logaritmo natural y la función exponencial se tiene:

4y

1=µ

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración se tiene una ecuación diferencial equivalente:

0y

dy).x3y.xe.y.x(dx).yy.x2e.y.x2(4

22y423y4=

−−+++



I-2005 153


0y

dy).x3y.xe.y.x(

y

dx).yy.x2e.y.x2(4

22y42

4

3y4=

−−+

++

Simplificando:

0dy.y

x3

y

xe.xdx.

y

1yx

2e.x242

2y2

3y =

−−+

++ Ecuación diferencial equivalente


3y

y

1yx

2e.x2M ++=

42

2y2

y

x3

y

xe.xN −−=

Obteniendo las derivadas parciales cruzadas:

42y

y

1)3(

y

x)1(2e.x2

yM

−+−+=∂∂

Simplificando:

42y

y

3

y

x2e.x2

yM

−−=∂∂

42y

y

3

y

x2e.x2

xN

−−=∂∂

Debido a que las 2 expresiones son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.

Dada la complejidad de expresión de la ecuación diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta.

La ecuación diferencial básica equivalente es:

0dy.y

x3

y

xe.xdx.

y

1yx

2e.x242

2y2

3y =

−−+

++


3y

y

1yx

2e.x2M ++=

42

2y2

y

x3

y

xe.xN −−=





I-2005 154

)y(dx).y

1yx

2e.x2()y,x(F x3

y φ+++= ∫


)y(y

xyx

e.x)y,x(F3

2y2 φ+

++= Función primitiva


)y(y

x)3(

y

x)1(e.x

yF

42

2y2 φ′+

−+−+=

∂∂

Simplificando:

)y(y

x3

y

xe.x

yF

42

2y2 φ′+−−=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde:

42

2y2

42

2y2

y

x3

y

xe.x)y(

y

x3

y

xe.x −−=φ′+−−

Simplificando:

0)y( =φ′

Integrando “φ′ ” se obtiene “φ”, que es una constante:

1k)y( =φ


)y(y

xy

xe.x)y,x(F

3

2y2 φ+

++=


13

2y2 k

y

xyx

e.x)y,x(F +

++= Función primitiva


k)y,x(F =

kky

xy

xe.x 13

2y2 =+

++



I-2005 155

Simplificando constantes:

Cy

xy

xe.x 3

2y2 =++ Solución



0dy).xy.xy(2dx).y2y.xy.x2y.x4y.x2( 2342223 =+++++++

Solución:



y2y.xy.x2y.x4y.x2M 42223 ++++=

x2y.x2y2N 23 ++=


y)y2y.xy.x2y.x4y.x2(

yM 42223

∂++++∂

=∂∂


2y.x4y.x4x4y.x4y

M 323 ++++=∂

∂

x)x2y.x2y2(

xN 23

∂++∂

=∂∂


2y.x4xN

+=∂∂


Una inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “N” es una función de “x”.

x2y.x2y2

)2y.x4()2y.x4y.x4x4y.x4(N

xN

yM

23

323

++

+−++++=

∂∂

−∂∂

Eliminando paréntesis:

x2y.x2y2

2y.x42y.x4y.x4x4y.x4N

xN

yM

23

323

++

−−++++=

∂∂

−∂∂

Simplificando:



I-2005 156

x2y.x2y2

y.x4x4y.x4N

xN

yM

23

323

++

++=

∂∂

−∂∂

Factorando:

)xy.xy(2

)yxy.x(x4N

xN

yM

23

32

++

++=

∂∂

−∂∂

Simplificando:

2x4

NxN

yM

=∂∂

−∂∂

x2N

xN

yM

=∂∂

−∂∂

De donde:

x2)x(f =

El factor de integración es:

∫=µ dx).x(fe

Reemplazando la función “f(x)”:

∫=µ dx.x2e

Ejecutando la integral: 2xe=µ


0dy.e).xy.xy(2

dx.e).y2y.xy.x2y.x4y.x2(2

2

x23

x42223

=+++

++++ Ecuación diferencial equivalente

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”: 2x42223 e).y2y.xy.x2y.x4y.x2(M ++++=

2x23 e).xy.xy(2N ++=

Por la complejidad de expresión de la ecuación diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta.





I-2005 157

)y(dx.e).y2y.xy.x2y.x4y.x2()y,x(Fx x42223 2

φ+++++= ∫

Separando en 3 integrales:

∫∫∫ ++++=x x4x x2x x223 dx.e.y.xdx.e).y2y.x4(dx.e).y.x2y.x2()y,x(F

222

Las 2 primeras integrales provienen de la derivación parcial de un producto:

)y(dx.e.y.xe).y.x2(e).y.x()y,x(Fx x4xx22 222

φ+++= ∫

Resolviendo la integral que está pendiente:

)y(e.y21

e).y.x2(e).y.x()y,x(F222 x4xx22 φ+++= Función primitiva


)y(e.y2e.x2e.y.x2yF 222 x3xx2 φ′+

++=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde: 2222 x23x3xx2 e).xy.xy(2)y(e.y2e.x2e.y.x2 ++=φ′+

++

Destruyendo paréntesis: 222222 xx2x3x3xx2 e.x2e.y.x2e.y2)y(e.y2e.x2e.y.x2 ++=φ′+++

Simplificando:

0)y( =φ′


1k)y( =φ


)y(e.y21

e).y.x2(e).y.x()y,x(F222 x4xx22 φ+++=


1x4xx22 ke.y

21

e).y.x2(e).y.x()y,x(F222

+++= Función primitiva


k)y,x(F =



I-2005 158

kke.y21

e).y.x2(e).y.x( 1x4xx22 222

=+++


k2k2e.ye.y.x2e.y.x2 1x4xx22 222

=+++


Ce.ye.y.x2e.y.x2222 x4xx22 =++ Solución



0dy.y.xdx).yx( 344 =−+

Solución:



44 yxM += 3y.xN −=


y)yx(

yM 44

∂+∂

=∂∂

Ejecutando las derivadas: 3y4

yM

=∂

∂

x)y.x(

xN 3

∂−∂

=∂∂

Ejecutando las derivadas: 3y

xN

−=∂∂


Una inspección de la ecuación diferencial revela que es homogénea, y por tanto el inverso de la suma de las 2 derivadas parciales, multiplicado por las variables básicas, es un factor de integración.

y.Nx.M1+

=µ



I-2005 159

y).y.x(x).yx(

1344 −++

=µ

Simplificando:

445 y.xy.xx

1

−+=µ

5x

1=µ


0x

dy.y.xdx).yx(5

344=

−+


0x

dy.y.x

x

dx).yx(5

3

5

44=−

+

Simplificando:

0dy.x

ydx.

x

yx1

4

3

5

4=−

+ Ecuación diferencial equivalente


5

4

x

yx1

M +=

4

3

x

yN −=




)y(dx.x

yx1

)y,x(Fx

5

4φ+

+= ∫


)y(x

y41

)xln()y,x(F4

4φ+⋅−= Función primitiva




I-2005 160

)y(x

y441

yF

4

3φ′+

⋅−=

∂∂

)y(x

yyF

4

3φ′+−=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde:

4

3

4

3

x

y)y(

x

y−=φ′+−

Simplificando:

0)y( =φ′


1k)y( =φ


)y(x

y41

)xln()y,x(F4

4φ+⋅−=


14

4k

x

y41

)xln()y,x(F +⋅−= Función primitiva


k)y,x(F =

kkx

y41

)xln( 14

4=+⋅−


Cx4

y)xln(

4

4=− Solución



I-2005 161



0dy).y.x22.(xdx).2y.x.(y 2222 =−++

Solución:

Las funciones M y N de la ecuación diferencial son:

y2y.x)2y.x.(yM 3222 +=+= 2322 y.x2x2)y.x22.(xN −=−=

Las derivadas parciales cruzadas son:

2y.x3yM 22 +=∂∂

22 y.x62xN

−=∂∂

Debido a que las dos derivadas parciales son diferentes, la ecuación diferencial original no es exacta. Sin embargo, la ecuación diferencial corresponde a la forma:

0dy).y.x(f.xdx).y.x(f.y =+

Por consiguiente tiene un factor de integración del siguiente tipo:

y.Mx.M1−

=µ

y).y.x2x2(x).y2y.x(

12332 −−+

=µ

Simplificando:



I-2005 162

3333 y.x2y.x2y.x2y.x

1

+−+=µ

33 y.x3

1=µ


[ ] 0dy).y.x22.(xdx).2y.x.(yy.x3

1 222233

=−++

Eliminando signos de agrupación:

[ ] 0dy).y.x2x2(dx).y2y.x(y.x3

1 233233

=−++

0y.x3

dy).y.x2x2(dx).y2y.x(33

2332=

−++


0y.x3

dy).y.x2x2(

y.x3

dx).y2y.x(33

23

33

32=

−+

+

Simplificando:

0dx.y32

y.x3

2dx.

y.x3

2x31

3223=

−+

+ Ecuación diferencial equivalente


23 y.x3

2x31

M +=

y32

y.x3

2N

32−=




)y(dx.y.x3

2x31

)y,x(Fx

23φ+

+= ∫

Separando en 2 integrales:



I-2005 163

)y(y.x3

dx.2x3

dx)y,x(F x

23x φ++= ∫∫


)y(y.3

dxx.23

)xln()y,x(F

x2

3φ++= ∫

−

)y(y.6

x.23

)xln()y,x(F 2

2φ+−=

−

)y(y.x.3

13

)xln()y,x(F 22 φ+−= Función primitiva


)y(y.x.3

2yF

32φ′+=

∂∂

Pero:

)y,x(NyF

=∂∂

De donde:

y32

y.x3

2)y(

y.x.3

23232

−=φ′+

Simplificando:

y32

)y( −=φ′

Integrando “φ′ ” se obtiene “φ”, que es una función logarítmica:

∫−=φy

dy32

)y(

)yln(32

)y( −=φ


)y(y.x.3

13

)xln()y,x(F

22φ+−=


)yln(32

y.x.3

13

)xln()y,x(F

22−−= Función primitiva




I-2005 164

C)y,x(F =

C)yln(32

y.x.3

13

)xln(22

=−−


C3)yln(2y.x

1)xln(

22=−−

Reemplazando “3C” por la constante “k”:

k)yln(2y.x

1)xln(

22=−− Solución

3.6 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1:


1xxy 3 ++= Función solución

1x3dxdy 2 += Ecuación diferencial

Solución: si verifica Problema Propuesto 2:


x/1ey −= Función solución

2x

ydxdy


Solución: si verifica Problema Propuesto 3:


)x2(Sen3y = Función solución 0y4y =+′′ Ecuación diferencial

Solución: si verifica



I-2005 165

Problema Propuesto 4:


0x1

y =−′

Solución: C)xln(y += Problema Propuesto 5:


0x3xy 2 =+−′

Solución: C2x3

3x

y23

+−=



0ey x =+′ −

Solución: Cey x += − Problema Propuesto 7:


06x4y 2 =+−′′

Solución: 212

4Cx.Cx3

3x

y ++−=



07x4y 3 =−+′′

Solución: 21

25Cx.C

2x7

5x

y +++−=



0)x2(Cos)x(Sendx

yd2

2=−−



I-2005 166

Solución: 21 Cx.C4

)x2(Cos)x(Seny +++=



05t6y =−+′′′

Solución: 322

1

34Ct.Ct.C

6t5

4t

y ++++−=



2x

ydxdy

=

Solución: x/1e.Ay −= Problema Propuesto 12:


xy2

dxdy

=

Solución: 2x.Ay = Problema Propuesto 13:


xy5

dxdy

=

Solución: 5x.Ay = Problema Propuesto 14:


2

2

y

x1dxdy +

=

Solución: 0Cx3

x3

y 33=+−−





I-2005 167

0dy)y3y.x3(dx)x4y.x2( 2223 =+++

Solución: 0)2y(k1x 32 =+++ Problema Propuesto 16:

Resolver la siguiente ecuación diferencia l:

0dy).1x(ydx).2x3y(x 223 =++++

Solución: 0C)2yln()1yln(y)1xln(x2

x3

x 423

=++−++++−+−



)1y)(1x(y

dxdy

+−=

Solución: C1x

ylny =

−+



0dy).3x2.(ydx).2y.(x6 32 =++−

Solución: { } 0Cy)2y).(3x2(ln 23 =++−+ Problema Propuesto 19:


θρ=ρθ d.d).(Tan

Solución: )(Sen.A θ=ρ Problema Propuesto 20:


0dy).y3x(dx).yx3( =+++

Solución: C3xy

2x

y3x

2

22 =

++

Tip: x.uy =



I-2005 168

3.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Ø Tagle R. Kent, Saff Edward B. y Zinder Artur David, “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, Pearson Educación, Tercera Edición, 2001.

Ø Spiegel Murria R., “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 2001.

Ø Campbell Stephen L. y Haberman Richard, “Introducción a las Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 1999.

Ø Ayres Frank, “Ecuaciones Diferenciales”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 2000.

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Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES … · Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere ... en otras circunstancias se pueden utilizar