Capitulo II IFU

8/16/2019 Capitulo II IFU

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Caṕıtulo II

Vectores

Introducción a la F́ısica Universitaria

Prof. José Aguirre Gómez

Departamento de F́ısicaOficina 315

Prof. José Aguirre Caṕıtulo II-IFU

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Contenidos

1 Introducción

2 Sistemas de Coordenadas

3 Cantidades vectoriales y escalares

4 Algunas Propiedades de los Vectores

5 Componentes de un Vector y Vectores Unitarios

6 El Producto Escalar de Vectores

7 El Producto Vectorial de Vectores

8 Ejercicios


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1. Introducción

En el estudio de la f́ısica, generalmente se trabaja con cantidades f́ısicas que tienentanto propiedades numéricas como propiedades direccionales.

Cantidades con esa naturaleza son llamadas cantidades vectoriales.

El presente caṕıtulo está enfocado en el estudio del álgebra vectorial y de algunaspropiedades generales de las cantidades vectoriales.

Discutiremos la adición y substracción de cantidades vectoriales, tanto geométricacomo anaĺıticamente, con base en algunas aplicaciones comunes a sitiuacionesf́ısicas.

Extenderemos el análisis a la multiplicación de vectores: En particular al productoescalar entre vectores (un escalar más unidades) y al producto vectorial entrevectores (otro vector).

Las cantidades vectoriales son muy importantes en f́ısica y es imperativo quesepa operar con sus propiedades gráficas y algebraicas.


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2. Sistemas de Coordenadas

Muchos aspectos de la f́ısica requieren la descripción de una ubicación en el espa-cio. Por ejemplo, la descripción matemática del movimiento de un objeto requiere

un método para describir la posición del objeto en varios instantes de tiempo. Estose logra con el uso de un Sistema de Coordenadas.

En un sistema de coordenadas Cartesianas, también llamado sistema de coorde-nadas rectangulares, en dos dimensiones, el eje vertical (eje-y) se intersecta conel eje horizontal (eje-x) (ambos ortogonales entre śı) en un punto definido comoel origen (O) [ver Fig. 1a].

Figura 1. Designación de un punto en un sistema de coordenadas Cartesianas plano. Cada punto es etiquetado conun par de coordenadas rectangulares o Cartesianas (x, y).


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Además de eso, de las definiciones de trigonometŕıa se tiene:

tan θ = y

x (2)

r =

x2 + y2. (3)

La Ec.(3) es el familiar teorema de Pitágoras.

Las Ecs.(??) a (3), relacionando (r, θ) a (x, y) se aplican sólo cuando θ estádefinido como en la Fig. 3.2(a), o sea, cuando θ positivo es un ángulo medido

desde el eje-x positivo y en el sentido horario.

Ejemplo 1. Coordenadas polares

Las coordenadas cartesianas de un punto en

el plano xy son (x, y) = (−3.50, −2.50)m,como mostrado en la Fig. 3. Encuentre lascoordenadas polares de ese punto.

Figura 3. Encontrando las coordenadas polarescuando las coordenadas Cartesianas son dadas.


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Solución.

Primero calculamos r usando la Ec.(3), esto es:

r =

x2 + y2 =

(−3.50m)2 + (−2.50m)2 = √ 18.5 m2 = 4.30 m.Ahora, calculamos tan θ usando la Ec.(2), esto es:

tan θ = y

x = −2.50 m−3.50 m = 0.714,

de modo tal queθ = arctan(0.714) = 35.50

Note que, de acuerdo a la Fig. 3, el punto se encuentra en el tercer cuadrante,mientras que el resultado de θ indica que el punto está en el primer cuadrante.Para arreglar la diferencia, hagamos:

θ = 1800 + 35.50 = 215.50 = 2160.

Con lo anterior, el punto de coordenada Cartesianas (x, y) = (−3.50, −2.50)men el plano xy equivale al punto de coordenadas polares planas

(r, θ) = (4.30 m, 2160).


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3. Cantidades Vectoriales y Escalares

Las cantiades escalares son especificadas completamente por un único valor conuna unidad apropiada. Por ejemplo, temperatura, volumen, masa, enerǵıa, poten-

cia, rapidez, e intervalo de tiempo, etc.

Las cantidades vectoriales son especificadas completamente por un número yuna unidad apropiada ademá de una dirección y sentido. Por ejemplo, el desplaza-miento, la velocidad, aceleración, etc.

Figura 4. Movimiento de una part́ıcula desdeA a B a lo largo de un camnino arbitrario

representado por la ĺınea segmentada.

En la Fig. 4, el vector desplazamiento de lapart́ıcula desde A a B es representado poruna flecha con el origen de la flecha en elpunto A y la punta de la flecha en el puntoB.La dirección y punta de la flecha representan

la dirección y el sentido del desplazamientoy la longitud, su magnitud.

El desplazamiento depende sólo de las posi-ciones inicial y final: El vector desplaza-miento no depende del camino seguido en-tre esos dos puntos.


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En este curso las cantidades vectoriales serán representadas con letra negrita, talcomo, A. La magnitud del vector A puede ser escrita como A o |A|. La magnituddel vector tiene unidades f́ısicas y es siempre un número positivo.

4. Algunas Propiedades de los Vectores

Igualdad de dos vectores

Se dice que dos vectores A y B son iguales,

A = B,

si ellos tienen la misma magnitud,

A = B o |A| = |B|y si apuntan en la misma dirección y sentido.Por ejemplo, los cuatro vectores representa-dos en la Fig. 5 son iguales.

Figura 5. Cuatro vectores iguales.


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Adición de vectores

Las reglas para adicionar vectores son descritas de manera conveniente a travésde métodos gráficos.

Para adicionar el vector B al vector A,primero dibuje el vector A en un papel, consu magnitud representada por una escala delongitud conveniente, luego dibuje el vector

B, bajo la misma escala, con su inicio (cola)en el final (punta) del vector A [ver Fig. 6].

El vector resultante,

R = A + B

es el vector dibujado desde el inicio del vectorA a la punta del vector B.

Figura 6. Suma del vector B al vector A.


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Por ejemplo, si Ud. caminó 3.0 m hacia el este y luego 4.0 m hacia el norte,como mostrado en la Fig. 7, encontraŕa que Ud. se encuentra a 5.0 m desde elpunto que inició la caminada, en una dirección de 530 al norte del este. Su vector

desplazamiento es el vector suma de los desplazamientos individuales.

Figura 7. Adición vectorial. Caminar primero 3.0m hacia el este y luego 4.0m hacia el norte, lo deja a Ud. a5.0m del punto de partida.


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Para adicionar más de dos vectores podemos valernos, por el momento, de unaconstrucción geométrica. Ésta es mostrada en la Fig. 8 para el caso de cuatrovectores.

Figura 8. Construcción geométrica para la sumade vectores. Por definición el vector resultante

R es el que completa el poĺıgono.

El vector resultante

R = A +B + C +D

es el vector que completa el poĺıgono.

En otras palabras, R es el vector dibujado

desde la cola del primer vector a la punta delúltimo vector adicionado.

La adición de vectores es conmutativa

A + B = B + A (4)

Figura 9. Construcción geométrica paraA +B = B+A.


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La adición de vectores es asociativa: La suma de dos o más vectores no dependede la manera en la cual los vectores han sido agrupados. Por ejemplo, para lostres vectores mostrados en la Fig. 10:

A + (B + C) = (A +B) + C (5)

Se entiende que los vectores sumados tienen todos las mismas unidades y ellosdeben ser del mismo tipo de la cantidad representada.

Figura 10. Construcción geométrica para verficación de la asociatividad de la suma de vectore.

No tiene sentido sumar un vector de velocidad a un vector de desplazamiento,debido a que ellos representan cantidades f́ısicas diferentes.

La misma regla se aplica a suma de cantidades escalares; seŕıa sin sentido sumarintervalos de tiempo a cambios de temperatura.


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Negativo de un vector: Se define como un vector que adicionado al vector inicialda como resultado un vector nulo. Esto es

A + (−A) = 0.

Los vectores A y −A tienen la misma magnitud, la misma dirección pero apuntanen sentidos opuestos.

Substracción de vectores

En este caso se aplica la definición del negativo de un vector.

Figura 11. Construcción geométrica para la substracción de dos vectores.


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La operación A−B es equivalente a la suma del vector −B al vector A [ver Fig.11(a)]:

A−B = A + (−B). (6)

Otra forma de ver la substracción de vectores es notar que la diferencia A−Bentre los vectores A y B es lo que se debe adicionar al segundo vector para obtenerel primero [ver Fig. 11(b)].


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Ejemplo 2. Un viaje de vacaciones

Un automóvil viaja 20.0 km hacia el norte y luego 35.0 km en una dirección 60.00

al oeste del norte, como mostrado en la Fig. 12(a). Encuentre la magnitud y ladirección del desplazamiento resultante del automóvil.

Figura 12. (a) Método gráfico para encontrar el desplazamiento resultante del automóvil. (b) Adición de los vectoresen orden contrario.


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Solución

Hagamos A = 20.0 km hacia al norte y B = 35.0 km al oeste del norte, losdes-plazamientos individuales del automóvil.

Deseamos encontrar el desplazamiento resultante R = A +B y su dirección.

Primero, la solución gráfica del problema se obtiene usando una regla graduada yun transportador.

Segundo, la solución anaĺıtica puede ser obtenida usando la ley de los cosenos yla ley de los senos (ver el Apéndice):

La magnitud del desplazamiento resultante (R) se obtiene de la ley de los cosenosy usando θ = 1800 − 60.00 = 1200 y

R =

A2 + B2 − 2AB cos θ= (20.0km)2 + (35.0km)2 −

2(20.0 km)(35.0 km) cos(1200) =√

2325 km2

= 48.2 km

La dirección (el ángulo β ) se obtiene usando la ley de los senos:

sin β

B =

sin θ

R → sin β =

sin θ

R

B =

sin 60.00

42.8 km

(35.0km) = 0.629




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Del resultado anterior se obtiene:

β = arcsin(0.629) = 39.00.

El desplazamiento resultante del automóvil es 48.2 km a 390 al oeste del norte.

Note que todos los ángulo son medidos con respecto al eje-y positivo.

Multiplicación de un vector por un escalar

Si un vector A es multiplicado por un escalar positivo m, el producto mA es unvector que tiene la misma dirección y sentido de A y una magnitud igual a mA.

Si el vector A es multiplicado por una cantidad escalar negativa −m, el producto−mA tiene la misma dirección pero sentido opuesto al de A y su magnitud esmA.

Por jemplo, el vector 5A es cinco veces más largo que A y tiene la misma direccióny sentido que A. Por otro lado, el vector − 1

5A tiene una longitud igual a un quinto

de la longitud de A, la misma dirección pero sentido opuesto al de A.


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5. Componentes de un Vector y Vectores Unitarios

Un método más preciso para sumar vectores hace

uso de las proyecciones del vector a lo largo delo ejes coordenados.

Esas proyecciones son llamadas vectores com-ponentes del vector. Cualquier vector puede serdescrito completamente por sus vectores compo-

nentes.El vector A en el plano xy forma un ángulo θ conel eje-x positivo [ver Fig. 13(a)]. Sus vectorescomponentes son Ax (proyección sobre el eje-x)y Ay (proyección sobre el eje-y). Luego

A = Ax + Ay.

Con frecuencia nos referiremos a las “compo-nentes de un vector A,” escritas como Ax y Ay(sin usar letra negrita). Figura 13. (a) Un vector en el plano xyrepresentado por sus vectores

componentes Ax

y Ay

. (b) La suma de

los vectores componentes del vector.




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La componentes de un vector pueden ser positivas o negativas. La componenteAx es positiva si el vector componente Ax apunta en el sentido positivo del eje-x;la componente Ax es negativa, si el vector componente Ax apunta en el sentidonegativo del eje-x.

Un análisis similar se aplica a la componente Ay del vector.

De la Fig. 13 y las definiciones de seno y coseno, se derivan las siguientes rela-ciones:

Ax = A cos θ (7)Ay = A sin θ (8)

A =

A2x + A2y (9)

θ = arctan

Ay

Ax

. (10)

Los signos de las componentes Ax y Ay dependen del ángulo θ. En el primercuadrante Ax > 0 y Ay > 0; en el segundo cuadrante Ax < 0 y Ay > 0; en eltercer cuadrante Ax


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Suponga que está trabajando en un problema que precisa resolver un vector ensus componentes.

En muchas aplicaciones es conveniente expresar las componentes en un sistemade coordenadas con sus ejes no horizontal ni vertical, pero aún perpendicularesentre śı.

Si se escogen ejes de referencia o ángulos que no son los ejes y ángulos mostradosen la Fig. 13, las componentes del vector deben ser modificadas de maneracorrespondiente.

Con base en la Fig. 14:

B = Bx +By

Bx = B cos θ

By = B sin θ

B =

B2x

+ B2y

θ = arctan

By

Bx

.

Figura 14. Un vector B en el plano xy

girado con relación al plano xy.


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Vectores Unitarios

Un vector unitario es un vector adimensional cuya magnitud es exactamente

uno: Son usados para especificar una dada dirección y no tienen otro significadof́ısico; convenientes para describir una dirección en el espacio.

Figura 15. Los vectores unitarios î, ̂j y k̂ estándirigidos a lo largo de los ejes x, y y z,

respectivamente.

Usaremos los śımbolos:î, vector unitario apuntando en el sentidopositivo del eje-x

̂j, vector unitario apuntando en el sentidopositivo del eje-y

k̂, vector unitario apuntando en el sentidopositivo del eje-z

Para un sistema de coordenadas de mano

derecha [ver Fig. 15]:

î ⊥ ̂j ⊥ k̂y

|̂i| = 1, |̂ j| = 1 y |k̂| = 1.


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Considere un vector A que yace en el planoxy:

El producto de la componente Ax y el vectorunitario î es el vector Ax î el cual yace sobreel eje-x y tiene magnitud |Ax| (Ax î es unarepresentación alternativa del vector compo-nente Ax del vector A a lo largo del eje-x).

El producto de la componente Ay y el vectorunitario ̂j es el vector Ay ̂j el cual yace sobre

el eje-y y tiene magnitud |Ay| (Ay ̂j es unarepresentación alternativa del vector compo-nente Ay del vector A a lo largo del eje-y).

Luego, el vector A expresado en térmios delos vectores unitarios î y ̂j es

A = Ax î + Ay ̂j. (11)

Figura 16. Un vector A = Axî + A

y ̂j en el

plano xy tiene componentes Ax

y Ay

.


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Por ejemplo, considere un punto que yace en el plano xy y tiene coordenadasCartesianas (x, y) como mostrado en la Fig. 17.

Ese punto puede ser especificado por el vector posición r, el cual expresado entérminos de los vectores unitarios correspondientes se escribe como:

r = xî + y ̂j, (12)

la cual nos dice que las componentes del vector r son las longitudes x e y.

Figura 17. Punto de coordenadas Cartesianas (x, y) representado por el vector posición r = x̂i+ y ̂j.


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Suponga que deseamos sumar el vector B al vector A de la Ec.(11), donde el vectorB tiene componentes Bx y By: Adicione las componentes x e y separadamente:

R = A +B

R = (Ax î + Ay ̂j) + (Bx î + By ̂j)

R = (Ax + By )̂i + (Ay + By )̂ j. (13)

Dado que el vector resultante R = Rx î +Ry ̂j, entonces

Rx = Ax + Bx

Ry = Ay + By. (14)

Además:

R =

R2x + R2y

=

(Ax + Bx)2 + (Ay + By)2 (15)

tan θ = Ry

Rx=

Ax + BxAy + By

(16)

Figura 18. Construcción geométrica para lasuma de dos vectores mostrando la relación

entre las componentes del vector resultante Ry de los vectores individuales.


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La extensión del método anterior a vectores en el espacio tridimensional es directa.Sean:

A = Ax î + Ay ̂j + Azk̂ (17)

B = Bx î + By ̂j + Bzk̂. (18)

Se tiene

R = A + B

Rx î + Ry ̂j+ Rzk̂ = (Ax î + Ay ̂j + Azk̂) + (Bx î + By ̂j + Bzk̂)

Rx î + Ry ̂j+ Rzk̂ = (Ax + Bx)̂i + (Ay + By )̂ j + (Az + Bz)k̂. (19)

La magnitud del vector resultante R es dada por:

R =

R2x + R2y + R2z =

(Ax + Bx)2 + (Ay + By)2 + (Az + Bz )2

y el ángulo θx que el vector resultante forma con el eje-x es dado por:

cos θx = Rx

R =

Ax + BxR

,

con expresiones similares para θy y θz .


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Ejemplo 3. Suma de dos vectores

Encuentre la suma de los vectores A y B que yacen en el plano xy y son dadospor:

A = (2.0̂i + 2.0 ̂j) m, B = (2.0̂i− 4.0̂ j) m.Solución

En este caso se tiene: Ax = 2.0 m, Ay = 2.0 m, Bx = 2.0 m y By = −4.0 m.Usando la Ec.(13) se encuentra:

R = A + B

R = (Ax + Bx)̂i + (Ay + By )̂ j

R = [(2.0 + 2.0)̂i + (2.0 + (−4.0))̂ j] m = (4.0̂i− 2.0 ̂j) m.

oRx = 4.0 m y Ry = −2.0 m.

La magnitud de R se encuentra usando la Ec.(15):

R =

R2x + R2y =

(4.0 m)2 + (−2.0 m2) =√

20 m = 2√

5 m = 4.5 m.


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La dirección de R se calcula usando la Ec.(16):

θ = arctan

Ry

Rx

= arctan

−2.04.0

= arctan(−0.5)

Usando la calculadora obtenemos:

θ =−

270

Este resultado es correcto si se interpreta como un ángulo de 270 medido desdeel eje x positivo y en el sentido horario.

De acuerdo a la convención estándar el ángulo debe ser medido desde el eje-xpositivo y en el sentido anti-horario, de modo tal que:

θ = 3600 − 270 = 3330.


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0

A

θA

B

θB

A +B

θRx (m)

y (m)

1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

Ilustración gráfica del Ejemplo 3.




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Ejemplo 4. El desplazamiento resultante

Una part́ıcula sufre tres desplazamientos consecutivos: d1 = (15̂i+30 ̂j+12k̂) cm,d2 = (23̂i− 14 ̂j− 5.0k̂) cm y d3 = (−13̂i+ 15 ̂j) cm. Encuentre las componentesdel desplazamiento resultante, expŕeselo en términos de los vectores unitarios ydetermine la magnitud del mismo.

Solución

En este caso se tiene: d1x = 15cm, d1y = 30cm, d1z = 12cm, d2x = 23cm,d2y = −14cm, d2z = −5.0 cm, d3x = −13cm, d3y = 15 cm y d3z = 0.0 cm.El desplazamiento total d, es

d = d1 + d2 + d3,

con

dx = d1x + d2x + d3x = (15 + 23−

13)cm = 25cm

dy = d1y + d2y + d3y = (30 − 14 + 15) cm = 31 cmdz = d1z + d2z + d3z = (12− 5.0 + 0.0) cm = 7 cm.

Aśıd = (25̂i + 31 ̂j + 7k̂) cm.




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La magnitud del desplazamiento total puede ser calculada con la Ec.(19):

d =

d2x + d2y + d2z

=

(25 cm)2 + (31 cm)2 + (7 cm)2 = √ 1635 cm2= 40 cm


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Ejemplo 5. Tomando un sendero

Una senderista parte su recorrido, primero,

caminando 25.0 km al sur del este (sureste)desde su automóvil. Ella para y se estableceen su tienda de campaña para pasar la noche.En el segundo d́ıa, ella camina 40.0 km endirección 60.00 al norte del este (noreste), encuyo lugar ella descubre una torre de guarda-bosques.

1 Determine las componentes de losdesplazamientos de la senderista paracada d́ıa.

2 Determine las componentes del

desplazamiento resultantes R del viajede la senderista. Encuentre unaexpresión para R en términos devectores unitarios.

Figura 19. Viaje de la senderista.




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Solución

En la Fig. 19 se muestra un esquema del problema.

Parte 1):

Sea A el vector desplazamiento del primer d́ıa de la senderista. En este casoA = 25.0 km y θ = −450. Aśı

Ax = A cos θ = (25.0 km) cos(−

45.00) = (25.0 km) cos(45.00) = 17.7 km

Ay = A sin θ = (25.0 km) sin(−45.00) = −(25.0 km) sin(45.00) = −17.7 kmA = (17.7̂i− 17.7̂ j) km

Sea B el vector desplazamiento del segundo d́ıa de la senderista. En este caso

B = 40.0 km y θ = 60

0

. AśıBx = B cos θ = (40.0 km) cos(60.0

0) = 20.0 km

By = A sin θ = (40.0 km) sin(60.00) = 34.6 km

B = (20.0̂i + 34.6 ̂j) km




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Parte 2):

El desplazamiento resultante de la senderista es R = A + B. Las componentesde R son:

Rx = Ax + Bx = (17.7 + 20.0) km = 37.7 km

Ry = Ay + By = (−17.7 + 34.6) km = 16.9 km.Usando vectores unitarios, el desplazamiento resultante de la senderista R, seescribe

R = (37.7̂i + 16.9 ̂j) Km


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Ejemplo 6. Vamos a volar

Un aeroplano conmutador toma la rutamostrada en la Fig. 20. Primero, vueladesde el origen del sistema de coordenadasmostrado a la ciudad A, ubicada a 175kmen una dirección 30.00 noreste. Luego, vuela153 km con dirección 20.00 al oeste del norte

a la ciudad B. Finalmente, vuela 195 km ha-cia el oeste a la ciudad C. Encuentre la ubi-cación de la ciuidad C relativa al origen.

Figura 20. Viaje del aeroplano conmutador.

Solución

Con base en la Fig. 20, las componentes de los vectores a, b y c son, con

a = 175 km y θa = 30.00

:

ax = a cos θa = 175kmcos30.00 = 152 km

ay = a sin θa = 175 km sin 30.00 = 87.5 km


C b 153 k θ 1100

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Con b = 153 km y θb = 1100:

bx = b cos θb = 153 km cos 1100 = −52.3 km

by = b sin θb = 153 km sin 1100 = 144 km,

y, con c = 195 km y θc = 1800:

cx = c cos θc = 195 km cos 1800 = −195 km

cy = c sin θc = 195 km sin 1800 = 0.

Las componentes del vector resultante R del vuelo completo son:

Rx = ax + bx + cx = (152 − 52.3 − 195) km = −95kmRy = ay + by + cy = (87.5 + 144 + 0) km = 232 km

Usando vectores unitarios R se escribe como

R = (−95̂i + 232 ̂j) km.La magnitud de R es, usando la Ec.(15):

R =

R2x + R2y =

(−95km)2 + (232 km)2 = 2.5× 102 km.


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Usando la Ec.(16) se encuentra que la dirección de R es:

θ = arctanRy

Rx = arctan

232 km

−95km= arctan(

−2.4).

Usando la calculadora se obtiene θ = −680. Note que la coordena x de la posiciónde la ciudad C es negativa, de modo que esa ciudad está en el segundo cuadrante.Aśı, siguiendo la convención para ángulo medidos en el sentido antihorario desdeel eje-x positivo, la dirección es θ = 1120.

Luego, la ciudad C está a 2.5 × 102 km a 680 al noroeste de la ciudad A o, a2.5 × 102 km a 220 al oeste del norte de la ciudad A.

Note que el aeroplano habŕıa llegado a la ciudad C si hubiese volado 232km alnorte de la ciudad A y, luego, volado 95km hacia el oeste.

El aeroplano puede volver a la ciudad A en vuelo directo orientándose según elvector

H = −R = (95̂i− 232 ̂j) km, θ = −680.


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6. El Producto Escalar de Vectores

Vimos que un vector puede ser multiplicado por un escalar. Ahora veremos comose pueden multiplicar dos vectores.

En primer lugar consideraremos el producto escalar: El resultado de la multipli-caión de los dos vectores es un escalar; un número y una unidad correspon-diente.

El producto escalar entre dos vectores A y B se escribirá A ···B.En general, el producto escalar entre dos vectores A y B es una cantidad escalarigual al producto de las magnitudes de los dos vectores y al coseno del ángulo θentre ellos:

A ···B ≡ AB cos θ. (20)En este caso, las unidades de los vectores A y B no necesariamente deben ser lasmismas.

El producto escalar es comúnmente llamado producto punto.


Algunas propidedades del producto escalar

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Algunas propidedades del producto escalar

Figura 21. El producto escalar A ···B es igual ala magnitud de A multipliado por B cos θ, la

cual es la proyección de B sobre A.

En la Fig. 21 se muestran dos vectores Ay B y el ángulo entre ellos usada para ladefinición del producto escalar.

En esa figura B cos θ es la proyección del vec-tor B sobre el vector A.

La Ec.(20) significa que el producto A ···Bes el producto de la magnitud de A y la

proyección de B sobre A.Del lado derecho de la Ec.(20) se puede ver que el producto escalar es conmuta-tivo:

A ···B = B ···A.El producto escalar obededece la ley de distributividad de la multiplicación:

A ··· (B +C) = A ···B + A ···C.Si A B y ambos apuntan en el mismo sentido (θ = 00), entonces: A ···B = AB.Si A B y ambos apuntan en sentidos opuestos (θ = 1800), entonces: A ···B =−AB.


Si A ⊥ B (θ = 90) entonces: A · B = 0 Esto es cierto también en el caso en

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Si A ⊥ B (θ = 90), entonces: A ···B = 0. Esto es cierto, tambien, en el caso enque A, o B, es cero.

Cuando A y B son distintos de cero y 00 < θ 0.Cuando A y B son distintos de cero y 900 < θ

≤1800, entonces A

···B


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p , ,

A ···A = A2x + A2y + A2z .Ejempo 7. Un producto escalar

Los vectores A y B son dados por A = 2̂i + 3 ̂j y B = −î + 2 ̂j:1 Determine el producto escalar A ···B.2 Encuentre el ángulo θ entre A y B.

SoluciónParte 1).

Se tiene: Ax = 2, Ay = 3, Bx = −1 y By = 2. Usando la Ec.(23), se encuentraA ···B = AxBx + AyBy = (2)(−1) + (3)(2) = 4

Parte 2).Las magnitudes de A y B son:

A =

A2x + A2y =

22 + 32 =√

13

B = B2x + B2y = (−

1)2 + 22 =√

5


Usando la definición de producto escalar Ec (20) tenemos: A ···B = 4 A = √ 13

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Usando la definicion de producto escalar, Ec.(20), tenemos: A B 4, A √

13y B =

√ 5. Despejando para cos θ se tiene:

cos θ = A ···B

AB =

4

√ 13√ 5=

4

√ 65de modo tal que θ es dado por:

θ = arccos (0.4961) = 60.20.

Ejemplo 8. Trabajo hecho por una fuerza constante

Una part́ıcula que se mueve en el plano xy sufre un desplazamiento ∆r = (2.0̂i+3.0 ̂j) m a medida que una fuerza constante F = (5.0̂i + 2.0 ̂j) N.

1 Calcule la magnitud del desplazamiento y de la fuerza constante.

2 Calcule el trabajo W = F ···∆r realizado por la fuerza F sobre la part́ıcula.Solución

Parte 1).

La magnitud del desplazamiento (∆r) y de la fuerza (F ), son:

∆r =

(∆x)2 + (∆y)2 =

(2.0 m)2 + (3.0 m)2 =

√ 13 m2 = 3.6 m




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yF =

F 2x + F 2y =

(5.0 N)2 + (2.0 N)2 =

√ 29 N2 = 5.4 N,

respectivamente.

Parte 2).

Usando la definición de trabajo dada W = F ···∆r, con:∆x = 2.0 m, ∆y = 3.0 m, F x = 5.0 N y F y = 2.0 N,

se encuentra:

W = F ···∆r = F x∆x + F y∆y = (5.0 N)(2.0 m) + (2.0N)(3.0 m) = 16 Nm.


7. El Producto Vectorial de Vectores

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7. El Producto Vectorial de Vectores

Consideraremos, ahora, el producto vectorial entre dos vectores

Dados dos vectores A

y B

, el producto vectorial A×××B

es definido como untercer vector C, cuya magnitud es dada por el producto de las magnitudes de losvectores A y B y el seno del ángulo formado entre ellos. Matemáticamente, setiene

C = A×××B (24)y su magnitud es dada por:

C ≡ AB sin θ. (25)

Figura 22. El producto vectorial A×××B es un tercer vector C de magnitud AB sin θ igual al área delparalelógramo formado por A y B.


C t d l Fi 22 AB i θ i l l ´ d l l l´ f d

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Como mostrado en la Fig. 22, AB sin θ es igual al área del paralelógramo formadopor A y B.

La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y B.

El sentido de C se determina usando la regla de la mano derecha como mostradoen la Fig. 22.

Regla de la mano derecha. Los cuatro dedos de la mano derecha sonalineados a lo largo del vector A (el primer vector del producto) y se giran hacia el vector B (el segundo vector del producto) a través del

ángulo θ. El sentido en el que apunta el dedo “pulgar” es el sentido del vector C = A×××B.Debido a la notación A×××B, se lee “A cruz B”, de la cual se deriva el términoproducto cruz .

Algunas propiedades del producto vectorial

1. A diferencia del producto escalar, el producto vectorial no es conmutativo.El orden en el que se multiplican los vectores es importante:

A×××B = −B×××A. (26)


2 Si A es paralelo a B (θ 00) o A es antiparalelo a B (θ 1800) entonces

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2. Si A es paralelo a B (θ = 0 ) o, A es antiparalelo a B (θ = 180 ), entoncesA×××B = 0. Se sigue que A×××A = B×××B = 0.3. Si A es perpendicular a B, entonces, |A×××B| = AB .4. El producto vectorial obedece la ley de distributividad de la multiplicación:

A××× (B +C) = A×××B +A×××C. (27)De las Ec.(25) y (26) y de las definiciones de los vectores unitarios, se tiene:

î× î = ̂j× ̂j = k̂× k̂ = 0 (28a)la cual se sigue de

|̂i× î| = |̂ j× ̂j| = |k̂× k̂| = (1)(1) sin 00 = 0.y

î× ̂j = − ̂j× î = k̂, |̂i× ̂j| = |̂ j× î| = (1)(1) sin 900 = 1 (28b) ̂j× k̂ = − k̂× ̂j = î, |̂ j× k̂| = |k̂× ̂j| = (1)(1) sin 900 = 1 (28c)k̂× î = − î× k̂ = ̂j, |k̂× î| = |̂i× k̂| = (1)(1) sin 900 = 1. (28d)


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Los signos son intercambiables en los productos vectoriales. Por ejemplo:

A××× (−

B) = −

A×××B

e î××× (−

̂j) = −

i××× j

= −k̂

.

El producto vectorial entre dos vectores A y B cualquiera,

A = Ax î + Ay ̂j+ Azk̂, B = Bx î + By ̂j+ Bzk̂

puede ser expresado en la siguiente forma de un determinante:

A×××B =î ̂j k̂

Ax Ay AzBx By Bz

= Ay AzBy Bz

î− Ax AzBx Bz

̂j + Ax AyBx By

k̂.

La expansión de ese determinante lleva a:

A×××B = (AyBz − AzBy )̂i− (AxBz − AzBx)̂ j + (AxBy − AyBx)k̂. (29)


Ejemplo 9 Un producto vectorial

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Ejemplo 9. Un producto vectorial

Los vectores A y B son dados por A = 2̂i + 3 ̂j y B = −î + 2 ̂j:1 Determine el producto vectorial A×××B.2 Verifique que A×××B = −B×××A.

Solución

Parte 1).

En este caso tenemos: Ax = 2, Ay = 3, Bx = −1, By = 2 y Az = Bz = 0.Usando la Ec.(29), encontramos:

A×××B = (AyBz − AzBy )̂i− (AxBz − AzBx)̂ j + (AxBy − AyBx)k̂= [(3)(0) − (0)(2)]̂i− [(2)(0)− (0)(−1)]̂ j+ [(2)(2) − (3)(−1)]k̂

= 7ˆk.

Como era de esperar, dado que los vectores A y B yacen en el plano xy, el vectorresultante de A×××B es un vector que apunta en la dirección perpendicular a eseplano, es decir en la dirección del eje-z .


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Sabemos que A×××B = −B×××A, o sea B×××A = −7k̂.La comprobación de eso es como sigue:

B×××A = (ByAz − BzAy )̂i− (BxAz − Bz Ax)̂ j + (BxAy − ByAx)k̂= [(2)(0) − (0)(3)]̂i− [(−1)(0) − (0)(2)]̂ j+ [(−1)(3) − (2)(2)]k̂= −7k̂.


Ejemplo 10. El vector torque

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Una fuerza de F = (2.00̂i + 3.00 ̂j) N es aplicada a un objeto que puede girarentorno de un punto fijo a lo largo del eje-z . Si la fuerza es aplicada en un punto

colocado en r = (4.00ˆi + 5.00

ˆ j) m, encuentre el vector torque, definido como,τ τ τ = r×××F.

Solución

Vemos que el torque es definido como un producto vectorial. En este caso:

x = 4.00 m, y = 5.00 m, F x = 2.00 N, F y = 3.00 N y z = F z = 0.Aplicando la Ec.(29), se encuentra que

τ τ τ = r×××F= (yF z − zF y )̂i− (xF z − zF x)̂ j+ (xF y − yF x)k̂

= [(5.00 m)(0) − (0)(3.00N)]̂i− [(4.00 m)(0) − (0)(2.00N)]̂ j+ [(4.00 m)(3.00N)− (5.00 m)(2.00 N)]k̂ = [(12.0 − 10.0)k̂] mN= 2.0k̂mN.

El torque apunta en la dirección positiva del eje z , perpendicular al plano xy.


8. Ejercicios

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1. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.50 m, 30.00) y(3.80 m, 120.00) Determine:

1 Las coordenadas Cartesianas de esos dos puntos.

2 La distancia entre ellos.

2. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas Cartesianas (2.00, −4.00)m y(−

3.00, 3.00)m. Determine:

1 La distancia entre esos dos puntos.

2 Sus coordenadas polares.

3. Si las coordenadas rectangulares de un punto son (2, y) y sus coordenadas

polares son (r, 300

), determine y y r.

4. Un caminante se mueve 6.00km hacia el este y luego 13.0 km hacia el norte.Encuentre la magnitud y dirección del vector desplazamiento resultante usando elmétodo gráfico.


5. Un vector A tiene una magnitud de 8.00 unidades y forma un ángulo de 45.00

l j iti U t B t bi´ ti it d d 8 00 id d

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con el eje-x positivo. Un vector B también tiene una magnitud de 8.00 unidadesy apunta en el sentido negativo del eje-x. Usando métodos gráficos, encuentre:

1 El vector suma A + B

2 El vector diferencia A−B.6. Un vector A tiene componentes x e y de −8.70cm y 15.0 cm, respectivamente;un vector B tiene componentes x e y de 13.2 cm y −6.60cm, respectivamente.Si A−B + 3C = 0, ¿cuáles son las componentes del vector C?

7. Si A = (6.00̂i − 8.00 ̂j) unidades, B = (−8.00î + 3.0̂ j) unidades y C =(26.0̂i + 19.0 ̂j) unidades, determine a y b tales que aA + bB + C = 0.

8. El vector A tiene componentes x, y y z de 8.00, 12.0 y 4.00 unidades, respec-tivmente. Expresado en términos de vectores unitarios:

1 Escriba el vector A.2 Obtenga un vector B de un cuarto de la longitud de A apuntando en el

mismo sentido de A.

3 Obtenga un vector C de tres veces la longitud de A apuntando en elsentido contrario a A.


9. Una part́ıcula se mueve de acuerdo a los siguientes desplazamientos consecu-

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p g ptivos: 3.50 m hacia el sur, 8.20 m hacia el noreste y 15.0 m hacia el oeste

1 Usando vectores unitarios, escriba cada desplazamiento en forma vectorial.

2 Determine el desplazamiento total y la dirección con respecto al punto departida

10. Un vector A tiene una magnitud de 5.00 unidades y otro B, una de 9.00unidades. Los dos vectores hacen un ángulo de 50.00 entre ellos. EncuentreA ···B.

11. Para A = 3̂i+ ̂j− k̂, B = −î+ 2 ̂j+ 5k̂ y C = 2 ̂j−3k̂, encuentre C···(A−B).

12. Dados los vectores M = 6̂i + 2 ̂j− k̂ y N = 2̂i− ̂j− 3k̂, calcule el productovectorial M×××N.

13. Dos vectores son dados por A = −3̂i + 4 ̂j y B = 2̂i + 3 ̂j. Encuentre:1 El producto vectorial A×××B.2 El ángulo entre los vectores A y B.


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14. Dos vectores son dados por A = −3̂i+ 7̂ j− 4k̂ y B = 6̂i− 10 ̂j+ 9k̂. Evaluelas cantidades:

1 arccos

A ···B

AB

, y

2 arcsinA×××B

AB

.

3 ¿Cuál de ella(s) da el ángulo entre los vectores?

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Capitulo II IFU