-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
1/47
.
ens1on
C
r
cor
-
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2/47
2
Capítulo 1 • Tensión, compresión Y cortante
• • • ....
·
,
c>
L
1
eden resolverse
eficazrncnre
n1cdiantc proccd
tancta en mgcmctlc. .
ricos,
se
requieren necesariamente
la
s
mediciones ~ x p c n n J e n ~ a J e s .
El
desarrollo
hi
stórico de
la
mecánica de matenaJes constJtuye
una
fascinante
de
teoría
y
experimentación;
Jos
cxperirrJen tos, en
iertos
caso
camino
ha
c
ia
resultados
va
liosos,
mi
entras que la teoría Jo hace en
otro
célebres
como
Leonardo da
Vinci
(1452-1519) Y Galileo GaJilei (1564- 1
ron experimentos para determinar la resistencia de alambres,
barras y v
no
formularon ninguna teoría apropiada (conforme a las normas
actuale
car
lo
s
re
sultados de s
us
pruebas. Tales teorías aparecieron
mucho
des
contraste,
el
famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783)
desarro
matemática de
co
lumnas
y
calculó la carga crítica teórica de
una colum
mucho
antes de que existiera alguna evidencia experimental
que demos
vancia
de
sus
resultados. Así, a falta de pruebas apropiadas,
resulta
permanecieron
sin
utilizarse durante muchos años,
aunque actualmente
la
s bases de
la
teoría de las columnas.*
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
3/47
1.2 Esfuerzo normal y
1 2
ESFUERZO
NORM L
Y DEFORMACIÓN
Los conceptos fundamentales de esfuerzo y deformación puede
si
se
co
nsidera
una barra
prismática
cargada
con fuer
/as
axiales
p
como se
muestra
en la Fig. 1-1. Una barra prismática un miembro
to
con
sección transversal
constante
en toda
su
longitud.
En
este ejem
axia
les
producen un alargamiento uniforme de la
barra por
lo
que
s
cuentra en tensión.
~
1
1
m
p
-
d
p
n
a)
-
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4/47
slón Y cortante
1 • Tensión, compre . . r7os
resultantes
se d e
4
cap•tulo
stra l3 figura, Jos
csfuc
..
vi· ·rte lo que
oca
lo mue f . .zas se 1n
' · •
l s
fuerzas
P c ? n ~ ~ si el
sentido de las .
o ~ p r e s i ú n . Dado
que el e
fuerzos de
t e n ~ • ó
, se originan
e s f u e r z o s [ ~
. del corte se le conoce
co
rnpnrna,
1
uper
ICie
.barra seco . rpendicular a
s
den
ser
esfuerzos de
d
· ecc1ón pe ormales pue
túa en Jr
to
los esfuerzos n t tipo de esfuerzo, lla
normal por tan
.
rmente, e n c o n t r a r e m ~ s . o
ro
resión. PosteriO 1
la
superficte.
comP t nte que actúa paraJe o a onales para esfuerzos norma
zo cor a • . ignos convenc• .
e
ando se
r e q w e r e ~
f
de tensión
y
como
negatiVO
u . . o positivos los es uerzos
tumbra deftmr ~ ~ m
z s
de compresJon.
1
e
determina al dividir la
fuerza
el esfuerzo norma
a S •
Dado q u ~
1
d t nta unidades
de
fuerza
por
un1dad de
, d
1
secc
1
on
transversa , e e (N)
area e a
d
d d
1SI la fuerza
se
expresa
en newtons
d
emplean um a
es
e .
0
se d (
2)
Por
tanto el esfuerzo detenta unidades
de
newto
metros cuadra os m · d
d
(N/
2)
0
pascals
(Pa).
Sin embargo, el
pascal es una
un1 a
cuadra o m , , . ·
- que es necesario operar
con
multJplos
mayores.
Para
e]em
tan
pequena ·
se debe hacer notar que se requieren casi 7000 Pa
para
obtener
1_ psi.
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
5/47
•
1.2 Esfuerzo normal
y
de
la
barra
véase Fig.
1 1
a). Desde luego., cuando
el
esfuerzo
no
es unif
ción a = P A determina
el
esfuerzo normal medio
Una barra axialmente cargada sufre una variación en longitud:
se
a tensión y se
acorta
si
está a compresión. La variación total en long
ta por la letra griega
o
delta), y se muestra en la Fig. 1-Ja para una
tensión. Este alargamiento constituye el resultado acumulativo
del es
material sobre la longitud L de la barra.
Supongamos
que el material
cualquier lugar
de
la barra. Entonces, si se considera la
mitad
de la mi
ma sufrirá
un
alargamiento igual a
o 2;
asimismo, si se considera
una
l
ria
de la
barra
sufrirá un
alargamiento igual a
1/
veces
el
alargamie
esta forma hemos llegado al concepto de alargamiento
por
unidad
deformación unitaria, denotada por la letra griega t epsilon) y
deter
ecuación
{
€
L
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
6/47
t lo 1 • Tonsfón, compr
esión y
cortante
6
Cap• u ,
·sf ucrzos
y d c f o r r n c i o n c ~ co
.
i lxhl
ast
como
lÓ i l longttll
ma
diferentes a a trt :t :l: d f , zos
1
n:..c co
1
nplicados,
tales
como es
. b nes e es uer . U
posteriores dtstn uoo
y
estado
plano de
esfuer
zo.
111111111111111111111 111
11111111
11111111 11
1111111
11111111111111111111111111111111111
llllllllllllllllllrllllllllllllllllllllrtlflllllll
E j em p l o 1
D
t
ar
que las fuerzas axiales
P
que producen
tensión
o
compresión u
emos r ·
1
·
miembro prismático (véase Fig. 1-1), deben
actuar
en el centrmde
de
a secc1
Supongamos que
la sección transversal tiene el perfil cualquiera
mostrado
y como sistema de referencia tomemos cualquier conjunto
de
ejes
coordenados
de
l
sección transversal. Luego, el eje
z será paralelo al eje longitudinal
de
1-2b). Según se muestra en la Fig. 1-2b, suponemos
que
la distribución
de
esf
sección transversal es un esfuerzo uniforme de tensión a
= P1A. La
resultante
bución de esfuerzos es la fuerza axial
P.
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
7/47
1.2 Esfuerzo normal
A continuación,
se
igualan los
momcuto
s
dado
s
por
la s expter.iones a) y
l j = JnydA l x JrrxdA
Si
se
advierte que
la fuerza
Pe
s
igual
a
oA
y
que
el
esfuerzo
o es
una cons
ecuaciones anteriores pueden obtenerse las
fórmulas
siguientes
para
las c
_ f y dA
v=
. A
_ Jxd
. \ -
A
Estas ecuaciones
demuestran que las coordenadas de la línea de acción de
P
so
n
iguales
a
los
momentos de primer orden
del
área
de
la
sección tr
entre el
área
misma. Por lo
que
estas ecuaciones son idénticas a las que de
da
s del centroide del área.*
Se establece, por tanto, una
conclusión
general
importante.
Para q
compresión
uniforme
en una barra prismática, l fuerza axial debe e
centroide del área de la sección transversal.
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
8/47
Ion
y
cortante
1
1 • Ten IOfl.
compr
8 ( prtu o
3
•
es
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
9/47
1 1
I Jr ona r .fu 11 d
Las propiedades mecánicas de los .
~ r a n
m ~ d i n t e pru
ebas efectuadas
sobre ~ ~ ~ ~ t e n ~ les usuales en ingenie
reahzan
en htboratorio
s
de
prueba
de
-
~ s ~ ~ ~ ~
pequeñas del materi
pdz de r g r los espccínlenes
de i v ~
ma ena les dotados con equip
a
ten
s
ión
Ycampresión U d 1
er
sas maneras incluso carga está
pecunen de
prucb·l
se :o l
no
e
ta
es _aparatos se muestra en la Fig 1
c t:
oca
en
med
1
o del
11
, d ·
cuent
ra la
co
nsola de
control.
lart:o e carga y, a la iz
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
10/47
Ó
Y
cortante
. n compresl n • .
. o 1 • renslo
6
le I·t
t trg·t
¡ 1
¡
spos
Q CaplfU h ICCI H ( ' ' _
1
,
. .
ro
fra
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
11/47
1.3 Diagramas esfuerzo-de
La defornwción unitaria axial media
se
dcternliua a partir del al
dido
ó en tre
las
marcas de calibración. al dividiJ
l entre la
longitud ca
se Ec. 1-2). Si se
emplea
la longitud calibrada inicial (por ejemp]r),
2.0 p
obtiene
la
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
12/47
12
mpresión y cort nt
Cap•tulo 1 • T nsion co
R
_
-
..,1J
~ ~ - ~
Esfu
cr:w-
..
úllimo
Esfuerzo
de
tl
uencia ..._
_
Lí
mite
de
proporcionalidad
------
------ .-
--
B
~
-
E
Fract
ura
•
o l - L - - - - - - - ~
= =
= t
= = = = ~ - - - ~
f Plasticidad
R
eg
ión perfecta o
lineal fluencia
Endurecimiento
por
deformación
o o
Es
tn
cciOn
Fig. 1·7 Diagrama
es
fuerzo-deformación del acero est
ru
ctural
típico en tensión (fuera de escala)
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
13/47
1.3 Diagramas esfuerzo cfe
último c u ~ v a fJE> pero ~ t a d i ~ m i n . u c i ó n s
debe decremento en ár
no a una perdida de la resistencia misma del matenal. En
realidad, el
ta
.aumento de esfuerzo hasta
el
punto de falla (punto
E ).
Sin emb
practicos la curva esfuerzo-deformación convencional OABCDE,
ba
transversal original de la muestra y que, por lo tanto, se
calcula fá
nistra información satisfactoria
para
emplearla en el diseño.
El diagrama de la Fig.
1 7
muestra las características genera
esfuerzo-deformación
para
el acero dulce, pero sus proporciones no
que como se mencionó, la deformación que ocurre desde
B
hasta
C
ces mayor
que
la deformación que ocurre desde
O
hasta
A.
Ademá
ciones desde C hasta E son mucho mayores que las
correspondien
entreBy C. La Fig. 1-9 muestra un diagrama
esfuerzo-deformación
para acero dulce. En esta figura, las deformaciones desde
O
hasta
queñas comparadas con las deformaciones desde A hasta E, que no
s
parte lineal del diagrama aparenta ser una linea vertical.
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
14/47
•
14
Capitulo 1 • Tensión, compresión y cort nte
dicho elemento,
el
acero
se
vuelve menos dúctil, pero
aumentan su
esfuerzo de tlue
cia
y
su esfuerzo último. Las propiedades físicas del acero también se
ven afectad
por tratamientos térmicos, la presencia de otros elementos de
aleación, así como p
procesos de fabricación como el rolado o laminado.
Muchas aleaciones de aluminio poseen considerable duct ilidad,
aunque
carec
de un punto de fluencia claramente definido.
En
su lugar,
muestran una transici
gradual entre las regiones lineal y no lineal, como se indica en
el diagrama esfuerz
deformación de la Fig. l-10. Las aleaciones de aluminio
adecuadas para
propósit
estructurales están disponibles con límites de
proporcionalidad
en
el intervalo de
a 60
ksi
y esfuerzos últimos en el intervalo de 20 a 80 ksi.
40
30
/
[
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
15/47
•
1.3 Diagramas esfuerzo-
drfornt
·
ldón ·omo
o
002 (
0
, •
L:
•
o
.2°/o
).
La
intersección de la línea d
curva cstucr
zo-
defonnación punto
A en la figura) define el e
f
Dado q u ~ este esfuerzo se determina mediante una regla arb t s
~
una proptcdad
física inherente del mat . 1 . l I
ran
ena • se e conoce como es
u p ~ r e n t ~
Para
n m a t e r i a l como el aluminio, este esfuerzo de flue
te supenor al hmtte de proporcionalidad En el d 1
transición repentina desde
la
región lineal.has
ta l ; ~ : ~ i ó : ~ ~ e ~ ~ a : s
~ i ~ ~ ~ ~ P ~ ~ ~ i ~ ~ = l ~ ~ ~ i o r
es esencialmente igual al esfuerzo
d
c u c ~ o
(o
h u i ~
~ a n t i e n e
una relación lineal entre esfuerzo
~ ~ n l t ormactOnes
~ u t ~ n
entre 0.1 o 0.2. Su comportamiento de
te de
proporctonahdad
depende del tipo de material (véase F
3000
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
16/47
. cortante
·n compreslon
Y 1 de
la
estricción
que
1 • rens o ide
el
va
or
6
c pítulo 1 de área m
·ón
porcentus
La reduce• . .
define como
sJgue. A
o -
A
f
(
l {)())
Y
se
Reducción de área =
o
1
A
es el
área
fina
. transversa y
.
·
n l
de Ia seccwn
·ón
es alrededor del 5
donde
Ao
es
el
á ~ a ~ ~ : ~ a c e r o s d ú c t ~ l ~ s la ~ ~ ~ ~ ~ ~ r e l a
t i v a m e n t e bajos
d
ción
de
Ia
f r a c ~ u l .que fallan en t e n s ~ o n a , 1 s Algunos
ejemplos
son
Los rn_atenal::ifícan como matenales f r a ~ • e . y muchas
aleacione
ción
u n i t ~ n a
s e f ~ n d i d o
vidrio, materiales
ceramfi•caoss
elongaciones despué. dra hJerro f con sólo peque
pie , s Estos materiales a
an
F. 1 13) Yel esfuerzo
de fractura
comune · ·d d (
toA
en la 1g.
-
t
de
proporcionah a p u ~ .
L
s aceros
de alto carbono
se compor
~
l mismo que
el
esfuerzo ultimo. fluencia elevados
más de
100 ksl
frágil; pueden presentar esfuerzos e una elongación de bajo
valor
p
Per
o la fractura se presenta con
casos ,
J
B
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
17/47
80
\
60
1
ksi) 40
20
1 t
o
1.3 Diagramas esfuerzo-d
-
-
1
r
L
¿
V
r
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
18/47
. eslón y
cortante
8 Capitulo 1 • Tensr6n compr .
1
mportantcs
para
vanos m
d P
iedades mecamcas
Una tabla e pro
b t
te las
propiedades y curva
incluye en el Apéndice
H. No
o
s l a m n i s ~ o
~ a t e r i a l
debido
a
proce
. , ,an mucho aun para e
deformacton
van
. ' .
,
'mica defectos internos
temperatur
. . d 'f entes compostciOn qm
cacwn t er
1
uier
información
obtenida de tablas ge
t os factores Por lo que, cua q .
0
r . · t
mas no necesariamente apropiada para un
considerarse representa tva,
específica.
1.4
ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD
Los diagramas
esfuerzo-deformación descritos
en
la
sección
anterio
comportamiento de diversos
materiales
cuando
se cargan
estáticamen
0
a compresión. Consideremos ahora qué
sucede
cuando la carga
se retir
te y el material se descarga. Suponga,
por
ejemplo, que
se
aplica una
ca
pécimen a tensión
de tal
modo
que
el
esfuerzo
y
la
deformación
varían de
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
19/47
1 4 Ela tlcldad y p
anación O persist: con
o
deformación permanente. Asf durante
barra
rec
up
era
parc
aahnente su f
orma
original; en consecuencia se d
rial es parciahnente elástico .
Cuando se prueba una
bar
ra, la carga se incre.menta desde cero
lor pcq.ueño seleccio
nad
o y luego se retira.
Si
no existe alargamiento
toes. SI
esta alt eración de la barra regresa a cero) entonces
el
materia
ta el esfuerzo re
pr
esentado por el valor seleccionado de la carga. E
carga Y descarga puede repetirse
para
valores cada vez mayores de
tnente, se alcanz
ar
á
un
esfuerzo tal
qu
e no se recobra to
da
la deforma
desc
arga.
Mediante este procedimiento es
po
sible determinar el esfue
superior de la región elástica; por ejemplo, podría ser
el
del punto
1-
16a
y
l -16b. Este esfuerzo se conoce como
límite elástico
del mat
Mucho
s materiales, incluyendo la mayoría de los metales, tienen
les al principio
de
sus diagramas esfuerzo-deformación (véanse Figs.
g
ún se explicó en
la
Sección 1.3,
el
límite superior de esta región line
mo
el límite
de proporcionalidad.
El límite elástico suele ser ligeram
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
20/47
. mpresión Y cort nte
Tenstón, co
apitulo 1 •
2
F
B
p
o
e
o
e:
u
·-
§
co
cU
-
<
o
o
Tiemp
Fig. 1·17 Recarga de un
material y ascenso del
esfuerzo de fluencia
a)
b}
Fig. 1-18
Flujo plástico en una ba
bajo carga constante
táticos de carga de los especímenes;
por tanto
en el análisis no se con
po. Sin embargo, en algunos materiales se presentan
deformaciones a
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
21/47
1 6 Elastic idad lineal y le
embargo,
materiale
s como el
acero,
el coH
creto y
la
madera
fluyen li
t
f
·
tempera
atn:os
eneas.
Por lo tanto, en ocasiones es necesario
tos
de
fluJo
plástico
en
estructuras comune
s.
Por ejemplo,
el
flujo de
, 'ar
1 · d 1 . 1
en: o
as
u
on
u acaones
en
as calzadas
de
puentes
debido al
co
los apoyos. Una solución es construir la cubierta con una
curvatu
(contraflecha) que constituye
una deflexión inicial
sobre
la
horizont
q ~ e cuando el flujo
plástico
ocurra, los
claros
o
tramos
desciendan
mvel.
1.5 ELASTICIDAD LINEAL Y LEY E HOOKE
La mayoría
de materiales estructurales tiene
una
región inicial
ma
esfuerzo-deformación
en
la que
el material se comporta
tanto
e
como lineal. Un ejemplo es la
región
desde el origen O
hasta
el lí
cionalidad en
el
punto
sobre
la curva
esfuerzo-deformación
para
a
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
22/47
comproolón
y
cortant
22
Cap•tulo 1 • Tensión, clativanlcntc grandcc,
pa
l l
1
l
elasticidad
E
t
icuc
v a l ~ r ~ s
UJ
a le
s.
J accr
o
tiene
Elmo(
u.c
,.-.¡es colllo
los metaks cs l ru . 1a l
tJJn inJ·o
11 ~
apr
uv ngi
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
23/47
p
1.5 Ela tlcldad lineal y ley
y
1
1
-
-
....--------- - -
...
-20 Alargamiento axial y cont racción
de una
hmra
en
rensión
..
1
z
/ ,
41
_ + a
e
i - - - - - - - - - Jc
1 / /
/
/ / /
• \ ' f
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a 1
b , /
._. _
- - - - r - ~ - - - - t
1
1
1
11
1 1 ,
1
1 1 1
e l € 1
1 ,
1
1 1
1
1 1
1
1 o------t-1
___
: ; J
1
_.....
1 f /
.
1 1
~ - - - - - - - - - - ~ - ~ - V
---------
f
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
24/47
resión Y cortante .
1
• Tensión, omp .. .
al representar
la
4 cap• tufo b én se indica en la f tgura . 1 . La forma
que tmn
1 t.
rzas ax1a es.
wdinal
de la
bnna,
, ,
roducidos por las ue . . to del elemento e
los
esfuerzos
n o r r ~ ~ : ~ ~ í n s
continuas. E.l
a l a r g ~ t ~ l ~ : e s t o
que
las
defo
mento se
muestra d de
f:
es
la deformacton axta . l
s
disminuyen
e
e .
a
e:
o
n . · nes
1
ter a e
e la
carga
s
1
. E l-6)
las dtmensto . las
dimen
. _ .
- l t:
(vease c. .
E
onsecuencta,
terales .on .· ,
1
• Y
z
respecttvamente. n e
1
volumen final e
en las d i r e c ~ . : I o n t : s . ) b
1 -
vf) y Ct(l -
vt: ,
y e
del elemento son a¡(.l E , t
V¡ =
a1b1e1(
1 +
E)(
1 -
VE)(1 - VE)
, . que contienen
. btienen termtnos
Al desarrollar la expresión antenor se oueña comparada con la
unidad,
d
do y al cubo. Como E es muy peq . por lo
que
pued
cua ra . arados con la E mtsma,
Ysu
cubo son despreciables comp
1 1
n final del elemento es
se de
la
ecuación.
Por
lo tanto, e vo ume
V¡
=
a
1
b
1
e
1(
1
E -
2
VE)
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
25/47
. 1.6
Ea
fu
rzo
cortante y deforma
l: .ste esfuerzo
probablemente
es
Apéndice
H , por
lo que s u p o n d ; ~ ~ ~ r ~ ~ e e ~ ~ ~ ~ ~ d e
propordonaJída
La defor
mación
axial se
determina
mediante
la
ley
de H ~ ~ ~ ; o r t a en for
a 120
MPa
E =
E 70 GPa
=
0
·
00171
El
ala
rga miento total es
f L 0
.
00171) 3
.0
m =
5.14
mm
La deformación lateral se obtiene de la relación de Poisson:
•
1
E
la
te r
al =
V E
= -3
0.00171)
=
-0.000570
L ~ r e d u c i ó ~ .de
diámetro
es numéricamente igual al producto de la defo
tarnetro
ongmal
:
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
26/47
6
• Tensión, compresión y cortante
Capitulo
1
p
1
1
'
j
1
'
e
1
-
1
l
pi
q
1
1
v
.
,
n
m ~
¡
m
-.... -
p -
tf
l
V
.._..
-
(a)
(b)
(e)
Fig. 1·22 Tornillo sometido a cortante directo
aprecia que actúan
fuerzas
cortantes V sobre las
superficies
cortadas
del
to
este ejemplo particular,
cada
fuerza
cortante
V es igual a P12.
Estas
fuerza
son las resultantes de los
esfuerzos
cortantes distribuidos sobre
las seccio
versales del tornillo.
Los
esfuerzos
cortantes
sobre la sección
transvers
muestran mediante pequeñas flechas
en
la Fig.
1-22d.
Se desconoce la dis
exacta de estos esfuerzos,
pero son más
elevados
cerca del centro
y
se vuel
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
27/47
1 G
f
sfuer zo cortante
y
d formaclo
T
a
y
l
b
\
Ay
1
r:
1
X
.,...._ \_
, ,
,
, - -
'
a
y 1
1
,
1
1
;
X
d
ix
e
e
d
1l
--
-
t
2
(a)
{b)
Fig. 1·23 Esfuerzo cortante y deformación angular
inferi?r. s t a ~
dos
fuerzas f o ~ m a n un par que tiene un momento resp
magnitud
r U ~ y ~ ~
en
el
sentido
de
las manecillas del reloj en la figur
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
28/47
stón y cortnnt
28 Capitulo 1 • Tensión, compro
é
1
t
1
0
de forma del elemento y
&
l
. 1 d 1•
distors•
m,
o
can
, , .
es
una mee
J(
a e '
1
• • )
1
idndes
deJa
deformac16n
angula
ó u ar
(
umfaraa . ,as
un
l •
formac•
n
ang . .
por cortante se suponen
pobitivo s1
' f ...ar't
aclarar estos signos
convencJo
. t
das
en
la
•
Jg
- .
e
c1ones mos
ra . t
d.
s hacia
la
s direcciones
positivas
de los
ejes
·remos a
la
s caras
onen
a a . . .
n · V E tras palabras
una cara
es posttJva st su nor
P
ositivas del elemento . ·
no
'
·
. ·. · · d ' ttn eJ·e
coordenado
.
Las
caras
opuestas son cara
la
dJrCCCJÓil pO
S
itiVa C •
l
F
.
1
>3a las
caras derecha
supenor
y frontal son caras
lo que en a
1g.
-.. , ' ' .
x y y z,
respectivamente,
y
la
s
caras opuestas
s
on
_caras
n e g a t 1 v ~ s
se
utilizar esta terminología
podemo
s establecer los
stgnos
convenctona
zos cortantes
como
sigue :
un esfuerzo cortante que actúa sobre una
un elemento,
es
positivo si
actúa en la dirección po
si
tiva
de
uno de lo
dos
y es
negativo si
actúa en
la dirección
negativa
del
eje. Un esfuer
actúa sobre
una cara
negativa del
elemento,
es
po
sitivo si
actúa en la
tiva de
uno
de los ejes
coordenados
y negativo
si actúa
en la
direcci
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
29/47
1.6 Esfuerzo cortante y deformaci
Los módulos de elasticidad a tensión y cortante
(E
y G) se relac
1
. . .
a sigUiente ecuación:
G E
2 1 +
v)
donde
JI
es el módulo de Poisson.
Esta
relación, cuya obtención se d
ción 3.5, muestra que
E G
y
JI
no constituyen propiedades elásticas
del
material.
Ya
que
el
valor
del
módulo
de Poisson
para
materiales
cuentra entre cero y un medio O <
JI
< 1/2), se aprecia de la Ec. (1
estar
entre un tercio y un medio de E (E/3 < G < E/2 .
lllllllllllllllll
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
30/47
resión Y
cortante
30
e
itufo
1
• Tensión, comp
111111111111111111111
41
1
1111111111111111111111111111111111
IJJIIJJJIIIIIIIIIIIIJJIIIJIIJIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIJIIIIJIJJIIIIIJIIIII
E
J
e m p
1
o
2 .
t
bl
de espesor h cubierto
. . un matenal exJ e
h
d lla
de
apoyo consiste
en
.
25
) está sometida a una
fuer:t
Una
almo a 1 . x b
(F1g
1- · a Y .
d
1
de
acero de dimenswnes a , . , . tante medio Yla deformactón
a P aca . Determinar l esfuerzo cor
zontal
V (FJg.
l-25b). . to horizontal
d
de la placa.
almohadilla,
Y l
desplazanuen
V
•
1- - - - : a
..¡•1
(a)
(b)
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
31/47
1. 7 Esfuerzo perml lbles y cargas
tencia,
por
lo
que
el criterio
pre
ce
dente
pu
ede replantearse como
cia real
de
una estru
c tura
debe rebasar
la rcsi
tcncia requerida. La
resistencia real y la
re
sistencia requerida se
denomina
factor de se
..
. . resistencia real
I·
actor de
segundad n
= . . .
resJstenc
Ja requenda
Desde
luego, el factor de seguridad n debe ser mayor que 1.0 si se
falla del
material. De acuerdo con
las circunstancias, se emplean fa
dad desde un poco más de 1.0 hasta 10.
La
inclusión de factores de seguridad en
el
diseño no
es
un a
que la resistencia y la falla del
material
denotan
conceptos
difere
material, o
simplemente
la falla, significa la ruptura o el colapso
estructura,
o
bien
que las deformaciones
rebasan algún valor
limita
que la estructura se vuelve
incapaz
de realizar sus funciones. Est
falla puede
ocurrir con
cargas
mucho
menores
que aquellas que
oc
so.
Para
la
determinación
de
un
factor
de seguridad se deben
tomar
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
32/47
. 1 • Tensión,
compresión
Y
cortante
.
32
Caprtulo
bl el
esfuerzo
permisJblc al
a
d
d ño es esta eccr ·
Otro método e
Jse
,
lt mo
en
lugar
del
esfuerzo de
flu
. to del esfuerzo u
1 •
de segundad respec .
f
a giles
como
el concreto, y tambJ
d para matena es r ' .
todo
es
adecua
0
f
ermisible se
obtiene
de
la ecuac1ón
ra
l
madera.
El
es uerzo p
Ju
aper
m
= n
f
erzo
último El
factor de seguridad
normalmente e
donde
au es
e
es
u .
t
al
esf
uerzo último
que
con respecto al esfuerzo
de fluen
con respec o
de acero dulce, un
factor
de seguridad de 1.67 respecto al
esfuer
corresponde aproximadamente a
un factor de 2.8
con
respecto
al
es
El último método que describiremos comprende la aplicación
de
guridad a cargas en vez de a esfuerzos. Utilizaremos el
término
cargas
ú
notar las cargas que provocan el colapso o falla
de la estructura. Las c
estructura
en operación
denominan
cargas
de
servicio
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
33/47
1.7
1 = 1 plg •
s uorzo P
rml
,lblo
Y cargas
p 13
k
1
1
1
1
1
1
1
.
-
1
1
-4
1
..,./
...__.
p
Fig. 1·26 Ejemplo 1
Se decide
disefiar
el c i l i n d r ~ ~ n
un
espesor de pared
t
de 1 plg y un factor
~ ~ ~ : s p e c t o
de
la
res1stenc1a ultima. Calcular el diámetro
d
exterior míni
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
34/47
34
Capitulo 1 •
Ten
sión compresión y cortante
//////////////.
·
j_
5mm
--
• •
1
10
mm
4 mm
p
~ p
Fig. 1·27 Ejemplo 2
Por lo que la carga admisible P
1
basada en la tensión de la barra es
P
1
=
a
A
=
(120
MPa)(250
mm
2
)
=
30
kN
perm neta
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
35/47
1.7 Esfuerzo permls lbl • y cargas perm
p
p
~ - - - - - · - · - · ·
r
o
~
o
X
,
,
•
d<
.,.___, r •
r
,
\
X
/ / / V / . 1 / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / ~ , / / /
¡
• r
1
a)
b)
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
36/47
36
Tensión,
compresión
y cort nte
capttulo 1 •
o bien
Ax
=
A
0
exp yxfac) .
1
d stancia x desde
l
functón de a
1
'6
expresa el área
requerida A
como _unal
A En
la base
de la
columna,
Esta
ecuac
n · · _ o
A
es 1gua a
o·
1
na Note que st
x
- ,
superiordelacoum
·
requerida es At =
Ao
exp(yh/(Jc)
Los radios correspondientes son
r
A 112
X
At
tt
1t
1t ·
ó tima de volumen mínimo
Estas ecuaciones expresan las dimensiones
de
una
o l u m n ~
~ r a n s v e r s a l
el
área de
la
co
consecuencia, también peso mínimo), ya que
en
ca a secciOn
es justo la suficiente
para
soportar
carga a p b a l c a d ~
. se desea:
El volumen de la columna óptima
puede
e cu
arse SI
V h Axdx
=
h A
0
xp(yxf(Jc)dx
o o
= Ao Jc
[exp yhfuc)
1 ]
= [ exp(yh/(Jc) 1
y y
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
37/47
1.2·2 Una barra
horizontal CJJD
que
tiene
una
Iongit ud
de
2.4 m, se sostiene y
carga
como se
muestra en la figura. El miembro vertical AB licue un
ár,ea de sección transversal
de 550
mrn
2
•
Determinar
la magnitud de la
carga
P tal que produzca un esfuer
zo
normal
igual a
40
MPa
en
el miembro
AB.
1.2·3
Un
alambre de
aluminio
de
80 m
de
longitud
cuelga libremente bajo
su
propio
peso
véase figura).
Determinar
el
esfuerzo normal
máximo amáx
en el
alambre, si se
supone
que el aluminio tiene un peso
específico y =
26.6
kN / m
3
•
1.2·4 Un tubo hueco de diámetro interior d
1
= 4.0
plg
y
diámetro
exterior d
2
=
4.5 plg se
comprime
por
una fuerza axial
P
=
55
kip véase figura).
Calcular
el
esfuerzo de compresión medio
a
en el tubo.
1.2·5 Una columna ABC para un edificio
de
dos
pisos se construye con
un
perfil cuadrado hueco véa
se figura) . Las dimensiones exteriores son 8 plg x 8
plg,
y el
espesor
de pared
es
5/8
plg. La
carga
del
techo en
la parte superior de la columna
es
P
1
=
80 k
...
1 . 5 m
09 m J
Prob. 1.2-2
80m
p
cortante
resión
y
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
38/47
P
Ión com
1
•
rens
' • Jongirud Y
38 capitulo ·o de l
m
de ; 1 teusiñn
efe
cu.:d curga <
c.;
l)ua ¡,arrn J )(H rn una . lcremenllt su
1.2·9 diámetro, 1 1 a bnrrn 11 l)eter-
m
de f'rrurn). ·• . 1
carga.
J3 3 5
kN
,énse
Jg lelO
se aphC n a "óu
unitaria
de J • O
5
rnm
cutll
1 ieforrnact
· d en
.
1
v
a
l
Jongllu ,
0
norma •
. r el
es
fu t. rz
mma
1
m m
n l barra. .
15m
13.5
kN
13.5kl\'
/ ~ 1 m
Prob. 1.2-
9
untal Ycable BC (véase
2
10
Un
conjunto de p . . al
p
= 15
kN.
El
1. · rga verhc 20
figura) sostiene una .
a
transversal efectiva de
cable tiene una
s e ~ w n
de
250
mm2. (a) Calcular los
m
mz
v
el
puntal un area
1
cable y
el puntal
e
.
1
y
a
en e .
1
sfuerzos norma es
a . ~
de compresión. (b) St <
indicar
si
son
dr.
tension. cuál
es la
deformación um
cable
se
alarga 1.3 mm,
¿
t
O
62
mm, ¿cuál es su
1 5 m
Prob. 1.2-10
Datos de la
prue
tensión para el
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
39/47
r c d u c ~ i ó n (porcentual) de área de cEtda espécimen.
T?m.btén, clasiíique los materiales como frágiles o
ducttlcs.
1 ~ 3 · 3
Los datos mostrados en la tabla se
obtu
v.teron .de
una
prueba
a
tensión
de un
acero de alta re-
ststcncJa. El
espécimen de
prtteba ten' a
d
,
un tamet
ro
de
0.505
plg
y se
utilizó una longitud calibrada de
~ . 0 0 p.lg. El
alargamiento total entre las marcas de ca-
hbractón
en
la fractura fue
O42 l
l d .
. • ' • P g Y e 1ametro
nnmmo
fue
0.370
plg. Trazar
el
diagrama nominal
~ s f ~ e r z o d e f o r m a c i ó n para el
acero y determinar
el
hmtte de proporcionalidad, el esfuerzo de fluencia
para u n . ~ desviación de 0.1
(YJo
el esfuerzo último, la
elongaciOn
~ o r c e n t u l
en
2.00
plg
Y
la
reducción por
centual de area.
1:5:1 Se realiza una
prueba
de tensión sobre un es
pectmen de latón
de 1Omm
de diámetro
Y
se utiliza
u n ~
longitud calibrada de 50 mm (véase figura). Al
~ h c r una cargaP =
25 kN se
apreda que
la distan
Problem
Datos de esfuerzo·
deformación para
el Problema 1.5·3
111111111111111111111111111111111111111
~ s f u c r 1 o
(ksí)
Deform
8 0.0
17 0.0
27 0.0
35
0.0
43 0.0
50
0.0
58
0.0
62 0.0
64 0.0
65
0.0
67 0.0
68
0.0
50
mm
compre ion y c..ortant
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
40/47
4
0
'
~ • o
• n
ó .
.
ó
n
un
cilindro
de
b
r a cornpr csl
1.5·9 Al
pro
_a
)
1
írlunet ro
original de 6 pJg
é
f¡gu ra
,
e
1
• • J
de
concrero
v
.a. i
1
y
la
longitud
ongma
se incrementó en o . o < ~ ~ f f plg bajo Ja
acción
de
la
12 plg se redujo _en ° _
2
OOO Jb. Calcular el mó -
carg
a
de
compres16n P - •
duJo
de Poisson ''·
p
•
• •
. .
•
•
•
•
..
. • o .
• •o . •
1 • . • • ..
...........
.
.
.
. . .....
' o
'V
o '
1 D • •
.
.
.
.
, • •
• • o ..
o
• • • • • 1 ' '
•
•
••
•
•
...
• 11.
• • • • . · .. o
• • • • • 1
• •O • • • • •
• • • • o • •
• .. • • - •• • 0
6plg
Prob.1.5-9
12
plg
dcte
1
miuar (a) l alargamiento de la
riación en las dimensiones
de Ja &ecd
(
e) el
cambio
de
volumen.
y
=
:
b
1
j
•
- -
¡ L
Prob.
1.5-11
1.5·13 Una barra
sólida circular
de
E = 12.5
x
103 ksi, P =
0.30)
diámetro
y 15 plg de
longitud,
se
com
fuerza
axial
P
=
45,000 lb
(véase fig
minar
el
incremento A.d
en
el
diáme
(b)
Determinar
la
reducción de v
Proble
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
41/47
mcn según
el plano
AB El nncho del
)é
,·
. c ~ J ¡;IJllCI1 (per -
pcndtcular
al plano del pnpel)
es
2
plg y la
all ura
h
del
plano
ABes
2 plg.
Para una carga p
=
1700
lb ,
el
esf
,. . , J ~ ; u á l
es uc.:r zo cor
tante
medio r e
1
d .
ntet l
11
a ma era l
p
=
17OOlb
•
arco de prueba
,,
\
;
1
1
\
T
1
•
h
=
2 plg
, 1
1
Prob.
1.6-3
p
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
42/47
4
T
ensión, compresión
y
cortAnte
Capitulo 1 •
-
_
-
-
-
8 Jg
-
-
. '-..,
' -=--
p
•
2plg
.
2 plg
2plg
2 plg
Prob. 1.6-9
Prob. 1.6-6
Problema
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
43/47
Vign 1
po cnjó
n
Perno
Perno
en A
A
B
e
-
Sección
X X
~ ~ ~ ~
~
__
,..._
.__
_
Prob. 1.6-1O
T
0
= 10 kN · m
~
d
= 150 mm
1----2m-
Prob.
1.6-11
o
•.
• o ... • • • •
••
u
.. . . • • • • o • . .
· • o· • ' · . •
o· '
,
· , , ·
• . · · o<
••. . . o • •
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
44/47
Prob1
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
45/47
pernos de acero, cont icne un gas n presión p (véuse 1 -
gura).
El
diámetro d de
los tornillos
es
0.5 plg y el
es-
fuerzo permisible a
1
ensi6n
de
los mismos es 10,000
psi.
Si
el diámct ro interior
D
del cilindro es 1O plg
y
la
presión
p es 280
psi determinar
el número
de tor-
nillos
n
necesario para retener la cubierta.
Cuhierta
' p
Tornillos de acero
u--Cilindro
nm
:
ho
t·s 40
mm. Si el
esfue
hle eu
la l>arra
es 1
so
MPa
ye
. .hl
mr s1
e en el perno
es 8.5
MP
pcrmisihlc
P
·
1.7·8
Dos barras planas ca
de tensión
P
están empalm
•
D
=
lOplg
Prob. 1.7-5 Prob. 1.7-8
1.7·6
Una barra
maciza
de
sección transversal cir-
mpreslbn y cortont
46 t rulo 1 • f 151 n,
f)oporfc
j pcr manee
.e
C(Jn tari te. pP Tr
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
46/47
IJI esfuerzo medio pcrrnisihlc
a compresión para
el
•
I\'1Pa 'fJUnl
el
neciO
1 ~ 0
MPa. Deter
minnt el
diámetro
mínimo
requcrado d
de la
placa
ha
oncrclo es J •
se si debe npoyar
la
carga máxima P que será so
portada por
el rubo.
1.7·11
Una columna prismática
de
sección trans-
versal
cuadrncla
(dimensiones b X b) se somete a una
carga de compresión P
en su
parte superior (véase
fi
gura). El material de
la
columna tiene un peso
específkt)
1
y un esfuerzo
de
compresión permisible
De1enuinnr la
fórmula
para la altura máxima permi
sible z de
la
co lumna, considerando simultáneamente
la
acción de
la
carga
P
y
el
peso
de
la columna.
¡ _ 2 5 m m ~
--u-
.-10
mm
p
variarse al mocJJftl ar la
l n n g ~
1t1 d
pone que
a m b a ~
barra> er
rf
la
8ecci6n
tranwerhal y que c}án v;
zadas al valor perrmsible
en
um.
ángulo Otal que la estructura ttnga
(Despreciar
el
peso
de
las barras.J
1.7·15
Dos barras AB y BC (;é
una carga vertical
P
Ambas están
material
y
sus áreas de sección
ajustarse a cualquier valor desead
la barra horizontal BC permanece
bargo, el ángulo O puede variar a
calmen
te
el
punto
A
y
modificar
l
valor correspondiente a la nueva p
supone que el esfuerzo permisible
.
mo que a compres10n,
y
que a
completamente esforzadas a tal v
ánguloOtal que la e s t r u c t u r a teng
(Despreciar
el
peso de las barras.
Problema
-
8/20/2019 Capitulo I Timoshenko
47/47
tura
y se
construye
de
concreto con un esfuerzo de
compresión
permisible
o.
=
2000 psi. a)
Determinar
el diámetro
requerido d
de la pila, si se supone
que
la
misma es
prismática y
que el peso específico del
concreto
es 150
lb/pie
3
• b) Comparar el volumen
p
de esta pila
con
el
volumen
V
de una
pila
óptima
véase Ejemplo 3.
Ec.
1-21).
1 7·17 Una barra larga de sección transversal rec
tangular cuelga de un soporte
y
sostiene
una
carga P
en su
extremo inferior,
además de su propio peso
véase figura . El
espesor
t de
la
barra es
constante,
pero
su ancho
b varía
con el
largo.
La
longitud
de
la
barra
es
L
y el
material tiene
un
peso específico
Y.
Determinar la
fórmula para el ancho bx de una sec
ción
transversal
a una
distancia x
del
extremo
infe
rior, a fin de
tener esfuerzo de tensión
constante Jr
en
toda la
barra. También determinar las
anchuras b
y
•
L
X
p
l--b--1
Sección
transve
b
en
los extremos inferior
y supe
pectivamente, y determinar el volu
