Capítulo 5 Hidrodinámica

8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica

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FÍSICA 2

CÁPITULO 5:

HIDRODINAMICA


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HIDRODINAMICAEstudia los fluidos en movimiento; en un primer caso fluidos ideales es decir :

No tiene fricción interna (viscosidad).

Laminar: Cada partícula del fluido sigue una trayectoria contenida en una capa; laslíneas de flujo no se cruzan. Esto se produce para ajas velocidades

s!a"#$: !a velocidad del fluido en cada punto permanece constante en el tiempo.

Incom%r$si"#$: !a densidad del fluido es constante.

Lin$as d$ '(o: "on las trayectorias #ue sigue unelemento de fluido atraves de una misma linea con

la misma velocidad #ue el elemento anterior$

manteni%ndose &estacionario'


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Flujolaminar

Flujoturbulento


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T'"o d$ '(o: Es la agrupación de varias líneasde flujo

c'aci)n d$ con!in'idad

efine al transporte del fluido como constante es

decir #ue el caudal #ue atraviesa dos puntos dee

conservarse

Como la densidad es constante$ luego la masa #ue

ingresa al sistema es igual a la masa #ue sale de %l:

*dm dm=


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* * A v dt A v dt ρ ρ = * * A v A v=

Q1 = Q2 es decir en una tueria$ el caudal se mantiene constante m+,s

!a relación de la velocidad fluido y el

-rea #ue atraviesa es inversa$ es decir en

areas pe#ueas las líneas de flujo son

mas densas y poseen mayor velocidad y

viceversa; un ejemplo es la salida de un

li#uido atraves de una manguera


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c'aci)n d$ *$rno'##ic'aci)n d$ *$rno'##i

/sando el teorema de la energía mec-nica:

W neto = ΔE

* * * p A ds p A ds K U − = ∆ + ∆

etermina la presión de un fluido a traves de

un recorrido de -rea transversal variale. En

la figura el elemento de flujo se traslada del

punto al *$ sometido a diferentes presiones.

( ) ( )**

*

**

*

y ydVg vvdV dV pdV p −+−=− ρ ρ

( ) ( )**

*

***

y ymg vvmdV pdV p −+−=−


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tecons gyv p gyv p gyv p tan*

*

* **

***

* =++⇒++=++ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

( ) ( )

cahidrostati presioncinematica presion

absoluta presion

y y g vv p p

*

*

*

*

**

−+−=− ρ ρ

!a Ecuación de 0ernoulli se deriva del 1rincipio de Conservación de la Energía

2ec-nica. Es v-lida solamente para fluidos incompresiles$ (la densidad es

constante)$ no dee e3istir ganancia o perdida de energía del sistema$ (tampocotransferencia de calor adentro o fuera del sistema) ni dee e3istir friccion.

4plicando 0ernoulli a la sustentacion del aire en un ala de avion

justifica como este puede volar. !a presión en la parte superior del

ala es menor #ue en la parte inferior. Esto produce en el ala una

fuerza neta 5acia arria.


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A%#icacion$s d$ #a c'acion d$ *$rno'##i

6 T$or$ma d$ Torric$##i "e tiene un dispositivo cerrado en el se

uica un fluido de densidad 7$ el li#uidoes desalojado por un orificio pe#ueno$

aplicando la ecuacion de 0ernoulli: .

( ) gh p pvv a*

**

*

* +−+=

ρ

e la figura y1 = h; y2 =0; p1 = p; p2= pa

*

*

**

*

*

)

*

) gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++

1or la ecuacion de continuidad 4 v 8 4* v*


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( )( )

−

+−=⇒+−=

−

*

*

*

**

*

**

*

**

**

A A

gh P P

v gh P P A

Av

a

a

ρ

ρ

( ) gh P P v a **

* +−=

ρ

ghv **

=

"i 4** 99 4

*

6 "i el deposito es aierto y 181a

6 "i el deposito es cerrado y 1 1a P v

ρ

** =


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6 T'"o d$ +$n!'riEl $&$c!o +$n!'ri consiste en unacorriente de un fluido dentro de

un conducto cerrado disminuye la

presión del fluido al aumentar lavelocidad cuando atraviesa por

una zona de sección menor. "i en

este punto del conducto se

introduce el e3tremo de otro

conducto (de menor area)$ se produce una aspiración del fluido

contenido en este segundo

conducto.

*

*

**

*

*

*

gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++

4plicando la ecuacion de 0ernoulli

p1 - p2 = gh

p1

= p0

! gh1

p2 = p0 ! gh2

**

*

**

*

como

*

*

v Av A

v pv p

=

+=+ ρ ρ *

*

*

*

ghv

A

A

=−

h1h2

y1 = y2 = 0


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6 T'"o d$ Pi!o! Este dispositivo est- perforado con pe#ueos orificios laterales

suficientemente alejados del punto de

parada o estancamiento (punto del flujo

donde se anula la velocidad) para #ue las

líneas de corriente sean paralelas a la

pared. una sonda$ cominada con una

detector de presión de impacto

(perpendicular a la dirección de flujo)$

forma una sonda de presión cin%ticallamada tuo de 1itot

4plicando la ecuacion de 0ernoulli

*

*

**

*

*

*

gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++

2

1


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como y1 = y2 y adicionalmente

v1 =0 "luido

p pvv p p

ρ ρ

)(*

*

**

*

**

−=⇒+=

pero p1 - p2 = #p = mercurio g#h

"luido

mercurio ghv ρ

ρ ** =

Este dispositivo se emplea a menudo en aeron-utica: situado en un lugar de poca

turulencia$ permite medir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire.

ami%n se usa en la medición del flujo de lí#uidos y gases en tuerías


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+ISCOSIDAD"e denomina viscosidad a la fricción interna #ue e3iste entre capas adyacentes del fluido$ conforme se

deslizan una sore otra. El movimiento de un fluido viscoso es an-logo al esfuerzo cortante y a la

deformación unitaria por cizalladura.

Como el flujo es laminar$ las capas se deslizan una sore otra. En un instante tiene

la forma a b c d y posteriormente a b c$d$ la cual es deformada continuamente

deido a la fuerza tangencial constante; por lo tanto la deformacion unitaria por

cizalladura ser-:

%

dd <

=β


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!a deformación es m-3ima si: ( ) %

v

dt

d =

β

%v

A &

=η

!a relación del esfuerzo respecto a la deformación unitaria m-3ima se define por:

' es el coeficiente de viscosidad (dinamico)$ poise gr,cm=s

( = ') es el coeficiente de viscosidad (cinematico)

despejando la fuerza

fluidoelenaretardador fuerza dy

dv A &

%

Av & η

η −=⇒=


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L$, d$ Pois$'i##$

!

r

>

1?r * 1*?r

*

En un tuo circula un li#uido

viscoso @ de radio > y longitud

!$ tomando un cilindro interiorcual#uiera de radio r.

dr r

d& = *P 1 + P 2 ,r 2

( )dr

dvr%

dr

dv Ad& π η η *−=−=

( ) ( ) ( ) ( )

c %

r P P r vdvdr %

r P P

dr

dvr%r P P +

−−=⇒−=

−⇒−=− η η π η π A)(**

*

****

4plicando condiciones iniciales r 8 > y v 8 B ( ) ( )***

A

)( r .

%

P P r v −

−=

η


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vma3ima

vB

vB"e aprecia la relación cuadr-tica #ue depende del

radio$ es m-3imo en el centro (r 8 B) y mínimo en

los e3tremos (r 8 >)

Como el volumen es dV = vdAdt

( ) ( )( )dt rdr

%

r . P P vdAdt π

η *

A

**

* −−=

( ) ( )( ) %

rdr r . P P

dt

dV

η

π

A

**** −−=

( ) %

P ./dr r rdr .

%

P P d/

. .

η

π

η

π

DA

*A

B

+

B

**) ∆

=⇒

−

−= ∫ ∫ ∫

Es el caudal #ue

atraviesa un fluido

conocida como !ey

de 1oiseuille


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L$, d$ S!o-$s

alida solo para una esfera de radio > est- cayendo dentro de

un fluido. !a fuerza viscosa ( & ') se opone a la velocidad (v) de

la esfera. "i ' es el coeficiente de viscosidad del fluido$ se

cumple: & ' = r'v

Esta ley permite determinar el coeficiente de viscosidad de un

lí#uido$ midiendo la velocidad terminal de una esfera cayendo

en el fluido.

1or la * ley de NeFton mg + & ' + = ma cuando ad#uiere velocidad terminal

a 8 B

mg + & ' + = 0 3 & ' = mg + 3 r'v = es"eraVg - li4uidoVg

como V es"era = V li4uido 3 r'v =5)6 *es"erar 6 g + li4uidor

6 g,

( )li4uidoes"era g r

v ρ ρ η −= G* * velocidad limite de una esfera en un fluido

viscoso


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N'm$ro d$ R$,no#ds

Es un numero adimensional #ue caracteriza el movimiento de un fluido relaciona la

densidad$ viscosidad$ velocidad del fluido y la dimension de la tueria

)(con>e >e ρ

η γ

γ η

ρ ===

v7v7

"i el numero de >eynolds es menor o igual a *BBB$ el flujo es laminar o regular

"i se encuentra en el intervalo de *BBB H +BBB el flujo es inestale

"i el numero es mayor o igual a +BBB el flujo es turulento


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6 1or una tuería inclinada

circula agua a razón de G m+,min$

como se muestra en la figura: Ena el di-metro es +B cm y la

presión es de If,cm*. JCu-l es

la presión en el punto saiendo

#ue el di-metro es de K cm y

#ue el centro de la tuería se

5alla KB cm m-s ajo #ue en aL

Entre los puntos a y se cumple 44 v4 8 40 v0 8 C

( ) ( ) sm

m

sm

A

8 v

9

9 ,++$DBMK$B

,NB

G

*$)Am,smB$)K?

,smNB

G

4

Cv

**

+

**

+

4

4 ======π

Ejercicios


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4plicando 0ernoulli para calcular la presión en :

( ) ( )****

*

*

*

9 9 A A 9 9 9 9 A A A vvhh g P P v gh P v gh P −+−+=⇒++=++ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

( ) ( ) ( )( ) Pa P P 9 9 MBGBB NGN$ABBB*

K$BD$GBBBGDBBB =⇒−++=


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6 El tan#ue de agua de la figura est- cerrado por arria y el

aire comprimido entre la superficie del agua y la tapa tiene

una presión manom%trica de + atm cuando el nivel del agua

est- a K m de su ase. !a o#uilla de la manguera est-

apuntando verticalmente 5acia arria. Considere #ue el -reade la sección transversal de la o#uilla de la manguera es muy

pe#uea en comparación con la del tan#ue y #ue la densidad

del agua es BBB Og,m+. etermine la m-3ima altura 5 #ue

puede alcanzar el c5orro de agua y la velocidad con la #ue

sale.

: Nivel del agua en l tan#ue *: !a o#uilla +: 4ltura m-3ima

c5orro de agua

4plicando 0ernoulli a los puntos y +

gh P g P P

v gy P v gy P

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

+=++

++=++

BBB

*

+++

*

K+

*

*


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4plicando 0ernoulli a los puntos y *

m g

P h gh g P AK

+ K+ BB =+=⇒=+

ρ ρ ρ

+=

+=++

++=++

g P

v

v P g P P

v gy P v gy P

K+

*

*

K+

*

*

B*

*

*

*BBB

*

***

*

ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

smv ,+B* =


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6 /n tan#ue cilíndrico de $DB m de di-metro

descansa sore una plataforma de una torre a m de

altura$ como se muestra en la figura. Pnicialmente$ el

tan#ue est- lleno de agua$ 5asta la profundidad 5B 8

+ m. e un orificio #ue est- al lado del tan#ue y en

la parte aja del mismo$ se #uita un tapón #ue cierra

el -rea del orificio$ de cm*. Con #u% velocidad

fluye inicialmente el agua del orificioL Cu-nto

tiempo necesita el tan#ue para vaciarse por

completoL.consideraremos #ue la altura 5 del lí#uido disminuye

en d5 durante un intervalo de tiempo dt$ entonces$ la

velocidad con #ue aja el fluido en el tan#ue varia

en el tiempo

1or continuidad v 4 8 v* 4* y como la velocidad puntualmente varia v8d5,dt

** A

Av

dt

dh=−


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6 "ore una mesa 5ay un recipiente en cuya pared lateral y a una altura de K cms

sore el fondo se uica un tuo capilar con radio interior es mm y su longitud es

cm. El recipiente contiene aceite (78GBB Og,m+) y @8B$K Og,m=s; si el nivel del

aceite se mantiene 58KB cms sore el tuo capilar$ a #ue distancia del tuo capilar

caer- el c5orro sore la mesa.

pr

l t

l

pt r l r

l

pr

t

V

l

pr /

∆=⇒

∆=⇒

∆=⇒

∆=

*

*A

*

AAD

DDD

η

η

π π

η

π

η

π

( ) ( )( ) ( )( )

st :

:t BG$B

)K$B(D$GBGBB

BK$BD

A

=⇒= −−

( ) ( ) smvv ghv ,GD$B BK$BD$G* * orricelli porlado$otropor ==⇒=

( )( ) cmseomeevt e G BG$B B$BGGD$B como ===⇒=


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6 etermine si un fluido de B$K Og y densidad M$K Og,m+ #ue se desplaza por un

tuo de diametro *cm en un tiempo de media 5ora y cuya viscosidad cinetica

e#uivale a $++3B= m*,s e#uivale a un movimiento laminar.

Avt

V // =⇒= dcontinuida por *

K)BD$+

)DBB

BND$B BND$B

K$M

K)$B −=⇒=⇒⇒== :

t

V

t

V mV

ρ

( ) ( ) B B AA* v : Av : Ar A −− ==⇒= π π π

( ) smvv : : Avt V

,*$B BBD$+ comoAK

==⇒= −−

π

( )( )DBA>e

B++$

*$BB*>e >e

*

=⇒=⇒== −−

:

:v7 7v

γ η

ρ

El flujo es laminar

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