Capitulo 5 - Grafos e Redes - di.ubi.ptcbarrico/Disciplinas... · Conceitos fundamentais de grafos 1 Cap. 5 - Grafos e redes Capítulo 5 – Grafos e redes 1. Conceitos fundamentais

Índice i

Índice

Índice

Capítulo 5 – Grafos e redes

1. Conceitos fundamentais de grafos......................................................... 1

2. Conceitos fundamentais de redes ......................................................... 2

3. O problema do Caminho Mais Curto ....................................................... 3

3.1. Conceitos gerais .......................................................................... 3

3.2. Algoritmo de Dijkstra .................................................................... 4

3.3. Algoritmo de Floyd ...................................................................... 10

4. O problema da Árvore Abrangente Mínima ............................................. 13

4.1. Conceitos gerais ......................................................................... 13

4.2. Algoritmo de Prim (1ª versão) ......................................................... 13

4.3. Algoritmo de Prim (2ª versão) ......................................................... 16

5. O problema do Fluxo Máximo ............................................................. 20

5.1. Conceitos gerais ......................................................................... 20

5.2. Algoritmo de Ford−Fulkerson .......................................................... 22

Conceitos fundamentais de grafos 1

Cap. 5 - Grafos e redes

Capítulo 5 – Grafos e redes

1. Conceitos fundamentais de grafos

Em muitos problemas que nos surgem, a forma mais simples de o descrever, é

representá-lo em forma de grafo, uma vez que um grafo oferece uma representação visual

que trará vantagens na construção de um modelo matemático com vista à resolução do

problema.

Um grafo é uma estrutura constituída por dois conjuntos finitos: de vértices (nós ou

nodos) e de arestas (arcos ou ramos). Um grafo pode ser representado por G = (N, A), em

que N = {1, …, n} e A = {1, …, m} são os conjuntos de vértices e arestas, respetivamente,

em que A ⊆ N×N.

Cada aresta é representada por um par (i, j), com i ≠ j e i, j ∈ N, em que i é o vértice

origem e j o vértice destino. Uma aresta (i, j) diz-se não dirigida (não orientada) se o arco

(j, i) ∈ A, e diz-se dirigida (orientada) se o arco (j, i) ∉ A.

Existem 3 tipos de grafos:

- orientado (dirigido) todas as arestas são dirigidas,

- não orientado (não dirigido) todas as arestas são não dirigidas e,

- misto algumas arestas são dirigidas e outras são não dirigidas.

Um grafo diz-se completo, se entre quaisquer dois vértices existir uma aresta dirigida

(grafos dirigidos) ou não dirigida (grafos não dirigidos).

A densidade de um grafo é a razão entre a quantidade de arestas do grafo e a

quantidade de arestas do grafo completo com igual quantidade de vértices.

Dois vértices são adjacentes (vizinhos), se estiverem ligados por uma aresta. Duas

arestas são adjacentes se forem ambas incidentes relativamente ao mesmo vértice. Um

vértice é de ordem k, se tiver k arestas a ele adjacente.

2 Conceitos fundamentais de redes


Considere-se dois vértices, S e T, do grafo G. Um caminho de S para T, é uma

sucessão de vértices e arestas, p = [ S = n1, (n1, n2), n2, …, (nk-1, nk), nk = T ]. No entanto,

aquele caminho também pode ser representado apenas pela sucessão de vértices (p = [S =

n1, n2, …, nk-1, nk = T]) ou de arestas (p = [(S, n2), ..., (nk-1, T)]). O caminho p diz-se

simples, se cada vértice e aresta pertencem à sucessão uma única vez.

Um ciclo é um caminho em que S = T. Num ciclo simples, todos os vértices são

distintos. Um circuito (ciclo dirigido) é um ciclo formado por arestas dirigidas.

Um grafo dirigido sem ciclos dirigidos, diz-se acíclico. Um grafo diz-se ligado

(conexo), se existir um caminho entre quaisquer dois vértices.

Uma árvore é um grafo orientado com um e um só caminho simples entre quaisquer

dois vértices. Um subgrafo que seja uma árvore e contenha todos os vértices do grafo, é

designado por árvore abrangente (árvore total ”Spanning Tree”).

2. Conceitos fundamentais de redes

Quando se associam valores aos vértices e/ou às arestas, o grafo designa-se

geralmente por rede. Neste caso, fala-se em nós/nodos e arcos, e em vez de vértices e

arestas, respetivamente.

Uma rede pode ser representada por G = (N, A, C), em que (N, A) é um grafo e C

corresponde ao conjunto de valores associados aos arcos (“comprimentos“): ao arco (i, j)

está associado o valor cij. De uma maneira geral, os conceitos utilizados em grafos são

extensíveis às redes.

Considere-se um caminho p de S para T, na rede G. O “comprimento“ do caminho p

corresponde à soma dos “comprimentos“ dos arcos que pertencem àquele caminho:

C(p) = ∑∈ p)j,i(

ijc

Numa rede G, o conjunto de todos os caminhos de S para T identifica-se por P.

Define-se árvore mínima (árvore de caminhos mais curtos) com raiz em S, como a

árvore que contém todos os nós de N acessíveis a partir de S, em que para cada nó n2 o

único caminho de S para n2 é o caminho mais curto (de comprimento mínimo) na rede G

que liga S a n2.

O problema do Caminho Mais Curto 3


3. O problema do Caminho Mais Curto

3.1. Conceitos gerais

O problema do Caminho Mais Curto (“Shortest Path problem”) é um modelo

matemático fundamental e frequentemente usado quando se pretende estudar redes de

transportes e de comunicação. Este problema surge quando se pretende determinar o

caminho mais curto, mais barato ou mais fiável, entre um ou vários pares de nós de uma

rede. Existem três tipos de problemas de caminho mais curto:

(1) de um nó para outro,

(2) de um nó para todos os outros,

(3) entre todos os pares de nós.

No entanto, os dois primeiros são essencialmente o mesmo problema.

Sejam S e T dois nós de uma rede G = (N, A, C), em que a cada arco é associado

apenas um valor (comprimento do arco). O comprimento de um caminho de S para T, é a

soma dos comprimentos dos arcos que o compõem.

O problema do caminho mais curto entre os nós S e T tem por objetivo determinar o

caminho de valor mínimo existente em P. Isto é, pretende-se determinar o caminho p ∈ P

tal que C(p) ≤ C(q), ∀ q ∈ P. Considere-se algumas observações relacionadas com este tipo

de problemas:

− o comprimento de um caminho é maior do que o de qualquer dos seus subcaminhos;

− qualquer subcaminho de um caminho mais curto, é ele próprio um caminho mais curto

(princípio da optimalidade);

− para uma rede com n nós, qualquer caminho mais curto tem no máximo n-1 arcos (no

caminho mais curto entre dois nós, não existem nós repetidos).

Matematicamente, este problema pode ser formulado da seguinte forma:

∑ ∑∈ ∈

=Ni Nj

ijij xcZMinimizar

sujeito a

1xNj

Sj =∑∈

}T,S{Nj,0xxNk

jkNi

ij −∈∀=− ∑∑∈∈

∑∈

=Ni

iT 1x

4 O problema do Caminho Mais Curto


em que,

=caminho ao pertence ãon j) (i, se,0

caminho ao ertencep j) (i, se,1x ij

Existem vários algoritmos eficientes para resolver problemas de caminho mais curto,

sendo os mais conhecidos os algoritmos de Dijkstra (1 e 2) e de Floyd (3).

3.2. Algoritmo de Dijkstra

Este algoritmo, que foi apresentado por Dijkstra e que só pode ser aplicada a redes

cujos arcos têm associados comprimentos não negativos, baseia-se num processo de

rotulação dos nós da rede e classificação dos respetivos rótulos. A cada nó i é atribuído um

rótulo [ξi, πi], o qual pode ser permanente ou temporário. Isto quer dizer o seguinte:

[ξi, πi] permanente, representa o caminho mais curto de S para i

ξi ← nó que antecede i no caminho mais curto de S para i

πi ← valor do caminho mais curto de S para i

[ξi, πi] temporário, representa um caminho mais curto de S para i

ξi ← nó que antecede i no melhor caminho, até ao momento, de S para i

πi ← valor do melhor caminho, até ao momento, de S para i

O rótulo temporário de um nó representa um limite superior da distância mais curta

de S a esse nó, uma vez que o caminho que lhe está associado pode ser ou não o mais

curto.

O algoritmo consiste em rotular os nós da rede, começando pelo S, de uma forma

ordenada, segundo as distâncias de cada nó a S: escolher o nó com rótulo temporário com

menor valor de π, que se torna permanente, para depois serem varridos todos os seus

adjacentes, de forma a atualizar os rótulos destes (temporários). O algoritmo termina

quando não existirem nós com rótulos temporários. Inicialmente apenas o nó S é

permanente, sendo os restantes temporários.



Algoritmo:

Passo 1.

[ξS, πS] = [S, 0] (caminho mais curto para S custa 0 e não tem nós intermédios)

[ξi, πi] = [S, CSi], ∀ i ∈ N − { S } e (S, i) ∈ A

[ξi, πi] = [−, ∞], ∀ i ∈ N − { S } e (S, i) ∉ A

Temporários = N − { S } (Temporários = conjunto de nós com rótulos temporários)

Permanentes = { S } (Permanentes = conjunto de nós com rótulos permanentes)

Passo 2.

Se Temporários = ∅ (todos os nós têm rótulos permanentes)

Então STOP

k = nó de Temporários tal que πk é mínimo (k : πk = min { πx , x ∈ Temporários })

Temporários = Temporários − { k }

Permanentes = Permanentes ∪ { k } (k passou a permanente)

Passo 3.

Para todo o j ∈ N tal que (k, j) ∈ A e j ∈ Temporários Fazer

Se πk + Ckj < πj

Então

πj = πk + Ckj

ξj = k

Regressar ao Passo 2.

Este algoritmo determina o caminho mais curto entre um dado nó S e todos os outros

nós da rede. Portanto, no fim do algoritmo, para se verificar se existe caminho entre S e

um qualquer nó k, bastando analisar o valor de πk; se πk = ∞ então não existe caminho. Se

existir caminho mais curto de S para k, este pode ser determinado percorrendo (em sentido

inverso) a 1ª parte dos rótulos dos nós (ξ) de k até S, da seguinte forma:

Caminho = { k }

i = k

Enquanto i ≠ S Fazer

i = ξi

Caminho ← Caminho ∪ { i }



Exemplo: Determinar o caminho mais curto entre o nó S = 1 e todos os outros nós da

seguinte rede:

Passo 1.

Colocar rótulo permanente no nó 1 e rótulos temporários nos restantes nós.

Permanentes = { 1 }

Temporários = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Passo 2.

k = 4, pois π4 = min { π2, π3, π4, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 5, 2, 12, ∞, ∞, ∞ }

Permanentes = Permanentes ∪ { 4 } = { 1, 4 }

Temporários = Temporários − { 4 } = { 2, 3, 5, 6, 7, 8 }

Passo 3.

Varrer todos os nós adjacentes a 4, com rótulos temporários e atualizar os seus rótulos:

π3 = min { π3, π4 + C43 } = min { 5, 2 + 1 } = 3 ⇒ [ξ3, π3] = [4, 3]

π6 = min { π6, π4 + C46 } = min { ∞, 2 + 11 } = 13 ⇒ [ξ6, π6] = [4, 13]



Passo 2.

k = 3, pois π3 = min { π2, π3, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 3, 12, 13, ∞, ∞ }

Permanentes = Permanentes ∪ { 3 } = { 1, 3, 4 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 2, 5, 6, 7, 8 }

Passo 3.


π2 = min { π2, π3 + C32 } = min { 4, 3 + 3 } = 4 ⇒ [ξ3, π3] = [1, 4] (sem alteração)

π8 = min { π8, π3 + C38 } = min { ∞, 3 + 13 } = 16 ⇒ [ξ8, π8] = [3, 16]

Passo 2.

k = 2, pois π2 = min { π2, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 12, 13, ∞, 16 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 2 } = { 1, 2, 3, 4 }

Temporários = Temporários − { 2 } = { 5, 6, 7, 8 }

Passo 3.


π5 = min { π5, π2 + C25 } = min { 12, 4 + 1 } = 5 ⇒ [ξ5, π5] = [2, 5]



Passo 2.

k = 5, pois π5 = min { π5, π6, π8 } = min { 5, 13, 16 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Temporários = Temporários − { 5 } = { 6, 7, 8 }

Passo 3.


π7 = min { π7, π5 + C57 } = min { ∞, 5 + 6 } = 11 ⇒ [ξ7, π7] = [5, 11]

π8 = min { π8, π5 + C58 } = min { 16, 5 + 9 } = 14 ⇒ [ξ8, π8] = [5, 14]

Passo 2.

k = 7, pois π7 = min { π6, π7, π8 } = min { 13, 11, 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 7 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }

Temporários = Temporários − { 7 } = { 6, 8 }

Passo 3.





Passo 2.

k = 6, pois π6 = min { π6, π8 } = min { 13, 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Temporários = Temporários − { 6 } = { 8 }

Passo 3.



Passo 2.

k = 8, pois π8 = min { π8 } = min { 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 8 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Temporários = Temporários − { 8 } = ∅

Passo 3.

Não existem nós adjacentes a 8, com rótulos temporários.

Passo 2.

Temporários = ∅ ⇒ Fim do algoritmo.

Resultados após o término do algoritmo:

� caminho mais curto entre os nós 1 e 8 calcula-se da seguinte forma:

p = { 8 }

i = 8

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ8 = 5; p = p ∪ { i } = { 5, 8 }

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ5 = 2; p = p ∪ { i } = { 2, 5, 8 }

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ2 = 1; p = p ∪ { i } = { 1, 2, 5, 8 }

Como i = 1 então termina o processo.

Logo, o caminho mais curto entre 1 e 8 é p = { 1, 2, 5, 8 } e o comprimento é C(p) =

14 (= π8).



� a árvore de caminho mais curto do nó 1 para todos os outros é a seguinte:

e tem um comprimento total de 34 (Σ cij na árvore de caminhos mais curtos).

3.3. Algoritmo de Floyd

Ao pretender-se determinar o caminho mais curto entre todos os pares de nós, pode-

se aplicar o algoritmo de Dijkstra n vezes, utilizando cada nó, sucessivamente, como

origem. No entanto, existem outros algoritmos para resolver este problema, como é o caso

do algoritmo de Floyd, desde que não haja circuitos negativos os arcos podem ter

comprimentos negativos.

Considere-se uma rede G = (N, A, D). Um arco (i, j) designa-se por arco básico, se

constituir o caminho mais curto entre os nós i e j. Um caminho mais curto entre quaisquer

dois nós da rede será totalmente constituído por arcos básicos (embora existam arcos

básicos não pertencentes ao caminho mais curto).

O algoritmo de Floyd utiliza a matriz D, de ordem n, das distâncias diretas mais curtas

entre nós. Os nós que não são adjacentes (não existe arco a ligá-los) têm associado uma

distância direta infinita. Como os nós são (por convenção) adjacentes com eles próprios,

têm associado um arco de comprimento 0. Os ciclos próprios são ignorados.

Entre cada par de nós não ligados por um arco básico é criado um arco, através de um

processo identificado por “tripla ligação“ :

dij ← min { dij , dik + dkj }

Fixando um k, a “tripla ligação“ é efetuada para todos os nós i, j ≠ k.

Após efetuar a “tripla ligação“ para cada k ∈ N com i, j ∈ N − { k }, a rede (na matriz

D alterada ao longo deste processo) é apenas constituída por arcos básicos. Logo, o

comprimento associado a cada arco dirigido do nó i ao nó k, é o caminho mais curto entre

aqueles dois nós.



Para conhecer todos os nós intermédios num dado caminho, mantém-se

paralelamente uma matriz P, de ordem n, onde o elemento Pij representa o primeiro nó

intermédio entre os nós i e j.

Algoritmo:

Passo 1.

D = matriz das distâncias diretas

Pij = j, ∀ i, j ∈ N

k ← 0

Passo 2.

Se k ≥ n Então STOP

k ← k + 1

Passo 3.

Se Dij > Dik + Dkj (i, j ≠ k não se considera a linha e a coluna k)

Então

Dij ← Dik + Dkj

Pij ← Pik

No final, os elementos da matriz D são as distâncias mais curtas entre qualquer par de nós.

Exemplo: Determinar o caminho mais curto entre todos os pares de nós da seguinte rede:

Passo 1.

∞

∞=

02

03

580

D

=

321

321

321

P

k = 0

Passo 2.

0 ≥ 3 (n = 3) Falso

k = k + 1 = 1



Passo 3.

D22 < D21 + D12 (0 < 3 + 8 = 11)

D23 > D21 + D13 (∞ > 3 + 5 = 8) ⇒ D23 = D21 + D13 = 8; P23 = P21 = 1

D32 < D31 + D12 (2 < ∞ + 8)

D33 < D31 + D13 (0 < ∞ + 5)

∞

=

02

803

580

D

=

321

121

321

P

Passo 2.

1 ≥ 3 Falso

k = k + 1 = 2

Passo 3.

D11 < D12 + D21 (0 < 8 + 3 = 11)

D13 < D12 + D23 (5 < 8 + 8 = 16)

D31 > D32 + D21 (∞ > 2 + 3 = 5) ⇒ D31 = D32 + D21 = 5; P31 = P32 = 2

D33 < D32 + D23 (0 < 2 + 8)

=

025

803

580

D

=

322

121

321

P

Passo 2.

2 ≥ 3 Falso

k = k + 1 = 3

Passo 3.

D11 < D13 + D31 (0 < 5 + 5 = 10)

D12 > D13 + D32 (8 > 5 + 2= 7) ⇒ D12 = D13 + D32 = 7; P12 = P13 = 3

D21 < D23 + D31 (3 < 8 + 3 = 11)

D22 < D23 + D32 (0 < 8 + 2)

=

025

803

570

D

=

322

121

331

P

O problema da Árvore Abrangente Mínima 13


Passo 2.

3 ≥ 3 Verdadeiro

STOP (termina o algoritmo)

Resultados após o final do algoritmo:

− o comprimento do caminho mais curto entre os nós 1 e 2 é 7 (D12 = 7);

− o caminho mais curto entre os nós 1 e 2 é { 1, 3 (P12 = 3), 2 (P32 = 2) }.

4. O problema da Árvore Abrangente Mínima


A Árvore Abrangente Mínima (“Minimum Spanning Tree”), é a árvore abrangente

com o menor comprimento entre todas as árvores abrangentes. O comprimento de uma

árvore abrangente é o somatório dos comprimentos associados aos respetivos arcos.

Note-se que, em geral, a árvore abrangente mínima é diferente da árvore de caminho

mais curto entre um nó origem e todos os outros nós da rede (calculada pelo algoritmo de

Dijkstra). O algoritmo mais comum usado para resolver este problema, é o de Prim.

4.2. Algoritmo de Prim (1ª versão)

Os passos principais deste algoritmo são os seguintes:

Passo 1.

Toma-se arbitrariamente um nó S e atribui-se-lhe um rótulo permanente nulo: πS = 0.

Aos restantes nós da rede atribuem-se rótulos temporários:

πj = CSj se (S, j) ∈ A

πj = ∞ se (S, j) ∉ A

Permanentes = { S }

Temporários = N − { S }

Passo 2.

k = nó com rótulo temporário que possua menor valor (que é vizinho de um nó i);

Permanentes = Permanentes ∪ { k }

Temporários = Temporários − { k }

O arco com o mínimo valor Cik = πk passa a fazer parte da árvore abrangente mínima

Se Temporários = ∅ Então STOP (foi determinada a árvore abrangente mínima)

14 O problema da Árvore Abrangente Mínima


Passo 3.

Para todo o j ∈ N tal que (k, j) ∈ A e j ∈ Temporários Fazer

πj = min { πj, Ckj }

Voltar ao Passo 2.

Exemplo: Determinar a árvore abrangente mínima da seguinte rede:

Passo 1.

Colocar rótulo permanente no nó 1 e rótulos temporários nos restantes nós:

π1 = 0

π2 = 4; π3 = 5; π4 = 2; π5 = 12

π6 = π7 = π8 = ∞

Permanentes = { 1 }

Temporários = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Passo 2.

k = 4

Permanentes = Permanentes ∪ { 4 } = { 1, 4 }

Temporários = Temporários − { 4 } = { 2, 3, 5, 6, 7, 8 }

O arco (1, 4) passa a fazer parte da árvore abrangente mínima, pois C14 = π4 = 2

Passo 3.

π3 = min { 5, 1 } = 1 π6 = min { ∞, 11 } = 11

Passo 2.

k = 3

Permanentes = Permanentes ∪ { 3 } = { 1, 4, 3 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 2, 5, 6, 7, 8 }




Passo 3.

π2 = min { 4, 3 } = 3

π8 = min { ∞, 13 } = 13

Passo 2.

k = 2

Permanentes = Permanentes ∪ { 2 } = { 1, 4, 3, 2 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 5, 6, 7, 8 }


Passo 3.

π5 = min { 12, 1 } = 1

Passo 2.

k = 5

Permanentes = Permanentes ∪ { 5 } = { 1, 4, 3, 2, 5 }

Temporários = Temporários − { 5 } = { 6, 7, 8 }


Passo 3.

π7 = min { ∞, 6 } = 6

π8 = min { 13, 9 } = 9

Passo 2.

k = 7

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7 }

Temporários = Temporários − { 7 } = { 6, 8 }


Passo 3.

π8 = min { 9, 7 } = 7

Passo 2.

k = 8

Permanentes = Permanentes ∪ { 8 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7, 8 }

Temporários = Temporários − { 8 } = { 6 }




Passo 3.

π6 = min { 11, 8 } = 8

Passo 2.

k = 6

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7, 8, 6 }

Temporários = Temporários − { 6 } = ∅


Como Temporários = ∅ STOP (foi determinada a árvore abrangente mínima)

Resultados após o final do algoritmo:

− a árvore abrangente mínima (árvore que visita todos os nós) é a seguinte:

− a árvore abrangente mínima tem um comprimento total igual a 28 (2+1+3+1+6+7+8).

4.3. Algoritmo de Prim (2ª versão)

Existe uma outra versão do algoritmo de PRIM, que opera sobre a matriz das distâncias

(custos) da rede. Os passos principais são os seguintes:

Passo 1.

Riscar a 1ª coluna e marcar a 1ª linha.

Passo 2.

Selecionar o menor elemento das linhas marcadas (não considerar colunas riscadas).

Se estão todas as colunas riscadas, STOP (determinada a árvore abrangente mínima)

Passo 3.

Riscar a coluna j e marcar a linha j.

Voltar ao Passo 2.

Os arcos que constituem a árvore abrangente mínima são os correspondentes aos

selecionados, e o seu valor é o somatório daqueles Cij.



Exemplo: Determinar a árvore abrangente mínima da rede do exemplo anterior.

Passo 1. Riscar a 1ª coluna e marcar a 1ª linha:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − −

3 5 3 0 1 − − − −

4 2 − 1 0 − − − 13

5 12 1 − − 0 − 6 9

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado da linha 1 (a única selecionada): C14 = 2

Passo 3. Riscar a 4ª coluna e marcar a 4ª linha

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − −

3 5 3 0 1 − − − −

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1 e 4 (selecionadas): C43 = 1


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − −

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1, 3 e 4 (selecionadas): C32 = 3




1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − − �

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3 e 4 (selecionadas): C25 = 1


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − − �

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9 �

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4 e 5 (selecionadas): C57 = 6


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − − �

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9 �

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7 �

8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4, 5 e 7 (selecionadas): C78 = 7




1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − − �

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9 �

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7 �

8 − − 13 − 9 8 7 0 �

Passo 2. Menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8 (selecionadas): C86 = 8


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − �

2 4 0 3 − 1 − − − �

3 5 3 0 1 − − − − �

4 2 − 1 0 − − − 13 �

5 12 1 − − 0 − 6 9 �

6 − − − 11 − 0 − 8

7 − − − − 6 − 0 7 �

8 − − 13 − 9 8 7 0 �

Passo 2. Como todas as colunas se encontram riscadas, então STOP foi determinada a

árvore abrangente mínima.

Resultados no final do algoritmo:

− A árvore abrangente mínima é constituída pelos seguintes arcos:

(1, 4), (2, 5), (3, 2), (4, 3), (5, 7), (7, 8) e (8, 6)

− O valor da árvore abrangente mínima é:

2 + 1 + 3 + 1 + 6 + 7 + 8 = 28

Como se pode verificar, a árvore é a mesma que foi determinada pela versão anterior.

20 O problema do Fluxo Máximo


5. O problema do Fluxo Máximo


Considere uma rede G, em que os valores associados aos arcos desta rede, bij,

representam as respetivas capacidades, isto é, a quantidade máxima de fluxo que pode ser

enviada pelos arcos. Estes valores terão que ser positivos (bij ≥ 0). Portanto, pode-se

definir a rede da seguinte forma: G = (N, A, B), em que B = [bij].

Em problemas de fluxo máximo existem 2 nós especiais: nó origem e nó terminal.

Com a resolução do problema de fluxo máximo pretende-se determinar a quantidade

máxima de unidades de fluxo que podem ser enviados do nó origem S para o nó terminal T.

O fluxo no arco (i, j) é designado por xij. Devido às restrições de capacidade nos

arcos, tem-se o conjunto de restrições:

0 ≤ xij ≤ bij, para todo (i, j) ∈ A [1]

Além disso, em cada nó (exceto em S e T) deve haver conservação de fluxo: a quantidade

de fluxo que chega a um nó é igual à quantidade de fluxo que sai desse nó; ou seja,

∑∑ =k

jki

ij xx para todo j ≠ S, T [2]

Como existe conservação de fluxo em todos os nós, o fluxo que sai do nó S é igual ao fluxo

que chega ao nó T; isto é,

∑∑ ==j

jTi

Si xfx [3]

onde f é o valor de fluxo.

Portanto, com a resolução do problema de fluxo máximo, pretende-se determinar o

valor do fluxo nos arcos xij [1], que maximize o valor do fluxo f, sujeito às restrições de

capacidade [2] e de conservação de fluxo [3].

Matematicamente, este problema pode ser formulado da seguinte forma:

∑=j

SjxfMaximizar

sujeito a

∑∑ =k

jki

ij xx para todo j ≠ S, T [2]

∑∑ =j

jTi

Si xx [3]

0 ≤ xij ≤ bij, para todo (i, j) ∈ A [1]

O problema do Fluxo Máximo 21


Dado um caminho qualquer de S para T numa rede,

p = [ S = n1, n2, n3, . . . , nk-1, nk = T ],

a quantidade máxima de fluxo que pode ser enviada de S para T, satisfazendo [1], [2] e

[3], por aquele caminho, é a seguinte :

min { bij : (i, j) ∈ p }.

Logo, o arco com a menor capacidade fica “saturado”, não passando mais fluxo por ele.

Um corte (“cut”) é o conjunto de todos os arcos de um subconjunto de nós para o seu

complementar: o corte )X,X( é o conjunto de todos os arcos (i, j), tal que i ∈ X e j ∈ X . A

remoção de todos os arcos do corte, desliga a rede em duas ou mais partes.

A capacidade de um corte é:

XjeXicom,b)X,X(C)j,i(

ij ∈∈= ∑ .

Em geral, )X,X(C)X,X(C ≠ . Um corte separando S de T com uma capacidade mínima

designa-se por corte mínimo.

Teorema do “fluxo máximo corte mínimo” (“max flow min cut”): Para qualquer

rede com capacidades de valor inteiro associadas aos arcos, o fluxo máximo do nó origem

S, para o nó terminal T, é igual à capacidade de um corte mínimo que separa S de T.

Enquanto existir um caminho de aumento de fluxo (c.a.f.) satisfazendo uma das

condições:

− xij < bij � arco “forward” (sentido correto): pode enviar-se fluxo adicional de i para j

− xji > 0 � arco “backward” (sentido inverso): pode enviar-se fluxo adicional de i para

j, diminuindo o fluxo que existe de j para i,

é possível aumentar a quantidade de fluxo a enviar de S para T.

Assumindo que as capacidades dos arcos são valores inteiros, definido um caminho de

aumento de fluxo constituído por arcos “forward” e arcos “backward”, o fluxo a enviar de

S para T pode ser alterado de ε unidades:

ε = min { ε1, ε2 } [inteiro positivo]

com ε1 = min { bij − xij } nos arcos “forward” do c.a.f.

ε2 = min { xji } nos arcos “backward” do c.a.f.

O valor do fluxo é, então, aumentado em ε unidades nos arcos “forward” e diminuído

em ε unidades nos arcos “backward”.



Como a capacidade de um corte mínimo é um número finito e em cada caminho de

aumento de fluxo, o fluxo é aumentado de pelo menos 1 unidade, o fluxo máximo obtém-se

após um número finito de iterações.

Um fluxo é máximo, se e só se, não existir um caminho de aumento de fluxo.

5.2. Algoritmo de Ford−Fulkerson

Este algoritmo, é um modo sistemático de pesquisar todos os possíveis c.a.f. de S para

T, atribuindo rótulos aos nós para indicar a direção em que o fluxo pode ser aumentado.

Cada nó pode estar num dos 3 estados:

− rotulado e varrido ⇒ tem um rótulo e todos os seus vizinhos estão rotulados;

− rotulado e não varrido ⇒ tem um rótulo, mas nem todos os seus vizinhos estão

rotulados;

− não rotulado ⇒ não tem rótulo.

O rótulo do nó j tem 2 partes: [i+, ε(j)] (ou [i−, ε(j)]), em que,

− i+ (ou i−) : índice de um nó i, indicando que pode-se enviar fluxo de i para j (ou de j

para i)

− ε(j) : fluxo máximo adicional que se pode enviar de S para j.

Algoritmo:

Passo 1.

S ← [S+, ∞]

S fica rotulado e varrido

Passo 2. (processo de rotulação)

j (rotulado e não varrido) ← [i+, ε(j)] ou [i−, ε(j)]

Para todo o k ∈ N tal que (j, k) ∈ A e xjk < bjk Fazer

k ← [j+, ε(k)] com ε(k) = min { ε(j), bjk − xjk }

Para todo o k ∈ N tal que (k, j) ∈ A e xkj > 0 Fazer

k ← [j−, ε(k)] com ε(k) = min { ε(j), xkj }

j fica rotulado e varrido.

Todos os k ficam rotulados e não varridos.

Se (T está rotulado) ou (não é possível rotular T)

Então (foi determinado um c.a.f.) ou (não existe c.a.f. ⇒ o fluxo atual é máximo)

Senão Regressar ao Passo 2 (início)



Passo 3. (mudança de fluxo)

T ← [k+, ε(T)] ⇒ xkT = xkT + ε(T)

Enquanto k ≠ S Fazer

Se k ← [j+, ε(k)] ⇒ xjk = xjk + ε(T)

Se k ← [j−, ε(k)] ⇒ xkj = xkj − ε(T)

k ← j

Apagar os rótulos e regressar ao Passo 1.

Exemplo: Considere a rede seguinte onde os valores correspondem à capacidade e ao fluxo

nos arcos.

Pretende-se determinar o fluxo máximo a enviar do nó 1 para o nó 4, atendendo a que

o fluxo atual enviado entre aqueles 2 nós é de 2 unidades.

Passo 1.

Fluxo atual = 2

1 ← [1+, ∞]

RotuladosVarridos = ∅

RotuladosNãoVarridos = { 1 }

NãoRotulados = { 2, 3, 4 }

Passo 2.

j ← 1 (rotulado e não varrido)

Vizinhos (não rotulados) do nó 1: 2 e 3.

2 não pode ser rotulado, pois b12 = x12

3 ← [1+, min { ε(1), b12 − x12 }] ≡ [1+, min { ∞, 1 }] ≡ [1+, 1]

RotuladosVarridos = { 1 }


NãoRotulados = { 2, 4 }



Passo 2.



2 ← [3−, min { ε(3), x23 }] ≡ [3−, min { 1, 1 }] ≡ [3−, 1]


RotuladosVarridos = { 1, 3 }


NãoRotulados = { 4 }

Passo 2.


Vizinhos (não rotulados) do nó 2: 4.

4 ← [2+, min { ε(2), b24 − x24 }] ≡ [2+, min { 1, 3 }] ≡ [2+, 1]

RotuladosVarridos = { 1, 3, 2 }


NãoRotulados = ∅

Como T = 4 foi rotulado, foi determinado um caminho de aumento de fluxo.

Passo 3. (mudança de fluxo: o aumento de fluxo é de ε(4) = 1 unidade)

fluxo = fluxo + ε(4) =2 + 1 = 3

4 ← [2+, 1] ⇒ x24 = x24 + ε(4) = 0 + 1 = 1

2 ← [3−, 1] ⇒ x23 = x23 − ε(4) = 1 − 1 = 0

3 ← [1+, 1] ⇒ x13 = x13 + ε(4) = 1 + 1 = 2

Passo 1.

Fluxo actual = 3

1 ← [1+, ∞]

RotuladosVarridos = ∅




NãoRotulados = { 2, 3, 4 }

Passo 2.





Como não é possível rotular mais nenhum nó, e como o nó T = 4 não foi rotulado,

então não existe caminho de aumento de fluxo; logo, o fluxo atual é máximo.

Resultados a retirar após o final do algoritmo:

Fluxo máximo = 3.

X = { 1 }

X = { 2, 3, 4 }

C(X, X ) = b12 + b13 = 3 = Fluxo máximo

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