Upload
ngokiet
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Capítulo 3 – O Oscilador Hamônico
Uma força unidimensional, que depende somente da posição x, tem uma
expansão de Taylor em torno da sua posição de equilíbrio x=0 (onde F=0)
Quando somente o termo linear em x é relevante, teremos a lei de Hooke que
nada mais é do que a equação diferencial do oscilador harmônico simples
(sistema massa-mola, pêndulo simples para pequenas oscilações,...). Dizemos
que estamos com o oscilador num regime elástico
Quando não podemos desprezar os termos quadráticos..., estaremos num regime
plástico que pode chegar à ruptura da mola se a elongação for suficientemente
grande.
O oscilador harmônico simples, do ponto de vista matemático, nada mais é do
que uma equação diferencial linear ordinária homogênea de segunda ordem no
tempo.
Ela é ordinária porque não tem derivada parcial, linear porque só comparecem x
e suas derivadas (isto é, não há termos do tipo
Observe que
tem dimensão de (frequência). Podemos reescrever
A força conservativa (1) tem energia potencial elástica associada
uma dependência parabólica com x.
Se fizermos o “ansatz” (baseado no mundo real, pois esperamos obter um
movimento oscilatório cuja descrição matemática se faz via senos e cossenos) de
que
é solução, então
2
e
da eq. (2) teremos por seguinte, uma solução é
Se tivéssemos feito o “ansatz”
teríamos
e
logo, e outra solução é
É fácil verificar que qualquer combinação linear de
com a e b constantes independentes do tempo, também é solução de (2).
O fato de a superposição de 2 soluções também ser solução é uma propriedade de
toda e qualquer equação diferencial ordinária linear...chamamos essa
propriedade de Princípio de Superposição.
A ordem da equação diferencial ordinária define a dimensão do espaço de
soluções linearmente independentes: ordem N terá N soluções linearmente
independentes.
No caso da eq. (2), a solução geral é dada por
Trocando as constantes a e b por A e ϕ
3
podemos reescrever (5)
A constante A é chamada de amplitude, pois
A constante ϕ é chamada de fase.
Sobre as condições iniciais
A existência de 2 soluções linearmente independentes é fundamental para
podermos impor condições iniciais arbitrárias
então
donde
Energia do Oscilador Harmônico
A energia cinética Ec é função do tempo
A energia potencial U é função do tempo
como
4
teremos a Conservação da Energia Mecânica E
A energia cinética média num período
vale
mudando de variável:
mas
, logo
. Nos limites de
integração o termo em seno zera e
, ou seja
De maneira semelhante é fácil mostrar que
Exemplos
1) O Pêndulo de Torção
; ; ;
5
2) O Pêndulo Simples
Componentes
radial:
onde F é a tensão na corda
tangencial:
ou
A equação (8b) acima é diferencial de 2ª. ordem mas não linear em θ !
Sua solução é complicada e se expressa através das funções elípticas de Jacobi
(que não pode ser escrita em termos de funçoes elementares). Uma vez obtida a
solução de substituimos em (8 a ) e determinamos a tensão F.
Para , pequenas amplitudes, vale a aproximação
por exemplo, se
Neste caso, (8b) fica uma equação diferencial linear
donde
ou
6
Se puxamos a corda do pêndulo até um ângulo e o soltamos a partir do
repouso, a solução será então
Nesta aproximação, vemos que o período de oscilação não depende da amplitude
inicial .
Isso deixa de ser verdade se não é pequeno. Pode-se mostrar que a primeira
correção é
3) O Pêndulo Físico
o torque será
Na aproximação de ângulos iniciais pequenos e
, logo
O pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento
O ponto C da reta OG tal que a distãncia OC é l é chamado centro de oscilação
do pêndulo físico (o ponto O é o ponto de suspensão) . Se concentrássemos toda
a massa M no ponto C e ligássemos por um fio sem massa, o pêndulo físico se
transformaria num pêndulo simples.
7
Se o ponto de suspensão é O teremos, pelo Teorema dos Eixos Paralelos
Se trocarmos o ponto de suspensão O por C, e chamando o momento de inécia de
, a distância ao novo centro de oscilação de , de (12) teremos
.
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ;
Eliminando de (13a ) e substituindo em (13b) e (12)
Logo
O novo centro de oscilação, quando suspendemos o pêndulo por C, passa a ser o
ponto O ( a eq. 3.3.30 do Moysés está errada).
4) Oscilações de um líquido em um tubo em U
Considere um líquido de densidade , secção transversal constante e igual a , e
comprimento total . A massa de liquido será então . Se em equlíbrio
dos 2 ramos escolhemos o nível onde então ao erguer uma
pequena quantidade do líquido de uma altura , teremos
A coluna líquida entra em oscilação com velocidade instantânea
e energia
cinética
e a energia mecânica será
8
Comparando com a energia do oscilador temos que
Logo
, ou seja o período de oscilação será
5) Oscilações de 2 partículas
Considere 2 partículas de massas e ligadas por uma mola de cosntante e
massa desprezível movendo-se na horizontal e sem atrito.
A deformação da mola será
A força
o que fornece as equações de movimento
A coordenada do cm:
tem aceleração zero pois de (15)
. Ou seja o cm se move com velocidade constante.
Multiplicando a 1ª. eq. de (15) por , a 2ª. eq. de (15) por e subtraindo a 2ª.
da 1ª., temos
onde
é a massa reduzida do sistema.
9
O sistema translada com velocidade do cm e oscila como uma partícula única
de massa igual à massa reduzida com período
6) Molécula diatômica
A energia potencial de interação de uma molécula diatômica é dada por
onde é a energia de dissociação da molécula e é distância
interatômica de equilíbrio.
Expandindo em série de Taylor em torno de
onde a 1ª. derivada é zero pois
Identificando
A energia mecânica será
onde
é a massa reduzida do sistema.
10
Essa molécula vibra com frequência
Tipicamente para a molécula CO:
.
Essa frequência, para a luz , corresponde a um comprimento
É uma radiação na região do infravermelho (o visível está entre 3.000 e 7000 .
Plano Complexo z
Seja o número complexo , com e . Esse número
corresponde a um único ponto do plano complexo
A adição de 2 números complexos obedece à regra do paralelogramo
y
x
z
plano complexo z = x + iy
y
x
11
E o produto
Se expandirmos em Taylor a exponencial ,
teremos
juntando os termos reais puros e imaginários puros
e reconhecemos as expansões de Taylor de seno e cosseno
que é a famosa Fórmula de Euler.
Definimos o complexo conjugado
Por conseguinte o módulo ao quadrado de será
Podemos representar o número complexo em coordenadas polares
Logo,
Voltemos agora à equação do oscilador harmônico
Vamos transformá-la numa equação algébrica
com α independente do tempo. Então, teremos uma equação algébrica para
com duas soluções linearmente independentes
12
Donde obtemos a solução geral
Como é real ,
Escrevendo
, teremos
ou
Superposição de Movimentos Harmônicos
1) Mesma Direção e Frequência
Podemos escrever
Colocando em evidência
Chamando
Ou seja,
Dados determinamos .
E a solução superposta
Oscila com mesma frequência, mas amplitude e fases diferentes.
13
2) Mesma Direção e Frequências Diferentes
Como o oscilador 1 tem período e o oscilador 2 tem período (em geral
diferente de ) a diferença de fase: tem dependência
temporal . Em geral, portanto, o movimento resultante não é
periódico.
Para que o movimento seja periódico com período T é preciso que
Ou
Dizemos que os períodos e são comensuráveis. O período T corresponde
aos menores valores inteiros de e que satisfazem (22).
Batimentos
Vamos supor o caso mais simples , e as frequências são
muito próximas, definimos
,
Então
Fica
14
Ou
Como , então o pré-fator
oscila lentamente
em relação a e dizemos que este pré-fator modula a amplitude
. Dessa forma a amplitude oscila no tempo
As oscilações rápidas na figura acima correspondem à frequência , os zeros da
curva envoltória correspondem aos zeros devido à frequência
do termo
.
No caso de onda sonora, como a intensidade é proporcional a , ouviremos
um subir e descer da intensidade sonora, quanto mais próximas as frequências
( ) menor será o intervalo entre subidas e descidas. Na afinação
do violão, pressionamos a corda La (afinada com o diapasão) e a corda
subsequente...a afinação se dará quando o nosso ouvido não mais perceber a
variação de intensidade que é conhecida como batimento.
3) Mesma frequência e direções perpendiculares
Suponhamos a oscilação bidimensional
Sem perda de generalidade podemos escolher e