67

CAPITULO 3

METODOLOGÍA

La metodología empleada para elaborar las estimaciones por medio de la Metodología de

Box Jenkins consta de varias partes. A continuación se introducirán los temas que son

necesarios para poder realizar los pronósticos pertinentes para cada medicamento.

Es importante mencionar que la metodología que a continuación se detalla, se caracteriza

por su dificultad y por su exactitud en los resultados.

3.1 Estacionariedad

Un proceso estocástico se dice que es estrictamente estacionario si sus propiedades no son

afectadas por un cambio de la serie original, en otras palabras la función de probabilidad

conjunta en cualquier momento t (t1,t2,t3,...,tm) debe de ser la misma que en el tiempo

t1+k,t2+k,t3+k,...,tm+k donde k es un cambio aleatorio a lo largo del tiempo x.

La función marginal en cualquier otro punto en el tiempo p(xt) = p(xt+k) lo cual implica que

la media y la varianza son constantes.

Si m es igual a 2, entonces la estacionariedad implica que todas las distribuciones

bivariadas p(xt, xt-k) no dependerán de t, pues las covarianzas son funciones solo del

retraso de k y no de t.

[ ] [ ] [ ] µ==== nxExExE ...21

[ ] [ ] [ ] 221 ... σ==== nxVarxVarxVar

(3.1)

(3.2)

(3.3)

68

),(),(...)(),( 2,211 kttnknkk xxCovxxCovxxCovxxCov −−++ ====

La estacionariedad implica que la media y la varianza de un proceso sean iguales y las

autocovarianzas se comporten de la siguiente manera:

( )( )[ ]µµγ −−== −− ktktt xxExxCov ),(

Las autocorrelaciones serían:

[ ] 0

2)()(),(

γγ

ρ k

ktt

kttk xVarxVar

xxCov==

−

−

Que dependerán solo del retraso (ó diferencias en el tiempo k). Estas condiciones sólo

aplican para la función generadora de momentos de primer (p=1) y segundo orden (p=2) y

se les conoce como estacionariedad débil, ó bien estacionariedad en el sentido débil. Si

además se asume normalidad conjunta, y la distribución es completamente caracterizada

por estos dos primeros momentos estrictamente estacionarios y de estacionariedad débil,

entonces son equivalentes. Las autocorrelaciones consideradas como una función k se

refieren a la función de autocorrelación (ACF) ó al correlograma. Observe que:

kktttktkttk xxCovxxCovxxCov −+−− ==== γγ ),(),(),(

Así que ρk=ρ-k por lo que sólo la mitad positiva de los ACF es generalmente dada. El

proceso estocástico estacionario describe la evolución de xt. Esto por lo tanto indica que al

medir el grado a cada valor del proceso esté correlacionado con los valores previos, la

longitud y la fuerza de la memoria del proceso.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

69

El estadístico de Ljung Box informa si los residuos son independientes planteando las

siguientes hipótesis:

Ho: Los k primeros coeficientes de correlación son iguales a cero:

ρ1=ρ2=…=ρκ=0

Ha: Al menos existe un coeficiente de correlación diferente de cero:

0≠iρ

Para calcular el estadístico Q se toma en cuenta la siguiente formulación matemática:

( )( )∑= −−

+−−=k

j

jk jpn

rpnpnQ

1

2

2

El cual se distribuye Chi-Cuadrada con k-p grados de libertad; donde ri son las

correlaciones correspondientes a los primeros k retardos. Al realizar el test se escoge el

parámetro k, el cual es el entero próximo a 10*(ln(n-p)). Esto se hace con un nivel de

significación α = .05.

Existe otra prueba dentro del análisis estadístico que compara las medias de dos categorías

numéricas de distribución normal. Dicha prueba es conocida como t-Student, dependiendo

del estadístico t le corresponderá un valor de significación determinado.

Las hipótesis a considerar son:

Ho: La media de la variable numérica “y” no tiene diferencias en los subgrupos de la

variable categórica “x”.

Ha: La media de la variable numérica “y” tiene diferencias en los subgrupos de la variable

categórica “x”.

(3.7)

70

Si la muestra es independiente, el estadístico t es utilizado para comparar medias de 2

grupos.

Si la muestra es dependiente, el estadístico t es utilizado para comparar las medias de un

mismo grupo en diferentes etapas.

En el software Minitab:

Para las Autocorrelaciones Simple y Parcial, se puede examinar el estadístico de t que hace

pruebas si existe algún retrazo que sea igual a cero. Una regla común está dada por el valor

absoluto del estadístico, si es mayor que 1.25 para los primeros 3 retrasos, ó mayor a 2 para

los retrasos del 4 en adelante, entonces, el retraso no es igual a cero.

Esto es útil cuando se trata de identificar el modelo ARIMA (Auto Regressive Integrated

Moving Average) y cuando se está haciendo un diagnóstico de chequeo con el modelo

ARIMA ajustado. Cuando se trata de identificar un modelo, se deberá de analizar esos

retrasos diferentes de cero. Para corroborar un modelo ajustado, si se computan las

Funciones de Autocorrelación ó las Funciones de Autocorrelación Parcial para los

residuales almacenados, se debe usar la prueba del estadístico t que iguala a cero las

autocorrelaciones pues es una restricción para el modelo ARIMA.11

11 Ayuda del Software de Minitab

71

Prueba de Raíz Unitaria sobre Estacionariedad

Esta prueba considera la ecuación (3.8) como una regresión de primer orden o bien un

modelo AR(1).

Yt = Yt-1 + ut

Donde:

ut = error con media cero y varianza constante conocido como ruido blanco.

Si el coeficiente de Yt-1 es igual a uno, entonces se encuentra en un problema de no

estacionariedad conocido como Problema de Raíz Unitaria.

Para resolver este problema es necesario hacer una regresión:

Yt = ρYt-1 + ut

Si ρ es uno, entonces Yt tiene una raíz unitaria, por tanto no es estacionaria. La ecuación

(3.9) se puede escribir como:

∆Yt = (ρ -1)Yt-1 + ut

∆Yt = δYt-1 + ut

Donde:

δ = (ρ -1 )

∆ = primera diferencia

El estadístico Tau considera la hipótesis nula de que ρ = 1 contra la alternativa de que ρ <

1 Esta prueba se conoce como la Prueba de Dickey Fuller, se consultan los datos de la tabla

para analizar si se rechaza la hipótesis nula ρ = 1. Si |τ| excede los valores absolutos τ

críticos de Dickey Fuller, entonces la serie es estacionaria, sin embargo se debe de tener

(3.8)

(3.9)

(3.10)

72

cuidado pues los estadísticos de Dickey-Fuller en ocasiones aceptan incorrectamente la

hipótesis nula. La prueba se aplica a regresiones de la siguiente forma:

∆Yt = δYt-1 + ut

∆Yt = β1 + δYt-1 + ut

∆Yt = β1 + β2t + δYt-1 + ut

Donde:

t = representa la tendencia ó tiempo.

β1 = constante

β2t = término de tendencia

3.2 Función de Autocorrelación

La Función de Autocorrelación es la función que mide la correlación que existe entre los

valores de una serie de tiempo que están distanciados k periodos uno de otro. Dicha

función está compuesta por los coeficientes de autocorrelación rk que van desde uno hasta

no más de la mitad de los datos históricos.

La fórmula 3.14 muestra el coeficiente de correlación simple cuando se tienen N pares de

observaciones:

Supongamos que se tienen N datos históricos x1,x2,...,xn se pueden formar N-1 parejas de

datos históricos contiguos, es decir, (x1,x2), (x2,x3),...,( xN-1,xN) y calcular el coeficiente de

(3.11) (3.12) (3.13)

∑ ∑∑

−−

−−=

22 )()(

))((

xxyy

xxyyr

ii

ii (3.14)

73

correlación, que se denominara coeficiente de autocorrelación de primer orden y se denota

como r1. Ahora bien, si se separan las parejas por una distancia de 2, es decir, (x1,x3),

(x2,x4),...,( xN-2,xN) y se calcula su coeficiente de autocorrelación, éste será de orden 2 y se

denota como r2, y así sucesivamente se pueden calcular los coeficientes de autocorrelación

para parejas que datos históricos separados k periodos de tiempo uno del otro y se denota

como rk, y su coeficiente de autocorrelación será de orden k. Cada coeficiente de

Autocorrelación tiene un error estándar y un intervalo de confianza.

Es de suma importancia analizar la estacionalidad de la serie, pues si ésta se encuentra

presente, entonces los datos históricos que están separados entre sí por los mismos

intervalos deben estar correlacionados de alguna forma. Por tanto, el coeficiente de

autocorrelación para un retraso igual al periodo estacional deberá de ser diferente de cero.

3.3 Función de Autocorrelación Parcial

El coeficiente de autocorrelación de orden k se calcula la correlación entre parejas de datos

que están separados k distancia, sin embargo, a diferencia de la Función de

Autocorrelación, la Función de Autocorrelación Parcial elimina el efecto producido por

retardos anteriores a k. En la Figura 3.1 se muestra una gráfica típica de una función de

autocorrelación parcial. Las líneas punteadas representan los intervalos de confianza.

74

Figura 3.1 Función de Autocorrelación Parcial

Fuente: Molinero, Luis

3.4 Ruido

• Blanco

Se le llama Ruido blanco cuando sus valores son una sorpresa, es decir, son independientes

de su valor pasado. Un proceso es ruido blanco si cumple las siguientes condiciones:

• E(εt)=0

• Var(εt) = σ2ε Varianza Constante

• Cov(εt,εt-j) = 0 para todo j diferente de 0

Figura 3.2 Ruido Blanco

Fuente: Universidad de Oviedo

75

• Ruido Negro

Este ruido se asocia con desastres, como bajas tendencias; pues su comportamiento es

decreciente con el tiempo

Figura 3.3 Ruido Negro

Fuente: Universidad de Oviedo

3.5 Modelos Autorregresivos

En Series de Tiempo, modelar la información contenida en valores pasados de una variable

económica yt es útil para pronosticar valores futuros. Existe un modelo estadístico que

refleja esta característica.

Un ejemplo del modelo estadístico que representa este tipo de dependencia retrasada está

dado por el siguiente proceso autorregresivo de orden uno:

yt = δ + θ1 yt-1 + et t = 1,2, … , T

donde:

δ = Es un parámetro de la intercepción.

θ1 = Es un parámetro desconocido entre -1 y 1

(3.15)

76

et = Es un error aleatorio sin correlación, con µ = 0 y con varianza constante σe2

Un modelo es de primer orden como la ecuación (3.8) si yt depende sólo de su valor en el

periodo previo yt-1, más un disturbio aleatorio. Ésta especificación es denotada como

Modelo de Series de Tiempo AR(1) ó Proceso AR(1). El primer orden de la estructura de

autocorrelación en la ecuación de los errores es un caso especial para el modelo AR(1). En

el modelo de correlación, el parámetro δ es igual a 0, y únicamente se reflejan las variables

aleatorias de los errores aleatorios no observables et así como las variables observables yt.

Cuando especificando un modelo estadístico de series de tiempo para una variable

económica, la naturaleza exacta del proceso que genera la serie de tiempo y1,y2, ... yt es

generalmente desconocida y más complicada que el autorregresivo de primer orden.

Específicamente yt no sólo dependerá de yt-1 sino también de yt-2, yt-3 y así sucesivamente,

el modelo AR(p) es un modelo estadístico para un proceso autorregresivo, de orden p.

yt = δ + yt-1 + qyt-2 +qyt-3+ ... + qyt-p + et

Donde:

δ = Es el parámetro de la intercepción y está relacionado con la media de yt.

q = Son los parámetros autorregresivos desconocidos.

et = Son las variables aleatorias de los errores y se asume que no están relacionados pues

cuentan con µ = 0 y varianza σ2e.

3.5.1 Propiedades Estadísticas de los AR(1)

Las series de tiempo asumen que el proceso de series de tiempo que genera resultados yt

comienza en el pasado infinito y continúa al futuro infinito. Se asume que el pasado y el

(3.16)

77

futuro son variables aleatorias con la misma función de densidad f(yt) y se asume que

tienen la misma media y varianza. Además se asume que las covarianzas entre cualquiera

de las dos variables aleatorias, es decir, yt y yt+s no dependen del tiempo, sólo del retraso

que existe entre dos variables aleatorias. Esto es importante si se está buscando predecir el

futuro basandose en el pasado. Si el proceso de la generación de datos que producen las

observaciones no sostiene los valores reales futuros de las variables aleatorias, entonces el

pronóstico basado en los datos no será confiable.

3.5.2 El proceso de la media para un AR(1)

Si los resultados observados yt de una serie de tiempo tienen la misma función de densidad

para todos los periodos en el tiempo, entonces la media de yt y su varianza, deben ser

iguales en todos los periodos. En términos de la media, esto implica que:

Tomando el valor esperado de yt se obtiene:

Se asume que δ = 0 en los modelos AR(1), por tanto la media de las variables en la serie de

tiempos yt es µ = 0.

[ ] [ ] µ=== − ...1tt yEyE

[ ] [ ]

1

1

1

1 θδµ

µθδµµθδ

−=

+=++= tt eEyE

(3.17)

78

3.5.3 La varianza y la covarianza de los AR(1)

Se asume que las varianzas son iguales en todos los periodos. De la ecuación 3.15 se

obtiene la varianza del Modelo:

En adición con la media de y la varianza de yt que son idénticos para todos los periodos en

el tiempo, en las variables de series de tiempo, se asume que sus covarianzas son

constantes en el tiempo.

Mientras más grande sea el valor absoluto de la covarianza, mayor será la dependencia

lineal. Si la Covarianza es cero, entonces no existe dependencia lineal. Para esto se toma

un punto (y1,y2) donde el E[y1]=µ1 y el E[y2]=µ2, se miden las desviaciones de los valores

y1 y y2 con respecto al esperado, por tanto:

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ][ ][ ]

[ ] [ ]2

1

12

11

111

1

111

)(

,

y

ttt

ttt

tt

tttttt

yeEyE

yeyEyyE

yEyyEyEyyCov

σθ

θ

θ

=

+=

+==

−−=

−−

−−

−

−−− ο

pues el ( )tyE = 0

Por tanto la covarianza para todas las variables aleatorias que están separadas por dos

periodos está dada por:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]( )

21

22

221

12

1

12

1

112

1

1

θσσ

σθ

θ

θ

θσ

−=

=−

=−

+=

+==

−

−

−

eyt

et

ttt

ttt

ttytt

yVar

eVaryVaryVar

eVaryVaryVar

eyVaryVar

et y yt-1 no están relacionados (3.19)

(3.18)

79

( ) [ ]

( ) [ ] 213232

212121

,,

,,

ytttt

ytttt

yyEyyCov

yyEyyCov

σθ

σθ

==

==

−−−−

−−−−

3.6 Modelos ARIMA, Box-Jenkins

Los modelos ARIMA cuyas siglas en inglés corresponden a los modelos autoregresivos

que están integrados mediante promedios móviles también son conocidos como modelos

Box-Jenkins, pues son los apellidos de los creadores de dicho método en 1976. Estos

forman parte del Análisis de Series de Tiempo y se basan en la teoría de Procesos

Estocásticos.

La técnica ARIMA se refiere a los Modelos Integrados, Autorregresivos con Medias

Móviles, y tiene por objeto predecir la serie temporal mediante un modelo. Dentro de los

requisitos para efectuar estimaciones con éste método es contar con mínimo 36 datos

históricos.

Existen varias notaciones para dicho modelo. El modelo ARIMA tiene la siguiente

notación:

ARIMA(p,d,q)

Donde:

p = Es el número de parámetros autorregresivos

d = Es el número de diferenciaciones para que una serie sea estacionaria

q = Es el número de parámetros de medias móviles

Ahora bien, si se desea la notación con operador de rezagos, entonces será (1-B) ó ∆:

(1-B)zt = ∆zt = zt – zt-1

(3.20)

(3.21)

80

La notación extendida de un modelo ARIMA (p,q) será:

tq

qtp

p aBBBzBBB )...1()...1( 221

221 θθθφφφ −−−−=−−−−

Entonces, la notación para los modelos MA(1) y MA(2) será:

2211

11

)2()1(

−−

−

−−=→−=→

tttt

ttt

aaazMAaazMA

θθθ

Y la notación que se utiliza para los modelos autorregresivos de primer y segundo orden

es:

tt azBAR =−→ )1()1( 1φ

ttt

ttt

azz

azz

+=

=−

−

−

11

11

φ

φ

tttt azzzAR ++=→ −− 2211)2( φφ

La notación para los modelos mixto es decir ARMA(1,1) es:

1111)1,1( −− −+=→ tttt aazzARMA θφ

Donde:

at = ruido blanco

zt = datos históricos

Este proceso ARIMA realiza 3 pasos que se pueden observar en la Figura 3.4.

(3.22)

(3.23) (3.24)

(3.25) (3.26) (3.27) (3.28) (3.29)

81

Figura 3.4 Proceso Box- Jenkins

Fuente: Banco Central de Costa Rica

Identificación: El primero paso para la aplicación de éste método es que la serie sea

estacionaria, ver ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.3).

El grado de diferenciación (d) es el número de veces que se debe de diferenciar una serie

para lograr la estacionariedad.

En ocasiones la serie se vuelve estacionaria al momento en que se restan los valores

históricos, sin embargo, otras veces es necesario elaborar la diferencia de los valores

observados; en dados casos, d = 1, es decir, tiene una raíz unitaria.

En la Figura 3.5 se pueden ver dos gráficas, una de una serie estacionaria y la otra de una

serie no estacionaria

82

Figura 3.5 Ejemplos de Series

Fuente: Banco Central de Costa Rica

En el Anexo 1 se pueden observar de manera general los correlogramas simple y parcial

para modelos autorregresivos y de medias móviles.

Estimación

Se debe de minimizar la suma de mínimos cuadrados de los residuos así que es necesario

buscar el vector de los parámetros del modelo por el que la función objetivo mejora, lo cual

se logra a través de varias iteraciones. Para esto se puede utilizar algún paquete de cómputo

como Stata, E-Views, Minitab ó cualquier otro de estadística.

Verificación

Se debe de analizar los residuos, la bondad del ajuste del modelo estimado y los

parámetros del modelo una vez que el modelo ARIMA ha sido estimado.

Para los valores de los parámetros se debe verificar las condiciones de: invertibilidad y de

estacionariedad.

83

• La invertibilidad es que a dos secuencias diferentes de entrada, le correspondan dos

diferentes de salida, esto es que no se pierde información Para verificar la

invertibilidad se tiene la siguiente condición: |θ| < 1.

• Cuando es casi imposible conocer la función de distribución verdadera para los

procesos aleatorios se le denomina como estacionariedad sentido fuerte.

Las condiciones para que un proceso sea estocástico son:

o E(Yt)=µ es decir tiene media constante.

o Var(Yt)=E(Ytm)2=σ2 es decir, tiene varianza constante.

o Cov(Yt,Yt-1)=Cov(Yt+m,Yt+m-1) es decir, la covarianza es igual para pares de

observaciones que tienen la misma distancia.

• Para verificar la estacionariedad |θ| < 1

• Significancia de los Parámetros, se debe de ver que todos los parámetros sean

diferentes de cero, un método es con el estadístico t- Student.

Se debe de realizar un análisis de los residuos, que constan de un análisis gráfico, de un

histograma, un correlograma de los residuos y un estadístico Q de Box Pierce que se

encuentra dentro del presente capítulo. El valor de Q se compara con el de la Tabla de X2

con k grados de libertad. Si la Q es mayor que el de la Tabla del Estadístico, entonces se

rechaza la hipótesis de la estacionariedad.

84

Pronóstico

Después de elegir el modelo ARIMA que mejor se acople a los datos, una vez que se ha

verficado, se procede a utilizar el modelo para realizar el pronóstico, asegurándose que

existirá el menor error posible.

3.7 Análisis de Intervención

Cuando un modelo ARIMA es afectado por cambios tecnológicos, huelgas, impuesto,

cambios en medidas de política, o de legislación, etc., se dice que es un modelo ARIMA

con variables de intervención. En dado caso es necesario evaluar dichas intervenciones e

incorporarlos al modelo ARIMA por medio de variables artificiales binarias. A estas

variables se les conoces como variables dummy y se incorporan como impulsos y

escalones. Es necesario incorporar dichas variables, pues de lo contrario se podrían

observar sesgos en las estimaciones. Las principales variables de intervención que existen

son las siguientes:

Variables Impulso: Todas aquellas variables que intervienen en la serie sólo una vez en el

momento T. Es decir, en el momento T la variable vale uno, pero en cualquier otro

instante, la variable valdrá cero.

Variable Escalón: Esta variable afecta a partir del tiempo T sólo una vez, pero se

mantiene constante a partir de dicho cambio, es decir, antes del momento T la variable vale

cero, pero a partir de T la variable valdrá uno.

85

Variable Tendencia: Esta variable al igual que la anterior, vale cero antes del momento T,

sin embargo, a diferencia de las anteriores, en el momento T comienza a crecer de manera

ascendente.

Efecto Calendario: Este efecto se refiere a que se espera un mayor nivel en ciertos meses

con más días laborales, ó también difiere por días, es decir, si es lunes tendrá un valor

diferente que en viernes.

Efecto de la Semana Santa ó Pascua: Este efecto representa cierta influencia en la

actividad económica durante los meses de marzo y de abril.

Días de Comercio: Este efecto se refiere a la probabilidad de que en cierto mes se tenga

un nivel superior que otro debido a que posee más días.

En la Figura 3.7 se muestran las variables de intervención más importantes

Figura 3.6 Variables Dummy

Fuente: UNAM

La ecuación (3.31) muestra la incorporación de dichas variables al modelo ARIMA

ttt Nwfy += ),,( εδ (3.30)

86

Donde: la función es la parte determinística. Ahí se incluyen las variables de intervención.

Mientras que la Nt es la parte estocástica, el modelo ARIMA entra en la parte estocástica.

3.8 Modelos Estacionales

Los modelos estacionales utilizan el símbolo β para llamar a los operadores de retraso

cambiando la implementación del término del error de la serie de las observaciones periodo

a periodo.

Byt = yt-1

Mientras que Bkyt representa a β.

El primer paso en analizar una serie de tiempo estacional consiste en encontrar un conjunto

de valores estacionarios en la serie de tiempo que serán llamados zα,zα+1,...,zn. Si se tiene

un conjunto de n observaciones con valores en la serie de tiempo y1,y2,...,yn; y no poseen

variación estacional ni estacionariedad, entonces, se podrá utilizar una transformación para

obtener una serie de tiempo estacionaria utilizando la transformación de la ecuación (3.32)

que se muestra a continuación:

O bien la siguiente transformación:

Donde:

1−−=∇= tttt yyyz

212 2 −− +−=∇= ttttt yyyyz

∇ = 1 - Β (Operador no estacional)

(3.32) (3.33)

(3.31)

87

Si los valores no poseen una variación estacional, entonces significa que son no

estacionarios, y es posible que una de las transformaciones produzca series de tiempo

estacionarias.

Entonces:

Se tiene de manera general:

Donde:

d = Grado de diferenciaciónes no estacionales que se utilizarán para volver a la serie

estacional.

3.9 Modelos Estacionales SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s

Existen series que cada determinado tiempo ocurren cosas parecidas en las observaciones,

dichas ocurrencias se les conoce como puntos de ruptura. A dichos modelos se les conoce

como Modelos SARIMA (“Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Models”).

Generalmente en las Funciones de Autocorrelación se puede apreciar retardos cada

determinados intervalos, conocidos como rezagos estacionales. Si el patrón se observa cada

año y los datos son mensuales, el patrón será 12, mientras que si el patrón es semestral, el

patrón será de 6 y se tendrán 6 valores menos que en la serie original.

21

2

2

22

1

22

)21(

)1(

)1(

−−

−

+−=+−=

+−=

−=∇

−=−=−=∇

ttt

ttt

t

tt

tttt

tt

yyyyBByy

yBB

yBy

yyByyyBy

td

td yBy )1( −=∇

(3.34) (3.35) (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.40)

88

El acercamiento general para determinar el grado de diferencias requerido para reducir a

series de tiempo estacionarias se puede aproximar por casos:

• Caso 1

Si la Función de Autocorrelación Simple de la serie de datos original corta o desciende

rápidamente a cero, entonces los datos son estacionarios en media y no es necesario

elaborar ninguna diferenciación entre ellos.

• Caso 2

Si la función de Autocorrelación simple de los datos originales corta ó desciende

rápidamente a cero excepto en puntos de retraso estacional, por ejemplo 12, 24, 36. Es

entonces cuando se debe de analizar la función de autocorrelación en 12, 24, 36. Si se corta

después de 12 ó 24; ó bien, si aparece que baja rapidamente hacia cero entonces los datos

son estacionarios con un patrón estacional y no será necesario elaborar diferenciación.

Ahora bien si la serie desciende a cero lentamente, entonces los datos son no estacionarios,

y será necesario hacer una diferencia a la serie original; dicha diferencia se le conoce como

wt, que en este caso será wt = zt – zt-12 para t mayor ó igual a 13. Por tanto las primeras 12

observaciones se perderán. El número de diferenciaciones será el valor de D, en este caso

D =1 y el valor de wt se puede reexpresar como wt = (1 - βρ12 ) zt para t mayor o igual a 13

donde β es el operador de cambio de 12 periodos atrás. Ahora bien, si la función de

autocorrelación de la primera diferencia estacional corta ó baja rapidamente hacia cero, la

serie wt es estacionaria en media. Sin embargo, si la serie wt desciende lentamente hacia

89

cero, entonces será no estacionaria en media y se deberá considerar la serie obtenida por la

primera diferencia regular de wt. El resultado de la serie será:

wt = (zt-zt-12)-(zt-1-zt-13)

= zt-zt-1-zt-12+zt-13 para t mayor ó igual a 14

En este caso se pierden 13 observaciones y se puede reexpresar de la siguiente manera:

wt = (1-β)1(1-β12)zt para t mayor ó igual a 14

• Caso 3

Si la fución de Autocorrelación de la serie original baja extremadamente lento hacia cero

en los retrasos estacionales. Esto indica que la serie de tiempo original es no estacionaria

en la media y una diferencia regular será necesaria. De este modo se analiza la Función de

Autocorrelación de la serie diferenciada wt = zt - zt-1 para t mayor ó igual a 1; si corta ó baja

rapidamente hacia cero, entonces la serie de tiempo de la primera diferencia regular es

estacionaria en media. Si la Función de Autocorrelación de wt baja rapidamente hacia cero,

excepto en puntos en los retrasos estacionales, entonces como en el caso 2 se deberá

analizar la Función de Autocorrelación en 12, 24, 36 de la serie de tiempo wt. Si la Función

de Autocorrelación corta después del 12 ó del 24 ó bien baja rapidamente hacia cero, la

serie wt es estacionaria en media y ninguna diferencia será necesaria. Sin embargo, si la

serie wt desciende lentamente hacia cero, entonces será no estacionaria en media y se

deberá considerar la serie obtenida por la primera diferencia regular de wt. El resultado de

la serie de tiempo será dada por la ecuación (3.43).

wt = (z t -zt-1) - (zt-12 - zt-13)

= zt-zt-1-zt-12+zt-13 para t mayor ó igual a 13

(3.41) (3.42)

(3.43)

90

Como se puede observar, la ecuación (3.43) es la misma que la ecuación (3.41), por tanto

el orden de las diferencias d=1 y D=1, es irrelevante.

Las frases “cae rapidamente” ó “baja rapidamente” son arbitrarias y pudiesen ocasionar

confusión en los grados de diferenciación necesarios. Cuando la Función de

Autocorrelación de la serie ó de alguna de sus diferencias cause duda en si la serie es

estacionaria, se recomienda elaborar otra diferencia. Una de las ventajas de hacer esto es

que el pronóstico para las series de tiempo no estacionarias no están ajustadas a una media

arreglada como es el caso de las series estacionarias. Otra ventaja es que en situaciones

donde el grado de diferenciación está en duda, es generalmente el caso que el pronóstico

superior es obtenido cuando el grado más alto de la diferenciación es usado. Las gráficas

de la serie original y sus diferencias deben de ser también analizadas, pero la decisión del

grado de diferenciación se toma según la Función de Autocorrelación. También se deben

de estudiar las desviaciones estándar tanto de la serie original como de las diferencias para

evitar la sobrediferenciación. Si la desviación estándar aumenta conforme aumentan las

diferencias, entonces hay sobrediferenciación . Si la serie original es estacionaria en

varianza, cualquier diferencia regular o estacional de la serie de tiempo será estacionaria en

varianza.

La expresión general del modelo es la siguiente:

)()1()1(

)()())(()(

tDs

dt

Dsdt

ts

ts

XXBBW

ZBBWBB

∆∆=−−=

Θ=− θµφφ

Los operadores introducidos en la fórmula son:

Bs = Operador de retardo estacional definido Bs(Xt) = Xt-s.

(3.44) (3.45)

91

∆ = (1-B) = Operador de la diferencia regular.

∆s = (1-Bs) = Operador de la diferencia estacional.

Los operadores diferencia y diferencia estacional, en general remueven tendencias y

componentes estacionales de la serie respectivamente.

Wt = Serie desestacionalizada y sin tendencia, es decir, es estacionaria.

Xt = Serie observada.

B = Operador de retardos.

Φ(B) = Polinomio autorregresivo de orden p, correspondiente a la parte ordinaria de la

serie.

θ(B) = Polinomio de medias móviles de orden q, correspondiente a la parte ordinaria de la

serie.

Φ(Bs) = Polinomio autorregresivo de orden P, correspondiente a la parte estacional de la

serie.

Θ (Bs) = Polinomio de medias móviles de orden Q, correspondiente a la parte estacional

de la serie.

µ = Media de la serie estacionaria.

Zt =Perturbación del modelo.

D, d = Número de veces que se han aplicado los operadores diferencia estacional y

diferencia regular a la serie original para convertirla en estacionaria.

3.10 Descripción del Software Actual

MINITAB Statistical Software.

92

Es un sistema que ofrece diversas herramientas de fácil acceso para aplicaciones

estadísticas, incluso para personas que no estén relacionados con la estadística. Este

paquete garantiza confiabilidad en sus algoritmos estadísticos.

Dentro de este programa se puede realizar estadística básica y avanzada, regresiones

utilizar ANOVA, Series Temporales y predicción etc.

Este paquete está enfocado a números complejos y a la resolución de problemas con

procesos. También es un sistema de alta utilidad para mejorar el rendimiento de las

cadenas de producción.

Forecast Pro

Es un software eficiente para profesionales. Su sencilla utilización así como su exactitud es

lo que caracteriza a este paquete. Una de las ventajas de Forecast Pro es que al momento en

que se le dan los datos históricos de lo que se desea pronosticar y Forecast Pro se encargará

de analizar sus datos. La integración de sus pronósticos con otros sistemas de planeación es

una de sus innumerables características.

E Views

E Views ofrece análisis estadístico sofisticado, regresión y pronóstico. Usted podrá

convertir relaciones estadísticos de sus datos y luego estimar valores futuros. E Views fue

creado por economistas y la mayoría de sus usos son económicos, sin embargo, sus

limitaciones de este sistema no son las series de tiempo. E Views tiene ventajas en

visualizar características del moderno software de Windows.