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Capıtulo 12
Introduccion a flujo
compresible
Un muchos casos de interes practico no es razonable suponer que la den-
sidad del fluido se mantiene constante. En este capıtulo discutiremos algunos
conceptos para determinar cuando podemos suponer que es correcto suponer
que la densidad es constante. Cuando no lo es, se debe de extender el analisis
de flujo para tomar en cuenta este efecto.
Cuando la variacion de densidad es importante y se debe considerar, las
ecuaciones de conservacion son las siguientes:
∂ρ
∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ(∇ · ~v) = 0 (12.1)
ρ
(∂~v
∂t+ (~v · ∇)~v
)
= ρ~g −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v(12.2)
ρCp
(∂T
∂t+ (~v · ∇)T
)
= ∇ (k∇T ) +Φ (12.3)
P = ρRT (12.4)
Este sistema de 6 ecuaciones (1 de masa, tres de momemtum lineal, 1
energıa y 1 de estado) y 6 incognitas (densidad, presion, temperatura y ve-
locidad, 3) esta cerrado. En principio, se podrıa resolver pues se tiene un
257
258 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
numero de incognitas igual al numero de ecuaciones disponibles. Sin em-
bargo, como se ha discutido ampliamente, no existen metodos matematicos
para encontrar la solucion. Por lo tanto, se deben de hacer simplificaciones
importantes.
En este capıtulo analizaremos el caso de flujo compresible unidimensional
y no-viscoso.
Antes de arrancar es importante hacer un repaso breve de algunos con-
ceptos importantes de la termodinamica de gases ideales.
12.1. Repaso de termodinamica de gases idea-
les
La ecuacion de estado para un gas ideal es:
P = ρRT
donde R es la constante del gas. Esta es:
R =RU
Mm
donde RU = 8314 J/(KgmolK) es la constante universal de los gases y Mm es
la masa molecular.
Usualmente en termodinamica se usa el inverso de la densidad, v = 1/ρ,
llamado volumen especıfico.
La energıa interna, u, de una sustancia se puede expresar como funcion
de otras dos variables termodinamicas:
u = f(v, T ).
Por lo tanto,
du =
(∂u
∂T
)
v
dT +
(∂u
∂v
)
T
dv
12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 259
lo cual puede escribirse como
du = CvdT +
(∂u
∂v
)
T
dv
dondeCv es la capacidad calorıfica a volumen constante. Para un gas ideal se
puede demostrar que la energıa interna no depende del volumen especıfico,
es decir ∂u/∂v = 0. Entonces,
du = CvdT
En otras palabras, el cambio de energıa interna depende unicamente de los
cambios de temperatura.
Podemos tambien definir la propiedad termodinamica, h, entalpıa como:
h = u+P
ρ
De igual manera, podemos escribir a la entalpıa como una funcion de
otras dos variables termodinamicas.
h = g(P, T ).
Por lo tanto, los cambios de entalpıa se pueden calcular como:
dh =
(∂h
∂P
)
T
dP +
(∂h
∂T
)
P
dT
pero ∂h/∂P = 0 por lo que
dh = CPdT
donde CP es la capacidad calorıfica a presion constante.
De la definicion de entalpıa tenemos
h = u+RT.
Entonces
dh = du+RdT
260 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
y usando las expresiones anteriores podemos escribir:
CPdT = CvdT +RdT
por lo tanto:
r = CP − Cv
Si definimos k = CP/Cv, entonces,
CP =kR
k − 1
Cv =R
k − 1
Sabemos que tanto CP como Cv son aproximadamente constantes para
un amplio rango de temperaturas. Por lo tanto podemos calcular el cambio
de energıa interna y entalpıa como:
∆u = Cv(T2 − t1)
∆h = CP (T2 − t1)
Tambien es util definir el concepto de entropıa:
∆s =
∫
rev
δQ
T
Esta ecuacion representa la segunda ley de la termodinamica.
Para proceso no reversible tenemos:
ds ≥ δQ
T
y para uno reversible:
Tds =dQ
mSi el proceso es adiabatico dQ = 0, entonces en un proceso adiabatico
reversible ds = 0 (proceso isentropico). De otra manera, ds > 0.
De la primera ley de la termodinamica sabemos que
∆u = Q−W
12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 261
por lo tanto
du = δQ− δW.
Entonces,
Tds = du+ Pdv
y
Tds = dh− vdP
Por lo tanto
ds = CvdTT
+Rdvv
ds = CPdTT
− RdPP
(12.5)
Si el proceso es isentropico para un gas ideal, entonces
0 = CvdT + Pdv
0 = CPdT − vdP(12.6)
Por lo tanto,
dT =vdP
CP
= −PdvCv
y
fracdPP +CP
Cv
dv
v= 0
Esta expresion se puede integrar:
lnP + ln vk = constante
y finalmente:P
ρk= constante.
Para un proceso isentropico de un gas ideal la relacion P/ρk se mantiene
constante:P1
ρk1=P2
ρk2.
262 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
12.2. Propagacion de una perturbacion pe-
quena de presion
Consideremos que existe un dominio que esta originalmente en reposo, a
una presion P y a una densidad ρ. Supongamos que en una region de ese
dominio la presion crece subitamente (una pequena explosion). Por lo tanto
la densidad y la velocidad se veran afectadas:
Pρ
Vx=0
P+dP
ρ+ dρ
dVx
c
x
y
Como resultado del gradiente de presion el fluido tendera a moverse. Por
lo tanto, la frontera entre el fluido sin moverse y el que se esta moviendo
se desplazara. Para el caso mostrado en la figura, el desplazamiento se dara
hacia la izquierda.
Si suponemos que la frontera se desplaza a una velocidad constante pode-
mos realizar un analisis de volumen de control que se desplaza a una velocidad
constante c hacia la derecha.
La ecuacion de conservacion de masa para este volumen de control es:
d
dt
∫
V
ρdV +
∫
S
ρ~v · ~ndS = 0
Si el flujo es estacionario la primera integral es cero. Si consideramos un flujo
uniforme tenemos∫
Sizq
ρ~v · ~ndS +
∫
Sdere
ρ~v · ~ndS = 0
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION263
entonces
−(ρcS) + (ρ+ dρ)(c− dVx)S = 0
por lo tanto
−ρcS + ρcS − ρdVxS + cdρS − dVxdρS = 0
si despreciamos los terminos que involucran productos de cantidades diferen-
ciales, tenemos
dVx = cdρ
ρ
La conservacion de momentum, en la direccion x, para el mismo volumen
de control es:
d
dt
∫
V
ρVxdV +
∫
S
ρVx~v · ~ndS = Fsx + FV x
Si el flujo es estacionario y no hay fuerzas volumetricas en x, tenemos
∫
S
ρVx~v · ~ndS = Fsx
Por lo tanto
−(ρc)cS + (ρ+ dρ)(c− dVx)(c− dVx)S = PS − (P + dP )S
Simplificando tenemos:
−ρcdVxS = −dPS
lo que se puede reescribir como:
dVx =1
ρcdP
Usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa
cdρ
ρ=c
ρdP
264 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
y por lo tanto
c2 =dP
dρ
Si consideramos un gas ideal y que el proceso de compresion se llevo a
cabo de manera isentropica tenemos:
P
ρk= constante.
Por tanto,dP
P− k
dρ
ρ= 0.
EntoncesdP
dρ= k
P
ρ= RT
Finalmente
c =√kRT
Para aire a temperatura ambiente, k = 1.4, R = 286.9 J/(Kg K), T = 293
K, c = 343.1 m/s.
De forma mas general, para otros fluidos y solidos podemos emplear la
definicion del coeficiente de compresibilidad, Ev:
Ev =∂P
(∂ρ)/ρ.
Por lo tanto,
c =
√
Ev
ρ
Para agua, ρ = 1000 Kg/m3, Ev = 2.2× 109, c = 1483 m/s.
12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo
Si consideramos la existencia de una fuente de sonido (perturbaciones
de presion), esta viajara a la velocidad c en todas las direcciones. Esto se
muestra esquematicamente en la figura abajo. Si cada pulso de sonido esta
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION265
separado por un instante de tiempo ∆t, la separacion entre los diferentes
pulsos de presion estara dado por una distancia radial cδt. El frente de cada
onda sera entonces un cırculo cuyo radio crecera el en tiempo. Los frentes de
onda consecutivos seran entonces cırculos concentricos.
b
Posicion de un pulso sonicodespues de un tiempo ∆t.
Objeto
(V=0)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
Ahora supongamos que el objeto que esta emitiendo pulsos sonicos se
mueve a una velocidad V de izquierda a derecha, como se muestra en la figu-
ra. El objeto se mueve a V < c. El pulso sonico se emitira de lugares distintos
pero la propagacion se dara de la misma manera, radialmente uniforme. No-
te que los pulsos estan menos espaciados en la direccion de movimiento del
objeto. Por lo tanto la frecuencia del sonido enfrente al objeto se incremen-
ta, mientras que detras del objeto la frecuencia es menor. Este es el efecto
Doppler.
b
Objeto se mueve(V<c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Ahora consideremos el caso en que la velocidad del objeto es igual a la
266 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
velocidad de propagacion del sonido (V = c). En este caso los frentes de
onda no se pueden propagar por enfrente al objeto. Los frentes de onda se
‘enciman’ formando una frontera a traves de la cual la presion se incremen-
ta fuertemente. A esta frontera se le llama onda de choque. Por tanto, un
observador que se encuentre enfrente del objeto en movimiento no escuchara
ningun sonido hasta que el objeto llegue a su posicion.
b
Objeto se mueve(V=c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Frontera de avance
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION267
Y finalmente, consideremos el caso en que el objeto se mueve a una velo-
cidad mayor a la del sonido (V > c). El objeto se adelanta a los frentes de
sonido que va generando. La frontera de frentes de onda se inclina, formando
un cono de Mach. Por fuera de esta region no se escucha sonido (zona de
silencio).
b
Objeto se mueve(V>c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Frontera de avance
α
El angulo del cono de de Mach se puede calcular usando trigonometrıa:
sinα =c∆t
V∆t=
c
V
.
La razon entre la velocidad del objeto (o del flujo) y la del propagacion
del sonido sirve entonces para caracterizar la fenomenologıa de flujos com-
presibles. El numero adimensional, Ma, se define como:
Ma =V
c
Asi podemos definir diferentes regımenes de flujo:
Ma < 1, flujo subsonico. Ventiladores.
Ma > 1, flujo supersonico. Compresores, aviones.
0.9 < Ma < 1.1, flujo transonico.
Ma > 5, flujo hipersonico. Entrada a la atmosfera.
268 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
12.3. Flujo compresible unidimensional esta-
cionario
Un flujo unidimensional es aquel en que la velocidad unicamente cambia
en una de las direcciones coordenadas. Es decir
~v = ~v(x; t) o ~v(x; t)
En este caso, por lo tanto, consideramos que el flujo es uniforme en la
direccion perpendicular al movimiento.
Consideremos un flujo a traves de un canal mostrado esquematicamente
en la figura:
ρV AρV A+d(ρV A)
dx
PA PA + d(PA)
τPdx
x
δQδW
(P+dP/2)dA
Considerando un volumen de control de tamano infinitesimal en x, pode-
mos realizar balances de masa, momentum y energıa.
Conservacion de Masa
Para la conservacion de masa tenemos, para el caso estacionario:∫
S
ρ~v · ~ndS = 0
12.3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 269
Entonces
−(ρV A) + (ρV A) + d(ρV A) = 0,
por lo tanto
d(ρV A) = 0 ⇒ m = constante
Conservacion de Momentum Lineal
Si consideramos un flujo estacionario y sin fuerzas volumetricas tenemos
para el volumen de control mostrado:∫
S
ρux ~vrel · ~ndS = Fx
El lado izquierdo de la ecuacion da:∫
S
ρux ~vrel · ~ndS = −[ρV 2A] + [ρV 2A+ d(ρV 2A)] = d(ρV 2A),
el cual, usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa, se puede
escribir como:
d(ρV 2A) = d(mV ) = mdV = ρV AdV.
Las fuerzas en x, Fx, son:
Fx = [PA]− [PA+ d(PA)] + [(P + dP/2)dA)]− [τPdx]
Simplificando y eliminado productos de diferenciales tenemos:
Fx = −d(PA) + PdA− τPdx = −AdP − τPdx.
El ultimo termino de la expresion anterior representa la perdidas por
friccion viscosa. Este se puede reescribir usando el factor de friccion para
flujo en tuberıas, f :
τPdx =
(ρV 2
2
)(4fA
Dh
)
dx
donde Dh es el diametro hidraulico, Dh = 4A/P .
270 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Por lo tanto, la ecuacion de conservacion de momentum lineal resulta en:
dP + ρV dV +
(ρV 2
2
)(4f
Dh
)
dx = 0 (12.7)
Si el flujo es inviscido, sin friccion, la ecuacion anterior se simplifica a:
dP + ρV dV = 0
o ∫dP
ρ+V 2
2= constante (12.8)
la cual es, de hecho, la ecuacion de Bernoulli para un fluido compresible.
Si el fluido es incompresible, entonces recuperamos la ecuacion clasica de
Bernoulli:P
ρ+V 2
2= constante
Para la ecuacion de Bernoulli compresible, podemos considerar la ecua-
cion de gas ideal, P = ρRT para evaluar la primera integral:
RT lnP
Po+V 2
2= C
donde Po es una presion de referencia. Esta ecuacion es, entonces, la ecuacion
de Bernoulli para un flujo compresible isotermico.
Si consideramos en caso de un flujo isentropico, sabemos que P/ρk =
constante. Entonces, la integral∫dP/ρ se puede escribir como:
∫dP
ρ= C1/k
∫
P−1/kdP = C1/k
(k
k − 1
)(
Pk−1k − P
k−1k
o
)
pero la constante C esta dada por C = P/ρk = Po/ρko , entonces
(k
k − 1
)P
ρ+V 2
2= constante
y finalmente,
CpT +V 2
2= constante (12.9)
es la ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal.
12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL271
Conservacion de Energıa
La ecuacion de conservacion de energıa para un volumen de control es:
d
dt
∫
V
ρedV+
∫
S
ρ(h+ V 2/2 + gz) ~vrel · ~ndS = Q− W
Si el flujo es estacionario, la primera integral es cero. Despreciando los
efectos gravitacionales, el flujo de energıa neto a traves de las paredes del
volumen de control es:∫
S
ρ(h+V 2/2) ~vrel·~ndS = m[−[(h + V 2/2)] + [(h+ V 2/2) + d(h+ V 2/2)]
]= md(h+V 2/2)
Por lo tanto:
d(h+ V 2/2) = δq − δw.
Para un flujo adiabatico y sin trabajo (o sea isentropico):
h+V 2
2= constante
lo cual es consistente con la ecuacion obtenida a traves de la conservacion de
momentum lineal ya que h = CPT para un gas ideal.
12.4. Relaciones para flujo isentropico de un
gas ideal
La ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal se puede
reescribir como:
CPT +V 2
2= constante
Considerando la definicion del numero de Mach, podemos reescribir esta
relacion como:
CPT +(kRT )Ma2
2= constante
y de la relacion:
R =k − 1
kCP
272 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
podemos escribir:
T
(
1 +k − 1
2Ma2
)
= constante
Considerando queP
ρk= constante
podemos escribir
P = (constante)Tk
k−1
y
ρ = (constante)T1
k−1
para dar:
P
(
1 +k − 1
2Ma2
) kk−1
= constante
y
ρ
(
1 +k − 1
2Ma2
) 1k−1
= constante.
12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento
Es util tener propiedades de referencia en un flujo compresible. Estas se
pueden obtener de las relaciones anteriores suponiendo que toda la energıa
cinetica del flujo se transforma en energıa termica o de presion. Para esto
podemos hacer el balance entre dos puntos del flujo y suponemos que en uno
de los puntos la velocidad del flujo es cero:
Entonces:
T
(
1 +k − 1
2Ma2
)
= To
(
1 +k − 1
2(0)2
)
por lo tanto:
T
To=
(
1 +k − 1
2Ma2
)−1
12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL273
y de manera analoga:
P
Po=
(
1 +k − 1
2Ma2
) k1−k
y
ρ
ρo=
(
1 +k − 1
2Ma2
) 11−k
12.4.2. Propiedades sonicas
De manera similar, podemos calcular otra condicion de referencia que co-
rresponda a punto del flujo en el cualMa = 1. Estas condiciones se identifican
con el superındice ‘*’.
Entonces,
T ∗
To=
(
1 +k − 1
2
)−1
y
P ∗
Po=
(
1 +k − 1
2
) k1−k
y
ρ∗
ρo=
(
1 +k − 1
2
) 11−k
Es interesante notar que las propiedades sonicas unicamente dependen
del tipo de gas (el valor de k). Entonces para aire (k = 1.4):
T ∗
To= 0.8333
yP ∗
Po= 0.5283
yρ∗
ρo= 0.6339
274 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Ejemplo
Suponga que existe un flujo isentropico de aire de un punto 1 a un punto
2 en un ducto. Si en el punto 1:
Ma = 0.3
A=0.001 m2
P=650 kPa
T=62 oC
calcule las propiedades del flujo en el punto 2, considerando que Ma2 = 0.8.
Solucion. Si el flujo entre 1 y 2 ocurre de manera isentropica, las condi-
ciones de estancamiento son las mismas para ambos puntos:
(To)1 = (To)2 = T1(1 +k − 1
2Ma2).
Al sustituir valores, tenemos
(To)1 = (To)2 = 341K.
Una vez conocida la condicion de estancamiento, podemos inferir las pro-
piedades en el punto 2 (pues se conoce Ma2):
T2 =(To)2
1 + k−12Ma22
= 302K
Consecuentemente:
c2 =√
kRT2 = 348m/s
y
V2 =Ma2c2 = 278m/s
La presion P2 se puede calcular de la relacion isentropica:
P2 = P1
(T2T1
) kk−1
= P1(0.696) = 452kPa.
El area en 2 es
A2 = A1ρ1ρ2
V1V2
=
12.5. FLUJOS CON CAMBIO DE AREA 275
Comparasion con un flujo incompresible
12.5. Flujos con cambio de area
Una parte interesante del flujo compresible es el efecto del cambio de area
en las propiedades del flujo.
Consideremos la ecuacion de conservacion de momentum lineal (Eqn. xx)
obtenida anteriormente:dP
ρ+ V dV = 0
entoncesdP
ρV 2= −dV
V
De la ecuacion de conservacion de masa (Eqn. xxx), tenemos que
m = ρV A = textconstante.
Esta ecuacion se puede reescribir
ln ρ+ lnA+ lnV = ln(constante)
que al diferenciar da:dρ
ρ+dA
A+dV
V= 0
odA
A= −dρ
ρ− dV
V
Usando la ecuacion de conservacion de momentum lineal podemos rees-
cribir:dA
A=
dP
ρV 2− dρ
ρ
El ultimo termino del lado derecho se puede reexpresar como:
dρ
ρ=dP
ρc2.
Por lo tanto:dA
A=
dP
ρV 2
(1−Ma2
)
276 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
o en terminos de la velocidad
dA
A= −dV
V
(1−Ma2
)(12.10)
Con base en las expresiones anteriores podemos analizar el comporta-
miento del flujo para el caso subsonico y supersonico.
Para Ma < 1 tenemos que (1−Ma2) > 0 (positivo), entonces:
• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera posi-
tivo: la velocidad aumenta. Tambien dP sera negativo, la presion
decae.
• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera ne-
gativo: la velocidad disminuye. En este caso dP sera positivo: la
presion crece.
Para Ma > 1 tenemos que (1−Ma2) < 0 (negativo), entonces:
• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera nega-
tivo: la velocidad disminuye. Tambien dP sera positivo, la presion
aumenta.
• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera posi-
tivo: la velocidad crece. En este caso dP sera negativo: la presion
decrece.
¿Que pasa si Ma=1? Para este caso
dA
dV= 0
Esto lo podemos interpretar como un mınimo en el area. En otras pala-
bras Ma = 1 unicamente se puede alcanzar en la garganta de un canal
convergente-divergente.
12.6. TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE 277
V < c
V = cacceleracion acceleracion
V < c
12.6. Tobera convergente-divergente
Consideremos la tobera mostradas en la figura.
Del lado izquierdo, el flujo entra a una velocidad subsonica. Al moverse a
traves de una tobera convergente el flujo se acelera. Al llegar a la garganta, el
flujo puede, o no, alcanzar la condicion sonica. Si no lo hace, la velocidad agua
abajo de la garganta vuelve a disminuir. Si si alcanza la velocidad sonica en
la garganta, entonces el flujo se hace supersonico y acelera aun mas al pasar
por una tobera divergente.
Podemos determinar si el area en la garganta es lo suficientemente pe-
quena para que se de la condicion sonica en ella. Para que Ma = 1 en la
garganta el area tiene que ser crıtica: A = A∗.
Entonces para m =constante, tenemos:
A∗
A=ρV
ρ∗c=
1
Ma
ρ
ρ∗
√
T ∗
T
la cual se puede manipular resultando en:
A∗
A=
1
Ma
[
1 + k−12Ma2
1 + k−12
] k+12(k−1)
12.7. Flujo ahogado
Consideremos ahora el flujo de un fluido compresible desde un contenedor
a presion, hacia el medio ambiente. El medio exterior se encuentra a una
278 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
presion PB y el tanque se encuentra a condiciones de estancamiento: Po, To
y ρo.
Condicion ambiental
PB
Condicion deestancamiento
Po
Toρo
Condicion degarganta
Podemos identificar varias condiciones de flujo:
Cuando Po = PB, no hay flujo porque no hay un gradiente de presion
que impulse al flujo. Conforme PB decrece (o Po crece), se genera una
onda de presion hacia adentro del tanque y el flujo comienza y se mueve
hacia afuera.
Si la razon PB/Po decrece podemos esperar que la velocidad del flujo en
la garganta, Vtr, crezca y por lo tanto que el gasto masico, m, tambien
crezca.
Dentro del tanque, y hacia la garganta, podemos esperar que el flujo se
subsonico pues la condicion de inicio es de estancamiento. Por tanto, la
presion en la garganta sera entonces Ptr = PB. Esto lo podemos explicar
de la siguiente manera: si Ptr > PB entonces el flujo se expandirıa
despues de la garganta y la velocidad del chorro se reducirıa, y por lo
tanto la presion crecerıa. Entonces la condicion de que la presion debe
de ser PB no se cumplirıa. Por lo tanto la suposicion es incorrecta.
Si PB/Po continua decreciendo, eventualmente la velocidad del flujo en
la garganta alcanzara la velocidad sonica (Vtr = V ∗ = c). Entonces la
12.7. FLUJO AHOGADO 279
presion en la garganta sera
Ptr
Po=PB
Po=P ∗
Po=
(
1 +k − 1
2
) k1−k
y la velocidad en la garganta sera:
Vtr = V ∗ = c =√kRT ∗
Aunque PB/Po continue disminuyendo, la velocidad en la garganta no
podra incrementarse por encima de valor sonico. A esta condicion se le
denomina flujo ahogado.
El maximo flujo posible es entonces:
mA = ρ∗A∗V ∗
Las propiedades sonicas se calculan con las expresiones desarrolladas
anteriormente.
La siguiente figura muestra como es que cambia el gasto masico como funcion
de la razon Pb/Po.
FIGURA.
Una manera sencilla de comprobar si el flujo esta ahogado o no consiste
en verificar si la presion exterior es menor o no que la presion sonica. En
otras palabras si
Pb
Po≤ P ∗
Po=
(
1− k − 1
2
) k1−k
entonces el flujo esta ahogado (Ptr = Po).
Ejemplo:Se tiene un contenedor a 1 MPa y una temperatura de 333 K
con aire. Si se abre un agujero de 0.001 m2 determinar el gasto masico
de salida si la presion ambiental es 590 kPa. Determine si el flujo esta
ahogado o no. Repita el calculo para 500 kPa.
El primer paso es verificar si el flujo esta ahogado. Para ello calcula-
280 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
mosPB
Po
=5.9× 105
1.0× 106= 0.591 > 0.528.
Por lo tanto el flujo no esta ahogado.
Entonces Ptr = PB. Usando la relacion:
Ptr
Po
=
(
1 +k − 1
2Ma2tr
) k1−k
podemos despejar el Matr , lo que resulta en Matr = 0.9.
La temperatura en la garganta se obtiene de:
ToTtr
=
(
1 +k − 1
2Ma2
)
por lo que Ttr = 287 K.
El gas masico es m = ρtr(Matrctr)Atr por lo tanto
m =
(Ptr
RTtr
)
Matr√
kRTtrAtr = 2.20kg/s
Ahora, si PB = 500 kPa:
PB
Po
=5.0× 105
1.0× 106= 0.50 < 0.528,
que indica que el flujo esta ahogado.
Para este caso, mmax = ρ∗V ∗Atr. Entonces, usando
T ∗
To=
(
1 +k − 1
2
)−1
tenemos T ∗ = 277.5 K por lo que:
V ∗ = c =√kRT ∗ = 333.9m/s
12.8. OTROS TEMAS DE INTERES EN FLUJO COMPRESIBLE 281
y de
ρ∗
ρo=
(
1 +k − 1
2
) 11−k
encontramos que ρ∗ = 0.2ρo. Entonces,
m = 3.93kg/s
12.8. Otros temas de interes en flujo compre-
sible
Este capıtulo es solo una introduccion breve al tema general de dinamica
de gases y flujo compresible. Hay un gran cantidad de temas que no se han
cubierto en estas notas. Si se desea profundizar en estos temas o continuar con
otros se debe de consultar algun libro especializado. Consultar por ejemplo
Liepmann and Roshko [2002].