5/24/2018 Capitulo 11 - Teoria Cinetica Dos Gases

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Captulo 11 - Teoria Cinti ca dos Gases

Em 1811, o italiano Amedeo Avogrado enunciou 2 hipteses:

1) As molculas de um gs podem ser compostas por mais de um nico

tomo.

2)Nas mesmas condies de temperatura e presso todos os gases contm omesmo nmero de partculas.

Avogrado no determinou o nmero de Avogrado que foi calculado pela primeira

vez por Loschmidt 50 anos depois e por Perrin, no comeo do sculo XX,

uasando o movimento Browniano.

O nmero de Avogrado nmero de molculas contido em 1 mol de qualquer

substncia Teoria Cintica

Seja um gs com N molculas num volume V e o nmero de molculaspor unidade de volume. Vamos supor o volume com o formato de uma caixa.

Seja o nmero de molculas por unidade de volume que tm mdulo dacomponente x da velocidade igual a . Temos . Supondo que estasmolculas colidam elasticamente com a parede perpendicular ao eixo x, acomponente x do vetor momento linear simplesmente mudar de sinal e o

momento transferido (em mdulo) ser, para uma molcula

Essa transferncia de momento linear para a parede de rea A ser realizada, num

intervalo de tempo , por todas as molculas contidas no volume . Onmero de molculas contidas nesse volume igual a . O momentotransferido por todas essas molculasser

Logo, a fora ser

E a presso devido s molculas com velocidade

A presso total, nessa parede, ser

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O fator 2 eliminado j que somente metade das molculas esto indo para a

direita (as que se movem para a esquerda no contribuem para a presso sobre a

parede direita).

Por outro lado, a mdia do quadrado da componente x da velocidade dada por

Usando a isotropia espacial

e que

Teremos . Substituindo em (1) e (2)

Ou ainda

Definimos a velocidade quadrtica mdia

Por exemplo, em condies normais de temperatura e presso,

, o oxignio tem densidade de 1,43 kg/m3 o que d uma velocidadequadrtica media de 461 m/s.Para um gs ideal, a energia interna composta exclusivamente pela energia

cintica de translao, logo

Como veremos adiante, a expresso (7) s vlida para gs ideal monoatmico.

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Conclumos que

Lembrando que

Logo,

Derivando (9 a) parcialmente em relao a V teremos

Derivando (9 b) parcialmente em relao a T teremos

Donde,

De (8)

(aqui

o nmero de moles)

Logo,

E

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A energia interna pode ser escrita

Onde introduzimos a constante de Boltzmann

Teorema da Equipartio da Energia

Em mecnica clssica, cada grau de liberdade que comparece quadraticamente

na Hamiltoniana, contribui com energia igual a .No caso de um gs ideal monoatmico temos 3N gaus de liberdade (cada

molcula 3 graus de liberdade, as componentes da velocidade).

Para um gs diatmico haver mais 2 graus de liberdade de rotao na energia:

. A terceira rotao, ao longo do eixo que une os 2 tomos, nocontribui pois tem, praticamente, momento de inercia nulo.Logo,

Se a molcula diatmica iniciar a vibrar teremos mais 2 termos quadrticos na

Hamiltoniana: um da energia cintica de vibrao e outro da energia potencial de

vibrao. Neste caso,

. Exemplo tpico a molcula de hidrognio

gasoso .

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Para um slido, a capacidade trmica depende fortemente da temperatura. Esse

comportamento s pode ser explicado com a mecnica quntica.

A equao de Van der Waals

Em 1873, Van der Waals props a equao de estado para moles de um gsreal.

onde so constantes caractersticas de cada gs. Vamos entender asorigens das correes na presso e volume de um gs ideal.

O potencial de interao entre molculas do tipo Lennard-Jones, o que significa

dizer, ele atrativo a longas distncias e repulsivo a curtas distncias.

O volume disponvel para um gs real sempre menor que o volume do

vasilhame que o contem: de comprimirmos as molculas de um gs real existe

um volume mnimo alem do qual no se consegue ir da a presena do termo na eq. (17). As foras repulsivas de curto alcance criam essevolume mnimo.

A presso de um gs real sempre menorque a presso de um gs ideal, pois,

num gs real, as foras atrativas de longo alcance aproximam as molculas ao

invs de permitir que elas colidam com as paredes.

Dessa forma, vemos que a equao de van der Waals incorpora na equao de

estado o potencial do tipo Lennard-Jones.

Vamos agora analisar as isotermas de eq. de van der Waals

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Existe uma temperatura crtica acima da qual no h problemauma pressoe um volume. Porm, abaixo dessa temperatura vemos que a eq. de Van der

Waals algbrica de 3. grau1 presso e 3 volumes.

Portanto, para , van der Waals leva a solues esprias, no fsicas.Boltzmann corrigiu a equao, propondo reas iguais na isoterma.

Essa reta isobrica a transio lquido-gs.

A determinao de simples j que ela corresponde ao surgimento do ponto deinflexo:

Utilizando (17), obtemos