7

A L G E B R Ă CAPITOLUL I

NUMERE NATURALE I.1. Proprietăţile relaţiei de divizibilitate în I.1. Proprietăţile relaţiei de divizibilitate în I.1. Proprietăţile relaţiei de divizibilitate în I.1. Proprietăţile relaţiei de divizibilitate în N

� Numărul natural b divide numărul natural a dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c. Notaţii: b / a sau a b� (“b divide a” sau “a se divide cu b”). Observaţie: Nu există pentru orice pereche de numere naturale a şi b un număr natural c

astfel încât a = b · c şi urmează că relaţia b / a nu este peste tot definită în �. Pentru a ∈ � se consideră mulţimea Da = {x � � / x / a} ale cărei elemente se numesc divizorii lui a. Dacă a � �, atunci Da este mulţime finită.

PROPRIETATILE RELATIEI DE DIVIZIBILITATE

1. a / a oricare ar fi a ∈ � (reflexivitatea); 2. a / b şi b / a ⇒ a = b (antisimetria); 3. a / b și b / c ⇒ a / c; a, b, c ∈ �* (tranzitivitatea); 4. a / 1 1a⇒ = ; 5. a / 0, oricare ar fi a ∈ �; 6. 0 / a ⇒ a = 0; 7. a / b ⇒ a / b⋅ c, oricare ar fi c ∈ �;

8. a / b1 şi a / b2 ( )1 2 1 2 1 2/ şi / ; a b b a b b b b⇒ + − ≥

Generalizare: a / b1, a / b2, ..., a / bn ⇒ a / b1 + b2 + ... + bn ; 9. Dacă a, b, c ∈ �*, c / a + b și c / a, atunci c / b. Demonstrație: c / a + b și c / a implică conform definiției că există m, n ∈ �* astfel încât a + b = cm și

a = cn, de unde a + b – a = b = cm – cn = c(m – n). Deci c / b. 10. a / b şi a � c ⇒ a � b + c;

11. a / b1 şi a / b2 1 1 2 2/a b c b c⇒ + , oricare ar fi c1, c2 ∈ �;

Generalizare: a / b1; a / b2; …; a / bn 1 1 2 2/ ...n n

a b c b c b c⇒ + + + , oricare ar fi 1 2, ,...,n

c c c ∈�;

12. a / b ⇒ ac / bc, oricare ar fi c ∈ �; 13. ac / bc şi 0 /c a b≠ ⇒ ; 14. a1 / b1 şi a2 / b2 1 2 1 2/a a b b⇒ ⋅ ⋅ ;

Generalizare: a1 / b1; a2 / b2;…; an / bn 1 2 1 2... / ...n n

a a a b b b⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Probleme rezolvate:

1. Arătați că numărul 7663 + 6653 este divizibil cu 71.

Rezolvare: Să ne amintim! an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2 · b + an – 3 · b2 + ... + a · bn – 2 + bn – 1), oricare ar fi a, b, n ∈ �*.

an + bn = (a + b)(an – 1 – an – 2 · b + an – 3 · b2 – ... – a · bn – 2 + bn – 1), unde a, b, n ∈ �*, n impar.

a2 – b2 = (a – b)(a + b) = a2 – b2, oricare ar fi a, b ∈ �.

8

Avem 7663 + 6653 = (7663 – 563) + (6653 + 553) + (563 – 553) = (76 – 5)(7662 + 7661 · 5 + ... + + ... + 76 · 561 + 562) + (66 + 5)(6652 – 6651 · 5 + ... – 66 · 551 + 552) + 553(510 – 1) = = M71 + 553(510 –1). Însă 510 – 1 = (55 – 1)(55 + 1) = (5 – 1)(54 + 53 + 52 + 5 + 1) · (55 + 1) = = 4 · 781 · (55 + 1) = 4 · 71 · 11 · (55 + 1) = M71.

2. Se știe că numărul A = aabbcccc este pătrat perfect cu a ≠ b ≠ c ≠ a. a) Arătați că 121 / A. b) Determinați toate numerele A cu proprietatea de mai sus.

(Concursul „Florica T.Câmpan, etapa județeană, Iași, 2012, Cristian Lazăr)

Rezolvare:

a) Cazul c ≠ 0.

A = aa · 106 + bb · 104 + cc · 102 + cc = 11(a · 106 + b · 104 + c · 102 + c), de unde 11 / A.

Cum 11 este număr prim rezultă 112 / A. Dacă c = 0, atunci A = 104 · ( aa · 102 + bb ) = = 104 · 11 · (a · 102 + b) etc. b) A pătrat perfect implică c ∈ {0; 1; 5; 6; 9}. Dacă c ∈ {1; 5; 6; 9}, atunci A este de

forma 4k + 3 sau 4k + 2, deci A nu este pătrat perfect. Să analizăm cazul c ∈ {0; 4}.

Dacă c = 4, atunci A = 4· ( )6 4

6 4 4 210 10 · · 1111 4· · 5 ·2 · 5 ·2 1111

4 4aa bb aa bb

+ + = + + =

= 22 · (M4 + 3), deci A nu este pătrat perfect. A mai rămas că analizăm cazul c = 0.

Dacă c = 0, atunci A = aabb · 104. Deci este necesar ca numărul aabb să fie pătrat perfect.

Dacă b = 0, atunci 00aa = 100 · aa . Dar aa nu este pătrat perfect, oricare ar fi cifra a.

b = 1 implică 11aa = M4 + 3, nu convine.

b = 4 implică 44aa = aa · 100 + 44 = 11(100a + 4) = 11[99a + a + 4], de unde 11 / a + 4. Deci a = 7 soluție.

b ∈ {5; 6; 9}, conduce la aabb este de forma M4 + 3 sau M4 + 2, nu convine. Prin urmare, A = 77440000 soluție unică.

3. Se știe că numerele abc și cba scrise în baza zece sunt divizibile cu 7. Arătați că numărul n = 6a + 12b + 6c este divizibil cu 7.

Rezolvare:

abc = 100a + 10b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c), (1).

cba = 100c + 10b + a = (98c + 7c) + (2c + 3b + a), (2). Din (1) și (2) rezultă că 7 / 2a + 3b + c și 7 / 2c + 3b + a, de unde 7 / (2a + 3b + c) + (2c + 3b + a),

adică 7 / 3a + 6b + 3c și 7 / 2(3a + 6b + 3c).

4. Arătați că suma și produsul oricăror cinci numere naturale consecutive, se divide cu 5.

Rezolvare: Resturile împărțirii a cinci numere naturale consecutive la 5 sunt 0, 1, 2, 3 și 4, nu

neapărat în această ordine, adică ele sunt de forma M5, M5 + 1, M5 + 2, M5 + 3, M5 + 4 nu neapărat în această ordine.

Însă S = M5 + M5 + 1 + M5 + 2 + M5 + 3 + M5 + 4 = M5 + 10 = M5. Dintre două numere naturale consecutive exact unul dă restul 0 la împărțirea cu 5, deci

unul din cei cinci factori ai produsului se divide cu 5. Prin urmare, produsul lor se divide cu 5.

9

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Să se afle cel mai mare număr natural format din cifre distincte cu proprietatea: numărul format din oricare două cifre alăturate (în ordinea în care sunt scrise în componenţa numărului) este multiplu de 7.

2. Fie a, b, c cifre nenule în baza 10 şi n = ab ba+ + bc + cb + ac + ca . Arătaţi că:

a) 11/n; b) 9/n dacă şi numai dacă 9/ abc ; c) Determinaţi abc dacă n este pătrat perfect. (etapa judeţeană, Iaşi, 1996)

3. Aflaţi numărul abc ştiind că abc = 25 (a + b + c).

4. Determinaţi pătratele perfecte de forma n = abbc , unde cifrele a, c, b sunt consecutive cu a < c < b în baza zece de numeraţie.

5. Determinaţi numerele naturale ,abc în baza zece, ştiind că: 7a + 10b = 17c.

6. Aflaţi cifrele a şi b astfel încât numărul A = aabaa , scris în baza 10, să fie divizibil cu 109.

7. Determinaţi numerele naturale de trei cifre care au suma cifrelor 11 şi sunt divizibile cu 7.

8. Împărţind numărul 947 la un număr natural se obţine restul 12. Aflaţi împărţitorul.

9. Să se arate că suma numerelor naturale de trei cifre care au cifra a (1 ≤ a ≤ 9) exact de două ori se divide cu 111.

10. Arătaţi că pot fi alese maxim 671 de numere din mulţimea A = {1, 2, 3 ,..., 2011}, astfel încât diferenţa oricăror două numere alese să nu dividă suma acestura.

(Concursul "Florica T. Câmpan", etapa interjudeţeană, Iaşi, 2011)

11. Fie numărul n = 42011. a) Determinaţi restul împărţirii numărului n la 3; b) Demonstraţi că n are cel puţin 1207 cifre; c) Eliminăm câteva cifre de la începutul numărului n, pe care le adunăm la numărul rămas. Continuăm procedeul până obţinem un număr de zece cifre. Demonstraţi că acest număr are cel puţin două cifre egale.

(Concursul "La Şcoala cu Ceas", 2011, Rm. Vâlcea, Constantin Bărăscu)

12. Fie numerele x = 5 ⋅ 92011, y = 8 ⋅ 92009. Să se afle restul împărţirii lui x la y. (etapa locală, Iaşi, 2011 )

13. Găsiţi! Să se arate că nu există numere naturale x, y, z, astfel încât x

2 + y2 + z2 + x +3y + 5z = 2011. (Concursul "Dimitrie Pompeiu", Botoşani, 2011, G.M.)

14. Aflaţi numerele naturale de trei cifre care împărţite pe rând la 8, 7, 6 şi 5 dau resturile, respectiv, 3, 2, 1 şi 0.

15. Arătaţi că oricare ar fi numărul natural nenul n, printre elementele mulţimii {2n, 2n + 1, 2n + 2, ..., 4n} există cel puţin o putere a lui 2.

(Concursul "Recreaţii Matematice", Muncel, 2010)

10

16. Determinaţi toate numerele naturale nenule care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi împărţite la 23 dau, de asemenea, câtul egal cu restul.

(Concursul "Matematica, de drag", Bistriţa, 2010)

17. Să se determine numerele naturale abc care îndeplinesc condiţia: c 3 + c 2 + c =abc . (Concursul „Matematica, de drag“, Bistrița, 2013)

18. Determinaţi pătratele perfecte de forma aabb , în baza 10.

19. Să se afle numărul b de o cifră şi numărul natural a ştiind că: 1983 · a + 105 · b = 19831984. (G.M. 4/1985, Constantin Grigorescu)

20. Să se arate că cinci puteri ce au baza egală cu 2 și exponenți numere naturale pare consecutive, se divide cu 13 și cu 313.

21. Suma unor numere naturale pare consecutive este 182. Aflaţi numerele.

22. a) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 6? b) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 2, dar nu sunt multipli de 3? c) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 3, dar nu sunt mutipli de 2?

23. a) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 15? b) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 3, dar nu sunt multipli de 5? c) Câte numere naturale de trei cifre sunt multipli de 5, dar nu sunt multipli de 3?

24. Aflaţi câte numere naturale mai mici sau egale cu 1000 nu sunt divizibile nici cu 5 şi nici cu 7.

25. Arătaţi că dacă 17 / (a + 3b + 5c + 7d), atunci 17 / (53a + 57b + 61c + 65d) şi 17 / (37a + 43b – 19c – 13d). (Artur Bălăucă)

26. Arătaţi că, dacă n ∈� şi numerele n + 1 şi 2n + 3 nu sunt divizibile cu 3, atunci 4n + 5 este divizibil cu 3. (Artur Bălăucă)

27. Demonstraţi că numerele: Sn = 101 + 102 + 103 +...+ 10n + 9n2 – 19n, n *∈�

sunt divizibile cu 27. (G.M. 5-6/1993, Marian Ion Popa)

28. Aflaţi numărul natural n ştiind că numerele 5 · n şi 6 · n sunt numere de 4 cifre, unul răsturnatul celuilalt. (Constantin Guriţă)

29. Dacă x, y, z *∈� şi 8x – 14y = 64z, arătaţi că 28 / y(x – z).

30. Aflaţi numărul natural n şi numărul prim p, ştiind că (2n)4 – p = 4091. (etapa judeţeană, Dolj, 2001)

31. Aflaţi în câte zerouri se termină produsul primelor o mie de numere naturale nenule.

32. Să se arate că: a) 121997 / 4000! dar 122000 � 4000!; b) 1980180/1980! (n! = 1⋅ 2⋅ 3⋅…⋅ n). (Artur Bălăucă)

33. Determinaţi restul împărţirii numărului n = 19881988...1988 la 72 ştiind că n are 36k cifre, unde k *∈� . (Artur Bălăucă)

84

Cum 3b – 8 este număr impar, nu putem avea decât 3b – 8 = 1, de unde b = 3 și

c =8 24

24.3 – 8 1

b

b= = Deci ecuația mai are și soluția (a, b, c) ∈ {(4, 3, 24)}.

b) Dacă ecuația are, de exemplu, soluția a = 2, b = 9 și c = 72 atunci ea are și soluțiile: (a, b, c) ∈ {(2, 72, 9), (9, 2, 72), (9, 72, 2), (72, 9, 2), (72, 2, 9)}. Dacă ecuația din enunț are soluția a = 2, b = 16, c = 16, atunci ea are și soluțiile: (a, b, c) ∈ {(16, 2, 16), (16, 16, 2)}. Prin urmare, ecuația are 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 = 33 de soluții.

3. Aflați numerele naturale n știind că 4n + 1 = 3n + 2 + 13.

(Concursul „Ștefan Dârțu“, Vatra Dornei, 2013, Artur Bălăucă)

Rezolvare: n ∈ {0, 1, 2} implică 4n + 1 < 3n + 2 + 13. n = 3 implică 44 = 35 + 13, soluție. Arătăm că dacă n ≥ 4, atunci 4n + 1 ≠ 3n + 2 + 13. Dacă n = 2a, a ∈ �* și a ≥ 2, atunci: 32a + 2 + 13 = 9a + 1 + 13 = (M4 + 1) + (M4 + 1) = M4 + 2, contradicție! Dacă n = 2a + 1 și a = 2, atunci 46 > 37 + 13 ⇔ 4096 > 2187 + 13. Dacă n = 2a + 1 și a ≥ 3, atunci arătăm că 42a + 2 > 32a + 3 + 13. Deoarece 32a + 4 > 32a + 3 + 13 ⇔ ⇔ 32a + 3 · (3 – 1) > 13, este suficient să arătăm că 42a + 2 > 32a + 4, adică 4a + 1 > 3a + 2,

oricare ar fi a ≥ 3. Avem 4a + 1 > 3a + 2 ⇔1

43.

3

a+ >

Dacă a = 3, atunci 4

43

3 >

⇔ 44 > 35.

Dacă a > 3, atunci 1 4

4 4

3 3

a+ >

> 3. Prin urmare, n = 3.

4. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: 1 7

6

a

a b+ = .

(Concursul „Matematica, de drag“, Bistrița, 2013, GM 5/2013, Marian Teler și Valerian Oprișan)

Rezolvare:

Avem 1 7

6

a

a b+ = ⇔ 6a2 = b(7a – 6), de unde 7a – 6 / 6a2 ⇒ 7a – 6 / 42a2 ⇒

⇒ 7a – 6 / 42a2 – 36a + 36a ⇒ 7a – 6 / 6a(7a – 6) + 36a ⇒ 7a – 6 / 36a ⇒ 7a – 6 / 7 · 36a ⇒ ⇒ 7a – 6 / 36(7a – 6) + 216 ⇒ 7a – 6 / 216 sau 7(a – 1) + 1 / 216 de unde 7(a – 1) + 1 ∈ ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216}. Însă 7(a – 1) + 1 poate lua doar valorile 1, 8 și 36, de unde a ∈ {1, 2, 6}. Înlocuind pe a în ecuația dată se obțin soluțiile: a = 1, b = 6; a = 2, b = 3 și a = 6, b = 6.

5. Să se rezolve în mulțimea numerelor întregi ecuația: 9x2 + 6xy – y = 3. (Artur Bălăucă)

Rezolvare: Să înmulțim ambii membri ai ecuației cu 4. Avem: 36x2 + 24xy – 4y = 12, de unde (36x2 – 1) + 4y(6x – 1) = 11 sau (6x – 1)(6x + 1) + 4y(6x – 1) = 11 sau (6x – 1)(6x + 4y + 1) = 11 (am folosit formula a2 – b2 ≡ (a – b)(a + b)). Însă 11 = (–11)(–1) = (–1)(–11) = 1 · 11 =

= 11 · 1. Avem6 –1 –11

6 4 1 –1

x

x y

=

+ + =sau

6 –1 –1

6 4 –1 –11

x

x y

=

+ =sau

6 –1 1

6 4 1 11

x

x y

=

+ + =sau

6 –1 11

6 4 1 1

x

x y

=

+ + =.

85

Dar 6x – 1 = –11, conduce la 6x = – 10, nu convine; 6x – 1 = –1, conduce la x = 0 și 4y – 1 = –11, adică 4y = –10, nu convine; 6x – 1 = 1, conduce la 6x = 2, nu convine. 6x – 1 = 11, conduce la x = 2 și 12 + 4y + 1 = 1 la y = –3.

Prin urmare, ecuația din enunț are soluția unică (x, y) ∈ {(2; –3)}. Altă abordare: Ecuația 36x2 + 24xy – 4y = 12 are aceleași soluții (este echivalentă) cu ecuația: (36x2 + 24xy + 4y2) – 4y2 – 4y – 1 = 11 sau (6x + 2y)2 – (2y + 1)2 = 11 sau (6x + 2y + 2y + 1)(6x + 2y – 2y – 1) = 11 sau (6x + 4y + 1)(6x – 1) = 11 etc. Atenție! Am utilizat formulele a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 și a2 – b2 = (a – b)(a + b).

6. Să se determine numerele naturale prime x, y, z, t ştiind că: x < y < z < t şi x ⋅ y ⋅ z ⋅ t < x ⋅ y ⋅ z + x ⋅ y ⋅ t + x ⋅ z ⋅ t + y ⋅ z ⋅ t.

(Concursul „Pitagora“, Rm. Vâlcea, 2010, Artur Bălăucă)

Rezolvare:

Relaţia dată este echivalentă cu: 1 1 1 1

1x y z t+ + + > , (1)

x = 2 implică 1 1 1 1 1

1– ,2 2y y z

+ + > = (2); y = 3 în (2) conduce la 1 1 1

6z t+ > , (3)

z = 5 implică1 1 1

6z t+ > , oricare ar fi t ≥ 7, t prim.

z = 7 din (3) se obţine 1 1

42t> , adică t < 42 şi cum t este prim cu t > 7 rezultă că

t ∈ {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41}.

z = 11 din (3) se obţine1 5

66t> , adică t <

66

5, de unde t = 13 pentru că t > 11.

Dacă z ≥ 13 din (3) se obţine 1 7

78t> , adică t ≤ 11, fals.

Dacă y ≥ 5, cum z ≥ 7 şi t ≥ 11 avem: 1 1 1 1 1 1 77 55 35 167 1

5 7 11 385 385 2y z t

+ ++ + ≤ + + = = < în

contradicţie cu relaţia (2).

Dacă x ≥ 3, cum y ≥ 5, z ≥ 7 şi t ≥ 17 conduce la 1 1 1 1 6 4 3 2

118 18 18 18x y z t

+ + + < + + + < ,

în contradicţie cu (1). Prin urmare, (x, y, z, t) ∈ {(2, 3, 5, k), (2, 3, 7, q), (2, 3, 11, 13)}, unde k este număr prim, k ≥ 7 şi q prim cu 11 ≤ q ≤ 41.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Rezolvaţi în � ecuaţia: ( ){ }1 2 3 4 : 5 6 7 8.x+ ⋅ + + − − =

2. a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia 5xy + 11z = 55. (Concursul „Matematica, de drag“, Bistrița, 2013, Artur Bălăucă)

b) Rezolvaţi în � x � ecuaţia: 7x + 5y + xy = 35. (Alexandru Negrescu)

88

37. Determinaţi numerele naturale x, y, z care verifică egalitatea: 4 3 6 1540x y z+ + = . (etapa judeţeană, Carmen Căpitanu, Neamţ, 2002)

38. Rezolvaţi în� ecuaţia: 3 2

– 1x y

= . (Concursul „Sorin Simion”, 2001)

39. Să se rezolve în Z* ecuaţiile: a) 21

2

3

1

7

1=−

yx; b)

15

8

5

1

3

1=−

yx. (Artur Bălăucă)

40. Determinaţi numerele naturale x, y, z, ştiind că: 2 2

2

2 11 2 1 1

4 9 3 1 3 1

x y

x

y z

y z

+ − + += =

− + +

(etapa judeţeană, Arad, 2010)

41. a) Fie a, b, c, d numere naturale nenule astfel încât fracţiile a

b şi c

d să fie

ireductibile, iar a

b+

c

d să fie număr natural. Demonstraţi că b = d.

b) Determinaţi numerele naturale nenule x, y şi n, ştiind că 3 5

nx y+ =

(Etapa judeţeană, Iaşi, 2010)

42. Câte soluţii în �* are ecuaţia: 1 1 1

?1001x y

+ = (etapa judeţeană, Botoşani, 2003)

43. Se dau mulţimile A = { / a n∈ ∃ ∈� � astfel încât a = 5n – 1} şi B ={ / a m∈ ∃ ∈� �

astfel încât a = 7m + 2}. Determinaţi A ∩ B. (Artur Bălăucă)

44. Să se rezolve în� ecuaţia: 2xy + 9y2 = 152. (Artur Bălăucă)

45. Determinaţi m, n numere naturale astfel încât 2m − 2n = 120. (Concursul "Matematica, de drag", Bistriţa, 2010)

46. Să se afle x din egalităţile: a) 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1;

3 3 3 3 3 3 3 3 3x⋅ ⋅ ⋅ + − − − =

b) 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10x⋅ ⋅ ⋅ + − − − =

.

47. Să se arate că ecuaţiile: 1) ( ){ }0 2 333 2 5 7 2 3 03 5 : 314 6 2 : 2 3 : 9 3 241x+ + ⋅ + ⋅ − = ;

2)2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2x⋅ ⋅ ⋅ + − − − =

au aceeaşi soluţie (sunt echivalente).

(Aida Elena Bălăucă)

48. Aflaţi x din: a) 2 3 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4 4 4x⋅ ⋅ − + − ⋅ =

;

b) 2

1 1 1 1 11

5 5 5 5 5x⋅ ⋅ − + =

.

93

CAPITOLUL VI

PROBLEME DE NUMĂRARE l PROBLEME DE COLORARE

Problemele de numărare sunt înrudite cu problemele de logică şi de perspicacitate. Acestea solicită din partea rezolvatorilor multă răbdare, ingeniozitate, perseverenţă, în descoperirea şi redactarea soluţiilor, dar şi suficient de multă experienţă.

Problemele de colorare au apărut încă din antichitate, ele au izvorât din necesitatea civilizaţiilor antice de a rezolva probleme practice de mozaicare sau pavare (de acoperire a unor suprafeţe) etc.

Problemele de numărare şi de colorare sunt strâns legate între ele, numeroase probleme de numărare pot fi abordate utilizând anumite tehnici ingenioase de colorare.

Capitolul cuprinde 81 de probleme de numărare şi de colorare date la diverse concursuri de matematică în ultimii ani în ţara noastră; pătrunderea lor în preocuparea elevilor şi a profesorilor este suficient de recentă.

Probleme rezolvate:

Să ne imaginăm infinitul 1. Într-o urnă se pun bile numerotate cu numerele naturale 1, 2, 3, 4, ... după care facem următoarele operații: cu exact un minut până la ora 12 se extrag din urnă bile care conțin

numerele de la 1 la 10 inclusiv și se introduce înapoi bila 1; cu exact 1

2 dintr-un minut

pâna la ora 12 se extrag bilele numerotate de la 11 la 20 inclusiv și se introduce în urnă

bila 2; cu exact 1

3 dintr-un minut până la ora 12 se extrag bilele numerotate de la 21 la

30 inclusiv și se introduce în urnă bila 3 ș.a.m.d. Care este numărul de bile din urnă după ora 12?

Rezolvare: În urnă sunt toate numerele naturale nenule. Într-adevăr, oricare ar fi numărul natural nenul

n, el a fost introdus în cutie înainte de ora 12 (până la ora 12 mai este 1

n dintr-un minut).

2. Fie șirul de numere naturale 1, 2, 4, 7, 11, 16, ... . a) Determinați următorii trei termeni ai șirului. b) Precizați dacă numărul 781 este termen al șirului.

(Concursul „Matematica, de drag“, Bistrița, 2013, Rodica Coman)

Rezolvare: a) Notăm termenii șirului cu a1, a2, a3, ..., an, ... . Avem: a1 = 1 = 1 a2 = 2 = 1 + 1 a3 = 4 = 1 + 1 + 2 a4 = 7 = 1 + 1 + 2 + 3 a5 = 11 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4

a6 = 16 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 a7 = 22 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 a8 = 29 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 a9 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

Următorii trei termeni ai șirului sunt: 22, 29, 37.

94

b) Observăm că a2 = a1 + 1, a3 = a2 + 2, a4 = a3 + 3, ... . Deci an = an – 1 + (n – 1) = [1 + 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2)] + (n – 1) = 1 + (n – 1)n : 2. 781 este termen al șirului dacă există n ∈ �* astfel încât 1 + (n – 1)n : 2 = 781, adică n(n – 1) = 1560 = 40· 39. Deci 781 este al 40-lea termen al șirului. 3. La un concurs de matematică au participat 351 de elevi și au avut de rezolvat patru probleme. Analizând lista rezultatelor, s-a constatat că fiecare dintre cele patru probleme a fost rezolvată de cel puțin 176 de elevi. a) Demonstrați că există un elev care a rezolvat cel puțin trei dintre cele patru probleme. b) Arătați că există doi elevi, astfel încât fiecare dintre cele patru probleme a fost rezolvată de cel puțin unul dintre ei.

(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2014)

Rezolvare:

a) Avem 176 · 4 = 704 rezolvări posibile. Dacă fiecare elev ar fi rezolvat cel mult două probleme, s-ar fi totalizat cel mult 351 · 2 = 702 rezolvări. Deci cel puțin un elev a rezolvat cel puțin trei probleme. b) Dacă unul dintre elevi a rezolvat toate cele patru probleme, alegem oricare alt elev și în acest caz cei doi verifică cerința. Dacă unul dintre elevi a rezolvat doar trei probleme, va exista un elev care a rezolvat problema nerezolvată de acesta și alegând cei doi elevi, cerința este îndeplinită. 4. O tablă 8 × 8 conține 64 de pătrățele unitate colorate în alb sau negru ca în figura alăturată. Câte pătrate, compuse din pătrățele unitate de pe tablă au același număr de pătrățele albe și negre? Justificați răspunsurile!

(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2013,

Cătălin Budeanu)

Rezolvare:

Fie dreptele Ox și Oy axele de simetrie ale tablei 8 × 8 paralele cu laturile sale (figura din stânga). Datorită simetriei pătratului tablei 8 × 8, centrele pătratelor în discuție, se află situate pe cele două axe de simetrie. Cu centrul în punctul O există 4 pătrate ce conțin 4, 16, 36 și, respectiv, 64 de pătrățele. Cu centrul în punctul A1 există 3 pătrate ce conțin câte 4, 16 și 36 de pătrățele. Cu centrul în punctul A2 există două pătrate ce conțin 4 și, respective, 16 pătrățele. Cu centrul în punctele A3 există un singur pătrat ce conține 4 pătrățele. Deci, cu centrul în punctele A1, A2 și A3 există în total 3 + 2 + 1 = 6 pătrate.

Analog, cu centrul în punctele: B1, B2, B3; C1, C2, C3 și D1, D2, D3 există câte 6 pătrate. Prin urmare, în total există 6 · 4 + 4 = 28 de pătrate ce satisfac cerințele din enunț.

A1 A2 A3

B1

B2

B3

D3

D2

D1

C3 C2 C1

x

y

95

5. În pătratele unitate ale unei table de șah 9 × 9 sunt scrise 81 de litere A sau B, astfel încât orice literă A are cel puțin o vecină B (vecină pe o linie sau coloană sau pe o

diagonală a unui pătrat n × n (2 n 9) pe tabla de șah). Aflați numărul maxim de

litere A de pe tabla de șah. Justificați răspunsul! (Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2013)

Rezolvare:

Împărțim tabla 9 × 9 în 9 pătrate 3 × 3. Dacă un pătrat 3 × 3 conține numai litera A, atunci litera A din centrul acestuia nu are nicio vecină B. Deci orice pătrat 3 × 3 are cel puțin o literă B. Conchidem că tabla 9 × 9 are cel puțin 9 litere B. Numărul maxim al literelor A de pe tablă este egal cu 81 – 9 = 72 și se obține atunci când orice pătrat 3 × 3 conține în centru litera B.

6. Șoricelul Jerry se află la 35 de pași de vizuina sa. Motanul Tom se află la 7 sărituri în spatele lui Jerry. Tom începe urmărirea în același timp cu fuga lui Jerry spre vizuină. În timp ce Tom face o săritură, Jerry face 3 pași. Se mai știe că o săritură a lui Tom are lungimea cât 7 pași ai lui Jerry. Poate Tom să-l prindă pe Jerry până la intrarea acestuia în vizuină? Argumentați răspunsul.

(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2014, Cătălin Budeanu)

Rezolvare:

Tom trebuie să facă 12 sărituri pentru a ajunge la vizuina lui Jerry. În timp ce Tom face 11 sărituri, Jerry face 11 · 3 = 33 de pași. Lui Jerry îi mai rămân de făcut doi pași pentru a intra în vizuină și efectuând încă un pas are timp să se ascundă. Așadar, Tom nu poate să-l prindă pe Jerry.

7. Se consideră numerele naturale ab , cu a și b cifre nenule diferite. Care este cel mai mic număr n astfel încât orice mulțime de n astfel de numere conține cel puțin două a căror sumă să fie 100?

(Viitori olipici.ro, 2013)

Rezolvare: Mai întâi să aflăm numărul numerelor care satisfac condițiile ipotezei (am două cifre nenule și distincte). Cifra a ia 9 valori, iar cifra b 8 valori. Deci sunt 9 · 8 = 72 de numere. Să analizăm cele mai nefavorabile cazuri.

Numerele de forma 9b , adică 8 numere și numerele de forma ab , unde b = a + 1, adică 8 numere nu satisfac cerințele date. Prin urmare, putem alege 16 numere fără a găsi două a căror sumă să fie egală cu 100. Mai rămân în discuție 72 – 16 = 56 de numere. Dintre acestea o doime, adică 28 de numere sunt mai mici decât 49, iar cealaltă doime, adică tot 28 sunt mai mari sau egale cu 51. Dacă avem „ghinionul“ să alegem numai pe cele mai mici sau egale cu 49, până acum avem neșansa să alegem 16 + 28 = 44 de numere încât printre ele să nu existe două cu suma 100. Însă, acum dacă mai aleg un număr din cealaltă grupă găsesc sigur două a căror sumă este 100. Prin urmare, trebuie să alegem 44 + 1 = 45 de numere.

7 sărituri

A A AA AB

A A AA AB

A A ABA A

A A A A A A A A AA A AA AB

A A AA AB

A A ABA A

A A A A A A A A AA A AA AB

A A AA AB

A A ABA A

A A A A A A A A A

96

8. Fiecare punct al planului este colorat în roşu sau galben, astfel încât să nu existe triunghiuri echilaterale cu vârfurile de aceeaşi culoare şi lungimea laturilor n sau 2n, unde n ∈ �*. Arătaţi că nu există în plan un segment de lungime 2n, având capetele şi mijlocul de aceeaşi culoare.

(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2013)

Rezolvare:

Presupunem prin absurd că există un segment [AB] cu lungimea 2n, pentru care punctele A, B şi mijlocul său M, sunt la fel colorate, de exemplu, în galben (figura alăturată). Acum, considerăm triunghiul echilateral ABC şi conform enunţului punctul C este roşu. Punctele N şi P mijloacele segmentelor [AC] şi [BC] nu pot fi ambele roşii (∆CNP ar avea toate vârfurile roşii). Dacă N şi P ar fi ambele galbene, atunci ∆AMN şi ∆MBP au vârfurile la fel colorate. Dacă N şi P sunt colorate diferit, atunci unul dintre ∆AMN sau ∆MBP au vârfurile la fel colorate, contradicţie! 9. Din 81 de numere naturale distincte care au divizori primi numai pe 2, 3 și 5 să se arate că există cel puțin 4 numere astfel încât produsul lor este puterea a patra a unui număr natural.

Rezolvare: Fie numărul x de forma x = 2a · 3b · 5c. Să analizăm paritatea exponenților lui x. Notăm cu p (număr par) și cu i (număr impar).

Avem

a p p i p i i i p

b p p p i i i p i

c p i p p i p i i

, 8 variante distincte posibile.

Dintre 8 numere naturale există posibilitatea (cazul cel mai nefavorabil) ca paritatea exponenților să fie diferită oricare ar fi două numere (una din cele 8 variante pentru fiecare număr). Mai considerăm încă un număr. Cel de-al 9-lea număr va avea paritatea exponenților una din cele 8 variante. Deci cu siguranță printre cele 9 numere există cel puțin două numere xi și yi astfel încât numărul zi = xi · yi are toți exponenții pari, deci acesta este pătrat perfect. Partiționăm mulțimea celor 81 de numere în 9 submulțimi, fiecare cu cardinalul 9. Din fiecare submulțime extragem câte o pereche de numere care au produsul pătrat perfect. Obținem astfel numerele z1 = x1y1, z2 = x2y2, ..., z9 = x9y9. Resturile împărțirii

exponenților ar, as, ap ai numărului zi, i =1,9 la 4 aparțin mulțimii (ar, as, ap) ∈ {(0, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (0, 2, 2), (2, 2, 2)}. Mulțimea conține 8 triplete distincte două câte două.

Având 8 triplete distincte putem avea 8 numere zj, j =1,8 astfel încât produsul lor să nu conducă la tripletul (0, 0, 0). Însă, dintre cele 9 numere vom găsi totdeauna două care conduc la același triplet, iar produsul acestora determină un triplet de forma (0, 0, 0). Deci există totdeauna două numere zp și zq, adică 4 numere din cele 81 date astfel încât

zk · zq = (xk · yk) · (xq · yq) = 4 4 4M M M2 ·3 ·5 = x4.

C

A M B

N P

(r)

(g) (g) (g)

97

10. Se consideră 50 de numere naturale nenule diferite, de valori cel mult 625. Arătați că există trei perechi de numere astfel încât diferența numerelor din fiecare pereche să fie aceeași. (Concursul Gazeta Matematică și Viitori Olimpici.ro, Câmpulung Muscel, 2014)

Rezolvare: Fie x1, x2, ..., x50 cele 50 de numere. Fără a diminua generalitatea presupunem că 1 ≤ x1 ≤ ≤ x2 ≤ ... ≤ x50 ≤ 625. Avem relația (x2 – x1) + (x3 – x2) + ... + (x50 – x49) = x50 – x1 ≤ 624, (1). Prin absurd, presupunem că există doar două perechi de numere la care diferența este aceeași. În acest caz avem (x2 – x1) + (x3 – x2) + ... + (x50 – x49) ≥ 2 · 1 + 2 · 2 + ...+ 2 · 24 + + 25 = 625, (2). Din (1) și (2) rezultă că 625 ≤ 624, contradicție! Prin urmare, există trei perechi de numere având diferența între ele aceeași.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

Să umplem cutia 1. Într-o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 12 cm, 15 cm şi 6 cm se aşază cutii mai mici tot sub formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 5 cm, 3 cm, 2 cm. a) Care este numărul maxim de cutii mici ce pot fi aşezate în cutia mare? b) Dar dacă cutiile mici au dimensiunile 2 cm, 7 cm şi 3 cm?

„Şapte capre, patru iezi” 2. Dacă şapte capre şi patru iezi mănâncă 100 de verze, câte verze mănâncă un ied şi o capră împreună? Se presupune că: § fiecare ied mănâncă acelaşi număr de verze; § fiecare capră mănâncă acelaşi număr de verze.

(etapa locală, concursul „± Poezie”, 2007)

Numerotarea cubului 3. Se consideră un cub în care muchiile se numerotează cu numerele 4, 8, 12, ..., 44, 48. În fiecare vârf se calculează suma muchiilor care pleacă din acel vârf. Se pot numerota muchiile în aşa fel încât toate aceste sume să fie egale? Justificaţi!

(Concursul Centrelor de excelenţă din Moldova, Artur Bălăucă, 2007)

Divizibilitate pe axă 4. Numerele naturale de la 1 la 13 se scriu pe o dreaptă astfel încât fiecare număr divide suma numerelor scrise înaintea lui. Dacă primul număr este 13 şi al doilea este 1, să se determine al treilea număr ce trebuie scris. (etapa locală, Dolj, 2003)

+ sau – 5. a) Este posibil de găsit o alegere a semnelor + sau – în faţa fiecărui termen al membrului stâng pentru a avea egalitatea ±1 ± 2 ± 3 ± 4 ± ... ± 97 = 2375? b) Este posibil ca numerele 1, 2, 3, ..., 97 să fie repartizate în 4 mulţimi disjuncte astfel încât produsul elementelor fiecărei mulţimi să fie acelaşi?

(etapa locală, Mehedinţi, 1994)

6. Câte numere N se pot scrie sub forma N abc cba= + ? (numerele sunt scrise în baza 10)

98

7. Câte cifre are numărul cifrelor numărului 20082008?

Beculeţele jucării 8. O jucărie are 3 beculeţe. Primul beculeţ se aprinde la fiecare două secunde. Al doilea beculeţ se aprinde prima dată la o secundă după aprinderea primului beculeţ apoi la fiecare 3 secunde. Al treilea se aprinde prima oară la a doua aprindere a primului, apoi la fiecare 5 secunde. a) Arătaţi că, după un anumit timp, cele trei beculeţe vor fi aprinse simultan. b) În primele 6 minute, de câte ori cele trei beculeţe se aprind simultan?

(Concursul „Unirea“, 2013, Cătălin Budeanu)

Prietenul la nevoie se cunoaşte 9. La un simpozion au participat 405 invitaţi. Dacă fiecare dintre ei ar face cunoştinţă cu încă trei invitaţi, ar putea spune fiecare că ştiu cel puţin trei sferturi dintre participanţii la simpozion. Să se arate că se poate forma un juriu de cinci persoane care se cunosc deja fiecare cu fiecare.

Fauna decimată 10. Într-un canal sunt numai pisici sălbatice, şobolani şi şerpi. Fiecare animal mănâncă numai o dată pe zi astfel: orice pisică sălbatică mănâncă la micul dejun câte un şobolan, orice şarpe mănâncă la prânz câte o pisică sălbatică, iar orice şobolan mănâncă la cină câte un şarpe. La sfârşitul săptămânii (sâmbătă după cină) a rămas în canal un singur animal. Aflaţi câte animale au fost în canal luni, înainte de micul dejun şi ce animal a rămas în canal la sfârşitul săptămânii.

Permutări 11. În câte moduri putem aşeza 6 cărţi într-un raft?

12. Fie numărul a = 1 · 2 ·...· n (n ∈ �*). Aflaţi n ştiind că a se termină exact în 1000 de zerouri.

Pe Tărâmul numerelor 13. Un număr natural A se numeşte „rotund“ dacă suma cifrelor lui A este egală cu numărul cifrelor lui A (de exemplu 300210). a) Să se scrie toate numerele „rotunde“ care au trei cifre. b) Să se calculeze diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr „rotund“ de 100 de cifre. c) Să se arate că, pentru orice număr natural n ≥ 2, există un număr „rotund“ cu 2n cifre, divizibil cu 22. (etapa locală, Bucureşti, 2008)

14. Un număr natural n ≥ 2 se numeşte „plin de putere“ dacă fiecare factor prim din descompunerea sa apare la o putere strict mai mare decât 1. a) Arătaţi că 4 · 8 · (8 + 1) + 1 este plin de putere. b) Să se găsească un număr natural n, n ≥ 10 cu proprietatea că n şi n + 1 sunt numere „pline de putere“. c) Arătaţi că există cinci numere naturale consecutive mai mari decât 1000, care au suma un număr „plin de putere“. (etapa judeţeană, Iaşi, 2004)

15. Un număr se numeşte „miraculos“ dacă este natural şi este egal cu suma pătratelor a doi divizori distincţi ai săi. a) Să se dea exemplu de un număr „miraculos“. b) Să se arate că există cel puţin 2008 numere miraculoase. (etapa locală, Brăila, 2008)

99

Submulţimi 16. Fie mulţimea A = {1, 2, 3,..., 11, 12}. Aflaţi numărul submulţimilor lui A ştiind că produsul elementelor fiecăreia este: a) cel mult egal cu 12; b) divizor al lui 12.

17. Fie mulţimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Aflaţi numărul submulţimilor lui A cu proprietatea că suma elementelor unei submulţimi este: a) cel mult 7; b) cel puţin 22.

18. Fie mulţimea A = {1, 2, 3, 4, ..., 1008}. Să se determine numărul submulţimilor lui A care includ mulţimea {1, 2, 3}.

19. Fie mulţimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Câte submulţimi cu trei elemente {a, b, c} are mulţimea A ştiind că a + b = 2c?

20. Un număr de 8 cifre se numeşte „fericit“ dacă este format numai din cifrele 1, 2 şi 3, astfel încât după 1 nu urmează imediat 2, după 2 nu urmează imediat 3, iar după 3 nu urmează imediat 1. Câte numere fericite există?

21. Fie mulţimea X = {1, 2, 3, ..., 2008}. Care este numărul maxim de elemente ale unei submulţimi Y ⊆ X, cu proprietatea că suma elementelor oricăror două elemente ale lui Y nu se divide cu 9?

Partiţii 22. Considerăm mulţimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} şi M = {a, b, c, d}, M ⊂ A şi a < b < c < d cu proprietatea: Pentru orice x ∈ M, cel puţin unul din numerele x – 1, x + 1 este în M. a) Arătaţi că: b = a + 1 şi c = d – 1. b) Determinaţi toate submulţimile M, cu proprietatea dată, ale mulţimii A. (etapa judeţeană, Botoşani, 2006)

23. Arătaţi că dintre şapte numere naturale distincte, mai mici decât 126, putem

alege două, fie ele x şi y, care satisfac inegalitatea 1 2y

x< ≤ .

24. Fie mulţimea A = {x ∈ � / x se divide cu 3 şi x nu se divide cu 7, unde x < 2008}. a) Câte elemente are mulţimea A? b) Dacă elementele mulţimii A sunt scrise în ordine crescătoare, care este al 289-lea element al mulţimii A? (Concursul „Speranţe”, Enache Pătraşcu, 2008)

25. Să se arate că mulţimea �2008

A= 7,77,777,...,77...7cifre

nu poate fi scrisă ca reuniune

de mulţimi disjuncte astfel încât suma elementelor din fiecare mulţime să fie divizibilă cu 3. (Concursul Centrelor de excelenţă din Moldova, 2008)

26. Este posibilă o partiţionare a mulţimii A = {1; 2; …; 12n + 9} în 4n + 3 submulţimi disjuncte, fiecare cu câte trei elemente, astfel încât în fiecare submulţime un element să fie suma celorlalte două? (Titu Zvonaru, „Recreaţii matematice”, 1/2003)

27. Fie numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Care este cel mai mic număr de numere ce le putem exclude, astfel încât cu numerele rămase să formăm două mulţimi cu acelaşi cardinal şi cu proprietatea că produsul elementelor din cele două mulţimi este acelaşi? Care sunt cele două mulţimi?

165

113. Fie punctul B, B ∈ (AC) şi D, E două puncte situate de o parte şi de alta a dreptei AC, astfel încât triunghiurile ABD şi BCE sunt echilaterale. Considerăm S ∈ (AB), T ∈ (BC) astfel încât m(�ETC) = m(�DSB) = 90° şi DS ∩ EC = {P}, ET ∩ AD = {F}. Dacă punctele P, B, F sunt coliniare şi punctele D, B, E sunt coliniare, arătaţi că AD = BC. (etapa judeţeană, Brăila, 2009, Nicolae Stănică)

114. Fie triunghiul isoscel ABC cu m(�BAC) = 120°. Pe semidreapta (AC se consideră punctul D iar pe bisectoarea unghiului �BAC punctul E astfel încât AD = 2 ⋅ AE = 4 ⋅ AB. a) Aflaţi măsura unghiului �BED. Arătaţi că b) BC ∥ ED şi BF = 3 ⋅ AB, unde punctul F este mijlocul segmentului (ED); c) segmentul (BD) conţine mijlocul segmentului (CF).

(G.M. 3/2010, Artur Bălăucă)

115. Considerăm triunghiul ABC cu m(�C) = 40° şi m(�BAC) = 60°. Pe latura (BC) se iau punctele M şi N astfel încât (BM) ≡ (NC). Ştiind că m(�NAC) = 10°, aflaţi măsura unghiului �MAN.

(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2012, Artur Bălăucă)

166

CAPITOLUL VIII PROBLEME DE COLINIARITATE. PROBLEME DE CONCURENŢĂ 1. Fie ∆ABC un triunghi oarecare în care mediana AM, M ∈ BC este perpendiculară pe dreapta AC, notăm cu N mijlocul segmentului (AM) şi ducem (NX ⊥ AB şi MY ⊥ BC, iar {D} = (NX ∩ (MY. Să se demonstreze că punctele D, A, C sunt coliniare.

2. În triunghiul ABC în care AB = AC şi punctele S, R în exteriorul triunghiului astfel încât SA = SB = RA = RC şi AB separă punctele S şi C, AC separă punctele B şi R. Să se arate că: a) ∆CAS ≡ ∆BAR. b) BT = CT, unde T este intersecţia dreptelor BR şi SC. c) Dreptele BR, CS şi bisectoarea unghiului �BAC sunt concurente.

(etapa locală, Vrancea, 2009)

3. Se dă triunghiul isoscel ∆ABC cu [AB] ≡ [AC]. Pe laturile [AB] şi [AC] se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ∆ABD şi ∆ACE. Fie {M} = BD ∩ CE şi {N} = CD ∩ BE. Arătaţi că: a) ∆EMB ≡ ∆DMC; b) punctele A, M, N şi mijloacele segmentelor [BC] şi [DE] sunt coliniare; c) determinaţi măsura unghiului �BAC astfel încât punctele D, A, E să fie coliniare. (etapa judeţeană, Bacău, 1990)

4. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ∆ABC şi [AD bisectoarea unghiului �BAC, D ∈ (BC). Fie E şi F simetricele lui D faţă de dreptele AB, respectiv AC, iar I intersecţia paralelei prin E la AC cu paralela prin F la AB. Notăm cu P şi M intersecţiile dreptei ED cu dreptele AB, respectiv FI, prin Q şi N intersecţiile dreptei FD cu dreptele AC, respectiv EI. Arătaţi că: a) dreapta AD este mediatoarea segmentului [EF]; b) punctele A, D şi I sunt coliniare; c) dreptele PQ şi MN sunt paralele. (etapa judeţeană, Botoşani, 2001)

5. Se dă triunghiul ∆ABC ([AB] ≡ [AC]). Pe prelungirile laturii [BC] se iau punctele D şi E astfel încât C ∈ (BD), B ∈ (EC) şi [BD] ≡ [CE], iar pe (AB) şi (AC) se consideră punctele P şi Q astfel ca [AP] ≡ [AQ]. Să se demonstreze: a) ∆EPC ≡ ∆DQB. b) Dacă PE ∩ QD = {M} şi punctul N este mijlocul segmentului [BC], atunci punctele A, M şi N sunt coliniare. (etapa locală, 1998)

6. Perpendicularele în punctul A pe laturile congruente [AB] şi [AC] ale triunghiului isoscel ∆ABC intersectează latura [BC] în punctele N, respectiv M. Fie P piciorul perpendicularei duse din B pe AM şi Q piciorul perpendicularei duse din C pe AN. Dacă PB ∩ QC = {S} şi {T} = QB ∩ PC arătaţi că: a) [PC] ≡ [BQ]; b) triunghiul ∆SBC este isoscel; c) punctele A, T şi S sunt coliniare.

7. Fie ∆ABC un triunghi dreptunghic în A şi un punct M ∈ (BC). Se consideră punctele N şi P astfel încât semidreptele [BA, [AB, [AC, [CA sunt bisectoarele unghiurilor �NBM, �NAM, �MAP, respectiv, �MCP. Arătaţi că: a) punctele P, A, N sunt coliniare; b) MN ⊥ AB; c) NB + PC nu depinde de poziţia lui M; d) aflaţi poziţia punctului M pentru care NB = PC. (etapa locală, Oprea Tiberiu, Vrancea, 2004)

8. Fie [AD bisectoarea unghiului uBAC al triunghiului ∆ABC, D ∈ [BC]. Perpendicularele duse din punctele B şi C pe AD intersectează dreptele AC şi AB în E, respectiv F. Să se demonstreze: a) AD este mediatoarea segmentelor [BE] şi [CF]; b) Punctele D, E, F sunt coliniare. (etapa judeţeană, Alba, 2004)

167

9. Se consideră triunghiul ABC şi punctele D, E, F mijloacele laturilor [AB], [BC], respectiv [CA]. Fie M ∈ (EF astfel încât [EF] ≡ [FM] şi N ∈ (CD astfel încât

[CD] ≡ [DN]. Demonstraţi că: a) ;2

BCAM = b) A, M, N sunt coliniare; c) .

3

MNAM =

(etapa judeţeană, C. Mihalca şi A. Băieş, Maramureş, 2004)

10. Fie triunghiul ∆ABC şi (AD bisectoarea unghiului �BAC (D ∈ BC). Considerăm P ∈ (AB) şi Q ∈ (AC), astfel încât (AP) ≡ (AQ). Arătaţi că triunghiul ∆ABC este isoscel dacă şi numai dacă dreptele AD, BQ, CP sunt concurente.

(etapa locală, A. Rafailă şi E. Irimia, Neamţ, 2004)

11. Fie triunghiul isoscel ABC, AB = AC, m(�A) < 60°. Pe laturile (AB) şi (AC) se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ∆ABD şi ∆ACE. Să se arate că: a) unghiurile �BAC şi �DAE au aceeaşi bisectoare; b) [DC] ≡ [BE]; c) bisectoarea unghiului �BAC şi dreptele BE, CD sunt concurente. (etapa judeţeană, Vrancea, 2003)

12. Triunghiul ∆ABC are măsura unghiului �B de 60° şi AB < BC. Fie (BB' bisectoarea unghiului �ABC, B' ∈ (AC), AM ⊥ BB', M ∈ (BB'), AM ∩ BC = {D}. Perpendiculara în punctul A pe dreapta AD intersectează perpendiculara în punctul B pe dreapta BC în punctul E, iar perpendiculara în punctul D pe dreapta AD intersectează perpendiculara în B pe AB în F. Demonstraţi: a) ∆ABD este echilateral; b) (AE) ≡ (BE) ≡ (BF) ≡ (FD); c) EF ∥ AD; d) dreptele BB', DE şi AF sunt concurente.

(etapa locală, Botoşani, 2004)

13. Prin mijlocul M al laturii [AC] a triunghiului ∆ABC se duce paralela la latura [AB] a triunghiului, iar prin vârful B, paralela la latura [AC], notându-se cu D intersecţia acestora şi cu E intersecţia dreptelor AD şi BC. Să se demonstreze că dreptele AB, ME şi CD sunt concurente.

14. De aceeaşi parte a unei drepte d se consideră două puncte distincte A şi B astfel încât AB să nu fie perpendiculară pe d. Dacă A’ şi B’ sunt simetricele punctelor A şi B faţă de dreapta d, demonstraţi că: a) [A’B’] ≡ [AB]; b) dreptele A’B’, AB şi d sunt concurente.

15. Se consideră un unghi propriu �XOY şi punctele A, B ∈ (OX, C, D ∈ (OY astfel încât A ∈ (OB) şi C ∈ (OD). Arătaţi că mediatoarele segmentelor [AB], [CD] şi bisectoarea unghiului �XOY sunt concurente dacă şi numai dacă 2 ⋅ OA + AB = 2 ⋅ OC + CD.

16. În exteriorul triunghiului ∆ABC se construiesc triunghiurile ∆AMB şi ∆AMC astfel încât [AM] ≡ [AN], [BM ] ≡ [CN], [CM] ≡ [BN]. Dacă {P} = BN ∩ CN, şi Q este mijlocul segmentului [BC], arătaţi că: a) Triunghiurile ∆BPC şi ∆ABC sunt isoscele; b) punctele A, P, Q sunt coliniare. (etapa judeţeană, Călăraşi, 2002)

17. Fie triunghiul ABC şi punctele M, N, P mijloacele laturilor (BC), (CA), respectiv, (AB). Arătaţi că perpendicularele duse din punctele M, N, P pe dreptele BC, CA şi, respectiv, AB sunt concurente. 18. Se consideră triunghiul ∆ABC echilateral. Se notează cu N simetricul lui B faţă de C şi cu M simetricul lui C faţă de B. a) Să se arate că [AM] ≡ [AN]. b) Dacă BD ⊥ AM, CE ⊥ AN, D ∈ (AM), E ∈ (AN) şi BC = 6 cm, calculaţi BD + DE + CE. c) Dacă AF ⊥ BC, F ∈ BC, arătaţi că BD, CE şi AF sunt concurente.

(etapa judeţeană, Anton Negrilă, Prahova, 2002)

168

SOLUŢII. INDICAŢII. RĂSPUNSURI

ARITMETICĂ. ALGEBRĂ. Capitolul I. Numere naturale

I. 1. Proprietăţile relaţiei de divizibilitate în � 1. 98421. 2. a) n = 22(a + b + c) etc;

b) (9,22) = 1 ⇒ 9/a + b + c � 9/n etc. c) 22/a + b + c şi a + b + c ≤ 27 ⇒ abc = 484.

3. abc = 25(a + b + c) � 25/ abc ⇒ b = c = 0 sau bc ∈{25, 50, 75}. 1. Pentru bc = 25 se

obţine 100a + 25 = 25(a + 7), de unde rezultă a = 2; 2. Pentru bc = 50 se obţine a = 1;

3. Pentru bc = 75 se obţine a = 3. 4. b = c = 0 ⇒ nu există a. 4. n = abbc = 1000a + 110b + c = = 1000a + 110(a + 2) + a + 1 = 1111a + 221. Deoarece U(n) ∉ {2, 3, 7, 8} rezultă că

a ∈ {3, 4, 5} şi abbc ∈ {3554, 4665, 5776}. 3554 este de forma 4k + 2, deci nu este pătrat perfect, iar 4665 nu este pătrat perfect pentru că se divide cu 5 şi nu se divide cu 25.

5776 = 24 · 192 = 762. 5. abc ∈ {111, 222, 333, …, 999}. 6. A = 11011a + 100b =

= a(101 · 109 + 2) + 100b = M109 + (100b + 2a) ⇒ a = 9; b = 2. 7. abc ∈ {119, 182, 245, 308, 371, 434, 560, 623, 812}. 8. Notăm cu x împărţitorul şi cu q câtul; 947 = xq + 12, x > 12 ⇒ xq = 935 ⇒ xq = 5 · 11 · 17 ⇒ x ∈ {17, 55, 85, 187, 935}. 9. Suma numerelor de

forma aab este egală cu: 110(1 + 2 + ... + 9) + (1 + 2 + ... + 9) = 111 · 45 etc. 10. Considerăm submulţimea A1 ⊂ A, unde A1 = {1, 4, 7, 10, …, 2011}, adică toate numerele din A care dau restul 1 la împărţirea cu 3. Oricare are fi elementele 3k + 1 şi 3q + 1 din A1, avem (3k + 1) − (3q + 1) � (3k + 1) + (3q + 1) etc. 11. a) 42011 = (3 + 1)2011 = M3 + 1, restul este 1. b) Arătaţi că 42011 > 101206. c) Deoarece n = M3 + 1, oricâte cifre am permuta, numărul obţinut dă restul 1 la împărţirea cu 3. Dacă numărul de 10 cifre obţinut după un număr de paşi, ar avea cifre distincte două câte două, atunci el s-ar divide cu 3, contradicţie! 12. 5 · 92011 = 5 · 92 · 92009 = 405 · 92009 = (50 · 8 + 5) · 92009 = (8 · 92009) · 50 + 5 · 92009. Restul este 5 · 92009. 13. x(x + 1) + y(y + 3) + z(z + 5) = 2011. Dar x(x + 1); y(y + 3) şi z(z + 5) sunt numere pare oricare ar fi x, y, z � �, contradicţie. 14. Conform teoremei împărţirii cu rest

avem relaţiile: abc = 8m + 3; abc = 7n + 2; abc = 6p + 1 şi abc = 5q, unde m, n, p, q ∈ �*.

Din aceste relaţii rezultă că abc + 5 = M8 = M7 = M6 şi 5/ abc , de unde [6, 7, 8] / abc + 5,

adică abc + 5 ∈ {168, 336, 504, 672, 840} şi abc ∈ {163; 331; 499; 667; 835}. Cum

5/ abc rezultă că 835 este singura soluţie a problemei. 15. Presupunem că există k ∈ N

astfel încât: 2k < 2n < 2n + 1 < … < 4n − 1 < 4n < 2k + 1; 2k < 2n ⇒ 2k − 1 < n (1); 4n < 2k + 1 ⇒ ⇒ n < 2k − 1 (2). Contradicţie din (1) şi (2), deci există cel puţin o putere a lui 2 cu proprietatea dată. 16. Fie n � �* aşa încât n = 17 · q + q, q < 17, q � N şi n = 23 · r + r, r < 23, r � �. Deci n = 18q cu 0 ≤ q < 23 şi n = 24r cu 0 ≤ r < 17. Din 18q = 24r rezultă 3q = 4r. Deci q = 4a, r = 3a cu a � � şi a ≤ 4. Rezultă n = 18 · 4a = 72a, deci n ∈{72, 144,

216, 288}. 17. Din abc = c3 + c2 + c rezultă ab ·10 = c2(c + 1) �100 � c2(c + 1) < 1000,

4 < c < 10, dar 10 / c2(c + 1), deci c ∈ {5, 9} şi abc ∈ {155, 819}. 18. 7744. 19. a = 9648; b = 7. 20. 52n + 52n + 2 + 52n + 4 + 52n + 6 = 52n(1 + 52 + 54 + 56) = 52n[(1 + 56) + 52(1+ 56)] = = 52n(1 + 56)(1 + 56) = 52n · 26 · 626 etc. 21. Fie a + 2, a + 4, ..., a + 2k numerele pare

consecutive, unde a ∈ �, k ∈ N*\{1}, a este par. Avem (a + 2) + (a + 4) +...+ (a + 2k) =

= 182 � k(a + k + 1) = 182. Rezultă k/182, de unde k ∈ {2, 7, 13, 14, 26, 91, 182}. Pentru k ≥ 14, rezultă k(a + k + 1) > 182, deci k ∈ {2, 7, 13}. 22. a) Numerele naturale de trei cifre

247

atunci, ţinând cont că ∆IMN este isoscel, rezultă că ID ⊥ MN, adică AD ⊥ BC. De aici şi din faptul că (AD este bisectoarea unghiului �BAC, urmează că triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC. „�”: Dacă AB = AC, atunci, ţinând cont că (AD este bisectoarea unghiului �BAC rezultă că AD ⊥ BC adică ID ⊥ MN. De aici şi din faptul că triunghiul ∆IMN este isoscel urmează că MD = DN. 43. Dacă m(�C) > 90° sau m(�C) = 90° se obţin contradicţii. Dacă m(�C) < 90° se obţine m(�BAC) = 120° şi m(�C) = 45°. Capitolul VII. Triunghiul isoscel. Triunghiul echilateral. 1. b) 3°. Evident T ⊂ M. Fie (BB’), (CC’) şi (AA’) mediane în ∆ABC iar G centrul său de greutate. Dacă M ⊂ T, se arată cu uşurinţă că m(�B’GC) = 60°. Trebuie să arătăm că dacă m(�B’GC) = 60°, atunci M ⊂ T. Într-adevăr, din (BB’) ≡ (CC’) rezultă (AB) ≡ (AC), de unde AA’ ⊥ BC şi (BG) ≡ (GC). Deci

�BGC este isoscel şi m(�AGC’) = m(�A’GC) = m(�B’GC) = m(�BGC’) = 60°, cum

(BC’) ≡ (C’A) rezultă că �ABG este isoscel, deci CC’ ⊥ AB. Din CC’ ⊥ AB şi (BC’) ≡ (C’A)

rezultă (AC) ≡ (BC). Observaţie. 10 şi 20 se analizează asemănător. 2. ∆ADA1 ≡ �AEA1

(L.L.L.) � �DAA1 ≡ �EAA1 şi cum AA1 ⊥ BC � �ABC este isoscel. 3. (AC) ≡ [BD] �

� [AB] ≡ [CD]. ∆NBC este isoscel � (BM) ≡ (MC), deci (AM) ≡ (MD). ∆ABN ≡ ∆DCN (L.U.L.) etc. 4. Analizăm cazurile: D ∈ (OC), C ∈ (OD); se obţine: AB = 3 cm şi respectiv AB = 5 cm. 5. Se arată că triunghiurile MBC şi BCN sunt isoscele. 6. m(�BAC) = 120°. 7. m(�ECA) = m(�ACB) – m(�ECD) = m(�ABC) – m(�ADC) =m(�BAD) (teorema unghiului exterior). ∆EDC este isoscel etc. 8. Se analizează cazurile: I. C ∈ (OD) şi II. D ∈ (OC). În cazul I se obţine AB = 4 cm, iar în cazul II se obţine AB = 1 cm. 9. Triunghiul ∆PBC

este isoscel etc. 10. a) Fie AM ⊥ BC (M ∈ BC) şi AF � BE, F ∈ DC. Se arată că triunghiul

∆DAC este isoscel şi apoi se aplică teorema liniei mijlocii în triunghiurile ∆DBE şi ∆AFC.

b) (GE) este linie mijlocie în triunghiul ∆ACF etc. 11. În �BPC se aplică reciproca teoremei

liniei mijlocii sau se arată că ∆ACP este isoscel. 12. MN este linie mijlocie în �ABC.

13. a) Se arată că BE ⊥ AE şi ME fiind mediană, rezultă (ME) ≡ (AM). b) Fie AE ∩ BC = {F} (fig. 108) În ∆ABF, BE este înălţime şi bisectoare. Deci triunghiul ∆ABF este isoscel şi urmează că (AE) ≡ (EF), de unde rezultă că (ME) este linie mijlocie.

Fig. 108 Fig. 109

14. Fie propoziţia p1 & p2 & p3 → p4. Construim AD ⊥ BC, D ∈ [BC]. [MN] linie mijlocie

în ∆ADC, N ∈ BC. NC = ND = 1

2BD deci NB = ND + DB = 3NC, deci p1 & p2 & p3 → p4

este adevărată. Analog se studiază valoarea logică a propoziţiilor: p1 & p2 & p4 → p3;

p1 & p3 & p4 → p2; p2 & p3 & p4 → p1. 15. M este ortocentrul triunghiului ∆APD, iar MN � BC

A

M E

B D F CCB D

P

A

NM