1

ALGEBRĂ

CAPITOLUL 1 Mulţimea numerelor naturale

1.1. Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

1. a) 2898; b) 557; c) 18165; d) 14. 2. a) 1216; b) 818; c) 1776; d) 1193. 3. a) 2089; b) 40288; c) 20; d) 0. 4. 0; 5. 80. 6. 1087. 7. 358. 8. a) 2; b) 2032; c) 21; d) 56. 9. a) 248; b) 1161; c) 323; d) 5300; e) 36; f) 410; g) 510; h) 6110. 10. a) 220; b) 5102; c) 735; d) 610; e) 1; f) 39; g) 412; h) 733. 11. a) 518; b) 727; c) 1477; d) 1166; e) 524; f) 675; g) 13120; h) 8308. 12. a) 215 515; b) 37 47; c) (2 3 5)23 = 3023; d) 21053; e) 245; f) 1214; g) 9014; h) 312 436 536. 13. a) 525; b) 2750; c) 320;

d) 435; e) 924; f) 930; g) 1010; h) 5120. 14. a) 916 = 162 323 3 ; b) 1818 2 364 2 2 > 352 ; c) 2517 <

< 552; d) 4100 > 2199; e) 100010 < 101000; f) 813 < 420; g) 950 > 2710; h) 2827 <

2109 . 15. a) 27 (15 +

+ 12) = 272 = 2 33 2 33 3 9 ; b) 82 = 43; c) 642 = 2 33 2 34 4 16 ; d) 2 390 45 302 2 2 ;

e) 360 = 2 330 203 3 ; f) 2104 527 7 este pătrat perfect; 7104 nu este cub perfect 16. a) 2;

b) 0; c) 3600; d) 32; e) 8; f) 300. 17. 0. 18. 170. 19. 75; 5. 20. 120; 60. 21. 1007. 22. 3. 23. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. 24. a) 224; b) 1509; c) 112; d) 1230. 25. b = 3, c = 2, a = 1. 26. a = 467, b = 57, c = 750, b < a < c. 27. a) 20162; b) 10082; c) 3502. 28. a) 5; b) 1; c) 1; d) 0. 29. a) u(x) = 7; b) u(y) = 3. 30. a) 52016 = 52014 52 = 52014(32 + 42) = (51007 3)2 + (51007 4)2; b) (91005 4)2 + + (91005 4)2 + (91005 7)2; c) (3 52400)3 + (5 52600)2. 31. a) 3; b) 14; c) 7; d) 1. 32. a) 10; b) 15;

c) 31; d) 136. 33. Numerele nu pot avea decât câte 3 cifre. Din 733abc xyz şi

337cba zyx , notând a + x = A, b + y = B, c + z = C rezultă 100A + 10B + C = 733,

100C + 10B + A = 337. Prin scădere rezultă A – C = 4, 101C + 10B = 333 şi deci B = 3, C = 3, A = 7. În final se obţin numerele 302 şi 431. 34. n = 19a + b, b < 19 şi n = 13b + a, a < 13 3a = 2b. Deoarece b < 19, a < 12, pentru (a, b) avem soluţiile (0, 0 ), (2, 3), (4, 6), (6, 9), (8, 12), (10, 15), (12, 18). Rezultă că n {0, 41, 82, 123, 164, 205, 246}. 35. a) 111222 = 333 334; b) 11111122222 = 33333 33334; c) Fie 111...1 222...2

n n = 10n a + 2a =

= 999....9 1 2n

a a

(9a + 1)a + 2a = 9a2 + 3a = 3a(3a + 1), unde a = 111...1

n

.

36. mab nab pab (100m + x)(100n + x) = 100p + x, unde x = ab 10000mn + 100(m +

+ n)x + x2 = 100p + x u(x2 – x) = 0. Luăm x {25, 76}. 37. a) S(n) = a(1 + 11 + 111 + … +

2

+ n

111...1 ) = 9

a(9 + 99 + 999 + … + 999...9

n ) =

9

a[(10 – 1) + (102 – 1) + … + (10n – 1)] =

= 9

a[10(1 + 10 + … + 10n–1) – n] =

9

a

110 10 9

9

n n ; b) S(1) = a; S(2) = 12a; S(3) = 123a

etc. 38. a) 102 = 62 + 82; b) 103 = 100 (1 + 9) = 102 + 302; c) 102n = 102n–2(62 + 82) = (6 10n–1)2 + (8 10n–1)2; d) 102n+1 = 102n (1 + 9) = (10n)2 + (3 10n)2. 39. a) 3 (1030 – 1) = = 3

30 31

999...9 2999...997 29 cifre de 9; b) 4 (1050 – 3) = 4 50 51

999...97 3999...9988 48

cifre de 9; c) 5 (10n – 1) = 1

499...995n

n – 1 cifre de 9; d) 8 (10n – 1) = 1

799...992n

n – 1

cifre de 9. 40. a) 26 + 27 + 26 = 26 4 = 28 = (24)2 n = 6. Se arată că 6 este unica soluţie;

b) 22a + 22a+1 + 22a = 22a 4 = 22a+2 = (2a+1)2. Se arată că m = 2a, n = 2a, a *. 41. ab+c + ab +

+ ac + 1 = 820 (ab + 1)(ac + 1) = 22 5 41. Fie ab + 1 = x, ac + 1 = y. Din (x, y) {(2, 410), (4, 205), (5, 164), (10, 82), (20, 41), (41, 20), (82, 10), (164, 5), (205, 4)} rezultă x = 10, y = 82

sau x = 82, y = 10 abc {324, 342}. 42. b) A = x2n+1 – (x + 1) x2n + (x + 1) x2n–1 – (x + 1) x2n–2 + … +(x + 1) x – 1 = x2n+1 – [(x + 1)(x2n – x2n–1 + x2n–2 – … – x] – 1 = x2n+1 – (x2n+1 + + x2n – x2n – x2n–1 + x2n–1 + x2n–2 – … – x2 – x) = x – 1. În cazul a) rezultă numărul 8.

1.2. Divizor, multiplu. Criterii de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9

1. a) divizor; b) multiplu; c) multiplu; d) divizor. 2. a) A; b) A; c) F; d) A; e) A; f) F. 3. a) ⋮; b) ⋮; c) ; d) ; e) ; f) ⋮. 4. a) |; b) |; c) ; d) |; e) |; f) |. 5. a) D5 = 1, 5; b) M3 = 0, 3, 6, 9,…; c) D8 = 1, 2, 4, 8; d) M12 = 0, 12, 24, 36,…; e) D18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18; f) M24 = 0, 24, 48, 72,…. 6. a) (1, 20), (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), (20, 1); b) 4; 9; 25; 36. 7. a) improprii: 1, 2; proprii nu are; b) improprii: 1, 7; proprii nu are; c) proprii: 2, 3; improprii: 1, 6; d) proprii: 2, 4, 8; improprii: 1, 16. 8. (1, 7), (2, 6), (4, 4), (8, 0); 9. a) 10, 20; b) 2, 4; c) 5, 15; d) 4, 8; e) 3, 6; f) 9, 18. 10. a) 90; b) 98; c) 95; d) 99; e) 99; f) 96. 11. a) 10; b) 10; c) 10; d) 12; e) 18; f) 12. 12. a) A = 106, 602, 960, 800, 1140; b) B = 225, 960, 800, 1140; c) C = 225, 960, 1140; d) D = 225; E = 960, 800, 1140; F = 800. 13. a) A; b) F; c) A; d) A; e) A; f) F; g) A; h) A; i) A; j) F, 14. a) 320, 322, 324, 326, 328; b) 321, 324, 327; c) 320, 324, 328; d) 320, 325; e) 324; f) 320. 15. a) 14, 16, 20; b) 15, 21, 27; c) 12, 18, 24. 16. a) 114, 126, 138; b) 105, 115, 125; c) 100, 210, 320. 17. a) D10 = 1, 2, 5, 10; b) D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12; c) D10 D12 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12; d) D10 D12 = 1, 2; e) D10 – D12 = 5, 10; D12 – D10 = 3, 4, 6, 12. 18. a) A = 0, 6, 12, 18, 24; B = 0, 9, 18, 27; b) A B = 0, 6, 9, 12, 18, 24, 27; A B = = 0, 18; A – B = 6, 12, 24; B – A = 9, 27. 19. a) x 3, 4, 5, 8; b) x 2, 7; c) x 1, 2. 20. a = 15c + 6 = 3(5c +2) ⋮ 3. 21. Numărul de elevi al unui grup este divizor al numărului 28, din care excludem 1, 2 şi 28 4, 7, 14, deci se pot forme 13 grupuri. 22. x 1, 6. 23. 10n(10 + 5 + 4) = 10n 19 ⋮ 19. 24. S = 7 57 (1 + 73 + … + 7366) = 399 (1 + 73 +…+ 7366) S ⋮ 399. 25. a) 90; b) 6300, 6310,…, 6390; c) 3050; d) 8130, 8230, 8330, 8430, 8530, 8630, 8730, 8830, 8930. 26. a) 40, 42, 44, 46, 48; b) 232, 434, 636, 838; c) 200, 222, 244, 266, 288; d) 114, 224,…, 994. 27. a) 51, 54, 57; b) 2232, 5235, 8238; c) 900, 933, 966, 999; d) 111, 222, 333, …, 999. 28. a) 20, 25; b) 5565; c) 700, 755; d) 555. 29. a) 234; b) 4554; c) 333; d) 2052, 2250, 2259, 2358, 2457, 2556, 2655, 2754, 2853, 2952. 30. a) 832, 836; b) 4244, 8248; c) 500,

544, 588; d) 5032, 5132, 5232,…, 5932. 31. Fie _____

abc cu a > c _____ ______

abc cba = 100a + 10b + c – – 100c – 10b – a = 99a – 99c = 99(a – c) = 9 11 (a – c). 32. Pentru n = 0 100 + 2015 =

3

= 2016 ⋮ 9. Dacă n ≠ 0 suma cifrelor numărului 10n + 2015 este 9, deci numărul este divizi-bil cu 9. 33. Fie a = 111...1

n . Avem A = 2a 102n + 3a 10n + a = a(2 102n + 3 10n + 1).

Divizorul de 2n + 1 cifre este 2 102n + 3 10n + 1. 34. Fie Dn = {1 = d1 < d2 < d3 < …< dm–1 < < dm = n} mulţimea divizorilor lui n. Avem d1dm = d2dm–1 = d3dm–2 = … = dm–1d2 = dmd1 = n, iar d1 + d2 + d3 + … + dm = n + 7. Rezultă că d2 + d3 + … + dm–1 = 6. Dar d2 ≥ 2, d3 ≥ 3, d4 ≥ 4, … Obţinem d2 = 2, d3 = 4, n = 8. 35. Avem (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) şi (a + b) + + (b + c) + (c + d) + (d + e) + (e + a) = 4(a + b + c + d + e). În fiecare caz rezultă că cel puţin unul din numerele a + b, b + c şi c + a, respectiv a + b, b + c, c + d, d + e, e + a este număr par. Avem: a) 8(a+b)(b+c)(c+a) – 1 = 82n – 1 = (63 + 1)n – 1 = M63 + 1 – 1 = M63; b) 100(a+b)…(e+a) – – 1 = 1002n – 1 = 10000n – 1 = (9999 + 1)n = M9999. 36. Luăm a = 2, b = 5, c = 1 şi atunci A = 22n+1 52n+3 1 = 25 102n+1 – 1 = 2499...9 are 2n + 3 cifre a căror sumă este divizibilă cu 3. Deci avem 3 | A. 37. A = 34a+b – 3b = 3b(34a – 1) = 3b (81a – 1) = 3b M80 30 | A. 38. Numerele de două cifre sunt 17, 34, 51, 68, 85. Numerele de trei cifre sunt 517 şi 685. Ur-mătoarele numere sunt 6851 şi 68517. Cel mai mare număr cu proprietatea cerută este 68517. 39. Fie n = a + 1, a . Atunci A = 2n+3 5n + 1 = 80 10a + 1 =

2 1

8000...01 9 888...89.a a

Cum

9 | A, rezultă că 81 | A 9 | 1

888...89a

9 | a + 1 a = 9k – 1, k n = 9k, k . 40. Fie

A = n2 + n4 + n6 + …+ n2000 = n2(1 + n2 + n4 + … + n1998). Deoarece A este suma a 1000 de numere de aceeaşi paritate, rezultă că 2 | A pentru orice n *. Dacă 5 | n, atunci 10 | A.

Presupunem că 5 n. Fie B = 1 + n2 + n4 + … + n1998. Avem B = (1 + n2 + n4 + n6 + n8)(1 + + n10 + n20 + … + n1990). Fie C = 1 + n2 + n4 + n6 + n8. Dacă n = 5k 1, avem C = 1 + (M5 + 1) + + (M5 + 1) + (M5 + 1) + (M5 + 1) = M5 şi deci 5 | C. Dacă n = 5k 2, avem C = 1 + (M5 + 4) + + (M5 + 16) + (M5 + 64) + (M5 + 256) = M5 şi deci 5 | C. În concluzie 5 | A pentru orice n * şi deci 10 | A, pentru orice n *. 41. Avem 27 | 333...3

n 9 | 111...1

n 9 | n. Atunci

nmin = 9. 42. 10 | a u(23n) = 8 3n = 4k + 1, k *; 10 | b u(7n) = 7 n = 4m + 1, m *.

Obţinem 12m + 3 = 4k + 1 6m + 1 = 2k (imposibil). Singura soluţie este n = 1.

1.3. Numere prime şi numere compuse

1. Sunt 25 de numere prime mai mici decât 100. 2. 17, 71, 83, 97. 3. A = 101, 103, 107, 109, 113; B = 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115. 4. Numerele prime sunt: 41, 89, 389, 433, 647. 5. a) 24 = 18 + 6; b) 29 = 20 + 9; c) 46 = 40 + 6; d) 55 = 75 – 20; e) 60 = 80 – 20; f) 72 = 76 – 4. 6. a) 19 = 2 +17; b) 28 = 11 + 17; c) 52 = 23 + 29; d) 39 = 41 – 2; e) 76 = 89 – 13; 98 = 101 – 3. 7. a) (x, y) (2, 41), (41, 2); b) (x, y) = (89, 2); c) (x, y) (5, 17), (17, 5). 8. 2 şi 123. 9. (3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19). 10. a) 2; 204; b) 2; 59; c) 73; 2; d) 5; 43. 11. 6k ⋮ 2; 6k + 2 = 2(3k + 1) ⋮ 2; 6k + 4 = 2(3k + 1) ⋮ 2. 12. Oricare două numere prime mai mari decât 2 sunt numere impare, rezultă că suma lor este număr par mai mare decât 2, deci nu este număr prim. 13.

2016 ori 2016 ori

... 11...1 3xx x x . 14. Dacă n este număr impar n + 3, n + 5, n + 9,

n + 11 sunt numere pare mai mari ca 2, deci sunt o infinitate de numere compuse. 15. a) a = 2; b = 2; c = 11; b) a = 2; b = 47; c = 59. 16. a) 28(15n + 1) ⋮ 28; b) 15(6n + 2) ⋮ 15; c) 2n 5n+1 + 4 = = 10n 5 + 4 =

1

50...04 3n

; d) (2n + 3)(3n + 1). 17. Dacă a {3, 6, 9} rezultă că 3 | n. Dacă a

{2, 4, 6, 8} rezultă 2 | n. Dacă a = 5 rezultă că 5 | n. 18. Numărul este cel puţin egal cu

4

6 2 + 3 = 15. Se arată că numerele 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 nu îndeplinesc condiţiile date. Numărul căutat este 22 deoarece 22 = 3 + 19 = 2 + 3 + 17 = 5 + 5 + 5 + 7 = 2 + 5 + 5 + 5 + 5 = = 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5 + 5. 19. a) Dacă a = 11 avem n = 2. Dacă n = 2k, k ≥ 2, avem 11 | a. Dacă n = 3k, k ≥ 1, avem 3 | a. Se iau cazurile n = 6k – 1, k * şi n = 6k + 1,

k ; b) Reciproca este falsă. Luăm a = 111 = 3 37, n = 3. 20. Deoarece a > 5 este număr

prim, atunci ultima cifră a lui a este dată de u(a) {1, 3, 5, 7, 9}. Dacă u(a) = 1 avem n *.

Dacă u(a) = 3 luăm n = 4k, k *. Pentru u(a) = 5 nu avem soluţie. Dacă u(a) = 7 luăm n = 4k,

k *. Dacă u(a) = 9 luăm n = 2k, k *.

1.4. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

1. a) 23 11; b) 2 32 5; c) 22 52 7; d) 22 32 53; e) 22 32 72; f) 33 52 11; g) 24 53 7; h) 23 53 132. 2. a) x = 23 3 şi y = 22 32 7 x y = 25 33 7; b) x = 22 33 5 şi y = 2 34 7 x y = 23 37 5 7; c) x = 32 52 şi y = 3 53 11 x y = 33 55 11; d) x = 22 52 13 şi y = 22 52 17 x y = 24 54 13 17. 3. a) x = 25 33 şi y = 23 32 x : y = 22 3; b) x = = 22 52 72 şi y = 22 52 7 x : y = 7; c) x = 23 53 112 şi y = 22 52 11 x : y = 2 5 11; d) x = 53 72 13 şi y = 52 72 x : y = 5 13. 4. a) 16 = 24 are 5 divizori; b) 81 = 34 are 5 divi-zori; c) 72 = 23 32 are 12 divizori; d) 675 = 33 52 are 12 divizori; e) 1100 = 22 52 11 are 18 divizori; f) 16900 = 22 52 132 are 27 divizori; g) 17000 = 23 53 17 are 32 divizori; h) 49000 = 23 53 72 are 48 divizori. 5. a) D27 = 1, 3, 9, 27; b) D16 = 1, 2, 4, 8, 16; c) D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12; d) D18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18; e) D36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; f) D1331 = 1, 11, 121, 1331. 6. 22 3 5 = 60. 7. 2 3 5 7 = 210. 8. m = 2014. 9. a) 41 şi 42; b) 29, 30, 31. 10. 4066272. 11. 25 şi 49. 12. 4, 9, 25, 49, 121. 13. 21. 14. 84375 = 33 55 şi 28224 = 26 32 72 numărul are 5 zerouri. 15. x = 9 şi y = 29. 16. 1313 şi 9797. 17. Dacă n =

= 1 21 2 ... kaa a

kp p p , unde p1, p2, …, pk sunt numere prime distincte, iar a1, a2, …, ak *, atunci

numărul divizorilor naturali ai lui n este dat de D = (a1 + 1)(a2 + 1) … (ak + 1). Observăm că avem a1 + 1 ≥ 2, a2 + 1 ≥ 2, …, ak + 1 ≥ 2; a) D = 4 k = 1 sau k = 2. Avem n = p3 sau n = pq. Rezultă că n {23, 33, 2 3, 2 5, 2 7, 2 11, 2 13, 2 17, 2 19, 2 23, 2 29, 2 31, 2 37, 2 41, 2 43, 2 47, 3 5, 3 7, 3 11, 3 13, 3 17, 3 19, 3 23, 3 29, 3 31, 5 7, 5 11, 5 13, 5 17, 5 19, 7 11, 7 13}; b) D = 6 k = 1 sau k = 2 n = p5 sau n = pq2 etc.; c) D = 8 n = p7 sau n = pq3 sau n = pqr, unde p, q, r numere prime etc. 18. Dacă

1 21 2 ... maa a

mn p p p , unde p1 < p2 < … < pm sunt numere prime a1, a2, …, am *, atunci

numărul divizorilor lui n este: D = (a1 + 1)(a2 + 1)…(am + 1). Avem a1 + 1≥ 2, a2 + 1 ≥ 2, …, am + 1 ≥ 2. a) Dacă D = 7, atunci m = 1 şi n = p6. Cel mai mic număr natural este 26; b) Dacă D = 8, atunci n = p7 sau n = pq3. Rezultă că n = min(27, 2 33, 23 3) = 24; c) Dacă D = 12, atunci n = p11 sau n = pq5 sau n = p2q3 sau n = pqr2, unde p, q, r sunt numere prime (distincte).

Rezultă că n = min(211, 3 25, 32 23, 22 3 5) = 60. 19. Fie 1 21 2 ... kaa a

kn p p p

descompunerea în factori primi a lui n. Deoarece numărul divizorilor naturali este dat de (a1 + 1)(a2 + 1) … (ak + 1) şi este număr impar rezultă că a1, a2, …, ak sunt numere pare şi deci

n = m, m . 20. Fie A = xyz = 100x + 10(x + z) + z = 11 xz . Numărul de două cifre cu

număr maxim de divizori este 60 sau 96. Deci A = 660.

5

1.5. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în

1. a) F; b) F; c) A; d) F. 2. a) A; b) A; c) A; d) A; e) F; f) F; g) A; h) F. 3. a) F; b) A. 4. a) 0; b) 0. 5. a) 1422 + 729 + 198 + 9; b) Nu. 9 2357. 6. a) A; b) F; 4 | 12 şi 8 12; c) F; d) A; e) F. 7. S1 + S2 + S3 = (1 + 2 + … + 9) + 11(1 + 2 + … + 9) + 111(1 + 2 + … + 9) ⋮ (1 + 2 + + … + 9). 8. (2n + 1) + (2p + 1) = 2(n + p + 1) ⋮ 2. 9. Restul împărţirii la 3 poate fi 0,1 sau 2.

Numere consecutive: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n suma divizibilă cu 3. 12. xy 29, 52, 75.

13. (114 ab + 57) ⋮ 57. 14. 18, 0, 36; 18, 6, 30; 18, 12, 24. 16. abc = 98a + 2a + 7b + 3b + c (2a + 3b + c) ⋮ 7. 17. [104a + 13b – (4a + 3b – c)] ⋮ 13. 18. (1 + 51) + (2 + 50) + … + (25 + + 27) + 26. 21. a = 10n+1 52 – 1 = (M3 + 1)n +1 (M3 + 1) – 1 = M3 + 1 – 1 = M3; b = 10n 8 + 7 = = (M3 + 1) (M3 + 2) + M3 + 1 = M3 + 2 + M3 + 1 = M3. 22. U(a) = 5 a ⋮ 5; a = (M9 + 1)9 + + M9 – 1 = M9 + 1 + M9 – 1 = M9 a ⋮ 45; b ⋮ 5; b = (M9 + 1)n + M9 – 1 = M9 b ⋮ 45. 23. (14a + a + 16b + b) sau (12a + a + 4b + b) sunt divizibile cu 2 (a + b) ⋮ 2 (15a + 17b) şi (13a + 5b) ⋮ 2 P ⋮ 4. 24. Din 8b ⋮ 2 şi 2c ⋮ 2 5a ⋮ 2, (5, 2) = 1 a ⋮ 2 a = 2n; 10n + + 8b = 2c 5n + 4b = c 5n + 5b = c + b (c + b) ⋮ 5 a(b + c) ⋮ 10.

1.6. Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime între ele

1. a) 3; b) 2; c) 3; d) 2; e) 3; f) 1; g) 12; h) 13; i) 12. 2. a) 6; b) 14; c) 24; d) 36; e) 146; f) 169. 4. (2, 9); (2, 35); (6, 35); (9, 35). 5. 3720, 3750, 3780, 3705, 3735, 3765, 3795. 6. 28710, 28782, 28764, 28746, 28738. 7. 13410, 13455. 9. (a, b) = 12 a = 12x, b = 12y, (x, y) = 1 x + y = 7 (a, b) (12, 72); (24, 60); (36, 48); (48, 36); (60, 24); (72, 12). 10. (12, 144); (36, 48); (48, 36); (144, 12). 12. a) a 1, 3, 5, 7, 9; b) a 0, 2, 3, 5, 6, 8, 9. 13. a) (a, b) = = 6 a = 6x, b = 6y; (x, y) = 1 2x + y = 14 (30, 24); (18, 48); (6, 72); b) (75, 100); (25, 300); c) a = 42, b = 63. 14. a) (8, 3); (1, 5); (15, 1); b) a = 4, b = 9; c) a = 4, b = 9. 15. Fie

d astfel încât d | a şi d | b

5 3 5 3 3

3 2 3 2 5

d k d kd

d k d k| (15k + 10) – (15k + 9)

d | 1 d = 1 (a, b) = 1. 18. y 8

2x

x – 2 1, 2, 4, 8 x 3, 4, 6,

10 pentru x = 3, y (x, y) (4, 2); (6, 4); (10, 5). 20. a) 57; b) 43. 21. x = 7a + 3; x =

= 9b + 5 7a + 3 = 9b + 5 7a = 7b + 2(b + 1) b + 1 ⋮ 7 b = 7n – 1 a = 63n – 4 =

= 63(n – 1) + 59 restul împărţirii lui x la 63 este 59. 22. (a, b) = 12 (∃) x astfel încât

a = 12x şi (∃) y astfel încât b = 12y: (x, y) = 1 12(x – y) 12(x + y) = 6480 (x – y)(x +

+ y) = 45, x – y < x + y (276, 264); (108, 72); (84, 24). 23._____

abc ⋮ 45 _____

abc ⋮ 5 şi _____

abc ⋮ 9

c 0, 5; c = 0 210 9 n.c. şi c = 5 345 9 n.c. sau 765 ⋮ 9 A. 24. 3x = 5y, (3, 5) =

= 1 y ⋮ 3, x ⋮ 5 x = 5a y =5 5

2 2

3 5 (5 ) (3 ) 33683

5 (5 ) (3 ) 25 9

a a a aa

a a

a ⋮ 225

a = 225p x + y = 5 225p + 3 225p = 1800p (x + y) ⋮ 1800. 25. (y + 1)(x + 1) = 15; (x + 1)(z + 1) = 12 x + 1 1, 3 (n, m) (514, 1111); (54 112, 22 113).

6

1.7. Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c; relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.

1. 1. a) 6; b) 120; c) 96; d) 12; e) 150; f) 120; g) 4320; h) 576; i) 163350. 2. a) 210; b) 72; c) 2940; 4. a) (a, b) [a, b] = a b (a, b) 196 = 1372 (a, b) = 7 a = 7x, b = 7y, (x, y) = 1 (a, b) (7, 196); (28, 49); b) (12, 96). 5. (24, 144); (48, 72). 6. 299, 587, 875. 7. 658, 874. 8. 301, 581, 861; 9. 63. 10. 1650. 11. 310. 12. 1260 sau 1512 sau 1764. 13. 141. 14. 500. 15. 3524. 16. (a, b) = 1 a b = [a, b]. 17. a) Dacă x este impar, atunci [4, x] este număr par şi nu avem soluţie. Fie x număr par. Dacă x = 4k, k N*, obţinem ecuaţia 4k + 4k = 18 şi nu avem soluţie. Dacă x = 4k + 2, k N, avem ecuaţia 4k + 2 + 2(4k + 2) = 18, de unde k = 1, x = 6; b) Dacă x = 2k + 1, avem 2k + 1 + 1 = 12 şi deci x = 11. Dacă x = 4k, avem 4k + 4 = 12 şi deci x = 8. Dacă x = 4k + 2, avem 4k + 2 + 2 = 12 şi deci x = 10. 18. a) a – 2 = 10x, b – 2 = 10y, (x, y) = 1 x y = 12 (12, 122); (32, 42); b) (a, b) (2, 192), (32, 42). 19. n2015 + 7 = = (n – 1 + 1)2015 + 7 = (Mn-1 + 1)2015 + 7 = Mn-1 + 12015 + 7 = Mn-1 + 8 (n – 1) | 8 n – 1 1, 2, 4, 8 n 2, 3, 5, 9; n = 2 (22015 + 7) ⋮ 1 A; n = 3 (32015 + 7) = (M2 + 1 + 7) ⋮ 2; n = 5 (52015 + 7) = (M4 + 1 + 7) ⋮ 4; n = 9 (92015 + 7) = (M8 + 1 + 7) ⋮ 8. 20. a) 9[a, b] = = [a, b] (a, b)2 (a, b) = 3 (a, b) ≠ 1; b) (a, b) = 3 a = 3x, b = 3y, (x, y) ≠ 1 a – b = = 3(x – y); a > b x > y (a – b) 3. 21. Fie d = (a, b) a = dx, b = dy, (x, y) = 1 dx dy = = d [a, b] dxy = [a, b] 3dxy + 5d = 123 d(3xy + 5) = 123 d 1, 3, 41, 123. Cum 3xy + 5 8 d < 16 pentru d = 1, 3xy = 118 F iar pentru d = 41, (3, 36); (9, 12).

1.8. Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea

1. a) 13 4 5

13 13 13

a b

a b

13|(13a + 13b) – (4a + 5b) 13|9a + 8b; b)

11 22 3311 22

11 33 11 3 4 7

a ba

b a b

11 | a + 5b. 2. ______

xyxy = 1010x + 101y = 101(10x + y) ⋮ 101. 3. a)1| 6

1| 1

x x

x x

x + 1 | 5,

x + 1 1, 5, x 0, 4; b) 3; c) x 0, 9, 20; d) x 2, 8. 4._________

100100xyzxyz x 10010y +

+ 1001z = 1001(100x + 10y + z) = 7 11 13 ____

xyz ; ________

0xy xy = 10010x + 1001y = 7 11 13___

xy .

5. a) _______

3 2 5a b b 0, 5; b = 0 a 1, 4, 7; b = 5 a 2, 5, 8; _______

3 2a b 3120,

3420, 3720, 3225, 3525, 3825; b) _______

1 9a b 1890, 1692, 1494, 1296, 1098, 1998.

6. _____ _____ ______ ______ ______

00, 25 , 50 , 75abc a a a a

, a ≠ 0 a poate lua 9 valori din regula produsului avem

9 4 = 36 numere. 7. _______

2 75a bc ; 75 = 3 25, (3, 25) = 1 _______

2a bc 1200, 4200, 7200, 3225,

6225, 9225, 2250, 5250, 8250, 1275, 4275, 7275. 8. a) 5 | 9 7

5 | 5 5

a b

a b

5 | 4a + 2b;

b) 9 | 4

9 |18 18

a b

a b

9 | 14a + 17b. 9. a)

________

138xy 13800, 13820, 13840, 13860, 1380;

b) _______

23x y 2232, 7236. 10. a = 3n+1(5n+1 + 1 + 5 2n); n 2 n + 1 3 3n+1 ⋮ 27. 11. n = 1,

1998 ⋮ 18; n = 2, 2088 ⋮ 18; n = 3, 2988 ⋮ 18; n 4 E = 100…01988 ⋮ 18. 12. a) A = 2 22 5

7

52 1 3 6…24 = 23 53 x ⋮ 1000; b) În scrierea lui A avem 5, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5 numere divizibile cu 5 56 | A; Cum 26A n maxim = 6. 13. a = 2 22 2 3 23 2 5 22 3 2 7 24 2 9 22 5 x 218 | a. 14. 56 | a 106 | a; 59 | b 109 | b. 15. a = 5(1 + 5 + 52 + 53) +

+ 55(1 + 5 + 52 + 53) + … + 5153(1 + 5 + 52 + 53)39 grupe

5 156 (1 + 54 +…+ 5152) ⋮ 156. 16. a) x(y + 7) = 8 (x, y) (1, 1); b) x(y + 5) = 30; (x, y) (6, 0); (5, 1); (3, 5); (2, 10);

(1, 25). 17. a – 4 1, 7, a = 5 b Ï a = 11. 18. Presupunem că (∃) d ≠ 1 astfel încât

d | 5n + 7 şi d | 7n + 10 d | (35n + 50) – (35n + 49) d | 1 d = 1 fracţie ireductibilă. 19. Avem 3 | a, 3 | b, 7 | b, 7 | c, 11 | a, 11 | c, de unde 33 | a, 21 | b, 77 | c. Atunci c = 77. Pentru (a, b) avem cazurile (33, 21), (66, 21), (99, 21), (33, 21), (33, 42), (33, 63), (33, 84), (99, 63), (66, 84), (66, 42), (66, 63), (99, 42), (99, 84). 20. Observăm că (0, b) şi (a, 0) nu sunt soluţii. Fie a ≥ b ≥ 1. Deoarece a | b + 1 avem a ≤ b + 1. Deci a – b {0, 1}. Dacă a = b rezultă că a | a + 1 şi atunci a = b = 1. Dacă a = b + 1 rezultă că b | b + 2 şi deci b {1, 2}. Dacă b = 1 rezultă a = 2, iar dacă b = 2 rezultă că a = 3. Avem în final soluţiile (1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 2), (2, 3). 21. (999a + 9b + a + b + c + 300) ⋮ 9

(999b + 9c + b + c + d + 400) ⋮ 9 (999c + 9d + c + d + a + 500) ⋮ 9 (999d + 9a + d + a + b + 600) ⋮ 9

3(a + b + c + d) ⋮ 9 (a + b + c + d) ⋮ 3, abcd = [999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)] ⋮ 3. 22. (n + 1)(n + 2)(2n + 3) ⋮ 6. 24. Avem an = 4n (1 + 4 + 16) = 21 4n = 5 4 4n + 4n. Rezultă că restul împărţirii lui an la 5 este restul împărţirii lui 4n la 5. Dacă n = 2k + 1 avem 4n = 42k+1 = = 4 (15 + 1)k = 4(M5 + 1) = M5 + 4 şi deci restul este 4. Dacă n = 2k avem 4n = 16k = (15 + 1)k = = M5 + 1 şi restul este 1. 25. (ab + 1)(ac + 1)(ad + 1) = 765 = 32 5 17. Observăm că a ≥ 2. Fie b ≤ c ≤ d. Atunci 2 ≤ ab + 1 ac + 1 ≤ ad + 1. Fie ab + 1 = A, ac + 1 = B, ad + 1 = C. Pentru A, B, C avem soluţiile (3, 3, 85), (3, 5, 51), (3, 15, 17), (5, 9, 17), de unde rezultă doar ab = 4, ac = 8, ad = 16. Pentru (a, b, c, d) obţinem soluţiile (2, 2, 3, 4), (2, 2, 4, 3), (2, 3, 2, 4), (2, 3, 4, 2), (2, 4, 2, 3), (2, 4, 3, 2).

TESTE DE EVALUARE

Testul 1 1. 40 = 23 5, 28 = 22 7, 88 = 23 11; (40, 28, 88) = 22 = 4; [40, 28, 88] = 23 5 7 11 = 3080.

2. 6 4 5 2 | 4 5 , 3 | 4 5a b a b a b şi (2, 3) = 1. Din 2 | 4 5a b b 0, 2, 4, 6, 8 4 5a b

4 50, 4 52, 4 54, 4 56, 4 58a a a a a . Cum 3 4 5a b 4 5a b 4050, 4350, 4650, 4950, 4152,

4452, 4752, 4254, 4554, 4854, 4056, 4356, 4656, 4956, 4158, 4458, 4758. 3. Fie d * astfel

încât d 3x + 1 şi d 5x + 2 d 3(5x + 2) – 5(3x + 1) d 1 d = 1 3x + 1 şi 5x + 2 sunt

prime între ele. 4. (a, b) = 18 a = 18x, b = 18y, x, y *, (x, y) = 1. Din a + b = 90 18x +

+ 18y = 90 x + y = 5 (x, y) (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (a, b) (18, 72), (36, 54), (54, 36), (72, 18). 5. 2x – 3 15 2x – 3 1, 3, 5, 15 x = 2 sau x = 3 sau x = 4 sau x = 9.

6. 5abc c = 0 sau c = 5. Dacă c = 0 atunci a + b = 20 imposibil pentru că a şi b sunt cifre.

Dacă c = 5 atunci a + b = 15 a = 7, b = 8 sau a = 8, b = 7 sau a = 6, b = 9 sau a = 9, b = 6. Numere sunt: 695, 785, 875, 965.

8

Testul 2 1. 588 = 22 3 72, 360 = 23 32 5; (588, 360) = 22 3 = 12; [588, 360] = 23 32 5 72 =

= 17640. 2. (a, b) = 6 a = 6x, b = 6y, x, y *, (x, y) = 1. Din a b = 540 6x 6y = 540

x y = 15 (x, y) (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1) (a, b) (6, 90), (18, 30), (30, 18),

(90, 6). 3. 15 753ab 5 753ab , 3 753ab şi (3, 5) = 1. 5 753ab b 0, 5. Cum

3 753ab pentru b = 0 avem a 0, 3, 6, 9, pentru b = 5 avem a 1, 4, 7 7 numere

de forma 753ab se divid cu 15. 4. 6 = 2 3; ( 594x , 6) = 1 2 594x şi 3 594x x 1, 5, 7. 5. Din teorema împărţirii cu rest avem n = 6c1 + 3 şi n = 8c1 + 3 n – 3 = 6c1 = = 8c2 n – 3 este multiplu de 6 şi de 8; c.m.m.m.c. 6, 8 = 24 n – 3 este multiplu de 24. Cum 90 < n < 100, obţinem n = 99. 6. a) 5 + 52 + 53 = 5(1 + 5 + 52) = 5 31 (5 + 52 + 53) ⋮ 31; b) Suma are 57 de termeni, 57 = 3 19, se grupează termenii sumei câte 3 şi obţinem: S = = (5 + 52 + 53) + 53(5 + 52 + 53) + … + 554(5 + 52 + 53) = 31(5 + 54 +…+ 555) S ⋮ 31.

Testul 3

1. a) 7(10a + 45) = 7 5 (2a + 9) ⋮ 5; b)

3 5 7

3 3 3 8 10

3 3

a b

a a b

b

; 3 6 9

3 23 5 7

a ba b

a b

3 2a + 4b. 2.

4 1 15

15 3 5

3,5 1

a b

4 1 3a b şi 4 1 5a b . 4 1a b ⋮ 3 (4 + a + 1 + b) ⋮ 3 (1);

9 4 1a b 9 (5 + a + b) (2). Din (1) şi (2) a + b 1, 7, 10, 16. Cum 4 5ab b

0, 5. Dacă b = 0 a 1, 7 (3). Dacă b = 5 a 2, 5 (4). Din (3), (4) 4 1a b 4110, 4710, 4215, 4515. 3. Presupunem (a, b) 1 d 1 astfel încât d a şi d b

d 4a şi d 3b d –4a + 3b d 1 d = 1 (a, b) = 1. 4. 6 8 3x x (14 + 2x) ⋮ 3

x 2, 5, 8; 54 4 4y y * y 2, 4, 6, 8. 5. 1 + 7 + 72 + 73 = 400; A are 2016

termeni, 2016 ⋮ 4; A = 7[(1 + 7 + 72 + 73) + (74 + 75 + 76 + 77) +…+ (72012 + 72013 + 72014 + + 72015)]; A = 7 400(1 + 74 +…+ 72012) ⋮ 400. 6. 97 prim 97 are 2 divizori. 99 = 32 11 are (2 + 1)(1 + 1) = 3 2 = 6 divizori.

Testul 4

1. 5x y ⋮ 3 (x + 5 + y) ⋮ 3 x + y 1, 4, 7, 10, 13, 16; x = y + 2 2y + 2 1, 4, 7, 10,

13, 16 şi cum 2 2y + 2 2y + 2 4, 10, 16; y 1, 4, 7; 5x y 351, 654, 957.

2. 1332 = 22 32 37 36 37 = 1332; 3. abc cba 101(a + c) + 20b = 121b ⋮ 121. 4. 12 =

= 22 3 a 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9. 5. Presupunem că există a astfel încât a = 25b + 15 şi

a = 15c + 6 a = 5(5b + 3) a ⋮ 5, cum 15c ⋮ 5 6 ⋮ 5 (F). 6. a = (1n + 2n) + (3n + 6n) + + (5n + 10n) = (1n + 2n) + 3n(1 + 2n) + 5n(1 + 2n) = (1n + 2n)(1 + 3n + 5n) a compus; b) n = = 2k + 1 1n + 2n = 1 + (M3 – 1)2k + 1 = 1 + M3 – 1 = M3 a ⋮ 3.

9

CAPITOLUL 2 Mulţimea numerelor raţionale pozitive

2.1. Fracţii echivalente; fracţie ireductibilă; noţiunea de număr raţional; forme de scrierea unui număr raţional;

1. a) 1 2 3 6

; ; ;6 7 8 11

; b) 0 13 26 39

; ; ;17 17 17 17

; c) 2 4 3 4 3 4

; ; ; ;1 2 1 1 2 3 ; d)

0 1 2 3 4 5 6; ; ; ; ; ;

7 7 7 7 7 7 7. 2. a)

20 5

12 3 ;

b) 51 34

39 26 ; c)

12 36

13 38 ; d)

44 48

77 84 . 3.

7 35 98 140 105 861 7035 14098; ; ; ; ; ; ;

14 21 133 77 203 679 1771 14105.

4. 1 4 7 4 5 2 12 8

; ; ; ; ; ; ;3 3 3 7 4 3 25 5

. 5. a) 14 21

;18 12

; b) 4 16

;5 20

; c) 1 5

;2 10

; d) 6 30

;2 10

. 6. a) 0,1; 7,3; 0,23;

0,051; 1,4337; b) 3,5; 0,375; 1,8; 1,16; 0,215; c) 0,(6); 1,(1); 2,(7); 5,(72); 0,(142857); d) 0,8(3); 1,0(45); 3,5(3); 13,08(3); 0,4(81). 7. a) n = 0; b) n 0, 1, 2, 3, 4; c) n 0, 1, 2,

3; d) n 0, 1, 2. 8. a) n *; b) n – 0, 1, 2; c) n – 0, 1, 2, 3; d) n – 0,

1, 2. 9. a) 2; b) 4; c) 2; d) 3. 10. a) n 1, 2; b) n 0, 1, 2, 3; c) n = 0; d) n 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 11. a) n 6; b) n 4, 5, 6; c) n 0, 1; d) n 0, 1, 2. 12. a) 42; b) 8; c) 2;

d) 14. 13. a) 24

56; b)

2

5; c)

27

18; d)

28

16. 14.

26

117. 15.

40

56. 16.

33

39. 17. a) m = 15, n = 3; b ) m =

= 34, n = 3; c) m = 2, n = 3; d) m = 32, n = 8; e) m = 110; n = 37; f) m = 9, n = 5. 18. a) 167; b) 41; c) 70; d) 430; e) 2; f) 50. 19. a) n 1, 2, 3, 4, 6, 12; b) n 0, 1, 3, 5, 9, 21; c) n

0, 2, 3, 17; d) n 0, 1, 3, 7. 20. n = 2k, k , n = 5k – 1, k *; c) n = 11p + 2, p .

22. A = 4, 5, 7, 8, 13, 23; B = 7, 15, 23, 31, 39, 47 iar A B = 7; 23. 24. a) 1

10; b)

29

37;

c) 1

91; d)

4

5; e)

2

5; f)

1

2. 25. a) a,(b) + b,(c) + c,(a) =

10( )

9

a b c a + b + c 9, 18

(a, b, c) (1, 2, 6); (1, 3, 5); (2, 3, 4); (1, 8, 9); (2, 7, 9); (3, 6, 9); (3, 7, 8); (4, 5, 9); (4, 6, 8);

(5, 6, 7); b) a,b(c) + b,c(a) + c,a(b) = a + b + c + 9 9 9

90

b c c a a b a + b + c +

9

a b c a + b + c 9, 18 cu aceleaşi sol. de la pct. a); c) 0,a(bc) + 0,b(ca) +

+ 0,c(ab) = 99 10 99 10 99 10

990

a b c b c a c a b =

110( )

990 9

a b c a b c cu ace-

leaşi soluţii de la punctul a). 26. Elementele 2001 2002 2003

; ;2 3 4

sunt de forma 1999 n

n

1 +

+ 1999

1 ,n

n *, n 2. Cum 1999 este număr prim, avem 1 +1999

n pentru n = 1999,

deci 1999

, , 2n

n nn

are un singur element, adică numărul 2. 27. a) Observăm

că n ≠ 0. Avem 2n + 3 6n – 1 2n + 3 3(2n + 3) – (6n – 1) 2n + 3 10. Obţinem n = 1;

10

b) n2 + 2n 3(n2 + 2n) – (3n2 + 4n + 2) n2 + 2n / 2n – 2. Cum n2 + 2n >2n – 2, pentru orice

n , rămâne doar soluţia n = 1. 28. a) a 0; a2 + b2 + c2 25 a2 + b2 + c2 1, 5, 25

A = 100, 102, 120, 201, 210, 304, 340, 403, 430, 500; b) a 0; a2 + b2 + c2 / 50 a2 + + b2 + c2 1, 2, 5, 10, 25, 50 B = 100, 101, 110, 102, 120, 201, 210, 103, 130, 301, 310, 304, 340, 403, 430, 500, 345, 354, 453, 435, 534, 543, 505, 550.

2.2. Adunarea numerelor raţionale pozitive; scăderea numerelor raţionale pozitive

1. a) 15

8; b)

107

18; c)

166

7; d)

243

19. 2. a)

34

7; b)

131

14; c)

17

12; d)

1443

23. 3. a)

8

3; b)

13

3;

c) 4

3; d)

14

9; e)

2

3; f)

2

3; g)

3

7; h)

1

4. 4. a)

21

36;

22

36; b)

75

60;

48

60;

35

60; c)

28

60;

50

60;

66

60;

d) 84

180;

8

180;

39

180. 5. a)

43

18; b)

39

20; c)

81

72; d)

50

42; e)

5

28; f)

1

56; g)

7

68; h)

11

78. 6. a)

13

6;

b) 41

28; c)

101

42; d)

407

104; e)

9

20; f)

29

15; g)

79

132; h)

7

30. 7. a)

31

12; b)

37

48; c)

53

225; d)

173

60;

e) 19

36; f)

35

72; g)

47

210; h)

112

105. 8. a) 0,37; b) 8,1; c) 1,5; d) 3,25; e) 1,13; d) 1,15; e) 0,38;

f) 0,496. 9. a) 4,13; b) 15,73; c) 3; d) 69,234; e) 0,26; f) 8,73; g) 115,021; h) 106,213.

10. a) 5,(6); b) 4,9; c) 9,(06); d) 4,(34); e) 5,1(24); f) 12,5(54). 11. a) 11

12; b)

55

42; c)

16

9;

d) 49

90. 12. a) 1; b) 11; c) 8; d) 7. 13.

173

18. 14.

192

90; 15. a)

5 126

12

n ; b)

111

36

n. 16. a) 3;

b) 8; c) 10; d) 2; e) 9. 17. a) 0; b) 0; c) 9

8; d) 0. 19. a)

11

15; b) 0,45; c) 1,4(2); d) 10(8).

20. a) 17

118

; b) 4

19

; c) 2

15

; d) 2

3. 21. a) 5; b) 1; c) 2. 22. a)

4 3

56

3 5; b)

2 3

1

2 3. 23. a)

51

4; b) 9;

c) 19; d) 19. 24. 4030. 25. a) 5; b) 8; c) 5

4n; d)

7 20

2( 1)

n

n

; e) 2

37

6n . 26. 7

12din suprafaţă;

5

12.

27. 30, 01; 28. 1,65 kg. 29. 5,625 kg; 11,5 kg; 5,125 kg. 30. b) 2015

2016. 31.

2016

2017. 32. a) Sn =

= 4( 1)

n

n ; b) n = 3.

33. 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1... ...

2 3 1 2 2 3 ( 1)

n

n n n n

;

2 2 2

1 1 1 1 1... ...

2 3 2 3 3 4n

+

+ 1 1

( 1) 2 2

n

n n n

. 34.

3 3 3

1 1 1 1 1 1... ...

2 3 1 2 3 2 3 4 ( 2)( 1)n n n n

= 1 3 1 4 2 ( 2)

...2 1 2 3 2 3 4 ( 2)( 1)

n n

n n n

= 1 1 1 1 1 1 1

...2 1 2 2 3 2 3 3 4 ( 2)( 1) ( 1)n n n n

1 1 1 1

2 2 ( 1) 4n n

.

11

2.3. Înmulţirea numerelor raţionale pozitive

1. a) 3

;17

b) 42

;43

c) 15

;7

d) 52

;5

e) 95

;6

f) 64

;11

g) 5

2. 2. a)

27;

2b)

109;

7c)

482;

11d)

2324

5.

3. a) 4

;35

b) 10

;13

c) 3

;7

d) 32

;45

e) 15

;28

f) 6

.5

4. a) 7; b) 1

;3

c) 5

;9

d) 1. 5. a) 6; b) 31

;2

c) 1

;5

d) 14. 6. a) 3,7; b) 152,3; c) 4; d) 73000. 7. a) 212,5; b) 1719,6; c) 11,4; d) 21063. 8. a) 7,35;

b) 1,43; c) 1,2542; d) 1,026. 9. a) 3; b) 18; c) 3,375; d) 299,218. 10. a) 59

;20

b) 44

;3

c) 243

;20

d) 133

.4

11. a) 5 4

5 4 4 5 ;7 7

b) 1,5 3,14 5(6) 0,84; d) 3 11

0,1 1 0,44 25

. 12. a) 1

;3

b) 1

;2

c) 1

;4

d) 1

7. 13. a)

11;

3 b)

9;

8 c)

5;

6 d) 1. 14. a)

2;

5 b)

32;

3 c) 1. 15.

23 5; .

12 12 16.

17 31; ;

24 48

13.

45 17.

1 1 1 4; ; ; .

10 15 6 15 18. 22,95 lei. 19. 4,4 ha. 20. 125,4 cm; 21. A = 1008; B =

1.

2015

22. b) 33

;202

c) 1001

.12030

24. 2016

2015

2 1.

2

25.

2016

2016

3 1.

3

26. A = 2

1 1 1...

2 2 2n

2 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1 5(2 1)1 ...

3 2 2 2 2 3 2 3 2

n n n

n n n n

.

27. A =3 4 5 1 1 2 3 1 1 1 ( 1)( 2)

... ...2 3 4 2 3 4 2 2

n n n n n

n n n n

. Numerele n – 1, n – 2

au parităţi diferite. Dacă n = 2k avem A = (2 1)( 1)k k

k

şi luăm m = k. Dacă n = 2k + 1 avem

A = (2 3)

2 1

k k

k

şi luăm m = 2k + 1.

2.4. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr raţional pozitiv; reguli de calcul cu puteri

1. a)1

125; b)

49

9; c) 0,0081; d) 1,44; e) 2,(47); f)

64

225; g)1; h) 1. 2. a)

42

3

; b) 30, 5 ;

c)3

7

11

; d)2

13

9

; e)19

2;

3

f)9

12;

7

g)15

1;

4

h)28

21.

19

3.2 4 0 1 8

2 2 2 2 2; ; ; ; ;

3 3 3 3 3

52

.3

4. 3 3 3 3

3 31 7 11 81; ; 0,2 ;6 ; ; .

5 2 9 100

5. a)673

;81

b)433

27; c) 0,1875 ; d)

829;

8100e)

56

27;

f)67

.32

6. a) 5,29; b)27

3,375.8 7. a)

3;

11 b) 1; c) 0; d)

21

10. 8. a) 72n 7n = (72)n+1 73n = 72n+2

3n = 2n + 2 n = 2; b) (2,5)8+n = (2,5)2n+2 8 + n = 2n + 2 n = 6; c) 6 184,(3) 4,(3)

n

6n = 18 n = 3; d) 2 12,1(7) 2,1(7)

n n 2n = n + 1 n = 1. 9. a) 3243 > 9121 = 3242;

12

b) 125 25

5 7;

7 5

c) 76 6 73

6

2

16 8 2 80,1(7) ;

90 45 3 5 45

736

2

20,1(7)

3 5

;

d) 16 16

16 6 20,(6) ;

9 3

8 16

4 2

9 3

8

1640,(6) .

9

10. a)16

;625

b) 21; c)2

7; d)

16.

25

11. a)1

36; b) 1. 12.

1 2 2 1

11 2 2

7 1 2 ... 21 51

75 1 2 ... 21

. 13.

12 13 135 5 5 5

1 ... : ... 18 8 8 8

= 2 12 2

625 5 52 12

1000 8 8

n n

n

n = 6. 14. 4 1

2 2 2

(2 7) (7 5) 5

(2 7) 5

n n n

n n

= 4 1

4 2 2

2 7 7 5 55

2 7 5

n n n n n

n n n

. 15. a) 3480 = (35)96 = 24396; 6288 = (63)96 = 21696 3480 > 6288;

b) 5600 = (54)150 = 625150 (1); 8450 = (83) = 512150 (2); (1) şi (2) 5600 > 8450; c) Conform

punctului a), 3480 > 6288 2014 + 3480 > 2014 + 6288 480

288

2014 31

2014 6

. Conform punctului b),

8450 < 5600 2015 + 8450 < 2015 + 5600 450

600

2015 81

2015 5

. 16. Dacă x = 2, y = 4 xy – yx =

= 24 – 42 = 16 – 16 = 0, deci produsul = 0. 17. a)1 1 1

...1 2 2 3 2014 2015

= 1 1

1 2

1

2

1

3

1...

2014

1 2014

2015 2015 ; b)

21 1 1

2 2 2 1 2

; 2

1 1 1

3 3 3 2 3

; …;

21 1 1

2015 2015 2015 2014 2015

. Adunând membru cu membru relaţiile obţinem:

2 21 1 1 1 1 2014

... ...2 2015 1 2 2 3 2014 2015 2015

. 18. Demonstrăm că, pentru orice

n *, avem:

1

1

11

1

nn

nn

n n

n n

. Avem nn+1 + (n + 1)n < nn + (n + 1)n+1 nn(n – 1) <

< (n + 1)n(n + 1 – 1) nn(n – 1) < (n + 1)n n, care este adevărată, deoarece nn < (n + 1)n şi

n – 1 < n; pentru n = 2014 2015 2014

2014 2015

2014 20151

2014 2015

. 19. Avem

2

1 1 1 1

( 1) 1n n n n n

,

rezultă că: 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 2 3 3 4 1 2 1nSn n n n

=

3 1

2 1n

1500 1

1000 1n

. Luăm n = 999, atunci 999S >

1500 11,499.

1000

20. 51800 = (55)360 =

= 3125360 (1); 71440 = (74)360 = 2401360 (2); Din (1) şi (2) 51800 > 71440 şi deci, 1800

1440

51

7

n

n

;

2360 = (23)120 = 8120 (1); 3240 = (32)120 = 9120 (2). Din (1) şi (2) 2360 < 3240 şi deci, 360

240

21

3

m

m

. Rezultă că

1800 360

1440 240

5 2

7 3

n m

n m

.

13

21. a) 1 2 3 2 3 1 3 1 2

31 2

1 1 1 1 1 11 1 13 3 3 3 3 3 3

3 3 3a a a a a a a a a

aa a

= 27. Minimul expresiei

este 27 şi se obţine pentru a1 = a2 = a3 = 1; b) Analog, minimul expresiei este 2n şi se obţine pentru a1 = a2 =…= an = 1.

2.5. Împărţirea numerelor raţionale pozitive

1. a) 1

5; b) 7; c)

9;

29d)

11;

3e)

5;

2f)

2;

3g)

30;

7h)

9;

196i)

5;

17j)

6.

29 2.

1 1 1 1; ; ;

11 12 13 14.

3. a b a–1 b–1 a : b b : a 3

7

9

14

7

3

14

9

2

3

3

2

1

5

4

25 5

25

4

5

4

4

5

1 72

3 3

35

18

3

7

18

35

6

5

5

6

4. a) 0,925; b) 25; c) 1,2372; d) 0,01; e) 0,0273; f) 3,6875. 6. a)65

;6

b)32

;15

c)3

;2

d)5

;119

e)2

;3

f) 10. 7. a) a = b; b) a < b; c) a > b; d) a > b; e) a < b; f) a = b. 8.261

136. 9. 420. 10. a)

7;

6

b) 38

;3

c) 3

;2

d) 3

10; e)

2;

3 f)

1

60. 11. a)

1;

12 b)

3;

25 c)

25;

6 d)

4;

3 e)

16;

25 f) 5. 12. a)

51

25;

b) 369

46; c)

1

6; d)

7

16; e)

13

36; f) 1. 13. 14 zile. 14. 28 elevi. 15.

61

56. 16.

32.

14717. n 0, 2, 6,

14. 18. 2 3 1 1 4

1 1 1 4 4

8 5 4 : 2 2 5 7 2 5 2: 5 ,

7 14 7 2 2

n n n n n n n nn

n n n n n

n . 19. n = 175. 20. 70.

21. 19

20. 22. Avem n2 + n = :

ab ac bc bc ab ac a

bc ac b

şi deci a = (n2 + n)b. Atunci

obţinem: (n2 + n + 1)b + 7c 5. Pentru n 5 obţinem mai multe triplete ca soluţii. Pentru n = 6 avem 43b + 7c 50 doar pentru b = 1, c = 1 şi atunci a = 42.

2.6. Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale pozitive

1. a) 0,6; b) 0,3; c)1

25; d) 1; e)

4;

5f)

5

9. 2. a) F; b) F; c) F; d) F; e) A; f) F. 3. a) 0,8125; b) 4,5;

c) 1,15; d) 5,98(3); e) 2,(3); f) 2,5. 4. a)133

6; b)

7

20; c)

7

12; d) 2; e)

25

13; f) 245. 5. A = 1 .

6. 0. 7.1

.3

8.9

.2

9.77

.47

10.1

2016. 11. 39. 12.

1.

313.

1.

714.

102.

13715.

25.

1216.

4.

8117.

1011

10000.

18. A = 114

4A . 19. a = 3, b = 21, c = 0, E =

441.

16 20.

75.

44

14

21. 2011 1 1

2014 32014 12011 2011

1 1;

1 11 1

2011 1670

3 3

a = 1, b = 670; c = 3. 22. a = 16;

a3 + 2a = 163 + 216 = 212 + 216 = 212(1 + 24) = 212 17 ⋮ 17. 23. 2015. 24. 16.

25. a) 1) 2)2 1 2 2 2

2 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

n n n n n

n n n n n n

; b) a =

2 1 1 2 11 ...

3 2 4 6 5

+

1 2 1

2014 2016 2015

; a =1 2 1 1 2

1 ...2 3 4 5 6

1 1 1

;2014 2015 2016

a =1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 3 ... ;2 3 4 5 2016 3 6 2016

a = 1 +1 1

2 3 +

1 1 1... 1 ... ;

2016 2 672

a =1 1 1

...673 674 2016

;

(a – b)-1 = 2016 = 25 32 7 (a – b)–1 are 6 3 2 = 36 divizori naturali.

2.7. Media aritmetică ponderată a mai multor numere raţionale pozitive

1. a) 4,1(6); b) 8,64. 2. a) 10; b) 2,12(6); c) 0,808(3). 3. a) 7,(1); b) 0,6(4); c) 0,85(50). 4. 3,012. 5. 24,5. 6. 17,5. 7. 9,125; 8. 4 lei şi 90 de bani. 9. 14. 10. a) 8,8; b) 8,6 ≃ 9. 11. a) 1,6;

b) a =11

5, b =

4

15, c =

7

3. 12. a) 6,58; b) 7,04; c) 6,58 < 7,04. 13. a) 850 km; b) 85 km.

14. 55 lei şi 20 bani. 15. a) 13; b) 12; c) 25. 16. 46 lei. 17. 12,77; 12,(6); 12,77 > 12,(6). 18. b = = 3,5; a = 1,75; c = 5,25. 19. b = 7; a = 5; b = 9. 20. a) 1 + 3 + 5 + … + 1001 = 5012;

b) map =501

1.502

21. b) 2 1

3

n .

2.8. Ecuaţii

1. a)13

;5

b)1

;3

c)49

12; d)

11

4; e)

112;

65f)

13

8; g)

14

15; h)

145

36. 2. a)

15;

2b)

1;

26c) 15; d)

1

10; e)

119;

132

g)4

;3

h)1111

1080. 3. a) 2; b)

1

4; c)

78

5; d)

79

60; e)

23

12; f) 10 ; g)

49

30; h)

1

24. 4. a)

37;

20b)

134

15.

5. 0,2 este o soluţie a ecuaţiei date. 6. a) S =23

12

; b) S = ⌀; c) S = 0, 25; d) S =5

4

; e) S =

= 0,8(3); f) S =11

3

. 7. a) 1; b) 4; c)4

;5

d)47

;6

e)352

;735

f)25

13. 8. a)

33;

5b) 7; c) 3; d)

1

4.

9. a) 2; b) 3; c) 1; d) 3. 10. a) a = 3, b = 2; b) (a, b) (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2);

(6, 1); c) a = 3; d) a = 3. 11.1 25 ) 5 )

5 ) 5 )2

1 1 1 11 ... 5

5 5 5 5

n n

n n

n nx

1 1 1

1 15 5 ... 1 5 1 5 11 5 ... 5 5 1 5 1 4.

5 5 4

n n n nn n n

n nx x x x

15

12. 3 1 1 1 0x a x b x c x a x b x c

b c c a a b b c c a a b

x a b c

b c

1 1 1

0 ( ) 0x b c a x c a b

x a b cc a a b b c c a a b

.

Cum 1

b c

1 1

0,c a a b

rezultă că x – a – b – c = 0, deci x = a + b + c. 13. (a + b + c +

+ d) 4 42 5abc . Cum abc 10000, rezultă abc 100, 200, 250, 400, 500, 625. Obţinem

6253.abcd 14. 10 = a + b + c + 9.9

a b ca b c

Ecuaţia are soluţiile: (1, 2, 7);

(1, 3, 6); (1, 4, 5); (2, 3, 5) şi permutările acestora. 15. x + y + 2

69

y z x , unde x 1, 2,

3, 4. Obţinem ecuaţia 7x + 10y + z = 54 7x + yz = 54 şi deci 147,240,333,426xyz .

16. Se impun condiţiile: x ≠ y; x, y 1, 2, …, 8. Avem 4 100( )

900 9 900

xxy xx yyx yy x y

4

9 4.x y Ecuaţia are soluţiile (1, 3) şi (3, 1). 17. Avem x ≠ y, y ≠ 0, y ≠ 9. Ecuaţia este

2 299 90 9 (10 )

90

x y xxy y x y x y

y

. Cum 9 y2, rezultă că y 3, 6. Obţinem

y = 6, x = 1. 18.1 9

1 90

x y

x y

(x + y – 1)(9x + y) = 90. Rezultă x + y – 1 90 şi deci

x + y – 1 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15. Se obţine soluţia (1, 6). 19. 99

x xy

y 99x = y xy .

Ecuaţia nu are soluţii. 20. 1000 .1000

x xyzxyz y z t x

y z t

Divizorii lui 1000 care

sunt numere de trei cifre care sunt 100, 125, 200, 250, 400, 500. Pentru xyzt se obţin soluţiile

1251, 2503. 21. 2 99 10 99 10 99 10

990 9

a b c b c a c a b a b cn

a + b + c =

= 9n2. Cum a ≠ b ≠ c ≠ 9, rezultă că a + b + c 24. Rezultă că n = 1 şi deci a + b + c = 9. Avem soluţiile (1, 2, 3); (1, 2, 6); (1, 3, 5); (2, 3, 4) şi permutările acestora. 22. Obţinem

aceeaşi ecuaţie ca la exerciţiul 21. 23. 1 1 9 990 9991,3 .

0,( ) 0,0(0 )a

a a aa a

24. 10x + y +10 10

0.90 9

x y x y x y x yx y x

Problema nu are soluţie.

25. x + y + z +9 9 9

90 90 90 9

y z z x x y tt x y z t

. Cum x, y, z sunt cifre nenule

distincte, rezultă că t = x + y + z 6, 7, 8. Rezultă că xyzt1236, 1326, 2136, 2316, 3126,

3216, 1247, 1427, 2147, 2417, 4127, 4217, 1528, 2158, 2518, 5128, 5218, 1348, 1438, 3148, 3418, 4138, 4318.

16

2.9. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor

1. 17 2

, .3 3

2.88 33

, .5 5

3. 17 3

, .3 4

4. 18,8. 5. 51, 375; 17, 125. 6. 1 2

( 1) 183 5

n n n = 24, n + 1 =

= 25. 7. 250 . 8. 1,4 2 1,4 3 1,4 ... 1,4

29,4 41.n

nn

9. L = 25 cm, l = 21,35 cm.

10. a > b, a – b = 25; a = b q + 7 b(q – 1) = 18, b > 7 b1 = 9; b2 = 18 a1 = 34; a2 = 43.

11. 620 km. 12. 16 elevi. 13. 58, 28. 14. 24, 30. 15. 12,7 şi 24,75. 16.5 757

; ;3 6

x a b = 873;

611.

6c 17. 8 ani; 8 ani. 18. 120 pâini. 19. 29 răspunsuri corecte; 11 răspunsuri greşite.

20. 30%. 21.41 121 53 53

; ; ; .60 60 30 15

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

1. 3,041(6). 2. 3,402; 3,4(02); 3,40(2); 3,(402). 3. 19. 4. 8. 5. 11

70. 6.

23

2. 7.

31

24. 8.

9

10. 9. 4.

10. 3

5. 11. 1. 12. 151,2 m.

Testul 2

1. 36

55. 2. B; 3. 6; 4. 120. 5.

11

12; 6. 1,1; 7.

2

19. 8. 0,59. 9.

5

39; 10. 0; 11.

3

4; 12. 27,9 km.

17

GEOMETRIE

CAPITOLUL 3 Dreapta

3.1. Punct. Dreaptă. Plan

1. a) F; b) F; c) A. 2. a) A; b) A; c) A; d) A. 3. a) F; b) F; c) A. 4. a) A; b) F; c) F. 5. a) A; b) F; c) F. 6. a) F; b) F; c) A. 7. a) A; b) F; c) F. 8. a) F; b) A; c) F. 9. a) A; b) F; c) A; d) A; e) A. 10. a) A, B, C, D, A', B', C', D'; b) AB, BC, CD, AD, A'B', B'C', C'D', A'D', AA', BB', CC', DD'; c) (ABC), (A'B'C'), (ABB'), (BCC'), (CDD'), (ADA'). 12. a) B, C, D şi nu se găseşte A; b) B; c) D. 15. a) A, B, C, D; b) V, B, C; c) AB, BC, CD, AD; d) VB, VC, BC; e) BC. 16. O infinitate de drepte. 17. a) AB, AC, AD, BC, BD, CD; b) 6. 18. a) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE; b) 10. 19. a) A, B, C, D; b) B, C, B', C'; c) AD, DD', D'A', AA', AD', DA'; d) AB, BC, CD, AD, AC, BD. 20. A, B, C coliniare A BC; B, C, E coliniare E BC A, E BC A, B, C, E sunt coliniare. 21. Cele 4 puncte coliniare determină o dreaptă. Cele 6 determină 15 drepte. Punctul A cu cele 6 puncte determină maximum 6 drepte şi minimum 5 drepte. Analog, pentru celelalte 3 puncte, B, C, D. În concluzie avem un număr maxim de 1 + 15 + 24 = 40 drepte şi un număr minim de 1 + 15 + 20 = 36 drepte. 22. Fie k puncte necoliniare. Atunci 10 – k sunt coliniare. Deci numărul de drepte se obţine astfel: oricare punct din cele necoliniare generează cu cele coliniare 10 – k drepte, în total k(10 – k). cele coliniare generează încă o

dreaptă. Cele k necoliniare generează ( 1)

2

k k drepte. În total k(10 – k) + 1 +

( 1)

2

k k 40;

k(19 – k) = 78 k = 6. Între cele 10 puncte sunt 6 puncte necoliniare şi 4 puncte coliniare.

3.2. Semidreapta. Semiplanul

1. a) F; b) A; c) A; d) F; e) A; f) A; g) A; h) F. 2. a) F; b) A; c) A; d) F; e) A; f) A; g) F; h) A. 3. a) A; b) A; c) F; d) F; e) A; f) A. 4. a) A; b) A; c) A; d) F; e) F; f) A; g) F; h) F. 5. a) [AB; b) (AB; c) (AB; d) [dA; e) (dA; f) (dA. 9. a) (OA; b) AB. 10. a) A; b) F; c) F; d) A; e) A; f) F; g) A; h) A; i) F; j) A; k) F; l) A. 11. a) A; b) F; c) A; d) F; e) A; f) F; g) A; h) F; i) A. 15. a) 2013; b) 2015. 16. a) (MN; b) (NM; c) [MQ; d) N; e) (NQ; f) (NM; g) [NQ. 17.

[AB (BC [CD (BA [ED A da nu nu da da B da nu nu nu da C da da da nu da D da da da nu da E da da da nu da

3.3. Poziţiile relative a două drepte

1. a) identice; b) concurente; c) paralele; d) concurente. 2. c). 3. a) şi b). 4. b). 5. b). 6. a). 8. a) A; b) F; c) A; d) F; e) A. 9. a) a şi d; a şi g; b şi d; b şi g; b) a şi b; d şi g. 10. a) A; b) F; c) A; d) F; g) A; h) F. 14. a) (AB, A'B'), (AB, DC), (AA', BB'), (BB', CC'); b) (AB, DD'), (AB, CC'), (BC, DD'), (BC, AA'); c) (AB, BC), (AB, AD), (AB, BB'), (AB, AA'); d) AB, BC, BB' concurente

18

în B. 15. a) 8; b) 5; c) MA cu ET, ME cu AT; d) VM cu VA, VM cu VT, VM cu VE, etc.; e) VM cu ET, VA cu ET etc.; f) VM, VA, VT, VE. 16. a şi b drepte concurente. 17. Dreptele fiind distincte ele se află în una din situaţiile: a) b) c) d) Numărul maxim de regiuni se obţine pentru cazul din figura d). Dacă am aşeza câte un punct în fiecare regiune, ar fi necesar 7 puncte. Având însă 8 puncte, rezultă că în cel puţin o regiune vor fi două puncte, conform „principiului cutiei”. 18.

3.4. Segmentul

1. a) A; b) F; c) A; d) F. 3. a) ; b) ; c) 4. a) F; b) A; c) A; d) A; e) F; f) F. 5. (MN (NM = (NM). 6. a) A; b) A; c) F. 7. a) F; b) A; c) A; d) A; e) A; f) F. 8. a) A; b) F; c) A; d) F; e) A; f) A. 9. [AP], [AB], [AQ], [AC], [BP], [BC], [BQ], [CQ], [CP], [PQ]. 10. (AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD). 11. a) [AD]; b) [BD]; c) [CD]; d) [BC]; e) [AC); f) [AC] D. 12. a) [AC]; b) (AM); c) Q; d) ; e) [AP); f) C. 13. a) [AB]; b) [AB); c) B; d) A; e) [AP); f) (PB). 14. (AC) (BD) = O; (AQ) (BD) = = P; (AR) (BD) = P; (AR) (DC) = Q; (PR) (DC) = Q. 15. Dacă toate cele n puncte sunt coliniare, atunci oricare pereche de puncte formată din câte două puncte din cele n este soluţie a problemei. Fie 2 ≤ m < n astfel încât m puncte sunt pe aceeaşi dreaptă d, iar celelalte n – m nu se află pe d. Atunci oricare două puncte din cele m formează o soluţie a problemei. În cazul m = 1, două puncte din cele n – 1 îndeplinesc condiţia cerută. 16. Cele 7 puncte diferite determină 7 6 : 2 = 21 segmente diferite două câte două. Din principiul cutiei rezultă: cazul cel mai nefavorabil este ca din 20 segmente, 5 să aibă culoarea verde, 5 să aibă

I II

III

IV

I II

III IV V

VI

I

II III IV

V VI

I

II

III

IV

V VI

VII

A B C D A B

C

D A B C D

19

culoarea albastru, 5 să aibă culoarea roşie iar 5 să aibă culoarea galben. Al 21-lea segment va fi colorat cu una din cele 4 culori şi atunci avem 6 segmente colorate cu aceeaşi culoare.

3.5. Lungimea unui segment; distanţa dintre două puncte. Segmente congruente; construcţia unui segment congruent cu un segment dat; mijlocul unui segment; simetricul unui punct faţă de alt punct

1. I) a) F; b) F; c) A. II) a) F; b) A; c) F. III) a) F; b) F; c)A. IV) a) A; b) F; c) F. 2. [AB] [CD] [DE] [GH]; [EF] [IJ] [JK]. 3. a) A; b) F; c) F; d) A; e) A; f) A; g) A; h) A; i) F. 5. AB = PQ [AB] [PQ]. 6. a) BC = AC – AB = 2 cm; b) AC = AB + BC = 10 cm. 8. BA' = = 5 cm. 9. Avem 2 situaţii: 1) B este între A şi C AC = AB + BC = 12 cm; 2) A este între C şi B AC = BC – AB = 4 cm. 10. a) AB + BC = AC B (AC); b) BC + CD = BD C (BD); c) CD + DE = CE D (CE), deci D este între C şi E. 11. a) AC = CB = BD = 5 cm AD = 15 cm; b) BD = AD : 3 = 4 cm. 12. BC = AC – AB = 3 cm, CD = BD – BC = 5 cm, AD = = AC + CD = 10 cm. 13. Fie M mijlocul lui [AB] MA = MB. B' = simAB [AB'] [AB], A' = simBA [AB] [BA']. Din [AB'] [BA'] şi [AM] [MB] [B'M] [MA'] M este mijlocul lui [A'B']. 14. Notez cu 2x lungimea segmentului 3 2x = x + 20 x = 4 cm 2x = 8 cm. 15. Fie AB = 2a, CD = 2b, BC = 2x AC + BD = 2(a + x) + 2(b + x) = 2(a + b + + 2x) = 2 MN. 16. Luăm AB = 12x, AC = 9x, AD = 11x. Atunci CD = 2x, CN = x, AP = 6x, PC = 3x, NP = 4x. Rezultă că AB = 3 NP = 3 3,5 = 10,5 cm. 17. a) A1A24 = A1A2 + A2A3 +…+ + A23A24 = 1 + 2 +…+ 23 = 276; b) A7An = A7A8 + A8A9 +…+ An-1An = 7 + 8 +…+ (n – 1) =

= 279. Obţinem ecuaţia:( 1) 6 7

2792 2

n n cu soluţia n = 25; c) dacă M este mijlocul [A1A4]

şi N mijlocul [A21A24], A1M = 3, A1N = A1A21 + A21N = 210 + 33 = 243 MN = 240 cm. 18. a) Dacă suma a 10 numere naturale nenule şi diferite este egală cu 55, atunci mulţimea formată de ele este S = 1, 2,…, 10. De unde obţinem că AM1, M1M2,…, M9B = 1, 2,…,

10; b) Fie M mijlocul lui [AB] AM =55

2, deci AM nu se poate scrie ca sumă de numere

naturale, de unde M Ï M1, M2,…, M9. 19. Ce analizează cazurile C (AB), B (AC), A

BC. I) Luăm B (AC), P (AB). Notăm AM = BM = a, BN = CN = b, AC = 2(a + b), AP =

= CP = a + b. Dacă Q este mijlocul lui [MN], avem MQ =2

a b, AQ = a +

3

2 2

a b a b .

Dacă R este mijlocul lui (BP), avem PR =2

a b, AR =

3

2

a b; II) Luăm apoi cazul B (AC),

P [BC]. 20. Avem AN1 = a, AN2 = 2a, AN3 = 22a,…, ANn = 2n-1 a, AB = 2n a. Din 2n a = = 256 = 28 rezultă că perechile (n, a) sunt (2, 64), (3, 32), (4, 16), (5, 8), (6, 4), (7, 2), (8, 1);

b) Dinn 2i-1 a = 212

8n a rezultă i – 1 = n – 5 şi deci i = n – 4. Perechile (i, n) sunt (1, 5),

(2, 6), (3, 7), (4, 8).

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

1. a) A; b) F; c) A; d) A. 2. a) [PQ]; b) (AB. 3. 4.

A B M P M

QN

R d

20

5. MP = MN + NP = 5,2 cm; MQ = MP + PQ = 13 cm; NQ = NP + PQ = 9,5 cm. 6. a) BQ = = AB – (AP + PQ) = 2 cm AP = BQ = 2 cm [AP] [BQ]; b) Fie M mijlocul lui [AB]

AM = BM =2

AB= 4 cm; AM = AP + PM PM = 2 cm; BM = BQ + QM QM = 2 cm

PM = MQ = 2 cm M mijlocul lui [PQ].

Testul 2 1. a) F; b) A; c) F; d) A. 2. a) (AB); b) [MN. 3. Se formează dreptele: AB, AC, AD, BC, BD, CD. 4. 5. a) [AB]; b) A; c) (AE]; d) [AE). 6. a) BC = AC – AB = 2,5 cm;

CD = BD – BC = 5,5 cm; AD = AB + BD = 12 cm; b) Fie M mijlocul

lui [AB] şi N mijlocul lui [BD] MN =12

2 2 2 2

AB BD AD 6 cm.

Testul 3

1. a) A; b) F; c) A; d) A. 2. a) coliniare; b) identice. 4. 5. Notăm cu 2x lungimea segmentului 2 2x = x + 15 x = 5 cm 2x = 10 cm. 6. a) AB = = AC – BC, CD = BD – BC; AC = BD AB = CD (1); Fie M mijlocul lui [BC] MB = MC (2); MA = AB + MB şi MD = CD + MC (3); din (1), (2) şi (3) MA = MD M mijlocul lui [AD]. b) Fie AB = a AC = BD = a + 2 BC = AC – AB = 2.

Testul 4

1. a) F; b) A; c) A; d) F. 2. a) închis; b) congruente. 3. 4. a) A, B, C, D; b) BC, CC', C'B', B'B, BC', CB'. 5. a) AB CD, AD BC; b) AB şi BC, AB şi AD şi AC. 6. a) Fie M mijlocul lui [PQ] [MP] [MQ]; Q' = simpQ [PQ'] [PQ], P' = simQP [PQ] [QP']; Din [PQ'] [QP'] şi [PM] [MQ] [Q'M] [MP'] M este mijlocul lui [P'Q']; b) P'Q' = 12 cm.

CAPITOLUL 4 Unghiuri

4.1. Unghi. Unghi nul. Unghi alungit

1. A, F, A, F, F, A. 2. , , , ,AOC AOD BOC BOD O . 5. a) , ,MRN MRP NRP ; b) ,NMP MPN ;

c)MNP . 6. A, F, A, A, F, A. 9. [OA; O; COD ; (CD). 11. a) propriu; b) alungit; c) nul.

4.2. Măsurarea unghiurilor cu raportorul. Unghi drept. Unghi ascuţit. Unghi obtuz

6. a) 60; 75, 75; b) i) F; ii) A; c) m AOM = 165, m BOM = 105, m MOE = 180;

A

C O B d

D g

P

Q T d

E F G

H

21

m MOF = 120. 7. 40 dacă [OM Int AON şi 84 dacă [ON Int AOM . 8. a) 45;

b) 135. 9. 90. 11. 150; 180; 30. 12. 112, 68. 13. a) m AOM = m MOP = m POB =

= 45 m AON = 90; m AOB = 135; m MOB = 135; b) m AON = m MOP =

m NOB = 90 . 14. m AOB = a; m BOC = b; m COD = c a =1

2c , b = c + 25

1

2c

+ c + 25 + c = 180 c = 62, a = 31, b = 87. 15. m 1AOA = a n a = 85; n 3 n

5, 17, 85. 16. 1 + 2 + … + n = 120 n = 15.

4.3. Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade şi minute sexagesimale. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare

1. a) 64; b) 52 52'; c) 52 18'; d) 31 45' 55''; e) 44 34' 59''; f) 54 39' 39''; g) 31 14' 16''; h) 51 22' 39''; i) 61 56' 15''; j) 14 24' 34''. 2. a) 4; b) 10 18' 8''; c) 40 18'; d) 27 15' 21''; e) 24''; f) 15 24' 54''; g) 8 54' 40''; h) 26 57' 48''; i) 28 32' 38''. 3. a) 34 56'; b) 135 54''; c) 251 17' 30''; d) 70 30' 51''; e) 9 1' 4''; f) 12 44' 25''; g) 4 38' 40''; h) 86 17' 14''. 4. 20; 60; 100. 5. 90. 6. 24. 7. 24 42' 16''. 8. 10 2' 12''; 8 21' 50''. 9. 20 10' 9''; 26 53' 32''. 10. 27 21' 6''; 36 28' 8''. 11. 32 26' 4''; 81 5' 10''. 12. 25 20' 27''; 21 55' 16''. 13. 30; 60. 14. 22 30'; 67 30'. 15. 36; 144. 16. 60; 17. 55; 35. 18. 100; 80. 19. 63 42' 8''; 26 17' 52''. 20. 120; 60. 21. 45. 22. 52. 23. 180 – x = 3(90 – x) + 14 x = 52. 24. 90 – x = y, 180 – – y = 133 x = 43. 25. 180 – x = y, 90 – y = 42 x = 132. 26. (180 – x + 90 – x) : 2 = = 92 x = 43.

4.4. Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi

2. a) F; b) F; c) A; d) F. 3. 110. 4. 57. 6. m MON = 80. 7. 50; 40; 90. 8. 18; 72; 45.

9. 90. 11. 80; 100; 90. 12. m AOB = 2a m AOE = m EOB = a; m EOF = x

m AOF = a + x. m(FOB) = a – x m(EOF) = [(a – x) – (a – x)] 1

2 m EOF =

= 1m m

2AOF FOB

. 13. m AOB = a, m BOC = b, m COD = c a + b + c =

= 180, a + b = 120, b + c = 160 a = 20, b = 100, c = 60 m BOC = 100

m BOM = 50 m AOM = 20 + 50 = 70. 14. m AOB = a, m BOC = b,

m COD = c, m DOE = d; a + b = 40, b + c = 100, c + d = 80 a + b + c + d = 120

m AOE = 120, b = 30, a = 10, c = 70, d = 10. Fie [OM bisectoarea BOD

m mBOM MOD 50 m AOM = 60 şi m MOE = 60 [OM bisectoarea un-

ghiului AOE . 15. a) Fie m AOB = 2a m AOC = 2a + 90; [OM bisectoarea AOB

22

m mAOM MOB a ; [ON bisectoarea AOC m AON = m NOC = 45 + a.

m mMON AON – m AOM = 45; b) 2a = 1

3(2a + 90) a = 22 30'. 16. m AOB =

= 2a, m BOC = 2b, m COD = 2c. a) (2a + 2b) + (2b + 2c) = (2a + 2b) + (2c + 2b)

m AOC + m BOD = m AOD + m BOC ; b) Dacă 2a = 2c a = c a + 2b =

= 2b + c m AOC = m BOD ; c) m MOP = 72 a + 2b + c = 72; m AOB +

+ 2m BOC + m COD = 2a + 2 2b + 2c = 2(a + 2b + c) = 2 72 = 144. 17. 10. 18. a, b,

c prime, 5a + b + 10c = 45 b = 5, a = 2, c = 3 m AOB = 2m

5BOC , m COD =

= 3m

5BOC ; m AOB + m BOC + m COD = 130 m BOC = 65; m AOB = 26,

m COD = 39 m MOC =o65

2, m

o39

2CON m o52MON . 19. 78, 52.

20. m 2mAOB BOC 2[180 – (90 + 36 25' 27'')] = 107 9' 6''. 21. Notăm

m 2XOA a şi m YOB = 2b 2a + 2b + 90 = 180 a + b = 45

m mXOC COB = a + 45 m AOC = a + 45 – 2a = 45 – a. m mAOD DOY =

= b + 45 m COD = (b + 45) – (45 – a) = b + a = 45 m COD = constant.

4.5. Unghiuri opuse la vârf, congruenţa lor; unghiuri în jurul unui punct, suma măsurilor lor

1. a) 150, 30; b) 60, 120; c) 90. 2. a) 132; 48; b) 90. 3. 40. 4. a) 120; b) x = 30. 5. 55, 80, 85, 100, 40. 6. 119, 120, 121. 7. a) 30, 150; b) 75, 105. 8. 60, 120.

9. m AOB = a m BOC = 2a, m COD = 3a, m AOD = 4a a = 36. 10. m AOC +

+ m BOC = 180 m AOC = 60, m BOC = 120 m BOD = 60, m AOD = 120

m mAOF FOD = 60. Dacă (OE şi (OF sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta

AB, atunci m AOE = 90 m m mEOF AOE AOF = 90 – 60 = 30. Dacă (OE şi

(OF sunt în semiplane diferite determinate de dreapta AB, atunci m EOF = 90 + 60 = 150.

11. Dacă E şi C sunt de aceeaşi parte a dreptei AB m EOF = 90 + 35 = 125; Dacă E şi

C sunt de o parte şi de alta a dreptei AB m EOF = 90 – 35 = 55.

23

12.

o

m

2 2m 60

5

m

AOF a

b c aAOC b a a

COE c

b + c = 120; b – c = 40 b = 80, c =

= 40. 13. 63, 81, 99, 117. 14. 161. 16. a) m DOA = m COE m AOB = 48 50'

m BOF = 41 10'; b) m EOH 180 – m GOE = 180 – m

2

BOE; m AOH =180 –

– m AOG = 180 –

mm

2

BOEAOB

m mEOH AOB m EOH – m AOH =

m 2mAOB AOD . 17. 96, 144, 72, 48. 18. m mAOD BOC = 360 – (112 +

+ 64) = 184; m mAOM MOD a , m mBON NOC b 2a + 2b = 184

a + b = 92 m MON = m m mMOD DOC CON = 48 + 64 + 44 = 156;

(OP bisectoarea AOM m AOP = m POM = x a = 2x; (OP şi (ON semidrepte opuse

x + 112 + b = 180 x + b = 68; a + b = 92 2x + b = 92 x + 68 = 92 x =

= 24 b = 44 m BOC = 88. 19. 24, 123.

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

1. Fie a, b măsurile unghiurilor. a – b = 26 28' 54''; 3a

b a = 3b b = 13 14' 27'', a =

= 39 42' 81''. 2. Fie a măsura unghiului căutat. 90 1

180 4

a

a

a = 60. 3. Fie a, b măsurile

unghiurilor. a + b = 180; 1

5a + 24 = b a = 130; b = 50. 4. 2x – 20 + x + x – 10 + x + 40 =

= 360 x = 70. 5. m COB = 130 – 90 = 40; Fie [OM bisectoarea AOB

m AOM = 65; [ON bisectoarea AOC m AON = 45 m MON = 20.

6. m DOB = a m AOD = 4a 4a + a = 180 a = 36. Dacă [OM, [ON bisectoarele

unghiurilor şiAOC COB , m MON = 90.

Testul 2

1. Fie a şi b măsurile unghiurilor. a – b = 62 28' 54''; 3a

b a = 93 43' 21''; b = 31 14' 27''.

24

2. Fie a măsura unghiului căutat. o

o

180 11

90 2

a

a

a = 70. 3. Fie a, b măsurile unghiurile

a + b = 180; 12a = 8b a = 72; b = 108. 4. x + 2x + 6x – 30 + 5x – 30 = 360 x = 30.

5. m AOC = a m BOC = 6a + 5 a + 6a + 5 = 180 a = 25; [OM şi [ON bisectoare-

le unghiurilor AOC , respectiv COB m MON = 90. 6. 45 + 65 + a + 45 + 65 + a =

= 360 a = 70.

Testul 3

1. a) 58 30' 16''; b) 44 52'; c) 44 22' 39''. 2. [OC bisectoare m AOB = 2m AOC = 50

m BOC 50 m COD = 90. 3. Fie a măsura unghiului 4 90 180

5 2

a aa

a = 75. 4. a + a + 20 + a + 40 + a + 60 = 360 a = 60. 5. [OC bisectoarea AOB

m AOC = m COB = 45; Dacă M Int AOC x + m MOC = 45 45 – x =4

5x

x = 25; Dacă M Ï Int AOC m MOC = x – 45 x – 45 =4

5x x > 90 (nu

convine). 6. m AOB = 2a, m BOC = 2b a + b = 60; 2a = 5 2b; a = 50, b = 10

m AOB = 100, m BOC 20; m AOC = 120 m AOD = 60.

Testul 4

1. a) 57 6' 38''; b) 53 10' 15''; c) 918' 15''. 2. 90 1

180 10

a

a

a = 80. 3. m DOC = 360 –

– (90 + 130 + 90) = 50. 4. m COE = m AOD = 30 30' m AOB = 61

m BOF = = 29 m BOE = 149 30'. 5. m AOM = m MOC m AOC = 40

m BOC = 134 m MON = 90. 6. a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 360 a = 70.

CAPITOLUL 5 Congruenţa triunghiurilor

5.1. Triunghiul

1. a) 3 triunghiuri: ABT, ACT, BCT; b) 4 triunghiuri. 2. a) isoscel, de bază AC; b) dreptun-ghic, catetele AB şi BC, ipotenuza AC; c) echilateral, dreptunghic isoscel. 6. e) da, ABC, EAF, PAQ; f) opuse la vârf, ascuţite. 7. a) 18 cm; b) 0. 8. a) IAB, IAC, IBC; b) trei unghi-uri, AIB, AIC, BIC; presupunem prin reducere la absurd, că nu există niciunul obtuz; notăm u1, u2, u3 măsurile celor trei, u1 90, u2 90, u3 90 şi, prin adunare, u1 + u2 + u3 270 ceea

25

ce contrazice faptul cunoscut că u1 + u2 + u3 = 360. 9. a) 10,4 dam; b) 10 şi 10 sau 8 şi 12; c) P = 6 + 6 + 8 sau P = 6 + 8 + 8; d) 20, 20, 16. 11. b) 2AC + BC = AC + 2AD AC + BC = = 2AD. 12. Fie a, b, c lungimile laturilor. 2a = b + c, 2b = a + c, 2c = a + b; scădem primele două, 2a – 2b = b – a 3a = 3b a = b; analog a = c. 13. a) 39, 39, 65 cm; b) 66, 44, 33 cm. 14. AB + AE + BE = 18, AC + AE + EC = 25; adunând cele două egalităţi, membru cu membru, obţinem: AB + AC + BC + 2AE = 43 dar 2AE = 13 deci PABC = 30 cm; b) AC + AB = 17 şi AC – – AB = 7; se obţine AC = 12 cm, AB = 5 cm.

5.2. Construcţia triunghiurilor

3. Nu, nu este cazul L.U.L. 4. b) este dreptunghic. 5. b) m(C) = 20, complementul lui A. 6. a) m(ACB) = 25, AC = 5 cm, isoscel; b) congruente. 7. b) m(CBD) = 180; c) m(NMP) = 65 = m(CAD). 8. a) dreptunghic; b) a = 5; c) BC = 4 cm. 9. b) AN = 6 cm, NC = 4 cm. 10. b) m(BDC) = 120 + 60 = 180 B, D, C sunt coliniare şi BC = BD + DC = = 8 cm = 2 AD. 11. a) Din a – b = 2p, c – b = 1p, a + c = 7p a = 4p, b = 2p, c = 3p, obţinem

p = 3, BC = 12, AB = 9 cm, AC = 6 cm; b) AP =2

3AB AP = 6 cm = AC ACP este isos-

cel. 12. a) Se construieşte semidreapta (Ax astfel încât BAD DAx; Intersecţia dreptei BD cu (Ax va fi punctul C, cu care se reface triunghiul; b) Unghiurile de bază sunt congruente şi au câte 15; se foloseşte cazul U.L.U.

5.3. Congruenţa triunghiurilor. Criteriile de congruenţă

1. Se aplică criteriul U.L.U. 2. ABC ADC, criteriul L.L.L. 3. a) L.U.L.; b) MN = QP, M P, MNQ NQP. 4. a) m(ABC) = 130, m(BCD) = 20; b) U.L.U. 5. b) I. L.L.L.; II. AOM AON, omoloage; 6. a) MN = 4 cm; b) 50; c) 11 cm. 7. b) AOC BOD; BOC AOD; ABC BAD; c) CAO OBD, OAD OBC, CAD CBD; d) AC = BD, BC = AD. 8. a) MPR MQR, DIR EIT, EIR DIT; b) m(Q) = 46, m(DTI) = 70, m(EIT) = 140. 9. a) ABC isoscel; b) ABC echilateral. 10. b) L.U, .L. 11. b) U.L.U. 12. m(MAO) + m(NAO) = 180 şi MAO NAO deci fiecare are 90. 13. a) AB = AC, B = C (60), BM = NC = 1 cm; b) isoscel, AM = AN. 14. a) 60; b) L.U.L. 15. ABM ACM (L.L.L.) m(AMB) = m(AMC) = 90 şi BAM CAM; c) BPM CPM (L.U.L.) BP = PC. 17. a) ACO BDO; COF DOE; AOF BOE; b) ACF BDE (criteriul L.L.L.). 18. a) AB = AC, AE = AD, BAE CAD (comun) – L.U.L.; b) BDI CEI (BD = CE, BDI IEC, ABE ACD), deci BI = CI. 19. a) L.U.L.; b) L.L.L. 20. a) AD = AC + CD = 12 cm; b) ACE BCD (L.U.L.) şi BD < < BC + CD BD < 12 cm.

5.4. Metoda triunghiurilor congruente (M.T.C.). Raţionamentul în geometrie

1. a) BC = BC, C C; b) ABM ABM (L.U.L.); c) rezultă de la pct. b). 2. NPE PNF, criteriul U.L.U. 3. BNC CMB (L.U.L.); Observaţii: am folosit teorema:

A

C

O D

B

26

„unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente”. 4. a) [AB] [AE]; b) ACD este isoscel; c) BAD CAE. 5. a) L.U.L.; b) L.L.L. 6. a) 240; b) APB APC BPC (L.U.L.) AB = AC = BC. 7. a) BAD CAD (L.L.L.) BAD CAD şi BDA CDA; b) ABP ACP (L.U.L.) BP = PC; c) ABP DPC (AP = PD, BP = PC, APB DPC) AB = DC, deci AC = BD ABC DBC (L.L.L.). 8. Fie (AA bisectoarea BAC şi a lui EAF, A BC. Avem congruenţele: BAA CAA, EAA FAA şi EAB CAF (ca diferenţe de unghiuri congruente). P1: dacă AB = AC AEB AFC (EAB CAF, AB = AC şi ABE ACF ca suplementare de unghiuri congruente) şi rezultă că AE = = AF; R1: dacă AE = AF AEB AFC (U.L.U.) şi deci AB = AC. 9. I OAC OAB (U.L.U) şi deci AC = AB; b) COA AOB şi AOO AOO (AOO isoscel) COO BOO DOO este isoscel DO = DO; c) DAO DAO (L.U.L.) ODA ODA, deci (DA este bisectoare; II R1, R2 adevărate, R3 falsă. 10. AOB AOB (L.U.L.). 11. Conform problemei 10, AB = AB, AC = AC, BC = BC. 12. Dacă P Int(BAC), ABP ACP (L.L.L.), rezultă BAP CAP; Dacă P Ext.(BAC), din congruenţa aceloraşi triunghiuri, BAP CAP şi deci BAA CAA (suplemente de unghiuri congru-ente), A PA BC. 13. a) OCA OCA, OCB OCB, dar OCA OCB, deci

OCA OCB, adică punctele C', A, B sunt coliniare; b)b a

a

. 14. a) ABB BCC

(L.U.L.), deducem AB = BC; analog BC = AC; b) 60. 15. a) EBM FCM (L.U.L.); b) AEQ AFR (L.U.L.).

TESTE DE EVALUARE

Testul 1 1. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. 2. AMP BMQ (L.U.L.) AM = MB. 3. APR CRQ (L.U.L.) PR = QR; analog QR = QP PQR echilateral. 4. m(CBD) = 60 m(CBA) = = 150; ABC ABD (L.U.L.) AC = AD.

Testul 2 1. triunghi dreptunghic isoscel. 2. PAB PED (L.U.L.). 3. 8 cm. 4. ABP ACP (L.U.L.) PB = PC.

Testul 3 2. MPA NQA (U.L.U.) MA = AN. 3. MAC NAB (L.U.L.); m(MAC) = 60 + + m(BAC), m(NAB) = 60 + m(BAC). 4. AC = AC şi m(ACA) = 60.

Testul 4 2. EG = GI, E I (90), EGF HGI (opuse la vârf) EFG IGH FG = GH. 3. a) ABM PNC (L.U.L.) BM = NC; b) ANP PBA (L.U.L.). 4. a) [AC] [BC], simetrice faţă de P şi [BC] [AC'], acelaşi motiv; b) PACB = 15 cm şi CC < AC + AC (inegalitatea triunghiului), deci CC' < 10.

27

Variante de lucrări semestriale Semestrul I

Varianta 1

N-are

Varianta 2

1. 42. 2. 18; 27; 36. 3. 212; 414; 616; 818. 4. , 4; , 504a b a b . 5. 9. 6. 6. 7. 35.

8. 90. 9. 1

3. 10. 221. 11. 3 1 1 22 3 2 3 6 43 6 43n n n n n n .

12. a)

1 1 n p n p

n n p n n p n n p

; b)

98

99. 13. 22 cm. 14. a) 135; 45; 135; 45;

b) ( ) ( ) 180m AOB m AOB A, O şi C sunt coliniare.

28

Cuprins

ALGEBRĂ CAPITOLUL 1. MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE

1.1. Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri............................................... 1 1.2. Divizor, multiplu. Criterii de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 ........................................ 2 1.3. Numere prime şi numere compuse .............................................................................. 3 2.4. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime ................. 4 1.5. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în ................................................................ 5 1.6. Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime

între ele ........................................................................................................................ 5 1.7. Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c; relaţia dintre

c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. ............................................................................................. 6 1.8. Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea ............................................ 6 TESTE DE EVALUARE ...................................................................................................... 7

CAPITOLUL 2. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE 2.1. Fracţii echivalente; fracţie ireductibilă; noţiunea de număr raţional;

forme de scrierea unui număr raţional; ........................................................... 9 2.2. Adunarea numerelor raţionale pozitive; scăderea numerelor raţionale pozitive ....... 10 2.3. Înmulţirea numerelor raţionale pozitive .................................................................... 11 2.4. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr raţional pozitiv;

reguli de calcul cu puteri ........................................................................................... 11 2.5. Împărţirea numerelor raţionale pozitive .................................................................... 13 2.6. Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale pozitive ...................................... 13 2.7. Media aritmetică ponderată a mai multor numere raţionale pozitive ........................ 14 2.8. Ecuaţii ....................................................................................................................... 14 2.9. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor ......................................................... 16 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 16

GEOMETRIE

CAPITOLUL 3. DREAPTA 3.1. Punct. Dreaptă. Plan .................................................................................................. 17 3.2. Semidreapta. Semiplanul ........................................................................................... 17 3.3. Poziţiile relative a două drepte .................................................................................. 17 3.4. Segmentul ................................................................................................................. 18 3.5. Lungimea unui segment; distanţa dintre două puncte. Segmente congruente;

construcţia unui segment congruent cu un segment dat; mijlocul unui segment; simetricul unui punct faţă de alt punct ...................................................................... 19

TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 19

CAPITOLUL 4. UNGHIURI 4.1. Unghi. Unghi nul. Unghi alungit ............................................................................... 20 4.2. Măsurarea unghiurilor cu raportorul. Unghi drept. Unghi ascuţit. Unghi obtuz ....... 20

29

4.3. Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade şi minute sexagesimale. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare ..................................................... 21

4.4. Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi .............................................................. 21 4.5. Unghiuri opuse la vârf, congruenţa lor; unghiuri în jurul unui punct,

suma măsurilor lor .................................................................................................... 22 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 23

CAPITOLUL 5. CONGRUENŢA TRIUNGHIURILOR 5.1. Triunghiul ................................................................................................................. 24 5.2. Construcţia triunghiurilor .......................................................................................... 25 5.3. Congruenţa triunghiurilor. Criteriile de congruenţă .................................................. 25 5.4. Metoda triunghiurilor congruente (M.T.C.). Raţionamentul în geometrie ................ 25 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 26

VARIANTE DE LUCRĂRI SEMESTRIALE. SEMESTRUL I .......................................... 27