Capitolo I Alcune nozioni elementari - web.ticino.comweb.ticino.com/lucarovelli/appunti/1B_Cap1_Nozioni_Elementari.pdf · 1. Calcolo numerico e algebrico Come noto, le propriet a

Liceo Lugano 1, 2012-2013 1B (Luca Rovelli)

Capitolo IAlcune nozioni elementari

Il primo capitolo consiste in un breve ripasso di alcuni concetti fondamentali per la com-prensione degli argomenti piu avanzati. I temi trattati fanno tutti parte del programmadella Scuola Media, e dovrebbero quindi essere piu o meno noti. Pertanto essi verrannosvolti in modo piuttosto informale: in caso di difficolta sara necessario un certo lavoroindividuale finalizzato a colmare le lacune preesistenti, sfruttando in modo opportuno leprime serie di esercizi e le ore di “laboratorio”.

1. Calcolo numerico e algebrico

Come noto, le proprieta del calcolo numerico vengono espresse attraverso il calcolo let-terale (o algebrico): le regole di calcolo vengono rappresentate da identita, vale a dire dauguaglianze tra espressioni letterali che rimangono valide sostituendo valori numerici allelettere (quando cio ha senso).

Esempio: l’identitaa+ a = 2a

esprime il fatto che la somma di due numeri uguali e pari al loro doppio: 3 + 3 = 2 ·3 = 6,π + π = 2π ecc.1.

Nell’insieme dei numeri reali (indicato con R) sono definite due operazioni principali:l’addizione, indicata dal segno +, e la moltiplicazione, indicata dal segno · (o, piuraramente, da ×). Nel calcolo letterale, il segno di moltiplicazione si puo anche tralasciare:a · b viene abbreviato con ab.Tutte le regole di calcolo valide in R si deducono dai seguenti assiomi:

Per l’addizione:

1. (a+ b) + c = a+ (b+ c) ;

2. a+ 0 = 0 + a = a ;

3. per ogni a esiste (−a)con a+ (−a) = (−a) + a = 0;

4. a+ b = b+ a .

Per la moltiplicazione:

1. (a · b) · c = a · (b · c) ;

2. a · 1 = 1 · a = a;

3. per ogni a 6= 0 esiste a−1

con a · a−1 = a−1 · a = 1;

4. a · b = b · a .

1per convenzione, si indica con π il numero reale ottenuto come rapporto tra una circonferenza e ilsuo diametro; in particolare, e poco elegante approssimarlo: 3, 14 indica solo la frazione 314

100

Nozioni elementari (V0.2) 1 LiLu1, 1B (Luca Rovelli)

L’ultimo assioma esprime la “compatibilita” di addizione e moltiplicazione:

a · (b+ c) = a · b+ a · c .

Il numero (−b) e l’opposto di b (ad es. -5 e l’opposto di 5), mentre b−1, indicato anchecon 1

b, e il reciproco (o anche l’inverso) di b 6= 0.

Osservazione: per convenzione, in un’operazione numerica la moltiplicazione ha la prece-denza sull’addizione; ad esempio, l’espressione a+b ·c indica la somma di a con il prodottodi b e c. Per cambiare l’ordine delle precedenze vengono utilizzate le parentesi (tonde, piuraramente quadre e graffe): ad esempio (a+ b) · c indica il prodotto di c con la somma dia e b. E immediatamente verificabile che vale, in generale,

a+ b · c 6= (a+ b) · c .

Ad esempio, sostituendo a = 2, b = 3 e c = 4 si ha

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 e (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 .

Occorre quindi prestare molta attenzione alle parentesi nella scrittura di espressioni alge-briche e numeriche.

In R si definiscono altre due operazioni (“opposte” all’addizione e alla moltiplicazione):

• la sottrazione, definita da a− b = a + (−b) (sottrarre b da a significa sommare acon l’opposto (−b) di b; ad esempio 5− 3 e definito attraverso 5 + (−3) = 2);

• la divisione, definita da a : b = a · b−1 (dividere a per b significa moltiplicare acon l’inverso b−1 = 1

bdi b; ad esempio 12 : 4 e definito attraverso 12 · 1

4= 3). La

divisione fra due espressioni letterali o fra due numeri interi si puo anche indicarenella forma frazionaria a

b.

Il calcolo mentale (numerico e algebrico) si fonda essenzialmente sulla capacita di calcolarecon i numeri naturali (cioe interi e positivi, appartenenti all’insieme indicato con N). Letecniche di calcolo sono quindi basate su una combinazione di memoria e di sempliciregole algebriche; e quindi conveniente una conoscenza delle somme e dei prodotti dinumeri “piccoli” (inferiori a 10). Se per le somme cio e elementare, per quanto riguardai prodotti occorre ricordare le cosiddette “caselline” della tavola pitagorica:


Esempi:

1. Per calcolare 23·7 utilizziamo la “tabellina del 7” insieme alla proprieta distributiva:

23 · 7 = (20 + 3) · 7 = 20 · 7 + 3 · 7 = 140 + 21 = 161

(con un po’ di pratica, le operazioni si possono compiere mentalmente).

2. Calcoliamo analogamente 14 · 37:

14 · 37 = 10 · 37 + 4 · 37 = 370 + 4 · 30 + 4 · 7 = 370 + 120 + 28 = 518 .

3. Un esempio algebrico:

8c · (3a+ 5b) = 8c · 3a+ 8c · 5b = 8 · 3 · ac+ 8 · 5 · bc = 24ac+ 40bc .

Per calcolare con i numeri interi (il cui insieme si indica con Z) occorre tener presente ilcomportamento dei segni rispetto alla moltiplicazione: un prodotto di numeri concordi(cioe di stesso segno) e positivo, mentre un prodotto di numeri discordi (cioe di segnodiverso) e negativo. La “tabella dei segni” riassume tali regole:

Esempi:

1. (−55) · (−13) = +(55 · 10 + 55 · 3) = 550 + 165 = 715 .

2. 12 · (−11) = −(12 · 10 + 12) = −132 .

3. (−2ab) · (−7bc) = +2 · 7 · ab · bc = 14ab2c .

Come vedremo, un’importante famiglia di numeri reali (l’insieme Q dei numeri razionali)e costituita dai quozienti a : b di numeri interi, ossia dalle frazioni a

b. a e b sono rispet-

tivamente il numeratore e il denominatore della frazione.Dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero reale (risp. per una stessaespressione algebrica), una frazione a

bpuo sempre essere ridotta ai minimi termini, cioe

scritta come quoziente a′

b′in modo tale che a′ e b′ non abbiano divisori in comune e valga

a : b = a′ : b′ (i risultati delle divisioni coincidano).

Esempi:

1.85

34=��17 · 5��17 · 2

=5

2.

2.abcd

acf=��ac · bd��ac · f

=bd

f.

3.a2 + 2ab+ b2

a2 − b2=

(a+ b)2

(a+ b)(a− b)=��

��(a+ b)(a+ b)

��(a+ b)(a− b)

=a+ b

a− b.


Per il calcolo con le frazioni si procede come segue:

• addizione e sottrazione: dal momento che i numeratori di due frazioni possono esseresommati (risp. sottratti) solo a condizione che il denominatore sia lo stesso, occorredapprima amplificare le frazioni in modo da scriverle con uno stesso denominatore;

Esempi:

1.5

7+

4

3=

5 · 37 · 3

+4 · 73 · 7

=15 + 28

21=

43

21.

2.5

12− 7

15=

5

4 · 3− 7

5 · 3=

5 · 54 · 3 · 5

− 7 · 45 · 3 · 4

=25− 28

60= − 3

60= − 1

20;

nota che il denominatore comune non dev’essere per forza il prodotto dei 2denominatori; per evitare di complicare troppo i calcoli conviene utilizzareil minimo comun denominatore, vale a dire il minimo comune multiplo deidenominatori.

3.a

b+c

d=ad

bd+bc

bd=ad+ bc

bd.

4.1

a2 − b2+

1

a2 − 2ab+ b2=

1

(a+ b)(a− b)+

1

(a− b)2=

a��−b+ a��+b

(a+ b)(a− b)2=

2a

(a+ b)(a− b)2.

• moltiplicazione: basta moltiplicare i numeratori e i denominatori dei singoli fattori;nota che conviene dapprima semplificare quanto possibile;

Esempi:

1.3

5· 17

7=

3 · 17

5 · 7=

51

35.

2.��>

315

�7· ��>

214

�5= 3 · 2 = 6 .

3.a

b· cd

=ac

bd.

4.x2 + 2x+ 1

y2 − 4· y − 2

x2 − 1=

(x+ 1)�2

(y + 2)��(y − 2)· ��y − 2

��(x+ 1)(x− 1)

=x+ 1

(x− 1)(y + 2).

• divisione: dal momento che, come si verifica immediatamente, vale(ab

)−1= b

a, per

effettuare la divisione basta invertire il divisore ed eseguire la moltiplicazione;

a

b:c

d=a

b·( cd

)−1

=a

b· dc

=ad

bc.

Osservazione: nello scrivere una “doppia frazione” occorre prestare attenzione al fattoche la divisione non e associativa; ad esempio(

23

)4

=2

3· 1

4=

1

66= 2(

34

) = 2 · 4

3=

8

3

mostra che, in generale,

(ab

)c6= a(

bc

) , e che quindi la scritturaab

cnon e univoca. Occorre

quindi precisare l’ordine delle divisioni (ad esempio utilizzando le parentesi o scrivendopiu in grande il segno di frazione “principale”).


Analogo discorso vale per espressioni del tipoabcd

; se si tratta del quoziente di due frazioni,

sarebbe meglio precisarlo inserendo le parentesi:

(ab

)(cd

) .

Come abbiamo gia menzionato, il calcolo letterale puo essere utilizzato per descrivererelazioni tra numeri reali. Occorre pero prestare attenzione ai valori da attribuire allelettere: in particolare, un’espressione frazionaria ha senso solo se il suo denominatore none nullo. Nello studio delle frazioni algebriche e quindi sempre opportuno riflettere suivalori per cui esse hanno senso.

Esempi:

1.1

xha senso solo se x 6= 0 .

2.a+ b

a− bha senso solo se a− b 6= 0, cioe se a 6= b .

3.1

a2 − b2ha senso solo se a2 6= b2, cioe se a 6= b e a 6= −b .

Proseguiamo menzionando l’elevazione a potenza:

• se l’esponente e un numero intero e strettamente positivo, si pone

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n volte

,

quindi vale ad esempio

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 e (−4)3 = (−4) · (−4) · (−4) = −64 .

E immediatamente chiaro che deve valere a1 = a. Inoltre per a 6= 0 si pone (vedremopiu tardi il perche) a0 = 1.

Per quanto visto in precedenza e chiaro che, per una frazione ab, deve valere(a

b

)n=a

b· ab· . . . · a

b=a · a · . . . · ab · b · . . . · b

=an

bn.

• Per esponenti negativi si pone

a−n =

(1

a

)n

=1

an.

Quindi vale, in particolare,(ab

)−n=

(b

a

)n

.

Ad esempio,

5−3 =1

53=

1

125e

(2

3

)−4

=

(3

2

)4

=81

16.


Terminiamo il paragrafo introduttivo dimostrando e illustrando alcuni prodotti notevoli,e indicandone brevemente qualche applicazione al calcolo numerico e algebrico.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Dimostrazione algebrica:

(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b) = a(a+ b) + b(a+ b) = a2 +

2ab︷︸︸︷ab+ ba+b2 = a2 + 2ab+ b2 .

Interpretazione geometrica:

a2 a2 + ab a2 + 2ab a2 + 2ab+ b2

Esempi e applicazioni:

1) (Sviluppo del quadrato di un binomio)

(3x+ 4y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2 ;

2) (Fattorizzazione di un trinomio)

16x2 + 16x+ 4 = (4x)2 + 2 · 4x · 2 + 22 = (4x+ 2)2 ;

3) (Semplificazione di una frazione algebrica)

5a+ b

25a2 + 10ab+ b2=��

��5a+ b

(5a+ b)�2=

1

5a+ b;

4) (Calcolo numerico)

1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 · 100 · 3 + 32 = 10000 + 600 + 9 = 10609 .

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2


(a− b)2 = (a+ (−b))2 = a2 + 2a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab+ b2 .



a2 a2 − ab a2 − 2ab a2 − 2ab+ b2

Esempi:

1) (7v − 5w)2 = (7v)2 − 2 · 7v · 5w + (5w)2 = 49v2 − 70vw + 25w2 ;

2)t2 − 20t+ 100

t− 10=

(t− 10)�2

��t− 10

= t− 10 ;

3) 982 = (100− 2)2 = 1002 − 2 · 100 · 2 + 22 = 10000− 400 + 4 = 9604 .

(a + b)(a− b) = a2 − b2


(a+ b)(a− b) = a(a− b) + b(a− b) = a2��−ab��+ab− b2 = a2 − b2 .


a2a2 − b2

a2 − b2 a2 − b2 a2 − b2 = (a+ b)(a− b)


Esempi:

1) (3x+ 4y)(3x− 4y) = (3x)2 − (4y)2 = 9x2 − 16y2 ;

2)a2 + 6a+ 9

a2 − 9=

(a+ 3)�2

��(a+ 3)(a− 3)

=a+ 3

a− 3;

3) 201 · 199 = (200 + 1)(200− 1) = 2002 − 12 = 40000− 1 = 39999 .

2. Funzioni reali

Spesso, nelle discipline quantitative (fisica, chimica, biologia, economia, informatica,...)ci si trova di fronte a situazioni comode da formalizzare per mezzo di leggi che associanouna grandezza ad un’altra grandezza nota2. Tali situazioni vengono solitamente descritteper mezzo del concetto di funzione.

Una funzione reale e, essenzialmente, una legge che associa in modo univoco ad un nu-mero reale x, detto argomento, un secondo numero reale (denotato con y), l’immaginedi x. Piu precisamente, per indicare una funzione reale si ricorre alla notazione

f : Df −→ R (“f e una funzione da Df verso R ...

x 7−→ y = f(x) ... che a x ∈ Df fa corrispondere y = f(x)”).

dove f(x) e solitamente un’espressione algebrica che permette di calcolare il valore di y apartire dal valore di x e Df e un sottoinsieme di R nel quale l’espressione f(x) ha senso.Df e detto insieme di definizione di f ; se esso viene omesso, si intende pari al piuampio sottoinsieme di R per cui f(x) ha senso. Per indicare le funzioni si utilizzano diregola le lettere minuscole dell’alfabeto.Sostituendo alla variabile indipendente un valore x = x0 si ottiene il valore di f perx = x0, denotato con f(x0).

Esempi:

1. Sia f(x) = 3x− 7; allora vale, ad esempio, f(5) = 3 · 5− 7 = 8 e f(0) = −7 .

2. Sia g(x) = x2−2x2−4

; allora vale ad esempio g(0) = −2−4

= 12

e g(5) = 52−252−4

= 2321

. Percontro, f(x) non e definita per x = 2 e per x = −2, dal momento che la sostituzionedi x con +2 oppure −2 conduce all’annullamento del denominatore. Df non puoquindi contenere ne 2 ne −2; se non viene esplicitamente definito in altro modo,dobbiamo quindi porre Df = R \ {−2,+2}.

3. Non sempre una funzione e definita da una “formula”: l’importante e che la leggeche associa y a x sia univoca. Ad esempio, potremmo costruire una funzione comesegue:

h : x 7→ y = (il numero di cifre della parte intera di x)

(dove per parte intera si intende il numero ottenuto cancellando le cifre decimali);allora vale, ad esempio, h(1000) = 4, h(370, 356) = 3, h(117

11) = 2 e h(π) = 1.

2si pensi ad esempio allo spazio percorso o al costo di una telefonata in funzione del tempo, oppure alprezzo di una derrata alimentare in funzione del suo peso


Una funzione reale viene solitamente rappresentata per mezzo del suo grafico: esso ecostituito dall’insieme dei punti del piano cartesiano le cui coordinate (x, y) si cor-rispondono secondo la relazione y = f(x):

Mediante il grafico e possibile rappresentare in modo immediatamente leggibile le pro-prieta essenziali della funzione f . Ad esempio, di seguito e rappresentata l’evoluzionedel tasso di cambio (nominale) dell’Euro rispetto al Franco svizzero (il prezzo in frs. di1e) nel corso degli ultimi 5 anni 3:

Il grafico permette di risalire immediatamente ai periodi in cui il prezzo e salito e disceso(i cosiddetti intervalli di monotonia) oppure si e mantenuto costante, e agli istanti in cuiesso ha assunto i valori massimi e minimi.

3si tratta quindi di una funzione y = f(x) dove x rappresenta l’anno e y il tasso di cambio


Ricordiamo ora l’aspetto dei grafici di alcune funzioni gia note.

� La funzione costante :

y = 1

y = −2

f : R −→ Rx 7−→ y = c (con c ∈ R)

Il grafico e un retta orizzontale.

� La funzione lineare :

y = −2x

y =1

3x

y = x

f : R −→ Rx 7−→ y = ax (con a ∈ R)

Il grafico e un retta passante perl’origine.

Se a = 1, otteniamo la funzione iden-tica y = x.

� La funzione affine :

y = −1

2x +

1

2

y = 2x− 1

f : R −→ Rx 7−→ y = ax+ b (con a, b ∈ R)

Il grafico e una retta.

Per b = 0 otteniamo una funzione li-neare, per a = 0 una funzione costante.


� La funzione quadratica elementare :

y =1

3x2

y = −x2

f : R −→ Rx 7−→ y = ax2 (con a ∈ R∗)

Il grafico e una parabola con il verticenell’origine.

(Ricorda: R∗ = R \ {0} rappresenta

l’insieme dei numeri reali diversi da zero)

� La funzione fratta elementare :

y =4

x

f : R∗ −→ Rx 7−→ y =

a

x(con a ∈ R∗)

Il grafico e un’iperbole, con gli assicartesiani quali asintoti.

3. Proporzionalita

Due grandezze tra loro dipendenti, espresse da variabili x e y, sono dette direttamenteproporzionali se al loro variare il loro rapporto rimane costante, cioe se esiste unacostante di proporzionalita diretta k tale che y

x= k.

In tal caso, e immediato concludere che vale y = k x. Due grandezze sono quindi diretta-mente proporzionali se la loro relazione e espressa da una funzione lineare4.

Se x1 e x2 sono valori assunti dalla grandezza x e y1 e y2 sono i corrispondenti valori di yvale quindi

y1

x1

=y2

x2

(= k)

;

a volte viene anche impiegata la notazione y1 : x1 = y2 : x2 .

4per questo motivo, le funzioni lineari sono anche dette di proporzionalita diretta


Applicazioni:

1. Solitamente, il costo di una determinata merce e direttamente proporzionale allaquantita acquistata (la costante di proporzionalita e il prezzo unitario).

Esempio: se per fare il pieno alla mia automobile (42 litri) ho speso 75,60 fr, quantocarburante avrei acquistato con 20 franchi?

Soluzione: sia x la quantita cercata; applicando la proporzionalita diretta,

75, 60 fr

42 `=

20 fr

x⇒ x = 20 fr · 42 `

75, 60 fr∼= 11, 11 ` .

Se p e il prezzo in franchi e c la quantita di carburante acquistato, vale cp

= k con

la costante di proporzionalita k = 75,60 fr42 `

= 1, 80 fr`

.

2. Una frazione e detta percentuale se il suo denominatore e pari a 100. Per con-venzione, per indicare la frazione percentuale a

100viene impiegata la notazione a%.

Operando con la proporzionalita diretta e immediata la trasformazione di una qual-siasi frazione nella forma percentuale.Esempio: qual era la percentuale di italofoni in Svizzera nel 2000, se su 7 288 000abitanti 471 000 parlavano italiano?

Soluzione: sia x la percentuale richiesta; applicando la proporzionalita diretta,

x

100=

471

7 288⇒ x =

471

7 288· 100 ∼= 6, 46 ; risposta: circa il 6,46% .

3. In geometria piana, due figure sono dette simili se si corrispondono secondo lacomposizione di un’isometria (cioe di uno spostamento “rigido” nel piano) e diun’omotetia (cioe una dilatazione)5. E noto (si tratta di una conseguenza del Teo-rema di Talete) che le misure corrispondenti di 2 figure simili sono direttamenteproporzionali.

Esempio: per il Teorema di Talete, se BC eparallelo a B′C ′ allora i triangoli ABC e AB′C ′

sono simili; sapendo che |AB| = 5, |BC| = 6 e|AB′|=15 (unita), quanto vale |B′C ′|?Soluzione: applicando la proporzionalita diretta,

|AB||AB′|

=|BC||B′C ′|

⇒ |B′C ′| = |BC|· |AB′|

|AB|= 6·15

5= 18 unita .

La costante di proporzionalita tra grandezze corrispondenti e detta rapporto di simi-litudine. Un’applicazione pratica della similitudine e costituita (piu o meno6) dallecartine geografiche: nella carta 1 : 25 000, il rapporto di similitudine e pari a 1

25 000

e quindi ad un segmento lungo 1 cm sulla cartina corrisponde un tratto rettilineodella lunghezza di 25 000 cm ≡ 250 m.

5in altre parole, se una figura e la copia ingrandita dell’altra6dal momento che la terra non e piatta


4. In un cosiddetto moto rettilineo uniforme, vale la formula ∆s = v · ∆t ⇐⇒∆s∆t

= v (dove ∆s indica lo spazio percorso in un intervallo di tempo ∆t): spaziopercorso e tempo trascorso sono tra loro direttamente proporzionali, e la costantedi proporzionalita e la velocita v (che indica lo spazio percorso nell’unita di tempo).

Osservazione: se due grandezze sono tra loro direttamente proporzionali, all’aumentaredi una anche l’altra aumenta; questa proprieta non e pero sufficiente a caratterizzare laproporzionalita diretta: ad esempio, all’aumentare del raggio r la superficie S di unacirconferenza aumenta, ma il rapporto S

rnon e costante: raggio e superficie di una cir-

conferenza non sono quindi direttamente proporzionali7!

Due grandezze tra loro dipendenti, espresse da variabili x e y, sono dette inversamenteproporzionali se al loro variare il loro prodotto rimane costante, cioe se esiste unacostante di proporzionalita inversa k tale che x · y = k.

In tal caso, e immediato concludere che vale y = kx. Due grandezze sono quindi diretta-

mente proporzionali se la loro relazione e espressa da una funzione fratta.

Se x1 e x2 sono valori assunti dalla grandezza x e y1 e y2 sono i corrispondenti valori di yvale quindi

x1 · y1 = x2 · y2 .

Esempi:

1. A parita di superficie, i lati di un rettangolo sono tra loro inversamente proporzionali:se a e b sono le misure dei lati, vale ab = A; la costante di proporzionalita e quindil’area stessa.

2. La formula ∆s = v ·∆t per il moto rettilineo uniforme indica che, per lo stesso spaziopercorso, velocita e tempo impiegato sono tra loro inversamente proporzionali.

3. La legge di gravitazione universale esprime la forza di attrazione tra due corpi dimasse m1 e m2 posti a distanza d nella forma F = G · m1m2

d2(dove G e la cosiddetta

costante di gravitazione universale): la forza con cui due corpi si attraggono einversamente proporzionale al quadrato della distanza tra essi.

Osservazione: se due grandezze sono tra loro inversamente proporzionali, all’aumentaredi una l’altra diminuisce; questa proprieta non e pero sufficiente a caratterizzare laproporzionalita inversa: ad esempio, la forza di attrazione tra due masse diminuisceall’aumentare della distanza d tra esse, ma (come visto sopra) non in modo inversamenteproporzionale a d.

7e invece costante il rapporto tra S e r2: la superficie di un cerchio e direttamente proporzionale alquadrato del suo raggio, e il rapporto di proporzionalita e π


4. Equazioni

Un’equazione e un’uguaglianzaf(x) = g(x)

tra due funzioni in una variabile x (l’incognita), dove sostituendo un numero reale alposto della variabile e sempre possibile affermare se essa e vera oppure falsa. Le espressionialgebriche che compaiono nell’equazione sono i termini (o membri) dell’equazione.

Esempi: 2x = 0, 3y+√

2 = 2y+ 1, z2− 1 = 0, w2 + 1 = 0 sono equazioni nelle incognitex, y, z e w rispettivamente.

Una soluzione di un’equazione e un valore dell’incognita che rende vera l’uguaglianza.L’insieme delle soluzioni S di un’equazione e l’insieme di tutte le soluzioni della stessa.

Esempi:

1. L’unica soluzione dell’equazione 2x = 0 e x = 0; il suo insieme delle soluzioni eS = {0}.

2. L’equazione 5y +√

2 = 2y + 1 possiede l’unica soluzione y =1−√

2

3, quindi vale

S =

{1−√

2

3

}.

3. L’equazione z2 − 1 = 0 possiede le 2 soluzioni z = 1 e z = −1; il suo insieme dellesoluzioni e quindi S = {−1; +1}

4. L’equazione w2 + 1 = 0 non possiede soluzioni in R (perche?). Il suo insieme dellesoluzioni e quindi vuoto: S = ∅.

Due equazioni che possiedono lo stesso insieme delle soluzioni si dicono equivalenti. Adesempio, le equazioni x+ 1 = 0 e 5x+ 5 = 0 sono equivalenti (perche?). La risoluzionedi un’equazione consiste nella ricerca del suo insieme delle soluzioni (cioe di tutte le suesoluzioni). Di norma essa consiste in una serie di passaggi algebrici attraverso i quali sigiunge ad un’equazione equivalente a quella originaria di cui pero e facile riconoscere lesoluzioni.Nei casi piu semplici, tali passaggi consistono nel sommare (o sottrarre) lo stesso valoread entrambi i termini o nel moltiplicare entrambi i termini per lo stesso numero reale(diverso da zero).

Esempi:

1. 3x+ 5 = 4x+ 2 ⇐⇒ 3x−4x = 2−5 ⇐⇒ −x = −3 ⇐⇒ x = 3, quindi S = {3}.

2. 2x2 − 2 = 0 ⇐⇒ 2(x2 − 1) = 0 ⇐⇒ x2 − 1 = 0 ⇐⇒ (x + 1)(x− 1) = 0 ⇐⇒x = −1 oppure x = +1, quindi S = {−1,+1}.

Un’equazione si dice impossibile se essa non possiede soluzioni, cioe se S = ∅, indeter-minata se essa e soddisfatta per tutti i valori dell’incognita, cioe se S = R e determinatanei casi restanti (cioe, di norma, se essa possiede un numero finito di soluzioni).


Un’equazione riconducibile (con le tecniche menzionate in precedenza) ad un’equazionedel tipo

ax+ b = 0

dove x e l’incognita e a, b ∈ R e detta equazione lineare.

Esempi: le equazioni

2x = 3 , 4x−1

2=

2

3x−9 , x(

√2−√

3) =√

5(x−1) , 4x−4 = −3(−2x+2) , 6x+1 = 3(2x+3)

sono tutte lineari (per esercizio, riscrivile nella forma ax+ b = 0).

Di una tale equazione e facile dire se essa e determinata, indeterminata o impossibile:

◦ Se a 6= 0, l’equazione e determinata, con l’unica soluzione x = − ba, e quindi

S ={− b

a

}.

◦ Se a = 0 e b = 0, l’equazione diventa 0 ·x+ 0 = 0; essa e indeterminata (perche?),e quindi S = R.

◦ Se a = 0 e b 6= 0, l’equazione diventa 0 · x+ b = 0; essa e impossibile (perche?), equindi S = ∅.

L’equazione lineare ax + b = 0 e detta inomogenea se b 6= 0, e omogenea se b = 0.Nel secondo caso, essa possiede la forma ax = 0: se a 6= 0 vale S = {0}, e se a = 0 valeS = R.

Una coppia di equazioni lineari in due incognite x e y, riconducibile alla forma{ax+ by = c

cx+ dy = e

delle quali si ricercano le soluzioni (x, y) comuni e detta sistema lineare di equazioni.Esistono diversi metodi risolutivi (che esploreremo piu tardi); il piu semplice consistenell’isolare un’incognita in una delle 2 equazioni e sostituire l’espressione ottenuta nellarimanente, per ricondursi al caso di una sola equazione lineare.

Esempio: risolviamo il sistema {2x+ 3y = 8

−x+ 3y = 5.

Isoliamo x nella seconda equazione, e sostituiamo:{2x+ 3y = 8

−x+ 3y = 5⇐⇒

{2x+ 3y = 8

x = 3y − 5

Quindi2(3y − 5) + 3y = 8 ⇐⇒ 9y = 18 ⇐⇒ y = 2

ex = 3y − 5 = 3 · 2− 5 = 1 .

Di conseguenza vale S = {(1, 2)} (nota che la soluzione e costituita da una coppia di numeri

reali).


5. Disequazioni

Una disequazione e una disuguaglianza tra due funzioni in una variabile (l’incognita)dove sostituendo un numero reale al posto della variabile e sempre possibile dire se essae vera o falsa. Le espressioni algebriche che compaiono nella disuguaglianza sono dettetermini (o membri) della disequazione.

I simboli usati comunemente per le disuguaglianze sono < (“minore di”), ≤ (“minore ouguale a”), > (“maggiore di”), ≥ (“maggiore o uguale a”).

Esempi:

1. x ≤ 5

3. −2x− 8 < 0

5. 2 + x ≥ x+ 1

7. x2 ≤ 0

2. 2x− 8 < 0

4. 2− (3− 2x) ≥ 3x− 2√

2

6. 3(2x− 6) ≥ 6x+ 1

8. x2 > 1

Una soluzione della disequazione e un valore della variabile per cui la disuguaglianzae soddisfatta. Ad esempio, 3 e una soluzione della disequazione 2. perche 2 · 3− 8 = −2e −2 < 0. L’insieme delle soluzioni S di una disequazione e l’insieme di tutti i numerireali che soddisfano la disequazione. Di solito, esso e infinito. Ad esempio, la disequazione1. e vera per tutti i numeri naturali minori o uguali a 5, cioe

S = {x ∈ R | x ≤ 5}(leggi “l’insieme degli elementi x di R tali che x ≤ 5”).

Dal momento che una tale rappresentazione e abbastanza onerosa, per indicare l’insiemedelle soluzioni di una disequazione e conveniente far uso degli intervalli, particolari sot-toinsiemi di R caratterizzati dalla seguente proprieta: se due numeri a e b appartengonoad un intervallo I, allora ogni numero compreso tra a e b appartiene a I. Gli intervallipossono essere classificati come segue:

� Intervalli limitati:

• intervalli limitati aperti]a , b

[= {x ∈ R | a < x < b}

• intervalli limitati semiaperti (o semichiusi)[a , b

[= {x ∈ R | a ≤ x < b}]

a , b]

= {x ∈ R | a < x ≤ b}

• intervalli limitati chiusi[a , b

]= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}


� Intervalli illimitati:

• intervalli illimitati aperti]a , +∞

[= {x ∈ R | x > a}]

−∞ , a[

= {x ∈ R | x < a}

• intervalli illimitati chiusi[a , +∞

[= {x ∈ R | x ≥ a}]

−∞ , a]

= {x ∈ R | x ≤ a}

Casi particolari:

•]−∞,+∞

[= R e un’intervallo aperto e chiuso

•[a, a]

= {a}

•]a, a]

=[a, a[

=]a, a[

= ∅

N.B. il simbolo “∞” (“infinito”) non e un numero reale, ma soltanto un simbolo utileper indicare gli intervalli illimitati.

Ad esempio, quindi, per 1. si puo scrivere S =]−∞, 5] .

La risoluzione di una disequazione e la ricerca dell’insieme S delle sue soluzioni. Dinorma, essa consiste in una serie di passaggi tutti equivalenti in cui la disequazione vienetrasformata in una disequazione piu semplice, di cui e possibile “leggere” immediatamentel’insieme delle soluzioni.Nei casi piu semplici, i passaggi da effettuare sono i seguenti:

• aggiungere o sottrarre lo stesso numero reale ad entrambi i termini;

• moltiplicare o dividere entrambi i termini per lo stesso numero reale positivo;

• moltiplicare o dividere entrambi i termini per lo stesso numero reale negativo, cam-biando pero il segno di disuaguaglianza8.

Esempi:2. 2x− 8 < 0

+8⇐⇒ 2x− 8 + 8 < 0 + 8 , cioe 2x < 8

:2⇐⇒ 2x

2<

8

2, cioe x < 4

quindi S = {x ∈ R|x < 4} =]−∞, 4[ .

3. −2x− 8 < 0

+8⇐⇒ −2x− 8 + 8 < 0 + 8 , cioe −2x < 8

:(−2)⇐⇒ −2x

(−2)>

8

(−2), cioe x > −4

quindi S = {x ∈ R|x > −4} =]− 4,+∞[ .

Per esercizio, risolvi le disequazioni rimanenti.

8questo perche l’ordine di 2 numeri si inverte cambiandone il segno: se a > b, allora vale −a < −b


Un sistema di disequazioni (in un’incognita) e una collezione di disequazioni di cui siricercano le soluzioni comuni. Risolvere il sistema significa trovare i valori dell’incognitache soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni. Ad esempio:

x− 3 > 2x− 7

4− 1

2x ≤ 5

1 + x ≥ 1− xRisolviamo separatamente le 3 disequazioni, ricavando gli insiemi S1, S2 e S3 delle soluzioni:

x− 3 > 2x− 7 ⇐⇒ −x > −4 ⇐⇒ x < 4 quindi S1 =]−∞, 4[ ;

4− 1

2x ≤ 5 ⇐⇒ −1

2x ≤ 1 ⇐⇒ x ≥ −2 quindi S2 = [−2,+∞[ ;

1 + x ≥ 1− x ⇐⇒ x ≥ −x ⇐⇒ 2x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0 quindi S3 = [0,+∞[ ;

L’insieme delle soluzioni del sistema e l’intersezione degli insiemi delle soluzioni dellesingole disequazioni, vale a dire l’insieme degli elementi comuni ai 3 intervalli:

S = S1 ∩ S2 ∩ S3 =]−∞, 4[∩[−2,+∞[∩[0,+∞[= [0, 4[

(in questi casi, puo essere utile una rappresentazione grafica).

6. Il linguaggio degli insiemi

Una collezione di oggetti si dice insieme (in senso matematico) se esiste un criteriooggettivo che permette di decidere se un qualunque oggetto fa parte o no di essa9. Sonoad esempio insiemi

• l’insieme N dei numeri naturali,

• l’insieme P20 dei numeri primi minori di 20,

• l’insieme T di tutti i triangoli del piano,

• l’insieme DLiLu1 di tutti i docenti del LiLu1.

L’insieme e finito se contiene un numero finito di elementi, altrimenti si dice infinito.Sono ad esempio finiti gli insiemi P20 e DLiLu1, mentre N e T sono infiniti.

Gli oggetti che sono contenuti in un insieme sono detti elementi dell’insieme. Per indicarel’appartenenza ad un insieme si utilizza il simbolo ∈; ad esempio

• 5 ∈ N, cioe il numero 5 appartiene all’insieme dei numeri naturali,

• 13 ∈ P20, cioe 13 appartiene all’insieme dei numeri primi minori di 20.

Il simbolo 6∈ indica invece la non-appartenenza ad un insieme, ad esempio

• −15 6∈ N

• se q e un quadrato, allora q 6∈ T .

9si tratta della definizione data nella cosiddetta teoria ingenua degli insiemi, formulata da GeorgCantor alla fine del XIX secolo; i paradossi insiti in tale teoria condussero piu tardi alla formulazione diuna teoria assiomatica degli insiemi, di cui non ci occuperemo


Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi. L’insieme che non ha elementie detto insieme vuoto, e si indica col simbolo ∅.

Per rappresentare un insieme abbiamo molteplici possibilita; eccone tre:

1. La rappresentazione grafica, per mezzo di un diagramma di Venn (o di Eulero-Venn); ad esempio, per P20:

P20

2. La rappresentazione per elencazione (o rappresentazione tabulare), cioe l’elencodi tutti gli elementi dell’insieme (compresi tra parentesi graffe); ad esempio

P20 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} .

Nota che, nella rappresentazione per elencazione, l’ordine degli elementi non haimportanza, ad esempio vale

{α, β, γ, δ} = {β, γ, α, δ} = {α, δ, β, γ} = . . .

3. La rappresentazione mediante la proprieta caratteristica, ad esempio

P20 = {x ∈ N | x < 20 e x ∈ P} ;

il simbolo | significa “tali che”; l’espressione si traduce cosı: “P20 e l’insieme deglielementi x di N tali che x e minore di 20 e x appartiene all’insieme dei numeriprimi”.

Un insieme B e un sottoinsieme di un insieme A se tutti gli elementi di B appartengonoad A. In questo caso si scrive B ⊆ A, che si legge “B e incluso in A”. Ad esempio

• P10 ⊆ P20, dato che ogni numero primo minore di 10 e anche un numero primominore di 20

P20

P10

• se Tr e l’insieme dei triangoli rettangoli del piano, allora Tr ⊆ T ;

• se Dm e l’insieme dei docenti di matematica del LiLu1, allora Dm ⊆ DLiLu1.


Nota che l’insieme vuoto e incluso in qualunque insieme.Utilizziamo invece il simbolo 6⊆ per indicare la non-inclusione in un insieme, ad esempio

• {1, 2, 3, 4} 6⊆ P,

• {π} 6⊆ Q (cio e equivalente a dire π 6∈ Q, nota pero che la prima scrittura richiedela parentesi, perche si tratta di insiemi).

Tra gli insiemi definiamo alcune operazioni:

• L’intersezione di due insiemi A e B e l’insieme degli elementi che appartengono aA e a B:

A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Nota che vale A ∩B = B ∩ A.

Esempi:

1. {α, β, γ, δ} ∩ {α, γ, ε, µ} = {α, γ}2. P ∩ {0, 1, 2, 3, . . . , 20} = P20

3. Sia Mn l’insieme dei multipli di n ∈ N. Allora vale ad esempioM2 ∩M3 = {0, 2, 4, 6, 8, . . .} ∩ {0, 3, 6, 9, 12, . . .} = {0, 6, 12, 18, 24, . . .} = M6

• L’unione di due insiemi A e B e l’insieme degli elementi che appartengono a Aoppure a B:

A ∪B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

Nota che vale A ∪B = B ∪ A.

Esempi:

1. {α, β, γ, δ} ∪ {α, γ, ε, µ} = {α, β, γ, δ, ε, µ}2. {0} ∪ N ∪ {−n | n ∈ N} = Z


• La differenza di due insiemi A e B e l’insieme degli elementi che appartengono aA e non a B:

A \B = {x | x ∈ A e x 6∈ B}Nota che nella differenza conta l’ordine degli insiemi: A \B 6= B \ A.Esempi:

1. {α, β, γ, δ} \ {α, γ, ε, µ} = {β, δ}2. {α, γ, ε, µ} \ {α, β, γ, δ} = {ε, µ}3. P20 \ P10 = {11, 13, 17, 19}

• Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B e l’insieme delle coppie ordinatecomprendenti un elemento di A seguito da un elemento di B:

A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}Esempi:

1. {α, β} × {1, 2, 3} = {(α, 1), (α, 2), (α, 3), (β, 1), (β, 2), (β, 3)}2. R × R = R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R} puo essere identificato, tramite un

sistema di assi cartesiani, con l’insieme dei punti del piano.

Analogamente si definisce il prodotto cartesiano di piu insiemi, ad esempio

A×B × C = {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}e il prodotto cartesiano di piu copie dello stesso insieme A si indica con An:

An = A× A× . . .× A︸︷︷︸n volte

= {(a1, a2, . . . , an) | a1, a2, . . . an ∈ A}

Altri simboli utili:

• Il simbolo =⇒ indica una conseguenza; se A e B sono due affermazioni, A ⇒ Bsignifica che B e una conseguenza di A (piu brevemente: “da A segue B”, adesempio

1. a ∈M10 =⇒ a ∈M5

(cioe: se a e un multiplo di 10, allora a e un multiplo di 5)

2. Sia Dn l’insieme dei divisori di n ∈ N. Allora vale ad esempioa ∈ D10 =⇒ a ∈ D20 (cioe?)

3. A ⊆ B significa che vale x ∈ A =⇒ x ∈ B(che relazione c’e con i due esempi precedenti?)

4. x = 7 =⇒ x2 = 49

5. x2 = 49 =⇒ x ∈ { − 7,+7}.


• Il simbolo ⇐⇒ indica un’equivalenza (e si legge “se e soltanto se”); se A e Bsono due affermazioni, A ⇐⇒ B significa che B e una conseguenza di A e A e unaconseguenza di B, ad esempio

1. a ∈M10 ⇐⇒ a ∈M5 e a ∈M2

(“a e multiplo di 10 se e soltanto se a e multiplo di 5 e a e multiplo di 2”)

2. se A e B sono due insiemi, allora valex ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B(che relazione c’e con con l’esempio precedente?)

3. 2x+ 5 = 20 ⇐⇒ x =15

2

4. x2 = 100 ⇐⇒ x ∈ { − 10,+10}.5. −3x+ 1 ≥ 40 ⇐⇒ x ≤ −13

• Il quantificatore esistenziale ∃, che si legge “esiste” (o meglio: “esiste almeno un”),ad esempio

1. ∃ x ∈ R | x2 = 37(“esiste un elemento x di R il cui quadrato vale 37”)

2. ∃ w ∈ Z | w < 0

A volte viene usato anche il simbolo ∃!, che si legge “esiste esattamente”, adesempio

3. ∃! x ∈ R | x3 = 5(“esiste esattamente un elemento x di R il cui cubo e pari a 5”)

Si utilizza il simbolo 6 ∃ per indicare la non-esistenza, ad esempio

4. 6 ∃ z ∈ R | z2 < 0.

• Il quantificatore universale ∀, che si legge “per ogni” (o “per tutti gli”), ad esempio

1. x2 > 0 ∀ x ∈ R∗

2. n ∈M2 ∀ n ∈M14

Spesso, il quantificatore universale e il quantificatore esistenziale vengono usati “incoppia”, ad esempio

3. ∀m ∈ Z ∃ (−m) ∈ Z | m+ (−m) = 0(“per ogni elemento m di Z esiste un elemento (−m) di Z tale che la sommadi m e (−m) e pari a zero”)

4. ∀n ∈ N ∃ m ∈ N | m > n (cioe?).


Riassunto dei simboli utilizzati

∈ appartiene

6∈ non appartiene

⊆ incluso

6⊆ non incluso

∩ intersezione

∪ unione

\ differenza

× prodotto cartesiano

∅ l’insieme vuoto

| tale che

⇒ da...segue...

⇐⇒ se e soltanto se

∃ esiste (almeno un)

6 ∃ non esiste

∃! esiste esattamente un

∀ per ogni


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