Capitolo 3host.uniroma3.it/docenti/gori/files/Capitolo3.pdf · 2014-02-10 · Capitolo 3: Analisi di fattibilità di un’infrastruttura ... 3.1 – La pianificazione dei sistemi

Tecnica ed Economia dei Trasporti A.A. 2006 - 2007 ________________________________________________________________________________________________________________________

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Capitolo 3:

Analisi di fattibilità di un’infrastruttura


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Sommario

Capitolo 3: Analisi di fattibilità di un’infrastruttura ...........................................................................93

3.1 – La pianificazione dei sistemi di trasporto.....................................................................................96 3.1.1 – Il processo di pianificazione ................................................................................................ 97

3.1.2 – I livelli di pianificazione ...................................................................................................... 99

3.2 – Modelli dell’offerta di trasporto: le reti di trasporto ................................................................100 3.2.1 – Definizione di grafo e metodi di rappresentazione ............................................................ 100

3.2.2 – Alcune caratteristiche dei grafi .......................................................................................... 102

3.2.3 – Definizione di rete, costi e flussi d’arco e di percorso....................................................... 102

3.2.4 – Zonizzazione ...................................................................................................................... 103

3.2.5 – Estrazione del grafo ........................................................................................................... 104

3.2.6 – Funzioni di costo................................................................................................................ 107

3.2.7 – Funzioni di prestazione ...................................................................................................... 112

3.3 – La domanda di trasporto..............................................................................................................113 3.3.1 – Stima della Domanda di trasporto...................................................................................... 115

3.3.2 – Indagini sulla domanda di trasporto................................................................................... 115

3.3.3 – Struttura temporale della domanda di trasporto................................................................. 117

3.3.4 - Modelli a quattro stadi........................................................................................................ 118

3.3.5 – Modelli di generazione ed attrazione degli spostamenti.................................................... 120

3.3.5.1 – Calibrazione dei modelli regressivi ..............................................................................124

3.3.5.1.1 – Regressione .............................................................................................................124

3.3.5.1.2 –Esempio numerico ...................................................................................................126

3.3.5.1.3 –Correlazione.............................................................................................................128

3.3.5.2 – Modelli basati sull’analisi regressiva............................................................................131

3.3.5.3 – Modelli del fattore d’accrescimento .............................................................................137

3.3.6 – Modelli distributivi ............................................................................................................ 138

3.3.6.1 – Introduzione ..................................................................................................................138

3.3.6.2 – Modelli del fattore d’accrescimento .............................................................................142

3.3.6.3 – Modelli del fattore uniforme.........................................................................................142

3.3.6.4 – Modelli del fattor medio ...............................................................................................143

3.3.6.5 – Modello Detroit.............................................................................................................145

3.3.6.6. - Il modello Gravitazionale .............................................................................................147

3.3.6.6.1. - La funzione di resistenza f......................................................................................151

3.3.7 – Quadratura della matrice.................................................................................................... 154


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3.3.8 – Osservazioni sui modelli al fattore di accrescimento ........................................................ 155

3.3.9 – Utilizzo pratico dei modelli di domanda............................................................................ 156

3.4 – Calcolo dei flussi di una rete di trasporto: l’assegnazione ........................................................157 3.4.1 – Algoritmi per il calcolo degli alberi di minimo costo........................................................ 158

3.4.2 – Algoritmo di Dijkstra......................................................................................................... 159

3.5 – Il problema dell’assegnazione......................................................................................................162 3.5.1 – Formalizzazione matematica ............................................................................................. 163

3.5.2 – Criteri di assegnazione....................................................................................................... 166

3.5.3 – Ipotesi................................................................................................................................. 169

3.6 – Tecniche di assegnazione: risolubilità del sistema .....................................................................171 3.6.1 – Assegnazione tutto o niente ............................................................................................... 171

3.6.1.1 – Assegnazione tutto o niente: esempio...........................................................................172

3.6.2 – Assegnazione tutto o niente con vincolo di capacità ......................................................... 172

3.6.3 – Assegnazione incrementale................................................................................................ 173

3.6.3.1– Assegnazione incrementale: esempio ............................................................................174

3.6.4 – Assegnazione alle medie successive.................................................................................. 175

3.6.4.1 – Assegnazione alle medie successive: esempio .............................................................175


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3.1 – La pianificazione dei sistemi di trasporto Un sistema di trasporto può essere definito come l’insieme dei componenti e delle loro

reciproche relazioni che realizzano la produzione ed il consumo del servizio di trasporto in un ambiente.

I componenti del sistema di trasporto sono costituiti dagli utenti, persone o merci, dalle infrastrutture, dai mezzi utilizzati direttamente o indirettamente per la produzione del servizio: questi sono legati da una serie di relazioni come la dipendenza dal tempo di percorrenza di un tronco stradale, dalla quantità di utenti che lo utilizzano, o la dipendenza del servizio pubblico dalle tariffe praticate.

E’ chiaro che le varie componenti di un sistema sociale interagiscono tra loro ad un livello molto profondo e, proprio per tale motivo, per risolvere uno specifico problema, è necessario effettuare delle semplificazioni, a volte anche drastiche e senza le quali il problema non sarebbe risolvibile.

L’approccio tipico dell’ingegneria è quello di isolare gli elementi ritenuti rilevanti per il problema in esame: questi con le loro interconnessioni costituiscono il sottosistema rilevante o sistema di progetto. Tutto il resto viene definito ambiente esterno e viene tenuto in conto unicamente attraverso le sue relazioni con il sistema di progetto.

Il criterio generale seguito è quello di considerare come sistema di progetto quello entro il quale si prevede si esauriscano in buona misura gli effetti degli interventi progettati.

Per chiarire meglio quanto detto, si consideri una città, o sistema urbano, all’interno della quale è possibile individuare molteplici sottosistemi, fra i quali quello dei trasporti è quello di nostro interesse.

Tutti gli elementi del sistema urbano non inclusi in quello in analisi costituiscono l’ambiente esterno, spesso definito sistema delle attività, che però interagisce profondamente con il sistema dei trasporti, basti pensare all’importanza che la localizzazione delle residenze ha sulla mobilità.

Chiaramente se il problema è quello della progettazione del solo servizio di trasporto pubblico su gomma, questo sarà il sottosistema rilevante, mentre tutto il resto sarà considerato ambiente esterno.

In generale un sistema di trasporto può essere ulteriormente scomposto in due sottosistemi fortemente interagenti: quello costituito dagli utenti del servizio, con le loro caratteristiche, che di solito viene indicato come Sistema di Domanda, e quello costituito dalle componenti sia fisiche che organizzative che contribuiscono a produrre il sistema, che di solito viene indicato come Sistema di Offerta (Figura 3.1).

Figura 3.1

Nel seguito sarà esaminata l’influenza del sistema delle attività su quello dei trasporti, ma non quella inversa, dove i fattori economici e sociali giocano un ruolo fondamentale.


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3.1.1 – Il processo di pianificazione La pianificazione dei trasporti può essere definita come l’attività di decidere la realizzazione di

interventi sul sistema dei trasporti, sulla base degli effetti che si prevede ne possano derivare.

Gli interventi possono essere di natura diversa, come la costruzione di nuove infrastrutture, la modifica delle esistenti, l’organizzazione dell’offerta dei sistemi di trasporto pubblico o privato, fino alla definizione delle tariffe e degli orari di esecuzione del servizio pubblico.

Tutti questi elementi non sono stati menzionati a caso, ma in considerazione del fatto che le modifiche del loro assetto hanno ricadute molteplici su diversi elementi che compongono la collettività, anche in virtù del fatto che nella realtà queste decisioni si susseguono nel tempo. Tale fatto ha portato a modificare la concezione della pianificazione dei trasporti, passando dalla pianificazione intesa come redazione di un piano, ovvero di un’attività chiusa nella quale sono staticamente previsti degli interventi da realizzarsi ad un dato orizzonte temporale, al processo di pianificazione inteso come una sequenza di piani finalizzati alle diverse decisioni che sono prese in momenti diversi, non fissati a priori.

Il processo di pianificazione si svolge attraverso le macro attività indicate in Figura 3.2.

Individuazione degli obiettivi e dei vincoli. Al riguardo esistono diverse possibili ottiche: le imprese private o miste di solito si prefiggono come obiettivi quelli di massimizzare i ricavi al netto dei costi di produzione. I vincoli possono a loro volta essere costituiti dalla normativa vigente in materia, dal budget disponibile, o dalle limitazioni tecniche sulle capacità produttive dei fattori impiegati.

Nel caso del decisore pubblico gli obiettivi dell’intervento possono essere molto più indefiniti che non nel caso di quello privato, prefissandosi ad esempio come finalità l’aumento della sicurezza, la riduzione del costo generalizzato per lo spostamento per gli utenti del sistema di trasporto, lo sviluppo di alcuni settori dell’economia o l’aumento dell’accessibilità ai servizi da parte del pubblico.

Figura 3.2

Scenari (previsioni sulle variabili esogene)

Modello matematico del sistema domanda / offerta

Individuazione di obiettivi e vincoli

Analisi della situazione attuale -sistema delle attività -sistema di trasporto

Formulazione progetti (piani) di sistemi alternativi

Simulazione quantitativa degli effetti dei progetti alternativi

Confronto dei piani alternativi (valutazione)

Scelta e realizzazione interventi


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Analisi della situazione attuale. In questa fase vengono analizzate in modo quantitativo le condizioni attuali di funzionamento del sistema di trasporto che sarà oggetto dell’intervento, e del sistema di attività che con esso interagisce: finalità di questa fase è l’individuazione di tutte le insufficienze e criticità del sistema rispetto agli obiettivi ed ai vincoli dell’intervento.

Formulazione dei progetti (o piani) di sistema. La stretta interdipendenza esistente tra gli elementi di un sistema di trasporto fa si che un intervento vada progettato considerando in modo organico e coordinato tutte le componenti che da esso possono essere sostanzialmente influenzate.

Il progetto del sistema di solito si limita a definire le caratteristiche funzionali del sistema di trasporto e degli elementi che lo compongono, rimandando la loro progettazione esecutiva, se necessaria, alla fase di realizzazione del piano. In generale è possibile configurare più progetti di sistema in risposta a prefissati obiettivi e fra questi è di solito incluso il non intervento, ovvero la decisione di mantenere il sistema nella sua configurazione attuale.

Nel caso in cui il progetto preveda l’esecuzione di più interventi successivi, gli effetti e quindi la convenienza di un progetto possono essere notevolmente influenzati dalla successione temporale delle realizzazioni.

La valutazione dei progetti alternativi richiede la simulazione degli effetti che deriverebbero dalla loro realizzazione nonché il confronto dei progetti sulla base di tali effetti.

Buona parte degli impatti di un intervento sul sistema di trasporto sono calcolabili in modo quantitativo attraverso l’uso di un modello matematico del sistema di trasporto; questo a sua volta si compone di un modello che simula le caratteristiche rilevanti della domanda di trasporto (modello di domanda) conseguente ad un dato sistema di attività e di offerta di trasporto (modello di offerta), che simula le caratteristiche principali offerte dal sistema di trasporto, e di un modello che simula le interazioni domanda/offerta in modo da poter prevedere i valori di flussi, tempi, costi e ricavi e delle altre variabili rilevanti per un sistema di trasporto.

La simulazione delle conseguenze di un progetto di trasporto su un orizzonte temporale sufficientemente ampio richiede la formulazione di ipotesi sull’assetto futuro del sistema di attività: un insieme di ipotesi congruenti sul sistema di attività è di solito denominato scenario socio-economico.

Le informazioni sugli effetti dei diversi progetti possono essere organizzate in modo da facilitarne l’uso da parte del soggetto decisore. Esistono molteplici tecniche di elaborazione che forniscono risultati a diversi livelli di aggregazione, ma bisogna ricordare che queste tecniche di confronto fra le alternative non possono e non devono sostituire l’attività sostanzialmente politica di scelta degli interventi, nella quale si realizza la mediazione tra interessi ed obiettivi contrastanti.

I processi decisionali che governano gli interventi, come mostrato in questi paragrafi, sono molto complessi, ed esattamente in queste fasi l’ingegnere dei trasporti svolge il ruolo tecnico che gli è proprio, nell’analisi, progettazione e simulazione degli interventi, e talvolta anche nell’esplicitare gli obiettivi specifici degli interventi che esso sta analizzando, in quanto non direttamente fatto dal committente dei lavori.


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3.1.2 – I livelli di pianificazione Anche se non esiste un ben preciso schema di un processo di pianificazione, in quanto ogni

problema richiede analisi specifiche ed azioni elementari che si susseguono in ordine diverso, è possibile definire tre livelli di pianificazione, in funzione del tipo di intervento da progettare.

Si parla di pianificazione strategica, o piano d’investimenti, quando il piano prevede consistenti investimenti di capitale per la realizzazione di nuove infrastrutture (strade, ponti, porti) e quindi tempi globali di realizzazione e di vita tecnica particolarmente prolungati (10, 20 anni ed oltre).

E’ pratica corretta considerare come sistema di progetto l’intero sistema di trasporto dell’area, in quanto la realizzazione di opere notevoli in un solo sottosistema può modificare sostanzialmente l’assetto dell’insieme.

Ad esempio, nel caso della realizzazione di una linea di metropolitana, è corretto supporre che questa modifichi in qualche misura l’uso del suolo urbano, e quindi la stessa struttura della domanda di trasporto.

All’estremo opposto si situa la pianificazione operativa, o d’esercizio, relativa agli interventi sul sistema di trasporto da realizzarsi in tempi brevi, con limitato o nullo investimento di ulteriori risorse.

E’ il caso dei Piani Urbani del Traffico (PUT) nei quali sono previsti interventi di regolazione della circolazione e della sosta, o dei piani d’esercizio del trasporto pubblico, con la definizione dei percorsi di linee, frequenze ed orari. A questo livello molte delle fasi rappresentate in Figura 3.2, seppur teoricamente presenti, vengono eseguite in modo implicito o semplificato.

La prospettiva più limitata del sistema di progetto di solito corrisponde alla necessità di informazioni di maggior dettaglio e quindi di una sua rappresentazione più disaggregata: a questo livello chiaramente il ruolo del tecnico assume una maggiore rilevanza.

Il livello intermedio delle operazioni di pianificazione di solito viene definito come pianificazione tattica, all’interno di cui sono raggruppati piani a breve e medio termine che implicano limitati investimenti, come l’individuazione delle tariffe del sistema di trasporto pubblico o gli schemi generali di una rete di trasporto, senza però arrivare alla progettazione esecutiva degli elementi di dettaglio, come l’orario delle corse o la fasatura dei semafori.


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3.2 – Modelli dell’offerta di trasporto: le reti di trasporto I modelli matematici dei sistemi di offerta di trasporto utilizzano, da una lato la teoria dei grafi e

delle reti per rappresentare la struttura topologica e funzionale del sistema, e dall’altro i risultato di diverse discipline dell’ingegneria per descrivere le prestazioni e le interrelazioni degli elementi che lo compongono.

Ad esempio mentre la meccanica della locomozione viene utilizzata per descrivere il moto di un veicolo isolato su un’infrastruttura, l’ingegneria del traffico analizza le relazioni fra le infrastrutture fisiche, con le loro caratteristiche, ed il flusso di utenti che le impegna.

3.2.1 – Definizione di grafo e metodi di rappresentazione Un Grafo G è costituito da una coppia ordinata di insiemi, un insieme N di elementi detti Nodi ed

un insieme L di coppie di nodi appartenenti ad N dette Archi o Rami: G = (N,L). I nodi costituenti l’insieme N possono individuare punti fisici di un territorio, i diversi

componenti fisici di un sistema, o le sue diverse attività. La presenza di un arco sta ad indicare l’esistenza di una relazione di qualsiasi tipo fra la coppia di nodi che lo definisce.

Si noti che un grafo costituisce esclusivamente una relazione di tipo topologico, ovvero consente di sapere unicamente se fra due elementi esiste o meno una relazione che definisce gli archi, ma a tale relazione non è associata alcuna informazione di tipo quantitativo.

Nel caso in cui le coppie di nodi siano ordinate, ovvero la coppia (i,j) sia diversa dalla coppia (j,i), allora gli archi si dicono orientati o direzionali: in un arco orientato il primo nodo della coppia si dice nodo iniziale, il secondo nodo finale.

I grafi utilizzati per rappresentare i sistemi di trasporto sono nella quasi totalità dei casi dei grafi orientati.

La rappresentazione più immediata è quasi sempre quella grafica (Figura 3.3) nella quale i nodi sono individuati da un cerchietto contrassegnato da un numero, e gli archi da segmenti che connettono le varie coppie di nodi costituenti l’insieme L.

Ciascun arco orientato possiede una freccia che ne indica il verso d’orientamento.

Le rappresentazioni numeriche dei grafi possono essere molteplici, sia in forma vettoriale che matriciale, dove i nodi vengono contraddistinti con dei numeri interi: per l’individuazione delle coppie costituenti l’insieme L, si impiegano tecniche diverse.

La matrice di adiacenza ha un numero di righe e di colonne pari al numero dei nodi della rete: l’elemento individuato dalla riga i e dalla colonna j è uguale ad 1 se la coppia (i,j) fa parte dell’insieme L, altrimenti è uguale a zero.

Nella matrice d’adiacenza nodi-archi ogni riga corrisponde ad un nodo, ogni colonna ad un arco: l’elemento (i,j) della matrice è uguale a zero se il nodo i-esimo non appartiene all’arco corrispondente alla colonna j, è invece uguale ad 1 se è il nodo iniziale dell’arco orientato, mentre è uguale a -1 se ne è il nodo finale.

La rappresentazione più usata nei programmi di calcolo è invece quella nota come stella in uscita, o forward star (FW): tale rappresentazione si basa sul fatto che in un grafo ciascun nodo è origine di una stella di archi che si dipartono da esso.

In un primo vettore “a” vengono riportati, in blocchi successivi, i nodi di estremità delle varie stelle, ciascun blocco disposto dopo l’altro nello stesso ordine con cui si succedono i nodi di origine


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delle stelle.

Le componenti del secondo vettore, “b”, sono i puntatori, ovvero i numeri che indicano le posizioni occupate nel vettore “a” dagli ultimi nodi dei successivi blocchi.

Figura 3.3

La lettura contemporanea dei due vettori consente di scandire il primo in blocchi e quindi di conoscere, per ciascun nodo, gli archi di cui esso è il nodo di origine: in definitiva i nodi collegati in uscita al nodo i-esimo sono le componenti del vettore “a” comprese tra quella bi-1+1 e quella bi, assunto implicitamente b0 pari a zero.

Matrice d’adiacenza

1 2 3 4 5 1 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 5 1 0 1 1 0

Matrice d’incidenza nodi-archi

1-4 2-1 2-3 2-5 3-5 4-3 5-1 5-3 5-4

1 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0

2 0 1 1 1 0 0 0 0 0

3 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0

4 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1

5 0 0 0 -1 -1 0 1 1 1

Stella di archi (forward star)

Nodo a b 1 4 1 2 1 4 3 3 5 4 5 6 5 5 9 3 1 3

4

1 4

32

5


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3.2.2 – Alcune caratteristiche dei grafi In un grafo si definisce cammino, percorso, o itinerario una sequenza di archi nella quale il nodo

finale di ciascun arco coincide con quello iniziale del successivo.

Un percorso si dice circuito o loop se il nodo finale di un percorso coincide con il nodo iniziale del successivo (nel seguito sarà sottointeso il riferimento esclusivamente a cammini privi di circuiti).

Un grafo si dice connesso se ciascun nodo è origine di almeno un itinerario che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo: un grafo, in cui non è presente nemmeno un circuito, nel quale esiste un solo itinerario che collega il nodo i con ciascun altro nodo, si dice albero di radice i.

Nelle reti di trasporto risultano particolarmente importanti quei percorsi che collegano coppie di nodi nei quali iniziano e terminano gli spostamenti: tali nodi sono definiti centroidi.

Per un dato grafo di cui sia esattamente noto il numero dei centroidi è possibile elencare tutti i possibili percorsi privi di circuiti aventi un centroide come nodo iniziale ed un altro qualsiasi centroide come nodo terminale.

Per l’uso che se ne farà nel seguito sono molto importanti le seguenti due matrici di incidenza:

- matrice d’incidenza archi-percorsi A, nella quale ciascuna riga corrisponde ad un arco del grafo e ciascuna colonna ad un itinerario: l’elemento i,j è pari ad 1 se l’arco fa parte dell’itinerario corrispondente alla colonna j, altrimenti è pari a zero;

- matrice d’incidenza coppie di nodi-percorsi B, nella quale ciascuna riga corrisponde ad una coppia di nodi e ciascuna colonna ad un percorso: l’elemento della casella i,j è pari ad 1 se l’itinerario j collega la coppia i (cioè ha come nodi di estremità quelli che costituiscono la i-esima coppia), uguale a zero altrimenti.

Si osserva che ciascuna colonna ha un solo elemento uguale a 1 sulla riga corrispondente alla coppia di nodi (centroidi) collegata dall’itinerario corrispondente alla colonna. Il numero di elementi della matrice dipende dal numero delle coppie di nodi per le quali si considerano gli itinerari.

3.2.3 – Definizione di rete, costi e flussi d’arco e di percorso Si definisce rete un grafo ai cui archi sono associate delle caratteristiche quantitative.

Ciascun arco di un grafo impiegato per rappresentare un sistema di trasporto è caratterizzato da un tempo di trasferimento e/o da altri oneri sopportati dall’utente del sistema di trasporto per spostarsi dal nodo iniziale a quello finale.

Il costo di trasporto di un arco è una grandezza scalare che sintetizza le diverse voci di costo sopportate dagli utenti, così come da loro valutate: in altri termini, il costo di trasporto riflette la disutilità complessiva degli utenti a percorrere un arco.

Gli elementi che compongono il costo di trasporto sono grandezze non omogenee, per esempio tempo, costo monetario, stress,...etc, ovvero è un vettore i cui elementi sono costituiti dalle suddette grandezze. Per ridurre il costo ad una grandezza scalare, ci si può limitare a prendere in esame la componente più rilevante per gli utenti, di solito il tempo di trasferimento, oppure tutte le sue componenti che vengono omogeneizzate in un costo generalizzato attraverso l’applicazione di coefficienti di reciproca sostituzione calibrati con un modello opportuno.

Si definisce vettore dei costi d’arco un vettore “c” la cui generica componente cij è costituita dal costo generalizzato del trasporto sull’arco i,j.

Per quanto il numero di utenti, ovvero la domanda, di un sistema di trasporto varii nel tempo,


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normalmente le analisi vengono condotte sotto le ipotesi di funzionamento stazionario, assumendo cioè che la domanda di trasporto, con le sue caratteristiche, presenti solo delle oscillazioni intorno ad un valore medio che si mantiene costante in un intervallo temporale sufficientemente ampio da far si che il numero medio di utenti che percorrono ciascun arco del grafo resti costante: il numero medio di utenti che percorre l’arco in un intervallo di tempo unitario prende il nome di flusso d’arco.

Si noti che il flusso viene sempre considerato una grandezza scalare, per cui se gli utenti che lo compongono fanno parte di categorie non omogenee, esse vengono omogeneizzate attraverso opportuni coefficienti di equivalenza.

I concetti di flusso e costo possono essere estesi anche ai percorsi, assumendo quindi che le grandezze relative al singolo percorso k siano risultanti dalla sommatoria di quelle riferite ai singoli archi che compongono il percorso generico.

Il costo Ck del generico percorso k si assume sia pari alla somma dei costi degli archi che compongono tale percorso, secondo la seguente relazione.

∑=

iiikk caC (3.1)

Per quanta riguarda i flussi, il flusso che percorre un generico arco i è dato dalla somma dei flussi sui percorsi che comprendono tale arco, ovvero:

∑=

ikiki Faf

(3.2)

In definitiva si definisce rete di trasporto T l’insieme ordinato costituito da un insieme N di nodi, da un insieme L di coppie di nodi appartenenti ad N e da un insieme C di costi, ciascuno corrispondente ad un elemento di L: T = (N, L,C).

3.2.4 – Zonizzazione Una volta inquadrata geograficamente l’area di studio è necessario analizzare gli spostamenti che

la interessano, visto che questi in generale possono iniziare e finire in un qualsiasi punto del territorio.

Per facilitare la modellizzazione del sistema è tuttavia utile discretizzare il problema, suddividendo l’area di studio in zone di traffico fra le quali si svolgono gli spostamenti che riguardano il sistema di progetto. Tali spostamenti vengono definiti interzonali, mentre per spostamenti intrazonali si intendono gli spostamenti che iniziano e terminano all’interno della stessa zona di traffico.

Poiché l’obiettivo della zonizzazione è quello di approssimare tutti i punti di inizio e fine degli spostamenti interzonali con un unico punto (centroide di zona), il criterio teorico da seguire per la zonizzazione è di individuare porzioni dell’area di studio per le quali tale concentrazione rappresenti un’ipotesi accettabile.

In termini pratici esistono molte possibili zonizzazioni diverse per una stessa area di studio, tra le quali la migliore andrà ricercata in funzione degli obiettivi principali dello studio: un elevato numero di zone porta di solito ad una rappresentazione più precisa del fenomeno reale ed a una minore incidenza degli spostamenti intrazonali, richiedendo oneri molto maggiori per la schematizzazione e la simulazione del sistema di trasporto, oltre a portare ad una minore precisione di stima della domanda.

Per le aree esterne a quella di studio viene di solito eseguita una zonizzazione con un numero di zone nettamente inferiore e più ampie di quella di studio, interessando solo ed unicamente per caratterizzare gli spostamenti che si svolgono da e per l’interno dell’area di studio.


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3.2.5 – Estrazione del grafo La schematizzazione di un sistema di offerta di trasporto mediante un grafo, ovvero l’estrazione

del grafo dalla realtà fisica, consiste fondamentalmente nell’individuazione di quelle posizioni spazio-temporali (nodi) e dei loro collegamenti (archi) che si ritengono significativi ai fini dell’analisi del sistema reale e per i quali si vogliono conoscere i flussi.

Nodi ed archi possono rappresentare realtà fisiche diversissime: i nodi possono rappresentare l’inizio e la fine di un collegamento stradale, ma potrebbero al tempo stesso rappresentare l’ingresso e l’uscita degli utenti da uno specifico punto.

Per quanto riguarda i centroidi, questi sono dei nodi nei quali si ipotizzano concentrati i punti terminali degli spostamenti di ingresso e di uscita da ciascuna zona di traffico, esistendo in generale un centroide per ciascuna zona di traffico.

Il centroide può essere anche nodo fittizio, ovvero un nodo al quale non corrisponde alcun luogo fisico, ma che rappresenta l’insieme dei punti interni alla zona, nei quali può iniziare o terminare uno spostamento e che peraltro viene posizionato in modo baricentrico rispetto a tali punti.

Qualora i nodi centroidi non coincidano con i nodi reali, si introducono nel grafo degli archi connettori, detti anche fittizi, ai quali corrisponde lo spostamento tra il centroide di zona ed un nodo reale della rete.

Stesso discorso può esser fatto per gli archi, per i quali in sintesi si può dire che a ciascun senso di marcia di ciascun modo (o servizio) di trasporto corrisponde almeno un arco del grafo.

L’estrazione del grafo presenta diversi gradi di difficoltà, in funzione del sistema che si intende rappresentare e del livello di dettaglio a cui è necessario spingere tale modellizzazione: tale operazione è in generale semplificata quando il grafo è relativo ad un unico modo di trasporto (grafo monomodale) per il quale si considera un unico tipo di utente e di servizio e non sono definite a priori le infrastrutture fisiche sedi del movimento, come nel caso del trasporto marittimo in cui i nodi corrispondono ai terminali d’imbarco, e gli archi alle rotte che li collegano.

Tale schematizzazione risulta più complessa man mano che il numero dei modi di trasporto, delle infrastrutture utilizzate, dei clienti e dei servizi resi aumenta.

Nella costruzione di un grafo multimodale vanno considerati i punti di interscambio o di trasferimento da un modo all’altro, rappresentati in genere da più nodi spesso relativi allo stesso luogo fisico in cui esiste un tempo ed un costo associati al trasferimento da un modo di trasporto all’altro, come nel caso delle fermate degli autobus, in cui avviene lo scambio tra il modo autobus e quello piedi.

Quando il sistema di trasporto comprende infrastrutture di diverso livello qualitativo, si pone il problema di selezionare quelle da includere nel grafo.

Nelle aree urbane e metropolitane il sistema stradale comprende normalmente infrastrutture con caratteristiche ed utilizzazioni diversissime, dalle autostrade con elevate caratteristiche prestazionali, fino alle più modeste strade di quartiere.

Per il buon funzionamento globale del sistema di trasporto è necessaria una chiara attribuzione di funzioni alle singole reti ed una precisa individuazione delle funzioni principali e secondarie per gli archi di esse (vedi tabella seguente): in questo modo è possibile evitare che i singoli elementi stradali appartengano contemporaneamente a diverse classi di reti.


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Tipo di strada \ Funzione PRIMARIA (a)

PRINCIPALE (b)

SECONDARIA (c)

LOCALE (d)

Transito, scorrimento • o

Distribuzione o • o

Penetrazione o • o

Accesso o •

dove: • funzione principale propria

° funzione principale della classe adiacente

Per garantire il corretto funzionamento del sistema globale devono essere aggiunte anche le interconnessioni che, se omogenee collegano strade della stessa rete e, se disomogenee, possono collegare solo ed esclusivamente strade appartenenti a reti di livello funzionale adiacente.

Nella Figura 3.4 è riportata la schematizzazione planimetrica della classifica funzionale appena vista, anche in termini di interconnessioni tra le infrastrutture.

Figura 3.4


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Figura 3.5

E’ pratica comune, nella maggior parte dei casi, escludere dal grafo le strade locali ad esclusivo servizio dei quartieri (Figura 3.5), ponendosi comunque il problema di individuare la funzione prevalente di ciascuna strada, in base alle proprie esperienze ed alla conoscenza approfondita della zona di studio.

Figura 3.6

Le intersezioni fra le infrastrutture appena menzionate, devono essere rappresentate con una schematizzazione coerente con il livello di dettaglio usato per rappresentare l’intero sistema e con le regole che governano l’uso dell’intersezione stessa.

Qualora di un’intersezione interessino i singoli flussi di manovra, chiaramente la rappresentazione riportata nella Figura 3.6 di sinistra non sarà assolutamente idonea, non essendo in grado di fornire tali informazioni.

Al contrario la rappresentazione di Figura 3.6 destra risulta fornire le informazioni richieste dal livello di dettaglio con cui si sta studiando la rete, attraverso l’uso di alcuni archi di manovra, ovvero di archi non realmente esistenti ma che hanno la funzione di rappresentare le manovre possibili sull’intersezione analizzata.

Strada Primaria

Strada Principale

Strada Secondaria

Strada locale


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3.2.6 – Funzioni di costo Alcune delle grandezze che compongono il costo di trasporto di un arco, come il tempo o il

consumo di carburante, in generale dipendono dal flusso di utenti che utilizza l’arco stesso ed alcuni altri archi della rete, a causa delle interferenze fra i diversi utenti del sistema di trasporto, la cui capacità è intrinsecamente limitata.

La funzione di costo di un arco è la relazione matematica che lega il costo medio di trasporto ai flussi che lo percorrono ed alle caratteristiche fisiche e funzionali del collegamento rappresentato.

Si parla di costo medio in quanto il costo generalizzato del trasporto, ed in particolare delle componenti come il tempo di percorrenza, presenta delle oscillazioni aleatorie a parità di flussi.

Figura 3.7

Figura 3.8


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108

Nelle Figura 3.7 e Figura 3.8 sono riportati i diagrammi flusso/velocità per una carreggiata autostradale a due corsie e per una strada urbana.

Nel caso di una carreggiata autostradale a senso unico o di un’area di accumulo ad una casello autostradale, il costo dipende soltanto dal flusso che percorre l’arco in questione.

Se però un arco rappresenta una delle due direzioni di marcia (di un tronco stradale bidirezionale a due corsie) il suo tempo di percorrenza dipende dai flussi in tutte e due le direzioni.

Infine se l’arco rappresenta una manovra di svolta da un’intersezione che deve dare la precedenza, il costo dell’arco è costituito dal tempo di attesa all’intersezione, che dipende sia dal flusso che deve svoltare ma anche da quello diretto con cui la svolta interferisce.

Se il costo di trasporto sull’arco è funzione del solo flusso che percorre tale arco, la funzione di costo si dice separabile:

( )iii fcc *= (3.3)

Si hanno invece funzioni di costo non separabili se il costo sull’i-esimo arco dipende dai flussi su più archi, o formalmente, dall’intero vettore dei flussi d’arco:

( )fcc ii *= (3.4)

Visto che esistono moltissime curve di deflusso, utilizzabili nelle più svariate applicazioni, in questa sede ci si limiterà per semplicità a considerare il solo tempo di percorrenza, che soprattutto nei sistemi urbani, risulta essere determinante per il funzionamento del sistema stesso.

La struttura delle funzioni di costo, nel caso in cui le condizioni di funzionamento della rete sono principalmente del tipo a flusso ininterrotto, è notevolmente diversa da quella che si ha in condizioni di flusso interrotto.

Figura 3.9

Nel primo caso, ovvero tipico di strade extraurbane, il tempo di percorrenza di un tronco è


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109

nettamente prevalente rispetto all’eventuale tempo di attesa nell’intersezione al termine dell’arco, che risulta quindi trascurabile (Figura 3.9):

+=

β

αi

iii g

ftt *1*0 (3.5)

Nel caso delle strade urbane gli archi hanno lunghezze molto inferiori e la velocità di percorrenza è scarsamente influenzata dal flusso, sia per la modesta distanza esistente tra le intersezioni, sia per l’esistenza di limiti di velocità bassi.

Inoltre il tempo di attesa alle intersezioni non può essere trascurato, essendo spesso la parte prevalente del costo di un arco: nella struttura della funzione di costo è perciò opportuno tenere il tempo di percorrenza vero e proprio, tempo di running, dato dal rapporto tra la lunghezza dell’arco e la velocità commerciale, separato da dal tempo di attesa alle intersezioni, tempo di waiting.

La velocità di percorrenza di un tronco urbano può essere calcolata con varie espressioni, spesso di derivazione empirica, come la seguente ad esempio:

[ ]2

2 **000123,0000053,0*4,1*4,10*8,12*12*8,211,3

−−−−−−+=

i

iiiiiiii l

fXINTDTPlv (3.6)

dove:

- V è la velocità, in km/h

- l è la larghezza della carreggiata, depurata della sosta, in metri

- P è la pendenza media, in %

- T è il grado di tortuosità, in scala

- D è il grado di disturbo alla circolazione, in scala

- INT è il numero di intersezioni secondarie al chilometro

- X è una variabile dummie per rappresentare la possibilità di sorpasso

- f è il flusso sull’arco, in veicoli/h

Per il calcolo del tempo di attesa, le formule empiriche sono state ricavate in funzione del tipo di intersezione che devono rappresentare.


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110

Nel caso di semaforo isolato, il tempo di attesa può essere calcolato secondo l’adattamento di Doherty della formula di Webster:

se Sf i µ*95,0≤

( )

−

+−=

i

iwi fS

fS

Ttµµ

µ *55,0)1(**5,0 2 (3.7)

se Sf i µ*95,0f

+=

Sfbat i

wi µ* (3.8)

dove

- T è la durata del ciclo semaforico

- μ=G/T è il rapporto tra il singolo verde ed il ciclo totale

Figura 3.10

La prima funzione fornisce un ritardo che tende all’infinito al tendere del flusso alla capacità, come se il flusso rimanesse costante per un periodo di tempo illimitato: nella realtà il funzionamento stazionario del sistema si verifica per intervalli di tempo molto limitati.

La seconda funzione invece, è la prosecuzione lineare della prima, imponendo la coincidenza


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111

della tangente e del coefficiente angolare della retta per un flusso pari al 95% della capacità.

L’andamento di una generica funzione di costo per il tempo di attesa, è riportata in Figura 3.10.

Infine, nel caso di intersezioni non semaforizzate, il tempo di attesa all’intersezione per un certo schema di manovre dipende dal flusso che percorre l’arco e da quello che percorre gli archi corrispondenti alle manovre interferenti.

Si hanno in questo caso funzioni di costo non separabili.

In Figura 3.11 è riportato lo schema di un’intersezione non semaforizzata, il cui flusso sull’arco 2 deve dare la precedenza a quello sull’arco 1, e l’andamento di varie funzioni di costo per flussi diversi.

Figura 3.11

In definitiva se Li è la lunghezza di un arco che comprende anche l’attraversamento dell’intersezione finale, la funzione di costo sarà data dalla seguente espressione:

wii

ii t

VL

t += (3.9)


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112

3.2.7 – Funzioni di prestazione Per la valutazione di piani di trasporto alternativi è necessario conoscere non solo il costo

generalizzato percepito dagli utenti del sistema e ricavabile dalle funzioni di costo, ma anche delle altre grandezze che misurano i costi sopportati dagli utenti del sistema, ma non percepiti nelle scelte di mobilità, ed i costi per i non-utenti, ovvero delle esternalità rispetto al mercato del servizio di trasporto (costi di manutenzione, inquinamento acustico ed atmosferico).

Tali costi sono associabili ai singoli archi della rete e dipendono dai flussi che vi transitano: le funzioni matematiche che esprimono tale dipendenza prendono il nome di funzioni di prestazione.

Nelle figure seguenti sono riportati gli andamenti rispettivamente delle emissioni di HC e CO, e del consumo urbano in funzione della velocità media per ciascun veicolo.

Figura 3.12 (a, b)


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3.3 – La domanda di trasporto I viaggiatori e le merci che si spostano in una determinata area costituiscono la domanda di

trasporto relativa ad uno specifico sistema di trasporto.

Normalmente uno spostamento non produce utilità di per sé, essendo un’attività complementare allo svolgimento di altre attività, in luoghi diversi da quelli in cui ci si trova.

La domanda di trasporto è quindi una domanda derivata, risultato dell’azione congiunta dell’assetto del territorio con la distribuzione spaziale di abitazioni, servizi ed attività industriali, e del particolare sistema di offerta di trasporto.

La domanda di trasporto può essere formalmente definita come il numero di utenti con determinate caratteristiche che “consuma” il servizio offerto da un sistema di trasporto in un periodo di tempo prefissato.

L’ampiezza del suddetto periodo di tempo dipende dalle finalità delle analisi: sovente si ricorre al TGM (Traffico Giornaliero Medio), mentre per la progettazione dei singoli elementi del sistema di trasporto si richiede la conoscenza della domanda in un breve periodo di massimo carico (ad esempio l’ora di punta).

Nel caso sia invece necessario effettuare delle valutazioni su interventi relativi al sistema di trasporto, è necessario conoscere la domanda in periodi di tempo molto più lunghi, paragonabili alla durata tecnica dell’intervento.

Gli utenti di un sistema, e quindi gli spostamenti che essi producono, possono essere caratterizzati secondo svariati parametri, fra i quali normalmente la più importante è la caratterizzazione spaziale, proprio in virtù della natura stessa del fenomeno della mobilità.

Gli spostamenti possono essere suddivisi per luogo, centroide o zona, di Origine e Destinazione, dando luogo alle matrici di origine-destinazione (O/D). Tali matrici hanno un numero di righe e di colonne uguale al numero di zone presenti nell’area di studio fra le quali possono avvenire gli spostamenti, ed il generico elemento dOD fornisce il numero di spostamenti che hanno origine dalla zona O e destinazione nella zona D, nell’unità di tempo.

La somma degli elementi della i-esima riga:

∑=j

iji dd (3.10)

rappresenta il totale degli spostamenti che partono dalla zona i-esima e prende il nome di generazione della zona i-esima.

La somma degli elementi della j-esima colonna:

∑=i

ijj dd (3.11)

rappresenta il totale degli spostamenti che terminano nella zona j-esima e prende il nome di attrazione della zona j-esima.

In Figura 3.13 è riportata una rappresentazione schematica dei tre tipi di spostamento e la loro individuazione sulla matrice O/D.

Gli elementi della matrice O/D possono essere classificati anche in base al tipo di zona di origine e destinazione: si parla di spostamenti interni nel caso in cui l’origine e la destinazione sono zone interne all’area di studio, mentre di spostamenti di scambio quando l’origine e la destinazione non appartengono


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114

alla stessa zona.

Figura 3.13

Gli spostamenti di attraversamento infine hanno sia l’origine che la destinazione in zona esterne all’area di studio, anche se attraversano quest’ultima. Nel seguito indicheremo con d(C1, C2,..) il numero di utenti che possiedono le caratteristiche C1, C2, etc.

La descrizione più completa della domanda è quella che definisce il flusso di spostamenti Origine/Destinazione per caratteristiche degli utenti: si ottengono in tal modo le matrici O-D per motivo dello spostamento, per modo di spostamento, etc.

Il flusso di utenti che si spostano fra la coppia di zone O e D con caratteristiche C1, C2, etc. si indica con dOD (C1, C2,..): ad esempio il numero degli spostamenti effettuati dalla zona O alla zona D per il motivo S con il modo M e seguendo il percorso K sarà indicato come dOD (s,m,k).

Nei prossimi capitoli per comodità di notazione gli elementi della matrice O/D con determinate caratteristiche saranno talvolta ordinati in un vettore d(C1, C2,..), detto anche vettore di domanda. La i-esima componente di tale vettore sarà indicata con di oppure in modo esplicito con dODi.

Le due rappresentazioni sono evidentemente equivalenti in quanto a ciascun indice corrisponde un’unica coppia di zone e viceversa.


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115

3.3.1 – Stima della Domanda di trasporto La pianificazione dei sistemi di trasporto può richiedere la stima della domanda attuale e/o la

previsione di quella futura: tali stime possono essere ottenute utilizzando diverse fonti di informazione e diversi strumenti statistici.

Per stimare la domanda attuale è possibile effettuare delle indagini (tipicamente delle interviste) su di un campione di utenti e da queste, utilizzando i risultati della teoria del campionamento, ottenere delle stime dirette della domanda.

Stimare la domanda con dei modelli, richiede che tali modelli siano specificati, ovvero sia scelta la forma funzionale e le variabili che vi compaiono, e successivamente vengano calibrati, ovvero siano stimati i valori dei coefficienti o dei parametri in essi contenuti. Entrambe queste operazioni vengono effettuate sulla base dei risultati di una indagine campionaria.

Il tipo di indagine e la dimensione del campione sono spesso diversi da quelli utilizzati per la stima diretta della domanda.

I modelli a loro volta possono essere applicati alla configurazione attuale dei sistemi di attività e di trasporto per ottenere una stima della domanda attuale e, a ipotesi di evoluzione dei suddetti sistemi (scenari), per ottenere previsioni della domanda futura.

La stima diretta della domanda e la specificazione e calibrazione dei modelli possono essere eseguite utilizzando anche i flussi misurati su alcuni archi della rete in esame. I conteggi sui flussi di arco forniscono informazioni sulla domanda facilmente reperibili a basso costo che consentono di migliorare la precisione delle stime.

3.3.2 – Indagini sulla domanda di trasporto La domanda di trasporto è il risultato di una serie di spostamenti effettuati dagli utenti del

sistema in esame: la conoscenza esatta della domanda in un certo istante richiederebbe, quindi, informazioni sulle caratteristiche degli spostamenti effettuati da tutti gli utenti nel periodo di riferimento (ad es. un giorno).

Inoltre, la domanda dovrebbe essere misurata per più periodi di riferimento per calcolarne il valore medio, al quale, così come detto nel paragrafo 3.3.1, occorre far riferimento.

Questa conoscenza della domanda di tipo censuario non è né praticabile né necessaria, visto che i costi di rilevamento sarebbero infatti tali da rendere l’operazione praticamente improponibile e del resto la conoscenza della domanda con un livello di dettaglio incongruente con quello degli altri aspetti del problema (ad es. il modello di rete) sarebbe un non-senso tecnico.

Per le suddette ragioni tutte le informazioni sulla domanda di trasporto derivano da indagini di tipo campionario, ovvero da indagini riguardanti un campione dell’universo degli utenti, del sistema.

Esistono diversi tipi di indagine campionaria in funzione del tipo e della qualità delle informazioni che da esse si intende reperire. Qui di seguito saranno brevemente descritti a titolo esemplificativo alcuni tipi di indagine relativi alla mobilità di persone.

Nelle indagini a bordo si intervista un campione degli utenti di un modo di trasporto; le interviste possono essere effettuate a bordo strada per gli automobilisti e i loro passeggeri, sul mezzo o ai terminali (stazioni, fermate) per gli utenti di sistemi di trasporto pubblico (treno, aereo, bus).

Il campione di utenti viene ottenuto intervistando, a caso una prefissata percentuale degli utenti che usano il modo considerato; nel caso di indagini puntuali (sezioni stradali, stazioni, ect.), si tratta quindi di contare il numero totale di utenti in transito (conta dell’universo) e di intervistarne un numero


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116

prefissato ottenuto con un meccanismo casuale (ad es. fermando un utente ogni N transitati).

Quando le indagini a bordo sono effettuate per stimare la domanda di scambio e di attraversamento prendono il nome di indagini al cordone.

In generale le informazioni che è possibile ottenere con queste indagini sono relativamente semplici in quanto l’intervista deve essere effettuata in un tempo limitato.

Nelle indagini a domicilio si intervista un campione delle famiglie o delle persone residenti all’interno dell’area di studio. Nel primo caso l’universo è costituito dal totale delle famiglie residenti ed il campione viene estratto in modo casuale (ad es. generando dei numeri casuali e associando a questi il numero d’ordine della famiglia nell’elenco generale) dall’insieme delle famiglie dell’intera area (campione casuale semplice) oppure da quello delle famiglie residenti in ciascuna zona di traffico (campione casuale stratificato).

I componenti delle famiglie appartenenti al campione vengono intervistati sugli spostamenti da loro effettuati in un prefissato periodo di riferimento (ad es. il giorno precedente quello dell’intervista) con un questionario che può essere sufficientemente articolato.

Analogo discorso può essere fatto sostituendo le persone alle famiglie.

Il numero di elementi da intervistare dipende dagli scopi per cui viene eseguita l’indagine e dalla precisione delle stime che si vuole ottenere.

Di solito le indagini finalizzate alla stima diretta della domanda attuale, note come indagini Origine-Destinazione, richiedono un campione molto più numeroso di quello necessario per calibrare i modelli di domanda.

Esistono nella pratica professionale molti altri tipi di indagini campionarie come le indagini a destinazione, nelle quali gli utenti vengono intervistati nei luoghi di destinazione degli spostamenti (posti di lavoro, scuole, negozi etc.), le indagini postali o telefoniche, intervistando gli utenti per posta o via telefono.

Tutte queste indagini, pur essendo meno costose delle indagini a domicilio, possono presentare problemi di completezza dell’universo campionario.

Nelle applicazioni raramente si ricorre ad un solo tipo di indagine campionaria, infatti il caso più frequente è che si rilevino con indagini diverse le varie componenti della domanda di trasporto, ad esempio indagini al cordone per la mobilità di scambio e attraversamento e a domicilio per quella interna.

Un tipo di indagine completamente diversa e che può essere usata con profitto per valutare la domanda sono i rilievi o conteggi di flussi sugli archi della rete. Queste indagini consistono sostanzialmente nel misurare il numero di utenti (veicoli, persone etc.) che transitano nel periodo di riferi-mento, o in sue frazioni, su alcuni archi della rete di trasporto considerata.

I rilievi possono essere effettuati a mano o automaticamente con dei contatori di vario tipo (a pressione, magnetici, a fotocellule), inoltre i conteggi, soprattutto se automatici, possono essere ripetuti per valutare la domanda in diversi periodi.


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117

3.3.3 – Struttura temporale della domanda di trasporto In generale, la domanda di un sistema di trasporto assume diversi valori in diversi periodi di

uguale ampiezza. Così, ad esempio, varia il numero di spostamenti che avvengono in un’area urbana in giorni diversi, in ore diverse dello stesso giorno o in una certa ora (ad es. 7.00 - 8.00) di giorni diversi.

Le oscillazioni temporali della domanda possono essere divise in tre categorie:

1. Variazioni di lungo periodo o trend: sono le variazioni di livello globale che si avvertono totalizzando la domanda su un numero notevole di periodi di riferimento. Considerando la domanda giornaliera, il trend è costituito dalla variazione della domanda annuale dovuta ad una variazione globale della mobilità. In questo caso la domanda giornaliera è stata sommata su 365 periodi.

2. Oscillazioni sistematiche: sono variazioni della domanda che si ripetono ciclicamente su un certo numero di intervalli di riferimento (periodo del ciclo). E’, ad esempio, il caso delle variazioni di domanda giornaliera per diversi giorni della settimana o di quella oraria nel corso di un giorno. La Figura 3.14 alcune variazioni di domanda in funzione del motivo di spostamento, in ambito urbano.

3. Fluttuazioni aleatorie: sono le variazioni della domanda fra intervalli di riferimento di identiche caratteristiche. È, ad esempio, il caso delle variazioni della domanda nell’ora di punta antimeridiana di giorni simili. Queste fluttuazioni non sono associabili ad eventi sistematici, ma derivano piuttosto dalla intrinseca aleatorietà del fenomeno. La domanda di trasporto è il risultato delle scelte effettuate da un gran numero di utenti e pertanto la sua effettiva consistenza dipende comunque, a parità di condizioni, dagli elementi imprevedibili connessi a tali scelte.

Figura 3.14

Nella realtà i tre tipi di variazioni si sovrappongono in modo spesso non distinguibile. Per la progettazione o la verifica di alcuni elementi del sistema interesserebbe conoscere la domanda che ha una significativa probabilità di verificarsi (ad esempio il 90-esimo percentile) durante il funzionamento del sistema, ma nella realtà, tuttavia ci si limita al valore medio della domanda di trasporto sull’intervallo temporale rilevante per il problema in esame.

In alcuni casi è anche possibile calcolare la varianza di tale domanda e ottenere degli intervalli di variabilità approssimati.


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3.3.4 - Modelli a quattro stadi La domanda di un sistema di trasporto è il risultato delle scelte degli utenti del sistema, ed è

solitamente espressa dalle matrici origine-destinazione i cui elementi rappresentano il numero di utenti con assegnate caratteristiche socio-economiche, che si sposta tra ciascuna coppia di zone di origine e destinazione (coppie O/D) in un assegnato periodo di riferimento, con ciascun modo di spostamento disponibile.

Tradizionalmente i modelli di domanda utilizzati assumono in ingresso la configurazione delle attività e le caratteristiche socio-economiche degli utenti, simulando quindi la domanda di mobilità con tutte le sue caratteristiche salienti, comprese le interazioni trasporti territorio.

Un modello di domanda di trasporto può essere articolato su differenti livelli che comprendono gli aspetti generali della mobilità (come il possesso di autovettura per i privati, o la possibilità di effettuare spedizioni per conto proprio nel caso delle aziende) e le successive scelte di viaggio relative alla frequenza, all’articolazione temporale (frequenza giornaliera o settimanale) e spaziale (destinazione) oltre che alle modalità di realizzazione (modo, servizi e percorso) di ciascuno spostamento all’interno della complessiva attività di viaggio.

Per i modelli di domanda dei viaggiatori l’approccio tradizionale simula le differenti fasi di uno spostamento in fase sequenziale, pur considerando le loro reciproche interdipendenze. In particolare le scelte relative a se, quando e perché spostarsi sono simulate da un modello di emissione relativo a ciascuna origine e periodo di riferimento, differenziato per scopo di viaggio ed eventualmente per categoria socio-economica dell’utente.

Successivamente un modello di distribuzione simula la scelta della destinazione dello spostamento ed un modello di ripartizione modale la scelta del modo di trasporto.

Infine un modello di scelta del servizio (o del percorso) simula come avviene lo spostamento.

Si ottiene così un modello ad aliquote parziali (detto sistema di modelli a quattro stadi) in generale differente per ciascuna delle categorie di utenti considerate e specifico di una fascia oraria.

Indicando con:

• dOD(s,m,k) il numero di utenti che si spostano tra l’origine O e la destinazione D, per lo scopo s, utilizzando il modo m ed il percorso K;

• dO(s) il numero di utenti che si spostano dall’origine O, per lo scopo s, risultato del modello di emissione;

• p(d,Os) la probabilità di scelta della destinazione d, risultato del modello di distribuzione;

• p(m,ODs) la probabilità di scelta del modo m, risultato del modello di ripartizione modale;

• p(k,ODsm) la probabilità di scelta del servizio o del percorso k; dove la dipendenza delle caratteristiche socio-economiche e dal LoS offerto non è esplicitamente indicata per semplicità di notazione.

Va notato che i risultati di ciascun modello sono influenzati da quelli dei modelli che forniscono loro i parametri in ingresso: ad esempio la distribuzione della domanda fra le zone di traffico dipende dalle caratteristiche dei diversi modi che consentono di raggiungere le singole destinazioni.

Lo schema seguente mostra, secondo quanto esposto finora, la schematizzazione dei modelli a quattro stadi.


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119

Figura 3.15

Ciascuno dei sottomodelli può essere definito seguendo un approccio di tipo descrittivo, che mira a riprodurre relazioni osservate fra le variabili di mobilità e le variabili esplicative, oppure uno di tipo comportamentale, in cui la specificazione del modello è ricavata da ipotesi esplicite sul comportamento degli utenti.

I modelli di tipo comportamentale utilizzano generalmente la teoria dell’utilità casuale, applicata ad un insieme discreto di alternative. In tali modelli l’utilità percepita per ciascuna alternativa per un generico decisore è rappresentata con una variabile aleatoria, somma di un termine deterministico (con varianza nulla) detto utilità sistematica e di un termine stocastico, detto residuo aleatorio, rappresentato con una variabile aleatoria con media nulla.

Mentre l’utilità sistematica di ciascuna alternativa esprime l’utilità media tra tutti gli utenti, il termine aleatorio serve a tener conto delle variazioni interpersonali di decisione e comportamento, oltre agli inevitabili errori di valutazione nella scelta.

- Attributi socio-economici

- Attributi di livello di servizio

NUMERO DI UTENTI DELLA ZONA

MODELLO DI GENERAZIONE

MODELLO DISTRIBUTIVO

MODELLO DI RIPARTIZIONE MODALE

MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO

DOMANDA O/D PER MODO, MOTIVO,

FASCIA ORARIA, E PERCORSO

Condizionato a...

Variabili d’ingresso

Tenendo conto di...


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120

3.3.5 – Modelli di generazione ed attrazione degli spostamenti I modelli di generazione ed attrazione sono finalizzati alla determinazione della frequenza degli

spostamenti in una situazione, spazialmente e temporalmente definita, di individui o di quantità unitarie di merci, uscenti o entranti da unità residenziali, commerciali o produttive, o anche da aggregazioni di queste per zone e per tipi.

La frequenza è inoltre divisa per scopi (definizioni univoche a carattere operativo delle corrispondenti relazioni biunivoche tra le unità), dunque non vengono determinate:

a) L’unità o la zona di destinazione ed il tempo di arrivo per lo spostamento generato, e l’unità o la zona di origine ed il tempo di partenza per lo spostamento attratto;

b) Il modo di trasporto;

c) Il percorso sulla rete.

Il punto a) viene trattato separatamente nei modelli distributivi, il punto b) nei modelli di ripartizione modale ed infine il punto c) nei modelli di assegnazione.

Quando il piano del traffico e/o dei trasporti riguarda interventi da effettuarsi nel presente, o al più in un limitato periodo di tempo, senza rilevanti cambiamenti nell’assetto del territorio, la generazione G e l’attrazione A degli spostamenti sono ottenute direttamente dalla lettura dei dati raccolte dalle interviste.

Al contrario, se le previsioni riguardano un orizzonte temporale di alcuni anni, per le modificazioni naturali cui è soggetto il sistema, o per gli interventi pianificati, la stima delle generazioni e delle attrazioni diviene sostanzialmente più difficoltosa, rendendo necessario l’utilizzo di modelli di stima.

In questo caso le previsioni del numero di spostamenti generati o attratti da ciascuna zona, divisi per scopo sono espresse come un insieme di variabili caratteristiche delle unità produttive, commerciali o di servizio.

In questi paragrafi sono descritti quei modelli in cui il complesso sistema di generazione ed attrazione degli spostamenti viene:

• Separato per scopi;

• Ridotto alla determinazione statistica per singole equazioni indipendenti delle quantità G ed A, che sono assunte come variabili di stato delle corrispondenti equazioni, in funzione delle caratteristiche delle unità assunte come variabili indipendenti.

Le caratteristiche rappresentative dei limiti e delle modalità di generazione ed attrazione degli spostamenti delle unità sono denominate interne ed esterne: le prime sono caratteristiche proprie di ciascuna unità indipendentemente dall’assetto territoriale in cui operano, mentre le seconde sono caratteristiche della posizione di ciascuna unità rispetto alla distribuzione delle altre unità sul territorio ed al sistema di trasporto presente.

Le caratteristiche interne ed esterne sono espresse come misure qualitative o quantitative: le prime, a), sono misure nominali di grandezze che possono quindi definirsi uguali o diverse, oppure, b), misure ordinali di grandezze che possono essere quindi ordinate in successione, senza però ammettere una misura delle differenze, mentre le seconde sono misure cardinali.

Per le unità residenziali, di nuclei familiari, le caratteristiche rappresentative delle condizioni interne mostrano:

a) il numero dei componenti (misura cardinale) ;


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121

b) l’età (misura cardinale od ordinale) ;

c) il sesso (misura nominale) ;

d) il grado di istruzione (misura ordinale o nominale) ;

e) la condizione professionale o non (misura ordinale o nominale) ;

f) il tempo disponibile (misura cardinale) ;

g) il reddito (misura cardinale od ordinale) ;

h) il possesso di mezzi di trasporto (misura nominale o cardinale) ;

Le prime cinque rappresentano le condizioni sociali della famiglia.

La e) è in relazione con la disponibilità di risorse, come il tempo f) ed il reddito g), ed infine la h) rappresenta le condizioni tecniche della unità in relazione alle possibilità e facilità di spostarsi.

Le caratteristiche interne di unità commerciali, di servizio e produttive mostrano:

• le varietà e la qualità dei beni o servizi offerti, prodotti o consumati (variabili nominali e ordinali);

• il numero di addetti (variabile cardinale); • il numero dei serventi (variabile cardinale ); • la superficie occupata (variabile cardinale) • la produttività (variabile cardinale) • il possesso dei mezzi di trasporto (variabile nominale e cardinale); • l’organizzazione del lavoro (variabile nominale); • la gestione (management) (variabile nominale);

Le caratteristiche rappresentative delle condizioni esterne, mostrano diverse valutazioni legate alla posizione di una stessa unità, o mediante misure di densità o con indici di accessibilità, ambedue riferiti alle zone in cui è suddivisa l’area.

Figura 3.16


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122

La densità rappresenta rapporti tra le caratteristiche esterne ed interne dell'unità della zona: la Figura 3.16 rappresenta la dipendenza della generazione di spostamenti di individui o di veicoli per densità residenziale, commerciale ed industriale.

Una misura di densità rispetto ai servizi di trasporto pubblici è data da:

j

ijJ A

NI =

(3.12)

dove Nij è la frequenza del servizio sulla strada “i” nella zona “j” e Aj è la superficie della zona.

L’accessibilità è definita dalle caratteristiche interne delle unità di ciascuna zona in rapporto alle corrispondenti “distanze” dall’unità cui si riferisce.

Ad esempio l’accessibilità di un’unità residenziale, localizzata nella zona i-esima, rispetto ai servizi scolastici è data da:

∑

=

i ij

ji D

ZA (3.13)

dove Zj rappresenta la capienza delle scuole nella zona j-esima e Dij la distanza tra la zona i e la zona j-esima, misurata generalmente come tempo o costo medio per spostarsi da i a j.

Infine, in alcuni modelli, le caratteristiche rappresentative delle condizioni naturali mostrano dei parametri meteorologici, come temperatura, e giornate di sole e di pioggia.

Mentre le caratteristiche interne sono riferite alle unità e sono al livello dell’unità, le caratteristiche esterne pur potendosi riferire alle unità, sono tuttavia al livello delle zone. Ciò consegue dalla necessità di dover considerare riferimenti spaziali nelle misure di posizione delle unità, le quali d’altra parte sono determinate a livello di zona.

Alcuni modelli sono al livello delle unità, nel senso che le analisi sono condotte nei limiti di tipologie corrispondenti ai comportamenti, qualitativamente differenziati dalle unità, quali si manifestano nella produzione degli spostamenti.

Un vettore a “k” dimensioni rappresenta le n unità di ciascun tipo “t”.

In simboli:

( )( )

( )hkhhth

kt

kt

xxxU

xxxUxxxU

,......,,................................

,......,,

,......,,

21

222212

112111

(3.14)

dove le componenti X di ciascun vettore corrispondono alle caratteristiche interne ed esterne delle n unità.

Quando è possibile supporre o sistemi di unità corrispondenti a relazioni delimitabili all'interno di zone (vedi zonizzazione), come in un insieme di centri urbani, o insiemi di unità appartenenti a zone relativamente omogenee al loro interno, come in aree urbane dove è manifesta una specializzazione in zone, allora è possibile prescindere da un’analisi al livello delle unità e considerare direttamente la generazione ed attrazione di spostamenti tra le zone.

Un vettore a p-dimensioni rappresenta le “m” zone. In simboli:


__________________________________________________________________________________

123

( )( )

( )mpmmm

p

p

xxxZ

xxxZ

xxxZ

,......,,................................

,......,,

,......,,

21

222212

112111

(3.15)

le componenti Xij di ciascun vettore corrispondono alle caratteristiche di ciascuna zona, definita dalla caratteristiche medie delle unità appartenenti in relazione alla mobilità da rappresentare.

I due modelli mostrano gli estremi di un ampio spettro la cui variabilità dipende dalle forme e dai livelli di aggregazione. Inoltre tutti i modelli giungono a definire le quantità G ed A al livello di zona, anche se in fasi intermedie, sono determinati per tipi di unità non spazialmente contigue.

Infatti l'aggregazione delle unità per zone, riducendo l'area ad un insieme discreto e finito, permette di superare le difficoltà di esprimere nei modelli la localizzazione delle unità, terminali degli spostamenti e di facilitare inoltre la raccolta e l'analisi dei dati ottenendo insiemi adatti alla rappresentazione statistica e grafica, ed alla manipolazione con gli elaboratori.

Nei modelli al livello delle unità, la separazione tra spostamenti interni ed esterni alle zone, comporta dapprima la definizione dei limiti di autosufficienza di ciascuna zona, per poter eliminare già a livello di zonizzazione quelle relazioni (o scopi) ed i corrispondenti spostamenti interni.

Successivamente i modelli distributivi permettono di discriminare, con la valutazione della funzione di resistenza, quegli spostamenti i cui terminali risultano entrambi interni a ciascuna zona.

Ad ogni scala corrispondono possibili ed appropriati modelli. Così se i modelli per insiemi di unità o di zone sono ambedue applicabili alla scala urbana, alle scale superiori, dove le zone risultano ancora sufficientemente numerose e d'altra parte acquista rilevanza le localizzazione delle unità, almeno per gli spostamenti esterni alla zona di appartenenza, che sono generalmente quelli interessanti, sono applicabili efficacemente i soli modelli per insiemi di zone separatamente per tipi di unità.

Per le scale ancora superiori dove viene a mancare una sufficiente numerosità dell'insieme delle zone, sono utilizzabili modelli per insiemi di unità, ma separatamente per tipi e per zona.

Infine, sempre alle scale superiori, nei casi di singole zone sono utilizzabili modelli proiettivi basati su fattori d’accrescimento.

Tutti i modelli rappresentano il fenomeno della generazione ed attrazione, come se la determinazione delle quantità G ed A sia indipendente dalle effettive destinazioni degli spostamenti generati, dalle effettive origini degli spostamenti attratti, dagli effettivi modi di trasporto e percorsi sulla rete, anche se dipendenti dalle possibili destinazioni ed origini, dai possibili modi di trasporto e percorsi, attraverso le caratteristiche rappresentative delle condizioni interne ed esterne.

Così i modelli determinano separatamente il momento della generazione ed attrazione dagli altri momenti dello spostamento, mentre analoga separazione non esiste nei dati raccolti, che sono sempre riferiti a spostamenti completi. Quindi riproducono implicitamente quei momenti che hanno separato, così come la sequenza degli spostamenti diretti ed indiretti, tanto più distorcendoli quanto più viene a mancare l'ipotesi predetta.

Tentativi di superare tali parzializzazioni per adeguare le rappresentazioni ai corrispondenti fenomeni, sono stati compiuti, almeno sul piano matematico, elaborando dei modelli che rappresentano il sistema in una sequenza temporale di stati fra loro interdipendenti.

Tuttavia tali modelli esulano dall'argomento trattato e nel seguito viene mantenuta tale ipotesi. Nei paragrafi seguenti sono esaminati due tipi di modelli a seconda delle forme in cui sono espresse le proposizioni: modelli basati sulla analisi regressiva, sui fattori d'accrescimento.


__________________________________________________________________________________

124

3.3.5.1 – Calibrazione dei modelli regressivi I modelli presentati nei paragrafi successivi sono costituiti da una funzione la cui forma è nota a

meno di un certo numero di parametri, i quali assumono valori diversi a seconda delle diverse realtà territoriali in cui queste funzioni verranno inserite.

Per far si che le funzioni siano in grado di riprodurre il fenomeno che si intende analizzare, è allora sufficiente determinare il valore di tali parametri tramite un processo di messa a punto o calibrazione del modello, processo che viene eseguito elaborando opportunamente i dati di indagine con l’aiuto di opportuni strumenti statistici.

Una volta definiti i parametri, per accertarsi della bontà del modello “calibrato” basterà confrontare i dati da esso forniti con quelli rilevati; se tra i due gruppi di dati non c’è molta discordanza vuol dire che il modello ben si presta a spiegare il fenomeno reale ed è pronto per essere usato all’attualità (problema di assegnazione) o per fare delle previsioni in caso di studi a lungo termine (ad esempio progettazione di nuove infrastrutture o modifica sostanziale di quelle esistenti).

Il processo di calibrazione fornisce quindi il miglior modello possibile con quella forma ed in base a quei dati di indagine; se ciò non avviene, se cioè tra i dati forniti dal modello e quelli rilevati si riscontrano discordanze, bisognerà considerare un’altra forma funzionale che meglio si adatti alla realtà.

3.3.5.1.1 – Regressione Nel dettaglio, il processo di calibrazione consiste nel effettuare un'analisi di regressione con la

quale si cerca di rappresentare il comportamento di un certo fenomeno (nel nostro caso l’andamento della velocità di percorrenza su un arco stradale al variare del flusso transitante) tramite un’equazione matematica così da fornire una legge, creata in base a dati sperimentali, che sia d’aiuto per i nostri studi.

A questo scopo supponiamo di voler definire una legge che descriva come varia la produzione di una fabbrica di sedie all’aumentare del numero di operai in essa impiegati.

Tale fenomeno è rappresentabile con due gruppi di variabili, X (numero di operai) e Y (sedie prodotte), note tramite delle coppie di valori (xi,yi) che si distribuiscono come in Figura 3.17.

Figura 3.17

Il diagramma mostra che ad ogni variazione di x corrisponde una variazione di y: nella produzione di sedie le cause possono dipendere o dalla semplice casualità, oppure da una più definita correlazione tra le due grandezze (il numero di operai impiegati influenza la produzione delle sedie).


__________________________________________________________________________________

125

Nasce allora il duplice problema di descrivere qualitativamente tale associazione e di quantificare il grado di correlazione tra X e Y: questa è appunto la già menzionata analisi di regressione.

Supponiamo per il momento che l’associazione tra le due variabili della Figura 3.17 sia di tipo lineare, quindi possiamo sostituire all’insieme di punti una funzione del tipo Yt = a + bx (dove la t sta per teorico) nella quale compaiono, oltre alle due variabili, anche due parametri da determinare in modo tale da fornire un buon adattamento della retta ai dati, cioè una retta che minimizzi l’errore che si fa considerando il valore teorico al posto di quello osservato.

Il metodo generalmente utilizzato per la determinazione dei due parametri è quello della minimizzazione della somma dei quadrati degli scarti tra i valori osservati e quelli teorici, ed essendo lo scarto costituito dalla distanza verticale tra valore osservato e teorico, cioè (y-Yt), si ha che:

( ) ∑∑

==

−−=−=n

iii

n

i

tii bxayYya,bminF

1

2

1

2 )()( (3.16)

I valori di a e b che rendono minima tale funzione sono appunto quelli che forniscono il migliore adattamento della retta all’insieme di punti verificando il seguente sistema lineare.

( )

( )

=−−=∂∂

=−−=∂∂

∑

∑

=

=n

iiii

n

iii

bxayxbF

bxayaF

1

1

0

0

(3.17)

ottenendo per a e b i valori:

2

11

2

111

*

−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb 2

11

2

111

2

1

**

−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

xxn

yxxxya

Lo scopo di elevare al quadrato la differenza degli scarti è quello di eliminare il problema del segno. Infatti, l’errore viene considerato negativo quando il valore osservato cade sotto la retta di regressione, positivo nel caso contrario.

Figura 3.18

Se si considerasse semplicemente la somma ∑i(yi-Yi) non si avrebbe ad esempio alcuna


__________________________________________________________________________________

126

differenza tra la retta di Figura 3.18a Figura 3.18b: in entrambi i casi infatti si avrebbe un errore totale nullo ma è intuitivo che la seconda non sia un buon adattamento.

Per poter ovviare a questo inconveniente si potrebbe minimizzare la somma dei valori assoluti degli errori, in questo modo si avrebbe però un altro problema. Da un punto di vista prettamente analitico è evidente in Figura 3.19 che il grafico b soddisfa meglio questo criterio del grafico a, in quanto la somma degli errori è 3 invece di 4; in effetti è chiaro che la retta che congiunge i due punti estremi della Figura 3.19b non presta nessuna attenzione ai valori intermedi, di conseguenza appare preferibile il grafico a.

Figura 3.19

La scelta di utilizzare il metodo dei quadrati degli errori è dovuta alle particolari proprietà che questo metodo possiede, e cioè:

• elevando al quadrato si risolve il problema del segno, rendendo tutti gli errori positivi;

• facendo i quadrati si tiene maggiormente conto degli errori grandi, cosicché cercando di soddisfare questo criterio li si evita nella misura maggiore possibile tenendo conto di tutti i punti della distribuzione al contrario del metodo dei valori assoluti;

• questo criterio è più facilmente trattabile algebricamente;

3.3.5.1.2 –Esempio numerico Siano dati i seguenti tre punti, aventi rispettivamente coordinate:

( )2,11 =P , ( )3,32 =P , ( )4,43 =P ,

Il valore medio delle ascisse e delle ordinate sarà rispettivamente:

667,23

431=

++=X , 3

3432

=++

=Y

Come detto in precedenza, supponendo per il momento che l’associazione tra le due variabili (Figura 3.17) sia di tipo lineare, potendo quindi sostituire all’insieme di punti una funzione del tipo Yt = a + bx (dove la t sta per teorico), i coefficienti a e b della funzione potranno essere calcolati, come detto


__________________________________________________________________________________

127

in precedenza, sfruttando le rispettive:

2

11

2

111

*

−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb ed 2

11

2

111

2

1

**

−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

xxn

yxxxya

Il termine noto sarà quindi:

( ) ( )( ) ( )

6429,0149

64787281

431169139*49*39*116923

2 ==−−

=++−++

++−++=b

mentre in coefficiente angolare:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )243116913

169241692316911169141691316912++−++

++++++++−++++++++=a

2857,11418

6478216234

==−−

=a

Ne segue che l’espressione analitica della retta interpolante i tre punti sarà:

XY *6429,02857,1 +=

Dovendo tracciare la retta per punti su un piano cartesiano XY, possiamo individuare alcuni punti per i quali siano note le ascisse, per i quali calcolare le ordinate sulla base dell’espressione precedente.

Si avrà quindi ad esempio:

2857,10 =→= YX 9286,11 =→= YX 5715,22 =→= YX

2144,33 =→= YX 8573,34 =→= YX

y = 0,6429x + 1,2857R2 = 0,9643

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5


__________________________________________________________________________________

128

3.3.5.1.3 –Correlazione A questo punto l’analisi di regressione ha mostrato in che modo le variabili sono legate; si veda

ora tramite l’analisi di correlazione il grado del loro legame lineare. Mentre con l’analisi di regressione si è stimata un’intera funzione matematica, mediante l’analisi di correlazione si ottiene soltanto un indice che esprime in maniera immediata quanto strettamente le due variabili si muovono insieme.

Benché la correlazione sia una tecnica meno potente della regressione le due tecniche si trovano in una così stretta relazione matematica che la correlazione spesso diventa un aiuto utile all’analisi di regressione. Lo strumento necessario per misurare il grado di correlazione è costituito da un indice analitico che è il coefficiente di correlazione lineare “r” di Pearson.

Si consideri il diagramma dei punti sperimentali (Figura 3.20) e si riporti l’origine degli assi coordinati x-y nel punto (mx ; my), rispettivamente i valori medi dei due gruppi di variabili; la parte del piano contenente le osservazioni viene cosi suddivisa in quattro quadranti e ciascuna osservazione può essere ora riferita al nuovo sistema di riferimento X’-Y’. Se il generico punto (xi’; yi’) sta nel I quadrante X’ e Y’ saranno positivi, se sta nel secondo saranno rispettivamente negativo e positivo, nel terzo entrambi negativi e nel quarto positivo e negativo, quindi il prodotto X’Y’ è positivo per tutti i punti che cadono nel primo e terzo quadrante e negativo per i punti del secondo e quarto quadrante.

Figura 3.20

Si consideri ora la somma algebrica di questi prodotti, ∑XY, che fornisce una buona misura di come le due variabili tendono ad essere correlate. Se la somma algebrica è positiva significa che prevalgono i punti che cadono nel I e III quadrante e quindi si ha una correlazione lineare positiva, se la somma è negativa vuol dire che si ha una prevalenza di punti nel II e IV quadrante e si ha una correlazione lineare negativa. Se la somma algebrica dei prodotti è nulla significa che i punti sono ugualmente distribuiti nei quattro quadranti, e vuol dire che non vi è alcuna correlazione lineare tra i due gruppi di variabili anche se non si esclude che la presenza di una correlazione sia di tipo curvilineo.

Una tale misura della correlazione, cioè la somma ∑XY, è influenzata però dall’unità di misura in cui vengono espresse le variabili X ed Y per cui si rende necessario esprimere sia x’ che y’ in termini di unità standardizzate, cioè sia x’ che y’ vengono divise per le loro deviazioni standard:

∑∑

==

−−=

=

n

i y

yi

x

xin

i y

i

x

i mymxn1yx

n1r

11

''

σσσσ (3.18)


__________________________________________________________________________________

129

dove le deviazioni standard sono:

( ) nmx xix ∑ −= 2σ

( ) nmy yiy ∑ −= 2σ

La formula precedente che esprime il coefficiente di correlazione lineare di Pearson può essere riscritta per comodità di calcolo nel seguente modo:

( )( )

yx

n

iyixi mymx

n1

rσσ

∑=

−−= 1

(3.19)

dove il termine al numeratore si può indicare con Cov(X;Y) nota come covarianza di X e Y.

Si veda adesso come si comporta il coefficiente di Pearson; esso ha un campo di variabilità compreso tra -1 e 1. Se r = -1 si ha una correlazione lineare negativa perfetta (cioè al crescere di X diminuisce Y), se r = +1 si ha una correlazione lineare positiva perfetta (al crescere di X aumenta Y). Se r = 0 non c’è correlazione lineare (ma cioè non esclude la presenza di una correlazione di tipo curvilineo) e quindi la correlazione, cosi come spiegata, è una misura della sola relazione lineare e non serve nel descrivere relazioni non lineari.

Un particolare aspetto del coefficiente di Pearson è costituito dal suo valore al quadrato r2. A questo proposito si deve introdurre il concetto di devianza, intesa come il quadrato della somma degli scarti. Facendo riferimento alla Figura 3.21 è possibile individuare tre valori di devianza: la devianza totale ‘ac’, la devianza spiegata ‘bc’, e la devianza non spiegata individuata dal segmento ‘ab’. Si devono considerare due grandezze: la devianza spiegata e la devianza non spiegata.

Queste tre devianze, come risulta chiaramente dalla Figura 3.21, sono legate dalla relazione:

( ) ( ) ( )∑ ∑∑ −+−=−2

i2t

i2

i YYY tiyy Ymm (3.20)

devianza totale = devianza spiegata + devianza non spiegata.

Figura 3.21


__________________________________________________________________________________

130

Il coefficiente r2, spesso denominato coefficiente di determinazione, misura appunto la proporzione della devianza totale della Y che viene “spiegata” tramite il processo di regressione.

Quindi:

( ) ( )

( ) ∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

==

−

−=

−

−−−= n

iyi

n

iy

ti

n

iyi

n

i

tii

n

iyi

mY

mY

mY

YYmYr

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

)(

)(

(3.21)

Si hanno i seguenti casi:

r2 = 1: non c’è variabilità residua ed i punti giacciono tutti sulla retta di regressione;

r2 = 0: variabilità residua e totale coincidono, cioè la retta di regressione è esprimibile con l’equazione Y = my ed in tal caso non c’è correlazione lineare;

0<r2<1: essendo r2 una misura della variabilità sottratta mediante il processo di regressione, esso stima quella parte di variabilità dell’associazione di X e Y che può essere “spiegata” interpretandola ad effetto diretto di X su Y.

Cioè più grande è il suo valore di r2, più si può ritenere elevata l’influenza che X esercita su Y.

Il valore (1-r2) è chiamato “coefficiente di alienazione” e misura l’influenza che la presenza e la variazione di altri fattori, diversi da X, esercitano su Y.

Il valore di r2 può essere usato anche come strumento per valutare l’adattamento della retta di regressione ai dati osservati per verificare se sia lecito o no l’uso di una funzione lineare, bisogna però tenere conto del fatto che il valore di r2 dipende dalla maggiore o minore dispersione dei dati.

Per una descrizione più approfondita dei test statistici maggiormente utilizzati per la verifica della bontà dei risultati di una regressione lineare si rimanda a testi specifici sull’argomento, o per l’utilizzo di supporti informatici come fogli di calcolo (Excel) alle apposite guide messe a disposizione degli utenti.


__________________________________________________________________________________

131

3.3.5.2 – Modelli basati sull’analisi regressiva I modelli regressivi sono fondati sull'ipotesi di poter rappresentare con una equazione lineare la

relazione tra una variabile Y ed una o più variabili x1, x2, ...,xp, ciascuna delle quali, presa singolarmente soddisfi l'ipotesi di linearità.

Il rispetto dell'ipotesi porta ad operare, quando è necessario, delle trasformazioni delle variabili per linearizzare la relazione, ed a questo scopo alcune delle trasformazioni più comunemente usate sono le logaritmiche e le quadratiche.

L'espressione matematica dell’equazione lineare risulta:

ExaxaxaaY pp +++++= ......22110 (3.22)

dove a0, a1,...,ap sono dedotti imponendo la minimizzazione della somma dai quadrati degli scarti tra un dato insieme di osservazioni x, composto di n osservazioni campionarie indipendenti, riferiti alle unità o zone del modello

npnn

p

p

xxx

xxxxxx

,......,,.........................

,......,,,......,,

21

22221

11211

(3.23)

ed un corrispondente insieme y di osservazioni y1, y2,...,yn riferite alle quantità G ed A di ciascuna unità o zona.

Il termine intercetto a0, supposti validi i dati raccolti, fornisce un’indicazione sulla esaustività delle variabili indipendenti.

Valori eccessivi per a0 (ovvero quei valori per cui l’intervallo di confidenza attorno ad a0 non comprende lo zero) portano così ad invalidare il modello.

Altrimenti è possibile supporre ugualmente valida la regressione all’interno degli intervalli dove sono comprese le osservazioni rilevate e previste.

Il termine variabile E, detto errore, rappresenta quanto la relazione dedotta si discosta per ciascuna osservazione nella riproduzione dalle y osservate.

Delle ipotesi relative all'errore, normalità della sua distribuzione, varianza costante, media e covarianza zero, ed all'indipendenze reciproca delle variabili X sono condizioni necessarie per trattare l’equazione lineare, secondo la teoria della regressione lineare multipla (r.l.m.).

Un certo numero di test misurano la significatività e gli intervalli di confidenza dell’equazione.

Una volta costruita e verificata in uno stato di riferimento, l’estensione della r.l.m., nel campo limitato dalle osservazioni rilevate, ad un orizzonte temporale di previsione comporta, in relazione a quanto già detto, specifiche condizioni ed ipotesi.

Una prima condizione riguarda la conoscenza dei valori assunti dalle variabili indipendenti nei diversi stati di previsione con una certezza tanto maggiore, quanto maggiori sono i valori dei rispettivi coefficienti e quindi il loro peso nella r.l.m..

Una seconda condizione riguarda la costanza dei coefficienti, che porta a supporre proprietà del sistema nel tempo indipendenti da variazioni nei loro valori (linearità) e delle proporzioni in cui queste si presentano (reciproca indipendenza).


__________________________________________________________________________________

132

Nella Tabella 3.1 è riportato un procedimento di r.l.m. per la determinazione degli spostamenti giornalieri generati dalle unità residenziali in un'area urbana: le caratteristiche considerate sono il numero dei componenti e degli occupati, il reddito ed il possesso di autovetture, classificato con tre variabili fittizie, 0 auto, 1 auto (Z1) e 2 o più auto (Z2).

Procedimento sequenziale per la determinazione di regressioni (GLUTS)

N° dell’equazione nella sequenza

Equazione 100 R2

1 Spost/Residenza = 2,36 (occupati/residenza) 20,3 2 Spost/Residenza = 1,81 (occupati/residenza) + 1,31

(vetture/residenza) 32,5

3 Spost/Residenza = 0,91+1,44 (occupati/residenza) + 1,07 (vetture/residenza)

38,4

Tabella 3.1

Come facile rilevare, una caratteristica generale delle regressioni è che il valore dell’ R2 aumenta con il numeri delle variabili introdotte ed anche con l’aggiunta del termine noto.

La Tabella 3.2 riporta la matrice di correlazione tra le caratteristiche, da dove è possibile rilevare l'alta correlazione tra il numero di occupati ed i redditi, fatto che spiega l’assenza di questo nella equazione finale (la terza della Tabella 3.1).

Matrice di correlazione (GLUTS)

Var. Spost. Occ. Comp. Vett. Redd. Z1 Z2 Spostamenti 1 0,529 0,420 0,476 0,505 0,331 0,243

Occupati 1 0,542 0,441 0,685 0,332 0,215 Componenti 1 0,294 0,431 0,263 0,113

Vetture 1 0,630 0,524 0,686 Reddito 1 0,364 0,425

Z1 1 0,246 Z2 1

Tabella 3.2

La Tabella 3.3 riporta alcuni risultati relativi alla generazione settimanale di spostamenti di beni e di veicoli commerciali, per industrie tessili, elettriche ed elettroniche localizzate a Londra, rappresentati da r.l.m. con la superficie dell'unità od il numero di occupati come variabili indipendenti.

Nel procedimento di costruzione della r.l.m. le variabili indipendenti esaminate sono la superficie totale dell’unità, gli occupati, il numero di veicoli commerciali in possesso dell'unità, la parte di superficie dell'unità adibita alla lavorazione, ed il numero di operai tra le caratteristiche interne, e la distanza dal centro tra le caratteristiche esterne.

Tuttavia, ad esclusione della superficie totale e degli occupati, le altre variabili aumentano molto poco la significatività della relazione o la proporzione di spostamenti che spiega, confermando così risultati raggiunti in analoghi studi.


__________________________________________________________________________________

133

Equazioni di regressione per spostamenti di merci (TG) e di veicoli commerciali (CV), in funzione degli occupati (E) o della superficie totale (Ft) dell’unità.

Industria Campione Equazione di regressione Limiti regressione R2 Elettrica 85 TG= 25,38+0,32E 5 -> 1.500 0,79 Elettrica 85 TG= 33,68+0,14Ft 5 -> 4.000 0,65 Elettrica 85 CV= 24,92+0,31E 5 -> 1.500 0,76 Elettrica 85 CV= 32,20+0,14Ft 5 -> 4.000 0,61 Tessile 105 CV= 11,54+0,36E 1 -> 394 0,38 Tessile 105 CV= 13,38+0,21Ft 2 -> 592 0,36

Tabella 3.3

Le applicazioni di modelli per tipi di unità, come i due precedenti, hanno mostrato la validità ed i vantaggi di questo approccio: inoltre alcuni miglioramenti della varianza spiegata, possono essere apportati introducendo misure di densità od indici di accessibilità finora trascurati.

A questo livello di analisi la variabilità risulta sempre molto elevata, in quanto vengono rappresentati singolarmente i comportamenti di unità dello stesso tipo, che quando sono riportati al livello della generazione ed attrazione per zone dove sono mediati nella rappresentazione dei comportamenti di numerose unità, risultano spiegare una maggiore quota di variabilità.

Alcuni studi dell’U.S. Bureau of Public Roads mostrano come un modello che spieghi il 36% della varianza degli spostamenti effettuati da unità residenziali, arrivi al 95% della stessa, qualora i risultati siano riportati a livello di zona.

La determinazione della quantità G (ed A) per la zona i-esima nei modelli regressivi per tipi di unità (t) rappresentati da:

ktkttttttt xaxaxaaG ++++= ......22110 (3.24)

è data da:

)......( 22110iktk

it

ttttitit xaxaxaaNG ++++= (3.25)

dove iktk

it

ttt xaxaxa +++ ......2211 rappresentano i valori medi delle k caratteristiche delle Nit unità del tipo

“t”, localizzate nella zona i-esima.

Negli stati di previsione è possibile così determinare le quantità G ed A partendo dalla sola conoscenza delle caratteristiche medie delle unità appartenenti a ciascuna zona, visto che d'altra parte, dati più analitici non sarebbero reperibili.

La Tabella 3.4 mostra un esempio di modello di generazione per zone che utilizza la r.l.m. La variabile dipendente esprime gli spostamenti giornalieri per le unità residenziali di ciascuna

zona; le variabili indipendenti caratteristiche delle condizioni interne sono rappresentate dal reddito familiare e dal possesso di autovettura, mentre le caratteristiche delle condizioni esterne sono rappresentate dalla densità residenziale della zona, e da un indice di accessibilità misurato semplicemente, come distanza dal centro dell’area urbana (Central Business District).

Il possesso di autovettura è la variabile determinante nella variazione degli spostamenti come è mostrato dalla terza equazione della Tabella 3.4.


__________________________________________________________________________________

134

Equazioni di regressione per spostamenti giornalieri di residenti per unità residenziale.

Equazioni R2 Spost/resid= 4,33 + 3,89(vetture/resid) - 0,005(densità/resid) - 0,128(distanza

CBD) - 0,012(redd./resid) 0,837

Spost/resid= 3,80 + 3,90(vetture/resid) - 0,0033(densità/resid) 0,835 Spost/resid= 2,88 + 4,60(vetture/resid) 0,827 Spost/resid= 5,49 – 0,0089(densità/resid) + 0,227(redd./resid) 0,764 Spost/resid= 7,22 – 0,013(densità/resid) 0,718 Spost/resid= 3,07 + 0,44(redd./resid) 0,655 Spost/resid= 3,55 + 0,74(distanza CBD) 0,575

Tabella 3.4

Ciò è spiegabile, in questo modello come in altri, oltre che dall’alto grado di correlazione con il reddito, soprattutto dal livello di aggregazione del modello, che non effettuando distinzioni per scopi, restringe il numero di variabili esplicative,che non sono più o meno fortemente correlate tra loro.

La densità residenziale influenza il numero degli spostamenti nella misura in cui un suo aumento corrisponde ad una diminuzione dello spazio riservato alla circolazione. Inoltre se non si considerano gli spostamenti a piedi, il numero delle destinazioni raggiungibili a piedi cresce al crescere della densità e quindi decresce il numero degli spostamenti considerati.

Matrice di correlazione.

Variabili

Spos

tam

enti

per u

nità

re

side

nzia

le

Vet

ture

/resi

dent

i

Den

sità

re

side

nti

Red

dito

/resi

denz

a

Dis

tanz

a da

C

BD

Spostamenti per unità residenziale - +0,827 -0,718 +0,655 +0,575

Vetture/residenti +0,827 - -0,780 +0,786 +0,662 Densità residenti -0,718 -0,780 - -0,631 -0,825 Reddito/residenza +0,655 +0,786 -0,631 - +0,488 Distanza da CBD +0,575 +0,662 -0,825 +0,488 -

Tabella 3.5

La correlazione negativa con il possesso di autovetture e con il reddito è legata al fatto che, specialmente per le città americane, densità alte corrispondono alle classi meno abbienti e lo stesso si verifica per la distanza dal CBD come è mostrato nella Tabella 3.5.

Nelle Tabella 3.6 e Tabella 3.7 sono riportate le variabili dipendenti ed indipendenti utilizzate e le r.l.m. costruite per rappresentare gli spostamenti delle 185 zone in cui è stata suddivisa l’area di Londra.

Gli scopi rappresentano le relazioni tra le residenze e le unità commerciali, di servizio, produttive per il lavoro (work); le relazioni i cui corrispondenti spostamenti hanno origine dalle unità residenziali


__________________________________________________________________________________

135

escluso il lavoro (OHB, other home based); tutte le relazioni i cui corrispondenti spostamenti non hanno origini dall’unità residenziale (NHB, non home based).

Definizione delle variabili.

Variabili dipendenti G1 Generazione per lavoro di possessori di autovetture G2 Generazione per lavoro di non-possessori di autovetture G3 Generazione OHB di possessori di autovetture G4 Generazione OHB di non-possessori di autovetture G5 Generazione NHB di possessori di autovetture G6 Generazione NHB di non-possessori di autovetture A1 Attrazione per lavoro A2 Attrazione OHB A3 Attrazione NHB

Variabili indipendenti X1 Residenti occupati possessori di autovetture X2 Residenti occupati non-possessori di autovetture X3 Totale delle autovetture delle famiglie X4 Totale delle vetture disponibili da famiglie che non posseggono autovetture X5 Reddito totale delle famiglie che posseggono autovetture X6 Densità residenziale X7 Popolazione totale delle famiglie che posseggono autovetture X8 Reddito totale delle famiglie che posseggono autovetture X9 Totale degli studenti nelle famiglie che posseggono autovetture X10 Totale degli studenti nelle famiglie che non-posseggono autovetture X11 Reddito totale delle famiglie che non-posseggono autovetture X12 Distanza dall’area centrale W1 Occupati nelle piccole rivendite W2 Occupati nelle rivendite generali W3 Occupati in piccoli uffici di industrie W4 Occupati in piccoli uffici di magazzini W5 Occupati in altri piccoli uffici W6 Occupati in uffici

Tabella 3.6

Equazioni di regressione. Generazione

G1= 1,15286X1 + 0,01670X1X3 – 0,00040X1X5 G2= 0,96350X2 + 0,03159X2X4 + 0,00485X2X6 G3= 0,28351X7 – 0,83630X8 + 1,32664X9 + 0,55109X3X8 + 0,00450X7X8 + 2,75898 G4= - 0,19400X2 + 0,60478X10 + 0,38016X11 + 0,17163 G5= 1,24066W1 + 0,63438W2 + 0,08569W3 – 0,29411W4 + 0,16859W5 + 0,06413W6 + 0,73441 G6= 0,16703W1 + 0,20854W2 + 0,0684W6 – 0,02684X12

Attrazione A1= 2,42364W2 + 0,85125W3 + 2,01977W4 + 0,52445W5 + 1,44977W6 + 0,82008 A2= 0,58703(G3 + G4) + 0,42016W1 + 3,86184W2 + 0,50616W5 – 0,08377W6 – 0,66273 A3= 1,04998(G5 + G6) + 0,34175W1 + 0,03661W2 – 0,04327W3 – 0,00760W5 – 0,10226

Tabella 3.7


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136

Le quantità G ed A misurano gli spostamenti giornalieri riferiti ai conducenti di veicoli o motoveicoli privati ed ai passeggeri di trasporti pubblici.

Inoltre gli spostamenti generati sono ripartiti direttamente per le unità residenziali che posseggono e non posseggono veicoli propri, e quindi sono rappresentati da sei equazioni.

Per gli spostamenti attratti, rappresentati da sole tre equazioni, la ripartizione viene effettuata successivamente sulla base del rapporto tra spostamenti totali di unità residenziali che posseggono e non posseggono veicoli propri, per ciascuno dei tre scopi.

Infine va notato come il modello mostri delle interdipendenze tra le quantità G ed A in quelle equazioni dove esse compaiono entrambe.

Tuttavia se le A risultano in queste equazioni dipendenti dalle G, a loro volta non hanno alcuna parte nella determinazione di queste, così che la risoluzione, pur costretta ad un ordine, avviene sempre per singole equazioni indipendenti.

Le quantità G ed A che nel modello rappresentano valori totali per ciascuna delle 185 zone, distinti per scopi, andrebbero rapportati quantomeno alle dimensioni di ciascuna zona (superficie, popolazione residente, etc...).

Infatti usando valori totali, anche se distinti per scopi, molta parte della variabilità spiegata dalla r.l.m. è da attribuirsi alle sole variazioni nella dimensione delle zone.

Risulta così che la r.l.m. rappresenta sia la variazione delle quantità G ed A come conseguenza della variazione delle dimensioni zonali, che non interessa, sia della variazione delle stesse quantità al variare delle caratteristiche zonali, non potendo d'altra parte riconoscere gli effetti dell’uno e dell'altro.

Tutti i modelli per zone rappresentano la variabilità tra queste nella generazione ed attrazione di spostamenti.

Allora è necessario che ciascuna zona presenti caratteristiche omogenee nelle sue parti, così che l’insieme delle zone rappresenti un ampio campo dei possibili spostamenti.

Quindi una condizione per la sua applicazione alle aree urbane è che la zonizzazione sia minuta perché così si aumenta la variabilità tra le zone e la loro numerosità ed inoltre si riduce la variabilità entro le zone che questo tipo di modelli non considera.

Tuttavia un limite ad una più spinta suddivisione è posta dalla numerosità del campione necessario, dall'inevitabile crescita negli errori di campionatura fino al non rispetto dell'ipotesi necessarie per la trattazione statistica del fenomeno.

La scelta delle variabili da introdurre in un modello di generazione scaturisce da due effetti contrastanti:

1. all’aumentare del numero delle variabili aumenta anche il valore dell’ R2, in altre parole il modello si avvicina sempre di più alla realtà che sta rappresentando;

2. per ogni variabile introdotta nel modello è necessario effettuare una previsione che a sua volta comporta la presenza di un errore; in altre parole il modello farà più errori all’orizzonte di previsione impostato;

Per effettuare la scelta delle variabili che potrebbe essere fruttuoso utilizzare all’interno del modello, si può ricorrere ai seguenti criteri:

1. Calcolo della matrice di correlazione tra tutte le variabili ed eliminazione, tra quelle più


__________________________________________________________________________________

137

correlate, di quelle troppo complesse o di troppo difficile previsione;

2. Eliminare le variabili che presentano un segno positivo o negativo non atteso (aumento degli spostamenti in autovettura al diminuire del tasso di motorizzazione);

3. Eliminare le variabili (standardizzate) caratterizzate da coefficienti molto piccoli;

4. Eliminare le variabili che comportano un modesto decremento di R2;

3.3.5.3 – Modelli del fattore d’accrescimento La quantità di spostamenti generati (o attratti) da un’area in uno stato di previsione sono espressi

direttamente dalle quantità osservate nello stato iniziale, mediante un fattore d'accrescimento F secondo l'espressione:

01 *GFG = (3.26)

Il fattore d'accrescimento è funzione delle caratteristiche interne ed esterne dall'area e viene verificato su situazioni temporalmente e spazialmente distinte. Per spostamenti di persone può essere espresso da:

000

111

UMPUMPKF =

(3.27)

dove K è un coefficiente di proporzionalità, P è la popolazione dell'area, M è il relativo indice di motorizzazione ed U è il tasso di utilizzazione dell'auto, riferiti rispettivamente allo stato 1 di previsione ed allo stato 0 di riferimento.

Applicazioni utili possono presentarsi nella determinazione degli spostamenti esterni ad un'area urbana (di attraversamento e di penetrazione).


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138

3.3.6 – Modelli distributivi

3.3.6.1 – Introduzione Nel quadro generale della pianificazione dei trasporti la “distribuzione” trova la sua collocazione

tra la generazione e la assegnazione: in tale fase, si accettano i risultati dalla prima e si studia il modo di fornire alla seconda i carichi da attribuire alla rete.

I carichi, parlando di rete di trasporto, sono costituiti dagli spostamenti di persone o cose, tra tutte le coppie di zone in cui a stata divisa l'area in studio, formalizzando il problema in termini analitici si può dire che, se le zone sono n, il modello di generazione fornisce due serie di n valori:

AttrazioniAAA

iGenerazionGGG

n

n

→

→

,......,,

,......,,

21

21

(3.28)

che rappresentano il numero degli spostamenti che hanno, rispettivamente, origine e destinazione di ognuna delle zone. Scopo del modello distributivo è quello di determinare una matrice n x n:

nnnn

n

SSS

SSS

...........................

...

21

11211

(3.29)

dove gli n2 valori di Sij rappresentano i flussi fra la zona i e la zona j.

I termini della diagonale principale Sij rappresentano gli spostamenti intrazonali, cioè quelli che hanno i due terminali nella stessa zona.

Essi, nei più comuni processi di assegnazione non vengono presi in considerazione, motivo per cui non vengono determinati né a livello di generazione, né a livello di distribuzione.

Per generalità essi verranno sistematicamente inclusi nei modelli che seguiranno: gli eventuali adattamenti, nel caso che si vogliano trascurare, verranno indicati di volta in volta.

Tutto ciò, però, comporta delle precauzioni anche nel modello di generazione, dal momento che così facendo, esso dovrà fornire l'insieme di tutti gli spostamenti che hanno un terminale nella zona indipendentemente dall'altro, e non i soli spostamenti che escono ed entrano nella zona.

Tale diversità di significato delle Gi e delle Aj non è di poco conto nella costruzione del modello di generazione del quale, però, non si è parlato.

I metodi analitici approntati allo scopo di determinare la matrice (3.29) vanno sotto il nome di “modelli distributivi”.

Le variabili usate sono le stesse della generazione, dovendo utilizzare i risultati di questa, quindi ogni categoria di spostamenti del distributivo coincide con una della generazione o con l'unione di alcune di esse, che possono, quindi, essere in numero maggiore che non in quello, o al limite coincidenti.

Nella maggior parte si ricorre a:

1. le caratteristiche dei terminali;

2. lo scopo dello spostamento.


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139

Per quanto riguarda il primo gruppo è tradizionale la suddivisione in spostamenti primari e secondari: i primari sono quelli che hanno almeno un terminale a casa, secondari gli altri (non si approfondisce il problema della suddivisone degli spostamenti perché è stato già fatto nella generazione).

I vari modelli distributivi differiscono per il modo di tener conto delle due variabili d'ingresso, ovvero le capacità di generazione e di attrazione delle singole zone e la resistenza tra coppie di zone: tuttavia sia la capacità che la resistenza non soddisfano la definizione di variabili d’ingresso.

La scomposizione in un sequenza di modelli del processo unitario che produce lo scambio tra le coppie di zone, fa si che la capacità e la resistenza siano indipendenti dal distributivo stesso, dalla scelta modale e dall’assegnazione.

Sorge quindi la difficoltà di assegnare dei valori definiti alle variabili e dei metodi per operare delle retroazioni nel sistema dei modelli.

Si è quindi orientati ad operare inizialmente con delle ipotesi notevolmente semplificatrici e ad approfondire ulteriormente, attraverso dei procedimenti iterativi, o addirittura tramite l’uso di diversi modelli, di complessità crescente, nelle diverse fasi del problema.

Per misura delle capacità di una zona si considera, nella quasi totalità dei casi, il numero stesso degli spostamenti che iniziano e/o terminano nella stessa zona, quella che è stata definita “generazione” o “attrazione” appunto: tale dato è evidentemente fornito dal modello di generazione.

Più accurato, proprio perché precipuo dei modelli distributivi, lo studio della resistenza.

I fattori usualmente messi in relazione con essa sono:

1. La distanza in linea d’aria fra le coppie di zone;

2. La lunghezza reale dello spostamento interzonale;

3. La durata dello spostamento interzonale;

4. Il costo dello spostamento interzonale;

5. La potenzialità del sistema di trasporto relativa ad una determinata connessione interzonale;

6. La localizzazione relativa della coppie di zone dell’area.

I fattori più frequentemente utilizzati risultano essere la lunghezza e la durata dello spostamento.

La forma analitica che lega i fattori citati con i flussi interzonali, non può essere data in forma generale, poiché dipendente strettamente dal particolare modello usato.

E’ bene notare come le grandezze cercate rappresentino dei flussi, ovvero degli spostamenti (di persone o merci) riferiti ad un periodo di tempo che deve essere specificato, normalmente le 24 ore.

Per chiarire l’aspetto analitico del problema si rimanda alle equazioni (3.28) in base alle quali si possono ricavare i flussi interzonali Sij (3.29).

Alcune relazioni devono essere sempre verificate, qualunque sia il modello utilizzato.


__________________________________________________________________________________

140

Le espressioni seguenti:

i

n

jij GS =∑

=1 (i = 1,....,n) (3.30)

j

n

iij AS =∑

=1 (j = 1,....,n) (3.31)

sono la traduzione, in termini analitici, rispettivamente delle definizioni di generazioni ed attrazioni.

Il numero totale degli spostamenti S si ottiene sommando tutte le Sij oppure, tenendo conto delle due relazioni precedenti, sia sommando le Gi che le Aj:

SAGS

n

i

n

jj

n

ii

n

jij ===∑ ∑∑∑

= ===1 111 (3.32)

Tali relazioni giustificano la presentazione della matrice delle Sij sotto forma di tabella, in cui compaiono le Gi, le Aj e le S:

nnnn

n

SSS

SSS

,......,,..................................................

,......,,

21

11211

(3.33)

volendo così mettere in evidenza come la somma degli elementi di ciascuna riga debba essere uguale alla relativa generazione, mentre quella degli elementi di ciascuna colonna all’attrazione, nonché la somma di tutti i termini debba essere pari alla somma delle generazioni ed attrazioni, e quindi pari ad S.

E’ bene notare esplicitamente che la relazione Gi = Ai, cioè l’equilibrio fra spostamenti entranti ed uscenti da ogni zona, non è di norma verificata.

Lo è, per esempio, se ci si riferisce all'insieme degli spostamenti, non stratificati in categorie, e ad un periodo di tempo per cui sia accettabile l'ipotesi di stazionarietà, ovvero si possa ritenere con buona approssimazione, che al termine di essa la situazione del sistema sia la medesima che all’inizio (le ventiquattro ore, in campo urbano).

Chiarito lo scopo che ci si prefigge, la determinazione delle Sij, è necessario vedere quali siano i dati su cui si può, o si dovrebbe poter contare.

Oltre alle generazioni ed attrazioni di previsione, le Gi e Aj già viste, dall'indagine O.D. si ricava una matrice completa, con i corrispondenti dati, simile alla (3.28). Mentre i valori di previsione sono stati indicati con lettere maiuscole, gli analoghi valori dall'indagine saranno indicati con le medesime lettere minuscole, per cui si scriverà, quindi:

nnnn

n

sss

sss

,......,,..................................................

,......,,

21

11211

(3.34)

G1

Gn

A1 An S

g1

gn

a1 an s


__________________________________________________________________________________

141

in cui, per forza di cose, i valori soddisfano relazioni analoghe alle (3.30), (3.31) e (3.32):

i

n

jij gs =∑

=1 (i = 1,....,n) (3.35)

j

n

iij as =∑

=1 (j = 1,....,n) (3.36)

sags

n

i

n

jj

n

ii

n

jij ===∑ ∑∑∑

= ===1 111 (3.37)

Le ulteriori informazioni dell’O.D. o le altre indagini fondamentali (Utilizzazione del Territorio o Potenzialità del Sistema dei Trasporti) permettono l'analisi della capacità di attrazione delle zone e della resistenza, secondo quanto detto sopra.

Rimane unicamente da mettere in evidenza come, allo stesso modo che nella generazione, si faccia l’ipotesi che le relazioni ricavate rimangano invariate nel tempo.

A voler fare una classificazione dei vari modelli, essi possono essere divisi in tre categorie:

a) Modelli proiettivi o del fattore di accrescimento;

b) Modelli gravitazionali;

c) Modelli d'opportunità.

La prima è costituita unicamente dai modelli del fattore di accrescimento, e sono stati definiti proiettivi perché, partendo dalla distribuzione ottenuta mediante l’O.D., opportunamente trasformata, o “proiettata”, forniscono i flussi interzonali.

Gli ultimi due ricavano le Sij dalle masse attrattive o generative di ciascuna zona e da una funzione di resistenza tra coppie di zone.

Nel seguito si riporteranno i soli modelli di tipo a) e b).


__________________________________________________________________________________

142

3.3.6.2 – Modelli del fattore d’accrescimento Si è già detto perché questi modelli siano stati classificati come modelli proiettivi.

Con fattore di accrescimento di una generica area si intende il rapporto tra il traffico totale di previsione, ovvero il numero di spostamenti con almeno un terminale nell’area, ed il traffico totale ricavato mediante indagine.

Si avrà quindi un fattore di accrescimento per tutta l’area ed uno per ogni zona in cui questa è suddivisa.

Il primo sarà:

sSF =

(3.38)

mentre quelli per una generica zona “h” invece:

h

hGh g

GF =

, h

hAh a

AF =

(3.39)

3.3.6.3 – Modelli del fattore uniforme E’ il più semplice fra tutti i modelli possibili, infatti la funzione f si riduce al fattore

d’accrescimento totale F, cioè ad un termine costante:

Fk ij = (3.40)

FsS ijij *= (3.41)

Come si vede, tale metodo è di semplicissima applicazione e richiede un modello di generazione ridotto al minimo, richiedendosi la previsione del solo numero degli spostamenti totali S. La sua precisione è però molto scarsa.


__________________________________________________________________________________

143

3.3.6.4 – Modelli del fattor medio I modelli del fattore di accrescimento medio hanno la seguente forma funzionale:

ijijij skS = (3.42)

dove ijS è la matrice degli spostamenti stimati con origine nella generica zona i-esima e destinazione nella zona j-esima, ijk è il fattore moltiplicativo proprio della coppia di zone ij; ijs sono gli spostamenti noti per la medesima coppia di zone, che costituiscono la matrice di riferimento.

Il fattore moltiplicativo ijk è pari al valor medio dei fattori di accrescimento iF e jF delle zone di origine i e destinazione j, per le generazioni e le attrazioni:

2

Aj

Gi

ij

FFk

+=

(3.43)

dove, per una generica zona h-esima, il fattore di accrescimento F è pari a:

h

hGh g

GF =

(3.44)

h

hAh a

AF =

(3.45)

dove hG , hA , hg e ha sono, per tale zona, le generazioni e le attrazioni rispettivamente stimate dal modello allo stadio precedente e quelle ottenute dalle:

∑=

khkh sg

∑=

kkhh sa

(3.46)

Il modello assume la forma:

2

*Hj

Gi

ijij

FFsS

+= (3.47)

ad esso imponiamo la condizione:

iijj GS =∑ (3.48)

che sviluppata fornisce

2

*Hj

Gi

ijjijj

FFsS

+∑=∑ (3.49)

∑∑∑ +=

+=

jjijiij

jiji

jiji FsFgFsFsG

21

21**

21 (3.50)

Ed essendo


__________________________________________________________________________________

144

iiii

ii gFG

gGF =→= (3.51)

si ha quindi

∑=−j

jijiiii FsgFgF21

21 (3.52)

∑=j

jijii FsgF (3.53)

∑

∑=

jij

jjij

j s

FsF (3.54)

cioè, se si vuole rispettare la (3.48) il fattore di accrescimento delle zone “i” deve essere pari alla media dei fattori di accrescimento ponderati con i flussi.

Poiché però questa condizione non è automaticamente verificata, dal momento che le Fi vengono ricavate indipendentemente l’una dall’altra, una volta calcolate le Sij con il modello si deve procedere ad un aggiustamento della matrice Sij.

Poiché questo problema riguarda tutti i modelli distributivi, tranne quello del fattor uniforme, la procedura di aggiustamento sarà descritta alla fine dei modelli stessi.


__________________________________________________________________________________

145

3.3.6.5 – Modello Detroit E’ così chiamato perché utilizzato per la prima volta in uno studio del traffico condotto proprio

nella città di Detroit.

Il modello Detroit hanno la seguente forma funzionale:

ijijij skS = (3.55)

dove ijS è la matrice degli spostamenti stimati con origine nella generica zona i-esima e destinazione nella zona j-esima, ijk è il fattore moltiplicativo proprio della coppia di zone ij; ijs sono gli spostamenti noti per la medesima coppia di zone, che costituiscono la matrice di riferimento.

Il fattore moltiplicativo ijk è pari al prodotto dei fattori di accrescimento iF e jF delle zone di origine i e destinazione j diviso per il fattore di accrescimento di tutta l’area F:

FFF

k jiij

×=

(3.56)

dove, per una generica zona h-esima, il fattore di accrescimento hF è pari a:

h

hGh g

GF =

(3.57)

h

hAh a

AF =

(3.58)

ed i fattori di accrescimento di tutta l’area risultano:

∑=

h h

hG

gG

F (3.59)

∑=

h h

hA

aA

F (3.60)

essendo hG e hA e hg e ha le generazioni e le attrazioni per tale zona, rispettivamente stimate dal modello allo stadio precedente e quelle ottenute dalle:

∑=

khkh sg

∑=

kkhh sa

(3.61)

Anche i risultati di questo modello vanno sottoposti al processo di aggiustamento, attraverso il procedimento di quadratura della matrice.

Il modello assume la forma:


__________________________________________________________________________________

146

F

FFsS ji

ijij

**= (3.62)

ad esso imponiamo la condizione:

iijj GS =∑ (3.63)

che sviluppata fornisce

F

FFsS ji

ijjijj

**∑=∑ (3.64)

jj

iji

i FsFFG *∑= (3.65)

Ed essendo

iiii

ii gFG

gGF =→= (3.66)

si ha quindi

∑

∑=

jij

jjij

s

FsF (3.67)

cioè, se si vuole rispettare la (3.63) il fattore di accrescimento delle zone “i” deve essere pari alla media dei fattori di accrescimento ponderati con i flussi.

Poiché però questa condizione non è automaticamente verificata, dal momento che le Fi vengono ricavate indipendentemente l’una dall’altra, una volta calcolate le Sij con il modello si deve procedere ad un aggiustamento della matrice Sij.

Poiché questo problema riguarda tutti i modelli distributivi, tranne quello del fattor uniforme, la procedura di aggiustamento sarà descritta alla fine dei modelli stessi.


__________________________________________________________________________________

147

3.3.6.6. - Il modello Gravitazionale I1 modello gravitazionale esprime il fenomeno della distribuzione degli spostamenti tra le coppie

di zone O/D in forma sintetica, mettendo in relazione direttamente l'entità dei flussi interzonali con le generazioni, le attrazioni e le variabili relative alle caratteristiche dello spostamento.

Il nome dl modello gravitazionale deriva dalla analogia che la formula di base presenta con quella della legge di Newton. Se infatti, si ammettesse che il numero degli spostamenti fosse proporzionale alla generazione “gi

” della zona di origine “i”, alla attrazione “aj” della zona di destinazione “j”, ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza dij, si avrebbe la seguente:

2ij

jiij d

agks = (3.68)

Ma nelle applicazioni si è visto come non sia possibile ammettere tale legge, né sia possibile trovarne altra di carattere assolutamente generale e valida sempre e dovunque.

Si è quindi abbandonata tale via per cercare, volta per volta, una relazione tra i flussi e tutti i fattori in grado di influenzare il fenomeno; relazione da considerare valida nel solo contesto da cui è stata ricavata e da utilizzare con le opportune cautele.

In altre parole, utilizzando i dati di un’indagine O.D. e di una indagine P.S.T. (ed in via subordinata quelli dell’U.T.), si ricava, con i consueti metodi statistici, una funzione f, tale che:

.....),,,,,( ijjiijjiij tlldagfs = (3.69)

dove si sono indicate, solo per fare un esempio, alcune delle variabili che si può pensare di introdurre nella funzione: la distanza dij, il tempo di percorrenza tij, le localizzazioni li ed lj, oltre ai potenziali di generazione ed attrazione “gi

” ed “aj”.

Se si mantiene l'ipotesi della proporzionalità con “gi” ed “aj” (ed introducendo il numero totale

degli spostamenti s, che, essendo costante, non modifica in modo sostanziale la formula) si può scrivere:

.....),,,,,(2 ijjiijjiij

jiij tlldagf

dag

s = (3.70)

La quantità (gi*aj)/s, parlando del modello di Detroit, è stata indicata con xij e definita come il numero di spostamenti nell’ipotesi di isotropia del territorio; il rapporto sij /xij è la valutazione numerica della resistenza allo spostamento.

Il problema, quindi, si riduce a determinare la funzione f che compare nella precedente e che può venire chiamata funzione di resistenza:

,.....),,,,( jiijji

ij

ij lldagfxs

= (3.71)

E bene ricordare ancora che f dovrebbe essere chiamata funzione di “conduttanza” perché il suo aumentare indica una diminuzione della resistenza effettiva e viceversa, ma anche che, per uniformità di terminologia usata correntemente, si continuerà a chiamarla funzione di resistenza.

Ottenuta la f da una opportuna regressione (si ricordi che è possibile poiché sia le sij che le xij sono note dalle indagini) si è in grado di stimare la resistenza su ogni collegamento qualora si sappiano stimare i valori delle variabili indipendenti nella f.


__________________________________________________________________________________

148

Nel seguito il valore numerico della resistenza sul collegamento i-j sarà indicato con fij.

Se si ammette, come generalmente si fa, che la funzione f rimanga inalterata nel tempo, si è in grado di fare previsioni sui flussi interzonali Sij mediante la successiva formula (3.74), che per l’ipotesi detta si ricava come segue:

ij

ij

ij FXS

= (3.72)

ijijij FXS = (3.73)

ijji

ij FSAG

S = (3.74)

Questa formula costituisce il modello gravitazionale.

In essa la resistenza è stata indicata con Fij, con la lettera maiuscola, per evidenziare come sia un valore di previsione e quindi diverso da fij, che è misurato.

Ciò non deve generare confusione: si è specificamente ipotizzato che la funzione f rimanga immutata. Ma fij e Fij non sono simboli di funzione ma sono i valori numerici, relativi al collegamento i-j, ricavati ambedue dalla f, introducendo però, nell’un caso i valori osservati delle variabili indipendenti, nell’altro i valori di previsione.

La Figura 3.22 illustra quanto detto, nel caso che f=f(t) e dove tij e Tij sono i due tempi di percorrenza, diversi fra loro per i carichi prevedibilmente diversi e per eventuali interventi sul sistema di trasporto.

Naturalmente, per l'applicazione del modello, sono necessarie le previsioni delle generazioni Gi e delle attrazioni Aj (S si ricava da queste per somma).

Anche nel caso del modello Gravitazionale deve valere la relazione:

ij

ij GS =∑ (3.75)

ovvero

)( ijj

ji

jij tf

SAG

S ∑∑ = (3.76)

iijj

ji

jij GtfA

SGS == ∑∑ )( (3.77)

)( ijj

j tfAS ∑= (3.78)

o anche

)( iji

i tfGS ∑= (3.79)

che ovviamente non sono automaticamente verificate e che, di conseguenza, comportano la necessità della quadratura della matrice Sij ricavata dalla sola applicazione del modello.


__________________________________________________________________________________

149

Più in generale il modello gravitazionale può essere scritto nella forma:

)( ijjijiij tfAGS ψϕ= (3.80)

Le due costanti iϕ jψ permettono di introdurre particolari condizioni di congruenza cui devono

soddisfare i flussi Sij ricavati dalla )( iji

i tfGS ∑= (3.793.79 per ogni coppia origine destinazione.

Infatti le Gi e Aj sono da considerare delle costanti acquisite esternamente al modello, devono valere le due relazioni:

i

jij GS =∑

(3.81)

j

iij AS =∑

(3.82)

quindi, in forma completa, il modello deve essere scritto nel modo seguente:

)( ijjijiij tfAGS ψϕ= (3.83)

)(

1

ijjj

ji tfA∑

=ψ

ϕ

(3.84)

)(

1

ijii

ij tfG∑

=ϕ

ψ

(3.85)

e può essere definito a generazione ed attrazione vincolate.

Se si suppone che le Aj non siano date in forma indipendente dovrà essere soddisfatta la sola condizione a) e quindi il relativo modello sarà:

)( ijjiiij tfLGS ϕ= (3.86)

)(

1

ijj

ji tfL∑

=ϕ

(3.87)

dove Lj sostituisce Aj e rappresenta ma misura della capacità di attrazione della zona j, che non necessariamente deve essere il numero di spostamenti che terminano in esso.

Questo può essere chiamato un modello a generazione vincolata. In questo caso è il modello medesimo a fornire una stima dell'attrazione, che sarà:

)( ij

iiij

iij tfGLS ∑∑ = ϕ

(3.88)

Allo stesso modo si può parlare di un modello ad attrazione vincolata, per il quale cioè non siano date in precedenza le Gi:


__________________________________________________________________________________

150

)( ijjijij tfAHS ψ= (3.89)

)(

1

iji

ij tfH∑

=ψ

(3.90)

per cui la stima delle generazioni risulta

)( ij

jjji

jij tfAHS ∑∑ = ϕ

(3.91)

Si avrà poi, il modello a mobilità totale vincolata

)( ijjiij tfLkHS = (3.92)

)(

*

iji j

ji tfLHSk

∑∑=

(3.93)

in cui si è supposto noto il totale degli spostamenti. Con S si indica la matrice di previsione Sij e analogamente per le altre matrici che si incontrano. Un asterisco applicato a un insieme indica la sommatoria estesa a tutti gli elementi dell’insieme, ovvero

∑∑=

i jijSS *

(3.94)

Ed infine il modello non vincolato ha espressione:

)( ijjiij tfLHS = (3.95)


__________________________________________________________________________________

151

3.3.6.6.1. - La funzione di resistenza f Come si è visto il problema base del modello gravitazionale è la determinazione della funzione

di resistenza.

Come sempre, per poter effettuare una regressione bisogna stabilire le variabili indipendenti e quindi la forma più opportuna della funzione.

Gia nell’introduzione ai modelli distributivi si sono indicati i fattori che sembra ragionevole mettere in relazione con la resistenza; saranno qui richiamati per comodità:

a) la distanza in linea d'aria fra coppie di zone; b) la lunghezza reale dallo spostamento interzonale; c) la durata dallo spostamento; d) il costo generalizzato del trasporto; e) la potenzialità del sistema di trasporto relativo ad una determinata connessione interzonale; f) la localizzazione relativa della coppia di zone nell’area.

Quelli più frequentemente usati sono il tempo di percorrenza, il costo e il costo generalizzato.

Figura 3.22


__________________________________________________________________________________

152

Le funzioni più utilizzate sono del tipo:

a) βα −= xxf *)(

b) x

xf+

=β

α)(

c) xexf βα −= *)( d) xexxf βα −= **)(

Figura 3.23

Per poter applicare il metodo dei minimi quadrati, tali funzioni devono essere linearizzate rispetto ai coefficienti nel modo seguente:

a) βα −= xxf *)(

)lg()lg()](lg[ xxf βα −=

e ponendo

yxf =)](lg[


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153

a=)lg(α

b=− β

zx =)lg(

si ha quindi

zbay *+=

dove z è la variabile indipendente ed y quella dipendente. Ottenute a e b dalla regressione, si hanno facilmente i valori di α e β

Infatti

a=)lg(α e quindi

ae=α .

Inoltre,

b−=β


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154

3.3.7 – Quadratura della matrice I modelli gravitazionali e del fattore d’accrescimento, con la sola eccezione dei modelli del fattor

uniforme, prevedono una fase di elaborazione e validazione dei risultati prodotti dai modelli stessi. Tale procedimento è finalizzato portare i dati della matrice OD provvisoria a convergere sui dati dei modelli di generazione e attrazione..

Il procedimento di cui si parla è la Quadratura della Matrice secondo il Metodo di Furnes, che focalizzando l’attenzione di volta in volta sulle sole generazioni e poi sulle sole attrazioni, in modo iterativo, permette di raggiungere molto rapidamente la convergenza del problema.

In sintesi, facendo ricorso ad un foglio di calcolo, come ad esempio Microsoft Excel, il procedimento può essere articolato nelle fasi seguenti:

1. Determinazione di una prima matrice degli spostamenti ijS secondo la relazione:

ij

jiij s

FFF

S×

= (3.96)

2. Procedura iterativa di quadratura della matrice ottenuta con i valori ijS : perché le attrazioni e le

generazioni di ciascuna zona corrispondano a quelle determinate dal modello di

Attrazione/Generazione, la procedura prevede il calcolo mediante successivi passaggi iterativi fino

alla convergenza. La generica coppia di iterazioni (h) e (h+1) è costituita dalla successione delle

seguenti operazioni:

∑ −

=

j

hij

ihi

S

GC )1(

)(

(3.97)

)1()()( −= h

ijh

ijh SCS

i (3.98)

∑

=+

i

hij

jh

SA

Cj )(

)1(

(3.99)

)()1()1( h

ijhh

ij SCSj

++ = (3.100)

La procedura iterativa si arresterà quando risulta soddisfatta la condizione:

01,0)1(

)1()1(

≤−

−

−+

hij

hij

hij

S

SS

(3.101)

o quella che l’utente ha deciso di utilizzare come soglia d’arresto personalizzata.


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155

3.3.8 – Osservazioni sui modelli al fattore di accrescimento I modelli del fattore d’accrescimento possono essere considerati utili strumenti, anche se non

molto raffinati, che usati con prudenza e nel rispetto delle ipotesi che ne sono alla base, possono dare risultati attendibili: la principale debolezza di essi, infatti, è che non compare esplicitamente il complesso dei fattori da cui dipendono le modalità del trasporto, conseguente all’ipotesi (vista esplicitamente per il modello Detroit) che l’influenza di tali fattori sulla distribuzione degli spostamenti si mantenga inalterata, grazie ad un costante aumento della domanda su ogni collegamento.

Di contro si hanno notevoli svantaggi derivanti soprattutto dalla stretta dipendenza da una particolare situazione di equilibrio che deve essere rilevata: oltre quindi a richiedere un’accurata indagine O.D., non potranno rendere conto di modificazioni sostanziali di qualsiasi elemento del sistema da modificare.

In tale prospettiva vanno inquadrate alcune difficoltà tipiche dei modelli del fattore d’accrescimento, non solo teoriche, ma di effettivo peso pratico: è infatti considerato indispensabile che la zonizzazione sia la medesima nelle due epoche, anche quando ciò non descrivesse sostanziali modificazioni nell’uso del territorio.

Ulteriore problema è l’eventuale presenza di zone di cui sia nullo il traffico rilevato e non quello di previsione: il fattore d’accrescimento risulterebbe ovviamente infinito, mentre le Sij risulterebbero analiticamente indefinite.

Ovvero qualora vi fosse qualche sij = 0, pur essendo Fi ≠ 0, per qualsiasi valore di quest’ultima si avrebbe sempre Sij = 0. Un modo per superare queste difficoltà è quello di attribuire dei valori di comodo alle sij o alle gi che eventualmente fossero nulle.

Questi valori potrebbero venire stabiliti per analogia, eguagliandoli a quelli di zone che all’epoca delle previsioni, avevano caratteristiche simili a quelle in esame: questo è però possibile solo quando il numero di queste zone è piccolo.

Nell’effettiva applicazione dei modelli, la maggiore preoccupazione la si dovrebbe avere nella determinazione dei flussi più deboli, che per motivi di stabilità del campione, sono scarsamente attendibili. Si può cercare di superare anche questa difficoltà raggruppando zone vicine con flussi deboli e caratteristiche simili, ripartendo poi, a posteriori, i flussi di previsione fra le medesime zone: tutti questi mezzi sono però da utilizzare con molta attenzione e discrezione.

Per verificare l’efficacia dei modelli del fattore d’accrescimento, è stata sono state svolte due indagini nella città di Washington, a distanza di 5 anni una dall’altra.

I risultati possono così essere sintetizzati:

• Gli errori sono notevoli e sono dovuti essenzialmente alle zone di traffico debole;

• Il modello del fattore uniforme dà un errore molto maggiore degli altri tre, che da questo punto di vista si equivalgono fornendo un errore medio valutabile intorno al 12%. Tale proporzione si mantiene anche nel caso del numero di iterazioni richieste dai modelli, per quello del fattor medio questo numero sale a quattro, ed a cinque per il Detroit.

Per concludere, i modelli del fattore d’accrescimento non possono essere utilizzati in modo indiscriminato, altrimenti (in linea del tutto generale) gli svantaggi supererebbero i vantaggi: è quindi necessario avere ben chiare le ipotesi di partenza per l’applicazione dei modelli, al fine di aver chiaro, caso per caso, quale sia il modello migliore da utilizzare.


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156

3.3.9 – Utilizzo pratico dei modelli di domanda L’utilizzazione operativa dei modelli visti finora, si articola in diverse fasi, finalizzate ad una

corretta definizione iniziale dei medesimi, ad una loro calibrazione e quindi ad una validazione dei risultati da essi forniti ed una loro successiva applicazione allo scenario di previsione.

I modelli sono utilizzati nella seguente successione:

1) Modelli di generazione e attrazione per stimare gli spostamenti rispettivamente in partenza o in arrivo in ogni zona;

2) Modelli di distribuzione per stimare la distribuzione degli spostamenti tra le coppie di zone;

3) Modelli di ripartizione modale per stimare gli spostamenti di ciascuna coppia di zone rispettivamente con il sistema di trasporto pubblico e con quello privato (argomento non trattato dal presente corso).

L’uso dei modelli comporta lo sviluppo di diverse fasi operative:

1) Calibrazione, per definire variabili e relativi coefficienti;

2) Validazione, per verificare la rispondenza dei valori calcolati dal modello con quelli rappresentati dal campione analizzato;

3) Applicazione, per stimare i valori di previsione cercati;

È necessario tenere ben presente che i valori stimati ottenuti al termine della procedura di applicazione di ciascun modello, dovranno essere omogenei con i valori di input impiegati per calibrare il modello, dovranno cioè far riferimento al medesimo intervallo temporale (ora di punta, giorno medio feriale, ecc.), al medesimo scopo (lavoro, spostamenti sistematici, ecc.), al medesimo modo di trasporto (autovettura, trasporto pubblico, tutti i modi, ecc).

Un corretto utilizzo dei modelli richiederà quindi le seguenti fasi:

• Specificazione, per definire la forma funzionale e le variabili da utilizzare;

• Calibrazione, per selezionare le variabili del modello e stimare i coefficienti di correlazione;

• Applicazione, per calcolare, dato un modello calibrato e i valori delle variabili indipendenti in previsione, i valori dei flussi tra coppie di zone;

• Pivoting, per stimare i valori in previsione degli spostamenti tra coppie OD eliminando gli scostamenti del modello calibrato rispetto allo scenario di calibrazione.


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157

3.4 – Calcolo dei flussi di una rete di trasporto: l’assegnazione Nei capitoli precedenti si è visto come i flussi che caricano gli archi di una rete di trasporto siano

il risultato del modo in cui gli utenti del sistema scelgono fra i possibili percorsi per recarsi dalla zona di origine a quella di destinazione.

In particolare, come vedremo nei paragrafi seguenti, sono state ricavate le espressioni formali dei modelli di assegnazione e delle condizioni matematiche equivalenti per i modelli di equilibrio nel caso deterministico. Le relazioni matematiche ricavate, sebbene indispensabili per studiare le proprietà teoriche dei diversi modelli di assegnazione, non sono tuttavia utilizzabili per calcolare i flussi che ne derivano quando la dimensione della rete supera i pochi nodi.

Si pone pertanto il problema di utilizzare delle procedure di calcolo o algoritmi che consentano di ricavare i flussi di traffico derivanti dai diversi modelli di assegnazione considerati, per reti di dimensioni realistiche, in tempi ragionevolmente brevi.

In questo paragrafo saranno appunto esaminati alcuni algoritmi fra quelli di più largo uso, anticipando fin d’ora che esistono diverse possibili varianti agli algoritmi «standard» qui di seguito descritti, partendo dagli algoritmi per i modelli di assegnazione a reti non congestionate, ovvero con costi di arco invarianti rispetto ai flussi. In questo caso è possibile infatti calcolare le percentuali di scelta dei percorsi senza conoscere i flussi di arco e quindi viene meno quella «dipendenza circolare» di flussi e costi che caratterizza il problema dell’equilibrio.

Nel seguito saranno esaminati gli algoritmi per i modelli di equilibrio che utilizzano iterativamente quelli per le reti non congestionate.

Figura 3.24

In Figura 3.24 è riportata la classificazione dei modelli di assegnazione sulla base del livello di congestione e del modello di scelta del percorso utilizzato.

La trattazione degli algoritmi di assegnazione sarà preceduta da quella degli algoritmi per la ricerca degli alberi di minimo percorso che costituiscono un elemento comune a tutti gli altri.

Nel, corso di questo capitolo, per ragioni di chiarezza espositiva, il generico arco sarà indicato con la coppia ordinata di nodi (ij) e non dal singolo indice i; lo stesso vale per la coppia O-D, mentre i percorsi continueranno ad essere indicati dall’unico indice k.

Il costo di un arco sarà pertanto indicato con Cij, Ci sarà il costo per raggiungere il nodo i da una certa origine in esame, mentre Ck indicherà ancora il costo del percorso k.


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158

3.4.1 – Algoritmi per il calcolo degli alberi di minimo costo Il nucleo di tutti gli algoritmi di assegnazione è costituito dalla ricerca dei percorsi di costo

minimo o minimi percorsi fra tutte le coppie di nodi O-D della rete.

In particolare gli algoritmi più utilizzati consentono di calcolare, per reti con costi di arco positivi, gli alberi di minimo costo con radice in ciascun nodo origine; da questi è possibile ricavare il percorso minimo che collega ogni nodo destinazione al nodo radice. Nel seguito si indicherà il sottografo «albero di minimo costo con radice il nodo r» con T*(r) e con T(r) un qualunque altro albero con la stessa radice.

Tutti gli algoritmi per il calcolo di T*(r) sono di tipo iterativo, ad ogni iterazione è disponibile un albero T(r) che viene modificato fino a farlo coincidere con T*(r).

Il fondamento teorico di questi algoritmi è il Teorema di Bellmann, in cui si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché un albero T(r) di radice r sia l’albero di minimo costo, T(r) ∈ T*(r), è che per ogni coppia di nodi i,j collegati da un arco appartenente al grafo esaminato si verifichi la condizione:

ijj i c c -c p (3.102)

dove ci e cj sono i costi necessari per raggiungere i nodi i e j dalla radice r con l’unico itinerario consentito nell’albero in esame e cij è il costo costante dell’arco ij.

Gli algoritmi per la ricerca dell’albero di minimo costo partono da un albero iniziale relativo ad una rete modificata mediante l’introduzione di archi fittizi di costo infinito che collegano la radice r direttamente con tutti i nodi. L’albero iniziale, formato da questi rami fittizi è così immediatamente individuabile e non provoca alterazioni nel calcolo di T*(r) in quanto i suoi archi, di costo infinito, saranno certamente eliminati negli alberi successivi generati dall’algoritmo.

Ogni nodo i della rete viene caratterizzato da una etichetta ei, che ne individua lo «stato», e da un nodo predecessore pi, ovvero il nodo che lo precede nell’albero generato: la conoscenza dei predecessori di ogni nodo definisce completamente un albero in quanto consente di costruire «all’indietro» il percorso da ogni nodo fino alla radice.

In ogni iterazione viene esaminato un nodo i della rete e, per tutti gli archi (ij) della stella in uscita da i, viene verificata la (3.78) dove cj e ci sono i costi per raggiungere i nodi i e j dalla radice r utilizzando l’albero generato fino a quella iterazione.

Se l’arco (ij) appartenente alla stella non soddisfa la (3.73) ossia se verifica che:

cj > ci + cij (3.103)

il percorso seguito per raggiungere j dalla radice viene sostituito con quello formato dal percorso fino a i e dall’arco ij e il costo cj viene aggiornato ponendo cj = ci + cij.

Alla fine di ogni iterazione i nodi per i quali è stato corretto il percorso e il costo vengono posti in una lista, o serbatoio, L dalla quale viene estratto il nodo da esaminare nell’iterazione successiva.

I diversi algoritmi utilizzati per il calcolo dell’albero di minimo costo si differenziano per il criterio con cui la lista viene «gestita» ovvero per come ne vengono inseriti ed estratti i nodi.


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159

3.4.2 – Algoritmo di Dijkstra In questo algoritmo i nodi della lista L sono disposti in ordine crescente di costo per raggiungerli

dalla radice, l’elemento L(1) rappresenta quindi il nodo di minimo costo fra quelli in L. Ad ogni iterazione viene esaminato il primo nodo della lista che non vi rientrerà più in quanto, «per costruzione», i nodi che saranno introdotti nella lista nelle iterazioni successive hanno un costo maggiore di quello estratto per il quale non potrà mai verificarsi la (3.75).

L’etichetta ei di ogni nodo, utile al riordino della lista, rappresenta la posizione del nodo i nella lista dei nodi raggiunti e non ancora definitivi, oppure zero se il nodo non è nella lista.

Nella fase di inizializzazione viene costituito l’albero fittizio ottenuto collegando la radice direttamente con ciascun nodo con un arco di costo infinito, l’etichetta di tutti i nodi esclusa la radice è posta pari a zero, il costo di tutti i nodi è pari a infinito (o un numero molto più grande dei costi della rete), il predecessore di ogni nodo è la radice r e la lista è composta dal solo nodo radice.

Nella generica iterazione k si estrae dalla lista il primo nodo i, che per quanto detto, diventa permanente, e si esaminano tutti i nodi appartenenti alla stella in uscita da i. Per il generico nodo j di tale stella (j ∈ FW (i)) si confronta il costo ci per raggiungerlo da r seguendo l’albero generato fino a quella iterazione, con quello che si avrebbe raggiungendolo dal nodo i con l’arco (ij): se si verifica la condizione, si sostituisce il nodo i al vecchio predecessore di j, il costo ci + cij al vecchio valore di cj.

Si procede fino allo svuotamento della lista L, a quel punto tutti i nodi della rete sono permanenti e per ognuno è possibile ottenere il percorso di minimo costo fino alla radice r usando i predecessori.

L’implementazione automatica dell’algoritmo di Dijkstra richiede quattro vettori di dimensioni pari ai numero dei nodi, in tali vettori sono contenuti i costi ci, le etichette ej, i predecessori pi e, nell’ultimo, la lista dei nodi da esaminare L.

I passi fondamentali dell’algoritmo sono descritti di seguito:

Step 0 Inizializzazione e costruzione dell’albero iniziale

Pi = r i∀

Ci = 0 ri ≠∀

er = 0, Cr = 0, L(1) = r

Ci = M (valore molto grande) ri ≠∀

Step 1 Si estrae il primo nodo i della lista (i=L(1)). ej = 0 e tutti gli elementi sono scalati di una posizione.

Per ogni nodo j appartenente alla stella in uscita del nodo i

j ∈ FW(i)):

se cj > ci + cij si pone:

pi = i

cj = ci + cij

e si procede al nodo successivo della stella.

Step 2 Riordino della lista. I nodi j per cui è verificata la condizione (3.74) nello Step 1 sono inseriti nella lista L nella posizione d’ordine corrispondente al loro nuovo costo ci; se erano già presenti vengono riposizionati.


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160

Step 3 Test di arresto. Se la lista è vuota l’algoritmo si arresta, in caso contrario si torna allo Step 1.

In Figura 3.26 sono riportati i valori dei vettori c, e, p, L per le sette iterazioni dell’algoritmo di Dijkstra, relativo alla stessa rete riportata in Figura 3.25.

Figura 3.25


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161

Figura 3.26


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162

3.5 – Il problema dell’assegnazione I modelli di generazione, distribuzione, ripartizione modale, consentono di determinare la

domanda di trasporto ovvero forniscono, per ogni sistema di trasporto parziale (rete di mezzi pubblici, rete viaria, etc.) una matrice O/D del tipo:

nnnn

n

SSS

SSS

...........................

...

21

11211

(3.104)

Il passo successivo, che viene effettuato mediante un appropriato modello di assegnazione, è quello della verifica del sistema di trasporto progettato.

Si può infatti considerare tale il procedimento che ci fornisce i mezzi per fare previsioni sui flussi, che attraversano ogni elemento della rete. Da essi e dalle caratteristiche della rete, mediante le sue relazioni funzionali (tra cui principalmente le curve di deflusso), si possono ottenere i valori delle grandezze indicatrici della bontà del progetto.

In generale si chiamerà assegnazione qualsiasi procedimento che si ponga il fine di fornire i flussi di arco hkϕ (del generico arco hk ) a partire da una determinata matrice O/D (relativa ai flussi interzonali) e dalle caratteristiche del sistema di trasporto (esistente o di progetto).

Il nome stesso di “assegnazione” deriva da quello che può essere considerato il problema operativo fondamentale: per effettuare lo spostamento i-j si hanno a disposizione diverse alternative, il cui numero sarà indicato con Wij: quanti degli spostamenti Sij utilizzeranno ognuna di esse?

Figura 3.27

Oppure, per ottenere certi scopi, come la minimizzazione dei costi, quanti spostamenti devono essere assegnati ad ogni alternativa?

Il termine nasce quindi dal problema aziendale in cui si può effettivamente pensare di assegnare i flussi, ma anche se non perfettamente rispondente allo spirito del problema particolare, lo si usa per ogni modello che a partire dalla matrice O/D e dal sistema di trasporto, fornisce i flussi d’arco della rete.


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163

3.5.1 – Formalizzazione matematica

Alla generica q-esima alternativa bisogna attribuire ijqσ degli Sij spostamenti, in modo tale che

sia rispettata la seguente relazione:

ij

W

q

ijq S

ij

=∑=1

σ (3.105)

dove Wij è il numero dei cammini (Figura 3.28).

Dalle ijqσ è poi immediato passare alle hkϕ , semplicemente considerando tra ciascuna coppia

O/D le alternative che interessano l’arco hk, sommandone quindi le rispettive ijqσ .

Indicando con ijhkC l’insieme dei cammini possibili tra ij che si chiudono sull’arco hk, si può

ricavare la seguente relazione:

hk

N

I

N

J

W

q

ijq

IJ

ϕσ =∑∑∑= = =1 1 1

( ) aIkh ∈− (3.106)

dove il generico arco hk appartiene all’insieme Ia degli archi disponibili nella rete, come rappresentato quindi in Figura 3.28.

A questi due gruppi di equazioni vanno aggiunte quelle che si ottengono utilizzando le relazioni funzionali di ogni nodo e di ogni arco.

Figura 3.28

Indicando con tn e ta le generiche funzioni di nodo e arco, si scriverà per ogni cammino di O/D:

ijq

Nl Akhhkaln ttFt

ijq

ijq

∑ ∑∈ ∈

=+),(

)()( ϕ

(3.107)


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164

dove:

• ijqN e ij

qA rappresentano rispettivamente l’insieme dei nodi e degli archi che formano il q-esimo cammino sulla coppia ij;

• Fl l’insieme dei flussi degli archi che terminano nel nodo l;

• tn e ta delle generiche funzioni di nodo e di arco, eventualmente diverse da nodo a nodo e da arco ad arco;

• ijqt il valore che il parametro scelto (tempo di percorrenza, costo generalizzato, etc) assume sul q-

esimo cammino della coppia ij.

La (3.83) in sintesi non fa altro che affermare che il tempo di percorrenza totale da i a j è uguale alla somma dei tempi necessari a percorrere ogni arco e ad attraversare i nodi intermedi.

Le equazioni del tipo della (3.105), sono dette equazioni di congruenza, e sono in numero pari a quello delle coppie O/D presenti, ovvero N2; quelle del tipo (3.106), dette equazioni d’arco, sono invece in numero pari a quello degli archi, il cui numero sarà indicato con m.

Infine le equazioni (3.107), dette equazioni di cammino, saranno tante quanti sono tutti i

cammini possibili tra tutte le coppie O/D, ovvero pari a ∑∑= =

N

i

N

jijW

1 1

.

Se ora si effettua un rapido conteggio del numero di incognite presenti in questo problema, ci si accorgerà che sono in numero superiore a quelle delle equazioni disponibili, per cui il sistema non è risolvibile.

Nella (3.105) sono incognite le sole ijqσ , dal momento che le Sij sono dati del problema di

partenza. Nella (3.106) si aggiungono le hkϕ , che come detto sono m.

Supponendo esplicitate le funzioni ta e tn, nella (3.107) le uniche incognite aggiunte sono le ijqt ,

che sono anch’esse in numero pari a ∑∑= =

N

i

N

jijW

1 1

.

Questo conteggio può essere riassunto nella tabella seguente:

Equazioni in numero Incognite in numero di congruenza N2 ij

qσ ∑∑= =

N

i

N

jijW

1 1

di arco m hkϕ m

di cammino ∑∑

= =

N

i

N

jijW

1 1

ijqt ∑∑

= =

N

i

N

jijW

1 1

Il numero delle incognite è sempre superiore a quello delle equazioni tranne nel caso che ijW sia

uguale ad 1 su ogni O/D, infatti ∑∑= =

=N

i

N

jN

1 1

21 , riducendosi il problema ad una banalità con un’unica

soluzione obbligata.

Come si vede le equazioni (3.105), (3.106), e (3.107) non sono sufficienti per la soluzione del problema, perché non compare il “criterio di assegnazione”, ovvero esse debbono esser viste solo come condizioni analitiche che la soluzione di un generico problema di assegnazione deve comunque


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165

soddisfare.

L’effettiva natura del problema detterà le altre relazioni che completeranno l’impostazione analitica, dando luogo, come si vedrà meglio in seguito, o a sistemi in senso stretto, o a problemi di ottimizzazione (il che è possibile finché le equazioni sono in numero inferiore alle incognite del problema).

La natura dei problemi introduce inoltre delle ulteriori condizioni sui valori dati e sulle incognite che non potranno mai assumere valori negativi:

ijqσ ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

hkϕ ≥ 0 ( ) aIkh ∈− (3.108)

ijqt ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

Oltre alle Sij che sono garantite dai modelli precedenti, ulteriori condizioni risultano imposte dalla limitata capacità dei singoli elementi della rete.

Ad esempio, detta *hkϕ la capacità del generico arco h-k:

hkϕ < *hkϕ (3.109)

ed analogamente per i nodi.

Nel seguito parleremo di generiche “condizioni di capacità”, a meno che non vi sia assoluta necessità di esplicitarle. Per riassumere, l’insieme delle relazioni e condizioni sempre presenti in un problema di assegnazione, è il seguente:

ij

W

q

ijq S

ij

=∑=1

σ (i,j = 1,2...N)

hk

N

I

N

J

W

q

ijq

IJ

ϕσ =∑∑∑= = =1 1 1

( ) aIkh ∈−

ijq

Nl Akhhkaln ttFt

ijq

ijq

∑ ∑∈ ∈

=+),(

)()( ϕ (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij) (3.110)

ijqσ ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

hkϕ ≥ 0 ( ) aIkh ∈− ijqt ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

+ “Condizioni di Capacità”

Il conteggio fatto mette in evidenza come il numero delle condizioni (3.86) aumenti smisuratamente all’aumentare delle dimensioni della rete.

In particolare le ijW , che sono in numero N2, raggiungono in tali casi valori decisamente imponenti: determinare tutti i cammini di una sola O/D equivale, come si vedrà in seguito, per una rete di n nodi, a risolvere un una matrice n x n, trovandone gli n! fattori da sommare.


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166

3.5.2 – Criteri di assegnazione I casi fondamentali sono due:

1. L’utente ha completa libertà di scelta e quindi persegue unicamente il proprio vantaggio individuale;

2. Esiste un’autorità in grado di prestabilire l’uso della rete e dei mezzi, e soprattutto in grado di vincolare l’utente ad uniformarvisi.

Come si vede sono due posizioni antitetiche, ma ambedue reali, visto che il primo caso fa riferimento al traffico privato, mentre invece il secondo è relativo al traffico in ferrovia.

In quest’ultimo caso ci si può porre il fine di minimizzare il valore di una funzione obiettivo, come il tempo totale di trasporto:

ijq

N

I

N

J

W

q

ijq t

IJ

∑∑∑= = =1 1 1

σ (3.111)

oppure una funzione dei costi legata ai flussi d’arco:

hk

Ikhhk

a

C ϕ∑∈− )( (3.112)

o più genericamente:

)(

)(hk

Ikhhk

a

f ϕ∑∈− (3.113)

In conclusione, prendendo come esempio la (3.112) come funzione obiettivo, il problema dell’assegnazione diventerà:

min)(

=∑∈−

hkIkh

hka

C ϕ

∑=

=ijw

qij

ijq S

1

σ (i,j = 1,2...N)

∑∑ ∑= = ∈

=W

ihk

W

j

W

Cq

ijq

hk1 1ϕσ ( ) aIkh ∈−

ijq

Nl Akhhkaln ttFt

ijq

ijq

∑ ∑∈ ∈

=+),(

)()( ϕ (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij) (3.114)

ijqσ ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

hkϕ ≥ 0 ( ) aIkh ∈− ijqt ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

+ “Condizioni di Capacità”

e sarà analogo indipendentemente dalla funzione obiettivo (3.111) o (3.113) scelta.


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167

Nel caso in cui sia stata scelta una funzione lineare, come la (3.112), ma non come la (3.113), e che siano contemporaneamente lineari le ta e tn, ci si trova dinnanzi ad un problema di programmazione lineare.

Tutt’altro discorso bisogna fare nell’ipotesi che gli utenti abbiano completa libertà di scelta fra le ijW alternative.

Essi di fatto hanno di mira il solo interesse individuale: ognuno cercherà di rendere minimo il proprio tempo di percorrenza (o il valore del parametro cui è sensibile).

La conseguenza sarà che tra tutte le alternative disponibili fra i e j, ve ne saranno alcune utilizzate ed altre no, ed inoltre il tempo di percorrenza sarà uguale su tutte quelle utilizzate e maggiore sulle altre: se così non fosse, qualche utente, essendosene reso conto, troverebbe conveniente abbandonare l’alternativa scelta in precedenza, a vantaggio di qualche altra.

Al sistema (3.110) bisognerà aggiungere altre condizioni che descrivono questa condizione di equilibrio, una per ogni cammino di ciascuna coppia O/D:

ijqσ = 0 allora ij

qt ≥ ijT ijqσ > 0 allora ij

qt = ijT (3.115)

il che introduce ulteriori N2 incognite ijT che sono rappresentate dai tempi tra le O/D, effettivamente utilizzati dagli utenti sulla rete.

Le (3.115) si trasformano nelle condizioni (3.116), equivalenti, ma di uso più agevole:

ijqσ ( ij

qt - ijT ) = 0

0 ≤ ijT ≤

ijqt (3.116)

Aggiungendo queste equazioni alle (3.110) si ottiene quindi il sistema:

∑=

=ijw

qij

ijq S

1

σ (i,j = 1,2...N)

∑∑ ∑= = ∈

=W

ihk

W

j

W

Cq

ijq

hk1 1ϕσ ( ) aIkh ∈−

ijq

Nl Akhhkaln ttFt

ijq

ijq

∑ ∑∈ ∈

=+),(

)()( ϕ (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij) (3.117)

ijqσ ( ij

qt - ijT ) = 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij) ijqσ ≥ 0 (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij)

hkϕ ≥ 0 ( ) aIkh ∈− 0 ≤ ijT ≤ ij

qt (i,j = 1,2...N; q = 1,2...Wij) + “Condizioni di Capacità”


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168

Questo sistema è, di fatto, sostanzialmente diverso dai precedenti perché le equazioni (le prime 4 righe) sono in numero uguale alle incognite, come evidenziato nella tabella seguente:

Equazioni in numero Incognite in numero (3.105) di congruenza N2 ij

qσ ∑∑= =

N

i

N

jijW

1 1

(3.106) di arco m hkϕ m

(3.107) di cammino ∑∑

= =

N

i

N

jijW

1 1

ijqt ∑∑

= =

N

i

N

jijW

1 1

(3.117) criterio di assegnazione ∑∑

= =

N

i

N

jijW

1 1

ijT N2

Esso, però, non è lineare e quindi la soluzione non è unica.

Le ultime 4 righe del sistema stabiliscono i campi di validità delle incognite, per cui, risolto il sistema, si potrebbe fare una cernita delle soluzioni accettabili: tra queste, esclusa la unicità delle soluzioni, si può pensare di fare un’ulteriore scelta.

E’ difficile stabilire il criterio, visto che la finalità di tutta la presente teoria, non è cercare di programmare un certo servizio, per il quale avrebbe senso cercare di minimizzare i costi o i tempi, ma si vuole soltanto trovare quale sia la condizione di equilibrio del sistema stesso.


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169

3.5.3 – Ipotesi Il sistema (3.114) risolve un problema classico dei trasporti: in questo paragrafo bisogna però

mettere in evidenza le ipotesi che implicitamente si sono fatte per poterlo scrivere.

Esse, come già detto, sono sostanzialmente le seguenti:

1. L’utente ha completa libertà di scelta e persegue unicamente il proprio vantaggio individuale;

2. L’utente ha perfetta conoscenza della rete e del suo stato al momento di effettuare delle scelte;

E’ possibile scrivere le equazioni (3.116) solo ammettendo queste ipotesi, anche se esse nella realtà non possono essere sempre considerate accettabili: ciò non toglie che la loro utilizzazione, fatta in modo opportuno, dia ottimi risultati in base alle seguenti considerazioni.

Innanzi tutto bisogna distinguere fra diversi tipi di rete di trasporto, visto che per alcune di esse le ipotesi base non sono verificate con ottima approssimazione, soprattutto:

• nel caso di rete a maglie molto larghe con conseguente forte divario tra i tempi di percorrenza, e riduzione del set di cammini confrontabili con il migliore;

• quando i flussi non abbiano molta o nessuna influenza sui tempi di percorrenza, ovvero le funzioni ta e tn siano molto poco sensibili al variare delle hkϕ , o siano addirittura costanti rispetto a questi.

Si pensi alla realtà del trasporto interurbano.

Al limite, quando queste condizioni si verificano realmente diventa legittimo il ricorso all’assegnazione “tutto o niente”, ovvero ad assegnare tutta la Sij all’alternativa migliore (che sarà la migliore quindi sia a vuoto che a carico).

L’esempio contrario è dato dalla viabilità urbana, con reti con maglie molto strette, e le cui prestazioni hanno fortissime variazioni non appena i flussi salgono oltre certi valori.

Considerato che non tutte le strade hanno le stesse caratteristiche funzionali, se ne potrà fare una classificazione topologica, in base alla quale si schematizzerà la rete nel grafo: il grado di semplificazione in questa operazione e la dimensione delle zone sono legate alla scala a cui si vuole osservare il fenomeno , e legate fra loro.

Generalmente si trascurano i flussi interni alle zone Sij (ovvero con i = j) per cui è logico far comparire nel grafo solo le strade su cui si svolgeranno gli spostamenti interzonali: queste infatti sono quelle con le caratteristiche migliori, per tracciato, per dimensioni trasversali e per frequenza di intersezioni (poche).

Essendo il loro numero relativamente basso, la loro conoscenza da parte degli utenti può essere considerata buona, o per lo meno molto migliore di quella della rete nel suo complesso.

Il limitarsi a queste strade è giustificato dalla constatazione che, nella realtà, difficilmente gli utenti abbandonano gli itinerari principali per utilizzare, se non nei tratti estremi degli spostamenti, la rete secondaria o di quartiere.

Nel caso specifico della seconda ipotesi, anche questa non apparirebbe essere realistica, ma considerando che l’obiettivo è determinare una situazione di equilibrio media, e che la maggior parte degli spostamenti sono di tipo abituale, anche questa può essere considerata accettabile, anche perché l’intero procedimento ammette margini di incertezza piuttosto ampi.

In altre parole si vuole sostenere che l’utente, sperimentando in esperienze successive, ma confrontabili secondo la sua opinione, i diversi itinerari, riesce a farne una valutazione, non solo soddisfacente dal punto di vista soggettivo, ma anche sufficientemente corretta per i fini pratici.


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170

Il principale assunto del problema dell’equilibrio dell’assegnazione è che ciascun utente sceglie il percorso che percepisce come migliore: se esiste un percorso più corto di quello che l’utente usa correntemente, egli cambierà per quello meno “costoso”, ovvero più breve.

Questo porta ad avere dei flussi che soddisfano il principio di Wardrop (1952) dell’ottimo per l’utente, secondo cui nessun utente può decrementare il proprio tempo di viaggio conseguentemente ad un cambiamento di percorso.

La conseguenza di quanto appena detto è che l’assegnazione all’equilibrio interessa una serie di cammini, tali che tutti i percorsi tra una determinata origine ed una determinata destinazione sono caratterizzati dall’avere il medesimo tempo di percorrenza.

La ricerca della soluzione del problema dell’assegnazione all’equilibrio è equivalente a risolvere il problema della minimizzazione dell’area sottesa dalle curve flusso-ritardo.

Questo può essere intuitivamente verificato facendo riferimento alla Figura 3.28, che fa riferimento ad una generica coppia O/D, pq.

Figura 3.29


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171

3.6 – Tecniche di assegnazione: risolubilità del sistema Il sistema (3.117) non è, in pratica, risolubile.

Infatti, salvo casi particolari, non è lineare ed è di dimensioni tali da porre il problema al di là delle odierne possibilità di elaborazione, non appena si tratti di affrontare casi di dimensioni significative.

Per quanto riguarda la non linearità delle funzioni ta e tn se ne parlerà in particolare in seguito illustrando la costruzione del grafo.

Anche le relazioni (3.116) non lo sono, ma su di esse non c’è possibilità di intervenire. L'unica via sarebbe quella di rinunciare alla scelta delle alternative da utilizzare, cioè considerandole già note: in questo caso le (3.116) si trasformano in due insiemi di condizioni distinte:

ijqt = ijT se q è un’alternativa utilizzata

ijqt ≥ ijT se q non è un’alternativa utilizzata (3.118)

che sembrano formalmente identiche alle (3.115) ma che, a differenza di quelle, sono effettivamente scrivibili per l'ipotesi fatta di conoscere se la q-esima alternativa sia o meno utilizzata e, di conseguenza, di poter scegliere fra la prima o la seconda riga delle (3.116). In tal caso si scrivono solo relazioni lineari (prima riga), o delle limitazioni (seconda riga) senza ricorrere alle (3.116).

L’uso di queste ultime comporta il problema della conoscenza degli itinerari possibili, e questo è proprio ciò che comporta dimensioni abnormi del problema.

Tutto questo porta alla ricerca di particolari tecniche in grado di risolvere, in modo imperfetto, ma sufficiente ai fini pratici, il problema stesso.

L'esposizione di quelle maggiormente in uso precederà la discussione della loro validità ed il confronto fra esse.

3.6.1 – Assegnazione tutto o niente E’ il modo più semplice per risolvere il sistema (3.117) e corrisponde al principio: “Tutto il

traffico sull’alternativa migliore”.

Dal punto di vista analitico significa ammettere costanti le funzioni ta e tn, oppure crescenti con i flussi, ma in modo sufficientemente lento da non modificare i cammini minimi a carico rispetto a quelli a vuoto.

Il procedimento risulta così estremamente semplice, riducendosi alla sola ricerca dei cammini minimi un’unica volta e poi, mediante le equazioni d’arco, si hanno immediatamente i flussi cercati.

Ci sono molti casi in cui si può pensare di fare un’ assegnazione “tutto o niente”. Si pensi, per fare qualche esempio, a trasporti extraurbani, oppure a mezzi pubblici (specie in sede propria). La rete, in casi simili, è a maglie sufficientemente larghe da poter considerare i cammini minimi indipendenti dai flussi.

Nel caso dei trasporti pubblici, inoltre, se si considera significativo il tempo di percorrenza, questo è, effettivamente , poco variabile con il carico, anzi, al limite, può diminuire perché all'aumentare di questo si può rendere necessaria una maggiore frequenza dei mezzi.


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172

3.6.1.1 – Assegnazione tutto o niente: esempio Si consideri il problema di due strade, una che attraversa il centro e la seconda che lo by-passa.

Siano dati i seguenti parametri:

tB = 15 + 0,005 * VB

tC = 10 + 0,02 * VC

SAB = 2000 veh/h

Figura 3.30

Utilizzando un’assegnazione tutto o niente, il cammino minimo risulterà essere il “C”, per cui tutta la domanda verrà assegnata su questo.

I tempi di percorrenza, calcolati a rete scarica sui due diversi cammini, saranno quindi:

tB = 15 + 0,005 * VB = 15 + 0,005 * 0 = 15

tC = 10 + 0,02 * VC = 10 + 0,02 * 2.000 = 50

Si ottiene quindi una forte discordanza tra i due tempi di percorrenza, con un forte scostamento dall’ equilibrio di Wardrop. Ne segue che la soluzione trovata non è all’equilibrio.

3.6.2 – Assegnazione tutto o niente con vincolo di capacità Una volta fatta l'assegnazione con il metodo del “tutto o niente” ci sì può accontentare dei

risultati ottenuti, se la natura del problema lo consente (ad esempio se si vuole soltanto fare una verifica a breve termine di un sistema esistente), oppure bisogna prendere in considerazione le “condizioni di capacità” del sistema (3.117) che, di fatto, erano state trascurate.

Può infatti verificarsi che i flussi ottenuti siano tali da non poter essere fisicamente possibili: è così necessario fare ricorso ad una tecnica più adeguata.

C

B


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173

3.6.3 – Assegnazione incrementale In questo tipo di assegnazione la matrice viene divisa in una serie di matrici frazionarie,

attraverso l’applicazione di una serie di coefficienti frazionari Pn tali che ΣPn = 1. Queste sottomatrici sono caricate in modo incrementale sui cammini minimi calcolati ogni volta partendo dai flussi accumulati nell’iterazione precedente.

Valori tipici di Pn sono ad esempio: 0.4, 0.3, 0.2 e 0.1.

L’algoritmo può essere schematizzato nel modo seguente:

1. Si calcolano i cammini minimi a vuoto, avendo inizializzato i flussi Va = 0; si seleziona quindi un’aliquota Pn della matrice totale, in modo tale che 1=∑

nnp , inizialmente con n = 0;

2. Si calcolano i cammini minimi sui costi attuali e si pone n = n +1;

3. Si carica la matrice Pn con assegnazione “tutto o niente”, ottenendo dei flussi ausiliari Fa sui cammini, per cui su ciascun arco:

an

an

a FVV += −1 (3.119)

4. Si calcola i nuovi cammini minimi a carico, in base ai flussi naV , e qualora non sia stata

assegnata tutta la matrice originaria si ritorna al passo n°2; in caso contrario si esce dalla procedura di assegnazione.

Questo algoritmo tende a convergere all’equilibrio di Wardrop; la forte limitazione delle tecniche incrementali sta nel fatto che una volta che un flusso è stato assegnato ad un arco, non è più possibile rimuoverlo per caricarlo altrove.

Al tempo stesso le tecniche incrementali hanno però molti vantaggi:

1. Sono di facile implementazione;

2. I risultati possono essere valutati al crescere della congestione;

3. Assicurano la convergenza per piccole frazioni caricate di volta in volta;


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174

3.6.3.1– Assegnazione incrementale: esempio Si consideri il problema di due strade, una che attraversa il centro e la seconda che lo by-passa.

La domanda, di 2000 spostamenti, è stata divisa in quattro aliquote 0.4, 0.3, 0.2 e 0.1, per dei corrispondenti valori di 800, 600, 400 and 200 spostamenti.


tB = 15 + 0,005 * VB

tC = 10 + 0,02 * VC

SAB = 2000 veh/h

Figura 3.31

Ad ogni iterazione verranno ricalcolati i cammini minimi.

N Incremento Flusso città Costo città Flusso Bypass

Costo bypass

0 0 0 10 0 15 1 800 800 26 0 15 2 600 800 26 600 18 3 400 800 26 1000 20 4 200 800 26 1200 21

In questo caso, l’algoritmo non converge alla soluzione d’equilibrio (Wardrop), poiché una volta assegnato un forte flusso errato sull’asse che attraversa la città, non è più possibile ridurlo, lasciando sovrastimati il flusso e la congestione su tali archi.

E’ possibile verificare come con incrementi più piccoli della domanda assegnata si giunga alla soluzione d’equilibrio, infatti già partendo con il 30% della domanda totale il sistema risulta convergere.

A A C

B


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175

3.6.4 – Assegnazione alle medie successive Sono stati sviluppati molti algoritmi per superare il problema dell’eccessivo carico assegnato agli

archi della rete e del problema dell’equilibrio: il metodo delle medie successive calcola il flusso attuale su di un arco come combinazione lineare di quello all’iterazione precedente e di un flusso ausiliario risultante da un’assegnazione tutto o niente effettuata all’iterazione corrente.

L’algoritmo è schematizzato secondo i punti seguenti:

1. Si seleziona un set di archi di costo minimo; 2. Si inizializza il flusso Va = 0, ponendo n = 0; 3. Si calcolano i nuovi alberi di cammino minimo e si pone n = n + 1; 4. Si carica tutta la domanda su questi cammini minimi con un’assegnazione tutto o niente,

ottenendo i flussi ausiliari F; 5. Si calcola i flussi correnti secondo la relazione:

( ) an

an

a FVV φφ +−= −11 con 0 ≤ Φ ≤ 1 (3.120)

6. Si calcolano i nuovi cammini minimi secondo i flussi naV , e qualora i flussi o i costi non siano

cambiati significativamente nelle ultime due iterazioni, si esce dalla procedura; In caso contrario si riprende dal punto 3.

I vari algoritmi differiscono tra loro essenzialmente nel modo di calcolare Φ: in molti casi si pone Φ = 0.5, anche se risulta essere più efficace porre Φ = 1/n, garantendo una maggiore velocità di convergenza alla soluzione d’equilibrio.

3.6.4.1 – Assegnazione alle medie successive: esempio Si consideri il problema di due strade, una che attraversa il centro e la seconda che lo by-passa.


tB = 15 + 0,005 * VB

tC = 10 + 0,02 * VC

SAB = 2000 veh/h

Figura 3.32

Ad ogni iterazione verranno ricalcolati i cammini minimi.

A A C

B


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176

Nella tabella sottostante sono riportati i principali passi dell’assegnazione per medie successive.

Iterazione F Flusso Città Costo città Flusso Bypass Costo Bypass F 2000 0 1 Vn 1 2000 50 0 15 F 0 2000 2 Vn ½ 1000 40 1000 20 F 0 2000 3 Vn 1/3 667 23,3 1333 21,7 F 0 2000 4 Vn ¼ 500 20 1500 22,5 F 2000 0 5 Vn 1/5 800 26 1200 21 F 0 2000 6 Vn 1/6 667 23,3 1333 21,7 F 0 2000 7 Vn 1/7 572 21,4 1428 22,1 F 2000 0 8 Vn 1/8 750 25 1250 21,25 F 0 2000 9 Vn 1/9 667 23,3 1333 21,7 F 0 2000 10 Vn 1/10 600 22 1400 22

E’ possibile verificare come l’algoritmo si avvicini alla soluzione d’equilibrio già alle iterazioni 3, 6 e 9, ma solo alla 10 raggiunga stabilmente tale valore.

Da quanto esposto risulta importante sottolineare come non sia buona cosa fissare a priori il numero massimo delle iterazioni da effettuare, visto il modo in cui i costi ed i flussi assegnati possono variare nelle varie iterazioni.

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