1

Capitolo 3 Range equation per i sistemi elettroottici Sommario 1 Generalità .....................................................................................................................................1 2 Equazione di portata nel caso di bersagli solidi...........................................................................1 3 Range equation.............................................................................................................................3 4 Attenuazione atmosferica...........................................................................................................11 5 Equazione radar per bersagli diffusivi (lidar) ............................................................................12 6 Caratteristica statistica del segnale ricevuto ..............................................................................15 7 Ricevitore eterodina ...................................................................................................................17 8 Calcolo semplificato del backscattering atmosferico nella telemetria di bersagli solidi ...........24

1 Generalità La range equation (equazione di portata) è una utile e semplice descrizione dei fattori che influenzano le prestazioni di un radar ottico ed esprime la portata del radar in funzione delle caratteristiche del radar stesso. Per semplicità è opportuno separare il caso di bersagli solidi (telemetri) da quello di bersagli aerosolici (lidar).

2 Equazione di portata nel caso di bersagli solidi La misura della distanza di un bersaglio, anche quando la visibilità non ne permette la visione diretta, può essere ottenuto attraverso diverse tecniche. Quella descritta ed esaminata è basata sull' utilizzo di tecniche di telemetria ottica. Le tecniche di telemetria ottica soffrono di molte delle limitazioni legate alla scarsa visibilità. Tali tecniche, attualmente utilizzate stabilmente in campo militare, astronomico e aeronautico, hanno raggiunto una maturità tecnologica paragonabile con quella di un radar tradizionale a microonde. Per applicazioni di bassa potenza, l' utilizzo di un laser come sorgente presenta diversi vantaggi nei confronti di una sorgente a microonde quali la bassa divergenza, la maggiore risoluzione e una antenna di trasmissione più piccola e semplice. Lo svantaggio è l' attenuazione atmosferica che la radiazione laser incontra in ambienti ostili di propagazione. In figura 1.1 è mostrato lo schema di principio del telemetro in cui un segnale ottico viene trasmesso e, dopo essere stato riflesso da un bersaglio, viene rilevato da un sensore ottico.

2

Figura 1.1 Esiste la possibilità di misurare la distanza trasmettitore-bersaglio ed aggiornarla con continuità con diverse tecniche quali: - misura del tempo di volo - misura di comparazione di fase Queste misure possono utilizzare segnali impulsivi o codificati (codici pseudorandom , chirp, etc) Le prestazioni di un telemetro dipendono, in generale, dai seguenti fattori: 1. Caratteristica del trasmettitore Energia degli impulsi Durata degli impulsi 2 Caratteristiche del ricevitore Sensibilità del ricevitore Livello di rumore del ricevitore 3 Attenuazione atmosferica 4 Natura del bersaglio Riflettività del bersaglio Rugosità del bersaglio 5 Fattore geometrico Divergenza del fascio laser Angolo di vista del ricevitore Area del bersaglio Distanza del bersaglio Diametro dell'ottica di ricezione 6 Caratteristica di antenna Trasparenza delle ottiche di trasmissione e di ricezione

θbw Pt

d

R

3

Nei paragrafi successivi vengono analizzate le influenze di tali parametri nelle prestazioni generali di un telemetro.

3 Range equation L’equazione di portata (range equation) è il legame fra la potenza ottica trasmessa e quella ricevuta. Si consideri una sorgente puntiforme che irradia in tutte le direzioni una potenza Pt . In tal caso si ha che la densità di potenza trasmessa Pt ad una distanza R, essendo 4π l’angolo solido totale intorno alla sorgente puntiforme, vale:

24 RPt⋅⋅π

La sorgente laser possiede una certa divergenza e pertanto emette la radiazione in un prefissato angolo solido. La concentrazione di potenza entro l’angolo solido in cui viene emessa la radiazione è descritta dal guadagno dell’ottica, pari al rapporto fra l’angolo solido totale (4π) e quello in cui viene emessa la radiazione (θbw):

2

4

4

bwθππ

⋅

⋅

L’area del fascio laser sul bersaglio dovuta alla radiazione emessa (il cui diametro è d), nell’ipotesi di bersaglio più grande del foot print del fascio laser, è pari a:

( )22

42 bwRd θππ ⋅=

⋅

Considerando il bersaglio come un radiatore Lambertiano con coefficiente di backscattering pari a ρ, la legge di Lambert stabilisce che la radianza [W•m-2•sr-1], di una superficie infinita e scatterante, è costante in funzione dell’angolo con cui è vista. Per soddisfare questa relazione l’intensità pari [W•sr-1] deve variare con legge cosφ (φ è l’angolo formato con la normale alla superficie scatterante) e in tal modo l’ angolo solido totale che contiene la radiazione vale π invece di 2•π. Pertanto l’intensità vale:

2R⋅πρ [W•sr-1]

Il ricevitore intercetta tale intensità con un angolo pari a:

4

2D⋅π

in cui D è il diametro della pupilla del ricevitore. La potenza ricevuta è pari al prodotto delle precedenti relazioni e vale:

( ) 22

2

22

22 444

4

44

DRPD

RR

RP

P tbw

bw

tr ⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅= ρπ

πρθπ

θππ

π

Considerando una efficienza delle ottiche pari a τ0 e un valore del coefficiente di estinzione atmosferica pari a K(R) [m-1] si ottiene:

4

( )∫

⋅⋅⋅⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRKt

dRRK

bw

bw

tr eD

RP

eDR

RR

PP 00

')'(22

02

')'(2

02

22

22 44

4

44

τρτπρθπ

θππ

π

Il coefficiente 2 nell’esponenziale tiene conto dell’attenuazione a due vie del fascio laser (andata e ritorno). Se il fascio laser è più grande del bersaglio, il termine del target deve essere sostituito dalla cross section σ=ρ•At, in cui At è la superficie equivalente del bersaglio. L’equazione di portata in tale caso, sempre nell’ipotesi di comportamento Lambertiano del target, diviene pari a:

∫⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

∫⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRK

tbw

tdRRK

bw

tr eDA

RP

eDRR

PP 00

')'(22

024

')'(2

0

2

22

2 44

44

τρθπ

τππσ

θππ

π

In entrambe le precedenti equazioni di portata, per ottenere il valore di θbw , si deve considerare che esso è determinato dalla divergenza del fascio. La divergenza del fascio si può scomporre in due componenti (nell’ipotesi di un sistema ottico perfetto):

-termine dovuto alla diffrazione (proporzionale alla dimensione del fascio laser trasmesso) -termine geometrico (dimensione della sorgente diviso per la lunghezza focale dell’ottica di

trasmissione). Se si ipotizza una sorgente puntiforme, oppure una lunghezza focale molto lunga rispetto alle dimensioni della sorgente, la divergenza è pari solo alla diffrazione dovuta al diametro del fascio laser emesso (spesso è presente un beam expander per ottenere un fascio laser di dimensioni maggiori e di minore divergenza). Per la diffrazione si possono utilizzare varie espressioni: Criterio di Rayleigh

angolosemiilconsiderasiseD

ovveroD bwbw −⋅=⋅=

λθλθ 22.144.2

Criterio 1/e=0367 considerando il fascio Gaussiano

angolosemiilconsiderasiseD

ovveroDD bwbw −⋅=≈⋅=

λθλλθ 5.005.1

( )DDbw ⋅⋅

=

≈

4

222 πλλθ

Per il calcolo della divergenza si deve considerare il diametro del fascio laser . Se si considera la presenza di un corner reflector posizionato sul target, la cross section si può scrivere come segue1:

ρλπσ ⋅⋅⋅⋅

= 2

4

34 l

dove l è la dimensione del corner reflector (4dimensione di uno dei lati del triangolo) e ρ è, in tal caso, ≅1 almeno nei limiti di accettazione del fascio da parte del corner reflector. Questa espressione è valida se la curvatura del segnale trasmesso attraverso il corner reflector è inferiore a λ/4. La giustificazione della precedente equazione è che essa rappresenta il rapporto fra l’angolo solido e la diffrazione dovuta alla dimensione del corner reflector stesso. Paragonata con la cross

1 The Infrared & Electro-Optical Systems Handbook. N.E. Rityn, Sov. J. Opt. Tech. 34, 198, (1967) H.D. Eckardt, Applied Optics, 7,1559, (1971)

5

section di una sfera, in cui σ=π•ρ•z2, dove ρ è la riflettività, z il raggio della sfera in metri e σ è la cross section del radar ottico espressa in m2, si vede come il corner reflector sia più efficiente dal punto di vista del backscattering (in realtà il corner reflector è un retroriflettore totale). Nell’ipotesi di corner reflector più piccolo del foot print del fascio laser, sostituendo nell’espressione precedente della range equation e ponendo αrt=divergenza della radiazione riflessa=2.44λ/l si ottiene:

∫⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅≈

≈∫

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−

−−

R

RR

dRRK

rtbw

t

dRRK

bw

tdRRK

bw

tr

eDlR

P

eDlRP

eDR

l

RP

P

0

00

')'(22

02

224

')'(22

02

4

24

')'(2

0

2

2

2

4

22 344

34

4

44

ρταθ

ρτλθ

ρτππλπ

θππ

π

Questa espressione è valida per distanze telemetro-bersaglio molto elevate (5quando il corner reflector è più piccolo del footprint del laser). L’espressione successiva vale quando il corner reflector contiene tutto il footprint del laser. Se le distanze sono piccole, ossia se il fascio laser è incluso nella dimensione del corner reflector si ha la condizione:

Rl

l ⋅⋅

>>⋅λ44.22

e la potenza ricevuta, considerando un valore di ρ prossimo all’ unità, diviene:

( )∫

⋅⋅⋅⋅⋅

=∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−−RR

dRRKt

dRRK

bw

bw

tr eD

RP

eDR

RR

PP 00

')'(22

02

')'(2

02

22

22 44

4

44

τρτπρθπ

θππ

π

Per superfici inferiori al foot print del fascio laser che hanno un contributo diffusivo e contemporaneamente riflessivo (da parte del corner reflector) si deve applicare simultaneamente la condizione diffusiva e quella del corner reflector visto precedentemente. Si ottiene in tal caso:

∫⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

=∫

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+∫

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

−

−−

R

RR

dRRK

rtbw

t

dRRK

tbw

tdRRK

rtbw

tr

eDkR

P

eDARP

eDlR

PP

0

00

')'(22

00224

')'(22

024

')'(22

02

224

ταθπ

τρθπ

ρταθ

Si deve notare che il corner reflector non sempre fornisce un segnale superiore all’albedo2 di un oggetto a meno che non si utilizzi un corner reflector di dimensioni elevate. Il rapporto fra il segnale retroriflesso da un corner reflector e dall’albedo del bersaglio dipende dalla dimensione del fascio ovvero se questo è più grande o più piccolo del bersaglio. Si può, quindi, calcolare separatamente il valore riflesso e quello diffuso dal target oppure si può scrivere una sola range equation, purché si consideri il rapporto fra energia riflessa e diffusa espresso dal valore k0=π•l2•ρ1+α•ρ•At. In conclusione si può scrivere la range equation come segue: 2 L’albedo è il rapporto fra l’energia radiante riflessa e quella incidente su una superficie.

6

(1) Gaoatr FTPP ⋅⋅⋅⋅= τρ in cui : Pr=Potenza in ricezione Pt=Potenza trasmessa ρ=Riflettività del bersaglio τoa=Trasmissione ottica di antenna Ta=Trasmissione atmosferica FG=Fattore geometrico Mentre ρ e τoa sono valori numerici di facile comprensione, i parametri importanti sono Ta e FG. Il fattore geometrico ha una importanza elevata nelle prestazioni di un telemetro ed è pertanto necessaria una analisi dettagliata dei casi di possibile interesse. Le interazioni possibili fra radiazione e bersaglio sono riportate in figura 3.

Figura 3.1a, 3.1b e 3.1c In figura 3.1a è mostrata la condizione in cui il fascio laser è intercettato completamente dal bersaglio che lo diffonde in modo Lambertiano. In figura 3.1b è riportata la condizione in cui il fascio laser intercetta parzialmente il bersaglio e questo diffonde in modo Lambertiano la radiazione intercettata. In figura 3.1c il fascio laser è intercettato in parte dal bersaglio il quale, in parte diffonde e in parte riflette tale radiazione intercettata. Nelle fugure l’ellisse rappresenta la radiazione diffusa in modo Lambrtiano. Nei tre casi mostrati in figura, il fattore geometrico FG assume, nell'ipotesi di angolo di trasmissione uguale a quello di ricezione, i seguenti valori:

Target

T Target

T

T Target

7

in cui: D=Diametro ottica di ricezione At=Area del bersaglio R=Distanza fra trasmettitore e bersaglio θbw=Divergenza della radiazione trasmessa αrt=Divergenza della radiazione riflessa k0=Fattore di partizione fra radiazione riflessa e diffusa Considerando di voler intercettare una autovettura, mediamente di superficie metallica, si può schematizzare il bersaglio come mostrato in figura 2.1c. In tale ipotesi si può considerare che l'area massima disponibile, se la vettura è vista da dietro, è di circa 30000 cm2. Tale fattore può essere aumentato mediante ausilio di superfici cooperative come targhe ad alta riflettività, nastri riflettori posti sui paraurti, corner reflector, prisma a spigolo di cubo, catarifrangenti (7quello che varia non è la superficie, ma il coefficiente di backscattering). . I parametri prima definiti possono assumere i seguenti valori tipici:: k0 = 0.8 adatto per superfici metalliche verniciate D =5-7 cm fissato da condizioni di spazio, ingombro e costo αrt = 2-4 α α = 20 mrad fissata in modo che la probabilità di intercettare il bersaglio ad una certa distanza sia elevata. Ipotizzando un bersaglio la cui dimensione maggiore è di circa 2 m, completamente coperto a 60-80 m, necessita un valore di α compreso fra 10 e 50 mrad. Misure telemetriche ad alta risoluzione Una delle tecniche fondamentali che permette di ottenere alta risoluzione nella misura di distanza è quella della modulazione (sinusoidale) del fascio laser. Lo schema di principio è il seguente (figura 3.2)

BERSAGLIO

M1 M2

MODULATORE

COMPARATORE

DI FASEO'

O

S

Figura 3.2

0224

2

24

2

2

2

4

kR

ADF

RAD

F

RDF

rtbw

tGc

tGa

Gb

⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=

⋅=

αθπ

απ

8

dove M1 e M2 sono dei mixer e per comodità elettronica la frequenza trasmessa O è ridotta ad O'. Dovendo misurare distanze molto piccole non si tiene conto dell'attenuazione atmosferica. L'equazione che lega la potenza trasmessa con quella raccolta dall'ottica di ricezione è pari a :

P P DRr t= ⋅ ⋅ ⋅⋅

ρ τ2

24

in cui : ρ Riflettività del bersaglio τ Trasparenza dell' ottica D Diametro apertura ottica del ricevitore R Distanza dal bersaglio

Per ρ=0.8, τ=0.8, D=10 cm e R=80m si ha:

ρ τ⋅ ⋅⋅

= ⋅ −DR

2

26

41 7 10.

Per cui, trasmettendo ad esempio 5 mW, si ottengono in ricezione 9 nW. Volendo eseguire una misura con una risoluzione, ad esempio di 0.1 mm, sono necessarie le seguenti condizioni:

• Alta frequenza di modulazione • Alta risoluzione del comparatore di fase

La relazione che lega la risoluzione strumentale del comparatore di fase con la frequenza di modulazione e la risoluzione voluta è la seguente:

f2c R

2tc

R

Hzin frequenza la e radiantiin misurato è sec,in misurato ritorno e andata di tempoil è t2

modambiguanon

r

rmod

⋅=

⋅=

⋅⋅= r

rr ft φ

πφ

La precedente relazione si può scrivere anche:

cfR mm

r⋅⋅⋅⋅

=22 π

φ

dove : φr Risoluzione strumetale Rm Risoluzione della misura fm Frequenza di modulazione Per fm=50 MHz e Rm=0.1 mm si ottiene : φr =0.01° Tale risoluzione è ottenibile con una opportuna progettazione del comparatore di fase purché si operino stabilizzazioni in temperatura. La risoluzione ottenibile è condizionata da diversi fattori:

• Turbolenza dell'aria • Cambiamento della temperatura e pressione dell' aria • Limite intrinseco della misura dovuto al valore di S/N

Trascurando la turbolenza, poiché tali tipi di misure spesso avvengono al coperto, per il secondo e terzo punto si ha che l'errore temporale (e quindi un errore nella misura della distanza), per un telemetro ad onda sinusoidale, risulta essere:

−⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅

++

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

0

2

22cos

22

1

ϕπ

ην

πε

cLf

kTPPP

TPkh

f rr

eqf

rrt

9

posto cos(2•π•f•(2•L/c)-ϕ0)=1 in quanto è possibile porre con un ritardo elettronico nella parte di massima sensibilità corrispondente a

ϕ0=2•π•f•(2•L/c)+π/2 dove : h Energia del fotone η Efficienza quantica del rivelatore k B•Tr Tr Temperatura di misura B Banda passante del ricevitore Pr Potenza ricevuta Pf Potenza del rumore di sfondo Peq Potenza di rumore del ricevitore Se si trascura Pf si ottiene per Peq:

P he

k T BReqeq

=⋅⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅νη

4

posto: h•ν 3.1•10-19 J (6328 A) η 0.8 B 100Hz T 300 °K k 1.38•10-23 J•°K-1 Req 50 MΩ

e 1.6•10-19 C si ha che : Peq=4.4•10-13

per cui, con Pr=9 nW, Tr=5msec, si ottiene f= 50 MHz per εt=3•10-13.

Tale valore corrisponde a un errore di spazio pari a : d=8.86•10-3 cm=0.009 mm.

Con questi parametri si può ammettere, senza compromettere la risoluzione della misura, un valore di:

cos(2•π•f•(2•L/c)-ϕ0)=0.1 Se cambia l' indice di rifrazione dell' aria cambia anche il valore della misura. Tipicamente un cambiamento di 1°C sulla temperatura o di 2.5 Torr sulla pressione porta un cambiamento, in termini di indice di rifrazione, pari a 10-6; pertanto questo si ripercuote in un errore sulla misura pari a :

dL=0.015 mm Errori angolari telemetrici Far range 8 km Errore di tracking < 1.2 mrad Near range 4 km Errore di tracking <2 mrad Errore di tracking = allocazione del target centroide rispetto al laser boresight (si definisce boresight la direzione del centro del fascio ottico mentre il target centroide e il centro del bersaglio).

φ0=φtmax+ φbtmax

10

dove φ0= beamwidth ottimo φtmax=errore di tracking massimo φbtmax=errore di boresight Massimo Se si considera una distribuzione Gaussiana del fascio si ha: φ= angolo fra l’ asse ottico del fascio e la direzione di Jφ in radianti φ0=half angle del fascio misurato a 1/e2 J0=intensità radiante di picco del fascio lungo l’ asse ottico del fascio θt=2φ0 è pari al full angle beamwidth e contiene l’ 85 % della potenza. Angolo di ricezione del ricevitore

φrmax=φtmax+ φbtmax+ φbrmax L’irradianza del segnale all’apertura del Rx è pari a: ρ=riflettività del target AT=area del target FT=frazione dell’ area del target inclusa nel FOV del ricevitore TA=Trasmissione atmosferica R=slant range σs,0,λ,vis= coefficienti di estinzione rispettivamente per telemetro-target, cammino orizzontale, alla lunghezza d’onda laser, nella regione del visibile.

Ω=

sradWPJ

δδ

20

22

0φφ

φ

−

⋅= eJJ

20

02φπ ⋅

= tPJ φφφπ

πφ

φ

φφ

20

2

020

0

2

0

0

20

2

=⇒=⋅

⋅

=

−

ePd

ddJ

t

4

2

RTFAJ

H ATTs ⋅

⋅⋅⋅⋅=

πρφ

)(585.04.006.155.055.0 3/1

5.1912.3

kminVVKeeT mmvis

VKK

RA

m

h

s ⋅==

=

====

⋅⋅−

⋅− γλσ

σ γλ

λσ

λ

kmhkmHehH

K tpHh

t

psh

p

t

3.0,2.110

≅≅

−==

−

σσ

11

4 Attenuazione atmosferica Quando un raggio di luce attraversa l'atmosfera esso viene attenuato attraverso un processo di assorbimento e scattering secondo la legge di Beer(3):

I x T IconT e

a

aR

( ):= ⋅

= − ⋅

0

σ

dove: Ta=attenuazione dovuta alla distanza R I(x)= intensita del campo ottico alla distanza R I0=Intensità del campo ottico di riferimento σ=fattore di estinzione (km-1, m-1) Tale fattore è composto da tre termini: σ=σozono+σRayleigh+σaerosol Il significato dei vari termini è il seguente: σozonoCoefficiente di assorbimento dell'ozono, che assume valore elevato nella zona ultravioletto dello spettro, ma assume valori trascurabili nella zona 0.9-1.5 µm, spesso di interesse per tale tipo di applicazione. σRayleigh=Coefficiente di scattering di Rayleigh, proporzionale a 1/λ

4 , che ha un effetto

preminente per le basse lunghezze d' onda. σaerosol =Coefficiente di scattering dovuto agli aerosoli; è una funzione complessa della sezione delle particelle e della loro forma, dell’indice di rifrazione e della lunghezza d'onda utilizzata. Nel caso di applicazioni in cui le condizioni atmosferiche non sono ideali ma vi è presenza di pioggia e/o nebbia si devono fare ulteriori considerazioni. Per quanto riguarda la pioggia il coefficiente di scattering(4) è indipendente dalla lunghezza d' onda nel visibile e vicino infrarosso e può essere stimato dall' equazione:

σrain r= ⋅0 248 0 67. . in cui : σrain= coefficiente di scattering in km-1 r=tasso di pioggia in mm/hr Il tasso di pioggia può essere compreso fra 10 e 60 mm/hr. Per quanto concerne lo scattering dovuto agli aerosoli si può utilizzare un modello (5) legato alla visibilità Rv definita come la distanza alla quale la trasmissione ovvero il contrasto a 0.55 µm diviene il 2%.In tale caso il coefficiente di scattering è dato da:

σλ

= ⋅

= ⋅

3912 055

0585 1 3

. .

. /

R

Rv

p

v

con p pari a

p

dove λ è la lunghezza d' onda utilizzata. Il modello, essendo basato su una interpretazione di dati, cade in difetto quando si tratta di estrapolare il risultato per valori di visibilità molto bassi. E', quindi, opportuno ricorrere al calcolo con programmi quali il LOWTRAN o HITRAN o a misure sperimentali disponibili in letteratura.

12

La figura 5a si riferisce alla dipendenza del coefficiente di scattering dalla lunghezza d' onda per nebbie leggere. La figura 5b si riferisce alla misura del coefficiente per vari tipi di nebbia come small drop e stable fogs . Il massimo di attenuazione è stato trovato per la stessa lunghezza d' onda relativa alla nebbia sottile ma si sono trovati differenti comportamenti. Il primo comportamento è fortemente selettivo mentre il secondo è molto meno selettivo. Per nebbia in evoluzione, vi è uno spostamento del massimo di assorbimento in funzione della lunghezza d’ onda dovuto alle differenti dimensioni delle particella costituenti la nebbia. Sebbene tale parametro sia di difficile valutazione, sembra ragionevole assumere una variazione del coefficiente di scattering(6) compresa fra 10 e 50 km-1. La range equation diviene nel caso specifico pari a :

P P e D A kRr t

R t

rt

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ρ τ

π α ασ2

20

4 2 2

I valori di ρ e τ si possono assumere in modo conservativo pari a : ρ= 0.5 τ= 0.5

5 Equazione radar per bersagli diffusivi (lidar)

Per valutare la potenza ricevuta dal backscattering atmosferico si consideri un impulso Laser il cui inviluppo temporale è indicato con p(t) all’ istante di riferimento t=0 come mostrato in figura 5.1.

θ

R=(c/2)(T-τp) R=(c/2)(T-τp) R=(cT/2)

time

T/2 T/2-τp

p(t) inviluppo

t=τp

p(t-τ)-p(t-2R/c) inviluppo ricevuto all’ istante T

p(t-T/2)=p(t-R/c) inviluppo all’ istante T/2

Figura 5.1

range

13

All’ istante T/2, tale impulso illumina una cella di atmosfera posta a distanza R=cT/2 di area pari a A=Ω•R2 (Ω è l’ angolo solido del fascio laser, Ω≈π•θ2/4, θ è l’ ampiezza del fascio) e di spessore pari all’ equivalente in distanza della durata τp dell’ impulso, cioè ∆R=c•τp/2. L’ inviluppo è pari a p(t) ritardato di T/2 secondi, cioè p(t-T/2) come mostrato in figura 5.2.

La densita di potenza D con cui viene investita l’ area A a distanza R è data da :

∫=

⋅⋅Ω

=⋅=

−R

dRRK

a

aT

aT

eRT

RTRP

RTAP

D

0

)(

2

)(

)()(

in cui:

PT è la potenza trasmessa calcolata tenendo conto del ritardo T/2 impiegato dall’ impulso per percorrere la distanza R=p(t-T/2)=p(t-R/c)

Ta(R) è il fattore di attenuazione del percorso R

K(R) è l’ andamento del coefficente di attenuazione lungo il percorso R

La densità di potenza D’ diffusa dalle molecole di atmosfera contenute nel volume infinitesimo A•δR è espressa in funzione del coefficente di backscattering β(R) (frazione di energia incidente che viene retrodiffusa, per unità di angolo solido e unità di lunghezza [m-1sr-1]) come segue:

AR θ

R

δR

A≈Ω•

figura 5.2

14

)()(

)())((' 22 RTR

RRPRRRT

RP

D aT

aT ⋅

⋅⋅=⋅Ω⋅⋅⋅

⋅Ω=

δβδβ

Dopo un ulteriore ritardo temporale pari a T/2 , questa potenza retrodiffusa viene ricevuta (con un inviluppo pari a p(t-T) da una ottica di area AR posta anch’essa a distanza R ; la potenza ricevuta è pari alla densità di potenza integrata sull’ area AR tenendo inoltre in conto l’ ulteriore attenuazione Ta(R) del percorso R

RRTARcRtpRRTAR

RP

RTARTR

RRPRR

TaRa

T δβδβδβ

⋅⋅⋅⋅⋅

−=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅

)()()2()()()()()( 22

22

Tale potenza ricevuta (relativa alla fetta di spessore δR contenuta nel volume A•∆R illuminato dall’ impulso ) deve essere intergrata su tutto il volume di atmosfera che concorre a determinare la potenza ricevuta all’ istante t=T=2R/c:

dReRA

RcRtptP

R

p

dRRKt

c

tc

Rric ⋅

∫⋅⋅⋅

⋅−=

⋅−⋅

−⋅

∫ 0

')'(22

)(2

2)()2()(τ

β

Si possono fare le seguenti osservazioni:

• L’ attenuazione geometrica segue l’ andamento 1/R2 (e non 1/R4)poichè l’ atmosfera è un bersaglio esteso e non puntiforme

• Il livello del segnale riflesso (ossia la capacità diffusiva dell’ atmosfera e/o delle sostenze in essa contenute fumi, sostanze inquinanti) dipende dal coefficiente di backscattering β(R)

• L’ attenuazione per effetto dell’ assorbimento molecolare è tenuta in conto dal fattore K(R) L’ espressione della potenza ricevuta può essere semplificata applicando alcune ipotesi valide nella pratica:

• Si ipotizza β(R) costante entro la distanza cτp/2

• K(R) e l’ attenuazione ∫−R

dRRK

e 0

')'(

praticamente costanti entro la distanza cτp/2 Con queste ipotesi si ha:

dRcRtpe

RRAtP

tc

tc

dRRKR

ric

p

R

∫⋅

−⋅

⋅− ⋅−⋅

∫⋅

⋅=

2

)(2

')'(2

2 )2()()( 0

τ

β

Poichè:

∫∫⋅

=⋅=⋅

−

⋅

−⋅

p

p

cEdttpcdRcRtp

tc

tc

τ

τ 0

2

)(2

2')'(

2)2(

15

in cui E è l’ energia dell’ impulso trasmesso si ha in definitiva:

∫⋅

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

∫⋅

⋅=

⋅−⋅−RR

dRRKpRT

dRRKR

ric ec

RRAPcEe

RRAtP 00

')'(2

2

')'(2

2 2)(

2)()(

τββ

avendo espresso l’ energia in termini di potenza(E=PT•τp); normalmente in Pric(t) viene sottointeso l’ istante t=2R/c

In figura 5.3 è riportato, in forma qualitativa, l’ andamento della potenza ricevuta evidenziando la suddivisione della scala dei tempi in range bin di durata τp ciascuno dei quali rappresenta il volume di atmosfera a distanza ct/2 e spessore cτp/2 che ha prodotto la Pric(t).

La potenza ricevuta si intende sul sistema ottico di ingresso pertanto nell’ analisi di sistema deve essere depurata delle perdite connesse alle ottiche al rivelatore etc. Si deve notare inoltre, come verrà chiarito nel successivo paragrafo, che il valore di potenza calcolato deve essere inteso come valore medio di un parametro aleatorio.

6 Caratteristica statistica del segnale ricevuto La potenza calcolata è quella ricevuta per diffusione dall’ elemento di volume A•∆R di atmosfera posto a distanza R in funzione del coefficente di backscatering β caratteristico dell’ aerosol contenuto nel volume suddetto.

Tale potenza va intesa come valore medio della potenza ricevuta in quanto il segnale ricevuto dall’ elemento di volume A•∆R subisce nel tempo fluttuazioni di tipo aleatorio prodotte dalla struttura

Impulso

Pric(t)

τp τp

Figura 5.3

t

16

dell’ atmosfera costituita da particelle molecolari di specie diversa continuamente in movimento all’ interno dell’ elemento di volume considerato .

Ciascuna particella costituisce un diffusore elementare che contribuisce al campo risultante E con un contributo di ampiezza eI e fase ϕi.

iji eeE ϕ⋅= ∑

La potenza retrodiffusa vale:

P=E•E*=|E|2 in cui E* è il complesso coniugato di E.

Ciascun termine di ampiezza ei è proporzionale alla potenza trasmessa dal laser per un fattore βi che rappresenta la capacità retrodiffusiva di ciascuna molecola.

Le fasi ϕi sono variabili in maniera randomica da molecola a molecola con distribuzione uniforme fra 0 e 2π.

Il campo diffuso E è aleatorio nello spazio e nel tempo in quanto fissato un istante temporale t muovendosi intorno a un punto dello spazio x,y,z il campo ha un andamento spaziale di tipo aleatorio per effetto della diversa composizione dei vettori ei(x,y,z)expϕi.

Fissato un punto x,y,z dello spazio il campo E varia in modo aleatorio per effetto delle variazioni temporali delle fasi ϕi e delle ampiezze ei causate dal movimento delle molecole nel volume A•∆R.

Per caratterizzare completamente il segnale aleatorio E(x,y,z,t) si devono valutare le densità di probaìbilità f(E) e f(E1,E2) rispettivamente del primo e del secondo ordine

f(E)=f(E(x,y,z,t)), f(E1)=f(E(x1,y1,z1,t1), f(E2)=f(E(x2,y2,z2,t2)

La prima densità di probabilità definisce la distribuzione delle ampiezze mentre quella del secondo ordine definisce le correlazioni e quindi lo spettro di E (sia per le frequenze temporali che spaziali) e quindi in definitiva le bande di variabilità dei processi E=E(t) nel tempo ed E= E(x,y,z) nello spazio.

Il problema così posto prende il nome di random walk ed è risolto con le seguenti assunzioni valide nel caso del modello atmosferico qui considerato:

• Le ampiezze e le fasi dei fasori elementari sono statisticamente indipendenti • Le fasi sono distribuite in modo uniforme fra 0 e 2π • La densità di probabilità delle ampiezze elementari è qualsiasi I risultati per le statistiche del primo ordine si possono sintetizzare come segue:

• Le parti reali e immaginarie del campo E sono indipendenti, a media nulla e distribuzione Gaussiana

• L’ ampiezza |E| è distribuita secondo una Rayleigh • L’ intensità I=|E|2 (cioè la potenza è distribuita secondo una distribuzione esponenziale:

0Iper ,1)( ≥⋅><

= ><−II

eI

If

Il valore di <I> è il valore medio della potenza ricevuto calcolato nel precedente paragrafo:

<I>=Pric

Poichè nella distribuzione di tipo esponenziale il valore della σ coincide con il valore medio si ha che le fluttuazioni della potenza retrodiffusa sono pari al valore di potenza media ricevuta.

Le fluttuazioni di I nel tempo (I(t)) e nello spazio (I(x,y,z)) possono essere caratterizzate dalla coerenza temporale τI e spaziale ρI .

17

La coerenza temporale τI rappresenta la costante di tempo della variazione di I(t) ovvero la minima distanza temporale fra due campioni di I(t) statisticamente indipendenti. Questa grandezza definisce il passo di campionamento temporale minimo che si deve usare per integrare campioni di speckle indipendenti.

Un discorso duale si può applicare al valore della coerenza spaziale ρI

Il valorre di τI si puo calcolare conoscendo la deviazione standard σv della componente radiale della velocità del moto delle molecole contenute nel volume A•∆R e si può scrivere:

τI =λ/ σv

Il valore di ρI dipende dalla distaza R fra il trasmettitore laser ed il volume A•∆R, dal diametro dello spot laser Ds e dall’ ampiezza angolare del fascio laser αs (Ds≈R•αs) ed è pari a:

ρI=λ•R/ Ds=λ/αs

Si usa inoltre definire una area di coerenza Ac di raggio ρc=ρI/2 pari a : 2

2

44

⋅=⋅≅

sIcA α

λπρπ

che rappresenta la superfice coperta da un singolo campione di speckle.

Una generica area di ricezione (area dell’ ottica) AR contiene un numero di campioni spaziali indipendenti di speckle pari al rapporto :

1≥=c

R

AAN

Tale caratterizzazione del segnale di backscattering tiene in conto solo la natura granulare dell’ atmosfera, in assenza di turbolenza, e non considerandio gli effetti di integrazione (nello spazio e enl tempo ) prodotti dal ricevitore.

Nel paragrafo relativop all’ efficienza di conversione eterodina tale argomento sarà sviluppato in modo dettagliato.

7 Ricevitore eterodina Lo schema a blocchi funzionali della ricezione eterodina e i canali fase e quadratura per la rivelazione coerente sono rappresentati nella figura 7.1

18

Il campo retrodiffuso dall’ atmosfera, quello dell’ oscillatore locale e quello totale sono rispettivamente pari a:

tjLO

tjrictot

tjLO

tjLO

jric

jric

tjric

LOR

ifLO

dRR

eEeEE

eEeE

eEeEeE

⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅=⋅

ωω

ωωω

ννπνπω

)(

)(22

Il rivelatore produce una corrente proporzionale alla potenza Ptot(t) del campo Etot(t)il cui valore è:

0

2detdet

2)()(

ZE

Ahe

tPhe

ti totRhettothet ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

= ηνη

ηνη

Il filtro a frequenza intermedia lascia passare solo la componente a frequenza intermedia della i(t) :

20

222detdet

)(

422

)(

)()(

ZEE

Ahe

PPhe

i

eiti

ricLORhetricLOhetif

tjifif

difdifRLO

dif

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−=+−+=−⋅−⋅

ηνη

ηνη

ωωωωωωωωωω

La tensione all’ ingresso del rivelatore coerente vale vif(t)=R•iif(t) avendo indicato cor R la resistenza di carico all’ uscita della media frequenza.

Segnale di Backscattering

( ) tjric

deE ⋅+⋅⋅ ωω VI

VQ

cosωift

sinωi

Ottic

detector

Media frequenza

Beam

Oscillatore locale tj

LOLOeE ⋅⋅⋅ ω

LPF

LPF Eto

Figura 7.1

19

Il sistema di rivelazione coerente permette di scomporre il segnale di interesse vif(t)=R•iif(t)=vif•cos(ωift+φ(t)) nelle due componenti fase e quadratura come mostrato in figura:

La fase φ(t) e quella relativa fra gli oscillatori a media frequenza sinωift e cosωift..

Si deve notare che φ(t)=ωdt+ϕ in cui ϕ è una fase fissa.

Questo tipo di rivelazione coerente mantiene informazione della fase relativa φ ed è necessario nei processing per l’ analisi spettrale quando ad esempio si desidera stimare l’ informazione doppler.

Il segnale rivelato con l’ eterodina vifcos(ωift+φ(t)) viene fatto battere con il segnale di riferimento cosωift e si ha:

vifcos(ωift+φ(t))• cosωift= (vif/2)( cosφ(t)+cos(2ωift+2φ(t)))

La componente in alta frequenza viene filtrata dal low pass filter ottenendo in uscita:

VI= (vif/2) cosφ(t)= (vif/2)cos(ωift+φ(t))

Analogamente per il canale in quadratura.

La banda del LPF viene scelta in modo da consentire il passaggio della massima frequenza doppler che si intende stimare

Se si desidera stimare la potenza è sufficiente inserire un rivelatore quadratico all’ uscita della media frequenza. Qualora si desideri stimare contemporaneamente la doppler e la potenza si

φ

vifcosφ

vifsinvifejφ

figura

vI

vQ

20

possono rivelare, con due detector quadratici, i due canali in fase e quadratura e poi sommarli fra loro.

Rapporto segnale rumore teorico Considerando lo shot noise prodotto dal rivelatore:

)(2)( det2LOifshot P

he

Beti ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅>=<νη

e il rumore termico

Pth=k•TN•Bif

Nell’ ipotesi normalmente verificata che la potenza dell’ oscillatore locale sia sufficientemente grande (Shot noise>>Thermal noise) il rapporto segnale rumore vale:

richetv

richetif

LOhetif

ricLOhet

shot

if

ifNshot

if

thshot

PBh

PBhP

he

Be

PPhe

ti

ti

BTktiR

tiRPP

PotenzaSNR

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=><

><≈

⋅⋅+><⋅

><⋅=

+≅

ηνη

ηνη

ηνη

ηνη

detdet

det

2det

2

2

2

2

2)(2

4)(

)(

)(

)(

)(if segnale

Tale valore è puramente teorico come sarà visto nel paragrafo relativo all’ efficienza di conversione eterodina e al rumore RIN.

Efficienza eterodina Le perdite di efficienza di conversione eterodina analizzate e verificate sperimentalmente. sono state raggruppate in due classi: • Esterne:

-Perdite per polarizzazione -Perdite per effetto degli speckles

• Interne:

-Perdite per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale -Perdite per effetto della diversa curvatura dei fronti del segnale e dell' oscillatore locale -Perdite per tilt fra segnale e oscillatore locale -Perdite per offset laterale

Non si considera in questa sede la perdita per turbolenza, trattata separatamente in quanto tale perdita dipende dal tipo di applicazione; infatti in applicazioni satellitare in cui la distanza dall’ atmosfera è grande tale perdita è piccola mentre deve essere valutata per applicazioni da terra verso la parte bassa dell’ atmosfera. Ciascuna delle suddette perdite è riportata in dettaglio qui di seguito: Perdite per polarizzazione ηp Quando il segnale trasmesso è completamente depolarizzata (50% di probabilità di avere una componente del campo piano polarizzato in una direzione) dall' atmosfera la perdita attesa per ηp è pari a 0.5 Perdite per effetto degli speckles ηsp

21

In presenza di speckles non correlati il massimo segnale possibile è pari alla somma di vettori indipendenti associati a ciascuno speckle (fig A1a) metre il segnale che realmente è presente è pari al random walk degli stessi vettori (fig.A1b). L' efficienza di mixing è pari al rapporto fra i quadrati dei vettori somma precedentemente definiti. Tale definizione deve essere corretta dal fatto che esiste una certa probabilità che l' intensità dei vettori risultanti abbia effettivamente la potenza calcolata mediante l' equazione lidar (5). Per uno speckle la densità di probabilità dell' ampiezza segue la distribuzione esponenziale mentre in presenza di più speckle si applica la distribuzione Gamma. In particolare la probabilità P(I) che l' intensità I superi un valore di soglia è pari ai valori normalizzati <I>p(I) in cui <I> è il valore Ps calcolato mediante la (5). Le funzioni normalizzate per uno speckle e per più speckles valgono rispettivamente :

Esponenziale P I I p I eII

1 1( ) ( )=< > =−< >

s

IINN

s

N

N

eNII

IpIIP

ss

s

⋅Γ

⋅⋅

><=>=<

><⋅−

−1

22 )()( Gamma

e sono rappresentate in figura wwww Le espressioni precedenti calcolate per I=<I> danno la probabilità che l' intensità del vettore risultante abbia il valore calcolato con l' equazione lidar. Pertanto correggendo i valori di efficienza come definiti all' inizio del paragrafo con i suddetti valori si ha l' efficienza ηsp riportata in figura 4. Perdite per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale ηm Tale perdita è dovuta alla dimensione diversa degli spots dell' oscillatore locale e del segnale. Considerando che solo le superfici sovrapposte contribuiscono al segnale di mixing è sufficiente che la superficie illuminata dall' oscillatore locale sia più grande di quella del segnale che il segnale di battimento non subisce perdite se non a spese del solo oscillatore locale figura A2 L' importante è valutare che la maggiore potenza richiesta all' OL che di fatto investe il rivelatore non ingrandisca notevolmente il valore di RIN ed RPN.. Tale causa, con questo accorgimento, non contribuisce pertanto alla degradazione di SNR. Perdite per effetto della diversa curvatura dei fronti del segnale e dell' OL ηr Se i raggi di curvatura del fronte d' onda del segnale e dell' OL sono diversi le differenze di fase fra i segnali interferenti non è uniforme sull' area illuminata del rivelatore . Ciò si traduce in una perdita di efficienza che può essere valutata dalla seguente relazione :

22

224

22 2

22

1

cos21

21

1

−

⋅

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

⋅+

=

−

−

−

wa

wa

wa

r

e

Raee

Rw

λ

λπ

η

in cui w è il minimo waist del fasio laser, a il raggio del rivelatore ed R è il raggio di curvatura di un fascio considerando piano il fronte d' onda del secondo fascio . In figura A3 sono mostrate due curve dell' espressione (A2) con i seguenti parametri:

22

a=w, a=5w , a=50 micron , λ= 2.1 micron Come si può vedere anche questa causa di degradazione può essere trascurata nell' applicazione specifica purche si abbia cura di fare il raggio di curvatura del segnale pari a 3, 4 volte il Rayleigh range. Perdite per tilt fra segnale e oscillatore locale ηt Assumendo che tutta la potenza del segnale riempa il rivelatore l' efficienza è data dalla seguente espressione valutata per uno speckle.

21

)()(2

⋅⋅⋅⋅⋅

=θθ

ηakakJ

t

in cui J1 è la funzione di Bessel di ordine 1 , θ è l' angolo di tilt e k=2π/λ. Tale espressione è diagrammata in figura A4 e come si può vedere con 50 micron di raggio del detector a 2 micron l' efficienza di mixing è unitaria per angoli dell' ordine del milliradiante che non creano problemi di progettazione. Pertanto ache questa causa di degradazione di SNR è trascuarabile. Perdite per offset laterale ηl Per questa causa di degradazione si devono considerare le seguenti tre situazioni: a-Uguale raggio di curvatura e uguale dimensione dei waist In tal caso esiste perdita per mancanza di sovrapposizione dei waist è la perdita è notevole come si può vedere dalla convoluzione di due segnali ad esempio di tipo rettangolare o Gaussiano pertanto la condizione di ugual dimensione si deve evitare e si opera come detto nel paragrafo A3.. b- Uguale raggio di curvatura e differente dimensione dei waist In tal caso non c'è perdita come descritto in A3. c-Raggi di curvatura differenti In tal caso facendo in modo che la superficie illuminata dell' LO sia più larga di quella illuminata dal segnale c' è solo perdita per tilt. Se infatti non si operasse così nel caso di uguale dimensione di superfici illuminate si avrebbero perdite per tilt e per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale . Perdite dovute al rumore dell’ oscillatore locale (RIN) La potenza di uscita del laser può essere scritta:

0)()()( 0 =∆∆+= tPnifluttuaziodelletemporalemediadellavaloreilcuiintPPtP La potenza delle fluttuazioni è caratterizzata dalla media della deviazione standard al quadrato:

( ) ( ) nPPP BSfSdffStPPtP ⋅=∆⋅==∆=− ∆∆

∝

∆∫ )()()(0

220

Pertanto si ha:

νη

⋅⋅⋅

=⋅=h

tPeP(t)i(t q )(

) R

in cui la responsivity R è pari a:

νη⋅⋅

=heqR

La fluttuazione della potenza ottica è pari a:

23

νη

⋅∆⋅⋅

=∆h

tPei(t q )(

)

con un valore quadratico medio pari a:

ffShe

tPh

tPetiti P

qqn ∆⋅

⋅⋅

=∆⋅⋅⋅⋅

=∆= ∆ )()(

)]([)(

)()]([)( 2

222

2

2222

νη

νη

in cui ∆f è la banda del circuito di rivelazione. Il RIN (Relative Intensity Noise) è definito come la fluttuazione di potenza relativa in un intervallo ∆f=1Hz:

20

)1(P

HzfSRIN P =∆⋅= ∆

79162

02

0

2

20

2

101010)()()( −−∆ =⋅=∆

=∆

=∆

PffS

PP

ii P

d

d

Il valore rms della fluttuazione di potenza vale:

42

0

21

2

103])([ −⋅=∆PP

Il valore )( ti 2n vale:

fPRINhe

ti qn ∆⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

= 202

222

)()(

νη

Assumendo, ad esempio un laser con λ=1.3µ, P0=3 mW, RIN=10-16 Hz-1, ∆f=109 Hz e ηq=0.6 si ottiene:

Atin72

12 1095.5])([ −⋅=

Il valore di SNR nel caso eterodina nell’ ipotesi che il livello di POL molto più grande di Ps (ipotesi sempre verificata) vale:

( ) n

sq

n

s

OLsn

OLs

n

s

BhP

BeP

PPBePP

iiSNR

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

νη

2222

2 RR

R 2

Prendendo in considerazione il RIN il valore di SNR si modifica come segue:

( ) nOLn

OLsn

OLs

n

s

BPRINRBTkPPBe

PPiiSNR

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

22

2

42 2

2

RR

R

Per ottenere il valore ottimo della potenza POL è necessario derivare l’ espressione precedente rispetto a POL e porla pari a zero. Considerando il numeratore della derivata si ha:

[ ]nOLnOLsn2

OLn

nOLs BRINP2Be2PPBRINPR

BFTk4BPe2P ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ 2222 RRRRRR

Uguagliando a zero questa espressione si ottiene:

24

RINRFTk41POL ⋅⋅⋅⋅

⋅=R

Sostituendo tale valore nella espressione di SNR si ottiene il rapporto SNR ottimo che vale:

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅=

RRINBFTk4Be2

PSNR

nn

sottimo

R

8 Calcolo semplificato del backscattering atmosferico nella telemetria di bersagli solidi In presenza di nebbia l'attenuazione dovuta allo scattering da aerosoli è molto elevata e quindi è anche elevata la quantità di radiazione laser che, scatterata all'indietro, raggiunge il ricevitore e può dare luogo a falsi allarmi. E', quindi, necessario valutare tale quantità di radiazione e paragonarla con la quantità di radiazione che proviene dal bersaglio. Il calcolo di tale quantità passa per la valutazione del coefficiente di backscattering β180 (7) il quale è definito come se l'area per unità di volume di radiazione intercettata fosse scatterata isotropicamente . Così, per un impulso di durata ∆t e lunghezza (1/2)c∆t che è coinvolto nel processo di scattering, si ha una frazione (1/2) β180c∆t effettiva di area coinvolta nel backscattering. Pertanto la frazione di energia scatterata indietro e raccolta dal ricevitore, trascurando l'attenuazione, è pari a : 12 4

1 14180

2

2⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

⋅β

ππ

c t DR

∆

La range equation, nel caso di backscattering, diviene pertanto: ( )

P P c t DR

erb t

r drR

= ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

− ⋅∫∆ β σ180

2

2

2

160

in cui Prb è la potenza di ritorno nel ricevitore dovuta al backscattering atmosferico relativo a uno spessore (1/2)c∆t ad una distanza dal trasmettitore pari ad R. Nel caso in cui l'attenuazione atmosferica è dovuta principalmente allo scattering da aerosoli (assenza di assorbimento) si ha (7) che β180=σ e la range equation diviene:

P P c t DR

erb tR= ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ − ⋅ ⋅∆ σ σ2

22

16

Confrontando tale espressione con quella relativa al bersaglio si ha : PP

A kR c t

r

rb

t

rt

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ τ

π α α σ0

2 2 216∆

Il valore di Pr/Prb deve essere circa 4-7 per evitare un numero di falsi allarmi elevato. In figura 6 è mostrato tale rapporto in funzione di R con At a parametro avendo assunto: ρ = 0.5 τ = 0.5 α = 20 mrad αrt = 40 mrad

25

∆t =100 nsec c = 3•108 m/sec σ = 50 km-1 = 0.05 m-1 Da tale situazione si evince che per ottenere range significativi > 40 m è necessario che l' area del bersaglio sia di 0.01 m2 =100 cm2 ovvero tipicamente di 10 cm •10 cm. Tale area rappresenta esattamente il 100/4500=2% dell' area massima considerata.